Инструкция
Пример задачи 3: брусок массой 1 кг соскользнул с вершины наклонной плоскости за 5 секунд, путь 10 метров. Определите силу трения, если угол наклона плоскости 45о. Рассмотрите также случай, когда на брусок воздействовала дополнительная сила 2 Н, приложенная вдоль угла наклона по направлению движения.
Найдите ускорение тела аналогично примерам 1 и 2: а = 2*10/5^2 = 0,8 м/с2. Вычислите силу трения в первом случае: Fтр = 1*9,8*sin(45о)-1*0,8 = 7,53 Н. Определите силу трения во втором случае: Fтр = 1*9,8*sin(45о)+2-1*0,8= 9,53 Н.
Случай 6. Тело двигается по наклонной поверхности равномерно. Значит, по второму закону Ньютона система находится в равновесии. Если скольжение самопроизвольное, движение тела подчиняется уравнению: mg*sinα = Fтр.
Если же к телу приложена дополнительная сила (F), препятствующая равноускоренному перемещению, выражение для движения имеет вид: mg*sinα–Fтр-F = 0. Отсюда найдите силу трения: Fтр = mg*sinα-F.
Источники:
- скольжение формула
По механическому закону Кулона сила скольжения равна F = kN, где k - коэффициент трения, а N - сила реакции опоры. Так как сила реакции опоры направлена строго вертикально, то N = Fтяж = mg, где m - масса тела, g - ускорение свободного падения. Это условие следует из неподвижности тела относительно вертикального направления.
Таким образом, коэффициент трения можно найти по формуле k = Fтр/N = Fтр/mg. Для этого необходимо знать силу . Если тело равноускоренно, то силу трения можно найти, зная ускорение a. Пусть на тело действует движущая сила F и направленная противоположно ей Fтр. Тогда по второму закону Ньютона (F-Fтр)/m = a. Выражая отсюда Fтр и подставляя в формулу для коэффициента трения, получим: k = (F-ma)/N.
Из этих формул видно, что коэффициент трения является безразмерной величиной.
Рассмотрим более общий случай, когда с наклонной плоскости, например, с закрепленного блока. Такие задачи очень часто встречаются в школьном курсе в разделе «Механика».
Пусть угол наклона плоскости равен φ. Сила реакции опоры N будет направлена перпендикулярно наклонной плоскости. На тело также будут действовать сила тяжести и сила трения. Оси направим вдоль и перпендикулярно наклонной плоскости.
Согласно второму закону Ньютона можно записать уравнения тела: N = mg*cosφ, mg*sinφ-Fтр = mg*sinφ-kN = ma.
Подставив первое уравнение во второе и сократив массу m, получим: g*sinφ-kg*cosφ = a. Отсюда, k = (g*sinφ-a)/(g*cosφ).
Рассмотрим важный частный случая соскальзывания по наклонной плоскости, когда a = 0, то есть тело движется равномерно. Тогда уравнение движения имеет вид g*sinφ-kg*cosφ = 0. Отсюда, k = tgφ, то есть для определения коэффициента скольжения достаточно знать тангенс угла наклона плоскости.
Видео по теме
Обратите внимание
Следует не путать закон Кулона в механике с законом Кулона в электростатике!
При относительном движении двух тел между ними возникает трение. Оно также может возникнуть при движении в газообразной или жидкой среде. Трение может как мешать, так и способствовать нормальному движению. В результате этого явления на взаимодействующие тела действует сила .
Инструкция
Наиболее общий случай рассматривает силу , когда одно из тел закреплено и покоится, а другое скользит по его поверхности. Со стороны тела, по которому скользит движущееся тело, на последнее действует сила реакции опоры, направленная перпендикулярно плоскости скольжения. Эта сила буквой N.Тело может также и покоится относительно закрепленного тела. Тогда сила трения , действующая на него Fтртрения . Он зависит от материалов трущихся поверхностей, степени их отшлифовки и ряда других факторов.
В случае движения тела относительно поверхности закрепленного тела сила трения скольжения становится равна произведения коэффициента трения на силу реакции опоры: Fтр = ?N.
Пусть теперь на тело действует постоянная сила F>Fтр = ?N, параллельная поверхности соприкасающихся тел. При скольжении тела, результирующая составляющая силы в горизонтальном направлении будет равна F-Fтр. Тогда по второму закону Ньютона, ускорение тела будет связано с результирующей силой по формуле: a = (F-Fтр)/m. Отсюда, Fтр = F-ma. Ускорение тела можно найти из кинематических соображений.
Часто рассматриваемый частный случай силы трения при соскальзывании тела с закрепленной плоскости. Пусть? - угол наклона плоскости и пусть тело соскальзывает равномерно, то есть без . Тогда уравнения движения тела будут выглядеть так: N = mg*cos?, mg*sin? = Fтр = ?N. Тогда из первого уравнения движения силу трения можно выразить как Fтр = ?mg*cos?.Если тело движется по наклонной плоскости с a, то второе уравнение будет иметь вид: mg*sin?-Fтр = ma. Тогда Fтр = mg*sin?-ma.
Видео по теме
Если сила, направленная параллельно поверхности, на которой стоит тело, превышает силу трения покоя, то начнется движение. Оно будет продолжаться до тех пор, пока движущая сила будет превышать силу трения скольжения, зависящую от коэффициента трения. Рассчитать этот коэффициент можно самостоятельно.
Вам понадобится
- Динамометр, весы, транспортир или угломер
Инструкция
Найдите массу тела в килограммах и установите его на ровную поверхность. Присоедините к нему динамометр, и начинайте двигать тело. Делайте это таким образом, чтобы показатели динамометра стабилизировались, поддерживая постоянную скорость . В этом случае сила тяги, измеренная динамометром, будет равна с одной стороны силе тяги, которую показывает динамометр, а с другой стороны силе , умноженной на скольжения.
Сделанные измерения позволят найти данный коэффициент из уравнения. Для этого поделите силу тяги на массу тела и число 9,81 (ускорение свободного падения) μ=F/(m g). Полученный коэффициент будет один и тот же для всех поверхностей такого же типа, как и те на которых производилось измерение. Например, если тело из двигалось по деревянной доске, то этот результат будет справедлив для всех деревянных тел, двигающихся скольжением по дереву, с учетом качества его обработки (если поверхности шершавые, значение коэффициента трения скольжения измениться).
Можно измерить коэффициент трения скольжения и другим способом. Для этого установите тело на плоскости, которая может менять свой угол относительно горизонта. Это может быть обыкновенная дощечка. Затем начинайте аккуратно ее за один край. В тот момент, когда тело придет в движение, скатываясь в плоскости как сани с горки, найдите угол ее уклона относительно горизонта. Важно, чтобы тело при этом не двигалось с ускорением. В этом случае, измеренный угол будет предельно малым, при котором тело начнет двигаться под . Коэффициент трения скольжения будет равен тангенсу этого угла μ=tg(α).
Видео по теме
Трение – процесс взаимодействия двух тел, вызывающий замедление движения при смещении друг относительно друга. Найти силу трения – значит определить величину воздействия, направленную в сторону, противоположную движению, по причине которой тело теряет энергию и, в конце концов, останавливается.
Инструкция
Сила трения – векторная величина, которая зависит от многих факторов: тел друг на друга, материалы, из которых они были изготовлены, скорость . Площадь поверхности при этом значения не имеет, поскольку чем она больше, тем больше взаимное давление (сила опоры N), которая уже участвует в нахождении силы трения .
Коэффициент трения качения – это, как правило, известная величина для распространенных материалов. Например, для по железу он равен 0,51 мм, для железа по дереву – 5,6, дерева по дереву – 0,8-1,5 и т.д. Найти его можно по формуле соотношения момента трения к прижимающей силе.
Сила трения покоя появляется при минимальных перемещениях тел или деформации. Эта сила всегда присутствует при сухом скольжении. Максимальное ее значение равно μ N. Существует также внутреннее трение, внутри одного тела между его слоями или .
Обратите внимание
Равномерное движение тела характеризуется равновесием между внешней силой и силой трения.
В школьных задачах по физике на определение силы трения скольжения в основном рассматривается прямолинейное равномерное или прямолинейное равноускоренное движение тела. Посмотрите, как можно найти силу трения в разных случаях зависимости от условий задачи. Чтобы правильно оценить воздействие сил и составить уравнение движения, всегда рисуйте чертеж.
Нам осталось рассмотреть работу третьей механической силы - силы трения скольжения. В земных условиях сила трения в той пли иной мере проявляется при всех движениях тел.
От силы тяжести и силы упругости сила трения скольжения отличается тем, что она от координат не зависит и возникает всегда при относительном движении соприкасающихся тел.
Рассмотрим работу силы трения при движении тела относительно неподвижной поверхности, с которой оно соприкасается. В этсм случае сила трения направлена против движения тела. Ясно, что по отношению к направлению перемещения такого тела сила трения не может быть направлена под каким-нибудь другим углем, кроме угла 180°. Поэтому работа силы трения отрицательна. Вычислять работу силы трения нужно по формуле
где - сила трения, - длина пути, на протяжении которого действует сила трения
Когда на тело действует сила тяжести или сила упругости, может двигаться и в направлении силы, и против направления силы. В первом случае работа силы положительна, во втором - отрицательна. При движении тела «туда и обратно» полная работа равна нулю.
О работе силы трения этого сказать нельзя. Работа силы трения отрицательна и при движении «туда», движении обратно». Поэтому работа силы трения после возвращения тела в исходную точку (при движении по замкнутому пути) неравна нулю.
Задача. Вычислите работу силы трения при торможении поезда массой 1200 т до полной остановки, если скорость поезда в момент выключения двигателя была 72 км/ч. Решение. Воспользуемся формулой
Здесь - масса поезда, равная кг, - конечная скорость поезда, равная нулю, и - его начальная скорость, равная 72 км/ч = 20 м/сек. Подставив эти значения, получим:
Упражнение 51
1. На тело действует сила трения. Может ли работа этой силы равняться нулю?
2. Если тело, на которое действует сила трения, пройдя некоторую траекторию, вернется в исходную точку, будет ли работа сипы трения равна нулю?
3. Как изменяется кинетическая энергия тела при работе силы трения?
4. Сани массой 60 кг, скатившись с горы, проехали по горизонтальному участку дороги 20 м. Найдите работу силы трения на этом участке, если коэффициент трения полозьев саней о снег 0,02.
5. К точильному камню радиусом 20 см прижимают затачиваемую деталь с силой 20 н. Определите, какая работа совершается двигателем за 2 мин, если точильный камень делает 180 об мин, а коэффициент трения детали о камень равен 0,3.
6. Шофер автомобиля выключает двигатель и начинает тормозить в 20 м от светофора. Считая силу трения равной 4 000 к, найдите, при какой наибольшей скорости автомобиля он успеет остановиться перед светофором, если масса автомобиля равна 1,6 т?
С механической работой (работой силы) вы уже знакомы из курса физики основной школы. Напомним приведенное там определение механической работы для следующих случаев.
Если сила направлена так же, как перемещение тела, то работа силы
В этом случае работа силы положительна.
Если сила направлена противоположно перемещению тела, то работа силы
В этом случае работа силы отрицательна.
Если сила f_vec направлена перпендикулярно перемещению s_vec тела, то работа силы равна нулю:
Работа – скалярная величина. Единицу работы называют джоуль (обозначают: Дж) в честь английского ученого Джеймса Джоуля, сыгравшего важную роль в открытии закона сохранения энергии. Из формулы (1) следует:
1 Дж = 1 Н * м.
1. Брусок массой 0,5 кг переместили по столу на 2 м, прикладывая к нему силу упругости, равную 4 Н (рис. 28.1). Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,2. Чему равна работа действующей на брусок:
а) силы тяжести m?
б) силы нормальной реакции ?
в) силы упругости ?
г) силы трения скольжения тр?
Суммарную работу нескольких сил, действующих на тело, можно найти двумя способами:
1. Найти работу каждой силы и сложить эти работы с учетом знаков.
2. Найти равнодействующую всех приложенных к телу сил и вычислить работу равнодействующей.
Оба способа приводят к одному и тому же результату. Чтобы убедиться в этом, вернитесь к предыдущему заданию и ответьте на вопросы задания 2.
2. Чему равна:
а) сумма работ всех действующих на брусок сил?
б) равнодействующая всех действующих на брусок сил?
в) работа равнодействующей? В общем случае (когда сила f_vec направлена под произвольным углом к перемещению s_vec) определение работы силы таково.
Работа A постоянной силы равна произведению модуля силы F на модуль перемещения s и на косинус угла α между направлением силы и направлением перемещения:
A = Fs cos α (4)
3. Покажите, что из общего определения работы следуют к выводы, показанные на следующей схеме. Сформулируйте их словесно и запишите в тетрадь.
4. К находящемуся на столе бруску приложена сила, модуль которой 10 Н. Чему равен угол между этой силой и перемещением бруска, если при перемещении бруска по столу на 60 см эта сила совершила работу: а) 3 Дж; б) –3 Дж; в) –3 Дж; г) –6 Дж? Сделайте пояснительные чертежи.
2. Работа силы тяжести
Пусть тело массой m движется вертикально от начальной высоты h н до конечной высоты h к.
Если тело движется вниз (h н > h к, рис. 28.2, а), направление перемещения совпадает с направлением силы тяжести, поэтому работа силы тяжести положительна. Если же тело движется вверх (h н < h к, рис. 28.2, б), то работа силы тяжести отрицательна.
В обоих случаях работа силы тяжести
A = mg(h н – h к). (5)
Найдем теперь работу силы тяжести при движении под углом к вертикали.
5. Небольшой брусок массой m соскользнул вдоль наклонной плоскости длиной s и высотой h (рис. 28.3). Наклонная плоскость составляет угол α с вертикалью.
а) Чему равен угол между направлением силы тяжести и направлением перемещения бруска? Сделайте пояснительный чертеж.
б) Выразите работу силы тяжести через m, g, s, α.
в) Выразите s через h и α.
г) Выразите работу силы тяжести через m, g, h.
д) Чему равна работа силы тяжести при движении бруска вдоль всей этой же плоскости вверх?
Выполнив это задание, вы убедились, что работа силы тяжести выражается формулой (5) и тогда, когда тело движется под углом к вертикали – как вниз, так и вверх.
Но тогда формула (5) для работы силы тяжести справедлива при движении тела по любой траектории, потому что любую траекторию (рис. 28.4, а) можно представить как совокупность малых «наклонных плоскостей» (рис. 28.4, б).
Таким образом,
работа силы тяжести при движении но любой траектории выражается формулой
A т = mg(h н – h к),
где h н – начальная высота тела, h к – его конечная высота.
Работа силы тяжести не зависит от формы траектории.
Например, работа силы тяжести при перемещении тела из точки A в точку B (рис. 28.5) по траектории 1, 2 или 3 одинакова. Отсюда, в частности, следует, что рибота силы тяжести при перемещении по замкнутой траектории (когда тело возвращается в исходную точку) равна нулю.
6. Шар массой m, висящий на нити длиной l, отклонили на 90º, держа нить натянутой, и отпустили без толчка.
а) Чему равна работа силы тяжести за время, в течение которого шар движется к положению равновесия (рис. 28.6)?
б) Чему равна работа силы упругости нити за то же время?
в) Чему равна работа равнодействующей сил, приложенных к шару, за то же время?
3. Работа силы упругости
Когда пружина возвращается в недеформированное состояние, сила упругости совершает всегда положительную работу: ее направление совпадает с направлением перемещения (рис. 28.7).
Найдем работу силы упругости .
Модуль этой силы связан с модулем деформации x соотношением (см. § 15)
Работу такой силы можно найти графически.
Заметим сначала, что работа постоянной силы численно равна площади прямоугольника под графиком зависимости силы от перемещения (рис. 28.8).
На рисунке 28.9 изображен график зависимости F(x) для силы упругости. Разобьем мысленно все перемещение тела на столь малые промежутки, чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной.
Тогда работа на каждом из этих промежутков численно равна площади фигуры под соответствующим участком графика. Вся же работа равна сумме работ на этих участках.
Следовательно, и в этом случае работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости F(x).
7. Используя рисунок 28.10, докажите, что
работа силы упругости при возвращении пружины в недеформированное состояние выражается формулой
A = (kx 2)/2. (7)
8. Используя график на рисунке 28.11, докажите, что при изменении деформации пружины от x н до x к работа силы упругости выражается формулой
Из формулы (8) мы видим, что работа силы упругости зависит только от начальной и конечной деформации пружины, Поэтому если тело сначала деформируют, а потом оно возвращается в начальное состояние, то работа силы упругости равна нулю. Напомним, что таким же свойством обладает и работа силы тяжести.
9. В начальный момент растяжение пружины жесткостью 400 Н/м равно 3 см. Пружину растянули еще на 2 см.
а) Чему равна конечная деформация пружины?
б) Чему равна работа силы упругости пружины?
10. В начальный момент пружина жесткостью 200 Н/м растянута на 2 см, а в конечный момент она сжата на 1 см. Чему равна работа силы упругости пружины?
4. Работа силы трения
Пусть тело скользит по неподвижной опоре. Действующая на тело сила трения скольжения направлена всегда противоположно перемещению и, следовательно, работа силы трения скольжения отрицательно при любом направлении перемещения (рис. 28.12).
Поэтому если сдвинуть брусок вправо, а пегом на такое же расстояние влево, то, хотя он и вернется в начальное положение, суммарная работа силы трения скольжения не будет равна нулю. В этом состоит важнейшее отличие работы силы трения скольжения от работы силы тяжести и силы упругости. Напомним, что работа этих сил при перемещении тела по замкнутой траектории равна нулю.
11. Брусок массой 1 кг передвигали по столу так, что его траекторией оказался квадрат со стороной 50 см.
а) Вернулся ли брусок в начальную точку?
б) Чему равна суммарная работа действовавшей на брусок силы трения? Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,3.
5. Мощность
Часто важна не только совершаемая работа, но и скорость совершения работы. Она характеризуется мощностью.
Мощностью P называют отношение совершенной работы A к промежутку времени t, за который эта работа совершена:
(Иногда мощность в механике обозначают буквой N, а в электродинамике – буквой P. Мы считаем более удобным одинаковое обозначение мощности.)
Единица мощности – ватт (обозначают: Вт), названная в честь английского изобретателя Джеймса Уатта. Из формулы (9) следует, что
1 Вт = 1 Дж/c.
12. Какую мощность развивает человек, равномерно поднимая ведро воды массой 10 кг на высоту 1 м в течение 2 с?
Часто мощность удобно выражать не через работу и время, а через силу и скорость.
Рассмотрим случай, когда сила направлена вдоль перемещения. Тогда работа силы A = Fs. Подставляя это выражение в формулу (9) для мощности, получаем:
P = (Fs)/t = F(s/t) = Fv. (10)
13. Автомобиль едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч. При этом его двигатель развивает мощность 20 кВт. Чему равна сила сопротивления движению автомобиля?
Подсказка. Когда автомобиль движется по горизонтальной дороге с постоянной скоростью, сила тяги равна по модулю силе сопротивления движению автомобиля.
14. Сколько времени потребуется для равномерного подъема бетонного блока массой 4 т на высоту 30 м, если мощность двигателя подъемного крана 20 кВт, а КПД электродвигателя подъемного крана равен 75%?
Подсказка. КПД электродвигателя равен отношению работы по подъему груза к работе двигателя.
Дополнительные вопросы и задания
15. Мяч массой 200 г бросили с балкона высотой 10 и под углом 45º к горизонту. Достигнув в полете максимальной высоты 15 м, мяч упал на землю.
а) Чему равна работа силы тяжести при подъеме мяча?
б) Чему равна работа силы тяжести при спуске мяча?
в) Чему равна работа силы тяжести за все время полета мяча?
г) Есть ли в условии лишние данные?
16. Шар массой 0,5 кг подвешен к пружине жесткостью 250 Н/м и находится в равновесии. Шар поднимают так, чтобы пружина стала недеформированной, и отпускают без толчка.
а) На какую высоту подняли шар?
б) Чему равна работа силы тяжести за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?
в) Чему равна работа силы упругости за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?
г) Чему равна работа равнодействующей всех приложенных к шару сил за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?
17. Санки массой 10 кг съезжают без начальной скорости со снежной горы с углом наклона α = 30º и проезжают некоторое расстояние по горизонтальной поверхности (рис. 28.13). Коэффициент трения между санками и снегом 0,1. Длина основания горы l = 15 м.
а) Чему равен модуль силы трения при движении санок по горизонтальной поверхности?
б) Чему равна работа силы трения при движении санок по горизонтальной поверхности на пути 20 м?
в) Чему равен модуль силы трения при движении санок по горе?
г) Чему равна работа силы трения при спуске санок?
д) Чему равна работа силы тяжести при спуске санок?
е) Чему равна работа равнодействующей сил, действующих на санки, при их спуске с горы?
18. Автомобиль массой 1 т движется со скоростью 50 км/ч. Двигатель развивает мощность 10 кВт. Расход бензина составляет 8 л на 100 км. Плотность бензина 750 кг/м 3 , а его удельная теплота сгорания 45 МДж/кг. Чему равен КПД двигателя? Есть ли в условии лишние данные?
Подсказка. КПД теплового двигателя равен отношению совершенной двигателем работы к количеству теплоты, которое выделилось при сгорании топлива.
При относительном движении одного тела по поверхности другого возникают силы трения, то есть тела взаимодействуют друг с другом. Однако этот вид взаимодействия принципиально отличается от рассмотренных ранее. Наиболее существенным отличием является тот факт, что сила взаимодействия определяется не взаимным расположением тел, а их относительной скоростью. Следовательно, работа этих сил зависит не только от начального и конечного положения тел, но и от формы траектории, от скорости перемещения. Иными словами, силы трения не являются потенциальными.
Рассмотрим подробнее работу различных видов трения.
Самой простой случай − трение покоя. Достаточно сказать, что при отсутствии перемещения работа равна нулю, поэтому трение покоя работы не совершает.
При движении одного тела по поверхности другого возникает сила сухого трения. По закону Кулона-Амонтона, величина силы трения постоянна и направлена в сторону, противоположную скорости движения. Следовательно, в любой момент времени, в любой точке траектории векторы скорости и силы трения направлены в противоположные стороны, угол между ними равен 180°
(вспомните cos180° = −1
). Таким образом, работа силы трения равна произведению силы трения на длину траектории S
:
A mp = −F mp S
. (1)
Между двумя точками можно проложить сколько угодно траекторий, длины которых могут изменяться в широких пределах, при движении по каждой из этих траекторий сила трения будет совершать различную работу.
Использование понятия работы оказывается полезным и при наличии сил трения. Рассмотрим простой пример. Пусть на горизонтальной поверхности находится брусок, которому толчком сообщили скорость v o
. Найдем, какой путь пройдет брусок до остановки при наличии сухого трения, коэффициент которого равен μ
. Так как при остановке кинетическая энергия обращается в нуль, то изменение кинетической энергии тела равно:
По теореме о кинетической энергии, изменение последней равно работе внешних сил. Единственной силой, совершающей работу, является сила трения, которая равна в данном случае:
А = −μmgS
.
Приравнивая эти выражения, легко находим путь до остановки:
S = v o 2 /(2μg)
.
Для того чтобы рассматриваемый брусок двигался по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью, к нему необходимо прикладывать постоянную, горизонтально направленную силу F
равную по модулю силе трения. Эта внешняя сила будет совершать положительную работу А
, равную по модулю работе силы трения. Кинетическая энергия бруска при таком движении возрастать не будет. Заметим, что противоречия с теоремой о кинетической энергии в этом утверждении нет − так, суммарная внешняя сила, действующая на брусок, равна нулю. Тем не менее необходимо твердо уяснить, что работа всякой силы есть мера перехода энергии из одной формы в другую, поэтому следует определить, какие изменения с системой (бруском и поверхностью) произошли в результате совершенной работы. Ответ известен: произошло нагревание как поверхности, так и бруска. Иными словами, работа внешней силы пошла на увеличение внутренней, тепловой энергии. Аналогично, при торможении начальная кинетическая энергия бруска перешла во внутреннюю энергию. В любом случае работа силы трения приводит к увеличению тепловой энергии.
При движении в вязкой среде на тело действует сила сопротивления, зависящая от скорости и направленная в сторону, противоположную вектору скорости, поэтому работа этих сил всегда отрицательна, причем зависит от траектории движения тела. Следовательно, силы вязкого трения не являются потенциальными. Преобразования энергии, происходящие при наличии вязкого трения, аналогичны рассмотренным ранее, правда, их расчет усложняется зависимостью сил от скорости. Не потенциальные силы, приводящие к увеличению внутренней энергии, называются диссипативными 1 . Примерами таких сил являются силы трения.
Для вычисления работы постоянной силы предлагается формула:
где S - перемещение тела под действием силы F , a - угол между направлениями силы и перемещения. При этом говорят , что «если сила перпендикулярна перемещению, то работа силы равна нулю. Если же, несмотря на действие силы, перемещение точки приложения силы не происходит, то сила никакой работы не совершает. Например, если какой-либо груз неподвижно висит на подвесе, то действующая на него сила тяжести не совершает работы».
В также говорится: «Понятие работы как физической величины, введенное в механике, только до известной степени согласуется с представлением о работе в житейском смысле. Действительно, например, работа грузчика по подъёму тяжести расценивается тем больше, чем больше поднимаемый груз и чем на большую высоту он должен быть поднят. Однако с той же житейской точки зрения мы склонны называть «физической работой» всякую деятельность человека, при которой он совершает известные физические усилия. Но, согласно даваемому в механике определению, эта деятельность может и не сопровождаться работой. В известном мифе об Атланте, поддерживающем на своих плечах небесный свод, люди имели в виду усилия, необходимые для поддержания огромной тяжести, и расценивали эти усилия как колоссальную работу. Для механики же здесь нет работы, и мышцы Атланта могли бы быть попросту заменены прочной колонной».
Эти рассуждения напоминают известное высказывание И.В. Сталина: «Есть человек - есть проблема, нет человека - нет проблемы».
В учебнике физики для 10 класса предлагается следующий выход из данной ситуации: «При неподвижном удержании человеком груза в поле тяжести Земли совершается работа и рука испытывает усталость, хотя видимое перемещение груза равно нулю. Причиной этого является то, что мышцы человека испытывают постоянные сокращения и растяжения, приводящие к микроскопическим перемещениям груза». Всё хорошо, вот только как рассчитать эти сокращения-растяжения?
Получается такая ситуация: человек пытается переместить шкаф на расстояние S , для чего он действует силой F в течение времени t , т.е. сообщает импульс силы . Если шкаф имеет небольшую массу и нет сил трения, то шкаф перемещается и значит, работа совершается. Но если шкаф большой массы и большие силы трения, то человек, действуя тем же импульсом силы, шкаф не перемещает, т.е. работа не совершается. Что-то тут не вяжется с так называемыми законами сохранения. Или взять пример, показанный на рис. 1. Если сила F a , то . Так как , то, естественно, возникает вопрос, куда же исчезла энергия, равная разности работ ()?
Рисунок 1. Сила F направлена горизонтально (), то работа , а если под углом a , то
Приведем пример, показывающий, что работа совершается, если тело остаётся неподвижным. Возьмем электрическую цепь состоящую из источника тока, реостата и амперметра магнитоэлектрической системы. При полностью введенном реостате сила тока бесконечно мала и стрелка амперметра стоит на нуле. Начинаем постепенно двигать реохорд реостата. Стрелка амперметра начинает отклоняться, закручивая спиральные пружины прибора. Это совершает работу сила Ампера: сила взаимодействия рамки с током с магнитным полем. Если остановить реохорд, то установится постоянная сила тока и стрелка перестает двигаться. Говорят, что если тело неподвижно, то сила работы не совершает. Но амперметр, удерживая стрелку в том же положении, по прежнему потребляет энергию , где U - напряжение, подведенное к рамке амперметра, - сила тока в рамке. Т.е. сила Ампера, удерживая стрелку, по прежнему совершает работу по удержанию пружин в закрученном состоянии.
Покажем, почему возникают подобные парадоксы. Вначале получим общепринятое выражение для работы. Рассмотрим работу разгона по горизонтальной гладкой поверхности первоначально покоящегося тела массы m за счет воздействия на него горизонтальной силой F в течение времени t . Этому случаю соответствует угол на рис.1. Запишем II закон Ньютона в виде . Умножим обе части равенства на пройденный путь S : . Поскольку , то получим или . Отметим, что умножая обе части уравнения на S , мы тем самым отказываем в работе тем силам, которые не производят перемещение тела (). Кроме того, если сила F действует под углом a к горизонту, мы тем самым отказываем в работе всей силе F , «разрешая» работу только её горизонтальной составляющей: .
Проведем другой вывод формулы для работы. Запишем II закон Ньютона в дифференциальной форме
Левая часть уравнения - элементарный импульс силы, а правая - элементарный импульс тела (количество движения). Отметим, что правая часть уравнения может быть равна нулю, если тело остается неподвижным () или движется равномерно (), в то время как левая часть не равна нулю. Последний случай соответствует случаю равномерного движения, когда сила уравновешивает силу трения 
.
Однако вернемся к нашей задаче о разгоне неподвижного тела. После интегрирования уравнения (2), получим , т.е. импульс силы равен импульсу (количеству движения), полученному телом. Возведем в квадрат и разделив на обе части равенства, получим
Таким образом мы получим другое выражение для вычисления работы
(4)
где - это импульс силы. Это выражение не связано с путем S , пройденным телом за время t , поэтому оно может быть использовано для вычисления работы, совершаемой импульсом силы и в том случае, если тело остается неподвижным.
В случае, если сила F
действует под углом a
(рис.1), то её раскладываем на две составляющие: силу тяги и силу , которую назовем силой левитации, она стремится уменьшить силу тяжести. Если будет равна , то тело будет находиться в квазиневесомом состоянии (состояние левитации). Используя теорему Пифагора: 
, найдем работу силы F
или (5)
Поскольку , а , то работу силы тяги можно представить в общепринятом виде: .
Если сила левитации , то работа левитации будет равна
(6)
Это как раз та работа, которую выполнял Атлант, удерживая на своих плечах небесный свод.
А теперь рассмотрим работу сил трения. Если сила трения является единственной силой, действующей по линии движения (например, автомобиль, двигавшийся по горизонтальной дороге со скоростью , выключил двигатель и стал тормозить), то работа силы трения будет равна разности кинетических энергий и может быть рассчитана по общепринятой формуле:
(7)
Однако, если тело движется по шероховатой горизонтальной поверхности с некоторой постоянной скоростью , то работу силы трения нельзя вычислять по общепринятой формуле , поскольку в данном случае движения надо рассматривать как движение свободного тела (), т.е. как движение по инерции, и скорость V создает не сила , она была приобретена ранее. Например, тело двигалось по идеально гладкой поверхности с постоянной скоростью, и в тот момент, когда оно въезжает на шероховатую поверхность, включается сила тяги . В данном случае путь S не связан с действием силы . Если взять путь м, то при скорости м/с время действия силы будет составлять с, при м/с время с, при м/с время с. Поскольку сила трения считают не зависящей от скорости, то, очевидно, на одном и том же отрезке пути м сила совершит гораздо большую работу за 200 с, чем за 10 с, т.к. в первом случае импульс силы , а в последнем - . Т.е. в данном случае работу силы трения надо рассчитывать по формуле:
(8)
Обозначая «обычную» работу трения через 
и учитывая, что , формулу (8), опуская знак «минус», можно представить в виде
