Lineaarne valem. Vektorite süsteemi lineaarne sõltuvus. Kollineaarsed vektorid

Definitsioon. Lineaarne vektorite kombinatsioon a 1 , ..., a n koefitsientidega x 1 , ..., x n nimetatakse vektoriks

x 1 a 1 + ... + x n a n .

triviaalne, kui kõik koefitsiendid x 1 , ..., x n on võrdsed nulliga.

Definitsioon. Nimetatakse lineaarkombinatsioon x 1 a 1 + ... + x n a n mittetriviaalne, kui vähemalt üks koefitsientidest x 1 , ..., x n ei ole võrdne nulliga.

lineaarselt sõltumatu, kui puudub nende vektorite mittetriviaalne kombinatsioon, mis on võrdne nullvektoriga .

See tähendab, et vektorid a 1 , ..., a n on lineaarselt sõltumatud, kui x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 siis ja ainult siis, kui x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definitsioon. Nimetatakse vektoreid a 1 , ..., a n lineaarselt sõltuv, kui on olemas nende vektorite mittetriviaalne kombinatsioon, mis on võrdne nullvektoriga .

Lineaarselt sõltuvate vektorite omadused:

Kahe- ja kolmemõõtmeliste vektorite jaoks.

Kaks lineaarselt sõltuvat vektorit on kollineaarsed. (Kollineaarsed vektorid on lineaarselt sõltuvad.) .

3-mõõtmeliste vektorite jaoks.

Kolm lineaarselt sõltuvat vektorit on tasapinnalised. (Kolm samatasandilist vektorit on lineaarselt sõltuvad.)

N-mõõtmeliste vektorite jaoks.
n + 1 vektorid on alati lineaarselt sõltuvad.

Vektorite lineaarse sõltuvuse ja lineaarse sõltumatuse ülesannete näited:

Näide 1. Kontrollige, kas vektorid a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) on lineaarselt sõltumatud .

Lahendus:

Vektorid on lineaarselt sõltuvad, kuna vektorite mõõde on väiksem kui vektorite arv.

Näide 2. Kontrollige, kas vektorid a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) on lineaarselt sõltumatud.

Lahendus:

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + x3 = 0

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	1

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0		0	-1	1

lahutage esimesest reast teine; lisage teine rida kolmandale reale:

~	1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0	~	1	0	1
	0	1	-1	0		0	1	-1
	0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0		0	0	0

See lahendus näitab, et süsteemil on palju lahendusi, st arvude x 1 , x 2 , x 3 väärtuste nullist erinev kombinatsioon on selline, et vektorite a , b , c lineaarne kombinatsioon on võrdne nullvektorile, näiteks:

A + b + c = 0

mis tähendab, et vektorid a , b , c on lineaarselt sõltuvad.

Vastus: vektorid a , b , c on lineaarselt sõltuvad.

Näide 3. Kontrollige, kas vektorid a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) on lineaarselt sõltumatud.

Lahendus: Leiame koefitsientide väärtused, mille korral nende vektorite lineaarne kombinatsioon on võrdne nullvektoriga.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Selle vektorvõrrandi saab kirjutada lineaarsete võrrandite süsteemina

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

Lahendame selle süsteemi Gaussi meetodil

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	2

lahutage esimene teisest reast; lahutage esimene kolmandast reast:

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0		0	-1	2

lahutage esimesest reast teine; lisage teine rida kolmandale reale.

Vektorite süsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuv, kui on selliseid numbreid , millest vähemalt üks erineb nullist, et võrdus https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Kui see võrdsus kehtib ainult siis, kui kõik , siis kutsutakse vektorite süsteemi lineaarselt sõltumatu.

Teoreem. Vektorite süsteem tahe lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui vähemalt üks selle vektor on teiste lineaarne kombinatsioon.

Näide 1 Polünoom on polünoomide lineaarne kombinatsioon https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polünoomid moodustavad lineaarselt sõltumatu süsteemi, kuna https polünoom: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Näide 2 Maatrikssüsteem , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> on lineaarselt sõltumatu, kuna lineaarne kombinatsioon on võrdne nullmaatriks ainult siis, kui https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineaarselt sõltuv.

Lahendus.

Koostage nendest vektoritest lineaarne kombinatsioon https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Võrdsustades võrdsete vektorite samanimelised koordinaadid, saame https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Lõpuks saame

Süsteemil on ainulaadne triviaalne lahendus, seega on nende vektorite lineaarne kombinatsioon null ainult siis, kui kõik koefitsiendid on nullid. Seetõttu on see vektorite süsteem lineaarselt sõltumatu.

Näide 4 Vektorid on lineaarselt sõltumatud. Millised on vektorite süsteemid

a).;

b).?

Lahendus.

a). Koostage lineaarne kombinatsioon ja võrdsustage see nulliga

Kasutades lineaarruumis vektoritega tehte omadusi, kirjutame viimase võrrandi ümber kujul

Kuna vektorid on lineaarselt sõltumatud, peavad koefitsiendid for olema võrdsed nulliga, st.gif" width="12" height="23 src=">

Saadud võrrandisüsteemil on ainulaadne triviaalne lahendus .

Alates võrdsusest (*) täidetakse ainult aadressil https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – lineaarselt sõltumatu;

b). Koostage võrdsus https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Sarnast arutluskäiku rakendades saame

Lahendades võrrandisüsteemi Gaussi meetodil, saame

või

Viimasel süsteemil on lõpmatu arv lahendusi https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Seega on olemas mitte- null koefitsientide kogum, mille võrdsus (**) . Seetõttu vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv.

Näide 5 Vektorsüsteem on lineaarselt sõltumatu ja vektorsüsteem on lineaarselt sõltuv..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Võrdsuses (***) . Tõepoolest, puhul oleks süsteem lineaarselt sõltuv.

Suhtest (***) saame või Tähistage .

Hangi

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks (klassiruumis)

1. Nullvektorit sisaldav süsteem on lineaarselt sõltuv.

2. Ühe vektori süsteem a, on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, a=0.

3. Kahest vektorist koosnev süsteem on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui vektorid on võrdelised (st üks neist saadakse teisest arvuga korrutades).

4. Kui lineaarselt sõltuvale süsteemile lisada vektor, siis saadakse lineaarselt sõltuv süsteem.

5. Kui vektor lineaarselt sõltumatust süsteemist eemaldada, siis on saadud vektorite süsteem lineaarselt sõltumatu.

6. Kui süsteem S lineaarselt sõltumatu, kuid muutub lineaarselt sõltuvaks vektori lisamisel b, siis vektor b lineaarselt väljendatud süsteemi vektoritega S.

c). Maatriksite süsteem , , teist järku maatriksite ruumis.

10. Olgu vektorite süsteem a,b,c vektorruum on lineaarselt sõltumatu. Tõesta järgmiste vektorisüsteemide lineaarne sõltumatus:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– suvaline arv

c).a+b, a+c, b+c.

11. Lase a,b,c on kolm tasandi vektorit, mida saab kasutada kolmnurga moodustamiseks. Kas need vektorid on lineaarselt sõltuvad?

12. Antud kaks vektorit a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Võtke üles veel kaks 4D-vektorit a3 jaa4 nii et süsteem a1,a2,a3,a4 oli lineaarselt sõltumatu .

Vektorid, nende omadused ja tegevused nendega

Vektorid, toimingud vektoritega, lineaarne vektorruum.

Vektorid on piiratud arvu reaalarvude järjestatud kogum.

Tegevused: 1. Vektori korrutamine arvuga: lambda * vektor x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3,4, 0,7) * 3 \u003d (9, 12,0,21) )

2. Vektorite liitmine (need kuuluvad samasse vektorruumi) vektor x + vektor y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-mõõtmeline (lineaarruum) vektor x + vektor 0 = vektor x

Teoreem. Selleks, et n vektoritest koosnev süsteem n-mõõtmelises lineaarruumis oleks lineaarselt sõltuv, on vajalik ja piisav, et üks vektoritest oleks teiste lineaarne kombinatsioon.

Teoreem. Suvaline hulk n-mõõtmelise lineaarruumi yavl n+ 1. vektorit. lineaarselt sõltuv.

Vektorite liitmine, vektorite korrutamine arvudega. Vektorite lahutamine.

Kahe vektori summa on vektor, mis on suunatud vektori algusest vektori lõpuni, eeldusel, et algus langeb kokku vektori lõpuga. Kui vektorid on antud nende laiendustega alusvektoritena, siis vektorite liitmisel saadakse nende vastavad koordinaadid.

Vaatleme seda Descartes'i koordinaatsüsteemi näitel. Lase

Näitame seda

Joonis 3 näitab seda

Suvalise lõpliku arvu vektorite summa saab leida hulknurga reegli abil (joonis 4): lõpliku arvu vektorite summa konstrueerimiseks piisab, kui sobitada iga järgneva vektori algus eelmise lõpuga. ja konstrueerida vektor, mis ühendab esimese vektori alguse viimase lõpuga.

Vektorite liitmise operatsiooni omadused:

Nendes avaldistes on m, n arvud.

Vektorite erinevust nimetatakse vektoriks.Teine liige on vektorile vastandsuunaline, kuid pikkuselt võrdne vektor.

Seega asendatakse vektori lahutamise tehe liitmistehtega

Vektorit, mille algus on koordinaatide alguspunktis ja lõpp punktis A (x1, y1, z1), nimetatakse punkti A raadiusvektoriks ja tähistatakse või lihtsalt. Kuna selle koordinaadid ühtivad punkti A koordinaatidega, on selle vektorites laienemine kujul

Vektori, mis algab punktis A(x1, y1, z1) ja lõpeb punktis B(x2, y2, z2), saab kirjutada järgmiselt

kus r 2 on punkti B raadiuse vektor; r 1 - punkti A raadiuse vektor.

Seetõttu on vektori paisumisel ortide kujul vorm

Selle pikkus võrdub punktide A ja B vahelise kaugusega

KORRUTAMINE

Nii et lameülesande korral leitakse vektori a = (ax; ay) ja arvu b korrutis valemiga

a b = (ax b; ay b)

Näide 1. Leia vektori a = (1; 2) korrutis 3-ga.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Nii et ruumiprobleemi korral leitakse vektori a = (ax; ay; az) ja arvu b korrutis valemiga

a b = (ax b; ay b; az b)

Näide 1. Leia vektori a = (1; 2; -5) korrutis 2-ga.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Vektorite punktkorrutis ja kus on nurk vektorite ja ; kui kumbki, siis

Skalaarkorrutise definitsioonist järeldub, et

kus näiteks on vektori projektsiooni väärtus vektori suunale .

Vektori skalaarruut:

Punkti toote omadused:

Punktkorrutis koordinaatides

Kui a siis

Nurk vektorite vahel

Nurk vektorite vahel – nurk nende vektorite suundade vahel (väikseim nurk).

Vektorkorrutis (kahe vektori vektorkorrutis.)- on kahe teguri abil konstrueeritud tasapinnaga risti olev pseudovektor, mis on kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi vektorite binaartehte "vektori korrutamine" tulemus. Korrutis ei ole kommutatiivne ega assotsiatiivne (see on antikommutatiivne) ja erineb vektorite punktkorrutisest. Paljude inseneri- ja füüsikaülesannete puhul on vaja osata ehitada vektorit, mis on risti kahe olemasolevaga – vektorkorrutis annab selle võimaluse. Ristkorrutis on kasulik vektorite perpendikulaarsuse "mõõtmiseks" - kahe vektori ristkorrutise pikkus võrdub nende pikkuste korrutisega, kui need on risti, ja väheneb nullini, kui vektorid on paralleelsed või antiparalleelsed.

Vektorprodukt on määratletud ainult kolme- ja seitsmemõõtmelistes ruumides. Vektorkorrutise tulemus, nagu ka skalaarkorrutis, sõltub eukleidilise ruumi meetrikast.

Erinevalt kolmemõõtmelise ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi vektorite koordinaatide põhjal skalaarkorrutise arvutamise valemist sõltub vektorkorrutise valem ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi orientatsioonist või teisisõnu selle "kiraalsusest".

Vektorite kollineaarsus.

Kahte nullist erinevat (mitte 0-ga) vektorit nimetatakse kollineaarseks, kui need asuvad paralleelsel sirgel või samal sirgel. Lubame, kuid ei soovita, sünonüümi - "paralleelsed" vektorid. Kollineaarsed vektorid võivad olla suunatud samas suunas ("kaassuunatud") või vastassuunalised (viimasel juhul nimetatakse neid mõnikord "antikollineaarseteks" või "antiparalleelseteks").

vektorite segakorrutis( a,b,c)- vektori a skalaarkorrutis ning vektorite b ja c vektorkorrutis:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

mõnikord nimetatakse seda vektorite kolmekordseks skalaarkorrutiseks, ilmselt seetõttu, et tulemuseks on skalaar (täpsemalt pseudoskalaar).

Geomeetriline tähendus: segatud korrutise moodul on arvuliselt võrdne vektorite moodustatud rööptahuka ruumalaga (a,b,c) .

Omadused

Segatoode on kõigi oma argumentide suhtes kaldsümmeetriline: see tähendab, e) mis tahes kahe teguri permutatsioon muudab toote märki. Sellest järeldub, et parempoolses Descartes'i koordinaatsüsteemis (ortonormaalses aluses) olev segakorrutis on võrdne maatriksi determinandiga, mis koosneb vektoritest ja:

Segakorrutis vasakpoolses Descartes'i koordinaatsüsteemis (ortonormaalses aluses) on võrdne vektoritest koosneva maatriksi determinandiga, mis on võetud miinusmärgiga:

Eriti,

Kui mis tahes kaks vektorit on paralleelsed, moodustavad nad mis tahes kolmanda vektoriga segatud korrutise, mis on võrdne nulliga.

Kui kolm vektorit on lineaarselt sõltuvad (st. tasapinnalised, asuvad samal tasapinnal), siis on nende segakorrutis null.

Geomeetriline tähendus - Segakorrutis absoluutväärtuses võrdub rööptahuka (vt joonis) ruumalaga, mille moodustavad vektorid ja; märk sõltub sellest, kas see vektorite kolmik on parem- või vasakpoolne.

Vektorite komplanaarsus.

Kolme (või enamat) vektorit nimetatakse koplanaarseks, kui need taandatuna ühisele algpunktile asuvad samal tasapinnal

Sarnasusomadused

Kui vähemalt üks kolmest vektorist on null, loetakse kolm vektorit ka tasapinnalisteks.

Kollineaarsete vektorite paari sisaldav vektorite kolmik on koplanaarne.

Koplanaarsete vektorite segakorrutis. See on kolme vektori samatasandilisuse kriteerium.

Koplanaarsed vektorid on lineaarselt sõltuvad. See on ka koplanaarsuse kriteerium.

3-mõõtmelises ruumis moodustavad 3 mittetasapinnalist vektorit

Lineaarselt sõltuvad ja lineaarselt sõltumatud vektorid.

Lineaarselt sõltuvad ja sõltumatud vektorite süsteemid.Definitsioon. Vektorite süsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuv, kui nende vektorite mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon on võrdne nullvektoriga. Vastasel juhul, st. kui ainult antud vektorite triviaalne lineaarne kombinatsioon on võrdne nullvektoriga, nimetatakse vektoreid lineaarselt sõltumatu.

Teoreem (lineaarse sõltuvuse kriteerium). Et lineaarses ruumis paiknev vektorite süsteem oleks lineaarselt sõltuv, on vajalik ja piisav, et vähemalt üks neist vektoritest oleks teiste lineaarne kombinatsioon.

1) Kui vektorite hulgas on vähemalt üks nullvektor, siis on kogu vektorite süsteem lineaarselt sõltuv.

Tõepoolest, kui näiteks , siis, eeldades , on meil mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon .▲

2) Kui mõned vektoritest moodustavad lineaarselt sõltuva süsteemi, siis on kogu süsteem lineaarselt sõltuv.

Tõepoolest, olgu vektorid , , lineaarselt sõltuvad. Seega on olemas mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon, mis on võrdne nullvektoriga. Aga siis, eeldades , saame ka mittetriviaalse lineaarse kombinatsiooni, mis on võrdne nullvektoriga.

2. Alus ja mõõde. Definitsioon. Lineaarselt sõltumatute vektorite süsteem vektorruumi nimetatakse alus seda ruumi, kui suvalist vektorit saab esitada selle süsteemi vektorite lineaarse kombinatsioonina, st. iga vektori jaoks on reaalarvud selline, et võrdsus kehtib. Seda võrdsust nimetatakse vektori lagunemine aluse ja numbrite järgi helistas vektori koordinaadid baasi suhtes(või alusel) .

Teoreem (laienduse ainulaadsuse kohta aluse osas). Iga ruumivektorit saab aluse osas laiendada ainulaadsel viisil, s.o. iga baasi vektori koordinaadid on määratletud üheselt.

Selles artiklis käsitleme järgmist:

mis on kollineaarsed vektorid;
millised on kollineaarsete vektorite tingimused;
millised on kollineaarsete vektorite omadused;
milline on kollineaarsete vektorite lineaarne sõltuvus.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definitsioon

Kollineaarsed vektorid on vektorid, mis on paralleelsed sama sirgega või asuvad samal sirgel.

Näide 1

Kollineaarsete vektorite tingimused

Kaks vektorit on kollineaarsed, kui mõni järgmistest tingimustest on tõene:

tingimus 1 . Vektorid a ja b on kollineaarsed, kui on olemas selline arv λ, et a = λ b ;
tingimus 2 . Vektorid a ja b on kollineaarsed võrdse koordinaatide suhtega:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

tingimus 3 . Vektorid a ja b on kollineaarsed eeldusel, et vektori korrutis ja nullvektor on võrdsed:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Märkus 1

Tingimus 2 ei kehti, kui üks vektori koordinaatidest on null.

Märkus 2

Tingimus 3 rakendatav ainult nendele vektoritele, mis on antud ruumis.

Ülesannete näited vektorite kollineaarsuse uurimisel

Näide 1

Uurime vektorite a \u003d (1; 3) ja b \u003d (2; 1) kollineaarsust.

Kuidas otsustada?

Sel juhul on vaja kasutada kollineaarsuse 2. tingimust. Antud vektorite puhul näeb see välja järgmine:

Võrdsus on vale. Sellest võime järeldada, et vektorid a ja b on mittekollineaarsed.

Vastus : a | | b

Näide 2

Milline vektori a = (1 ; 2) ja b = (- 1 ; m) väärtus m on vajalik, et vektorid oleksid kollineaarsed?

Kuidas otsustada?

Kasutades teist kollineaarset tingimust, on vektorid kollineaarsed, kui nende koordinaadid on võrdelised:

See näitab, et m = -2.

Vastus: m = -2.

Vektorite süsteemide lineaarse sõltuvuse ja lineaarse sõltumatuse kriteeriumid

Teoreem

Vektoriruumis olev vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv ainult siis, kui süsteemi üht vektorit saab väljendada ülejäänud süsteemi vektoritega.

Tõestus

Olgu süsteem e 1 , e 2 , . . . , e n on lineaarselt sõltuv. Kirjutame üles selle süsteemi lineaarkombinatsiooni, mis on võrdne nullvektoriga:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

milles vähemalt üks kombinatsiooni koefitsient ei ole võrdne nulliga.

Olgu a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Jagame võrdsuse mõlemad pooled nullist erineva koefitsiendiga:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Tähistage:

A k - 1 a m , kus m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Sel juhul:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

või e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Sellest järeldub, et süsteemi üht vektorit väljendatakse süsteemi kõigi teiste vektorite kaudu. Mida oli vaja tõestada (p.t.d.).

Adekvaatsus

Olgu üks vektoritest lineaarselt väljendatud süsteemi kõigi teiste vektorite kaudu:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Viime vektori e k selle võrrandi paremale poole:

0 = γ 1 e 1 +. . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Kuna vektori e k koefitsient on võrdne - 1 ≠ 0 , saame nulli mittetriviaalse esituse vektorite süsteemiga e 1 , e 2 , . . . , e n ja see omakorda tähendab, et antud vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv. Mida oli vaja tõestada (p.t.d.).

Tagajärg:

Vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, kui ühtki selle vektorit ei saa väljendada süsteemi kõigi teiste vektoritega.
Vektorsüsteem, mis sisaldab nullvektorit või kahte võrdset vektorit, on lineaarselt sõltuv.

Lineaarselt sõltuvate vektorite omadused

2- ja 3-mõõtmeliste vektorite puhul on tingimus täidetud: kaks lineaarselt sõltuvat vektorit on kollineaarsed. Kaks kollineaarset vektorit on lineaarselt sõltuvad.
3-mõõtmeliste vektorite puhul on tingimus täidetud: kolm lineaarselt sõltuvat vektorit on tasapinnalised. (3 koplanaarset vektorit – lineaarselt sõltuv).
N-mõõtmeliste vektorite puhul on tingimus täidetud: n + 1 vektorit on alati lineaarselt sõltuvad.

Vektorite lineaarse sõltuvuse või lineaarse sõltumatuse ülesannete lahendamise näited

Näide 3

Kontrollime vektorite a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 lineaarset sõltumatust.

Lahendus. Vektorid on lineaarselt sõltuvad, kuna vektorite mõõde on väiksem kui vektorite arv.

Näide 4

Kontrollime vektorite a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 lineaarset sõltumatust.

Lahendus. Leiame koefitsientide väärtused, mille korral lineaarne kombinatsioon võrdub nullvektoriga:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Kirjutame vektorvõrrandi lineaarse võrrandi kujul:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Lahendame selle süsteemi Gaussi meetodil:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2. realt lahutame 1., 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Lahutage 1. realt 2., lisage 2. kolmandale:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Lahendusest järeldub, et süsteemil on palju lahendusi. See tähendab, et on olemas nullist erinev kombinatsioon selliste arvude x 1 , x 2 , x 3 väärtustest, mille puhul lineaarne kombinatsioon a , b , c võrdub nullvektoriga. Seega on vektorid a , b , c lineaarselt sõltuv.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Ülesanne 1. Uurige, kas vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu. Vektorite süsteem defineeritakse süsteemi maatriksiga, mille veerud koosnevad vektorite koordinaatidest.

Lahendus. Laske lineaarne kombinatsioon võrdub nulliga. Pärast selle võrrandi kirjutamist koordinaatidesse saame järgmise võrrandisüsteemi:

Sellist võrrandisüsteemi nimetatakse kolmnurkseks. Tal on ainus lahendus. . Siit ka vektorid on lineaarselt sõltumatud.

2. ülesanne. Uurige, kas vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu.

Lahendus. Vektorid on lineaarselt sõltumatud (vt ülesanne 1). Tõestame, et vektor on vektorite lineaarne kombinatsioon . Vektori laienduskoefitsiendid määratakse võrrandisüsteemist

Sellel süsteemil, nagu ka kolmnurksel, on ainulaadne lahendus.

Seetõttu vektorite süsteem lineaarselt sõltuv.

Kommenteeri. Nimetatakse selliseid maatrikse nagu ülesandes 1 kolmnurkne ja ülesandes 2 – astmeline kolmnurkne . Vektorite süsteemi lineaarse sõltuvuse küsimus on kergesti lahendatav, kui nende vektorite koordinaatidest koosnev maatriks on astmeliselt kolmnurkne. Kui maatriksil pole spetsiaalset vormi, siis kasutades elementaarstringi teisendused , säilitades veergudevahelised lineaarsed suhted, saab selle taandada astmeliseks kolmnurkseks.

Elementaarsed stringteisendused maatriksiteks (EPS) nimetatakse maatriksi järgmisi tehteid:

1) joonte permutatsioon;

2) stringi korrutamine nullist erineva arvuga;

3) stringile teise stringi lisamine, mis on korrutatud suvalise arvuga.

3. ülesanne. Leidke maksimaalne lineaarselt sõltumatu alamsüsteem ja arvutage vektorite süsteemi järk

Lahendus. Taandagem süsteemi maatriks EPS-i abil astmeliseks-kolmnurkseks. Protseduuri selgitamiseks tähistatakse teisendatava maatriksi numbriga rida sümboliga . Noole järel olev veerg näitab toiminguid, mis tuleb teisendatud maatriksi ridadel teha uue maatriksi ridade saamiseks.

Ilmselt on saadud maatriksi kaks esimest veergu lineaarselt sõltumatud, kolmas veerg on nende lineaarne kombinatsioon ja neljas ei sõltu kahest esimesest. Vektorid nimetatakse põhilisteks. Need moodustavad süsteemi maksimaalse lineaarselt sõltumatu alamsüsteemi , ja süsteemi auaste on kolm.

Alus, koordinaadid

4. ülesanne. Leidke sellel alusel vektorite alus ja koordinaadid geomeetriliste vektorite hulgast, mille koordinaadid vastavad tingimusele .

Lahendus. Hulk on alguspunkti läbiv tasapind. Tasapinnal olev suvaline alus koosneb kahest mittekollineaarsest vektorist. Vektorite koordinaadid valitud baasis määratakse vastava lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise teel.

Selle probleemi lahendamiseks on veel üks viis, kui leiate aluse koordinaatide järgi.

Koordinaadid ruumid ei ole tasapinna koordinaadid, kuna need on seotud suhtega st nad ei ole iseseisvad. Sõltumatud muutujad ja (neid nimetatakse vabadeks) määravad üheselt tasapinnal oleva vektori ja seetõttu saab neid valida koordinaatideks . Siis alus koosneb vektoritest, mis asuvad vabade muutujate hulgal ja vastavad neile ja , see on .