Операция отыскания производной называется дифференцированием.
В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).
Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.
Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.
Пример 1. Найти производную функции
Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.
Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:
Пример 2. Найти производную функции
Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:
Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.
Таблица производных простых функций
| 1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200...), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто | |
| 2. Производная независимой переменной. Чаще всего "икса". Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго | |
| 3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни. | |
| 4. Производная переменной в степени -1 | |
| 5. Производная квадратного корня | |
| 6. Производная синуса | |
| 7. Производная косинуса |  |
| 8. Производная тангенса |  |
| 9. Производная котангенса |  |
| 10. Производная арксинуса |  |
| 11. Производная арккосинуса |  |
| 12. Производная арктангенса |  |
| 13. Производная арккотангенса |  |
| 14. Производная натурального логарифма | |
| 15. Производная логарифмической функции |  |
| 16. Производная экспоненты | |
| 17. Производная показательной функции |
Правила дифференцирования
| 1. Производная суммы или разности |  |
| 2. Производная произведения |  |
| 2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель | |
| 3. Производная частного |  |
| 4. Производная сложной функции |  |
Правило 1. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции
причём
т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.
Правило 2. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение
причём
т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.
Например, для трёх множителей:
Правило 3. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём
т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.
Где что искать на других страницах
При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций " .
Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.
А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u "v , в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).
Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.
По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .
Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями,
то есть, когда функция имеет вид вроде 
, то
следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями ".
Если же перед Вами задача вроде 
,
то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".
Пошаговые примеры - как найти производную
Пример 3. Найти производную функции
Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:
Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:
Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:
Пример 4. Найти производную функции
Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:
Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:
Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где
сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, 
,
то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями"
.
Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других
тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде ,
то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций"
.
Пример 5. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Пример 6. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .
Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:
1) Необходимо найти производную.
2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.
Пример 1
Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:
В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».
Сначала находим производную:
Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.
На втором шаге вычислим значение производной в точке :
Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:
Пример 2
В точке
Полное решение и ответ в конце урока.
Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремум , исследование функции на перегиб графика , полное исследование функции и др.
Но рассматриваемое задание встречается в контрольных работах и само по себе. И, как правило, в таких случаях функцию дают достаточно сложную. В этой связи рассмотрим еще два примера.
Пример 3
Вычислить производную функции 
в точке .
Сначала найдем производную:
Производная, в принципе, найдена, и можно подставлять требуемое значение . Но что-то делать это не сильно хочется. Выражение очень длинное, да и значение «икс» у нас дробное. Поэтому стараемся максимально упростить нашу производную. В данном случае попробуем привести к общему знаменателю три последних слагаемых:
Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке :
В том случае, если Вам не понятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности (недопонимание) с арктангенсом и его значениями, обязательно изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому-что арктангенсов на студенческий век ещё хватит.
Пример 4
Вычислить производную функции 
в точке .
Это пример для самостоятельного решения.
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Производная функции одной переменной.
Введение.
Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».
Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.
В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.
§1. Определение производной.
Механический и геометрический смысл
производной.
Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.
Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.
Итак, производной функцииy=f(x)
в точкеx0 называется
предел (если он существует) отношения
приращения функции
к приращению аргумента
при
.
Производную принято обозначать
так:
.
Таким образом, по определению
Для обозначения производной употребляются
также символы
.
Механический смысл производной.
Если s=s(t)
– закон прямолинейного движения
материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.
Геометрический смысл производной.
Если функция y=f(x)
имеет производную в точке
,
то угловой коэффициент касательной к
графику функции в точке
равен
.
Пример.
Найдите производную функции
в точке
=2:
1) Дадим точке
=2
приращение
.
Заметим, что.
2) Найдем приращение функции в точке
=2:
3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
Найдем предел отношения при
:
.
Таким образом,
.
§ 2. Производные от некоторых
простейших функций.
Студенту необходимо научиться вычислять
производные конкретных функций: y=x,y=
и вообщеy=
.
Найдем производную функции у=х.
т.е.
(x)′=1.
Найдем производную функции
Производная
Пусть
тогда
Легко заметить закономерность в
выражениях производных от степенной
функции
приn=1,2,3.
Следовательно,
. (1)
Эта формула справедлива для любых действительных n.
В частности, используя формулу (1), имеем:
;
.
Пример.
Найдите производную функции
.
.
Данная функция является частным случаем функции вида
при
.
Используя формулу (1), имеем
.
Производные функций y=sin x и y=cos x.
Пусть y=sinx.
Разделим на ∆x, получим
Переходя к пределу при ∆x→0, имеем
Пусть y=cosx .
Переходя к пределу при ∆x→0, получим
;
.
(2)
§3. Основные правила дифференцирования.
Рассмотрим правила дифференцирования.
Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)"=u"+v".(3)
Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).
Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение
∆y=f(x+∆x)-f(x)=
=--=∆u+∆v.
Следовательно,
Итак, (u+v)"=u"+v".
Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)"=u"v+uv". (4)
Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.
Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или
y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.
Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.
Отсюда
Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь
Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.
Если
то
(5)
Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y"=0.
Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y"=Cu"(x).
Пример 1.
Найдите производную функции
.
Данная функция имеет вид
,
гдеu=x,v=cosx. Применяя правило
дифференцирования (4), находим
.
Пример 2.
Найдите производную функции
.
Применим формулу (5).
Здесь
;
.
Задачи.
Найдите производные следующих функций:
;
11)
2)
;
12)
;
3)
13)
4)
14)
5)
15)
6)
16)
7
)
17)
8)
18)
9)
19)
10)
20)
Дорогие друзья! В группу заданий связанных с производной входят задачи — в условии дан график функции, несколько точек на этом графике и стоит вопрос:
В какой точке значение производной наибольшее (наименьшее)?
Кратко повторим:
Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной проходящей через эту точку графика.
У гловой коэффициент касательной в свою очередь равен тангенсу угла наклона этой касательной.
*Имеется ввиду угол между касательной и осью абсцисс.
1. На интервалах возрастания функции производная имеет положительное значение.
2. На интервалах её убывания производная имеет отрицательное значение.
Рассмотрим следующий эскиз:
В точках 1,2,4 производная функции имеет отрицательное значение, так как данные точки принадлежат интервалам убывания.
В точках 3,5,6 производная функции имеет положительное значение, так как данные точки принадлежат интервалам возрастания.
Как видим, со значением производной всё ясно, то есть определить какой она имеет знак (положительный или отрицательный) в определённой точке графика совсем несложно.
При чём, если мы мысленно построим касательные в этих точках, то увидим, что прямые проходящие через точки 3, 5 и 6 образуют с осью оХ углы лежащие в пределах от 0 до 90 о, а прямые проходящие через точки 1, 2 и 4 образуют с осью оХ углы в пределах от 90 о до 180 о.
*Взаимосвязь понятна: касательные проходящие через точки принадлежащие интервалам возрастания функции образуют с осью оХ острые углы, касательные проходящие через точки принадлежащие интервалам убывания функции образуют с осью оХ тупые углы.
Теперь важный вопрос!
А как изменяется значение производной? Ведь касательная в разных точках графика непрерывной функции образует разные углы, в зависимости от того, через какую точку графика она проходит.
*Или, говоря простым языком, касательная расположена как бы «горизонтальнее» или «вертикальнее». Посмотрите:
Прямые образуют с осью оХ углы в пределах от 0 до 90 о
Прямые образуют с осью оХ углы в пределах от 90 о до 180 о
Поэтому, если будут стоять вопросы:
— в какой из данных точек графика значение производной имеет наименьше значение?
— в какой из данных точек графика значение производной имеет наибольшее значение?
то для ответа необходимо понимать, как изменяется значение тангенса угла касательной в пределах от 0 до 180 о.
*Как уже сказано, значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к оси оХ.
Значение тангенса изменяется следующим образом:
При изменении угла наклона прямой от 0 о до 90 о значение тангенса, а значит и производной, изменяется соответственно от 0 до +∞;
При изменении угла наклона прямой от 90 о до 180 о значение тангенса, а значит и производной, изменяется соответственно –∞ до 0.
Наглядно это видно по графику функции тангенса:
Говоря простым языком:
При угле наклона касательной от 0 о до 90 о
Чем он ближе к 0 о, тем больше значение производной будет близко к нулю (с положительной стороны).
Чем угол ближе к 90 о, тем больше значение производной будет увеличиваться к +∞.
При угле наклона касательной от 90 о до 180 о
Чем он ближе к 90 о, тем больше значение производной будет уменьшаться к –∞.
Чем угол будет ближе к 180 о, тем больше значение производной будет близко к нулю (с отрицательной стороны).
317543. На рисунке изображен график функции y = f (x ) и отмечены точки –2, –1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Имеем четыре точки: две из них принадлежат интервалам на которых функция убывает (это точки –1 и 1) и две интервалам на которых функция возрастает (это точки –2 и 2).
Можем сразу же сделать вывод о том, что в точках –1 и 1 производная имеет отрицательное значение, в точках –2 и 2 она имеет положительное значение. Следовательно в данном случае необходимо проанализировать точки –2 и 2 и определить в какой из них значении будет наибольшим. Построим касательные проходящие через указанные точки:
Значение тангенса угла между прямой a и осью абсцисс будет больше значения тангенса угла между прямой b и этой осью. Это означает, что значение производной в точке –2 будет наибольшим.
Ответим на следующий вопрос: в какой из точек –2, –1, 1 или 2 значение производной является наибольшим отрицательным? В ответе укажите эту точку.
Производная будет иметь отрицательное значение в точках, принадлежащим интервалам убывания, поэтому рассмотрим точки –2 и 1. Построим касательные проходящие через них:
Видим, что тупой угол между прямой b и осью оХ находится «ближе» к 180 о , поэтому его тангенс будет больше тангенса угла, образованного прямой а и осью оХ.
Таким образом, в точке х = 1, значение производной будет наибольшим отрицательным.
317544. На рисунке изображен график функции y = f (x ) и отмечены точки –2, –1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Имеем четыре точки: две из них принадлежат интервалам, на которых функция убывает (это точки –1 и 4) и две интервалам, на которых функция возрастает (это точки –2 и 1).
Можем сразу же сделать вывод о том, что в точках –1 и 4 производная имеет отрицательное значение, в точках –2 и 1 она имеет положительное значение. Следовательно, в данном случае, необходимо проанализировать точки –1 и 4 и определить – в какой из них значении будет наименьшим. Построим касательные проходящие через указанные точки:
Значение тангенса угла между прямой a и осью абсцисс будет больше значения тангенса угла между прямой b и этой осью. Это означает, что значение производной в точке х = 4 будет наименьшим.
Ответ: 4
Надеюсь, что «не перегрузил» вас количеством написанного. На самом деле, всё очень просто, стоит только понять свойства производной, её геометрический смысл и как изменяется значение тангенса угла от 0 до 180 о.
1. Сначала определите знаки производной в данных точках (+ или -) и выберете необходимые точки (в зависимости от поставленного вопроса).
2. Постройте касательные в этих точках.
3. Пользуясь графиком тангесоиды, схематично отметьте углы и отобразите А лександр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
