Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Онлайн-калькулятор возведения в степень

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом:

a n = a * a * a * …a n .

Например:

• 2 3 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло	2-ая ст-нь	3-я ст-нь
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Проверим на примерах:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Иначе 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. А если по-другому? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием ? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3) 2 = 2 2 = 4.

А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях ? Порядок тот же:

• при наличии скобок – начинать нужно с них;
• затем возведение в степень;
• потом выполнять действия умножения, деления;
• после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: a m / n .
2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b) n = a n * b n .
4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается :

A (- n) = 1 / A n , 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A (- n) = A n , 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

А если дробь?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…и т. д.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…и т. д.

Кроме того, если (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: A m / n . Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

• А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рациональные числа;

• 0˂А˂1.

В этом случае наоборот: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r 1 – в этом случае равно 3;

r 2 – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1 π = 1.

А = 2, то 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

А = 1/2, то (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 - b n и h 5 -d 4 есть a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат - это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 - это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Ответ: x 4 - y 4 .
Умножьте (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых - отрицательные .

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a - b, результат будет равен a 2 - b 2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

Или:
$\frac{9a^3y^4}{-3a^3} = -3y^4$
$\frac{a^2b + 3a^2}{a^2} = \frac{a^2(b+3)}{a^2} = b + 3$
$\frac{d\cdot (a - h + y)^3}{(a - h + y)^3} = d$

Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac{a^5}{a^3}$. Но это равно a 2 . В ряде чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. .

Так, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac{yyy}{yy} = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac{aa^n}{a} = a^n$.

Или:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 .
Также, $\frac{1}{aaaaa} : \frac{1}{aaa} = \frac{1}{aaaaa}.\frac{aaa}{1} = \frac{aaa}{aaaaa} = \frac{1}{aa}$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac{1}{h} = h^2.\frac{h}{1} = h^3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac{5a^4}{3a^2}$ Ответ: $\frac{5a^2}{3}$.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac{6x^6}{3x^5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a - b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

9. Разделите (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Решение показательных уравнений. Примеры.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое показательное уравнение ? Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней. И только там! Это важно.

Вот вам примеры показательных уравнений :

3 х ·2 х = 8 х+3

Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) - только числа . В показателях степеней (вверху) - самые разнообразные выражения с иксом. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь, кроме показателя, например:

это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Здесь мы будем разбираться с решением показательных уравнений в чистом виде.

Вообще-то, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно. Вот эти типы мы и рассмотрим.

Решение простейших показательных уравнений.

Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например:

Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что х=2. Больше-то никак, верно!? Никакое другое значение икса не катит. А теперь глянем на запись решения этого хитрого показательного уравнения:

Что мы сделали? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки). Совсем выкинули. И, что радует, попали в точку!

Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней. Математика позволяет. Остаётся дорешать куда более простое уравнение. Здорово, правда?)

Однако, запомним железно: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве! Безо всяких соседей и коэффициентов. Скажем, в уравнениях:

2 х +2 х+1 = 2 3 , или

двойки убирать нельзя!

Ну вот, самое главное мы и освоили. Как переходить от злых показательных выражений к более простым уравнениям.

"Вот те раз!" - скажете вы. "Кто ж даст такой примитив на контрольных и экзаменах!?"

Вынужден согласиться. Никто не даст. Но теперь вы знаете, куда надо стремиться при решении замороченных примеров. Надо приводить его к виду, когда слева - справа стоит одно и то же число-основание. Дальше всё будет легче. Собственно, это и есть классика математики. Берём исходный пример и преобразовываем его к нужному нам виду. По правилам математики, разумеется.

Рассмотрим примеры, которые требуют некоторых дополнительных усилий для приведения их к простейшим. Назовём их простыми показательными уравнениями.

Решение простых показательных уравнений. Примеры.

При решении показательных уравнений, главные правила - действия со степенями. Без знаний этих действий ничего не получится.

К действиям со степенями надо добавить личную наблюдательность и смекалку. Нам требуются одинаковые числа-основания? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.

Посмотрим, как это делается на практике?

Пусть нам дан пример:

2 2х - 8 х+1 = 0

Первый зоркий взгляд - на основания. Они... Они разные! Два и восемь. Но впадать в уныние - рано. Самое время вспомнить, что

Двойка и восьмёрка - родственнички по степени.) Вполне можно записать:

8 х+1 = (2 3) х+1

Если вспомнить формулку из действий со степенями:

(а n) m = a nm ,

то вообще отлично получается:

8 х+1 = (2 3) х+1 = 2 3(х+1)

Исходный пример стал выглядеть вот так:

2 2х - 2 3(х+1) = 0

Переносим 2 3 (х+1) вправо (элементарных действий математики никто не отменял!), получаем:

2 2х = 2 3(х+1)

Вот, практически, и всё. Убираем основания:

Решаем этого монстра и получаем

Это правильный ответ.

В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) - очень популярный приём в показательных уравнениях! Да и в логарифмах тоже. Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для решения показательных уравнений.

Дело в том, что возвести любое число в любую степень - не проблема. Перемножить, хоть на бумажке, да и всё. Например, возвести 3 в пятую степень сможет каждый. 243 получится, если таблицу умножения знаете.) Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот... Узнавать, какое число в какой степени скрывается за числом 243, или, скажем, 343... Здесь вам никакой калькулятор не поможет.

Степени некоторых чисел надо знать в лицо, да... Потренируемся?

Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Ответы (в беспорядке, естественно!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Если приглядеться, можно увидеть странный факт. Ответов существенно больше, чем заданий! Что ж, так бывает... Например, 2 6 , 4 3 , 8 2 - это всё 64.

Предположим, что вы приняли к сведению информацию о знакомстве с числами.) Напомню ещё, что для решения показательных уравнений применим весь запас математических знаний. В том числе и из младших-средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, верно?)

Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки (привет 7 классу!). Смотрим примерчик:

3 2х+4 -11·9 х = 210

И вновь, первый взгляд - на основания! Основания у степеней разные... Тройка и девятка. А нам хочется, чтобы были - одинаковые. Что ж, в этом случае желание вполне исполнимое!) Потому, что:

9 х = (3 2) х = 3 2х

По тем же правилам действий со степенями:

3 2х+4 = 3 2х ·3 4

Вот и отлично, можно записать:

3 2х ·3 4 - 11·3 2х = 210

Мы привели пример к одинаковым основаниям. И что дальше!? Тройки-то нельзя выкидывать... Тупик?

Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:

Не знаешь, что нужно - делай, что можно!

Глядишь, всё и образуется).

Что в этом показательном уравнении можно сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 3 2х явно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет:

3 2х (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Пример становится всё лучше и лучше!

Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем:

Оп-па! Всё и наладилось!

Это окончательный ответ.

Случается, однако, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация - никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа. Освоим этот тип.

Замена переменной в решении показательных уравнений. Примеры.

Решим уравнение:

4 х - 3·2 х +2 = 0

Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.

4 х = (2 2) х = 2 2х

Получаем уравнение:

2 2х - 3·2 х +2 = 0

А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.

Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2 х) пишем другой, попроще (например - t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным!

Итак, пусть

Тогда 2 2х = 2 х2 = (2 х) 2 = t 2

Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:

Ну что, осеняет?) Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем:

Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t 1:

Стало быть,

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:

Гм... Слева 2 х, справа 1... Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единичка - это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит:

Вот теперь всё. Получили 2 корня:

Это ответ.

При решении показательных уравнений в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа:

Из семёрки двойка через простую степень не получается. Не родственники они... Как тут быть? Кто-то, может и растеряется... А вот человек, который прочитал на этом сайте тему "Что такое логарифм?" , только скупо улыбнётся и запишет твёрдой рукой совершенно верный ответ:

Такого ответа в заданиях "В" на ЕГЭ быть не может. Там конкретное число требуется. А вот в заданиях "С" - запросто.

В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. Выделим основное.

Практические советы:

1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".

Как обычно, в конце урока вам предлагается немного порешать.) Самостоятельно. От простого - к сложному.

Решить показательные уравнения:

Посложнее:

2 х+3 - 2 х+2 - 2 х = 48

9 х - 8·3 х = 9

2 х - 2 0,5х+1 - 8 = 0

Найти произведение корней:

2 3-х + 2 х = 9

Получилось?

Ну, тогда сложнейший пример (решается, правда, в уме...):

7 0.13х + 13 0,7х+1 + 2 0,5х+1 = -3

Что, уже интереснее? Тогда вот вам злой пример. Вполне тянет на повышенную трудность. Намекну, что в этом примере спасает смекалка и самое универсальное правило решения всех математических заданий.)

2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х

Пример попроще, для отдыха):

9·2 х - 4·3 х = 0

И на десерт. Найти сумму корней уравнения:

х·3 х - 9х + 7·3 х - 63 = 0

Да-да! Это уравнение смешанного типа! Которые мы в этом уроке не рассматривали. А что их рассматривать, их решать надо!) Этого урока вполне достаточно для решения уравнения. Ну и, смекалка нужна... И да поможет вам седьмой класс (это подсказка!).

Ответы (в беспорядке, через точку с запятой):

1; 2; 3; 4; решений нет; 2; -2; -5; 4; 0.

Всё удачно? Отлично.

Есть проблемы? Не вопрос! В Особом разделе 555 все эти показательные уравнения решаются с подробными объяснениями. Что, зачем, и почему. Ну и, конечно, там имеется дополнительная ценная информация по работе со всякими показательными уравнениями. Не только с этими.)

Последний забавный вопрос на соображение. В этом уроке мы работали с показательными уравнениями. Почему я здесь ни слова не сказал про ОДЗ? В уравнениях - это очень важная штука, между прочим...

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Урок на тему: "Правила умножения и деления степеней с одинаковыми и разными показателями. Примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Пособие к учебнику Ю.Н. Макарычева Пособие к учебнику А.Г. Мордковича

Цель урока: научится производить действия со степенями числа.

Для начала вспомним понятие "степень числа". Выражение вида $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}$ можно представить, как $a^n$.

Справедливо также обратное: $a^n= \underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}$.

Это равенство называется "запись степени в виде произведения". Оно поможет нам определить, каким образом умножать и делить степени.
Запомните:
a – основание степени.
n – показатель степени.
Если n = 1 , значит, число а взяли один раз и соответственно: $a^n= 1$.
Если n= 0 , то $a^0= 1$.

Почему так происходит, мы сможем выяснить, когда познакомимся с правилами умножения и деления степеней.

Правила умножения

a) Если умножаются степени с одинаковым основанием.
Чтобы $a^n * a^m$, запишем степени в виде произведения: $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n} * \underbrace{ a * a * \ldots * a }_{m}$.
На рисунке видно, что число а взяли n+m раз, тогда $a^n * a^m = a^{n + m}$.

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Это свойство удобно использовать, что бы упростить работу при возведении числа в большую степень.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Если умножаются степени с разным основанием, но одинаковым показателем.
Чтобы $a^n * b^n$, запишем степени в виде произведения: $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n} * \underbrace{ b * b * \ldots * b }_{m}$.
Если поменять местами множители и посчитать получившиеся пары, получим: $\underbrace{ (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) }_{n}$.

Значит, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила деления

a) Основание степени одинаковое, показатели разные.
Рассмотрим деление степени с большим показателем на деление степени с меньшим показателем.

Итак, надо $\frac{a^n}{a^m}$ , где n > m .

Запишем степени в виде дроби:

$\frac{\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}}{\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{m}}$.

Для удобства деление запишем в виде простой дроби.

Теперь сократим дробь.

Получается: $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n-m}= a^{n-m}$.
Значит, $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ .

Это свойство поможет объяснить ситуацию с возведением числа в нулевую степень. Допустим, что n=m , тогда $a^0= a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n} =1$.

Примеры.
$\frac{3^3}{3^2}=3^{3-2}=3^1=3$.

$\frac{2^2}{2^2}=2^{2-2}=2^0=1$.

б) Основания степени разные, показатели одинаковые.
Допустим, необходимо $\frac{a^n}{ b^n}$. Запишем степени чисел в виде дроби:

$\frac{\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}}{\underbrace{ b * b * \ldots * b }_{n}}$.

Для удобства представим.

Используя свойство дробей, разобьем большую дробь на произведение маленьких, получим.
$\underbrace{ \frac{a}{b} * \frac{a}{b} * \ldots * \frac{a}{b} }_{n}$.
Соответственно: $\frac{a^n}{ b^n}=(\frac{a}{b})^n$.

Пример.
$\frac{4^3}{ 2^3}= (\frac{4}{2})^3=2^3=8$.

Степень используется для упрощения записи операции умножения числа само на себя. Например, вместо записи можно написать 4 5 {\displaystyle 4^{5}} (объяснение такому переходу дано в первом разделе этой статьи). Степени позволяют упростить написание длинных или сложных выражений или уравнений; также степени легко складываются и вычитаются, что приводит к упрощению выражения или уравнения (например, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 {\displaystyle 4^{2}*4^{3}=4^{5}} ).

Примечание: если вам необходимо решить показательное уравнение (в таком уравнении неизвестное находится в показателе степени), прочитайте .

Шаги

Решение простейших задач со степенями

Умножьте основание степени само на себя числом раз, равным показателю степени. Если вам нужно решить задачу со степенями вручную, перепишите степень в виде операции умножения, где основание степени умножается само на себя. Например, дана степень 3 4 {\displaystyle 3^{4}} . В этом случае основание степени 3 нужно умножить само на себя 4 раза: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 {\displaystyle 3*3*3*3} . Вот другие примеры:

Для начала перемножьте первые два числа. Например, 4 5 {\displaystyle 4^{5}} = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4*4*4*4*4} . Не волнуйтесь - процесс вычисления не такой сложный, каким кажется на первый взгляд. Сначала перемножьте первые две четверки, а затем замените их полученным результатом. Вот так:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4}
  • 4 ∗ 4 = 16 {\displaystyle 4*4=16}

1. Умножьте полученный результат (в нашем примере 16) на следующее число. Каждый последующий результат будет пропорционально увеличиваться. В нашем примере умножьте 16 на 4. Вот так:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=16*4*4*4}
     • 16 ∗ 4 = 64 {\displaystyle 16*4=64}
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=64*4*4}
     • 64 ∗ 4 = 256 {\displaystyle 64*4=256}
   • 4 5 = 256 ∗ 4 {\displaystyle 4^{5}=256*4}
     • 256 ∗ 4 = 1024 {\displaystyle 256*4=1024}
   • Продолжайте умножать результат перемножения первых двух чисел на следующее число до тех пор, пока не получите окончательный ответ. Для этого перемножайте первые два числа, а затем полученный результат умножайте на следующее число в последовательности. Этот метод справедлив для любой степени. В нашем примере вы должны получить: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 {\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4=1024} .

2. Решите следующие задачи. Ответ проверьте при помощи калькулятора.

   • 8 2 {\displaystyle 8^{2}}
   • 3 4 {\displaystyle 3^{4}}
   • 10 7 {\displaystyle 10^{7}}

3. На калькуляторе найдите клавишу, обозначенную как «exp», или « x n {\displaystyle x^{n}} », или «^». При помощи этой клавиши вы будете возводить число в степень. Вычислить степень с большим показателем вручную практически невозможно (например, степень 9 15 {\displaystyle 9^{15}} ), но калькулятор с легкостью справится с этой задачей. В Windows 7 стандартный калькулятор можно переключить в инженерный режим; для этого нажмите «Вид» –> «Инженерный». Для переключения в обычный режим нажмите «Вид» –> «Обычный».

   • Проверьте полученный ответ при помощи поисковой системы (Google или Яндекс) . Воспользовавшись клавишей «^» на клавиатуре компьютера, введите выражение в поисковик, который моментально отобразит правильный ответ (и, возможно, предложит аналогичные выражения для изучения).

   Сложение, вычитание, перемножение степеней

   1. Складывать и вычитать степени можно только в том случае, если у них одинаковые основания. Если нужно сложить степени с одинаковыми основаниями и показателями, то вы можете заменить операцию сложения операцией умножения. Например, дано выражение 4 5 + 4 5 {\displaystyle 4^{5}+4^{5}} . Помните, что степень 4 5 {\displaystyle 4^{5}} можно представить в виде 1 ∗ 4 5 {\displaystyle 1*4^{5}} ; таким образом, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 {\displaystyle 4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}} (где 1 +1 =2). То есть посчитайте число подобных степеней, а затем перемножьте такую степень и это число. В нашем примере возведите 4 в пятую степень, а затем полученный результат умножьте на 2. Помните, что операцию сложения можно заменить операцией умножения, например, 3 + 3 = 2 ∗ 3 {\displaystyle 3+3=2*3} . Вот другие примеры:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 {\displaystyle 3^{2}+3^{2}=2*3^{2}}
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 {\displaystyle 4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}}
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 {\displaystyle 4^{5}-4^{5}+2=2}
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 {\displaystyle 4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}}

   2. При перемножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (основание не меняется). Например, дано выражение x 2 ∗ x 5 {\displaystyle x^{2}*x^{5}} . В этом случае нужно просто сложить показатели, оставив основание без изменений. Таким образом, x 2 ∗ x 5 = x 7 {\displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}} . Вот наглядное объяснение этого правила:

      При возведении степени в степень показатели перемножаются. Например, дана степень . Так как показатели степени перемножаются, то (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 {\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}} . Смысл этого правила в том, что вы умножаете степень (x 2) {\displaystyle (x^{2})} саму на себя пять раз. Вот так:

      • (x 2) 5 {\displaystyle (x^{2})^{5}}
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 {\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}}
      • Так как основание одно и то же, показатели степени просто складываются: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 {\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}}

   3. Степень с отрицательным показателем следует преобразовать в дробь (в обратную степень). Не беда, если вы не знаете, что такое обратная степень. Если вам дана степень с отрицательным показателем, например, 3 − 2 {\displaystyle 3^{-2}} , запишите эту степень в знаменатель дроби (в числителе поставьте 1), а показатель сделайте положительным. В нашем примере: 1 3 2 {\displaystyle {\frac {1}{3^{2}}}} . Вот другие примеры:

      При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (основание при этом не меняется). Операция деления противоположна операции умножения. Например, дано выражение 4 4 4 2 {\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}} . Вычтите показатель степени, стоящей в знаменателе, из показателя степени, стоящей в числителе (основание не меняйте). Таким образом, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 {\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}} = 16 .

      • Степень, стоящую в знаменателе, можно записать в таком виде: 1 4 2 {\displaystyle {\frac {1}{4^{2}}}} = 4 − 2 {\displaystyle 4^{-2}} . Помните, что дробь - это число (степень, выражение) с отрицательным показателем степени.

   4. Ниже приведены некоторые выражения, которые помогут вам научиться решать задачи со степенями. Приведенные выражения охватывают материал, изложенный в этом разделе. Для того, чтобы увидеть ответ, просто выделите пустое пространство после знака равенства.

   Решение задач с дробными показателями степени

   Степень с дробным показателем (например, ) преобразуется в операцию извлечения корня. В нашем примере: x 1 2 {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} = x {\displaystyle {\sqrt {x}}} . Здесь неважно, какое число стоит в знаменателе дробного показателя степени. Например, x 1 4 {\displaystyle x^{\frac {1}{4}}} - это корень четвертой степени из «х», то есть x 4 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}} .

   1. Если показатель степени представляет собой неправильную дробь, то такую степень можно разложить на две степени, чтобы упростить решение задачи. В этом нет ничего сложного - просто вспомните правило перемножения степеней. Например, дана степень . Превратите такую степень в корень, степень которого будет равна знаменателю дробного показателя, а затем возведите этот корень в степень, равную числителю дробного показателя. Чтобы сделать это, вспомните, что 5 3 {\displaystyle {\frac {5}{3}}} = (1 3) ∗ 5 {\displaystyle ({\frac {1}{3}})*5} . В нашем примере:

      • x 5 3 {\displaystyle x^{\frac {5}{3}}}
      • x 1 3 = x 3 {\displaystyle x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}}
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 {\displaystyle x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}} = (x 3) 5 {\displaystyle ({\sqrt[{3}]{x}})^{5}}
   2. На некоторых калькуляторах есть кнопка для вычисления степеней (сначала нужно ввести основание, затем нажать кнопку, а затем ввести показатель). Она обозначается как ^ или x^y.
   3. Помните, что любое число в первой степени равно самому себе, например, 4 1 = 4. {\displaystyle 4^{1}=4.} Более того, любое число, умноженное или разделенное на единицу, равно самому себе, например, 5 ∗ 1 = 5 {\displaystyle 5*1=5} и 5 / 1 = 5 {\displaystyle 5/1=5} .
   4. Знайте, что степени 0 0 не существует (такая степень не имеет решения). При попытке решить такую степень на калькуляторе или на компьютере вы получите ошибку. Но помните, что любое число в нулевой степени равно 1, например, 4 0 = 1. {\displaystyle 4^{0}=1.}
   5. В высшей математике, которая оперирует мнимыми числами: e a i x = c o s a x + i s i n a x {\displaystyle e^{a}ix=cosax+isinax} , где i = (− 1) {\displaystyle i={\sqrt {(}}-1)} ; е - константа, примерно равная 2,7; а - произвольная постоянная. Доказательство этого равенства можно найти в любом учебнике по высшей математике.

   Предупреждения

   • При увеличении показателя степени ее значение сильно возрастает. Поэтому если ответ кажется вам неправильным, на самом деле он может оказаться верным. Вы можете проверить это, построив график любой показательной функции, например, 2 x .