Урок комплексного применения знаний.
Цели урока.
- Рассмотреть различные методы решения тригонометрических уравнений.
- Развитие творческих способностей учеников путем решения уравнений.
- Побуждение учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Оборудование: экран, проектор, справочный материал.
Ход урока
Вводная беседа.
Основным методом решения тригонометрических уравнений является сведения их простейшим. При этом применяются обычные способы, например, разложения на множители, а также приемы, используемые только для решения тригонометрических уравнений. Этих приемов довольно много, например, различные тригонометрические подстановки, преобразования углов, преобразования тригонометрических функций. Беспорядочное применение каких-либо тригонометрических преобразований обычно не упрощает уравнение, а катастрофически его усложняет. Чтобы выработать в общих чертах план решения уравнения, наметить путь сведения уравнения к простейшему, нужно в первую очередь проанализировать углы – аргументы тригонометрических функций, входящих в уравнение.
Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать тригонометрические уравнения наиболее подходящим методом.
II. (С помощью проектора повторяем методы решения уравнений.)
1. Метод приведения тригонометрического уравнения к алгебраическому.
Необходимо выразить все тригонометрические функции через одну, с одним и тем же аргументом. Это можно сделать с помощью основного тригонометрического тождества и его следствий. Получим уравнение с одной тригонометрической функцией. Приняв ее за новую неизвестную, получим алгебраическое уравнение. Находим его корни и возвращаемся к старой неизвестной, решая простейшие тригонометрические уравнения.
2. Метод разложения на множители.
Для изменения углов часто бывают полезны формулы приведения, суммы и разности аргументов, а также формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и наоборот.
sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x
3. Метод введения дополнительного угла.
4. Метод использования универсальной подстановки.
Уравнения вида F(sinx, cosx, tgx) = 0 сводятся к алгебраическому при помощи универсальной тригонометрической подстановки
Выразив синус, косинус и тангенс через тангенс половинного угла. Этот прием может привести к уравнению высокого порядка. Решение которого затруднительно.
Урок и презентация на тему: "Решение простейших тригонометрических уравнений"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Что такое тригонометрические уравнения?
3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.
Что такое тригонометрические уравнения?
Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.
Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.
Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:
1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:
3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk
5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk
Для всех формул k- целое число
Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.
Пример.Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2
Решение:
А) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде:
Решение этого уравнения будет: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Из таблицы значений получаем: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Вернемся к нашей переменной: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Тогда x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Ответ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, где n-целое число. (-1)^n – минус один в степени n.
Ещё примеры тригонометрических уравнений.
Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3Решение:
А) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk
Ответ: x=5πk, где k – целое число.
Б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.
Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке .
Решение:
Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k
При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.
Ответ: x= π/16, x= 9π/16
Два основных метода решения.
Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.Решим уравнение:
Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).
В результате замены получим: t 2 + 2t -1 = 0
Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3
Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Пример решения уравнения
Решить уравнений: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Решение:
Воспользуемся тождеством: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Наше уравнение примет вид:2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0
Введем замену t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2
Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.
Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.
Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Ответ: x= ±2π/3 + 2πk
Однородные тригонометрические уравнения.
Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.Уравнения вида
однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.
Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x):
Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.
Решить уравнение:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Решение:
Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Тогда нам надо решить два уравнения:
Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;
Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk
Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?
Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!
1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде
2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:
Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:
Решить пример №:3
Решить уравнение:Решение:
Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:
Делаем замену переменной t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1
Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk
Решить пример №:4
Решить уравнение:Решение:
Преобразуем наше выражение:
Решать такие уравнение мы умеем: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk
Ответ: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk
Решить пример №:5
Решить уравнение:Решение:
Преобразуем наше выражение:
Введем замену tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2
Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Задачи для самостоятельного решения.
1) Решить уравнениеА) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7
2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].
3) Решить уравнение: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0
4) Решить уравнение: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Решить уравнение:3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6)Решить уравнение:cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Не секрет, что успех или неудача в процессе решения практически любой задачи, в основном зависит от правильности определения типа заданного уравнения, а также от правильности воспроизведения последовательности всех этапов его решения. Однако в случае с тригонометрическими уравнениями, определить факт того, что уравнение именно тригонометрическое, вовсе несложно. А вот в процессе определения последовательности действий, которые должны привести нас к правильному ответу, можно столкнуться с определенными сложностями. Давайте разберемся, как решать тригонометрические уравнения правильно с самого начала.
Решение тригонометрических уравнений
Для того, чтобы решить тригонометрическое уравнение, нужно попробовать выполнить следующие моменты:
- Приводим все функции, которые входят в наше уравнение к «одинаковым углам»;
- Нужно довести заданное уравнение до «одинаковых функций»;
- Раскладываем левую часть заданного уравнения на множители или другие нужные составляющие.
Методы
Метод 1. Решать такие уравнения необходимо в два этапа. Первый- преобразовываем уравнение для того, чтобы получить его простейший (упрощенный) вид. Уравнение: Cosx = a, Sinx = a и подобные, называются простейшими тригонометрическими уравнениями. Второй этап- решаем полученное простейшее уравнение. Следует отметить, что простейшее уравнение можно решить алгебраическим методом, который отлично известен нам из школьного курса алгебры. Его также называют методом замены подстановки и переменной. С помощью формул приведения, сначала нужно преобразовать, затем сделать замену и после этого найти корни.
Далее нужно разложить наше уравнение на возможные множители, для этого необходимо перенести все члены влево и затем можно раскладывать на множители. Теперь нужно привести данное уравнение к однородному, в котором все члены равняются одной степени, а косинус и синус имеют один и тот же угол.
Перед тем, как решать тригонометрические уравнения, нужно перенести его члены в левую часть, забрав из правой, а затем выносим все общие знаменатели за скобки. Приравниваем наши скобки и множители к нулю. Наши приравненные скобки представляют собой однородное уравнение с уменьшенной степенью, которое нужно разделить на sin (cos) в старшей степени. Теперь решаем алгебраическое уравнение, которое было получено, в соотношении к tan.
Метод 2. Еще одним методом, с помощью которого, можно решить тригонометрическое уравнение является переход к половинному углу. К примеру, решаем уравнение: 3sinx-5cosx=7.
Нам нужно перейти к половинному углу, в нашем случае это: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos²(x/2).А после этого, сводим все члены в одну часть (для удобства лучше выбрать правую) и приступаем к решению уравнения.
При необходимости можно вводить вспомогательный угол. Это делается в случае, когда нужно заменить целое значение sin (a) или cos (a) и знак «a» как раз и выступает вспомогательным углом.
Произведение в сумму
Как решать тригонометрические уравнения, используя произведение в сумму? Метод известный как преобразование произведения в сумму также может быть использован в решении таких уравнений. В этом случае необходимо использовать соответствующие уравнению формулы.
К примеру, у нас есть уравнение: 2sinx * sin3x= сos4x
Нам нужно решить эту задачу путем преобразования левой части в сумму, а именно:
сos 4x –cos8x=cos4x ,
х = p/16 + pk/8.
Если вышеприведенные методы не подходят, и Вы все еще не знаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, можно воспользоваться еще одним методом – универсальная подстановка. С его помощью можно преобразовать выражение и произвести замену. К примеру: Cos(x/2)=u. Теперь можно решать уравнение с имеющимся параметром u. А получив нужный результат, не забываем перевести это значение в обратное.
Многие «опытные» ученики советуют обратиться за решением уравнений к людям в онлайн-режиме. Как решить тригонометрическое уравнение онлайн, спросите Вы. Для онлайн решения задачи, Вы можете обратиться на форумы соответствующей тематике, где Вам могут помочь советом или же в решении задачи. Но лучше всего, все же попытаться обойтись собственными силами.
Навыки и умения в решении тригонометрических уравнений являются очень важными и полезными. Их развитие потребует от Вас немалых усилий. С решением таких уравнений связаны многие задачи физики, стереометрии и т.д. А сам процесс решения подобных задач предполагает собой наличие умений и знаний, которые можно приобрести во время изучения элементов тригонометрии.
Учим тригонометрические формулы
В процессе решения уравнения Вы можете столкнуться с надобностью использования любой формулы из тригонометрии. Можно, конечно, начать искать ее в своих учебниках и шпаргалках. А если эти формулы отложены у Вас в голове, вы не только сэкономите свои нервы, но и значительно облегчите себе задачу, не тратя времени на поиск нужной информации. Таким образом, у Вас будет возможность для продумывания наиболее рационального пути решения поставленной задачи.
При решении многих математических задач , особенно тех, которые встречаются до 10 класса, порядок выполняемых действий, которые приведут к цели, определен однозначно. К таким задачам можно отнести, например, линейные и квадратные уравнения, линейные и квадратные неравенства, дробные уравнения и уравнения, которые сводятся к квадратным. Принцип успешного решения каждой из упомянутых задач заключается в следующем: надо установить, к какому типу относится решаемая задача, вспомнить необходимую последовательность действий, которые приведут к нужному результату, т.е. ответу, и выполнить эти действия.
Очевидно, что успех или неуспех в решении той или иной задачи зависит главным образом от того, насколько правильно определен тип решаемого уравнения, насколько правильно воспроизведена последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом необходимо владеть навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.
Иная ситуация получается с тригонометрическими уравнениями. Установить факт того, что уравнение является тригонометрическим, совсем нетрудно. Сложности появляются при определении последовательности действий, которые бы привели к правильному ответу.
По внешнему виду уравнения порой бывает трудно определить его тип. А не зная типа уравнения, почти невозможно выбрать из нескольких десятков тригонометрических формул нужную.
Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:
1. привести все функции входящие в уравнение к «одинаковым углам»;
2. привести уравнение к «одинаковым функциям»;
3. разложить левую часть уравнения на множители и т.п.
Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.
I. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям
Схема решения
Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.
Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Шаг 3. Найти неизвестную переменную.
Пример.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Решение.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Замена переменной
Схема решения
Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.
Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).
Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.
Шаг 4. Сделать обратную замену.
Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.
Пример.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Решение.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Пусть sin (x/2) = t, где |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 или е = -3/2, не удовлетворяет условию |t| ≤ 1.
4) sin (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Ответ: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Метод понижения порядка уравнения
Схема решения
Шаг 1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Шаг 2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II.
Пример.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Решение.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 · cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Ответ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Однородные уравнения
Схема решения
Шаг 1. Привести данное уравнение к виду
a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)
или к виду
б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).
Шаг 2. Разделить обе части уравнения на
а) cos x ≠ 0;
б) cos 2 x ≠ 0;
и получить уравнение относительно tg x:
а) a tg x + b = 0;
б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Шаг 3. Решить уравнение известными способами.
Пример.
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0.
Решение.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Пусть tg x = t, тогда
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 или t = -4, значит
tg x = 1 или tg x = -4.
Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Ответ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул
Схема решения
Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV.
Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами.
Пример.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Решение.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;
Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2.
Имеем х = π/4 + πn/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
В итоге х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Ответ: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Умения и навыки решать тригонометрические уравнения являются очень 
важными, их развитие требует значительных усилий, как со стороны ученика, так и со стороны учителя.
С решением тригонометрических уравнений связаны многие задачи стереометрии, физики, и др. Процесс решения таких задач как бы заключает в себе многие знания и умения, которые приобретаются при изучении элементов тригонометрии.
Тригонометрические уравнения занимают важное место в процессе обучения математики и развития личности в целом.
Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
