Здравствуйте, дорогие друзья!

В этой статье, как видно из ее названия, мы с Вами рассмотрим принцип работы одного из наиболее распространенных индикаторов технического анализа — скользящей средней (moving average или MA) , на жаргоне трейдеров ее еще называют просто «мувинг» или «машка».

Скользящая средняя — это способ, позволяющий сглаживать ценовые колебания во времени. Иными словами, скользящая средняя рассчитывает среднюю цену цены за определенный интервал времени. Скользящая средняя — это трендовый индикатор в чистом виде. С его помощью можно отследить начало нового тренда и завершение текущего, по углу наклона можно судить о силе тренда.

Скользящая средняя хоть и является примитивным индикатором, но я считаю его базовым индикатором технического анализа, он является основой для многих торговых стратегий и различных индикаторов, поэтому знать «устройство» и принцип работы этого индикатора обязан каждый трейдер.

Существует несколько методов построения скользящей средней :

1. Простая (Simple).
2. Линейно-взвешенная (Linear-Weighted).
3. Экспоненциальная (Exponential).
4. Сглаженная (Smoothed).

В основе всех методов лежат одни и те же принципы, отличаются лишь формулы, по которым они рассчитываются. Естественно у каждого метода есть свои плюсы и минусы. Остановимся на каждом методе более подробно.

ПРОСТАЯ СКОЛЬЗЯЩАЯ СРЕДНЯЯ (Simple moving average, SMA)

Чаще всего, когда идет речь о скользящей средней, подразумевается именно этот метод построения. Это один из самых простых и примитивных индикаторов технического анализа.

Рассчитывается он по очень простой формуле:

Где, Pi — цена (чаще всего рассчитывают по ценам закрытия (close) свечи, но также можно применить к максимальной минимальной, цене открытия, средней цене и др.).

N — период скользящей средней. Это основной параметр при построении, его еще называют длина сглаживания.

Давайте рассмотрим на примере.

Допустим мы хотим построить скользящую среднюю с периодом 8 по ценам закрытия. Чтобы получить среднюю точку для текущего сформированного бара, необходимо взять цены закрытий предыдущих 8 баров (ни рисунке ниже они обозначены цифрами 1−8), сложить их цены закрытия и разделить на общее количество периодов (8). В результате мы получим среднее значение для текущего сформированного бара:

Соответственно, если нам необходимо построить мувинг с периодом 60, то будем рассчитывать среднюю по ценам закрытия 60 предыдущих баров.

Как видите, ничего сложного. Построение простой скользящей средней является обычным примером вычисления среднего арифметического из школьной программы математики.

Ниже на рисунке Вы можете видеть то, как простая скользящая средняя с разными периодами «сглаживает» цену:

Основным недостатком данного метода является то, что расчет ведется на основании данных за фиксированный промежуток времени, а не всех цен, и каждому значению цены в истории присваивается одинаковая значимость. Но, согласитесь, что цена, которая имела место быть 30 дней не так важна, как цена, которая была 5 дней назад?

Также, говоря о минусах простой средней, следует упомянуть о значительном запаздывании данного индикатора, поэтому при торговле, трейдер не сможет взять большую часть трендового движения.

К достоинствам можно отнести то, что SMA обладает низкой чувствительностью, по сравнению с другими видами и будет давать меньше ложных сигналов, но за это придется «заплатить» более поздним сигналом на вход в позицию.

ЛИНЕЙНО-ВЗВЕШЕННАЯ СКОЛЬЗЯЩАЯ СРЕДНЯЯ (Linear- Weighted)

Как я писал выше, у простой МА есть существенный недостаток в том, что при расчете она придает одинаковый «удельный вес» цене, независимо от того, как близко или далеко она находится от настоящего момента. Этот недостаток был устранен в данном методе построения скользящей средней.

Формула для расчета взвешенной скользящей средней имеет следующий вид:

Где, Pi — значение цена за i-периодов назад; Wi — вес для цены i-периодов назад.

Суть данного метода состоит в том, что при построении взвешенной скользящей средней, цене присваивается определенный вес, таким образом, что ближние цены ближних баров имеют больший удельный вес, нежели цены прошлых баров.

Давайте попробуем рассчитаем линейно-взвешенную скользящую среднюю с периодом 5.

Это будет иметь следующий вид:

Т. е. мы взяли пять цен закрытия последних 5 баров. Ближайший бар у нас самый значимый и мы ему присвоили максимальный вес (в нашем случае это будет 5) и с каждой ценой закрытия последующего бара. Полученный результат разделили на сумму всех удельных весов. В результате получили взвешенную точку для конкретного бара. Конечно нам не надо будет производить эти расчеты, так как программа тех. анализа все сделает сама.

Ниже на рисунке Вы можете увидеть в сравнении простую и взвешенную скользящие средние, у обеих период 60:

К недостатком линейно-взвешенной скользящей средней можно отнести:

• Дает достаточно поздние сигналы на вход в тренд и выход из него, но из-за придания веса, гораздо быстрее реагирует на изменение цены, нежели простая скользящая средняя.
• При торговле во флэте дает множество ложных сигналов.

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ (Exponential) И СГЛАЖЕННАЯ (Smoothed) СКОЛЬЗЯЩИЕ СРЕДНИЕ

Принцип расчета экспоненциальной МА заключается в том, что она берет в расчет все цены, которые есть на графике и присваивает им определенный вес (важность последних выше, чем предыдущих).

Формула расчета экспоненциальной скользящей средней довольна сложна и я не стану заострять на ней внимание. Нам как трейдерам важно знать, что экспоненциальная скользящая средняя очень чувствительна к изменению цены и дает более «интересные» точки входа в сделку, но при этом может лажать на сильных колебаниях цены.

Посмотрите на рисунок ниже, здесь представлены в сравнении две МА с одинаковым периодом (60):

Сглаженная скользящая средняя является, пожалуй, самой сложной в расчетах и обладает самой низкой чувствительностью. Данный тип скользящей средней очень редко используется трейдерам и только на графиках с очень большой амплитудой колебания цены.

Давайте посмотрим, как ведут себя простая и сглаженная скользящие средние с одинаковым периодом:

Обратите внимание на то, как сильно эта МА сглаживает цену по сравнению с простой скользящей средней!

До этого я сравнивал каждый метод построения скользящей средней с простой МА. Теперь давайте нанесем на график цены сразу все 4 мувинга:

Вот мы и подобрались к завершению статьи. Давайте подведем промежуточный итог.

Скользящая средняя — это трендовый индикатор, который прекрасно показывает себя, когда на рынке есть тенденция и абсолютно бесполезен, когда рынок находится в боковом движении. Хотя это и тренд-следящий индикатор, но из-за того, что рассчитывается на основании прошлых данных, он дает довольно поздние точки входа. Чтобы исправить этот недостаток были использованы другие методы расчета МА с помощью «весов».

В этой статье мы не касались того, как именно торговать по скользящим средним, как искать точки входа и выхода, как фильтровать сигналы. Все эти и многие другие вопросы мы разберем в следующей статье.

На сегодня у меня все. Успехов в торговле!

PS Обязательно прочитайте продолжение этой статьи, перейдя по этой ссылке . Из нее вы узнаете о практическом применении скользящих средних.

Вначале рассмотрим несколько простейших методов прогнозирования, не учитывающих наличия сезонности во временном ряде. Предположим, что в журнале РБК приведена сводка за последние 12 дней (включая сегодняшний) цен на апельсины, сложившихся на момент закрытия биржи. Используя эти данные, нужно предсказать завтрашнюю цену на какао (также на момент закрытия биржи). Рассмотрим несколько способов сделать это.

Если последнее (сегодняшнее) значение наиболее значимо по сравнению с остальными, то оно является наилучшим прогнозом на завтра.

Возможно, из-за быстрого изменения цен на бирже первые шесть значений уже устарели и не актуальны, в то время как последние шесть значимы и имеют равную ценность для прогноза. Тогда в качестве прогноза на завтра можно взять среднее последних шести значений.

Если все значения существенны, но сегодняшнее 12-е значение наиболее значимо, а предыдущие 11-е, 10-е, 9-е и т.д. имеют все меньшую и меньшую значимость, следует найти взвешенное среднее всех 12 значений. Причем весовые коэффициенты для последних значений должны быть больше, чем для предыдущих, и сумма всех весовых коэффициентов должна равняться 1.

Первый способ называется «наивным» прогнозом и достаточно очевиден. Рассмотрим подробнее остальные способы.

Метод скользящего среднего

Одним из предположений, лежащих в основе данного метода, является то, что более точный прогноз на будущее можно получить, если использовались недавние наблюдения, причем, чем «новее» данные, тем их вес для прогноза должен быть больше. Удивительно, но такой «наивный» подход оказывается чрезвычайно полезным для практики. Например, многие авиакомпании используют частный тип скользящего среднего для создания прогнозов спроса на авиаперелеты, которые, в свою очередь, используются в сложных механизмах управления и оптимизации доходов. Более того, практически все программные пакеты управления запасами содержат модули, выполняющие прогнозы на основе того или иного типа скользящего среднего.

Рассмотрим следующий пример. Маркетологу нужно спрогнозировать спрос на производимые его компанией станки. Данные по объемам продаж за последний год работы компании находятся в файле «ЛР6.Пример 1.Станки.xls».

Простое скользящее среднее . В этом методе среднее фиксированного числа N последних наблюдений используется для оценки следующего значения временно ряда. Например, используя данные о продажах станков за первые три месяца года, менеджер получает для апреля значение, используя формулу, приведённую ниже:

Менеджер вычислил объем продаж на основе простого скользящего среднего за 3 и 4 месяца. Однако требуется определить, какое количество узлов даёт более точный прогноз. Для оценки точности прогнозов используются среднее абсолютных отклонений (САО) исреднее относительных ошибок , в процентах (СООП), вычисляемые по формулам (3) и (4).

где x i –i -ое реальное значение переменной вi -й момент времени, аx ’ i –i -ое спрогнозированное значение переменной вi -й момент времени, N - количество прогнозов.

Согласно результатам, полученным на листе «Простое ск. среднее» рабочей книги «ЛР6.Пример 1.Станки.xls» (см. Рисунок 56), скользящее среднее за три месяца имеет значение САО равное 12,67 (ячейка D16 ), тогда как для скользящего среднего за 4 месяца значение САО равно 15,59 (ячейка F16 ). Тогда можно выдвинуть гипотезу, что использование большего количества статистических данных скорее ухудшает, чем улучшает точность прогноза методом скользящего среднего.

Рисунок 56. Пример 1 – результаты прогнозирования методом простого скользящего среднего

На графике (см. Рисунок 57), построенном по результатам наблюдений и прогнозов с интервалом 3 месяца, можно заметить ряд особенностей, общих для всех применений метода скользящего среднего.

Рисунок 57. Пример 1 – график кривой прогноза методом простого скользящего среднего и график реального объёма продаж

Значение прогноза, полученное методом простого скользящего среднего, всегда меньше фактического значения, если исходные данные монотонно возрастают, и больше фактического значения, если исходные данные монотонно убывают. Поэтому, если данные монотонно возрастают или убывают, то с помощью простого скользящего среднего нельзя получить точных прогнозов. Этот метод лучше всего подходит для данных с небольшими случайными отклонениями от некоторого постоянного или медленно меняющегося значения.

Основной недостаток метода простого скользящего среднего возникает в результате того, что при вычислении прогнозируемого значения самое последнее наблюдение имеет такой же вес (т. е. значимость), как и предыдущие. Это происходит потому, что вес всех N последних наблюдений, участвующих в вычислении скользящего среднего, равен 1/N. Присвоение равного веса противоречит интуитивному представлению о том, что во многих случаях последние данные могут больше сказать о том, что произойдет в ближайшем будущем, чем предыдущие.

Взвешенное скользящее среднее . Вклад различных моментов времени можно учесть, вводя вес для каждого значения показателя в скользящем интервале. В результате получается метод взвешенного скользящего среднего, который математически можно записать так:

где - вес, с которым используется показательпри расчете.

Вес - это всегда положительное число. В случае, когда все веса одинаковы, вырождается метод простого скользящего среднего.

Теперь маркетолог может использовать метод взвешенного скользящего среднего за 3 месяца. Но прежде требуется понять, как выбрать веса. Используя средство Поиск решения, можно определить оптимальный вес узлов. Чтобы определить вес узлов с помощью средства Поиск решения, при котором значение среднего абсолютных отклонений было бы минимально, выполните следующие действия:

Выберите команду Сервис -> Поиск решения.

В диалоговом окне Поиска решения установите ячейку G16 целевой (см. лист «Веса»), минимизируя её.

Изменяемыми ячейками укажите диапазон В1:В3.

Установите ограничения В4 = 1,0; В1:ВЗ ≥ 0; В1:В3 ≤ 1; B1 ≤ В2 и В2 ≤ В3.

Запустите поиск решения (результат отображает).

Рисунок 58. Пример 1 – результат поиска весов значений показателей при использовании метода взвешенного скользящего среднего

Полученные результаты показывают, что оптимальное распределение весов таково, что весь вес сосредоточен на самом последнем наблюдении, при этом значение среднего абсолютных отклонений равно 7,56 (см. также Рисунок 59). Этот результат подтверждает предположение о том, что более поздние наблюдения должны иметь больший вес.

Рисунок 59. Пример 1 – график кривой прогноза методом взвешенного скользящего среднего и график реального объёма продаж

Аналитическое выравнивание уровней динамического ряда не дает хороших результатов при прогнозировании, если уровни ряда имеют резкие периодические колебания. В этих случаях для определения тенденции развития явления используется сглаживание динамического ряда методом скользящих средних.

Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Методы сглаживания можно условно разделить на два класса, опирающиеся на различные подходы:

Аналитический подход;

Алгоритмический подход.

Аналитический подход основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную, неслучайную составляющую.

При использовании алгоритмического подхода отказываются от ограничения, свойственного аналитическому. Процедуры этого класса не предполагают описание динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предполагают описание динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предоставляют исследователю лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой данный момент времени . Методы сглаживания временных рядов с помощью скользящих средних относятся к этому подходу.

Иногда скользящие средние применяют как предварительный этап перед моделированием тренда с помощью процедур, относящихся к аналитическому подходу.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующего алгоритма.

1. Определяют длину интервала сглаживания g, включающего в себя g последовательных уровней ряда (g

2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

3. Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующее среднее значение

При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении g все уровни активного участка могут быть представлены в виде:

а скользящая средняя определяется по формуле

,

где − фактические значение -го уровня;

− значение скользящей средней в момент ;

− длина интервала сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний желательно использовать четырех- и двенадцатичленную скользящую среднюю.

При четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

Тогда для сглаживания колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать следующие скользящие средние:

,

.

Рассмотрим применение скользящей средней по данным общей площади жилых помещений, приходящихся в среднем на 1 жителя по Хабаровскому краю (таблица 2.1.1).

Поскольку период сглаживания не обосновать, расчеты начинают с 3-членной скользящей средней. Первый сглаженный уровень получим для 1993 г.:

.

Последовательно сдвигая на один год начало периода скольжения, находим сглаженные уровни для последующих лет.

Для 1994 г. скользящая средняя составит

,

для 1995 г. , и т.д.

Так как скользящая средняя относится к середине интервала, за который она рассчитана, то динамический ряд сглаженных уровней сокращается на уровень при нечетном периоде скольжения и на уровней при четном периоде скольжения. Поэтому в нашем примере сглаженный ряд стал короче на два члена для трехчленной средней и на четыре – для пятичленной (таблица 2.1.1).

При расчете по четным скользящим средним (в нашем примере 4-членная скользящая средняя) вычисления производятся следующим образом:

Для 1994 г. ;

1995 г. ;

1996 г. .

Таблица 2.1.1 – Результаты сглаживания по методу скользящих средних

Как видно из таблицы 2.1.1, трехчленная скользящая средняя демонстрирует выравненный динамический ряд с однонаправленной тенденцией движения уровней. Сглаживание по трехчленной скользящей средней дало более сглаженный ряд, так как для трехчленной скользящей средней оказалась меньше сумма квадратов отклонений фактических данных () от сглаженных () ( = 0,179) (таблица 2.1.1). Иными словами, трехчленная скользящая средняя лучше всего представляет закономерность движения уровней динамического ряда.

Это один из самых старых и широко известных способов сглаживания временного ряда. Сглаживание представляет собой некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга. Так, метод скользящей средней основан на переходе от начальных значений ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого выбрана заранее (данный интервал времени часто называют "окном"). При этом сам выбранный интервал скользит вдоль ряда.

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко чем исходный ряд, за счет усреднения отклонений исходного ряда. Таким образом, эта процедура дает представление об общей тенденции поведения ряда. Ее применение особенно полезно для рядов с сезонными колебаниями и неясным характером тренда.

Формальное определение метода скользящей средней для окна сглаживания, длина которого выражается нечетным числом p=2m+1. Пусть имеются измерения во времени: y 1 , y 2 …y n .

Тогда метод скользящей средней состоит в том, что исходный временной ряд преобразуется в ряд сглаженных значений (оценок) по формуле:

Где р – размер окна, j – порядковый номер уровня в окне сглаживания, m – величена, определяемая по формуле: m = (p-1) / 2.

При применении метода скользящей средней выбор размера окна сглаживания p должен осуществляться исходя из соображений и привязанности к периоду сезонности для сезонных волн. Если процедура скользящего среднего используется для сглаживания не сезонных рядов, то окно выбирают равным трем, пяти или семи. Чем больше размер окна, тем более гладкий вид имеет график скользящих средних.

Задача 2. На основе данных о производстве стиральных машин фирмой за 15 месяцев 2002-2003 гг. нужно произвести сглаживание ряда методом трехчленной скользящей средней.

Взяв данные за первые три месяца, исчисляем трехчленные суммы, а затем среднюю:

и т.д.

Для реализации процедуры скользящей средней можно воспользоваться функцией Microsoft Excel. В закладке "Анализ данных" выбираем "скользящее среднее". Этот режим работы служит для сглаживания уровней временного ряда на основе метода простой скользящей средней. Указывается интервал – т.е. размер окна сглаживания. По умолчанию р=3. Получаем на выходе следующий результат:

На графике отображен исходный ряд и сглаженный. Теперь для сглаженного ряда проще и точнее можно определить основную тенденцию (например, подобрать линию тренда).

Метод скользящей средней  метод изучения в рядах динамики основной тенденции развития явления.

Суть метода скользящей средней состоит в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем  средний уровень из того же числа уровней, начиная со второго, далее  начиная с третьего и т. д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий.

Средняя из нечетного числа уровней относится к середине интервала. Если интервал сглаживания четный, то отнесение средней к определенному времени невозможно, она относится к середине между датами. Для того чтобы правильно отнести среднюю из четного числа уровней, применяется центрирование, т. е. нахождение средней из средней, которую относят уже к определенной дате.

Покажем применение скользящей средней на следующем примере. Пример 3.1 . На основе данных об урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1989–2003 гг. проведем сглаживание ряда методом скользящей средней.

Динамика урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1989–2003 гг. и расчет скользящих средних

1 . Рассчитаем трехлетние скользящие суммы. Находим сумму урожайности за 1989–1991 гг.: 19,5  23,4  25,0  67,9 и записываем это значение в 1991 г. Затем из этой суммы вычитаем значение показателя за 1989 г. и прибавляем показатель за 1992 г.: 67,9 – 19,5  22,4  70,8 и это значение записываем в 1992 г. и т. д.

2 . Определим трехлетние скользящие средних по формуле простой средней арифметической:

Полученное значение записываем в 1990 г. Затем берем следующую трехлетнюю скользящую сумму и находим трехлетнюю скользящую среднюю: 70,8: 3  23,6, полученное значение записываем в 1991 г. и т. д.

Аналогичным образом рассчитываются четырехлетние скользящие суммы. Их значения представлены в графе 4 таблицы данного примера.

Четырехлетние скользящие средние определяются по формуле простой средней арифметической:

Это значение будет отнесено между двумя годами - 1990 и 1991 гг., т. е. в середине интервала сглаживания. Для того чтобы найти четырехлетние скользящие средние центрированные, необходимо найти среднюю из двух смежных скользящих средних:

Эта средняя будет отнесена к 1991 г. Аналогичным образом рассчитываются остальные центрированные средние; их значения записываются в графу 6 таблицы данного примера.

4. Метод аналитического выравнивания

Уравнение прямой при аналитическом выравнивании ряда динамики имеет следующий вид:

где - выровненный (средний) уровень динамического ряда; a 0 , a 1 - параметры искомой прямой; t - обозначение времени. 

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров a 0 и a 1:

где у  исходный уровень ряда динамики ; n  число членов ряда.

Система уравнений упрощается, если значения t подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю, т. е. начало времени перенести в середину рассматриваемого периода.

Если то

Исследование динамики соц.-экон. явлений и установление основной тенденции развития дают основание для прогнозирования (экстраполяции)  определения будущих размеров уровня экономического явления. Используют следующие методы экстраполяции:

■ средний абсолютный прирост  с/показатель, исчисляемый для выражения средней скорости роста (снижения) соц.-эк. процесса. Определяется по формуле:

■ средний темп роста;

■ экстраполяцию на основе выравнивания по какой-либо аналитической формуле.Метод аналитического выравнивания-метод исследования динамики соц.-экон. явлений, позволяющий установить основные тенденции их развития.

Рассмотрим применение метода аналитического выравнивания по прямой для выражения основной тенденции на ПримерЕ 4.1 . Исходные и расчетные данные определения параметров уравнения прямой: