Uhesabuji wa nok. Jinsi ya kupata idadi isiyo ya kawaida ya nambari

Kikokotoo cha mtandaoni hukuruhusu kupata kwa haraka kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida na kizidishio kisicho kawaida kwa nambari mbili au nyingine yoyote ya nambari.

Kikokotoo cha kutafuta GCD na LCM

Pata GCD na LOC

Imepatikana GCD na LOC: 5806

Jinsi ya kutumia calculator

Ingiza nambari kwenye uwanja wa kuingiza
Ukiingiza herufi zisizo sahihi, sehemu ya ingizo itaangaziwa kwa rangi nyekundu
bonyeza kitufe cha "Pata GCD na LCM".

Jinsi ya kuingiza nambari

Nambari huingizwa zikitenganishwa na nafasi, kipindi au koma
Urefu wa nambari zilizoingizwa sio mdogo, kwa hivyo kupata GCD na LCM ya nambari ndefu sio ngumu

GCD na NOC ni nini?

Kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida nambari kadhaa ndio nambari kamili asilia ambayo kwayo nambari zote asili zinaweza kugawanywa bila salio. Kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida kinafupishwa kama GCD.
Angalau nyingi za kawaida nambari kadhaa ndio nambari ndogo zaidi ambayo inaweza kugawanywa kwa kila nambari asili bila salio. Nakala isiyo ya kawaida zaidi imefupishwa kama NOC.

Jinsi ya kuangalia kuwa nambari inaweza kugawanywa na nambari nyingine bila salio?

Ili kujua ikiwa nambari moja inaweza kugawanywa na nyingine bila salio, unaweza kutumia sifa fulani za mgawanyiko wa nambari. Kisha, kwa kuchanganya, unaweza kuangalia mgawanyiko wa baadhi yao na mchanganyiko wao.

Baadhi ya ishara za mgawanyiko wa nambari

1. Jaribio la mgawanyiko kwa nambari kwa 2
Kuamua ikiwa nambari inaweza kugawanywa na mbili (ikiwa ni sawa), inatosha kuangalia nambari ya mwisho ya nambari hii: ikiwa ni sawa na 0, 2, 4, 6 au 8, basi nambari ni sawa. ambayo inamaanisha kuwa inaweza kugawanywa na 2.
Mfano: kuamua ikiwa nambari 34938 inaweza kugawanywa na 2.
Suluhisho: Tunaangalia nambari ya mwisho: 8 - hiyo inamaanisha kuwa nambari inaweza kugawanywa na mbili.

2. Jaribio la mgawanyiko kwa nambari kwa 3
Nambari inaweza kugawanywa na 3 wakati jumla ya tarakimu zake inagawanywa na tatu. Kwa hivyo, ili kuamua ikiwa nambari inaweza kugawanywa na 3, unahitaji kuhesabu jumla ya nambari na uangalie ikiwa inaweza kugawanywa na 3. Hata kama jumla ya nambari ni kubwa sana, unaweza kurudia mchakato huo tena.
Mfano: kuamua ikiwa nambari 34938 inaweza kugawanywa na 3.
Suluhisho: Tunahesabu jumla ya nambari: 3+4+9+3+8 = 27. 27 inagawanywa na 3, ambayo ina maana kwamba nambari inaweza kugawanywa na tatu.

3. Jaribio la mgawanyiko kwa nambari kwa 5
Nambari inaweza kugawanywa na 5 wakati tarakimu yake ya mwisho ni sifuri au tano.
Mfano: kuamua ikiwa nambari 34938 inaweza kugawanywa na 5.
Suluhisho: angalia nambari ya mwisho: 8 inamaanisha nambari HAIGAWISHI kwa tano.

4. Jaribio la mgawanyiko kwa nambari kwa 9
Ishara hii ni sawa na ishara ya mgawanyiko na tatu: nambari inaweza kugawanywa na 9 wakati jumla ya nambari zake zinaweza kugawanywa na 9.
Mfano: kuamua ikiwa nambari 34938 inaweza kugawanywa na 9.
Suluhisho: Tunahesabu jumla ya nambari: 3+4+9+3+8 = 27. 27 inaweza kugawanywa na 9, ambayo ina maana kwamba nambari inaweza kugawanywa na tisa.

Jinsi ya kupata GCD na LCM ya nambari mbili

Jinsi ya kupata gcd ya nambari mbili

Njia rahisi zaidi ya kuhesabu kigawanyaji kikubwa zaidi cha nambari mbili ni kupata vigawanyiko vyote vinavyowezekana vya nambari hizo na kuchagua kubwa zaidi.

Wacha tuzingatie njia hii kwa kutumia mfano wa kupata GCD(28, 36):

Tunahesabu nambari zote mbili: 28 = 1 · 2 · 2 · 7, 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3
Tunapata sababu za kawaida, ambayo ni, zile ambazo nambari zote mbili zina: 1, 2 na 2.
Tunahesabu bidhaa ya mambo haya: 1 2 2 = 4 - hii ni mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari 28 na 36.

Jinsi ya kupata LCM ya nambari mbili

Kuna njia mbili za kawaida za kupata idadi ndogo ya nambari mbili. Njia ya kwanza ni kwamba unaweza kuandika mafungu ya kwanza ya nambari mbili, na kisha uchague kati yao nambari ambayo itakuwa ya kawaida kwa nambari zote mbili na wakati huo huo ndogo zaidi. Na ya pili ni kupata gcd ya nambari hizi. Hebu tuzingatie tu.

Ili kuhesabu LCM, unahitaji kuhesabu bidhaa ya nambari za asili na kisha ugawanye na GCD iliyopatikana hapo awali. Wacha tupate LCM kwa nambari sawa 28 na 36:

Pata bidhaa ya nambari 28 na 36: 28 · 36 = 1008
GCD(28, 36), kama inavyojulikana tayari, ni sawa na 4
LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Kutafuta GCD na LCM kwa nambari kadhaa

Mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida unaweza kupatikana kwa nambari kadhaa, sio mbili tu. Ili kufanya hivyo, nambari zinazopatikana kwa mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida hutenganishwa kuwa sababu kuu, basi bidhaa ya sababu kuu za nambari hizi hupatikana. Unaweza pia kutumia uhusiano ufuatao kupata gcd ya nambari kadhaa: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a,b), c).

Uhusiano sawa unatumika kwa nyingi zisizo za kawaida: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Mfano: pata GCD na LCM kwa nambari 12, 32 na 36.

Kwanza, hebu tuchambue nambari: 12 = 1 · 2 · 2 · 3, 32 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2, 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3.
Wacha tupate sababu za kawaida: 1, 2 na 2.
Bidhaa zao zitatoa GCD: 1 · 2 · 2 = 4
Sasa hebu tupate LCM: kufanya hivyo, hebu kwanza tupate LCM (12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
Ili kupata LCM ya nambari zote tatu, unahitaji kupata GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1 · 2 · 2 3 = 12.
LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Wacha tuendelee na mazungumzo juu ya anuwai ya kawaida zaidi, ambayo tulianza katika sehemu ya "LCM - nyingi za kawaida, ufafanuzi, mifano." Katika mada hii, tutaangalia njia za kupata LCM kwa nambari tatu au zaidi, na tutaangalia swali la jinsi ya kupata LCM ya nambari hasi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kukokotoa Angalau Nyingi Za Kawaida (LCM) kupitia GCD

Tayari tumeanzisha uhusiano kati ya kigawanyo cha kawaida zaidi na kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida. Sasa hebu tujifunze jinsi ya kuamua LCM kupitia GCD. Kwanza, hebu tuone jinsi ya kufanya hivyo kwa nambari chanya.

Ufafanuzi 1

Unaweza kupata kizidishio cha kawaida zaidi kupitia kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida kwa kutumia fomula LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Mfano 1

Unahitaji kupata LCM ya nambari 126 na 70.

Suluhisho

Wacha tuchukue = 126, b = 70. Wacha tubadilishe maadili kwenye fomula ya kukokotoa kizidishio kidogo zaidi cha kawaida kupitia kigawanyiko kikuu cha kawaida cha LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Inapata gcd ya nambari 70 na 126. Kwa hili tunahitaji algorithm ya Euclidean: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, kwa hiyo GCD (126 , 70) = 14 .

Wacha tuhesabu LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Jibu: LCM(126, 70) = 630.

Mfano 2

Tafuta nambari 68 na 34.

Suluhisho

GCD katika kesi hii sio ngumu kupata, kwani 68 inaweza kugawanywa na 34. Wacha tuhesabu idadi isiyo ya kawaida zaidi kwa kutumia fomula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Jibu: LCM(68, 34) = 68.

Katika mfano huu, tulitumia kanuni ya kutafuta kizidishio kisicho cha kawaida zaidi cha nambari kamili chanya a na b: ikiwa nambari ya kwanza inaweza kugawanywa na ya pili, LCM ya nambari hizo itakuwa sawa na nambari ya kwanza.

Kupata LCM kwa kuweka nambari kuwa sababu kuu

Sasa hebu tuangalie njia ya kupata LCM, ambayo inategemea nambari za uainishaji katika mambo kuu.

Ufafanuzi 2

Ili kupata idadi ndogo zaidi ya kawaida, tunahitaji kufanya idadi ya hatua rahisi:

tunaunda bidhaa ya sababu zote kuu za nambari ambazo tunahitaji kupata LCM;
tunaondoa sababu zote kuu kutoka kwa bidhaa zinazotokana;
bidhaa iliyopatikana baada ya kuondoa sababu kuu za kawaida itakuwa sawa na LCM ya nambari zilizopewa.

Njia hii ya kupata kizidishio kisicho cha kawaida zaidi inategemea usawa wa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ikiwa utaangalia formula, itakuwa wazi: bidhaa ya nambari a na b ni sawa na bidhaa ya mambo yote ambayo yanashiriki katika mtengano wa nambari hizi mbili. Katika kesi hii, gcd ya nambari mbili ni sawa na bidhaa ya sababu zote kuu ambazo zipo wakati huo huo katika uainishaji wa nambari hizi mbili.

Mfano 3

Tunayo nambari mbili 75 na 210. Tunaweza kuziainisha kama ifuatavyo: 75 = 3 5 5 Na 210 = 2 3 5 7. Ikiwa utaunda bidhaa ya mambo yote ya nambari mbili za asili, unapata: 2 3 3 5 5 5 7.

Ikiwa tutatenga sababu za kawaida kwa nambari zote 3 na 5, tunapata bidhaa ya fomu ifuatayo: 2 3 5 5 7 = 1050. Bidhaa hii itakuwa LCM yetu kwa nambari 75 na 210.

Mfano 4

Pata LCM ya nambari 441 Na 700 , ikijumuisha nambari zote mbili kuwa sababu kuu.

Suluhisho

Wacha tupate sababu zote kuu za nambari zilizopewa katika hali:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Tunapata minyororo miwili ya nambari: 441 = 3 3 7 7 na 700 = 2 2 5 5 7.

Bidhaa ya mambo yote ambayo yalishiriki katika mtengano wa nambari hizi itakuwa na fomu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Wacha tupate sababu za kawaida. Hii ndio nambari 7. Wacha tuiondoe kutoka kwa jumla ya bidhaa: 2 2 3 3 5 5 7 7. Inageuka kuwa NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Jibu: LOC(441, 700) = 44,100.

Wacha tutoe uundaji mwingine wa njia ya kupata LCM kwa kutenganisha nambari kuwa sababu kuu.

Ufafanuzi 3

Hapo awali, tulitenga kutoka kwa jumla ya idadi ya mambo ya kawaida kwa nambari zote mbili. Sasa tutafanya tofauti:

Wacha tuzingatie nambari zote mbili kuwa sababu kuu:
ongeza kwa bidhaa ya sababu kuu za nambari ya kwanza sababu zinazokosekana za nambari ya pili;
tunapata bidhaa, ambayo itakuwa LCM inayotaka ya nambari mbili.

Mfano 5

Wacha turudi kwa nambari 75 na 210, ambazo tayari tulitafuta LCM katika moja ya mifano iliyopita. Wacha tuzigawanye kwa sababu rahisi: 75 = 3 5 5 Na 210 = 2 3 5 7. Kwa bidhaa ya mambo 3, 5 na 5 nambari 75 huongeza sababu zinazokosekana 2 Na 7 nambari 210. Tunapata: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Hii ndio LCM ya nambari 75 na 210.

Mfano 6

Inahitajika kuhesabu LCM ya nambari 84 na 648.

Suluhisho

Wacha tuzingatie nambari kutoka kwa hali hiyo kuwa sababu rahisi: 84 = 2 2 3 7 Na 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Wacha tuongeze kwenye bidhaa sababu 2, 2, 3 na 7 namba 84 kukosa mambo 2, 3, 3 na
3 nambari 648. Tunapata bidhaa 2 2 2 3 3 3 7 = 4536. Hiki ndicho kizidishio cha kawaida zaidi cha 84 na 648.

Jibu: LCM(84, 648) = 4,536.

Kupata LCM ya nambari tatu au zaidi

Bila kujali ni nambari ngapi tunazoshughulikia, algorithm ya vitendo vyetu itakuwa sawa kila wakati: tutapata LCM ya nambari mbili mfululizo. Kuna nadharia ya kesi hii.

Nadharia 1

Wacha tuchukue tunayo nambari kamili a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k nambari hizi zinapatikana kwa kuhesabu kwa mpangilio m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k - 1, a k).

Sasa hebu tuangalie jinsi theorem inaweza kutumika kutatua matatizo maalum.

Mfano 7

Unahitaji kuhesabu idadi ndogo ya kawaida ya nambari nne 140, 9, 54 na 250 .

Suluhisho

Wacha tuanzishe nukuu: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Hebu tuanze kwa kuhesabu m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Wacha tutumie algorithm ya Euclidean kuhesabu GCD ya nambari 140 na 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Tunapata: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Kwa hiyo, m 2 = 1,260.

Sasa hebu tuhesabu kwa kutumia algorithm sawa m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Wakati wa mahesabu tunapata m 3 = 3 780.

Tunachopaswa kufanya ni kuhesabu m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Tunafuata algorithm sawa. Tunapata m 4 = 94 500.

LCM ya nambari nne kutoka kwa hali ya mfano ni 94500.

Jibu: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Kama unaweza kuona, mahesabu ni rahisi, lakini ni kazi kubwa sana. Ili kuokoa muda, unaweza kwenda kwa njia nyingine.

Ufafanuzi 4

Tunakupa algorithm ifuatayo ya vitendo:

tunatenganisha nambari zote kuwa sababu kuu;
kwa bidhaa ya sababu za nambari ya kwanza tunaongeza sababu zinazokosekana kutoka kwa bidhaa ya nambari ya pili;
kwa bidhaa iliyopatikana katika hatua ya awali tunaongeza mambo ya kukosa ya nambari ya tatu, nk;
bidhaa inayotokana itakuwa idadi ndogo ya kawaida ya nambari zote kutoka kwa hali hiyo.

Mfano 8

Unahitaji kupata LCM ya nambari tano 84, 6, 48, 7, 143.

Suluhisho

Wacha tuzingatie nambari zote tano katika sababu kuu: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Nambari kuu, ambayo ni nambari 7, haiwezi kujumuishwa katika sababu kuu. Nambari kama hizo zinaambatana na mtengano wao kuwa sababu kuu.

Sasa hebu tuchukue bidhaa ya sababu kuu 2, 2, 3 na 7 ya nambari 84 na tuongeze kwao sababu zinazokosekana za nambari ya pili. Tulitenganisha nambari 6 kuwa 2 na 3. Sababu hizi tayari ziko katika bidhaa ya nambari ya kwanza. Kwa hiyo, tunaziacha.

Tunaendelea kuongeza vizidishi vilivyokosekana. Wacha tuendelee kwenye nambari ya 48, kutoka kwa bidhaa ambayo sababu kuu tunachukua 2 na 2. Kisha tunaongeza sababu kuu ya 7 kutoka kwa nambari ya nne na mambo ya 11 na 13 ya tano. Tunapata: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Hiki ndicho kizidishio cha kawaida zaidi kati ya nambari tano asilia.

Jibu: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Kutafuta idadi isiyo ya kawaida ya nambari hasi

Ili kupata idadi ndogo zaidi ya nambari hasi, nambari hizi lazima kwanza zibadilishwe na nambari zilizo na ishara tofauti, na kisha mahesabu lazima yafanyike kwa kutumia algoriti zilizo hapo juu.

Mfano 9

LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) na LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Vitendo hivyo vinajuzu kutokana na ukweli kwamba tukikubali hilo a Na − a- nambari tofauti,
kisha seti ya mawimbi ya nambari a inalingana na seti ya mawimbi ya nambari − a.

Mfano 10

Inahitajika kuhesabu LCM ya nambari hasi − 145 Na − 45 .

Suluhisho

Wacha tubadilishe nambari − 145 Na − 45 kwa idadi yao kinyume 145 Na 45 . Sasa, kwa kutumia algorithm, tunahesabu LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, baada ya kuamua hapo awali GCD kwa kutumia algorithm ya Euclidean.

Tunapata kwamba LCM ya nambari ni - 145 na − 45 sawa 1 305 .

Jibu: LCM (- 145, - 45) = 1,305.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Lakini nambari nyingi za asili pia zinagawanywa na nambari zingine za asili.

Kwa mfano:

Nambari 12 inaweza kugawanywa na 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Nambari 36 inaweza kugawanywa na 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Nambari ambazo nambari inaweza kugawanywa kwa jumla (kwa 12 hizi ni 1, 2, 3, 4, 6 na 12) zinaitwa. vigawanyiko vya nambari. Kigawanyiko cha nambari ya asili a- ni nambari ya asili inayogawanya nambari fulani a bila kuwaeleza. Nambari ya asili ambayo ina zaidi ya vigawanyiko viwili inaitwa mchanganyiko .

Tafadhali kumbuka kuwa nambari 12 na 36 zina mambo ya kawaida. Nambari hizi ni: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Kigawanyiko kikubwa zaidi cha nambari hizi ni 12. Kigawanyiko cha kawaida cha nambari hizi mbili. a Na b- hii ndio nambari ambayo nambari zote mbili zimegawanywa bila salio a Na b.

Vizidishi vya kawaida nambari kadhaa ni nambari ambayo inaweza kugawanywa kwa kila moja ya nambari hizi. Kwa mfano, nambari 9, 18 na 45 zina kizidishio cha kawaida cha 180. Lakini 90 na 360 pia ni vizidishio vyao vya kawaida. Miongoni mwa nyingi za kawaida daima kuna ndogo zaidi, katika kesi hii ni 90. Nambari hii inaitwa mdogo zaidikawaida nyingi (CMM).

LCM daima ni nambari asilia ambayo lazima iwe kubwa kuliko nambari kubwa zaidi ambayo imefafanuliwa.

Angalau nyingi za kawaida (LCM). Mali.

Mawasiliano:

Ushirika:

Hasa, ikiwa na ni nambari za coprime, basi:

Kizidisho kisicho cha kawaida kati ya nambari mbili kamili m Na n ni kigawanyo cha vizidishi vingine vyote vya kawaida m Na n. Aidha, seti ya mafungu ya kawaida m, n sanjari na seti ya mafungu kwa LCM( m, n).

Asymptotics ya inaweza kuonyeshwa kulingana na baadhi ya kazi za nadharia ya nambari.

Kwa hiyo, Kazi ya Chebyshev. Na:

Hii inafuata kutokana na ufafanuzi na sifa za kazi ya Landau g(n).

Ni nini kinachofuata kutoka kwa sheria ya usambazaji wa nambari kuu.

Kupata nyingi zaidi ya kawaida (LCM).

NOC( a, b) inaweza kuhesabiwa kwa njia kadhaa:

1. Ikiwa kigawanyiko kikuu cha kawaida kinajulikana, unaweza kutumia muunganisho wake na LCM:

2. Acha mtengano wa kisheria wa nambari zote mbili kuwa sababu kuu ujulikane:

Wapi uk 1,..., uk- nambari kuu kadhaa, na d 1,...,d k Na e 1,..., e k— nambari kamili zisizo hasi (zinaweza kuwa sufuri ikiwa msingi unaolingana hauko kwenye upanuzi).

Kisha NOC ( a,b) imehesabiwa na formula:

Kwa maneno mengine, mtengano wa LCM una mambo yote makuu yaliyojumuishwa katika angalau moja ya mtengano wa nambari a, b, na kubwa zaidi ya vielelezo viwili vya kizidishi hiki kinachukuliwa.

Mfano:

Kuhesabu idadi ndogo zaidi ya nambari kadhaa kunaweza kupunguzwa hadi hesabu kadhaa za mfululizo za LCM za nambari mbili:

Kanuni. Ili kupata LCM ya safu ya nambari, unahitaji:

- kutengana kwa nambari kuwa sababu kuu;

- kuhamisha mtengano mkubwa zaidi (bidhaa ya sababu za idadi kubwa zaidi ya waliopewa) kwa sababu za bidhaa inayotaka, na kisha ongeza sababu kutoka kwa mtengano wa nambari zingine ambazo hazionekani katika nambari ya kwanza au kuonekana ndani yake. mara chache;

- bidhaa inayotokana na sababu kuu itakuwa LCM ya nambari zilizopewa.

Nambari zozote mbili au zaidi za asili zina LCM yao wenyewe. Ikiwa nambari sio nyingi za kila mmoja au hazina sababu sawa katika upanuzi, basi LCM yao ni sawa na bidhaa ya nambari hizi.

Sababu kuu za nambari 28 (2, 2, 7) zinaongezewa na sababu ya 3 (nambari 21), bidhaa inayotokana (84) itakuwa nambari ndogo zaidi ambayo inaweza kugawanywa na 21 na 28.

Sababu kuu za nambari kubwa 30 zinaongezewa na nambari 5 ya nambari 25, bidhaa inayotokana 150 ni kubwa kuliko nambari kubwa zaidi ya 30 na inaweza kugawanywa na nambari zote zilizopewa bila salio. Hii ndiyo bidhaa ndogo kabisa inayowezekana (150, 250, 300...) ambayo ni mgawo wa nambari zote ulizopewa.

Nambari 2,3,11,37 ni nambari kuu, kwa hivyo LCM yao ni sawa na bidhaa ya nambari zilizopewa.

Kanuni. Ili kuhesabu LCM ya nambari kuu, unahitaji kuzidisha nambari hizi zote pamoja.

Chaguo jingine:

Ili kupata idadi ndogo ya kawaida (LCM) ya nambari kadhaa unahitaji:

1) kuwakilisha kila nambari kama bidhaa ya mambo yake kuu, kwa mfano:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) andika nguvu za mambo yote kuu:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) andika vigawanyiko vyote vikuu (vizidishi) vya kila nambari hizi;

4) chagua kiwango kikubwa zaidi cha kila mmoja wao, kinachopatikana katika upanuzi wote wa nambari hizi;

5) kuzidisha nguvu hizi.

Mfano. Pata LCM ya nambari: 168, 180 na 3024.

Suluhisho. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Tunaandika nguvu kuu za wagawanyaji wakuu na kuzizidisha:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Wacha tuanze kusoma nambari isiyo ya kawaida zaidi ya nambari mbili au zaidi. Katika sehemu hii tutafafanua neno, fikiria nadharia ambayo huanzisha uhusiano kati ya kigawanyiko cha kawaida kabisa na kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida, na kutoa mifano ya kutatua shida.

Vifungu vya kawaida - ufafanuzi, mifano

Katika mada hii tutavutiwa tu na vizidishio vya kawaida vya nambari kamili isipokuwa sifuri.

Ufafanuzi 1

Nambari kamili za kawaida ni nambari kamili ambayo ni mgawo wa nambari zote ulizopewa. Kwa kweli, ni nambari yoyote ambayo inaweza kugawanywa na nambari yoyote iliyotolewa.

Ufafanuzi wa vizidishi vya kawaida hurejelea nambari mbili, tatu, au zaidi nzima.

Mfano 1

Kulingana na ufafanuzi uliotolewa hapo juu, viambishi vya kawaida vya nambari 12 ni 3 na 2. Pia, nambari ya 12 itakuwa nambari ya kawaida ya nambari 2, 3 na 4. Nambari 12 na -12 ni mafungu ya kawaida ya nambari ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Wakati huo huo, idadi ya kawaida ya namba 2 na 3 itakuwa namba 12, 6, -24, 72, 468, - 100,010,004 na mfululizo mzima wa wengine.

Ikiwa tutachukua nambari ambazo zinaweza kugawanywa kwa nambari ya kwanza ya jozi na hazigawanyiki na ya pili, basi nambari kama hizo hazitakuwa nyingi za kawaida. Kwa hivyo, kwa nambari 2 na 3, nambari 16, -27, 5009, 27001 hazitakuwa nyingi za kawaida.

0 ni kizidishio cha kawaida cha seti yoyote ya nambari kamili isipokuwa sifuri.

Ikiwa tutakumbuka sifa ya mgawanyiko kwa heshima na nambari zinazopingana, inabadilika kuwa nambari fulani ya k itakuwa mgawo wa kawaida wa nambari hizi, kama nambari - k. Hii ina maana kwamba vigawanyiko vya kawaida vinaweza kuwa vyema au hasi.

Inawezekana kupata LCM kwa nambari zote?

Nambari ya kawaida inaweza kupatikana kwa nambari yoyote kamili.

Mfano 2

Tuseme tumepewa k nambari kamili a 1 , a 2 , … , a k. Nambari tunayopata wakati wa kuzidisha nambari a 1 · a 2 · … · a k kulingana na mali ya mgawanyiko, itagawanywa katika kila moja ya mambo ambayo yalijumuishwa katika bidhaa asili. Hii ina maana kwamba bidhaa ya idadi a 1 , a 2 , … , a k ndio kizidishio cha kawaida zaidi kati ya nambari hizi.

Je! nambari kamili zinaweza kuwa na ngapi za kawaida?

Kundi la nambari kamili linaweza kuwa na idadi kubwa ya vizidishio vya kawaida. Kwa kweli, idadi yao haina mwisho.

Mfano 3

Tuseme tuna nambari k. Kisha bidhaa ya nambari k · z, ambapo z ni nambari kamili, itakuwa fungu la kawaida la nambari k na z. Kwa kuzingatia kwamba idadi ya nambari haina kikomo, idadi ya vizidishio vya kawaida haina kikomo.

Angalau Nyingi za Kawaida (LCM) - Ufafanuzi, Nukuu na Mifano

Kumbuka wazo la nambari ndogo zaidi kutoka kwa seti fulani ya nambari, ambayo tulijadili katika sehemu ya "Kulinganisha Nambari." Kwa kuzingatia dhana hii, tunaunda ufafanuzi wa kizidishio cha kawaida kabisa, ambacho kina umuhimu mkubwa wa kiutendaji kati ya vizidishi vyote vya kawaida.

Ufafanuzi 2

Idadi isiyo ya kawaida zaidi ya nambari kamili zilizotolewa ndio kizidishio kidogo cha chanya kati ya nambari hizi.

Idadi isiyo ya kawaida zaidi inapatikana kwa nambari yoyote ya nambari zilizotolewa. Ufupisho unaotumika sana wa dhana hiyo katika fasihi ya kumbukumbu ni NOC. Nukuu fupi kwa idadi isiyo ya kawaida zaidi ya nambari a 1 , a 2 , … , a k itakuwa na fomu LOC (a 1, a 2, … , a k).

Mfano 4

Kizidishio cha chini kabisa cha 6 na 7 ni 42. Wale. LCM(6, 7) = 42. Kizidishio cha kawaida zaidi kati ya nambari nne 2, 12, 15 na 3 ni 60. Nukuu fupi itafanana na LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Kizidishio kidogo cha kawaida sio dhahiri kwa vikundi vyote vya nambari zilizopewa. Mara nyingi inapaswa kuhesabiwa.

Uhusiano kati ya NOC na GCD

Kigawanyiko cha kawaida kidogo na kigawanyaji kikubwa zaidi kinahusiana. Uhusiano kati ya dhana huanzishwa na theorem.

Nadharia 1

Kizidishio cha kawaida zaidi kati ya nambari kamili mbili chanya a na b ni sawa na bidhaa ya a na b iliyogawanywa na kigawanyo kikuu cha kawaida cha a na b, yaani, LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) )

Ushahidi 1

Tuseme tunayo nambari M, ambayo ni msururu wa nambari a na b. Ikiwa nambari M inaweza kugawanywa na a, pia kuna nambari kamili z , ambayo chini yake usawa ni kweli M = a k. Kulingana na ufafanuzi wa mgawanyiko, ikiwa M inaweza kugawanywa na b, hivyo basi a · k kugawanywa na b.

Ikiwa tutaanzisha nukuu mpya ya gcd (a, b) kama d, basi tunaweza kutumia usawa a = 1 d na b = b 1 · d. Katika kesi hii, usawa wote utakuwa nambari kuu.

Tayari tumeanzisha hapo juu a · k kugawanywa na b. Sasa hali hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
1 d k kugawanywa na b 1 d, ambayo ni sawa na hali ya 1 k kugawanywa na b 1 kulingana na sifa za mgawanyiko.

Kulingana na mali ya nambari za coprime, ikiwa a 1 Na b 1- nambari za coprime, a 1 haiwezi kugawanywa na b 1 licha ya ukweli kwamba ya 1 k kugawanywa na b 1, Hiyo b 1 lazima ishirikiwe k.

Katika kesi hii, itakuwa sahihi kudhani kuwa kuna nambari t, kwa ajili yake k = b 1 t, na tangu b 1 = b: d, Hiyo k = b: d t.

Sasa badala ya k tubadilishe katika usawa M = a k kujieleza kwa fomu b: d t. Hii inaruhusu sisi kufikia usawa M = a b: d t. Katika t = 1 tunaweza kupata kizidishio cha chanya kidogo zaidi cha a na b , sawa b: d, mradi nambari a na b chanya.

Kwa hivyo tulithibitisha kuwa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Kuanzisha muunganisho kati ya LCM na GCD hukuruhusu kupata kizidishio kisicho na kawaida zaidi kupitia kigawanyaji kikuu cha kawaida cha nambari mbili au zaidi zilizotolewa.

Ufafanuzi 3

Nadharia ina matokeo mawili muhimu:

vizidishio vya kizidisho kisicho cha kawaida zaidi cha nambari mbili ni sawa na vizidishi vya kawaida vya nambari hizo mbili;
kizidishio kidogo cha kawaida cha nambari chanya a na b ni sawa na bidhaa zao.

Si vigumu kuthibitisha mambo haya mawili. Kizidishio chochote cha kawaida cha M cha nambari a na b kinafafanuliwa kwa usawa M = LCM (a, b) · t kwa thamani kamili t. Kwa kuwa a na b ni za msingi kiasi, basi gcd (a, b) = 1, kwa hiyo, gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Idadi isiyo ya kawaida zaidi ya nambari tatu au zaidi

Ili kupata idadi ndogo zaidi ya nambari kadhaa, ni muhimu kupata LCM ya nambari mbili kwa mlolongo.

Nadharia 2

Hebu kujifanya hivyo a 1 , a 2 , … , a k ni baadhi ya nambari chanya. Ili kuhesabu LCM m k nambari hizi, tunahitaji kuhesabu sequentially m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = NOC(m 2 , a 3) , ... , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Ushahidi 2

Nadharia ya kwanza kutoka kwa nadharia ya kwanza iliyojadiliwa katika mada hii itatusaidia kuthibitisha uhalali wa nadharia ya pili. Hoja ni msingi wa algorithm ifuatayo:

mawimbi ya kawaida ya nambari a 1 Na a 2 sanjari na mafungu ya LCM yao, kwa kweli, yanaambatana na mafungu ya nambari m 2;
mawimbi ya kawaida ya nambari a 1, a 2 Na a 3 m 2 Na a 3 m 3;
mawimbi ya kawaida ya nambari a 1 , a 2 , … , a k sanjari na wingi wa nambari za kawaida m k - 1 Na a k, kwa hivyo, sanjari na wingi wa nambari m k;
kutokana na ukweli kwamba kigawe chanya kidogo zaidi cha nambari m k ndio nambari yenyewe m k, kisha idadi isiyo ya kawaida zaidi ya nambari a 1 , a 2 , … , a k ni m k.

Hivi ndivyo tulivyothibitisha nadharia.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Maneno ya hisabati na matatizo yanahitaji ujuzi mwingi wa ziada. NOC ni mojawapo ya kuu, hasa mara nyingi hutumika katika Mada inasomwa katika shule ya upili, na si vigumu sana kuelewa nyenzo; matokeo.

Ufafanuzi

Nambari ya kawaida ni nambari ambayo inaweza kugawanywa kabisa katika nambari mbili kwa wakati mmoja (a na b). Mara nyingi, nambari hii hupatikana kwa kuzidisha nambari asili a na b. Nambari lazima igawanywe kwa nambari zote mbili kwa wakati mmoja, bila mikengeuko.

NOC ni jina fupi lililopitishwa kwa uteuzi, lililokusanywa kutoka kwa herufi za kwanza.

Njia za kupata nambari

Njia ya kuzidisha nambari haifai kila wakati kwa kupata LCM inafaa zaidi kwa nambari rahisi za nambari moja au nambari mbili. Ni desturi ya kugawanya katika mambo;

Mfano Nambari 1

Kwa mfano rahisi zaidi, shule kwa kawaida hutumia nambari kuu, nambari moja au tarakimu mbili. Kwa mfano, unahitaji kutatua kazi ifuatayo, pata idadi ndogo ya kawaida ya nambari 7 na 3, suluhisho ni rahisi sana, tu kuzizidisha. Kama matokeo, kuna nambari 21, hakuna nambari ndogo.

Mfano Nambari 2

Toleo la pili la kazi ni ngumu zaidi. Nambari 300 na 1260 zimetolewa, kutafuta LOC ni lazima. Ili kutatua tatizo, hatua zifuatazo zinachukuliwa:

Mtengano wa nambari ya kwanza na ya pili kwa sababu rahisi. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Hatua ya kwanza imekamilika.

Hatua ya pili inajumuisha kufanya kazi na data iliyopatikana tayari. Kila moja ya nambari zilizopokelewa lazima zishiriki katika kuhesabu matokeo ya mwisho. Kwa kila sababu, idadi kubwa zaidi ya matukio inachukuliwa kutoka kwa nambari za asili. LCM ni nambari ya jumla, kwa hivyo sababu za nambari lazima zirudiwe ndani yake, kila moja, hata zile ambazo ziko kwenye nakala moja. Nambari zote mbili za mwanzo zina nambari 2, 3 na 5, kwa nguvu tofauti 7 iko katika kesi moja tu;

Ili kuhesabu matokeo ya mwisho, unahitaji kuchukua kila nambari katika nguvu kubwa zaidi zinazowakilishwa kwenye equation. Kilichobaki ni kuzidisha na kupata jibu ikiwa imejazwa kwa usahihi, kazi inafaa katika hatua mbili bila maelezo:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Hiyo ndiyo shida nzima, ikiwa unajaribu kuhesabu nambari inayotakiwa kwa kuzidisha, basi jibu hakika halitakuwa sahihi, tangu 300 * 1260 = 378,000.

Uchunguzi:

6300 / 300 = 21 - sahihi;

6300 / 1260 = 5 - sahihi.

Usahihi wa matokeo yaliyopatikana imedhamiriwa kwa kuangalia - kugawa LCM kwa nambari zote mbili za asili ikiwa nambari ni nambari katika visa vyote viwili, basi jibu ni sahihi.

NOC inamaanisha nini katika hisabati?

Kama unavyojua, hakuna kazi moja isiyo na maana katika hisabati, hii sio ubaguzi. Kusudi la kawaida la nambari hii ni kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida. Ni nini kawaida husomwa katika darasa la 5-6 la shule ya upili. Pia ni kigawanyo cha kawaida kwa vizidishi vyote, ikiwa hali kama hizo zipo kwenye shida. Usemi sawa unaweza kupata nyingi sio tu za nambari mbili, lakini pia za nambari kubwa zaidi - tatu, tano, na kadhalika. Nambari zaidi, vitendo zaidi katika kazi, lakini utata hauzidi kuongezeka.

Kwa mfano, ukizingatia nambari 250, 600 na 1500, unahitaji kupata LCM yao ya kawaida:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - mfano huu unaelezea factorization kwa undani, bila kupunguzwa.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Ili kutunga kujieleza, ni muhimu kutaja mambo yote, katika kesi hii 2, 5, 3 hutolewa - kwa nambari hizi zote ni muhimu kuamua kiwango cha juu.

Tahadhari: mambo yote lazima yaletwe kwa uhakika wa kurahisisha kamili, ikiwa inawezekana, kuharibiwa kwa kiwango cha tarakimu moja.

Uchunguzi:

1) 3000 / 250 = 12 - sahihi;

2) 3000 / 600 = 5 - kweli;

3) 3000 / 1500 = 2 - sahihi.

Njia hii haihitaji hila yoyote au uwezo wa kiwango cha fikra, kila kitu ni rahisi na wazi.

Njia nyingine

Katika hisabati, mambo mengi yameunganishwa, mambo mengi yanaweza kutatuliwa kwa njia mbili au zaidi, sawa huenda kwa kutafuta nyingi za kawaida zaidi, LCM. Njia ifuatayo inaweza kutumika katika kesi ya nambari rahisi za tarakimu mbili na tarakimu moja. Jedwali linajumuishwa ambalo multiplicand huingizwa kwa wima, kuzidisha kwa usawa, na bidhaa imeonyeshwa kwenye seli zinazoingiliana za safu. Unaweza kutafakari jedwali ukitumia mstari, chukua nambari na uandike matokeo ya kuzidisha nambari hii kwa nambari, kutoka 1 hadi infinity, wakati mwingine alama 3-5 zinatosha, nambari za pili na zinazofuata hupitia mchakato sawa wa hesabu. Kila kitu hutokea mpaka nyingi ya kawaida inapatikana.

Kwa kuzingatia nambari 30, 35, 42, unahitaji kupata LCM inayounganisha nambari zote:

1) Misururu ya 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, nk.

2) Misururu ya 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, nk.

3) Misururu ya 42: 84, 126, 168, 210, 252, nk.

Inajulikana kuwa nambari zote ni tofauti kabisa, nambari pekee ya kawaida kati yao ni 210, kwa hivyo itakuwa NOC. Miongoni mwa taratibu zinazohusika katika hesabu hii pia kuna mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida, ambao huhesabiwa kulingana na kanuni zinazofanana na mara nyingi hukutana na matatizo ya jirani. Tofauti ni ndogo, lakini ni muhimu sana, LCM inajumuisha kuhesabu nambari ambayo imegawanywa na maadili yote ya awali, na GCD inahusisha kuhesabu thamani kubwa zaidi ambayo nambari za awali zinagawanywa.