Дефиниција на тетраедар

Тетраедар- наједноставното полиедарно тело, чии лица и основа се триаголници.

Онлајн калкулатор

Тетраедар има четири лица, од кои секоја е формирана од три страни. Тетраедарот има четири темиња, секое со три рабови.

Ова тело е поделено на неколку видови. Подолу е нивната класификација.

1. Изохедрален тетраедар- сите негови лица се исти триаголници;
2. Ортоцентричен тетраедар- сите висини извлечени од секое теме до спротивната страна се исти по должина;
3. Правоаголен тетраедар- рабовите што произлегуваат од едно теме формираат агол од 90 степени едни со други;
4. рамка;
5. Пропорционално;
6. нецентричен.

Формули за волумен на тетраедар

Волуменот на дадено тело може да се најде на неколку начини. Ајде да ги анализираме подетално.

Преку мешаниот производ на вектори

Ако тетраедарот е изграден на три вектори со координати:

A ⃗ = (a x, a y, a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)а= (а x​ , а y​ , а z​ )
b ⃗ = (b x, b y, b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)б= (б x​ , б y​ , б z​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)в= (в x​ , в y​ , в z​ ) ,

тогаш волуменот на овој тетраедар е измешаниот производ на овие вектори, односно таква детерминанта:

Волуменот на тетраедар низ детерминантата

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z. )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ а x​ б x​ в x​ ​ а y​ б y​ в y​ ​ а z​ б z​ в z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Задача 1

Познати се координатите на четирите темиња на октаедарот. A (1 , 4 , 9) A (1,4,9) А (1 , 4 , 9 ), Б(8, 7, 3) Б(8,7,3) Б(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C (1,2,3) C (1 , 2 , 3 ), Д(7, 12, 1) Д(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ). Најдете го неговиот волумен.

Решение

A (1 , 4 , 9) A (1,4,9) А (1 , 4 , 9 )
Б(8, 7, 3) Б(8,7,3) Б(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C (1,2,3) C (1 , 2 , 3 )
Д(7, 12, 1) Д(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 )

Првиот чекор е да се одредат координатите на векторите на кои е изградено даденото тело.
За да го направите ова, треба да ја пронајдете секоја координата на векторот со одземање на соодветните координати на две точки. На пример, векторски координати A B → \overrightarrow(AB) А Б, односно вектор насочен од точка А А Адо точка Б Б Б, тоа се разликите на соодветните координати на точките Б Б Би А А А:

AB → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)А Б= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)А В= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, - осум)А Д= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Сега да го најдеме мешаниот производ на овие вектори, за ова составуваме детерминанта од трет ред, притоа претпоставувајќи дека A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)А Б= а, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)А В= б, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)А Д= в.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) − 6 ⋅ ⋅ (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \x a_mat a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 и 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ а x​ б x​ вx​ ​ аy​ бy​ вy​ ​ аz​ бz​ вz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Тоа е, волуменот на тетраедар е:

$В=61\cdot |$

Одговори

$44.8\text{цм3 .}$

Формулата за волуменот на изохедрален тетраедар по неговата страна

Оваа формула важи само за пресметување на волуменот на изохедрален тетраедар, односно тетраедар во кој сите лица се идентични правилни триаголници.

Волумен на изохедрален тетраедар

$В=12\sqrt{2\cdot {а}^3}$

а аае должината на работ на тетраедарот.

Задача 2

Најдете го волуменот на тетраедар ако неговата страна е дадена еднаква на $11\text{цм.}$

Решение

$а=11$

Замена а ааво формулата за волумен на тетраедар:

$В=12\sqrt{2\cdot {а}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{цм3}}}}}$

Одговори

$156.8\text{цм3 .}$

Забелешка. Ова е дел од лекцијата со проблеми по геометрија (дел цврста геометрија, проблеми за пирамидата). Ако треба да решите проблем во геометријата, кој не е овде - пишете за тоа на форумот. Во задачите, наместо симболот „квадратен корен“, се користи функцијата sqrt (), во која sqrt е симбол на квадратен корен, а радикалниот израз е означен во загради.За едноставни радикални изрази, може да се користи знакот „√“.. редовен тетраедаре правилна триаголна пирамида во која сите лица се рамнострани триаголници.

За правилен тетраедар, сите диедрални агли на рабовите и сите триедрални агли на темиња се еднакви

Тетраедарот има 4 лица, 4 темиња и 6 рабови.

Основните формули за правилен тетраедар се дадени во табелата.

Каде:
S - Површина на редовен тетраедар
V - волумен
h - висина спуштена до основата
r - радиус на кругот впишан во тетраедарот
R - радиус на ограничениот круг
а - должина на ребро

Практични примери

Задача.
Најдете ја површината на триаголна пирамида со секој раб еднаков на √3

Решение.
Бидејќи сите рабови на триаголната пирамида се еднакви, тоа е точно. Површината на правилна триаголна пирамида е S = a 2 √3.
Потоа
S = 3√3

Одговори: 3√3

Задача.
Сите рабови на правилна триаголна пирамида се 4 cm. Најдете ја волуменот на пирамидата

Решение.
Бидејќи во правилна триаголна пирамида висината на пирамидата се проектира до центарот на основата, кој е и центар на ограничениот круг, тогаш

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Така, висината на пирамидата OM може да се најде од правоаголен триаголник AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
ОМ 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Волуменот на пирамидата се наоѓа со формулата V = 1/3 Ш
Во овој случај, ја наоѓаме областа на основата со формулата S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Одговори: 16√2/3cm

Од основната формула за волумен на тетраедар

каде Се областа на кое било лице и Х- висината спуштена на неа, можете да изведете голем број формули кои ја изразуваат јачината на звукот преку различни елементи на тетраедарот. Ги даваме овие формули за тетраедарот А БЕ ЦЕ ДЕ.

(2) ,

каде ∠ ( н.е,ABC) е аголот помеѓу работ н.еи лице авион ABC;

(3) ,

каде ∠ ( ABC,ABD) е аголот помеѓу лицата ABCи ABD;

каде | АБ,ЦД| - растојание помеѓу спротивните ребра АБи ЦД, ∠ (АБ,ЦД) е аголот помеѓу овие рабови.

Формулите (2)–(4) може да се користат за пронаоѓање на аглите помеѓу правите и рамнините; Формулата (4) е особено корисна, со која можете да го најдете растојанието помеѓу искривените линии АБи ЦД.

Формулите (2) и (3) се слични на формулата С = (1/2)abгрев Вза плоштина на триаголник. Формула С = rpслична формула

каде ре радиусот на впишаната сфера на тетраедарот, Σ е неговата вкупна површина (збирот на плоштините на сите лица). Има и убава формула која го поврзува волуменот на тетраедар со радиус Рнеговиот опишан опсег ( Формула Crelle):

каде Δ е плоштина на триаголник чии страни се бројно еднакви на производите од спротивните рабови ( АБ× ЦД, AC× БД,н.е× п.н.е). Од формулата (2) и косинусната теорема за триедарски агли (види Сферна тригонометрија), може да се изведе формула слична на Хероновата формула за триаголници.

Размислете за произволен триаголник ABC и точка D што не лежи во рамнината на овој триаголник. Поврзете ја оваа точка со отсечки со темињата на триаголникот ABC. Како резултат на тоа, добиваме триаголници ADC , CDB , ABD . Површината ограничена со четири триаголници ABC, ADC, CDB и ABD се нарекува тетраедар и се означува DABC.
Триаголниците што го сочинуваат тетраедарот се нарекуваат негови лица.
Страните на овие триаголници се нарекуваат рабови на тетраедарот. А нивните темиња се темиња на тетраедар

Тетраедарот има 4 лица, 6 ребраи 4 врвови.
Два рабови кои немаат заедничко теме се нарекуваат спротивни.
Често, за погодност, се нарекува едно од лицата на тетраедарот основа, а преостанатите три лица се странични лица.

Така, тетраедарот е наједноставниот полиедар, чии лица се четири триаголници.

Но, исто така е точно дека секоја произволна триаголна пирамида е тетраедар. Тогаш исто така е точно дека се нарекува тетраедар пирамида со триаголник во основата.

Висината на тетраедаротнаречена отсечка која поврзува теме со точка која се наоѓа на спротивната страна и нормално на неа.
Медијана на тетраедарнаречена отсечка што го поврзува темето со точката на пресек на медијаните на спротивната страна.
Бимедијански тетраедарсе нарекува отсечка што ги поврзува средните точки на вкрстените рабови на тетраедарот.

Бидејќи тетраедарот е пирамида со триаголна основа, волуменот на кој било тетраедар може да се пресмета со формулата

• Се областа на кое било лице,
• Х- висината спуштена на ова лице

Редовен тетраедар - посебен вид тетраедар

Се нарекува тетраедар во кој сите лица се рамнострани триаголници точно.
Својства на обичен тетраедар:

• Сите рабови се еднакви.
• Сите рамни агли на правилен тетраедар се 60°
• Бидејќи секое негово теме е теме на три правилни триаголници, збирот на рамните агли на секое теме е 180°
• Секое теме на правилен тетраедар се проектира до ортоцентарот на спротивната страна (до пресечната точка на висините на триаголникот).

Да ни биде даден правилен тетраедар ABCD со рабови еднакви на a. DH е неговата висина.
Ајде да направиме дополнителни конструкции BM - висината на триаголникот ABC и DM - висината на триаголникот ACD .
Висината BM е еднаква на BM и еднаква
Размислете за триаголникот BDM , каде што DH , што е висината на тетраедарот, е исто така висината на овој триаголник.
Висината на триаголникот спуштен на страната MB може да се најде со помош на формулата

, каде
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Заменете ги овие вредности во формулата за висина. Земете


Ајде да извадиме 1/2а. Земете

Примени ја формулата разлика на квадратите

По некои мали трансформации, добиваме


Волуменот на кој било тетраедар може да се пресмета со формулата
,
каде ,

Заменувајќи ги овие вредности, добиваме

Така формулата за волумен за правилен тетраедар е

каде а– тетраедарски раб

Пресметување на волуменот на тетраедар ако се познати координатите на неговите темиња

Да ни бидат дадени координатите на темињата на тетраедарот

Нацртај вектори од темето , , .
За да ги најдете координатите на секој од овие вектори, одземете ја соодветната почетна координата од крајната координата. Земете