Теорема 1 . Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180° .

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (рис. 412). Требуется доказать, что ∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°.

∠А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 / 2 \(\breve{BCD}\).

∠С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 / 2 \(\breve{BAD}\).

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т.е. имеют 360°.

Отсюда ∠А + ∠С = 360°: 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и ∠В + ∠D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов Аи С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180°.

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно

∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°(рис. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D’ (рис. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD’ будем иметь:

∠В + ∠D’ = 2d .

Продолжив сторону AD’ до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

∠B + ∠Е = 2d .

Из этих двух равенств следует:

∠D’ = 2d - ∠B;

∠E = 2d - ∠B;

но этого быть не может, так как ∠D’, как внешний относительно треугольника CD’E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (рис. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Следствия.

1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (рис. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA - касательные к этой окружности.

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки, имеем:

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

Другие материалы

Определение 2

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.

Рисунок 1. Вписанная окружность

Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)

Теорема 1

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK.\ $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M\ и\ L$. Так как $OM,OK\ и\ OL$ - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Определение 3

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).

Определение 4

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

Рисунок 3. Описанная окружность

Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)

Теорема 2

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.

Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна ${180}^0$.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна ${180}^0$, то около него можно описать окружность.

Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности

Пример 1

В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:

Рисунок 5.

Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора ${BM}^2={BC}^2-{MC}^2,\ BM=\sqrt{{BC}^2-\frac{{AC}^2}{4}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$. $OM=OH=r$ -- искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4\ см$. Следовательно, $BH=5-4=1\ см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:

\[{(3-r)}^2=r^2+1\] \ \ \

Ответ: $\frac{4}{3}$.

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ,

§ 106. СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ.

Теорема 1. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180° .

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (черт. 412). Требуется доказать, что / А + / С = 180° и / В + / D = 180°.

/ А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 / 2 BCD.
/ С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 / 2 BAD.

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют 360°.
Отсюда / А + / С = 360°: 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и / В + / D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов А и С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180° .

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно
/ А + / С = 180° и / В + / D = 180° (черт. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D" (черт. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD" будем иметь:

/ В + / D" = 2d .

Продолжив сторону AD" до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

/ B + / Е = 2d .

Из этих двух равенств следует:

/ D" = 2d - / B;
/ E = 2d - / B;

/ D" = / E,

но этого быть не может, так как / D", как внешний относительно треугольника CD"E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (черт. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Следствия. 1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (черт. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA - касательные к этой окружности.

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки (§ 75), имеем:

АР = АК;
ВР = ВМ;
DN = DK;
CN = СМ.

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

Упражнения.

1. Во вписанном четырёхугольнике два противоположных угла относятся как 3: 5,
а другие два относятся как 4: 5. Определить величину этих углов.

2. В описанном четырёхугольнике сумма двух противоположных сторон равна 45 см. Остальные две стороны относятся как 0,2: 0,3. Найти длину этих сторон.

Окружность называется вписанной в четырехугольник, если все стороны четырехугольника являются касательными к окружности.

Центром этой окружности является точка пересечения биссектрис углов четырехугольника. В этом случае радиусы, проведенные в точки касания являются перпендикулярами к сторонам четырехугольника

Окружность называется описанной около четырехугольника, если она проходит через все его вершины.

Центром этой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырехугольника

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность и не около всякого четырехугольника можно описать окружность

СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

ТЕОРЕМА В выпуклом вписанном четырехугольнике суммы противолежащих углов равны между собой и равны 180°.

ТЕОРЕМА Обратно: если в четырехугольнике суммы противолежащих углов равны, то около четырехугольника можно описать окружность. Ее центр - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

ТЕОРЕМА Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон его равны.

ТЕОРЕМА Обратно: если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. Ее центр - точка пересечения биссектрис.

Следствия: из всех параллелограммов только около прямоугольника (в частности около квадрата) можно описать окружность.

Из всех параллелограммов только в ромб (в частности в квадрат) можно вписать окружность (центр - точка пересечения диагоналей, радиус - равен половине высоты).

Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная. Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Если в трапецию вписана окружность, то радиус ее равен половине высоты.

Задания с решениями

1. Найти диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.

Центром окружности, описанной около прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Следовательно, диагональ АС равна 2R . То есть АС =10
Ответ: 10.

2. Около трапеции, основания которой 6 см и 8 см, а высота 7см, описан круг Найти площадь этого круга.

Пусть DC =6, AB =8. Так как около трапеции описана окружность, то она равнобедренная.

Проведем две высоты DM и CN .Так как трапеция равнобедренная, то AM=NB =

Тогда AN =6+1=7

Из треугольника ANС по теореме Пифагора найдем АС .

Из треугольника CВN по теореме Пифагора найдем ВС .

Окружность, описанная около трапеции, является и окружностью, описанной около треугольника АСВ.

Найдем площадь этого треугольника двумя способами по формулам

Гдe h - высота и - основание треугольника

Где R- радиус описанной окружности.

Из этих выражений получаем уравнение . Откуда

Площадь круга будет равна

3. Углы , и четырехугольника относятся как . Найдите угол , если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах

Из условия следует, что .Так как около четырехугольника можно описать окружность, то

Получаем уравнение . Тогда . Сумма всех углов четырехугольника равна 360º. Тогда

. откуда получаем, что

4.Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Тогда средняя линия равна

5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

В трапеции радиус вписанной окружности равен половине высоты. Проведем высоту СК.

Тогда .

Так как в трапецию вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Тогда

Тогда периметр

Получаем уравнение

6. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Пусть О центр описанной около трапеции окружности. Тогда .

Проведем высоту КН через точку О

Тогда , где КО и ОН высоты и одновременно медианы равнобедренных треугольников DOC и АОВ. Тогда

По теореме Пифагора.

Вам понадобится

• - четырехугольник с заданными параметрами;
• - циркуль;
• - линейка;
• - транспортир;
• - калькулятор;
• - лист бумаги.

Инструкция

Измерьте все углы данного вам четырехугольника. Найдите суммы противолежащих углов. Вписать четырехугольник в окружность можно только в том случае, если суммы противоположных углов равны 180°. Таким образом, построить описанную окружность всегда можно вокруг квадрата, и трапеции.

Начертите окружность с радиусом R. Определите ее центр. Как , он обозначается О. Найдите на самой окружности произвольную точку и назовите ее любой буквой. Допустим, это будет точка А. Ваши дальнейшие действия от того, именно четырехугольник вам дан. У квадрата диагонали перпендикулярны друг другу и являются радиусами описанной окружности. Поэтому постройте два диаметра, угол между которыми составляет 90°. Точки их пересечения с окружность ю последовательно соедините прямыми линиями.

Чтобы вписать прямоугольник, вам нужно знать угол между диагоналями или же размеры сторон. Во втором случае угол можно будет , использовав теоремы Пифагора, синусов или косинусов. Проведите один из диаметров. Обозначьте его, например, точками А и С. От точки О, которая одновременно является и серединой диагонали, отложите угол между диагоналями. Через центр и новую точку проведите второй диаметр. Точно так же, как и в случае с квадратом, соедините последовательно точки пересечения диаметров с окружность ю.

Для построения равнобедренной трапеции найдите на окружности произвольную точку. Постройте от нее хорду, равную верхнему или нижнему основанию. Найдите ее середину и проведите через нее и центр окружности диаметр, перпендикулярный . Отложите на диаметре высоты трапеции. Через эту точку проведите перпендикуляр в обе стороны до пересечения с окружность ю. Соедините попарно концы .

Полезный совет

При построении вписанных многоугольников в программе AutoCAD сначала найдите в главном меню выпадающее окно "Рисование", а в нем - функцию "Многоугольник". Количество сторон квадрата выставляется сразу. После того, как он появится на экране, перейдите к функции "Вписанный/описанный многоугольник". Нужное построение тут же появится на экране.

Для построения в этой программе трапеции или прямоугольника найдите координаты точки пересечения диагоналей. Она же будет являться и центром описанной окружности.

Трапецией называют плоскую четырехугольную фигуру, две стороны которой (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) обязательно должны быть не параллельны. Если все четыре вершины трапеции лежат на одной окружности, этот четырехугольник называется вписанным в нее. Построить такую фигуру несложно.

Вам понадобится

• Бумага, карандаш, угольник, циркуль.

Инструкция

Если никаких дополнительных требований к вписанной трапеции нет, вы можете стороны любой длины. Поэтому начните построение с произвольной , например, в нижней левой четверти . Обозначьте ее буквой А - здесь будет одна из вершин вписанной в окружность трапеции.

Проведите горизонтальную линию, начинающуюся в А и заканчивающуюся в месте пересечения с окружность ю в нижней правой . Это место пересечение обозначьте буквой В. Построенный отрезок АВ - это нижнее основание трапеции.

Любым удобным способом начертите параллельный нижнему основанию отрезок, выше центра . Например, если в вашем распоряжении есть , это можно сделать так: приложите его к основанию АВ и начертите вспомогательную перпендикулярную линию. Затем приложите инструмент к вспомогательной линии выше центра круга и начертите перпендикуляры в обе стороны от нее, заканчивая каждый на пересечении с окружность ю. Эти два перпендикуляра должны лежать на одной и тогда они образуют верхнее основание трапеции. Левую крайнюю точку этого основания обозначьте буквой D, а правую - буквой С.

Если угольника нет, но есть циркуль, то построение верхнего основания будет еще проще. Поставьте на левой верхней четверти окружности произвольную точку. Единственное условие - она не должна располагаться строго вертикально над точкой А, иначе построенная фигура будет квадратом. Обозначьте точку буквой D и отложите на циркуле расстояние между точками А и D. Затем установите циркуль в точку В и в правой верхней четверти окружности отметьте точку, соответствующую отложенному расстоянию. Обозначьте ее буквой С и начертите верхнее основание, соединив точки D и С.

Начертите боковые стороны вписанной трапеции, проведя отрезки АD и ВС.

Видео по теме

Согласно определению, описанная окружность должна проходить через все вершины углов заданного многоугольника. При этом совершенно неважно, что это за многоугольник - треугольник, квадрат, прямоугольник, трапеция или что-то иное. Также не играет роли, правильный или неправильный это многоугольник. Необходимо лишь учитывать, что существуют многоугольники, вокруг которых окружность описать нельзя. Всегда можно описать окружность вокруг треугольника. Что касается четырехугольников, то окружность можно описать около квадрата или прямоугольника или равнобедренной трапеции.

Вам понадобится

• Заданный многоугольника
• Линейка
• Угольник
• Карандаш
• Циркуль
• Транспортир
• Таблицы синусов и косинусов
• Математические понятия и формулы
• Теорема Пифагора
• Теорема синусов
• Теорема косинусов
• Признаки подобия треугольников

Инструкция

Постройте многоугольник с заданными параметрами и , можно ли описать вокруг него окружность . Если вам дан четырехугольник, посчитайте суммы его противоположных углов. Каждая из них должна равняться 180°.

Для того, чтобы описать окружность , нужно вычислить ее радиус. Вспомните, где лежит центр окружности в разных многоугольниках. В треугольнике он в точке пересечения всех высот данного треугольника. В квадрате и прямоугольники - в точке пересечения диагоналей, для трапеции- в точке пересечения оси симметрии к линии, соединяющей середины боковых сторон, а для любого другого выпуклого многоугольника - в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Диаметр окружности, описанной вокруг квадрата и прямоугольника, вычислите по теореме Пифагора. Он будет равняться квадратному корню из суммы квадратов сторон прямоугольника. Для квадрата, у которого все стороны равны, диагональ равна квадратному корню из удвоенного квадрата стороны. Разделив диаметр на 2, получаете радиус.

Вычислите радиус описанной окружности для треугольника. Поскольку параметры треугольника заданы в условиях, вычислите радиус по формуле R = a/(2·sinA), где а - одна из сторон треугольника, ? - противолежащий ей угол. Вместо этой стороны можно взять сторону и противолежащий ей угол.

Вычислите радиус окружности, описанной вокруг трапеции. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) В этой формуле a и b - известные по условиям основания трапеции, h - высота, d - диагональ, p = 1/2*(a+d+c) . Вычислите недостающие значения. Высоту можно вычислить по теореме синусов или косинусов, длины сторон трапеции и углы заданы в условиях . Зная высоту и учитывая подобия треугольников, вычислите диагональ. После этого останется вычислить радиус по указанной выше формуле.

Видео по теме

Полезный совет

Чтобы вычислить радиус окружности, описанной вокруг другого многоугольника, выполните ряд дополнительных построений. Получите более простые фигуры, параметры которых вам известны.

Задача вписать в окружность многоугольник нередко может поставить взрослого человека в тупик. Ребенку-школьнику необходимо объяснить ее решение, поэтому родители отправляются в серфинг по всемирной паутине в поисках решения.

Инструкция

Начертите окружность . Поставьте иголку циркуля на сторону окружности, при этом радиус не изменяйте. Проводите две дуги, перекрещивающие окружность , поворачивая циркуль вправо и влево.

Переместите иголку циркуля по окружности в точку пересечения с ней дуги. Снова поворачиваете циркуль и прочерчиваете еще две дуги, пересекая контур окружности. Данную процедуру повторяете до пересечения с первой точкой.

Нарисуйте окружность . Проведите диаметр через ее центр, линии должна быть горизонтальной. Постройте перпендикуляр к через центр окружности, получите вертикальную линию (СВ, например).

Разделите радиус пополам. Отметьте эту точку на линии диаметра (обозначьте ее А). Постройте окружность с центром в точке А и радиусом АС. При пересечении с горизонтальной линией вы получите еще одну точку (D, например). В результате отрезок СD будет являться стороной пятиугольника, который требуется вписать.

Откладывайте полуокружности, радиус которых равен CD, по контуру окружности. Таким образом, исходная окружность будет поделена на пять равных частей. Соедините точки линейкой. Задача по вписыванию пятиугольника в окружность также выполнена.

Далее описывается по вписыванию в окружность квадрата. Проведите линию диаметра . Возьмите транспортир. Поставьте его в точку пересечения диаметра со стороной окружности. Растворите циркуль на длину радиуса.

Проведите две дуги до пересечения с окружность ю, поворачивая циркуль в одну и другую сторону. Переставьте ножку циркуля в противоположную точку и проведите еще две дуги тем же раствором. Соедините полученные точки.

Возведите диаметр в квадрат, разделите на два и извлеките корень. В итоге получите сторону квадрата, который легко впишется в окружность . Растворите циркуль на эту длину. Ставьте его иголку на окружность и рисуйте дугу, пересекающую одну сторону окружности. Перемещайте ножку циркуля в полученную точку. Снова проведите дугу.

Повторите процедуру и нарисуйте еще две точки. Соедините все четыре точки. Это более простой способ вписать квадрат в окружность .

Рассмотрите задачу по вписыванию в окружность . Нарисуйте окружность . Возьмите точку произвольно на окружности - она будет вершиной треугольника. От этой точки, сохраняя циркуля, проведите дугу до пересечения с окружность ю. Это будет вторая вершина. Из нее аналогичным способом постройте третью вершину. Соедините точки линейкой. Решение найдено.

Видео по теме

Вписать квадрат в окружность легко можно с помощью чертежных инструментов. Но эта задача решается даже при полном их отсутствии. Необходимо только помнить некоторые свойства квадрата.

Вам понадобится

• -циркуль
• -карандаш
• -угольник
• -ножницы

Инструкция

Нарисуйте к задаче. Очевидно, что диаметр окружности является диагональю вписанного в эту . Вспомните известное свойство квадрата: его диагонали взаимно перпендикулярны. Используйте эту взаимосвязь диагоналей при построении заданного квадрата.

Начертите в окружности диаметр. Из центра с помощью угольника проведите второй диаметр под углом 90 градусов к первому. Соедините точки пересечения перпендикулярных диаметров с окружностью и получите вписанный в эту окружность квадрат.

Если из чертежных инструментов у вас имеется только циркуль, начертите окружность. Отметьте на окружности произвольную точку и проведите через нее диаметр с помощью с ровным краем. Теперь нужно с помощью циркуля разделить половину окружности между концами диаметра на две равные части. Из точек пересечения диаметра с окружностью сделайте две засечки, сохраняя неизменным раствор циркуля. Через точку пересечения этих засечек и центр окружности проведите второй диаметр. Очевидно, что он будет перпендикулярен первому.

Если чертежных инструментов у вас нет, можно вырезать круг, ограниченный заданной окружностью. Сложите вырезанную фигуру точно пополам. Повторите операцию. Нужно совместить концы линии сгиба, тогда криволинейные участки совпадут без дополнительных усилий. Зафиксируйте линии сложения. Теперь разверните круг. Линии сгибов отчетливо видны. Загните сегменты круга между точками пересечения линий сгибов с окружностью и отрежьте эти сегменты. Линии отреза являются сторонами искомого квадрата. Поместите вырезанный квадрат в заданную окружность, совместив ее центр с точкой пересечения линий сгиба круга. Вершины квадрата окажутся лежащими на окружности, что и требовалось выполнить.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она полностью размещается внутри этого многоугольника. Каждая сторона описанной фигуры имеет с окружностью общую точку.