a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Otsus. Otsime võrrandisüsteemile üldist lahendust

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gaussi meetod. Selleks kirjutame selle homogeense süsteemi koordinaatidesse:

Süsteemi maatriks

Lubatud süsteem näeb välja selline: (r A = 2, n= 3). Süsteem on järjepidev ja määratlemata. Selle üldine lahendus ( x 2 – vaba muutuja): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Nullist erineva privaatlahenduse olemasolu, näiteks , näitab, et vektorid a 1 , a 2 , a 3 lineaarselt sõltuv.

Näide 2

Uurige, kas antud vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv või lineaarselt sõltumatu:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Otsus. Vaatleme homogeenset võrrandisüsteemi a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

või laiendatud (koordinaatide järgi)

Süsteem on homogeenne. Kui see pole degenereerunud, on sellel ainulaadne lahendus. Homogeense süsteemi korral null- (triviaalne) lahendus. Seega on vektorite süsteem antud juhul sõltumatu. Kui süsteem on degenereerunud, on sellel nullist erinevad lahendused ja seepärast on see sõltuv.

Süsteemi degeneratsiooni kontrollimine:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Süsteem on mittedegenereerunud ja seega ka vektorid a 1 , a 2 , a 3 on lineaarselt sõltumatud.

Ülesanded. Uurige, kas antud vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv või lineaarselt sõltumatu:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Tõesta, et vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, kui see sisaldab:

a) kaks võrdset vektorit;

b) kaks võrdelist vektorit.

Selles artiklis käsitleme järgmist:

• mis on kollineaarsed vektorid;
• millised on kollineaarsete vektorite tingimused;
• millised on kollineaarsete vektorite omadused;
• milline on kollineaarsete vektorite lineaarne sõltuvus.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definitsioon

Kollineaarsed vektorid on vektorid, mis on paralleelsed sama sirgega või asuvad samal sirgel.

Näide 1

Kollineaarsete vektorite tingimused

Kaks vektorit on kollineaarsed, kui mõni järgmistest tingimustest on tõene:

• tingimus 1 . Vektorid a ja b on kollineaarsed, kui on olemas selline arv λ, et a = λ b ;
• tingimus 2 . Vektorid a ja b on kollineaarsed võrdse koordinaatide suhtega:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• tingimus 3 . Vektorid a ja b on kollineaarsed tingimusel, et vektori korrutis ja nullvektor on võrdsed:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Märkus 1

Tingimus 2 ei kehti, kui üks vektori koordinaatidest on null.

Märkus 2

Tingimus 3 rakendatav ainult nendele vektoritele, mis on antud ruumis.

Ülesannete näited vektorite kollineaarsuse uurimisel

Näide 1

Uurime vektorite a \u003d (1; 3) ja b \u003d (2; 1) kollineaarsust.

Kuidas otsustada?

Sel juhul on vaja kasutada kollineaarsuse 2. tingimust. Antud vektorite puhul näeb see välja järgmine:

Võrdsus on vale. Sellest võime järeldada, et vektorid a ja b on mittekollineaarsed.

Vastus : a | | b

Näide 2

Milline vektori a = (1 ; 2) ja b = (- 1 ; m) väärtus m on vajalik, et vektorid oleksid kollineaarsed?

Kuidas otsustada?

Kasutades teist kollineaarset tingimust, on vektorid kollineaarsed, kui nende koordinaadid on võrdelised:

See näitab, et m = -2.

Vastus: m = -2.

Vektorite süsteemide lineaarse sõltuvuse ja lineaarse sõltumatuse kriteeriumid

Teoreem

Vektoriruumi vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv ainult siis, kui süsteemi üht vektorit saab väljendada ülejäänud süsteemi vektoritega.

Tõestus

Olgu süsteem e 1 , e 2 , . . . , e n on lineaarselt sõltuv. Kirjutame üles selle süsteemi lineaarkombinatsiooni, mis on võrdne nullvektoriga:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

milles vähemalt üks kombinatsiooni koefitsient ei ole võrdne nulliga.

Olgu a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Jagame võrdsuse mõlemad pooled nullist erineva koefitsiendiga:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Tähistage:

A k - 1 a m , kus m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Sel juhul:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

või e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Sellest järeldub, et süsteemi üht vektorit väljendatakse süsteemi kõigi teiste vektoritega. Mida oli vaja tõestada (p.t.d.).

Adekvaatsus

Olgu üks vektoritest lineaarselt väljendatud süsteemi kõigi teiste vektoritega:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Viime vektori e k selle võrrandi paremale poole:

0 = γ 1 e 1 +. . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Kuna vektori e k koefitsient on võrdne -1 ≠ 0, saame nulli mittetriviaalse esituse vektorite süsteemiga e 1 , e 2 , . . . , e n ja see omakorda tähendab, et antud vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv. Mida oli vaja tõestada (p.t.d.).

Tagajärg:

• Vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, kui ühtki selle vektorit ei saa väljendada süsteemi kõigi teiste vektoritega.
• Vektorsüsteem, mis sisaldab nullvektorit või kahte võrdset vektorit, on lineaarselt sõltuv.

Lineaarselt sõltuvate vektorite omadused

1. 2- ja 3-mõõtmeliste vektorite puhul on tingimus täidetud: kaks lineaarselt sõltuvat vektorit on kollineaarsed. Kaks kollineaarset vektorit on lineaarselt sõltuvad.
2. 3-mõõtmeliste vektorite puhul on tingimus täidetud: kolm lineaarselt sõltuvat vektorit on tasapinnalised. (3 koplanaarset vektorit – lineaarselt sõltuv).
3. N-mõõtmeliste vektorite puhul on tingimus täidetud: n + 1 vektorit on alati lineaarselt sõltuvad.

Vektorite lineaarse sõltuvuse või lineaarse sõltumatuse ülesannete lahendamise näited

Näide 3

Kontrollime vektorite a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 lineaarset sõltumatust.

Otsus. Vektorid on lineaarselt sõltuvad, kuna vektorite mõõde on väiksem kui vektorite arv.

Näide 4

Kontrollime vektorite a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 lineaarset sõltumatust.

Otsus. Leiame koefitsientide väärtused, mille korral lineaarne kombinatsioon võrdub nullvektoriga:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Kirjutame vektorvõrrandi lineaarse võrrandi kujul:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Lahendame selle süsteemi Gaussi meetodil:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2. realt lahutame 1., 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Lahutage 1. realt 2., lisage 2. kolmandale:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Lahendusest järeldub, et süsteemil on palju lahendusi. See tähendab, et on olemas nullist erinev kombinatsioon selliste arvude x 1 , x 2 , x 3 väärtustest, mille puhul lineaarne kombinatsioon a , b , c võrdub nullvektoriga. Seega on vektorid a , b , c lineaarselt sõltuv.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Vektorite lineaarne sõltuvus ja lineaarne sõltumatus.
Vektorite alused. Afiinne koordinaatsüsteem

Publiku hulgas on käru šokolaadikommidega ja täna saab iga külastaja endale maguspaari - analüütilise geomeetria koos lineaaralgebraga. See artikkel puudutab korraga kahte kõrgema matemaatika osa ja me näeme, kuidas need ühes ümbrises läbi saavad. Tehke paus, sööge Twixi! ... kurat, noh, vaidlemine jama. Kuigi okei, ma ei löö, lõppkokkuvõttes peaks õppimisse suhtuma positiivselt.

Vektorite lineaarne sõltuvus, vektorite lineaarne sõltumatus, vektori alus ja teistel terminitel pole mitte ainult geomeetriline tõlgendus, vaid eelkõige algebraline tähendus. "Vektori" mõiste lineaaralgebra seisukohast pole kaugeltki alati "tavaline" vektor, mida saame kujutada tasapinnal või ruumis. Tõestust pole vaja kaugelt otsida, proovige joonistada viiemõõtmelise ruumi vektor . Või ilmavektor, mille pärast just Gismeteosse läksin: - vastavalt temperatuur ja õhurõhk. Näide on vektorruumi omaduste seisukohalt muidugi vale, kuid sellegipoolest ei keela keegi neid parameetreid vormistada vektorina. Sügise hingeõhk...

Ei, ma ei hakka teid tüütama teooriaga, lineaarsete vektorruumidega, ülesanne on mõista definitsioonid ja teoreemid. Uued terminid (lineaarsõltuvus, sõltumatus, lineaarne kombinatsioon, baas jne) on algebralisest vaatenurgast rakendatavad kõikidele vektoritele, kuid näited tuuakse geomeetriliselt. Seega on kõik lihtne, ligipääsetav ja visuaalne. Lisaks analüütilise geomeetria probleemidele käsitleme ka mõningaid algebra tüüpilisi ülesandeid. Materjali omandamiseks on soovitatav tutvuda õppetundidega Mannekeenide vektorid ja Kuidas determinanti arvutada?

Tasapinnavektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.
Tasapind ja afiinne koordinaatsüsteem

Mõelge oma arvutilaua tasapinnale (ainult laud, öökapp, põrand, lagi, mis iganes teile meeldib). Ülesanne koosneb järgmistest toimingutest:

1) Valige tasapinna alus. Jämedalt öeldes on lauaplaadil pikkus ja laius, seega on intuitiivselt selge, et aluse ehitamiseks on vaja kahte vektorit. Ühest vektorist selgelt ei piisa, kolm vektorit on liiga palju.

2) Valitud alusel määrata koordinaatsüsteem(koordinaatide ruudustik), et määrata koordinaadid kõigile tabeli üksustele.

Ärge imestage, esialgu jäävad selgitused näppudele. Pealegi sinu omal. Palun asetage vasaku käe nimetissõrm lauaplaadi servale, nii et ta vaatab monitori. Sellest saab vektor. Nüüd koht parema käe väike sõrm laua servale samamoodi - nii, et see on suunatud monitori ekraanile. Sellest saab vektor. Naerata, sa näed hea välja! Mida saab öelda vektorite kohta? Andmevektorid kollineaarne, mis tähendab lineaarselt väljendatakse üksteise kaudu:
, hästi või vastupidi: , kus on nullist erinev arv.

Pilti sellest tegevusest näete õppetükis. Mannekeenide vektorid, kus selgitasin vektori arvuga korrutamise reeglit.

Kas teie sõrmed panevad aluse arvutilaua tasapinnale? Ilmselgelt mitte. Kollineaarsed vektorid liiguvad edasi-tagasi üksi suunas, samas kui tasapinnal on pikkus ja laius.

Selliseid vektoreid nimetatakse lineaarselt sõltuv.

Viide: Sõnad "lineaarne", "lineaarne" tähistavad seda, et matemaatilistes võrrandites, avaldistes pole ruute, kuupe, muid astmeid, logaritme, siinusi jne. On ainult lineaarsed (1. astme) avaldised ja sõltuvused.

Kaks tasapinnalist vektorit lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui need on kollineaarsed.

Ristke oma sõrmed lauale nii, et nende vahel oleks nurk, välja arvatud 0 või 180 kraadi. Kaks tasapinnalist vektoritlineaarselt mitte on sõltuvad siis ja ainult siis, kui nad ei ole kollineaarsed. Niisiis, alus on kätte saadud. Pole vaja häbeneda, et alus osutus erineva pikkusega mitteperpendikulaarsete vektoritega "viltuks". Varsti näeme, et selle ehitamiseks ei sobi mitte ainult 90-kraadine nurk, vaid mitte ainult võrdse pikkusega ühikvektorid

Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis laiendatud aluse poolest:
, kus on reaalarvud . Numbrid kutsutakse vektori koordinaadid sellel alusel.

Nad ütlevad ka seda vektoresitatud kujul lineaarne kombinatsioon baasvektorid. See tähendab, et väljendit nimetatakse vektori laguneminealus või lineaarne kombinatsioon baasvektorid.

Näiteks võib öelda, et vektorit laiendatakse tasandi ortonormaalses aluses, või võib öelda, et see on kujutatud vektorite lineaarse kombinatsioonina.

Sõnastame aluse määratlus ametlikult: lennuki alusel on lineaarselt sõltumatute (mittekollineaarsete) vektorite paar, , kus ükskõik milline tasapindvektor on baasvektorite lineaarne kombinatsioon.

Definitsiooni põhipunkt on asjaolu, et vektorid on võetud kindlas järjekorras. alused Need on kaks täiesti erinevat alust! Nagu öeldakse, vasaku käe väikest sõrme ei saa liigutada parema käe väikese sõrme kohale.

Arvutasime aluse välja, kuid sellest ei piisa, kui seadistate koordinaatide ruudustiku ja määrate igale arvutilaua elemendile koordinaadid. Miks mitte piisavalt? Vektorid on vabad ja rändavad üle kogu tasapinna. Niisiis, kuidas määrata koordinaadid neile väikestele määrdunud lauatäppidele, mis on jäänud metsikust nädalavahetusest järele? Lähtepunkti on vaja. Ja selline võrdluspunkt on kõigile tuttav punkt – koordinaatide alguspunkt. Koordinaatsüsteemi mõistmine:

Alustan "kooli" süsteemist. Juba sissejuhatavas tunnis Mannekeenide vektorid Tõin esile mõned erinevused ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi ja ortonormaalse aluse vahel. Siin on standardpilt:

Kui räägitakse ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, siis enamasti tähendavad need alguspunkti, koordinaattelgesid ja skaalat piki telge. Proovige otsingumootorisse sisestada “ristkülikukujuline koordinaatsüsteem” ja näete, et paljud allikad räägivad teile 5.-6. klassist tuttavatest koordinaattelgedest ja punktide joonistamisest tasapinnal.

Teisest küljest jääb mulje, et ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi saab ortonormaalse aluse abil hästi määratleda. Ja peaaegu on. Sõnastus on järgmine:

päritolu, ja ortonormaalne baaskomplekt Tasapinna ristkoordinaatsüsteem . See tähendab, et ristkülikukujuline koordinaatsüsteem kindlasti on defineeritud ühe punkti ja kahe ühikulise ortogonaalvektoriga. Seetõttu näete joonist, mille ma ülal andsin - geomeetriliste ülesannete puhul joonistatakse sageli (kuid kaugeltki mitte alati) nii vektoreid kui ka koordinaatide telgi.

Ma arvan, et kõik saavad sellest aru punkti (päritolu) ja ortonormaalse aluse abil MIS TAHES lennuki PUNKTI ja lennuki MIS TAHES VEKTOR koordinaate saab määrata. Piltlikult öeldes "lennukis saab kõike nummerdada".

Kas koordinaatvektorid peavad olema ühikulised? Ei, neil võib olla suvaline nullist erinev pikkus. Vaatleme punkti ja kahte suvalise nullist erineva pikkusega ortogonaalvektorit:

Sellist alust nimetatakse ortogonaalne. Koordinaatide alguspunkt vektoritega määrab koordinaatide ruudustiku ja igal tasapinna punktil, igal vektoril on antud baasil oma koordinaadid. Näiteks või. Ilmselge ebamugavus seisneb selles, et koordinaatvektorid üldiselt neil on erinevad pikkused peale ühtsuse. Kui pikkused on võrdsed ühega, saadakse tavaline ortonormaalne alus.

! Märge : ortogonaalses aluses, samuti allpool tasapinna ja ruumi afiinsetes alustes arvestatakse ühikuid piki telge TINGIMUSLIK. Näiteks üks ühik piki abstsissi sisaldab 4 cm, üks ühik piki ordinaati sisaldab 2 cm. Sellest teabest piisab, et vajadusel “mittestandardsed” koordinaadid “meie tavalisteks sentimeetriteks” teisendada.

Ja teine ​​küsimus, millele on tegelikult juba vastatud - kas baasvektorite vaheline nurk on tingimata 90 kraadi? Mitte! Nagu definitsioon ütleb, peavad baasvektorid olema ainult mittekollineaarne. Vastavalt sellele võib nurk olla mis tahes peale 0 ja 180 kraadi.

Punkt lennukis kutsus päritolu, ja mittekollineaarne vektorid, , komplekt tasapinna afiinne koordinaatsüsteem :

Mõnikord nimetatakse seda koordinaatsüsteemi kaldus süsteem. Punktid ja vektorid on näidatud joonisel näidetena:

Nagu teate, on afiinne koordinaatsüsteem veelgi vähem mugav, vektorite ja segmentide pikkuste valemid, mida me õppetunni teises osas käsitlesime, selles ei tööta. Mannekeenide vektorid, palju maitsvaid valemeid, mis on seotud vektorite skalaarkorrutis. Kuid kehtivad vektorite liitmise ja vektori arvuga korrutamise reeglid, selles osas segmendi jagamise valemid, aga ka mõned muud tüüpi probleemid, mida peagi käsitleme.

Ja järeldus on, et kõige mugavam afiinse koordinaatsüsteemi erijuhtum on Descartes'i ristkülikukujuline süsteem. Seetõttu tuleb teda, tema oma, kõige sagedamini näha. ... Samas on siin elus kõik suhteline – on palju olukordi, mille puhul sobib omada viltu (või mõnda muud nt. polaarne) koordinaatsüsteem. Jah, ja humanoididele võivad sellised süsteemid maitsele tulla =)

Liigume edasi praktilise osa juurde. Kõik selle õppetüki ülesanded kehtivad nii ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kui ka üldise afiinse käände puhul. Siin pole midagi keerulist, kogu materjal on isegi koolipoisile kättesaadav.

Kuidas määrata tasapinnaliste vektorite kollineaarsust?

Tüüpiline asi. Selleks, et kaks tasapinnalist vektorit on kollineaarsed, on vajalik ja piisav, et nende vastavad koordinaadid oleksid proportsionaalsed.Sisuliselt on see ilmse seose koordinaatide-koordinaatide haaval täpsustamine.

Näide 1

a) Kontrollige, kas vektorid on kollineaarsed .
b) Kas vektorid moodustavad aluse? ?

Otsus:
a) Uurige, kas vektorid on olemas proportsionaalsuskoefitsient, nii et võrdsused on täidetud:

Kindlasti räägin teile selle reegli rakendamise "foppih" versioonist, mis praktikas töötab üsna hästi. Idee on kohe koostada proportsioon ja vaadata, kas see on õige:

Teeme vektorite vastavate koordinaatide suhetest proportsiooni:

Lühendame:
, seega on vastavad koordinaadid võrdelised, seega

Seost saab luua ja vastupidi, see on samaväärne variant:

Enesetestimiseks võib kasutada tõsiasja, et kollineaarsed vektorid väljendatakse üksteise kaudu lineaarselt. Sel juhul on võrdsused . Nende kehtivust saab hõlpsasti kontrollida elementaarsete vektoritega tehtavate toimingute abil:

b) Kaks tasapinnalist vektorit moodustavad aluse, kui nad ei ole kollineaarsed (lineaarselt sõltumatud). Uurime vektorite kollineaarsust . Loome süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et teisest võrrandist järeldub, et , mis tähendab, süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole vektorite vastavad koordinaadid võrdelised.

Järeldus: vektorid on lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Lahenduse lihtsustatud versioon näeb välja selline:

Koostage vektorite vastavatest koordinaatidest proportsioon :
, seega on need vektorid lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Tavaliselt arvustajad seda võimalust ei lükka, kuid probleem tekib juhtudel, kui mõned koordinaadid on nulliga võrdsed. Nagu nii: . Või niimoodi: . Või niimoodi: . Kuidas siin proportsiooni läbi töötada? (Tõesti, nulliga jagada ei saa). Just sel põhjusel nimetasin lihtsustatud lahendust "foppiks".

Vastus: a) , b) vorm.

Väike loominguline näide iseseisva lahenduse jaoks:

Näide 2

Millise parameetrivektorite väärtuse juures on kollineaarne?

Näidislahenduses leitakse parameeter proportsiooni kaudu.

Vektorite kollineaarsuse kontrollimiseks on olemas elegantne algebraline viis. Süstematiseerime oma teadmised ja lisame need lihtsalt viienda punktina:

Kahe tasapinnalise vektori puhul on järgmised väited samaväärsed:

2) vektorid moodustavad aluse;
3) vektorid ei ole kollineaarsed;

+ 5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on nullist erinev.

vastavalt järgmised vastupidised väited on samaväärsed:
1) vektorid on lineaarselt sõltuvad;
2) vektorid ei moodusta alust;
3) vektorid on kollineaarsed;
4) vektoreid saab üksteise kaudu lineaarselt väljendada;
+ 5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga.

Ma väga-väga loodan, et hetkel te juba mõistate kõiki termineid ja väiteid, mis ette on tulnud.

Vaatame lähemalt uut, viiendat punkti: kaks tasapinnalist vektorit on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga:. Selle funktsiooni kasutamiseks peate loomulikult suutma seda teha determinante leidma.

Meie otsustame Näide 1 teisel viisil:

a) Arvutage vektorite koordinaatidest koosnev determinant :
, seega on need vektorid kollineaarsed.

b) Kaks tasapinnalist vektorit moodustavad aluse, kui nad ei ole kollineaarsed (lineaarselt sõltumatud). Arvutame vektorite koordinaatidest koosneva determinandi :
, seega on vektorid lineaarselt sõltumatud ja moodustavad aluse.

Vastus: a) , b) vorm.

See näeb välja palju kompaktsem ja ilusam kui proportsioonidega lahendus.

Vaadeldava materjali abil on võimalik tuvastada mitte ainult vektorite kollineaarsust, vaid ka tõestada lõikude, sirgete paralleelsust. Mõelge paarile probleemile konkreetsete geomeetriliste kujunditega.

Näide 3

Antud on nelinurga tipud. Tõesta, et nelinurk on rööpkülik.

Tõestus: Ülesandes pole vaja joonist koostada, kuna lahendus on puhtalt analüütiline. Pidage meeles rööpküliku määratlust:
Parallelogramm Nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Seega on vaja tõestada:
1) vastaskülgede paralleelsus ja;
2) vastaskülgede paralleelsus ja .

Tõestame:

1) Leidke vektorid:

2) Leidke vektorid:

Tulemuseks on sama vektor ("kooli järgi" - võrdsed vektorid). Kollineaarsus on üsna ilmne, kuid parem on teha otsus õigesti, korraldusega. Arvutage vektorite koordinaatidest koosnev determinant:
, Nii et need vektorid on kollineaarsed ja .

Järeldus: nelinurga vastasküljed on paarikaupa paralleelsed, seega on see definitsiooni järgi rööpkülik. Q.E.D.

Veel häid ja erinevaid figuure:

Näide 4

Antud on nelinurga tipud. Tõesta, et nelinurk on trapets.

Tõestuse rangemaks sõnastamiseks on muidugi parem saada trapetsi definitsioon, kuid piisab, kui meenutada, kuidas see välja näeb.

See on ülesanne iseseisvaks otsustamiseks. Terviklahendus tunni lõpus.

Ja nüüd on aeg aeglaselt lennukist kosmosesse liikuda:

Kuidas määrata ruumivektorite kollineaarsust?

Reegel on väga sarnane. Selleks, et kaks ruumivektorit oleksid kollineaarsed, on vajalik ja piisav, et nende vastavad koordinaadid on võrdelised.

Näide 5

Uurige, kas järgmised ruumivektorid on kollineaarsed:

a) ;
b)
sisse)

Otsus:
a) Kontrollige, kas vektorite vastavate koordinaatide jaoks on olemas proportsionaalsustegur:

Süsteemil pole lahendust, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed.

"Lihtsustatud" saadakse proportsiooni kontrollimise teel. Sel juhul:
– vastavad koordinaadid ei ole proportsionaalsed, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed.

Vastus: vektorid ei ole kollineaarsed.

b-c) Need on punktid iseseisvaks otsustamiseks. Proovige seda kahel viisil.

Ruumivektorite kollineaarsuse kontrollimiseks ja kolmandat järku determinandi kaudu on olemas meetod, seda meetodit käsitletakse artiklis Vektorite ristkorrutis.

Sarnaselt tasapinnalise juhtumiga saab vaadeldavaid tööriistu kasutada ruumilõikude ja sirgete paralleelsuse uurimiseks.

Tere tulemast teise jaotisesse:

Kolmemõõtmeliste ruumivektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.
Ruumiline alus ja afiinne koordinaatsüsteem

Paljud seaduspärasused, millega oleme lennukis arvestanud, kehtivad ka kosmose kohta. Üritasin teooria kokkuvõtet minimeerida, kuna lõviosa infost on juba näritud. Sellegipoolest soovitan sissejuhatav osa hoolikalt läbi lugeda, kuna ilmuvad uued terminid ja mõisted.

Nüüd uurime arvutitabeli tasapinna asemel kolmemõõtmelist ruumi. Esiteks loome selle aluse. Keegi on praegu toas, keegi on väljas, kuid igal juhul ei saa me eemale kolmest mõõtmest: laius, pikkus ja kõrgus. Seetõttu on aluse konstrueerimiseks vaja kolme ruumivektorit. Ühest või kahest vektorist ei piisa, neljas on üleliigne.

Ja jälle soojendame sõrmedel. Palun tõstke käsi üles ja sirutage laiali erinevates suundades pöial, nimetissõrm ja keskmine sõrm. Need on vektorid, nad näevad eri suundades, on erineva pikkusega ja neil on erinevad nurgad. Õnnitleme, kolmemõõtmelise ruumi alus on valmis! Muide, te ei pea seda õpetajatele demonstreerima, ükskõik kuidas sõrmi keerate, kuid te ei saa definitsioonidest kõrvale =)

Järgmiseks esitame olulise küsimuse, kas kolm vektorit moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse? Palun vajutage kolme sõrmega tugevalt arvuti lauaplaadile. Mis juhtus? Kolm vektorit asuvad samal tasapinnal ja jämedalt öeldes oleme kaotanud ühe mõõtmise - kõrguse. Sellised vektorid on koplanaarne ja täiesti ilmselgelt, et kolmemõõtmelise ruumi alust ei looda.

Tuleb märkida, et koplanaarsed vektorid ei pea asuma samal tasapinnal, nad võivad olla paralleelsetes tasandites (ära tee seda sõrmedega, ainult Salvador Dali tuli niimoodi ära =)).

Definitsioon: kutsutakse vektoreid koplanaarne kui on olemas tasapind, millega nad on paralleelsed. Siin on loogiline lisada, et kui sellist tasapinda ei eksisteeri, siis vektorid ei ole ka tasapinnalised.

Kolm samatasandilist vektorit on alati lineaarselt sõltuvad, see tähendab, et neid väljendatakse lineaarselt üksteise kaudu. Lihtsuse huvides kujutage jälle ette, et need asuvad samal tasapinnal. Esiteks, vektorid ei ole mitte ainult koplanaarsed, vaid võivad olla ka kollineaarsed, siis saab mis tahes vektorit väljendada mis tahes vektori kaudu. Teisel juhul, kui näiteks vektorid ei ole kollineaarsed, siis kolmandat vektorit väljendatakse nende kaudu ainulaadsel viisil: (ja miks, seda on lihtne arvata eelmise osa materjalidest).

Tõsi on ka vastupidine: kolm mittetasatasandilist vektorit on alati lineaarselt sõltumatud, see tähendab, et need ei väljendu kuidagi üksteise kaudu. Ja ilmselgelt saavad ainult sellised vektorid moodustada kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Definitsioon: Kolmemõõtmelise ruumi alus nimetatakse lineaarselt sõltumatute (mittetasandiliste) vektorite kolmikuks, võetud kindlas järjekorras, samas kui mis tahes ruumi vektor ainus viis laieneb antud baasis , kus on antud baasis vektori koordinaadid

Meeldetuletuseks võite ka öelda, et vektorit kujutatakse kui lineaarne kombinatsioon baasvektorid.

Koordinaatsüsteemi mõiste tutvustatakse täpselt samamoodi nagu tasapinnalise juhtumi puhul, piisab ühest punktist ja mis tahes kolmest lineaarselt sõltumatust vektorist:

päritolu, ja mitte-tasapinnaline vektorid, võetud kindlas järjekorras, komplekt kolmemõõtmelise ruumi afiinne koordinaatsüsteem :

Muidugi on koordinaatide ruudustik "kaldus" ja ebamugav, kuid sellegipoolest võimaldab konstrueeritud koordinaatsüsteem meil kindlasti määrata mis tahes vektori koordinaadid ja mis tahes ruumipunkti koordinaadid. Sarnaselt tasapinnaga ei tööta ka mõned valemid, mida ma juba mainisin, ruumi afiinses koordinaatsüsteemis.

Afiinse koordinaatsüsteemi kõige tuttavam ja mugavam erijuhtum, nagu igaüks võib arvata, on ristkülikukujuline ruumi koordinaatsüsteem:

ruumipunkt, mida nimetatakse päritolu, ja ortonormaalne baaskomplekt Ruumi ristkoordinaatide süsteem . tuttav pilt:

Enne praktiliste ülesannete juurde asumist süstematiseerime teabe uuesti:

Kolme ruumivektori puhul on järgmised väited samaväärsed:
1) vektorid on lineaarselt sõltumatud;
2) vektorid moodustavad aluse;
3) vektorid ei ole tasapinnalised;
4) vektoreid ei saa üksteise kaudu lineaarselt väljendada;
5) nende vektorite koordinaatidest koosnev determinant erineb nullist.

Vastupidised väited on minu arvates arusaadavad.

Ruumivektorite lineaarset sõltuvust / sõltumatust kontrollitakse traditsiooniliselt determinandi abil (punkt 5). Ülejäänud praktilised ülesanded on selgelt algebralise iseloomuga. On aeg riputada geomeetriline kepp küünele ja vehkida lineaarse algebra pesapallikurikaga:

Kolm ruumivektorit on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga: .

Juhin teie tähelepanu väikesele tehnilisele nüansile: vektorite koordinaate saab kirjutada mitte ainult veergudesse, vaid ka ridadesse (determinandi väärtus sellest ei muutu - vt determinantide omadusi). Kuid veergudes on see palju parem, kuna see on kasulikum mõne praktilise probleemi lahendamisel.

Neile lugejatele, kes on determinantide arvutamise meetodid pisut unustanud või võivad nad üldse halvasti orienteeruda, soovitan ühte oma vanimat õppetundi: Kuidas determinanti arvutada?

Näide 6

Kontrollige, kas järgmised vektorid moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse:

Otsus: Tegelikult taandub kogu lahendus determinandi arvutamisele.

a) Arvutage vektorite koordinaatidest koosnev determinant (determinant laiendatakse esimesel real):

, mis tähendab, et vektorid on lineaarselt sõltumatud (mitte tasapinnalised) ja moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

Vastus: need vektorid moodustavad aluse

b) See on sõltumatu otsuse punkt. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Samuti on loomingulised ülesanded:

Näide 7

Millise parameetri väärtuse korral on vektorid tasapinnalised?

Otsus: vektorid on tasapinnalised siis ja ainult siis, kui antud vektorite koordinaatidest koosnev determinant on võrdne nulliga:

Põhimõtteliselt on vaja võrrandit lahendada determinandiga. Lendame nullidesse nagu tuulelohed jerboadesse - kõige tulusam on avada determinant teises reas ja kohe miinustest lahti saada:

Teostame täiendavaid lihtsustusi ja taandame asja kõige lihtsamale lineaarvõrrandile:

Vastus: kell

Siin on lihtne kontrollida, selleks peate asendama saadud väärtuse algse determinandiga ja veenduma, et selle uuesti avamisega.

Kokkuvõtteks vaatleme veel ühte tüüpilist ülesannet, mis on pigem algebralist laadi ja kuulub traditsiooniliselt lineaaralgebra käigus. See on nii tavaline, et väärib eraldi teemat:

Tõesta, et 3 vektorit moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse
ja leida antud baasis 4. vektori koordinaadid

Näide 8

Vektorid on antud. Näidake, et vektorid moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse ja leidke sellel alusel vektori koordinaadid.

Otsus: Tegeleme kõigepealt tingimusega. Tingimuse järgi on antud neli vektorit ja nagu näha, on neil juba mingis aluses koordinaadid. Mis on alus - meid ei huvita. Ja järgmine asi pakub huvi: kolm vektorit võivad moodustada uue aluse. Ja esimene samm on täiesti sama, mis näite 6 lahendus, on vaja kontrollida, kas vektorid on tõesti lineaarselt sõltumatud:

Arvutage vektorite koordinaatidest koosnev determinant:

, seega on vektorid lineaarselt sõltumatud ja moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.

! Tähtis : vektori koordinaadid tingimata Kirjuta üles veergudeks determinant, mitte stringid. Vastasel juhul tekib edasises lahendusalgoritmis segadus.

Vektorite süsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuv, kui on selliseid numbreid , millest vähemalt üks erineb nullist, et võrdus https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Kui see võrdsus kehtib ainult siis, kui kõik , siis kutsutakse vektorite süsteemi lineaarselt sõltumatu.

Teoreem. Vektorite süsteem tahe lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui vähemalt üks selle vektor on teiste lineaarne kombinatsioon.

Näide 1 Polünoom on polünoomide lineaarne kombinatsioon https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polünoomid moodustavad lineaarselt sõltumatu süsteemi, kuna https polünoom: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Näide 2 Maatriksisüsteem , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> on lineaarselt sõltumatu, kuna lineaarne kombinatsioon on võrdne nullmaatriks ainult siis, kui https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineaarselt sõltuv.

Otsus.

Koostage nendest vektoritest lineaarne kombinatsioon https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Võrdsustades võrdsete vektorite samanimelised koordinaadid, saame https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Lõpuks saame

ja

Süsteemil on ainulaadne triviaalne lahendus, seega on nende vektorite lineaarne kombinatsioon null ainult siis, kui kõik koefitsiendid on nullid. Seetõttu on see vektorite süsteem lineaarselt sõltumatu.

Näide 4 Vektorid on lineaarselt sõltumatud. Millised on vektorite süsteemid

a).;

b).?

Otsus.

a). Koostage lineaarne kombinatsioon ja võrdsustage see nulliga

Kasutades lineaarruumis vektoritega tehte omadusi, kirjutame viimase võrrandi ümber kujul

Kuna vektorid on lineaarselt sõltumatud, peavad koefitsiendid for olema võrdsed nulliga, st.gif" width="12" height="23 src=">

Saadud võrrandisüsteemil on ainulaadne triviaalne lahendus .

Alates võrdsusest (*) käivitatakse ainult aadressil https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – lineaarselt sõltumatu;

b). Koostage võrdsus https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Sarnast arutluskäiku rakendades saame

Lahendades võrrandisüsteemi Gaussi meetodil, saame

või

Viimasel süsteemil on lõpmatu arv lahendusi https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Seega on olemas mitte- null koefitsientide kogum, mille võrdsus (**) . Seetõttu vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv.

Näide 5 Vektorisüsteem on lineaarselt sõltumatu ja vektorsüsteem on lineaarselt sõltuv..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Võrdsuses (***) . Tõepoolest, puhul oleks süsteem lineaarselt sõltuv.

Suhtest (***) saame või Tähistage .

Hangi

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks (klassiruumis)

1. Nullvektorit sisaldav süsteem on lineaarselt sõltuv.

2. Ühe vektori süsteem a, on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, a=0.

3. Kahest vektorist koosnev süsteem on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui vektorid on võrdelised (st üks neist saadakse teisest arvuga korrutades).

4. Kui lineaarselt sõltuvale süsteemile lisada vektor, siis saadakse lineaarselt sõltuv süsteem.

5. Kui vektor lineaarselt sõltumatust süsteemist eemaldada, siis on saadud vektorite süsteem lineaarselt sõltumatu.

6. Kui süsteem S lineaarselt sõltumatu, kuid muutub lineaarselt sõltuvaks vektori lisamisel b, siis vektor b lineaarselt väljendatud süsteemi vektoritega S.

c). Maatriksite süsteem , , teist järku maatriksite ruumis.

10. Olgu vektorite süsteem a,b,c vektorruum on lineaarselt sõltumatu. Tõesta järgmiste vektorisüsteemide lineaarne sõltumatus:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– suvaline arv

c).a+b, a+c, b+c.

11. Las olla a,b,c on kolm tasandi vektorit, mida saab kasutada kolmnurga moodustamiseks. Kas need vektorid on lineaarselt sõltuvad?

12. Antud kaks vektorit a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Võtke üles veel kaks 4D-vektorit a3 jaa4 nii et süsteem a1,a2,a3,a4 oli lineaarselt sõltumatu .

Et kontrollida, kas vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, on vaja koostada nendest vektoritest lineaarne kombinatsioon ja kontrollida, kas see võib olla võrdne nulliga, kui vähemalt üks koefitsient on võrdne nulliga.

Juhtum 1. Vektorite süsteem on antud vektoritega

Teeme lineaarse kombinatsiooni

Oleme saanud homogeense võrrandisüsteemi. Kui sellel on nullist erinev lahendus, peab determinant olema võrdne nulliga. Teeme determinandi ja leiame selle väärtuse.

Determinant on null, seetõttu on vektorid lineaarselt sõltuvad.

Juhtum 2. Vektorite süsteem on antud analüütiliste funktsioonidega:

a)
, kui identiteet on tõene, on süsteem lineaarselt sõltuv.

Teeme lineaarse kombinatsiooni.

Tuleb kontrollida, kas leidub selliseid a, b, c (millest vähemalt üks ei võrdu nulliga), mille puhul antud avaldis on võrdne nulliga.

Kirjutame hüperboolsed funktsioonid

,
, siis

siis on vektorite lineaarne kombinatsioon järgmine:

Kus
, võtame näiteks, siis lineaarne kombinatsioon on võrdne nulliga, seega on süsteem lineaarselt sõltuv.

Vastus: Süsteem on lineaarselt sõltuv.

b)
, koostame lineaarse kombinatsiooni

Lineaarne vektorite kombinatsioon peab olema null kõigi x väärtuste korral.

Kontrollime erijuhtumeid.

Lineaarne vektorite kombinatsioon on null ainult siis, kui kõik koefitsiendid on nullid.

Seetõttu on süsteem lineaarselt sõltumatu.

Vastus: Süsteem on lineaarselt sõltumatu.

5.3. Leidke mingi alus ja määrake lahenduste lineaarruumi mõõde.

Moodustame laiendatud maatriksi ja viime selle Gaussi meetodil trapetsi kujule.

Aluse saamiseks asendame suvalised väärtused:

Hankige ülejäänud koordinaadid

Vastus:

5.4. Leia vektori X koordinaadid baasis, kui see on baasis antud.

Vektori koordinaatide leidmine uues baasis taandub võrrandisüsteemi lahendamisele

1. meetod. Otsimine üleminekumaatriksi abil

Koostage üleminekumaatriks

Leiame valemi järgi vektori uues baasis

Leia pöördmaatriks ja korruta

,

2. meetod. Leidmine võrrandisüsteemi koostamise teel.

Koosta baasi koefitsientidest baasvektorid

,
,

Vektori leidmisel uues aluses on vorm

, kus d on antud vektor x.

Saadud võrrandi saab lahendada mis tahes viisil, vastus on sama.

Vastus: vektor uuel alusel
.

5.5. Olgu x = (x 1 , x 2 , x 3 ) . Kas järgmised teisendused on lineaarsed.

Koostame antud vektorite kordajatest lineaaroperaatorite maatriksid.

Kontrollime lineaartehte omadust iga lineaaroperaatori maatriksi puhul.

Vasak pool leitakse maatrikskorrutamise teel AGA vektori kohta

Õige külje leiame, korrutades antud vektori skalaariga
.

Me näeme seda
seega ei ole teisendus lineaarne.

Kontrollime teisi vektoreid.

, teisendus ei ole lineaarne.

, teisendus on lineaarne.

Vastus: Oh ei ole lineaarne teisendus, Vx- mitte lineaarne Cx- lineaarne.

Märge. Antud vektoreid hoolikalt vaadates saate seda ülesannet palju lihtsamalt täita. AT Oh näeme, et on termineid, mis ei sisalda elemente X, mida ei saanud lineaarse operatsiooni tulemusena saada. AT Vx element on olemas X kolmandale astmele, mida samuti ei saanud vektoriga korrutades saada X.

5.6. Antud x = { x 1 , x 2 , x 3 } , Ax = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . Tehke etteantud toiming: ( A ( B – A )) x .

Kirjutame välja lineaaroperaatorite maatriksid.

Teeme maatriksitega tehte

Korrutades saadud maatriksi X-ga, saame

Vastus: