Помните задачу из детства - необходимо нарисовать открытый конверт, не отрывая карандаша от бумаги, и не проходя дважды по любой из сторон?

Вариантов немного, поэтому, после небольшого числа попыток («2-3-4-2-1-5-4-1-ой?!», «4-2-1-5-4-3-5-ой?!») любой ребёнок находил верное решение. А нужно всего лишь начинать рисование либо с точки 1, либо с точки 5. После этого движение в любом направлении в итоге приводило к решению задачи.

Что же особенного в этих двух точках, первой и пятой? Что позволяет им становиться гарантом успешного решения? Всего лишь «нужное» для решения задачи число сходящихся в каждой из этих особенных точек числе сторон, а именно - нечётное количество! Действительно, в точках 1 и 5 сходится по 3 стороны, в 2 и 4 - по 4, а во второй - 2. В терминах теории графов (именно эта дисциплина с лёгкость решает задачу) это требование к «открытому конверту» звучит так:

Если необходимо найти путь в связанном графе, содержащий все его ребра по одному разу, в котором начальная и конечная вершины не совпадают, необходимо и достаточно, чтобы начальная и конечная вершины были единственными вершинами с нечетными степенями.

Зная это, становится понятным, что нарисовать «закрытый конверт» при тех же требованиях задачи не представляется возможным-все вершины имеют нечётную степень.

И любое подтрунивание над одноклассником - что, мол, слабо? - рассчитано на неосведомлённость последнего в теории графов!

Теория графов является большим и хорошо проработанным разделом дискретной математики .Кроме этого дискретная математика объединяет такие дисциплины как математическая логика, математическая кибернетика, теория функциональных систем и ещё около 30 теорий, включая такие экзотические как секвенциальная логика и λ-исчисление.

Но вернёмся к графам. Итак, - множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. В строгом определении графом называется упорядоченная пара G=(V,E), где V - это непустое множество вершин или узлов, а E - это множество пар вершин, называемых рёбрами.

Вершины и называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.

Ребра могут быть смежными (имеют общую концевую вершину) и кратными (множества их концевых вершин совпадают). Если же концы одного ребра совпадают, то такое ребро называется петлей .

Степенью вершины (помните «открытый конверт»?) называют количество инцидентных ей ребер (т.е. ребер, входящих в вершину). При этом петли считают дважды.

Вершина называется изолированной , если она не является концом ни для одного ребра; висячей (или листом ), если она является концом ровно одного ребра.

Одних только определений в теории графов великое множество. Граф может быть ориентированным (все рёбра имеют ориентацию наподобие вектора), взвешенным (каждому ребру поставлено в соответствие некоторое число, называемое весом ребра), связным (любых вершин , есть путь из в ) и т.д. Как правило, к возникновению новых определений и понятий приводило расширение круга задач, решаемое посредством этой теории. Именно поэтому интерес представляют не столько сами многочисленные определения (с ними можно ознакомиться в любом учебнике), сколько решаемые ими задачи! Среди них такие классические как «Проблема семи мостов Кенигсберга» (одна из первых задач теории графов, опубликован Эйлером в 1736), «Проблема четырёх красок» (была сформулирована в 1852 году, но доказательство получено лишь в 1976 году), «Задача коммивояжёра» , изоморфизм графов, планарность

Остановимся предметно на «задаче коммивояжёра».Рассмотрим типичное лабораторное задание по дискретной математике:

Решить задачу коммивояжёра для () городов «жадным алгоритмом». Города определить случайным образом. Задачу считать симметричной. Критерием выгодности считать расстояние между городами. Написать программу.

Прежде всего, немного теории.

Задача коммивояжёра - одна из самых известных задач, заключающаяся в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с последующим возвратом в исходный город. В условиях задачи указываются критерий выгодности маршрута (кратчайший, самый дешёвый, совокупный критерий и т. п). Маршрут должен проходить через каждый город только один раз (выбор осуществляется среди гамильтоновых циклов).

Поскольку коммивояжер в каждом из городов встает перед выбором следующего города из тех, что он ещё не посетил, существует маршрутов для симметричной задачи коммивояжера. Таким образом, для случаев соответствующее число маршрутов равно , , .

Совершенно очевидно, что решить задачу методом прямого перебора (или «грубой силы») не поможет даже самый мощный компьютер! Не случайно в условии сделан акцент на приближённый алгоритм.

«Жадный алгоритм», а именно «метод ближайшего соседа» - один из простейших методов решения задачи коммивояжёра. Формулируется следующим образом:

Города последовательно включаются в маршрут, при этом каждый очередной включаемый город должен быть ближайшим к последнему выбранному городу среди всех остальных, ещё не включенных в состав маршрута.

Составим словесный алгоритм.

Пользователь задаёт количество городов – константа CITIES_COUNT. Расстояния между городами хранятся в квадратном массиве Distances. А оптимальный путь, представляющий собой оптимальную последовательность индексов городов, хранится в линейном массиве Path.

Происходит первоначальная инициализация карты городов. Для этого используем случайный алгоритм (выполняя требование исходной задачи «Города определить случайным образом» ).
Ищется путь коммивояжёра – процедура CalcPath.
1. В ней рассчитывается матрица взаимных расстояний между городами Distances. По диагонали в матрице хранятся -1, верхний треугольник матрицы рассчитывается и копируется в нижний, т.к. матрица симметрична относительно главной диагонали.
2. Далее «пробегаем» по всем городам (переменная iCurr), начиная с начального (iStart), и для каждого ищем ближайший город (до которого расстояние минимально), запоминаем его в переменной iM и добавляем в путь Path. При поиске ближайшего города игнорируем те города, в которые уже заходили (дистанция до которых =-1). Попутно ищем общую протяжённость пути (Len);
3. После включения очередного города в путь, вычёркиваем его из рассмотрения (ставим в матрицу расстояний -1 в соответствующие этому городу столбец и строку).

Блок-схема поиска пути имеет вид:

Результат работы программы (скачать) для пяти городов (так нагляднее) представлен ниже:

Начальный город (родной город коммивояжёра) помечается красным цветом, остальные - синим.

Следует отметить, что решение зависит от начального города, из которого начинается обход. Поэтому при начале работы программы формируется список всех городов, чтобы пользователь мог выбрать начальный (iStart). При каждой смене начального города происходит пересчёт пути коммивояжера, давая следующие решения:

Однако, вспомним требования задачи. Итак, для числа городов 10, 100, 300 решения могут быть следующими:

Визуальный анализ найденных решений, особенно для трёхсот городов (длинная дорога, по которой коммивояжер возвращается в родной город из последнего пункта назначения), подтверждает тезис о том, что «жадный алгоритм» может давать результат, не более чем в два раза превышающий действительно оптимальный маршрут. Одним из эвристических критериев оценки решения является правило: если путь, пройденный на последних шагах алгоритма, сравним с путём, пройденным на начальных шагах, то можно условно считать найденный маршрут приемлемым, иначе, вероятно, существуют более оптимальные решения.

Рассмотренный алгоритм является эвристическим . В большинстве эвристических методов (метод минимального остовного дерева , метод имитации отжига , метод ветвей и границ ) находится не самый эффективный маршрут, а приближённое решение. На практике это единственная возможность найти, хоть и приближённое, решение задачи. Безусловно, оптимальный маршрут может дать лишь полный перебор вариантов , но разве реально это сделать хотя бы для 100 городов, где число этих вариантов выражается 156-значным числом?!

Литература

Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Структуры данных и алгоритмы. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2001.
Бондарев В.М., Рублинецкий В.И., Качко Е.Г. Основы программирования. - Харьков: Фолио; Ростов н/Д: Феникс, 1997.
Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. - М.: МЦНМО, 2001.
Романовский И.В. Дискретный анализ… - Издание 2-е, исправленное. - СПб.: Невский диалект, 2000.
Шень А. Программирование: теоремы и задачи. - М.: МЦНМО, 1995.

Решение дискретной математики на заказ

Появились вопросы — задавайте в комментариях. Нужно решить задачи — заказывайте .
Будем рады Вам помочь!

ГРАФЫ

Графы возникли в восемнадцатом столетии, когда известный математик, Леонард Эйлер, пытался решить теперь уже классическую задачу о Кенигсбергских мостах. В то время в городе Кенигсберге было два oстровa, соединенных семью мостами с берегами реки Преголь и друг с другом так, как показано на рис. 7.1. 3адача состоит в следующем: осуществить прогулку по городу таким образом, чтобы, пройдя ровно по одному разу по каждому мосту, вернуться в то же место, откуда начиналась прогулка. Решая эту задачу, Эйлер изобразил Кенигсберг в виде графа, отождествив его вершины с частями города, а ребра - с мостами, которыми связаны эти части. Как мы покажем в § 7.1, Эйлеру удалось доказать, что искомого маршрута обхода города не существует.

Рисунок 7.1. Схема старого Кенигсберга

В этой главе мы вводим стандартную терминологию, используемую в теории графов, и разбираем несколько конкретных задач решаемых с помощью графов. В частности, мы познакомимся с классом графов, называемых деревьями. Деревья – естественная модель, представляющая данные, организованные в иерархичную систему. Поиск по дереву для выделения отдельных предметов и сортировка данных в дереве представляет собой важные точки приложения усилий в информатике. В приложении к этой главе мы займемся сортировкой и поиском данных, организованных в деревья.

Графы и терминология

На рис. 7.1 изображены семь мостов Кенигсберга так. как они были расположены в восемнадцатом столетии. В задаче, к которой oбpaтился Эйлер, спрашивается: можно ли найти маршрут прогулки, который проходит ровно один раз по каждому из мостов и начинается и заканчивается в одном и том же месте города?

Модель задачи - это граф, состоящий из множества вершин и множества ребер, соединяющих вершины. Вершины А, В, С и D символизируют берега реки и острова, а ребра а,в , c ,d, f и g обозначают семь мостов (см. рис. 7.2). Искомый маршрут (если он существует) соответствует обходу ребер графа таким образом, что каждое из них проходится только один раз. Проход ребра, очевидно, соответствует пересечению реки по мосту.

Рисунок 7.2. Модель задачи о мостах Кенигсберга

Граф, в котором найдется маршрут, найдется маршрут, начинающийся и заканчивающийся в одной вершине, и проходящий по всем ребрам графа ровно один раз, называется зйлеровым графом. Последовательность вершин (может быть и с повторениями), через которые проходит искомый маршрут, как и сам маршрут, называется эйлеровым циклом . Эйлер заметил, что если в графе есть эйлеров цикл, то для каждого ребра, ведущего в какую-то вершину, должно найтись другое ребро, выходящее из этой вершины 1 , и получил из этого простого наблюдсния такой вывод: если в данном графе существует эйлеров цикл, то к каждой вершине должно подходить четное число ребер.

Кроме того, Эйлеру удалось доказать и противоположное утверждение, так что граф, в котором любая пара вершин связана некоторой последовательностью ребер, является Эйлеровым тогда и только тогда, когда все его вершины имеют четную степень. Степенью вершины v называется число δ(v) ребер, ей инцидентных 2 .

Теперь совершенно очевидно, что в графе, моделирующем задачу о мостах Кенигсберга, эйлерова цикла найти нельзя. Действительно, степени всех его вершин нечетны: δ(B ) = δ(С) = δ(D) = 3 и δ(A ) = 5. С легкой руки Эйлера графы, подобные тому, который мы исследовали при решении задачи о мостах, стали использовать при решении многих практических задач, а их изучение выросло в значительную область математики.

Простой граф определяется как пара G = (V, Е), где V - конечное множество вершин, а Е - конечное множество ребер, причем не может содержать петель (ребер, начинающихся и заканчивающихся в одной вершине) и кратных ребер (кратными называются несколько ребер, соединяющих одну и ту же пару вершин). Граф, изображенный на рис. 7.2. не является простым, поскольку, например, вершины А и В соединяются двумя ребрами (как раз эти ребра и называются кратными).

Две вершины u и v в простом графе называются смежными , если они соединяются каким-то ребром е , про которое говорят, что оно инцидентно вершине u (и v). Таким образом, мы можем представлять себе множество Е ребер как множество пар смежных вершин, определяя тем самым нерефлексивное, симметричное отношение на множестве V. Отсутствие рефлексивности связано с тем, что в простом графе нет петель, т. е. ребер, оба конца которых находятся в одной вершине. Симметричность же отношения вытекает из того факта, что ребро е , соединяющее вершину и с v, соединяет и v с и (иначе говоря, ребра не ориентированы, т. е. не имеют направления). Единственное ребро простого графа, соединяющее пару вершин u и v, мы будем обозначать как иv (или vи).

Логическая матрица отношения на множестве вершин графа, котopoe задается его ребрами, называется ,матрицей смежности. Симметричность отношения в терминах матрицы смежности М означает, что М симметрична относительно главной диагонали. А из-за нерефлексивности этого отношения на главной диагонали матрицы М стоит символ «Л».

Пример 7.1. Нарисуйте граф G(V, Е) с множеством вершин V = {а, Ь, с, d, е} и множеством ребер E = {ab, ae, bc, bd, ce, de}. Выпишите его матрицу смежности.

Решение. Граф G показан на рис. 7.3.

Рисунок 7.3.

Его матрица смежности имеет вид:

Для восстановления графа нам достаточно только тех элементов матрицы смежности, которые стоят над главной диагональю.

Подграфом графа G = (V, E) называется граф G’ = (V’, E’), в котором E’ C E и V’ C V.

Пример 7.2 Найдите среди графиков H, K и L, изображенных на рис. 7.4, подграфы графа G.

Решение. Обозначим вершины графов G, H и K как показано на рис. 7.5. Графы H и K – подграфы в G, как видно из наших обозначений. Граф L не является подграфом в G, поскольку у него есть вершина индекса 4, а у графа G такой нет.

Маршрутом длины k в графе G называется такая последовательность вершин v 0 , v 1 , …, v k , что для каждого i = 1, …, k пара v i – 1 v i образует ребро графа. Мы будем обозначать такой маршрут через v 0 v 1 … v k . Например 1 4 3 2 5 – это маршрут длины 4 в графе G из примера 7.2.

G H

K L

Рисунок 7.4.

Циклом в графе принято называть последовательность вершин v 0 , v 1 , … , v k , каждая пара которых является концами одного ребра, причем v 0 = v 1 , а остальные вершины (и ребра) не повторяются. Иными словами, цикл – это замкнутый маршрут, проходящий через каждую свою вершину и ребро только один раз

1 2 1 2 3

Рисунок 7.5

Пример 7.3. Найдите циклы в графе G из примера 7.2.

Решение. В этом графе есть два разных цикла длины 5:

1 3 2 5 4 1 и 1 2 5 4 3 1

Мы можем пройти эти циклы как в одном направлении так и в другом, начиная с произвольной вершины цикла. Кроме того, в графе есть три разных цикла длины 4:

1 2 5 4 1, 1 2 3 4 1 и 2 5 4 3 2,

и два цикла длины 3:

1 2 3 1 и 1 3 4 1.

Граф, в котором нет циклов, называется ацикличным. Структуры деревьев, которые возникают в вычислениях, представляют собой частный случай ацикличных графов. Позже в этой главе мы ими займемся.

Граф, называют связным, если любую пару его вершин соединяет какой – нибудь маршрут. Любой общий граф можно разбить на подграфы, каждый из которых окажется связным. Минимальное число таких связных компонент называется числом связности графа и обозначается через c (G ) . Вопросы связности имеют важное значение в приложениях теории графов к компьютерным сетям. Следующий алгоритм применяется для определения числа связности графа.

Алгоритм связности.

Пусть G = (V, E) – граф. Алгоритм предназначен для вычисления значения c = c (G ), т.е. числа компонент связности данного графа G.

V’ :=V;

while V’≠ ø do

Выбрать y Є V ’

Найти вершины, соединяющие маршрутом с у;

Удалить вершину у из V ’ и

соответствующие ребра из Е;

c := c +1;

Пример 7.4. Проследите за работой алгоритма связности на графе, изображенном на рис. 7.6.

Рисунок 7.6.

Решение. Смотри табл. 7.1.

Таблица 7.1.


Исходные значения	{1,2,3,4,5,6,7,8}
Выбор у = 1
Выбор у = 2
Выбор у = 7

Итак, c (G ) = 3. Соответствующие компоненты связности приведены на рис. 7.7.

Федеральное Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева»

Физико-математический факультет

Реферат

по теме:

«Теория графов »

Выполнила: студентка

группы МДМ-109

Добрынкина О.А.

Проверила: Лапина И.Э.

Саранск 2014

Введение………………………………………………………………………. 3

1. Основные понятия теории графов………………………………………… 4

2. Примеры графов……………………………………………………………. 8

3. Эйлеровы графы…………………………………………………………… 13

4. Примеры приложений теории графов……………………………………. 16

5. Задача о кратчайшем пути………………………………………………… 18

6. Алгоритм нахождения максимального потока………………………….. 27

Заключение…………………………………………………………………… 38

Список литературы…………………………………………………………… 39

Введение

В последнее время наблюдается неуклонное вторжение математических методов в различные отрасли науки и техники. Процесс математизации затронул и экономическую науку.

Понятие графа, само по себе очень простое, оказалось весьма плодотворным в науке и часто употребляемым. Теория графов изучает графы как абстрактные математические образования, независимо от их конкретных истолкований, а полученные общие результаты затем прилагаются к самым различным дисциплинам.

Термин «граф» приобрел право гражданства и вошел в математический язык в 1936 г., после выхода в свет монографии Кёнига, в которой впервые графы изучаются как самостоятельные математические объекты независимо от их содержания.

Изучение графов актуально и на сегодняшний день. Найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут – все это примеры из нашей повседневной жизни. Эти и многие другие задачи могут быть решены при помощи графов.

В данной работе излагается ряд основных понятий, так же приведены примеры приложений теории графов и рассмотрены два подхода к решению экономических задач на основе теории графов.

1. Основные понятия теории графов

Граф – система, которая интуитивно может быть рассмотрена как множество кружков и множество соединяющих их линий (рис. 1).

Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками – дугами, без стрелок – ребрами. Граф, в котором направление линий не выделяется (все линии являются ребрами), называется неориентированным (рис. 1, А); граф, в котором направление линий принципиально (линии являются дугами) называется ориентированным (рис. 1, Б).

Опр. 1. Задано конечное множество X , состоящее из n элементов (X = {1, 2,…, n }), называемых вершинами графа, и подмножество V декартова произведения X ×X, то есть
, называемое множеством дуг, тогда ориентированным графом G называется совокупность (X, V).

Опр. 2. Неориентированным графом называется совокупность множества X и множества неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству X.

Дугу между вершинами i и j,
, будем обозначать (i, j). Число дуг графа будем обозначать m (V = (
)).

Опр. 3. Подграфом называется часть графа, образованная подмножеством вершин вместе со всеми ребрами (дугами), соединяющими вершины из этого множества. Если из графа удалить часть ребер (дуг), то получим частичный граф.

Опр. 4. Две вершины называются смежными, если они соединены ребром (дугой). Смежные вершины называются граничными вершинами соответствующего ребра (дуги), а это ребро (дуга) – инцидентным соответствующим вершинам.

Опр.5. Путем называется последовательность дуг (в ориентированном графе), такая, что конец одной дуги является началом другой дуги.

Опр. 5.1. Простой путь – путь, в котором ни одна дуга не встречается дважды.

Опр. 5.2. Элементарный путь – путь, в котором ни одна вершина не встречается дважды.

Опр. 5.3. Контур – путь, у которого конечная вершина совпадает с начальной вершиной.

Опр. 5.4 Длиной пути (контура) называется число дуг пути (или сумма длин его дуг, если последние заданы).

Опр.6. Граф, для которого из (i, j) V следует (j, i) V называется симметрическим.

Опр. 7. Если из (i, j) V следует, что (j, i)
V, то соответствующий граф называется антисимметрическим.

Опр. 8.1. Цепью называется множество ребер (в неориентированном графе), которые можно расположить так, что конец (в этом расположении) одного ребра является началом другого.

Опр. 8.2. Цепь – последовательность смежных вершин.

Опр. 9. Замкнутая цепь называется циклом.

Опр. 10.1. Элементарная цепь (цикл, путь, контур), проходящая через все вершины графа называется гамильтоновой цепью (соответственно – циклом, путем, контуром).

Опр. 10.2. Простая цепь (цикл, путь, контур), содержащая все ребра (дуги) графа называется эйлеровой цепью (соответственно – циклом, путем, контуром).

Опр. 11. Если любые две вершины графа можно соединить цепью, то граф называется связным. Если граф не является связным, то его можно разбить на связные подграфы, называемые компонентами.

Опр. 12. Связностью графа называется минимальное число ребер, после удаления которых граф становится несвязным. Для ориентированных графов, если любые две вершины графа можно соединить путем, то граф называется сильно связным. Связный граф, в котором существует эйлеров цикл, называется эйлеровым графом.

Опр. 13. В неориентированном графе степенью вершины i называется число инцидентных ей ребер. Очевидно,
. Граф, степени всех вершин которого равны n – 1, называется полным. Граф, все степени вершин которого равны, называется однородным.

Опр. 14. Вершина, для которой не существует инцидентных ей ребер (= 0) называется изолированной. Вершина, для которой существует только одно инцидентное ей ребро ( = 1) называется висячей.

Опр. 15. Определим матрицу смежности графа как квадратную матрицу n ×n, элемент которой равен единице, если (i, j) V, и нулю, если (i, j)
V, i, jX. Для неориентированного графа матрица смежности всегда симметрическая.

Опр. 16. Определим матрицу инциденций для ребер графа как прямоугольную матрицу n×m, элемент которой равен единице, если вершина i инцидентна ребру j, и нулю в противном случае, i = 1, n, j = 1, m.

Опр. 17. Матрица инциденций для дуг графа – прямоугольная матрицу m x n, элемент rij которой равен плюс единице, если дуга исходит из вершины i, минус единице, если дуга заходит в вершину i, и нулю в остальных случаях, i = 1, n, j = 1, m

Опр. 18. Деревом называется связный граф без простых циклов, имеющий не менее двух вершин. Для дерева m = n – 1, а число висячих вершин равно
Легко показать, что в дереве любые две вершины связаны единственной цепью.

Опр. 19. Прадеревом называется ориентированное дерево, у которого одна из вершин, называемая корнем, не имеет заходящих дуг, а степени захода остальных вершин равны единице.

Опр. 20. Плоским (планарным) называется граф, который можно изобразить на плоскости так, что различным вершинам соответствуют различные кружки и никакие два ребра не имеют общих точек, отличных от их границ (не пересекаются). Для плоского графа существует понятие грани – части плоскости, ограниченной ребрами и не содержащей внутри себя ни вершин, ни ребер.

Опр. 21. Степенью грани называется число ее граничных ребер (висячие ребра считаются дважды).

Любому связному плоскому графу G можно поставить в соответствие двойственный ему связный плоский граф G*, определяемый следующим образом: каждой грани графа G соответствует вершина графа G*, каждому ребру V графа G, являющемуся граничным для граней z1 и z2, соответствует ребро V* графа G*, соединяющее соответствующие граням z1 и z2 вершины.

2. Примеры графов

Вполне несвязные графы . Граф, у которого множество ребер пусто, называется вполне несвязным (или пустым) графом. Будем обозначать вполне несвязный граф с п вершинами через N n ; N 4 показан на рис. 1. Заметим, что у вполне несвязного графа все вершины изолированы. Вполне несвязные графы не представляют особого интереса.

Полные графы . Простой граф, в котором любые две вершины смежны, называется полным графом. Полный граф с n вершинами обычно обозначается через . Графы и изображены на рис. 2 и 3. имеет ровно n (n – 1)/2 ребер.

Регулярные графы . Граф, у которого все вершины имеют одну и ту же степень, называется регулярным графом. Если степень каждой вершины равна r , то граф называется регулярным степени r . Регулярные графы степени 3, называемые также кубическими (или трехвалентными) графами (см., например, рис. 2 и 4). Другим известным примером кубического графа является так называемый граф Петерсена, показанный на рис. 5. Отметим, что каждый вполне несвязный граф является регулярным степени 0, а каждый полный граф К n – регулярным степени n – 1.

Платоновы графы . Среди регулярных графов особенно интересны так называемые Платоновы графы – графы образованные вершинами и ребрами пяти правильных многогранников – платоновых тел: тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра. Граф соответствует тетраэдру (рис. 2); графы, соответствующие кубу и октаэдру, показаны на рис. 5 и 6;

Двудольные графы . Допустим, что множество вершин графа можно разбить на два непересекающихся подмножества V 1 и V 2 так, что каждое ребро в G соединяет какую-нибудь вершину из V 1 с какой-либо вершиной из V 2 (рис. 7);

тогда G называется двудольным графом. Такие графы иногда обозначают G (V 1, V 2), если хотят выделить два указанных подмножества. Двудольный граф можно определить и по-другому – в терминах раскраски его вершин двумя цветами, скажем красным и синим. При этом граф называется двудольным, если каждую его вершину можно окрасить красным или синим цветом так, чтобы любое ребро имело один конец красный, а другой – синий. Следует подчеркнуть, что в двудольном графе совсем не обязательно каждая вершина из V 1 соединена с каждой вершиной из V 2 ; если же это так и если при этом граф G простой, то он называется полным двудольным графом и обычно обозначается

где m , n – число вершин соответственно в V 1 и V 2 . Например, на рис. 8 изображен граф K 4 , 3 . Заметим, что граф
имеет ровно m + n вершин и mn ребер. Полный двудольный граф вида
называется звездным графом; на рис. 9 изображен звездный граф
.

Связные графы . Граф связный, если его нельзя представить в виде объединения двух графов, и несвязный в противном случае. Очевидно, что всякий несвязный граф G можно представить в виде объединения конечного числа связных графов – каждый из таких связных графов называется компонентой (связности) графа G . (На рис. 10 изображен граф с тремя компонентами.) Доказательство некоторых утверждений для произвольных графов часто бывает удобно сначала провести для связных графов, а затем применить их к каждой компоненте в отдельности.

Циклические графы и колеса . Связный регулярный граф степени 2 называется циклическим графом (или циклом); циклический граф. с п вершинами обозначается через С n . Соединение графов и
(п ≥ 3) называется колесом с п вершинами и обозначается W n . На рис. 11 изображены С 6 и W 6 ; граф W 4 уже появлялся на рис. 2.

3. Эйлеровы графы

Связный граф G называется эйлеровым, если существует замкнутая цепь, проходящая через каждое его ребро; такая цепь называется эйлеровой цепью. Отметим, что в этом определении требуется, чтобы каждое ребро проходилось только один раз. Если снять ограничение на замкнутость цепи, то граф называется полуэйлеровым; при этом каждый эйлеров граф будет полуэйлеровым. На рис. 13,14,15 изображены соответственно не эйлеров, полуэилеров и эйлеров графы.

Название «эйлеров» возникло в связи с тем, что Эйлер первым решил знаменитую задачу о кенигсбергских мостах, в которой нужно было узнать, имеет ли граф, изображенный на рис. 15, эйлерову цепь (не имеет). Сразу же возникает вопрос: можно ли найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы граф был эйлеровым

Докажем простую лемму.

Лемма 1. Если степень каждой вершины графа G не меньше двух, то G содержит цикл.

Доказательство. Если в графе G имеются петли или кратные ребра, то утверждение очевидно; поэтому предположим, что G является простым графом. Пусть v – произвольная вершина графа G ; построим по индукции маршрут , выбирая вершину v 1 смежной вершине v , а для i ≥1 – выбирая v i +1 смежной v i и отличной от v i -1 (существование такой вершины v i +1 гарантировано условием леммы). Так как G имеет конечное число вершин, то в конце концов мы придем к вершине, которая уже была выбрана раньше. Предположим, что v k – первая такая вершина; тогда часть маршрута, лежащая между двумя вхождениями v h , и является требуемым циклом.

Теорема 1. Связный граф G является эйлеровым тогда и только тогда, когда каждая вершина в G имеет четную степень.

Доказательство.
Предположим, что Р является эйлеровой цепью в графе G . Тогда при всяком прохождении цепи Р через любую из вершин графа степень этой вершины увеличивается на два. А так как каждое ребро встречается в Р ровно один раз, то каждая вершина должна иметь четную степень.

Проведем доказательство индукцией по числу ребер в G . В силу связности G , степень каждой вершины не меньше двух, а отсюда, по предыдущей лемме, заключаем, что граф G содержит цикл С. Если С проходит через каждое ребро графа G , то доказательство завершено; если нет, то, удаляя из G ребра, принадлежащие циклу С, получим новый (быть может, и несвязный) граф Н. Число ребер в Н меньше, чем в G , и любая вершина в Н по-прежнему имеет четную степень. Согласно индуктивному предположению, в каждой компоненте графа Н существует эйлерова цепь. В силу связности графа G , каждая компонента в Н имеет по крайней мере одну общую вершину с циклом С, поэтому искомую эйлерову цепь графа G можно получить так: идем по ребрам цикла С до тех пор, пока не встретим неизолированную вершину графа Н, затем следуем по эйлеровой цепи той компоненты в Н, которая содержит указанную вершину; далее продолжаем путь по ребрам цикла С, пока не встретим вершину, принадлежащую другой компоненте графа Н, и т.д.; заканчивается процесс тогда, когда мы попадаем обратно в начальную вершину (рис. 17).

Следствие 1. Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда семейство его ребер можно разбить на непересекающиеся циклы.

Следствие 2. Связный граф является полуэйлеровым тогда и только тогда, когда в нем не более двух вершин имеют нечетные степени.

4. Примеры приложений теории графов

1. «Транспортные» задачи, в которых вершинами графа являются пункты, а ребрами – дороги (автомобильные, железные и др.) и / или другие транспортные (например, авиационные) маршруты. Другой пример – сети снабжения (энергоснабжения, газоснабжения, снабжения товарами и т.д.), в которых вершинами являются пункты производства и потребления, а ребрами – возможные маршруты перемещения (линии электропередач, газопроводы, дороги и т.д.). Соответствующий класс задач оптимизации потоков грузов, размещения пунктов производства и потребления и т.д., иногда называется задачами обеспечения или задачами о размещении. Их подклассом являются задачи о грузоперевозках.

2. «Технологические задачи», в которых вершины отражают производственные элементы (заводы, цеха, станки и т.д.), а дуги потоки сырья, материалов и продукции между ними, заключаются в определении оптимальной загрузки производственных элементов и обеспечивающих эту загрузку потоков.

3. Обменные схемы, являющиеся моделями таких явлений как бартер, взаимозачеты и т.д. Вершины графа при этом описывают участников обменной схемы (цепочки), а дуги – потоки материальных и финансовых ресурсов между ними. Задача заключается в определении цепочки обменов, оптимальной с точки зрения, например, организатора обмена и согласованной с интересами участников цепочки и существующими ограничениями

4. Управление проектами. (Управление проектами – раздел теории управления, изучающий методы и механизмы управления изменениями (проектом называется целенаправленное изменение некоторой системы, осуществляемое в рамках ограничений на время и используемые ресурсы; характерной чертой любого проекта является его уникальность, то есть нерегулярность соответствующих изменений.)). С точки зрения теории графов проект – совокупность операций и зависимостей между ними. Хрестоматийным примером является проект строительства некоторого объекта. Совокупность моделей и методов, использующих язык и результаты теории графов и ориентированных на решение задач управления проектами, получила название календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ). В рамках КСПУ решаются задачи определения последовательности выполнения операций и распределения ресурсов между ними, оптимальных с точки зрения тех или иных критериев (времени проекта, затрат, и др.).

5. Модели коллективов и групп, используемые в социологии, основываются на представлении людей или их групп в виде вершин, а отношений между ними (например, отношений знакомства, доверия, симпатии и т.д.) – в виде ребер или дуг. В рамках подобного описания решаются задачи исследования структуры социальных групп, их сравнения, определения агрегированных показателей, отражающих степень напряженности, согласованности, взаимодействия и др.

6. Модели организационных структур, в которых вершинами являются элементы организационной системы, а ребрами или дугами – связи (информационные, управляющие, технологические и др.) между ними.

5. Задача о кратчайшем пути

Пример 1. Задача о волке, козе и капусте. Коза, капуста и волк находятся на берегу реки; перевозчику надо переправить их через реку, но его лодка так мала, что он может взять с собой не более одною из этих трех «пассажиров». По очевидным причинам нельзя оставлять без надзора волка с козой, а козу с капустой. Как должен поступить перевозчик?

Эта широко известная задача легко решается в уме благодаря малому числу вариантов, подлежащих рассмотрению, тем не менее перед нами типичный пример задачи, о нахождении кратчайшего пути: чертится граф изображенный на рис 1 и ищется путь, ведущий из положения а (когда коза К, капуста Кап, волк В и перевозчик П находятся на правом берегу) в положение b (когда все переправлены на левый берег), искомый путь показан на рисунке жирными линиями.

В более общем случае необходим систематический алгоритм, изложим несколько методов.

Задача о кратчайшем пути

Пусть задана сеть из n + 1 вершины, то есть ориентированный граф, в котором выделены две вершины – вход (нулевая вершина) и выход (вершина с номером n). Для каждой дуги заданы числа, называемые длинами дуг. Длиной пути (контура) называется сумма длин входящих в него дуг

(если длины дуг не заданы, то длина пути (контура) определяется как число входящих в него дуг). Задача заключается в поиске кратчайшего пути (пути минимальной длины) от входа до выхода сети.

Для существования кратчайшего пути необходимо и достаточно отсутствия в сети контуров отрицательной длины.

Предположим, что в сети нет контуров. Тогда всегда можно пронумеровать вершины таким образом, что для любой дуги (i, j) имеет место j > i. Такая нумерация называется правильной. Легко показать, что в сети без контуров всегда существует правильная нумерация.

Обозначим – длину дуги (i; j). Кратчайший путь в сети, имеющей правильную нумерацию, определяется следующим алгоритмом.

Алгоритм 1.

;

Шаг k: помечаем вершину k индексом
i

Индекс выхода будет равен длине кратчайшего пути. (Алгоритм 1 для задач динамического программирования отражает принцип оптимальности Беллмана: если ищется кратчайший путь между двумя точками, то длина пути между любыми двумя точками кратчайшего пути также должна быть минимальна.) На рисунке 2 приведен пример применения алгоритма 1 для определения кратчайшего пути (числа у дуг равны длинам дуг, индексы вершин помещены в квадратные скобки, кратчайший путь выделен двойными линиями).

Когда индексы (называемые в некоторых задачах потенциалами вершин) установятся, кратчайший путь определяется методом обратного хода от выхода к входу, то есть кратчайшим является путь
, такой, что
и т.д.

Следующий алгоритм дает возможность определять кратчайший путь в общем случае (то есть при произвольной нумерации вершин).

Алгоритм 2 (алгоритм Форда).

Шаг 0: Помечаем нулевую вершину индексом
, все остальные вершины индексами
, i = 1, n;

Шаг k: Рассматриваем все дуги. Если для дуги (i; j)
>, то вычисляем новое значение
;

Индексы устанавливаются за конечное число шагов. Обозначим
- установившиеся значения индексов, которые обладают следующим свойством: величина равна длине кратчайшего пути из нулевой вершины в вершину i. Кратчайший путь из вершины 0 в вершину i определяется методом обратного хода.

Если длины всех дуг неотрицательны, то для поиска кратчайшего пути применим следующий алгоритм.

Алгоритм 3.

Шаг 0: Помечаем нулевую вершину индексом
;

Шаг k: Пусть уже помечено некоторое множество вершин. Обозначим Q – множество непомеченных вершин, смежных с помеченными. Для каждой вершины
вычисляем величину
где минимум берется по всем помеченным вершинам i, смежным с вершиной k. Помечаем вершину k, для которой величина минимальна, индексом
.

Подобную процедуру повторяем до тех пор, пока не будет помечена вершина n. Длина кратчайшего пути равна , а сам кратчайший путь определяется так, как это было описано выше.

Аналогично задаче о кратчайшем пути формулируется и решается задача о максимальном (длиннейшем) пути – достаточно изменить знаки дуг на противоположные и решить задачу о кратчайшем пути. Для существования решения задачи о максимальном пути необходимо и достаточно отсутствия контуров положительной длины.

В задаче поиска пути максимальной надежности длины дуг интерпретируются, например, как вероятности того, что существует связь между соответствующими двумя пунктами. Заменяя длины дуг их логарифмами, взятыми с обратными знаками, получаем, что путь максимальной надежности в исходном графе будет соответствовать кратчайшему пути в новом графе.

Пример 1.

Рис. 3. Исходные данные к задаче о кратчайшем пути.

Ситуацию можно описать не только ориентированным графом, но и таблицей (табл. 1).

Табл.1. Исходные данные к задаче о кратчайшем пути

Начало дуги

Конец дуги

Время в пути

Спрашивается в задаче: как кратчайшим путем попасть из вершины 1 в вершину 4?

Решение. Введем обозначение: С (Т) – длина кратчайшего пути из вершины 1 в вершину Т. (Поскольку любой путь, который надо рассмотреть, состоит из дуг, а дуг конечное число, и каждая входит не более одного раза, то претендентов на кратчайший путь конечное число, и минимум из конечного числа элементов всегда достигается.) Рассматриваемая задача состоит в вычислении С (4) и указании пути, на котором этот минимум достигается.

Для исходных данных, представленных на рис. 3 и в табл. 1, в вершину 3 входит только одна стрелка, как раз из вершины 1, и около этой стрелки стоит ее длина, равная 1, поэтому С(3)=1. Кроме того, очевидно, что С(1)=0.

В вершину 4 можно попасть либо из вершины 2, пройдя путь, равный 4, либо из вершины 5, пройдя путь, равный 5. Поэтому справедливо соотношение С(4) = min {С(2) + 4; С(5) + 5}.

Таким образом, проведена реструктуризация задачи – нахождение С(4) сведено к нахождению С(2) и С(5).

В вершину 5 можно попасть либо из вершины 3, пройдя путь, равный 2, либо из вершины 6, пройдя путь, равный 3. Поэтому справедливо соотношение С(5) = min {С(3) + 2; С(6) + 3}.

Мы знаем, что С(3) = 1. Поэтому С(5) = min {3; С(6) + 3}.

Поскольку очевидно, что С(6) – положительное число, то из последнего соотношения вытекает, что С(5) = 3.

В вершину 2 можно попасть либо из вершины 1, пройдя путь, равный 7, либо из вершины 3, пройдя путь, равный 5, либо из вершины 5, пройдя путь, равный 2. Поэтому справедливо соотношение С(2) = min {С(1) + 7; С(3) + 5; С(5) + 2}.

Нам известно, что С(1) = 0, С(3) = 1, С(5) = 3. Поэтому С(2) = min {0 + 7; 1 + 5; 3 + 2} = 5.

Теперь мы можем найти С(4): С(4) = min {С(2) + 4; С(5) + 5} = min {5 + 4; 3 + 5} = 8.

Таким образом, длина кратчайшего пути равна 8. Из последнего соотношения ясно, что в вершину 4 надо идти через вершину 5. Возвращаясь к вычислению С(5), видим, что в вершину 5 надо идти через вершину 3. А в вершину 3 можно попасть только из вершины 1. Итак, кратчайший путь таков: 1 → 3 → 5 → 4.

Задача о кратчайшем пути для конкретных исходных данных (рис. 3и табл. 1) полностью решена.

Пример 2.

Найти кратчайший путь (длина пути) из Академгородка (остановка Цветной проезд) до железнодорожного вокзала.

Остановки:

цветной проезд

дом быта

3,3"- институт ядерной физики

4 Баня №22

5 Речной вокзал

6 – Сеятель

7 – кафе «Огонек»

8 – Мост

9 – Главный Вокзал

Найти кратчайший путь из вершины 1 в вершины 9.

Исходные данные:

Рис. 4

Табл. 2

Начало дуги

Конец дуги

Длина пути (км.)

3,06

10,9

26,78

21,57

4,26

4,35

2,55

Решение: С (Т) – длина кратчайшего пути из вершины 1 в вершину Т. Нам необходимо найти С(9).

С(1)=0, С(2)=3 (в вершину 2 входит только одна стрелка, ее длина равна 3).

В вершину 9 можно попасть из вершины 5, пройдя путь 4,35, из вершины 6, пройдя путь 25 и из вершины 8, пройдя путь 2,55.

Следовательно, С(9) = min {С(5) + 4,35; С(6) + 25; С(8) + 2,55}

Таким образом необходимо найти С(5), С(6), С(8).

В вершину 5 можно попасть из вершины 1, пройдя путь 26,78, либо из вершины 7, пройдя путь 19

С(5) = min {С(1) + 26,78; С(7) + 19}

Необходимо найти С(7). В вершину 7 можно попасть из вершины 3, пройдя путь 7,6 и из 3" пройдя 7,6.

С(7) = min {С(3) + 7,6; С(3") + 7,6}= min {1,7+7,6; 3,06+7,6}=9,3

С(5) = min {26,78; 9,3+ 19}=26,78

В вершину 6 можно попасть из вершины 2, пройдя путь равный 0,5

С(6)=С(2)+0,5=3+0,5=3,5

В вершину 8 можно попасть из вершины 4, пройдя путь 21,57 и из вершины 5, пройдя путь 4,62.

С(8) = min {С(4) + 21,57; С(5) + 4,26}

С(4)=10,9 (из условия).

С(8) = min {10,09+ 21,57; 26,78 + 4,26}=31,4

Следовательно

С(9)= min {26,78+4,35; 3,5+25; 31,4+2,55}= min {31,13; 28,5; 33,95}=28,5

Таким образом, длина кратчайшего пути равна 28,5 км.

Кратчайший путь: 1 → 2 → 6 → 9.

6. Алгоритм нахождения максимального потока

Идея этого алгоритма состоит в поиске сквозных путей с положительными потоками от источника к стоку.

Рассмотрим ребро (i , j ) с (начальной) пропускной способностью
. В процессе выполнения алгоритма части этих пропускных способностей «забираются» потоками, проходящими через данное ребро, в результате каждое ребро будет иметь остаточную пропускную способность. Запись
- остаточная пропускная способность. Сеть в которой все ребра имеют остаточную пропускную способность, назовем остаточной.

Для произвольного узла j , получающего поток из узла i , определим метку
, где - величина потока, протекающего от j узла к узлу i . Чтобы найти максимальный поток, выполняем следующие действия.

Этап 1.

Для всех ребер положим остаточную пропускную способность равной первоначальной пропускной способности, т.е. приравняем
=
. Назначим
и пометим узел 1 меткой. Полагаем i =1.

Этап 2.

- множество узлов j , в которые можно перейти из узла I по ребру с положительной остаточной пропускной способностью >0 для всех j . Если
, выполняем 3 этап, в противном случае переходим к 4.

Этап 3.

В находим узел k , такой, что
. Положим
и пометим узел k меткой
. Если k =n , сквозной путь найден, и переходим к 5 этапу, в противном случае полагаем i =k и возвращаемся к 2 этапу.

Этап 4.

Откат назад. Если i =1, сквозной путь не возможен, и переходим к 6. Если
, находим помеченный узел r , непосредственно предшествующий узлу i , и удаляем его из множества узлов, смежных с узлом r . Полагаем i =r и возвращаемся ко 2 этапу.

Этап 5.

Определение остаточной сети
. Обозначим через множество узлов, через которые проходит p й найденный сквозной путь от узла источника (узел 1) до узла стока (узел n ).тогда максимальный поток, проходящий по этому пути

Остаточные пропускные способности ребер, составляющих сквозной путь, уменьшаются на величину в направлении движения потока и увеличиваются на эту же величину в противоположном направлении.

Т.о. для ребра (i , j ), входящего в сквозной путь, текущие остаточные пропускные способности изменяются:

1)
, если поток идет от узла i к j ,

2)
, если поток идет от узла j к i .

Этап 6.

Решение.

а) при m найденных сквозных путях максимальный поток выражается

б) Имея значения начальных
и конечных
пропускных способностей ребра (i , j ), можно вычислить оптимальный поток через это ребро следующим образом. Положим . Если >0, поток, проходящий через ребро (i , j ) равен . Если >0, тогда поток равен . (случай, когда одновременно >0 и >0, невозможен).

Пример 1. Найти максимальный поток в сети рис. 1

Итерация 1.
=

1)
и помечаем узел 1 меткой
. i =1

3) k =3, так как . Назначаем
и помечаем узел 3 меткой
. i =3 и возвращаемся к 2)

5) k =5 и . Помечаем узел 5 меткой
. Получаем сквозной путь.

6) сквозной путь определяем по меткам, начиная с узла 5 и заканчивая узлом 1: .
:

Итерация 2.

1)
и помечаем узел 1 меткой
. i =1

3) k =2, и помечаем узел 2 меткой
. i =2 и возвращаемся к 2)

2")

3") k =3 и
. Помечаем узел 3 меткой
. i =3 и возвращаемся к 2)

2»)
(
, поэтому узел 5 не включается в

3») k =4,
и помечаем узел 4 меткой
. i =4 и возвращаемся к 2)

2""")
(так как узлы 1 и 3 помечены, они не включаются в )

3""") k =5 и
. Помечаем узел 5 меткой
. Получен сквозной путь. Переходим к 5)

5)
и . Вычисляем остаточные пропускные способности вдоль пути :

Итерация 3.

1)
и помечаем узел 1 меткой
. i =1

3) k =2,
и помечаем узел 2 меткой
. i =2 и возвращаемся к 2)

2")

Рис. 2. Исходные данные к примеру 2

Исходные данные о транспортной системе, например, внутризаводской, приведенные на рис. 2, можно также задать таблицей (табл. 2).

Табл.2. Исходные данные к задаче о максимальном потоке

Пункт отправления

Пункт назначения

Пропускная способность

Очевидно, максимальная пропускная способность транспортной системы не превышает 6, поскольку не более 6 единиц грузов можно направить из начального пункта 0, а именно, 2 единицы в пункт 1, 3 единицы в пункт 2 и 1 единицу в пункт 3. Далее надо добиться, чтобы все 6 вышедших из пункта 0 единиц груза достигли конечного пункта 4. Очевидно, 2 единицы груза, пришедшие в пункт 1, можно непосредственно направить в пункт 4. Пришедшие в пункт 2 грузы придется разделить: 2 единицы сразу направить в пункт 4, а 1 единицу – в промежуточный пункт 3 (из-за ограниченной пропускной способности участка между пунктами 2 и 4). В пункт 3 доставлены такие грузы: 1 единица из пункта 0 и 1 единица из пункта 3. Их направляем в пункт 4. Итак, максимальная пропускная способность рассматриваемой транспортной системы – 6 единиц груза. При этом не используются внутренние участки (ветки) между пунктами 1 и 2, а также между пунктами 1 и 3. Не догружена ветка между пунктами 1 и 4 – по ней направлены 2 единицы груза при пропускной способности в 3 единицы. Решение можно представить в виде таблицы (табл. 3)

Табл.3. Решение задачи о максимальном потоке

Пункт отправления

Пункт назначения

План перевозок

Пропускная способность

Задача линейного программирования при максимизации потока. Дадим формулировку задачи о максимальном потоке в терминах линейного программирования. Пусть Х KM - объем перевозок из пункта К в пункт М. Согласно рис. 2 К = 0,1,2,3, М = 1,2,3,4, причем перевозки возможны лишь в пункт с большим номером. Значит, всего имеется 9 переменных Х KM, а именно, Х 01, Х 02, Х 03, Х 12, Х 13, Х 14, Х 23, Х 24, Х 34. Задача линейного программирования, нацеленная на максимизацию потока, имеет вид:

F → max,

Х 01 + Х 02 + Х 03 = F (0)

– Х 01 + Х 12 + Х 13 + Х 14 = 0 (1)

– Х 02 - Х 12 + Х 23 + Х 24 = 0 (2)

– Х 03 - Х 13 - Х 23 + Х 34 = 0 (3)

– Х 14 - Х 24 - Х 34 = – F (4)

Х 01 ≤ 2

Х 02 ≤ 3

Х 03 ≤ 1

Х 12 ≤ 4

Х 13 ≤ 1

Х 14 ≤ 3

Х 23 ≤ 1

Х 24 ≤ 2

Х 34 ≤ 2

Х КМ ≥ 0, К, М = 0, 1, 2, 3, 4

F ≥ 0.

Здесь F – целевая функция, условие (0) описывает вхождение грузов в транспортную систему. Условия (1) – (3) задают балансовые соотношения для узлов 1- 3 системы. Другими словами, для каждого из внутренних узлов входящий поток грузов равен выходящему потоку, грузы не скапливаются внутри и системы и не «рождаются» в ней. Условие (4) – это условие «выхода» грузов из системы. Вместе с условием (0) оно составляет балансовое соотношение для системы в целом («вход» равен «выходу»). Следующие девять неравенств задают ограничения на пропускную способность отдельных «веток» транспортной системы. Затем указана неотрицательность объемов перевозок и целевой функции. Ясно, что последнее неравенство вытекает из вида целевой функции (соотношения (0) или (4)) и неотрицательности объемов перевозок. Однако последнее неравенство несет некоторую общую информацию – через систему может быть пропущен либо положительный объем грузов, либо нулевой (например, если внутри системы происходит движение по кругу), но не отрицательный (он не имеет экономического смысла, но формальная математическая модель об этом «не знает»).

Заключение

В данной работе мы рассмотрели необходимый минимум понятий, которые позволяют нам продолжить изучение теории графов. Ведь мы затронули лишь вершину огромного айсберга, разобрав пару подходов к решению экономических задач. Теория графов не ограничивается изучением каких-то отдельных явлений или процессов, она находит применение в самых разнообразных областях науки и техники.

Были рассмотрены алгоритмы решения задачи о кратчайшем пути и нахождения максимального потока, разобраны примеры. На их примере была показана значимость теории графов для оптимизации экономических задач.

Так же была составлен и решен пример о кратчайшем пути непосредственно, касающийся нашей повседневной жизни. Задача состояла в отыскании кратчайшего пути (длинны дороги в км.) от Академгородка (остановка Цветной проезд) до Вокзала Главного.

Список литературы

"Соросовский образовательный журнал" №11 1996 (ст. "Плоские графы");

«В помощь учителю математики», Йошкар-Ола, 1972 ст. "Изучение элементов теории графов"

Берж, К.С.Теория графов и ее применение./К. С. Берж.- М.: ИЛ, 2007.-178с.

Бурков, В.Н. Элементы теории графов./В. Н. Бурков. – М.: Просвещение,2010.-352с.

Гарднер, М. С"Математические досуги". / М. С. Гарднер.- М. :"Мир",2004.-347с.

Гарднер, М. С."Математические головоломки и развлечения"./ М С гарднер.-М. :"Мир",2005.-221с.

Зыков, А. А. Теория конечных графов./ А. А. Зыков.- Новосибирск: "Наука",2006.-257с.

Касаткин, В. Н. "Необычные задачи математики"./ В. Н. Касаткин.-Киев: "Радяньска школа", 2007.-232с.

Олехник, С. Н. "Старинные занимательные задачи"./ C .Н. Олехник.- М. "Наука",2008.-431с.

Оре, О. С."Графы и их применения"./О. С. Оре.- М.:"Мир", 2005-269с.

Реньи, А. Н."Трилогия о математике"./ А. Н. Реньи.- М.:"Мир",2010-198с.

Полные графы . Простой граф, в котором любые две вершины смежны, называется полным графом. Полный граф с n вершинами обычно обозначается через. Графы и изображены на рис. 2 и 3. имеет ровно n (n - 1)/2 ребер.

Регулярные графы . Граф, у которого все вершины имеют одну и ту же степень, называется регулярным графом. Если степень каждой вершины равна r, то граф называется регулярным степени r. Регулярные графы степени 3, называемые также кубическими (или трехвалентными) графами (см., например, рис. 2 и 4). Другим известным примером кубического графа является так называемый граф Петерсена, показанный на рис. 5. Отметим, что каждый вполне несвязный граф является регулярным степени 0, а каждый полный граф К n - регулярным степени n - 1.

Платоновы графы . Среди регулярных графов особенно интересны так называемые Платоновы графы - графы образованные вершинами и ребрами пяти правильных многогранников - платоновых тел: тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра. Граф соответствует тетраэдру (рис. 2); графы, соответствующие кубу и октаэдру, показаны на рис. 5 и 6;

тогда G называется двудольным графом. Такие графы иногда обозначают G(V 1, V 2), если хотят выделить два указанных подмножества. Двудольный граф можно определить и по-другому - в терминах раскраски его вершин двумя цветами, скажем красным и синим. При этом граф называется двудольным, если каждую его вершину можно окрасить красным или синим цветом так, чтобы любое ребро имело один конец красный, а другой - синий. Следует подчеркнуть, что в двудольном графе совсем не обязательно каждая вершина из V 1 соединена с каждой вершиной из V 2 ; если же это так и если при этом граф G простой, то он называется полным двудольным графом и обычно обозначается где m, n - число вершин соответственно в V 1 и V 2 . Например, на рис. 8 изображен граф K 4 , 3 . Заметим, что граф имеет ровно m + n вершин и mn ребер. Полный двудольный граф вида называется звездным графом; на рис. 9 изображен звездный граф.

Связные графы . Граф связный, если его нельзя представить в виде объединения двух графов, и несвязный в противном случае. Очевидно, что всякий несвязный граф G можно представить в виде объединения конечного числа связных графов - каждый из таких связных графов называется компонентой (связности) графа G. (На рис. 10 изображен граф с тремя компонентами.) Доказательство некоторых утверждений для произвольных графов часто бывает удобно сначала провести для связных графов, а затем применить их к каждой компоненте в отдельности.

При выводе уравнений скоростей ферментативных реакций используется ряд упрощающих допущений. В частности, как правило, принимают, что ферментативная реакция протекает в условиях идеального перемешивания, термо- и рН-статирования и что в реакции очень быстро устанавливается квазистационарное состояние (см. раздел 2.1), в котором все промежуточные формы фермента находятся в равновесии друг с другом. Приставка «квази» означает, что лишь часть переменных достигает стационарных значений, тогда как остальные продолжают медленно меняться. Использование допущения о достижении частью концентраций (биохимической системы квазистационарных значений известно в литературе как метод Боденштейна - Семенова . Этот метод позволяет резко упростить анализ (био)химических систем. Вместо решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих изменение промежуточных веществ в ходе реакции, в соответствии с этим методом удается решать лишь системы алгебраических уравнений, связывающих друг с другом

квазистационарные концентрации промежуточных веществ. Основная причина, из-за которой в ферментативной реакции устанавливается квазистационарное состояние, заключается в том, что концентрация фермента обычно на несколько порядков меньше, чем концентрации субстратов, взаимодействующих с ферментом .

Как правило, системы алгебраических уравнений, описывающих квазистационарные состояния ферментативных реакций, линейны, так как взаимопревращения между промежуточными формами и комплексами представляются мономолекулярными реакциями. Поэтому для определения квазистационарных концентраций промежуточных веществ используются методы линейной алгебры. В последние годы для этой цели стали широко применяться методы теории графов .

Графом ферментативной реакции называется совокупность узлов, соответствующих квазистационарным концентрациям всех ферментных комплексов и соединяющих их направленных ветвей, характеризуемых некоторой величиной равной константе скорости превращения При этом называемая величиной или передачей ветви, может быть функцией концентрации вещесгва, участвующего в данном превращении. Концентрация этого вещества считается в квазистационарном состоянии постоянной.

Например, ферментативная реакция

протекающая через промежуточное образование двух фермент-субстратных комплексов

может быть представлена в квазистационарном состоянии графом, имеющим три узла и шесть направленных ветвей. На графе (1.11) указаны величины ветвей; две из них зависят от концентраций считающихся в квазистационарном состоянии постоянными.

Деревом графа, направленным в узел, называется незамкнутая совокупность ветвей, направленных от всех узлов графа к узлу. Дерево не имеет замкнутых или параллельных последовательностей. Величиной дерева называется произведение величин всех его ветвей. Например, узлы графа (1.11) имеют следующие деревья (их величины приведены):

(см. скан)

Так как в исходном графе имеется вся информация, необходимая для расчетов, при вычерчивании деревьев обычно не используют обозначения узлов и величин ветвей. Более того, при достижении некоторого навыка величины деревьев выписывают прямо по исходному графу - без вычерчивания деревьев.

Совокупности (на стр. 24) не являются деревьями узла так как а представляет собой замкнутую последовательность ветвей (цикл), имеет две параллельные последовательности ветвей соединяющих узлы и в имеет цикл ветвь направлена от узла в узел не связан с узлом

Базовым определителем узла называется сумма величин всех деревьев, направленных в узел - базу. Определителем графа называется сумма всех базовых определителей графа. Например, определителями узлов и в графе (1.11) являются следующие суммы величин деревьев (1.12):

(см. скан)

а определитель этого графа равен сумме трех базовых определителей:

Начальная квазистадионарная скорость ферментативной реакции выражается через определители графа реакции следующим образом:

где константа скорости образования или связывания продукта узлом базовый определитель узла полная концентрация фермента. При вычислении в случае обратимого образования продукта используется следующее соглашение о знаках: если узел выбрасывает продукт, и если узел связывает продукт.

Например, для графа (1.11) по формуле (1.14) следует записать