Урок "откладывание вектора от данной точки"

ов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Определение 1

Если точка $A$ начала какого-либо вектора $\overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).

Рисунок 1. $\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$

Введем следующую теорему:

Теорема 1

От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow{a}$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

Вектор $\overrightarrow{a}$ - нулевой.

В этом случае, очевидно, что искомый вектор -- вектор $\overrightarrow{KK}$.

Вектор $\overrightarrow{a}$ -- ненулевой.

Обозначим точкой $A$ -- начало вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ - конец вектора $\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $\overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{KL}$ и $\overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $\overrightarrow{a}$ (рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Вычитание векторов. Правило первое

Пусть нам даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

Определение 2

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется такой вектор $\overrightarrow{c}$, который при сложении с вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$, то есть

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\]

Обозначение: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$.

Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.

Пример 1

Пусть даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Построить вектор $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Решение.

Построим произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Соединив точку $B$ с точкой $A$, получим вектор $\overrightarrow{BA}$ (рис. 3).

Рисунок 3. Разность двух векторов

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

\[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\]

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}\]

Из определения 2, получаем, что

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}\]

Ответ: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}$.

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ и соединить конец второго вектор с концом первого вектора.

Вычитание векторов. Правило второе

Вспомним следующее необходимое нам понятие.

Определение 3

Вектор $\overrightarrow{a_1}$ называется произвольным для вектора $\overrightarrow{a}$, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.

Обозначение: Вектор $(-\overrightarrow{a})$ противоположный для вектора $\overrightarrow{a}$.

Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.

Теорема 2

Для любых двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ справедливо следующее равенство:

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\]

Доказательство.

По определению 2, имеем

Прибавим к обеим частям вектор $\left(-\overrightarrow{b}\right)$, получим

Так как векторы $\overrightarrow{b}$ и $\left(-\overrightarrow{b}\right)$ противоположны, то $\overrightarrow{b}+\left(-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{0}$. Имеем

Теорема доказана.

Из этой теоремы получаем следующее правило для разности двух векторов: Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить вектор $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, затем от полученной точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{b}$ и соединить начало первого вектора с концом второго вектора.

Пример задачи на понятие разности векторов

Пример 2

Пусть дан параллелограмм $ADCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ (рис. 4). Выразить через векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ следующие векторы:

а) $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$

б) $\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}$

Рисунок 4. Параллелограмм

Решение.

а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим

\[\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}\]

Из первого правила разности двух векторов, получаем

\[\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\]

б) Так как $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}$, получим

\[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}\]

По теореме 2, имеем

\[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}+\left(-\overrightarrow{AO}\right)=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\]

Используя правило треугольника, окончательно имеем

\[\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{a}\]

Знания и навыки, полученные на данном уроке, пригодятся обучающимся не только на уроках геометрии, но и на занятиях по другим наукам. В ходе урока школьники научатся откладывать вектор от заданной точки. Это может быть обычный урок геометрии, а также внеклассное или факультативное занятие по математике. Данная разработка поможет учителю сэкономить свое время на подготовку к уроку по теме «Откладывание вектора от данной точки». Ему будет достаточно воспроизвести видеоурок на занятии, а затем закрепить материал собственной подборкой упражнений.

Урок по продолжительности занимаем всего 1:44 минуты. Но этого достаточно, чтобы научить школьников откладывать вектор от заданной точки.

Урок начинается с демонстрации вектора, начало которого находится в некоторой точке. Говорят, что вектор от нее отложен. Затем автор предлагает доказать вместе с ним утверждение, согласно которому от любой точки можно отложить вектор, равный данному и, притом, единственный. В ходе доказательства автор подробно рассматривает каждый случай. Во-первых, он берет ситуацию, когда данный вектор нулевой, во-вторых, когда вектор - ненулевой. Во время доказательства используются иллюстрации в виде рисунков и построения, математическая запись, которые формируют у школьников математическую грамотность. Автор рассказывает, не торопясь, что позволяет обучающимся вести записи параллельно, пока идет комментирование. Построение, которое вел автор в ходе доказательства ранее сформулированного утверждения, показывает, как от некоторой точки можно построить вектор, равный данному.

Если обучающиеся будут внимательно смотреть урок и параллельно вести записи, то они легко усвоят материал. Тем более, что автор рассказывает подробно, размеренно и достаточно полно. Если по каким-то причинам что-то не услышали, то можно вернуться и посмотреть урок еще раз.

После просмотра видеоурока желательно приступить к закреплению материала. Учителю рекомендуется подобрать задания по данной теме, чтобы отработать навык откладывания вектора от данной точки.

Данный урок можно использовать для самостоятельного изучения темы школьниками. Но для закрепления необходимо обратиться к учителю, чтобы он подобрал соответствующие задания. Ведь без закрепления материала сложно добиться положительного результата в обучении.

1. Дать определение равенства геометрический векторов.

Два геометрических вектора называют равными, если:

они коллинеарны и однонаправлены;

их длины совпадают.

2. Дать определение суммы векторов и умножения вектора на число.

Суммой a + b двух векторов a и b называют вектор c, построенный по следующему правилу треугольника. Совместим начало вектора b с концом вектора a. Тогда суммой этих векторов будет вектор c, начало которого совпадает с началом a, а конец - с концом b.

Наряду с правилом треугольника существует правило параллелограмма. Выбрав для векторов a и b общее начало, строим на этих векторах параллелограмм. Тогда диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала векторов, определяет их сумму.

При умножении вектора на число, направление вектора не меняется, а длина вектора умножается на число.

3. Дать определения коллинеарных и компланарных векторов.

Два геометрических вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Три геометрических вектора называют компланарными, если эти векторы лежат на прямых, параллельных некоторой плоскости.

4. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов.

Векторы a 1 , … , a n называют линейно зависимыми, если существует такой набор коэффициентовα 1 , . . . , α n , чтоα 1 a 1 + . . . + α n a n = 0 и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой.

Если указанного набора коэффициентов не существует, то векторы называют линейно независимыми.

5. Сформулировать геометрические критерии линейной зависимости 2-х и 3-х векторов.

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

6. Дать определение базиса и координат вектора.

Базис- множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.

Координаты вектора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

7. Сформулировать теорему о разложении вектора по базису.

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Если = (̅		– базис , ̅		= (1, 2, 3) , то существует набор чисел(	…) такой, что

	̅ + + ̅̅, где (		…) – координаты вектора в базисе.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

Ортогональной проекции вектора на направление вектора называется скалярная величина Пр = | | cos() , где угол – угол между векторами.

9. Дать определение скалярного произведения векторов.

Скалярным произведением двух векторов и называют число, равное cos -

произведению длин | | и| | этих векторов на косинус угла между ними.

10. Сформулировать свойство линейности скалярного произведения.

λ(̅ ̅ ).

= ̅ с̅+ ̅ с̅.

11. Записать формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе.

̅ = { , }, ̅ = { , }

̅ ̅ = + +

12. Записать формулу для косинуса угла между векторами, заданными в ортонормированном базисе.

̅ ̅ cos =̅ |̅|| |

13. Дать определение правой и левой тройки векторов.

Упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c называют правой, если направление вектораa совмещается с направлением вектораb при помощи кратчайшего поворота вектораa в плоскости этих векторов, который со стороны векторас совершается против хода часовой стрелки. В противном случае (поворот по ходу часовой стрелки) эту тройку называют левой.

14. Дать определение векторного произведения векторов.

Векторным произведением неколлинеарных векторов̅ и̅ называют такой векторс̅ , который удовлетворяет следующим трем условиям:

вектор c ортогонален векторамa иb ;

длина вектора c равна |с̅ | = |̅ | |̅ |sin ϕ, где ϕ - угол между векторами̅ и̅ ;

упорядоченная тройка векторов ̅ ,̅ ,с̅ является правой.

15. Сформулировать свойство коммутативности (симметричности) скалярного произведения и свойство антикоммутативности (антисимметричности) векторного произведения.

Скалярное произведение коммутативно: ̅ ̅ =̅ ̅ .

Векторное произведение антикоммутативно: ̅ x̅ =− ̅ x̅ .

16. Сформулировать свойство линейности векторного произведения векторов.

свойство ассоциативности совместно с умножением на число (λ ̅ )×̅ = λ(̅ ×̅ );

свойство дистрибутивности относительно сложения (̅ +̅ )×с̅ =̅ ×с̅ +̅ ×с̅ .

Cвойства ассоциативности и дистрибутивности векторного произведения объединяют, аналогично случаю скалярного произведения, в свойство линейности векторного произведения

относительно первого сомножителя. В силу свойства антикоммутативности векторного произведения векторное произведение линейно и относительно второго сомножителя:

̅ ×(λ̅ ) = −(λ̅ )×̅ = −λ(̅ ×̅ ) = λ(̅ ×̅ )

̅ ×(̅ +̅с ) = −(̅ +̅с )×̅ = −(̅ ×̅ +̅с ×̅ ) =̅ ×̅ +̅ ×̅с .

17. Записать формулу для вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе.

̅ = { , }, ̅ = { , }.

18. Дать определение смешанного произведения векторов.

Смешанным произведением трех векторов̅ ,̅ ,с̅ называют число, равное (̅ ×̅ )с̅ - скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов и третьего вектора.

19. Сформулировать свойство перестановки (кососимметричности) смешанного произведения.

Для смешанного произведения действует правило циклической перестановки :


	̅ с̅ = с̅ ̅		= ̅с ̅= − ̅ с̅	= − с̅ ̅= − ̅ ̅с.
20. Сформулировать свойство линейности смешанного произведения.
Для смешанного произведения выполняется свойство ассоциативности относительно

	умножения векторов на число: (λ ̅ )с̅				= λ(̅ с̅ ).

	Для смешанного произведения выполняется свойство дистрибутивности: (̅̅̅ +̅̅̅ )с̅					= ̅̅̅

	̅с + ̅̅̅
	̅с + ̅̅̅	̅с.

Эти свойства смешанного произведения сформулированы для первого сомножителя. Однако при помощи циклической перестановки можно доказать аналогичные

утверждения и для второго и для третьего сомножителей, т.е. верны равенства

̅ (λ̅ )̅с = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ ̅ (λ̅с ) = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ (̅̅̅ 1 +̅̅̅ 2 )̅с =̅ ̅̅̅ 1 ̅с +̅ ̅̅̅ 2 ̅с ,̅ ̅ (̅ 1 +̅ 2 ) =̅ ̅ ̅ 1 +̅ ̅ ̅ 2 ,

и в итоге имеем свойство линейности смешанного произведенияпо каждому сомножителю.

21. Записать формулу для вычисления смешанного произведения в правом ортонормированном базисе.

̅ = { , }, ̅ = { , }, ̅= { , }

22. Записать общее уравнение плоскости и уравнение “в отрезках”. Объяснить геометрический смысл входящих в эти уравнения параметров.

Уравнение Ax + By + Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости . Коэффициенты A, B, C при неизвестных в этом уравнении имеют наглядный геометрический смысл: вектор n = {A; B; C} перпендикулярен плоскости. Его называют нормальным вектором плоскости. Он, как и общее уравнение плоскости, определяется с точностью до (ненулевого) числового множителя.

Уравнение + + = 1 называютуравнением плоскости в отрезках , где a, b, c –

соответствующие координаты точек лежащих на осях OX, OY и OZ соответственно.

23. Записать уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.

Пусть 1 (1 , 1 , 1 ) ,2 (2 , 2 , 2 ), 3 (3 , 3 , 3 ) – заданные точки, а точка M(x, y, z) – точка, принадлежащая плоскости, образованной точками1 , 2 и 3 , тогда уравнение плоскости имеет

− 1	− 1	− 1
\| 2 −1	2 − 1	2 −1 \| = 0
3 − 1	3 − 1	3 − 1

24. Сформулировать условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Две плоскости перпендикулярны , если их нормальные векторыортогональны .

Две плоскости параллельны , если их нормальные векторыколлинеарны .

25. Записать формулу для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.

Для нахождения расстояния от точки 0 (0 , 0 , 0 ) до плоскости

: + + + = 0 используется формула:(,) = | 0 + 0 + 0 + |

√ 2 +2 +2

26. Записать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Объяснить геометрический смысл входящих в эти уравнения параметров.

Уравнение { = 0 + , где {l; m; n} - координаты направляющего вектора̅ прямой L и

(0 ;0 ;

– координаты точки 0 Lв прямо угольной системе координат, называют

параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Уравнение

− 0

называют каноническими уравнениями прямойв

пространстве.

27. Записать уравнение прямой, проходящей через две данные точки в пространстве.

Уравнения

− 1

называют уравнениями прямой, проходящей через две точки

1 (1 ,1 ,1 )и 2 (2 ,2 ,2 ).

28. Записать условие принадлежности двух прямых одной плоскости.

Пусть а иb - направляющие векторы этих прямых, а точки M1 и M2 принадлежат соответственно прямым иl 1 иl 2 . Тогда две прямые будут принадлежать одной плоскости, если смешанное произведение (a, b, M1 M2 ) равно 0.

29. Записать формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.

Расстояние от точки 1 до прямой L может быть вычислено по формуле:

30. Записать формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми 1 и2 может быть вычислено по формуле:

принадлежащие прямым.

1. Доказать геометрический критерий линейной зависимости трёх векторов.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство:

Если три вектора ̅ ,̅ ,̅ линейно зависимы, то, согласно теореме 2.1 (о линейной зависимости векторов), один из них, например̅ , является линейной комбинацией остальных:̅ = β̅ + γ̅ . Совместим начала векторов̅ и̅ в точке A. Тогда векторы β̅ , γ̅ будут иметь общее начало в точке A и по правилу параллелограмма их сумма, т.е. вектор̅ , будет представлять собой вектор с началом A и концом, являющимся вершиной параллелограмма, построенного на векторахслагаемых. Таким образом, все векторы лежат в одной плоскости, т.е. компланарны.

Пусть векторы ̅ ,̅ ,̅ компланарны. Если один из этих векторов является нулевым, то очевидно, что он будет линейной комбинацией остальных. Достаточно все коэффициенты линейной комбинации взять равными нулю. Поэтому можно считать, что все три вектора не являются нулевыми. Совместим начала этих векторов в общей точке O. Пусть их концами будут соответственно точки A, B, C (рис. 2.1). Через точку C проведем прямые, параллельные прямым, проходящим через пары точек O, A и O, B. Обозначив точки пересечения через A’ и B’, получим


параллелограмм OA’CB’, следовательно, = ′ + ′ . Вектор′ и ненулевой вектор̅
коллинеарны, а потому первый из них может быть получен умножением второго на

действительное число α: ′ = . Аналогично′ = , β R.В результате получаем , что
	̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
= ′ + ′ , т.е. вектор̅ является линейной комбинацией векторов̅ и. Согласно теореме
		̅ являются линейно зависимыми.
2.1 (о линейной зависимости векторов), векторы ̅ ,		̅ являются линейно зависимыми.

2. Доказать теорему о разложении вектора по базису.
Теорема о разложении вектора по базису. Если = (̅			– базис , ̅		= (1, 2, 3), то

существует набор чисел (	…) такой, что̅= ̅̅̅	̅ + + ̅ ̅, где (		…) – координаты

вектора в базисе.

Доказательство: (для i = 2)

(̅1 , ̅2 )– базис 2 , ̅2

По определению пространства V2: x, e1, e2 – компланарны => (критерий линейной зависимости 3- х векторов) => ̅ ,̅ 1 , ̅ 2 линейно зависимы =>0 , 1 , 2 .

0 ̅+1 ̅1 +2 ̅2 = 0̅ ,0 2 +1 2 +2 2 ≠ 0

1 случай: 0 = 0 , тогда1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 = 0 ̅ ,1 2 + 2 2 ≠ 0 , значит1 , 2 – линейно зависимые (̅ 1 , ̅ 2 ) – лин. завис. ̅ 1 и ̅ 2 коллинеарны.

2 случай: 0 ≠ 0

̅= (− 1 ) ̅1 + (−2 ) ̅2 0 0

Доказали существование.

Пусть существует 2 представления:

̅= 1 ̅1 +2 ̅2

Разность:

0 ̅ = ̅− ̅= 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 − 1 ̅ 1 − 2 ̅ 2 = (1 − 1 )̅ 1 + (2 − 2 )̅ 2 => линейно зависимы, а это противоречит определению базиса.

3. Доказать свойство линейности скалярного произведения.

Совместно с умножением на число операция скалярного умножения ассоциативна: (λ̅ )̅ =

λ(̅ ̅ ).

Скалярное умножение и сложение векторов связаны свойством дистрибутивности: (̅ +̅ )с̅

= ̅ с̅+ ̅ с̅.

Что и требовалось доказать.

4. Вывести формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в ортонормированном базисе.

Вывод формулы для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в ортонормированном базисе.

Пусть векторы ̅ и̅ из3 заданы своими координатами в ортонормированном базисе,̅ ,̅ ̅ :̅ = { ; ; },̅ = { ; ; }. Это означает, что имеются разложения̅ =̅ +̅ +̅ ,

̅ =̅ +̅ +̅ . Используя их и свойства скалярного произведения, вычислим

̅̅ = (̅+ ̅+̅ )(̅+ ̅+̅ )

= ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ + ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ +̅ ̅+̅ ̅ +̅ ̅ =2 ̅+2 ̅+̅ 2 = + + .

Окончательный ответ получен с учетом того, что ортонормированность базиса,̅ ,̅

̅ означает выполнение равенств̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, 2 ̅= 2 ̅= 2 = 1 . Таким образом,

̅ ̅ = + +

5. Вывести формулу для вычисления векторного произведения векторов, заданных в правом ортонормированном базисе.

Вывод формулы для вычисления векторного произведения векторов, заданных в ортонормированном базисе.

Рассмотрим два вектора ̅

и, заданных своими координатами в правом ортонормированном базисе

̅ = {

}. Тогда имеют место разложения этих векторов ̅ =̅ +̅

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

Исходя из этих

представлений

алгебраических

векторного умножения,

получаем

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

Чтобы упростить полученную формулу, заметим, что она похожа на формулу разложения определителя третьего порядка по 1-й строке, только вместо числовых коэффициентов стоят векторы. Поэтому можно записать эту формулу как определитель, который вычисляется по обычным правилам. Две строки этого определителя будут состоять из чисел, а одна - из векторов. Итак, формулу вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе,̅ ,̅ ̅ можно записать в виде:

6. Доказать свойство линейности смешанного произведения.

Используя свойства смешанного произведения, можно доказать линейность векторного

произведения по первому множителю:

(̅ + ̅ , ̅)= (̅,)̅+ (̅ ,)̅

Для этого найдем скалярное произведение вектора в левой части равенства и единичного векторастандартного базиса. Учитывая линейность смешанного произведения по второму множителю,

получаем

т.е. абсцисса вектора, стоящего в левой части доказываемого равенства равна абсциссе вектора в правой его части. Аналогично доказываем, что ординаты, а также и аппликаты, векторов в обеих частях равенства соответственно равны. Следовательно, это равные векторы, так как их координаты относительно стандартного базиса совпадают.

7. Вывести формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов в правом ортонормированном базисе.

Вывод формулы для вычисления смешанного произведения трёх векторов в правом ортонормированном базисе.

Пусть векторы a, b, c заданы своими координатами в правом ортонормированном базисе: ̅ = { ;

}, = { ; ; }, ̅с = { ; ; }. Чтобы найти их смешанное произведение,

воспользуемся формулами для вычисления скалярного и векторного произведений:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

8. Вывести формулу для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.

Вывод формулы для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.

Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость π и произвольную точку 0 . Выберем

для плоскости единичный нормальный вектор n с началом в некоторой точке 1 π ,и пусть ρ(0 ,

так как | ̅ | = 1.

Если плоскость π задана в прямоугольной системе координат своим общим уравнением
Ax + By + Cz + D = 0, то ее нормальным вектором является вектор с координатами {A; B; C}.
Пусть (0 , 0 , 0 ) и(1 , 1 , 1 ) - координаты точек0				и 1 . Тогда выполнено равенство
A 1 +B1 +C1 +D = 0, так как точка M1 принадлежит плоскости, и можно найти координаты
̅̅̅̅̅̅̅̅		̅̅̅̅̅̅̅̅					̅̅̅̅̅̅̅̅
Вектора 1 0 :		1 0 = (0 − 1 ; 0 − 1 ; 0 − 1 ) . Записывая скалярное произведение̅ 1 0
координатной форме и преобразуя (5.8), получаем
	\| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )\|				\| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )\|

			2 + 2+ 2			2 + 2+ 2

= |0 +0 +0 + | √2 +2 +2

поскольку 1 + 1 + 1 = − . Итак, чтобы вычислить расстояние от точки до плоскости нужно подставить координаты точки в общее уравнение плоскости, а затем абсолютную величину результата разделить на нормирующий множитель, равный длине соответствующего нормального вектора.

9. Вывести формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.

Вывод формулы для расстояния от точки до прямой в пространстве.

Расстояние от точки 1 (1 , 1 , 1 ) до прямой L, заданной каноническими уравнениями L:− 0 = − 0 = − 0 , может быть вычислено при помощи векторного произведения. Действительно,

канонические уравнения прямой дают нам точку 0 (0 , 0 , 0 ) на прямой

и направляющий вектор ̅ = {l; m; n} этой прямой. Построим параллелограмм на векторах̅ и̅̅̅̅̅̅̅̅ .

Тогда расстояние от точки 1 до прямой L будет равно высоте h параллелограмма (рис. 6.6).

Значит, нужное расстояние может быть вычислено по формуле

	̅̅̅̅̅̅̅̅
(1 ,) =	\| 0 1 × \|

10. Вывести формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми.

Вывод формулы для расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно находить, используя смешанное

произведение. Пусть прямые 1	и 2		каноническими уравнениями. Так как они
			̅̅̅̅̅̅̅̅

скрещиваются, их направляющие векторы 1 ,2 и вектор1 2 , соединяющий точки на прямых, некомпланарны. Поэтому на них можно построить параллелепипед (рис. 6.7).

Тогда расстояние между прямыми равно высоте h этого параллелепипеда. В свою очередь, высоту параллелепипеда можно вычислить как отношение объема параллелепипеда к площади его основания. Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения трех указанных векторов, а площадь параллелограмма в основании параллелепипеда равна модулю векторного произведения направляющих векторов прямых. В результате получаем формулу для расстояния

(1 , 2 ) между прямыми:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|

Вектором называется направленный отрезок прямой евклидова пространства, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, а другой конец (точка B) концом вектора (Рис. 1). Векторы обозначаются:

Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым вектором и обозначается 0 .

Пример. Пусть в двухмерном пространстве начало вектора имеет координаты A (12,6) , а конец вектора - координаты B (12,6). Тогда вектор является нулевым вектором.

Длина отрезка AB называется модулем (длиной , нормой ) вектора и обозначается |a |. Вектор длины, равной единице, называется единичным вектором . Кроме модуля вектор характеризуется направлением: вектор имеет направление от A к B . Вектор называется вектором, противоположным вектору .

Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке Рис. 3 красные векторы коллинеарны, т.к. они лажат на одной прямой, а синие векторы коллинеарны, т.к. они лежат на параллельных прямых. Два коллинеарных вектора называются одинаково направленными , если их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными , если их концы лежат по разные стороны от прямой, соединяющей их начала. Если два коллинеарных вектора лежат на одной прямой, то они называются одинаково направленными, если один из лучей, образованным одним вектором полностью содержит луч, образованным другим вектором. В противном случае векторы называются противоположно направленными. На рисунке Рис.3 синие векторы одинаково направлены, а красные векторы противоположно направлены.

Два вектора называются равными если они имеют равные модули и одинаково направлены. На рисунке Рис.2 векторы равны т.к. их модули равны и имеют одинаковое направление.

Векторы называются компланарными , если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях.

В n мерном векторном пространстве рассмотрим множество всех векторов, начальная точка которых совпадает с началом координат. Тогда вектор можно записать в следующем виде:

(1)

где x 1 , x 2 , ..., x n координаты конечной точки вектора x .

Вектор, записанный в виде (1) называется вектор-строкой , а вектор, записанный в виде

(2)

называется вектор-столбцом .

Число n называется размерностью (порядком ) вектора. Если то вектор называется нулевым вектором (т.к. начальная точка вектора ). Два вектора x и y равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы.

Г – 9 класс Урок № 2

Тема: Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки.

Цели:

ввести понятие вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов;

научить обучающихся изображать и обозначать векторы, откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному;

закрепить знания обучающихся в ходе решения задач;

развивать память, внимание, математическое мышление;

вырабатывать трудолюбие, стремление достигать поставленные цели и задачи.

Ход урока.

Организационные моменты.

Сообщение темы и целей урока.

Актуализация знаний и умений обучающихся.

1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных заданий.

2. Проверка теоретических сведений:

Равнобедренный треугольник и его свойства. Признаки равенства треугольников.

Определение средней линии треугольника и ее свойство.

Теорема Пифагора и обратная ей теорема.

Формула для вычисления площади треугольника.

Понятие параллелограмма, свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника.

Определение трапеции, виды трапеций.

Площадь параллелограмма, площадь трапеции.

Изучение нового материала.

Материал пунктов 76–78 изложить в виде небольшой лекции с применением разнообразных презентации «Вектора»

1. Понятие векторных величин (или коротко векторов).

2. Примеры векторных величин, известных обучающимся из курса физики: сила, перемещение материальной точки, скорость и другие (рис. 240 учебника).

3. Определение вектора (рис. 241, 242).

4. Обозначение вектора – двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например, , или часто обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: (рис. 243, а, б).

5. Понятие нулевого вектора: любая точка плоскости также является вектором; в этом случае вектор называется нулевым; обозначают: (рис. 243, а).

6. Определение длины или модуля ненулевого вектора . Обозначение: . Длина нулевого вектора = 0.

7. Найти длины векторов, изображенных на рисунках 243, а и 243, б.

8. Выполнить практические задания № 738, 739.

9. Рассмотреть пример движения тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении (из пп. 77 учебника), рис. 244.

10. Ввести понятие коллинеарных векторов (рис. 245).

11. Определение понятий сонаправленных векторов и противоположно направленных векторов, их обозначение (рис. 246).

12. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

13. Определение равных векторов: если и , то .

14. Объяснение смысла выражения: «Вектор отложен от точки А» (рис. 247).

15. Доказательство утверждения, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (рис. 248).

16. Выполнение практического задания № 743.

17. Устно по готовому чертежу на доске решить задачу № 749.

Решение задач.

1. Решить задачу № 740 (а) на доске и в тетрадях.

2. Устно решить задачу № 744.

3. Решить задачу № 742.

4. Решить задачу № 745 (выборочно).

5. Устно по заготовленному чертежу решить задачу № 746.

6. Доказать прямое утверждение в задаче № 750:

Доказательство

По условию , то AB || CD, значит, по признаку параллелограмма АВDС – параллелограмм, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, середины отрезков AD и BC совпадают.

Повторение организовать в ходе решения следующих задач - Задания для повторения из банка заданий ОГЭ (ГИА)-2016:

№ 9, 10, 11, 12, 13 – из модуля «Геометрия»; № 24 – из части 2 модуля «Геометрия» Вариант № 3

Итоги урока.

Подведение итогов урока. Выставление отметок.

В результате изучения § 1 обучающиеся должны знать определения вектора и равных векторов; уметь изображать и обозначать векторы, откладывать от данной точки вектор, равный данному; решать задачи типа №№ 741–743; 745–752.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 76–78; ответить на вопросы 1–6, с. 213 учебника; решить задачи №№ 747, 749, 751.