Упрощение выражений и вычисления. Видеоурок «Упрощение выражений

Раздел 5 ВЫРАЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ

В разделе узнаете:

ü о выражения и их упрощения;

ü какие свойства равенств;

ü как решать уравнения на основе свойств равенств;

ü какие виды задач решаются с помощью уравнений; что такое перпендикулярные прямые и как их строить;

ü какие прямые называются параллельными и как их строить;

ü что такое координатная плоскость;

ü как определить координаты точки на плоскости;

ü что такое график зависимости между величинами и как его построить;

ü как применить изученный материал на практике

§ 30. ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ УПРОЩЕНИЕ

Вы уже знаете, что такое буквенные выражения и умеете их упрощать с помощью законов сложения и умножения. Например, 2а ∙ (-4 b ) = -8 ab . В полученном выражении число -8 называют коэффициентом выражения.

Имеет ли выражение cd коэффициент? Так. Он равен 1, поскольку cd - 1 ∙ cd .

Вспомним, что преобразование выражения со скобками в выражение без скобок, называют раскрытием, скобок. Например: 5(2х + 4) = 10х+ 20.

Обратная действие в этом примере - это вынесение общего множителя за скобки.

Слагаемые, содержащие одинаковые буквенные множители, называют подобными слагаемыми. С помощью вынесения общего множителя за скобки возводят подобные слагаемые:

5х + y + 4 - 2х + 6 y - 9 =

= (5х - 2х) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B х+ 7у - 5.

Правила раскрытия скобок

1. Если перед скобками стоит знак«+», то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках сохраняют;

2. Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

Задача 1 . Упростите выражение:

1) 4х+(-7х + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Решения. 1. Перед скобками стоит знак «+», поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняются:

4х +(-7х + 5) = 4х - 7х + 5=-3х + 5.

2. Перед скобками стоит знак«-», поэтому во время раскрытия скобок: знаки всех слагаемых меняются на противоположные:

15 - (- 8 + 7у) = 15у + 8 - 7у = 8у +8.

Для раскрытия скобок используют распределительную свойство умножения: а( b + c ) = ab + ас. Если а > 0, то знаки слагаемых b и с не изменяют. Если а < 0, то знаки слагаемых b и с меняют на противоположные.

Задача 2. Упростите выражение:

1) 2(6 y -8) + 7 y ;

2)-5(2-5х) + 12.

Решения. 1. Множитель 2 перед скобками е положительным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняем: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Множитель -5 перед скобками е отрицательным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых меняем на противоположные:

5(2 - 5х) + 12 = -10 + 25х +12 = 2 + 25х.

Узнайте больше

1. Слово «сумма» происходит от латинского summa , что означает «итог», «общее количество».

2. Слово «плюс» происходит от латинского plus , что означает «больше», а слово «минус» - от латинского minus , что значит «меньше». Знаки «+» и«-» используют для обозначения действий сложения и вычитания. Эти знаки ввел чешский ученый Й. Видман в 1489 г. в книге «Быстрый и приятный счет для всех торговцев» (рис. 138).

Рис. 138

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Какие слагаемые называют подобными? Как возводят подобные слагаемые?

2. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак «+»?

3. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак «-»?

4. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит положительный множитель?

5. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит отрицательный множитель?

1374". Назовите коэффициент выражения:

1)12 а; 3)-5,6 ху;

2)4 6; 4)-с.

1375". Назовите слагаемые, которые отличаются только коэффициентом:

1) 10а + 76-26 + а; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4)5х + 4у-х + у.

Как называются такие слагаемые?

1376". Есть ли подобными слагаемые в выражении:

1)11а+10а; 3)6 n + 15 n ; 5) 25р - 10р + 15р;

2) 14с-12; 4)12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?

1377". Надо ли менять знаки слагаемых в скобках, раскрывая скобки в выражении:

1)4 + (а+ 3 b ); 2)-c +(5-d ); 3) 16-(5 m -8 n )?

1378°. Упростите выражение и подчеркните коэффициент:

1379°. Упростите выражение и подчеркните коэффициент:

1380°. Сведите подобные слагаемые:

1) 4а - По + 6а - 2а; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d ;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5а - 12 b - 7а + 5 b ;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m .

1381°. Сведите подобные слагаемые:

1) 6а - 5а + 8а -7а; 3) 5с + 4-2с-3с;

2)9 b +12-8-46; 4)-7 n + 8 m - 13 n - 3 m .

1382°. Вынесите общий множитель за скобки:

1)1,2 а +1,2 b ; 3) -3 n - 1,8 m ; 5)-5 p + 2,5 k -0,5 t ;

2) 0,5 с + 5 d ; 4) 1,2 n - 1,8 m ; 6)-8р - 10 k - 6 t .

1383°. Вынесите общий множитель за скобки:

1) 6а-12 b ; 3)-1,8 n -3,6 m ;

2) -0,2 с + 1 4 d ; А) 3р - 0,9 k + 2,7 t .

1384°. Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые;

1) 5 + (4а -4); 4) -(5 c - d ) + (4 d + 5с);

2) 17х-(4х-5); 5) (n - m )- (-2 m - 3 n );

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5х + у) - (-2у + 4х) + (х - 3у).

1385°. Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые:

1) 10а + (4 - 4а); 3) (с - 5 d ) - (- d + 5с);

2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m ) + (-4 n + 8 m )-(2 m -5 n ).

1386°. Раскройте скобки и найдите значение выражения:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Раскройте скобки и найдите значение выражения:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Раскройте скобки:

1)0,5 ∙ (а + 4); 4) (n - m ) ∙ (-2,4 p );

2)-с ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 р + к - 0,2 t );

3) 1,6 ∙ (2 n + m ); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t ) ∙ (-2а).

1389°. Раскройте скобки:

1) 2,2 ∙ (х-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m ); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t ).

1390. Упростите выражение:

1391. Упростите выражение:

1392. Сведите подобные слагаемые:

1393. Сведите подобные слагаемые:

1394. Упростите выражение:

1)2,8 - (0,5 а + 4) - 2,5 ∙ (2а - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n ) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m ) ∙ 2.

1395. Упростите выражение:

1396. Найдите значение выражения;

1) 4-(0,2 а-3)-(5,8 а-16), если а = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), если = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Найдите значение выражения:

1) -4∙ (я-2) + 2∙(6x - 1), если х =-0,25;

1398*. Найдите ошибку в решении:

1)5- (а-2,4)-7 ∙ (-а+ 1,2) = 5а - 12-7а + 8,4 = -2а-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 а - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 а) = -9,2 а + 46 + 4,26 - 14,7 а = -5,5 а + 8,26.

1399*. Раскройте скобки и упростите выражение:

1) 2аb - 3(6(4а - 1) - 6(6 - 10а)) + 76;

1400*. Расставьте скобки так, чтобы получить правильное равенство:

1)а-6-а + 6 = 2а; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. Докажите, что для любых чисел а и b , если а > b , то выполняется равенство:

1) (а + b ) + (а- b ) = 2а; 2) (а + b ) - (a - b ) = 2 b .

Будет ли правильным данное равенство, если: а) а < b ; б) а = 6?

1402*. Докажите, что для любого натурального числа а среднее арифметическое предыдущего и следующего за ним чисел равна числу а.

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

1403. Для приготовления фруктового десерта для трех человек нужно: 2 яблока, 1 апельсин, 2 банана и 1 киви. Как составить буквенный выражение для определения количества фруктов, необходимых для приготовления десерта я для гостей? Помогите Марин эти подсчитать, сколько фруктов нужно купить, если к ней в гости придут: 1) 5 друзей; 2) 8 друзей.

1404. Составьте буквенный выражение для определения времени, необходимого для выполнения домашнего задания по математике, если:

1) на решения задач потрачено а мин; 2) упрощение выражений в 2 раза больше, чем на решение задач. Сколько времени выполнял домашнее задание Василько, если на решение задач он потратил 15 мин?

1405. Обед в школьной ‘столовой состоит из салата, борща, голубцов и компота. Стоимость салата составляет 20 %, борща - 30 %, голубцов - 45 %, компота - 5 % общей стоимости всего обеда. Составьте выражение для нахождения стоимости обеда в школьной столовой. Сколько стоит обед, если цена салата - 2 грн?

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

1406. Решите уравнение:

1407. На мороженое Таня потратила всех имеющихся денег, а на конфеты - остальных. Сколько денег осталось у Тани,

если конфеты стоят 12 грн?

Замечание 1

Логическую функцию можно записать с помощью логического выражения, а затем можно перейти к логической схеме. Упрощать логические выражения надо для того, чтобы получить как можно более простую (а значит, и более дешёвую) логическую схему. По сути, логическая функция, логическое выражение и логическая схема −это три разных языка, рассказывающие об одной сущности.

Для упрощения логических выражений используют законы алгебры логики .

Какие-то преобразования похожи на преобразования формул в классической алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), а другие преобразования основаны на свойствах, которыми операции классической алгебры не обладают (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, правил де Моргана и др.).

Законы алгебры логики формулируются для базовых логических операций - “НЕ” – инверсия (отрицание), “И” – конъюнкция (логическое умножение) и “ИЛИ” – дизъюнкция (логическое сложение).

Закон двойного отрицания означает, что операция “НЕ” обратима: если применить ее дважды, то в итоге логическое значение не изменится.

Закон исключенного третьего гласит, что любое логическое выражение либо истинно, либо ложно (“третьего не дано”). Поэтому если $A=1$, то $\bar{A}=0$ (и наоборот), а, значит, конъюнкция этих величин всегда равно нулю, а дизъюнкция равна единице.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Упростим эту формулу:

Рисунок 3.

Отсюда следует, что $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Ответ: в шахматы играют ученики $B$, $C$ и $D$, а ученик $A$ не играет.

При упрощении логических выражений можно выполнять такую последовательность действий :

Заменить все “небазовые” операции (эквивалентность, импликацию, исключающее ИЛИ и др.) на их выражения через базовые операции инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию.
Раскрыть инверсии сложных выражений по правилам де Моргана таким образом, чтобы операции отрицания остались только у отдельных переменных.
Затем упростить выражение, используя раскрытие скобок, вынесение общих множителей за скобки и другие законы алгебры логики.

Пример 2

Здесь последовательно использованы правило де Моргана, распределительный закон, закон исключенного третьего, переместительный закон, закон повторения, вновь переместительный закон и закон поглощения.

I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.

Примеры алгебраических выражений:

2m -n; 3· (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной.

II. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.

Примеры. Найти значение выражения:

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.

Решение .

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).

Примеры. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?

Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!

В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.

В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.

В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.

В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
IV. Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.

Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.

Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Примеры.

a) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Решение . Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:

(a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

б) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:

4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.

Решение. Применим законы (свойства) сложения:

a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.

в) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.

Решение. Применим законы (свойства) умножения:

a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).

7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х = -10х.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3а · (-3) · 2с = -18ас.

Если алгебраическое выражение дано в виде сократимой дроби, то пользуясь правилом сокращения дроби его можно упростить, т.е. заменить тождественно равным ему более простым выражением.

Примеры. Упростите, используя сокращение дробей.

Решение. Сократить дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (выражение), отличное от нуля. Дробь 10) сократим на 3b ; дробь 11) сократим на а и дробь 12) сократим на 7n . Получаем:

Алгебраические выражения применяют для составления формул.

Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными. Пример: известная вам формула пути s=v·t (s — пройденный путь, v — скорость, t — время). Вспомните, какие еще формулы вы знаете.

Страница 1 из 1 1

Известно, что в математике никак не обойтись без упрощения выражений. Это необходимо для правильного и быстрого решения самых разнообразных задач, а также различного рода уравнений. Обсуждаемое упрощение подразумевает под собой уменьшение количества действий, необходимых для достижения поставленной цели. В результате вычисления заметным образом облегчаются, а время существенно экономится. Но, как упростить выражение? Для этого используются установленные математические соотношения, часто именуемые формулами, либо же законами, которые позволяют делать выражения гораздо короче, упрощая тем самым расчеты.

Не секрет, что состоянием на сегодняшний день не представляет труда упростить выражение онлайн. Приведем ссылки на некоторые наиболее популярные из них:

Однако обойтись так можно далеко не с каждым выражением. Поэтому рассмотрим подробнее более традиционные методы.

Вынесение общего делителя

В том случае, когда в одном выражении присутствуют одночлены, обладающие одинаковыми множителями, можно находить при них сумму коэффициентов, а потом умножать на общий для них множитель. Эта операция также носит название "вынесения общего делителя". Последовательно используя данный метод, порою можно достаточно существенно упростить выражение. Алгебра ведь вообще, в целом, построена на группировке и перегруппировке множителей и делителей.

Простейшие формулы сокращенного умножения

Одним из следствий ранее описанного метода являются формулы сокращенного умножения. Как упрощать выражения с их помощью гораздо понятнее тем, кто даже не вызубрил эти формулы наизусть, а знает, которым образом они выводятся, то есть, откуда берутся, а соответственно их математическую природу. В принципе, предыдущее высказывание сохраняет свою силу во всей современной математике, начиная от первого класса и заканчивая высшими курсами механико-математических факультетов. Разность квадратов, квадрат разности и суммы, сумма и разность кубов – все эти формулы повсеместно используются в элементарной, а также высшей математике в тех случаях, когда для решения поставленных задач необходимо упростить выражение. Примеры таких преобразований можно без труда найти в любом школьном учебнике по алгебре, либо же, что еще проще, на просторах всемирной сети.

Степени корни

Элементарная математика, если посмотреть на нее в целом, вооружена не так уж и многими способами, при помощи которых можно упростить выражение. Степени и действия с ними, как правило, удаются большинству учащихся сравнительно легко. Только вот у многих современных школьников и студентов возникают немалые трудности, когда необходимо упростить выражение с корнями. И это совершенно безосновательно. Потому как математическая природа корней ничем не отличается от природы тех же степеней, с которыми, как правило, трудностей гораздо меньше. Известно, что квадратный корень от числа, переменной или выражения представляет собой ничто иное как то же число, переменную или выражение в степени "одна вторая", кубический корень – то же самое в степени "одна третья" и так далее по соответствию.

Упрощения выражений с дробями

Рассмотрим также часто встречающийся пример того, как упростить выражение с дробями. В тех случаях, когда выражения представляют собой натуральные дроби, следует выделять из знаменателя и числителя общий множитель, а затем сокращать дробь на него. Когда же одночлены обладают одинаковыми множителями, возведенными в степени, необходимо следить при их суммировании за равенством степеней.

Упрощение простейших тригонометрических выражений

Некоторым особняком стоит разговор о том, как упростить тригонометрическое выражение. Широчайший раздел тригонометрии является, пожалуй, первым этапом, на котором изучающим математику предстоит столкнуться с несколько абстрактными понятиями, задачами и методами их решения. Здесь существуют свои соответствующие формулы, первой из которых является основное тригонометрическое тождество. Имея достаточный математический склад ума, можно проследить планомерное выведение из этого тождества всех основных тригонометрических тождеств и формул, среди которых формулы разности и суммы аргументов, двойных, тройных аргументов, формулы приведения и многие другие. Разумеется, что забывать здесь не стоит и самые первые методы, наподобие вынесения общего множителя, которые в полной мере используются наряду с новыми способами и формулами.

Для подведения итогов, предоставим читателю несколько советов общего характера:

Многочлены следует раскладывать на множители, то есть представлять их в форме произведения некоторого количества сомножителей – одночленов и многочленов. Если существует такая возможность, необходимо выносить за скобки общий множитель.
Лучше все-таки выучить на память все без исключения формулы сокращенного умножения. Их не так уж и много, но именно они при этом являются основой при упрощении математических выражений. Не стоит также забывать о способе выделения полных квадратов в трехчленах, являющемся обратным действием к одной из формул сокращенного умножения.
Все существующие в выражении дроби следует сокращать как можно чаще. При этом не забывайте, что сокращаются только множители. В том случае, когда знаменатель и числитель алгебраических дробей умножается на одно и то же самое число, которое отличается от нуля, значения дробей не меняются.
В целом все выражения можно преобразовывать по действиям, либо ж цепочкой. Первый способ более предпочтителен, т.к. результаты промежуточных действий проверяются легче.
Достаточно часто в математических выражениях приходиться извлекать корни. Следует помнить, что корни четных степеней могут извлекаться только лишь из неотрицательного числа или выражения, а корни нечетных степеней совершенно из любых выражений или чисел.

Надеемся, наша статья поможет Вам, в дальнейнем, разбираться в математических формулах и научит применять их на практике.

С помощью любого языка можно выразить одну и ту же информацию разными словами и оборотами. Не является исключением и математический язык. Но одно и то же выражение можно эквивалентным образом записать по-разному. И в некоторых ситуациях одна из записей является более простой. Об упрощении выражений мы и поговорим на этом уроке.

Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык - математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.

Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.

Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» - можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».

«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася - друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить- значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.

В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.

Например, рассмотрим числовое выражение . Ему эквивалентное будет .

Также будет эквивалентно первым двум: .

Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.

Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.

Рассмотрим пример буквенного выражения . Очевидно, что более простое будет .

При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.

Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.

Пример : от числа нужно отнять число .

Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью: , то вычисления были бы мгновенными: .

То есть упрощенное выражение не всегда нам выгодно для дальнейших вычислений.

Тем не менее очень часто мы сталкиваемся с заданием, которое так и звучит «упростить выражение».

Упростить выражение: .

Решение

1) Выполним действия в первых и во вторых скобках: .

2) Вычислим произведения: .

Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.

Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).

Для определения эквивалентного выражения необходимо:

1) выполнить все возможные действия,

2) пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.

Свойства сложения и вычитания:

1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

3. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.

Свойства умножения и деления

1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.

2. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

3. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.

Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.

Вычислите:

Решение

1) Представим как

2) Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение:

3) можно представить как и выполнить умножение:

4) Заменим первый множитель эквивалентной суммой:

Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: .

Выполните действия:

1) 2)

Решение

1) Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону - вынести общий множитель за скобки.

2) Вынесем за скобки общий множитель

Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни - , прихожей - . Есть три вида линолеумов: по , и рублей за . Сколько будет стоить каждый из трёх видов линолеума? (Рис. 1)