Vene Föderatsiooni haridusministeerium

Munitsipaalharidusasutus

"Keskkool nr 22"

Ruut- ja kõrgemat järku võrrandid

Lõpetatud:

8 "B" klassi õpilased

Kuznetsov Jevgeni ja Rudy Aleksei

Juhendaja:

Zenina Alevtina Dmitrievna

matemaatika õpetaja

Sissejuhatus

1.1 Võrrandid Vana-Babülonis

1.2 Araablaste võrrandid

1.3 Võrrandid Indias

Peatükk 2. Ruutvõrrandite ja kõrgema järgu võrrandite teooria

2.1 Põhimõisted

2.2 Paariskordaja valemid x jaoks

2.3 Vieta teoreem

2.4 Erilist laadi ruutvõrrandid

2.5 Vieta teoreem kõrgema astme polünoomide (võrrandite) jaoks

2.6 Ruutudeks taandatavad võrrandid (kakskvadraadilised)

2.7 Bikvadraatvõrrandite uurimine

2.8 Cordano valemid

2.9 Kolmanda astme sümmeetrilised võrrandid

2.10 Tagastusvõrrandid

2.11 Horneri skeem

Järeldus

Bibliograafia

1. lisa

Lisa 2

Lisa 3

Sissejuhatus

Võrrandid algebra koolikursusel on juhtival kohal. Nende uurimine võtab rohkem aega kui mis tahes muu teema. Tõepoolest, võrranditel pole mitte ainult oluline teoreetiline tähtsus, vaid need teenivad ka puhtpraktilist eesmärki. Valdav enamus reaalse maailma ruumivormide ja kvantitatiivsete suhete probleemidest taandub erinevat tüüpi võrrandite lahendamisele. Nende lahendamise viise valdades leiame vastused erinevatele teaduse ja tehnika (transport, põllumajandus, tööstus, side jne) küsimustele.

Selles essees tahaksin näidata erinevate võrrandite lahendamise valemeid ja meetodeid. Selle jaoks on antud võrrandid, mida kooli õppekavas ei õpita. Põhimõtteliselt on need teatud laadi võrrandid ja kõrgema astme võrrandid. Selle teema paljastamiseks on toodud nende valemite tõendid.

Meie kokkuvõtte eesmärgid:

Täiustage võrrandite lahendamise oskusi

Arendada uusi viise võrrandite lahendamiseks

Õppige uusi viise ja valemeid nende võrrandite lahendamiseks.

Uurimisobjektiks on elementaaralgebra.Õppeaineks on võrrand. Selle teema valikul lähtuti sellest, et võrrandid on olemas nii üldhariduskoolide, lütseumide ja kõrgkoolide algõppekavas kui ka igas järgnevas klassis. Paljusid geomeetrilisi ülesandeid, ülesandeid füüsikas, keemias ja bioloogias lahendatakse võrrandite abil. Võrrandid lahendati kakskümmend viis sajandit tagasi. Neid luuakse ka täna - nii õppeprotsessis kasutamiseks kui ka ülikoolide võistluseksamiteks, kõrgeima taseme võistlusteks.

Peatükk 1. Ruutvõrrandite ja kõrgema järgu võrrandite ajalugu

1.1 Võrrandid Vana-Babülonis

Algebra tekkis seoses erinevate ülesannete lahendamisega võrrandite abil. Tavaliselt on probleemide korral vaja leida üks või mitu tundmatut, teades samal ajal teatud soovitud ja etteantud kogustega tehtud toimingute tulemusi. Sellised ülesanded taandatakse ühe või mitme võrrandisüsteemi lahendamisele, soovitud suuruste leidmisele algebraliste tehtete abil antud suurustega. Algebra uurib suurustega seotud toimingute üldisi omadusi.

Mõned algebralised meetodid lineaar- ja ruutvõrrandite lahendamiseks olid tuntud juba 4000 aastat tagasi Vana-Babülonis. Vajaduse lahendada iidsetel aegadel mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis vajadus lahendada maa-alade ja sõjalise iseloomuga maatööde leidmise ning astronoomia arenguga seotud probleeme. ja matemaatika ise. Nagu varem mainitud, teadsid babüloonlased ruutvõrrandi lahendada umbes 2000 eKr. Kaasaegset algebralist tähistust kasutades võib öelda, et nende kiilkirjatekstides esinevad nii mittetäielikud kui ka täielikud ruutvõrrandid.

Nende võrrandite lahendamise reegel, mis on sätestatud Babüloonia tekstides, langeb sisuliselt kokku tänapäevaste reeglitega, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele.

Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjas tekstides negatiivse arvu kontseptsioon ja ruutvõrrandi lahendamise üldised meetodid.

1.2 Araablaste võrrandid

Mõned võrrandite lahendamise meetodid, nii ruut- kui ka kõrgema astme võrrandid, tuletasid araablased. Nii kirjeldas kuulus araabia matemaatik Al-Khwarizmi oma raamatus "Al-Jabar" palju võimalusi erinevate võrrandite lahendamiseks. Nende eripära seisnes selles, et Al-Khwarizmi kasutas võrrandite juurte (lahenduste) leidmiseks keerulisi radikaale. Selliste võrrandite lahendamise vajadus oli vajalik pärandi jagamise küsimustes.

1.3 Võrrandid Indias

Ruutvõrrandid lahendati ka Indias. Ruutvõrranditega seotud probleeme leidub juba astronoomilises traktaadis Aryabhattam, mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India õpetlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks koonuskujuks:

ax² + bx= c, kus a > 0

Selles võrrandis võivad koefitsiendid, välja arvatud a, olla ka negatiivsed. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.

Vana-Indias olid avalikud võistlused keeruliste probleemide lahendamisel tavalised. Üks vana india raamat ütleb selliste võistluste kohta nii: "Nii nagu päike särab oma säraga tähti, nii särab õppinud inimene avalikel koosolekutel, algebralisi ülesandeid pakkudes ja lahendades, teise au". Tööülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Erinevaid võrrandeid, nii ruut- kui ka kõrgema astme võrrandeid, lahendasid meie kauged esivanemad. Need võrrandid lahendati kõige erinevamates ja üksteisest kaugemates riikides. Vajadus võrrandite järele oli suur. Võrrandeid kasutati ehituses, sõjanduses ja igapäevastes olukordades.

Peatükk 2. Ruut- ja kõrgemat järku võrrandid

2.1 Põhimõisted

Ruutvõrrand on vormi võrrand

kus koefitsiendid a, b, c on mis tahes reaalarvud ja a ≠ 0.

Ruutvõrrandit nimetatakse redutseerituks, kui selle juhtkoefitsient on 1.

Näide :

x2 + 2x + 6 = 0.

Ruutvõrrandit nimetatakse mitteredutseerituks, kui juhtiv koefitsient erineb 1-st.

Näide :

2x2 + 8x + 3 = 0.

Täielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, milles on olemas kõik kolm liiget, teisisõnu, see on võrrand, milles koefitsiendid b ja c on nullist erinevad.

Näide :

3x2 + 4x + 2 = 0.

Mittetäielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, milles vähemalt üks koefitsient b, c on võrdne nulliga.

Seega on kolme tüüpi mittetäielikke ruutvõrrandeid:

1) ax² = 0 (sellel on kaks identset juurt x = 0).

2) ax² + bx = 0 (sellel on kaks juurt x 1 = 0 ja x 2 = -)

Näide :

x 1 = 0, x 2 = -5.

Vastus: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d -5.

kui -<0 - уравнение не имеет корней.

Näide :

Vastus: võrrandil pole juuri.

Kui –> 0, siis x 1,2 = ±

Näide :

Vastus: x 1,2 =±

Mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi (b² - 4ac) kaudu. Tavaliselt tähistatakse avaldist b² - 4ac tähega D ja seda nimetatakse ruutvõrrandi ax² + bx + c = 0 diskriminandiks (või kolmeliikmelise ruudu ax² + bx + c diskriminandiks).

Näide :

x 2 +14x - 23 = 0

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 144 + 92 \u003d 256

x 2 =

Vastus: x 1 = 1, x 2 = - 15.

Olenevalt diskriminandist võib võrrandil olla lahendus või mitte.

1) Kui D< 0, то не имеет решения.

2) Kui D = 0, siis on võrrandil kaks langevat lahendit x 1,2 =

3) Kui D > 0, siis on sellel kaks lahendit, mis leitakse valemiga:

x 1,2 =

2.2 Paariskordaja valemid x jaoks

Oleme harjunud, et ruutvõrrandi juured

ax² + bx + c = 0 leitakse valemiga

x 1,2 =

Kuid matemaatikud ei jäta kunagi kasutamata võimalust oma arvutusi lihtsamaks teha. Nad leidsid, et seda valemit saab lihtsustada, kui koefitsient b on kujul b = 2k, eriti kui b on paarisarv.

Tõepoolest, ruutvõrrandi ax² + bx + c = 0 koefitsient b on kujul b = 2k. Asendades valemis b asemel arvu 2k, saame:

Seega saab ruutvõrrandi ax² + 2kx + c = 0 juured arvutada järgmise valemiga:

x 1,2 =

Näide :

5x 2 - 2x + 1 = 0

Selle valemi eeliseks on see, et mitte arvu b ruudus ei tehta, vaid sellest ruudust lahutatakse selle pool, mitte 4ac, vaid lihtsalt ac, ja lõpuks, et nimetaja sisaldab mitte 2a, vaid lihtsalt a.

Kui ruutvõrrand on antud, näeb meie valem välja selline:

Näide :

x 2 - 4x + 3 = 0

Vastus: x 1 = 3, x 2 = 1.

2.3 Vieta teoreem

Prantsuse matemaatik Francois Viet avastas ruutvõrrandi juurte väga kummalise omaduse. Seda omadust nimetatakse Vieta teoreemiks:

Nii et arvud x 1 ja x 2 on võrrandi juured:

ax² + bx + c = 0

see on vajalik ja piisav, et võrdsus

x 1 + x 2 = -b/a ja x 1 x 2 = c/a

Vieta teoreem võimaldab teil hinnata ruutvõrrandi märke ja absoluutväärtust

x² + bx + c = 0

1. Kui b>0, c>0, siis mõlemad juured on negatiivsed.

2. Kui b<0, c>0, siis on mõlemad juured positiivsed.

3. Kui b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Kui b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Erilist laadi ruutvõrrandid

1) Kui a + b + c = 0 võrrandis ax² + bx + c = 0, siis

x 1 \u003d 1 ja x 2 \u003d.

Tõestus :

Võrrandis ax² + bx + c = 0, selle juured

x 1,2 = (1).

Esitame b võrrandist a + b + c = 0

Asendame selle avaldise valemiga (1):

=

Kui vaatleme võrrandi kahte juurt eraldi, saame:

1) x 1 =

2) x 2 =

Sellest järeldub: x 1 \u003d 1 ja x 2 \u003d.

1. Näide :

2x² - 3x + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, seega

2. Näide :

418x² – 1254x + 836 = 0

Seda näidet on diskriminandi kaudu väga raske lahendada, kuid teades ülaltoodud valemit, on see hõlpsasti lahendatav.

a = 418, b = -1254, c = 836.

x 1 = 1 x 2 = 2

2) Kui a - b + c = 0, siis võrrandis ax² + bx + c = 0, siis:

x 1 \u003d -1 ja x 2 \u003d -.

Tõestus :

Vaatleme võrrandit ax² + bx + c = 0, mis tähendab, et:

x 1,2 = (2).

Esitame b võrrandist a - b + c = 0

b = a + c, asendage valemiga (2):

=

Saame kaks väljendit:

1) x 1 =

2) x 2 =

See valem on sarnane eelmisele, kuid see on ka oluline, sest. sageli on seda tüüpi näiteid.

1) Näide :

2x² + 3x + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, seega

2)Näide :

Vastus: x 1 \u003d -1; x 2 = -

3) meetod " ülekanded ”

Ruutvõrrandite y² + x + ac = 0 ja ax² + bx + c = 0 juured on seotud seostega:

x 1 = ja x 2 =

Tõestus :

a) Vaatleme võrrandit ax² + bx + c = 0

x 1,2 = =

b) Vaatleme võrrandit y² + x + ac = 0

y 1,2 =

Pange tähele, et mõlema lahendi diskriminandid on võrdsed, võrrelgem nende kahe võrrandi juuri. Need erinevad üksteisest juhtiva koefitsiendi poolest, esimese võrrandi juured on a võrra väiksemad kui teise võrrandi juured. Vieta teoreemi ja ülaltoodud reeglit kasutades ei ole erinevate võrrandite lahendamine keeruline.

Näide :

Meil on suvaline ruutvõrrand

10x² - 11x + 3 = 0

Teisendame selle võrrandi ülaltoodud reegli järgi

y² – 11 a + 30 = 0

Saame taandatud ruutvõrrandi, mida saab hõlpsasti lahendada Vieta teoreemi abil.

Olgu y 1 ja y 2 võrrandi y² - 11y + 30 = 0 juured

y 1 y 2 = 30 y 1 = 6

y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5

Teades, et nende võrrandite juured erinevad üksteisest a võrra, siis

x 1 \u003d 6/10 = 0,6

x 2 = 5/10 \u003d 0,5

Mõnel juhul on mugav lahendada esmalt mitte antud võrrand ax² + bx + c = 0, vaid taandatud y² + võrra + ac = 0, mis saadakse antud “ülekande” koefitsiendist a, ja seejärel jagada leitud väärtus. juured a järgi, et leida algne võrrand.

2.5 Vieta valem kõrgema astme polünoomide (võrrandite) jaoks

Vieta poolt ruutvõrrandite jaoks tuletatud valemid kehtivad ka kõrgema astme polünoomide puhul.

Olgu polünoom

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Sellel on n erinevat juurt x 1 , x 2 …, x n .

Sel juhul on sellel vorm faktoriseerimine:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1) (x – x 2)… (x – x n)

Jagame selle võrrandi mõlemad osad 0 ≠ 0-ga ja laiendame esimeses osas olevaid sulgusid. Saame võrdsuse:

x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n) -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Kuid kaks polünoomi on identselt võrdsed siis ja ainult siis, kui samade astmete koefitsiendid on võrdsed. Sellest järeldub, et võrdsus

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Näiteks kolmanda astme polünoomide jaoks

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Meil on identiteedid

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Ruutvõrrandite osas nimetatakse seda valemit Vieta valemiteks. Nende valemite vasakpoolsed osad on sümmeetrilised polünoomid antud võrrandi juurtest x 1 , x 2 ..., x n ja parempoolsed osad on väljendatud polünoomi koefitsiendiga.

2.6 Ruutudeks taandatavad võrrandid (kakskvadraadilised)

Neljanda astme võrrandid taandatakse ruutvõrranditeks:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

nimetatakse kahekvadraadiliseks, pealegi a ≠ 0.

Piisab, kui panna sellesse võrrandisse x 2 \u003d y, seega

ay² + by + c = 0

leida saadud ruutvõrrandi juured

y 1,2 =

Juurte x 1, x 2, x 3, x 4 kohe leidmiseks asenda y x-ga ja saad

x2 =

x 1,2,3,4 = .

Kui neljanda astme võrrandil on x 1, siis on sellel ka juur x 2 \u003d -x 1,

Kui on x 3, siis x 4 \u003d - x 3. Sellise võrrandi juurte summa on null.

Näide :

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Asendame võrrandi kahekvadraatiliste võrrandite juurte valemis:

x 1,2,3,4 = ,

teades, et x 1 \u003d -x 2 ja x 3 \u003d -x 4, siis:

x 3,4 =

Vastus: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Bikvadraatvõrrandite uurimine

Võtame bikvadraatvõrrandi

ax 4 + bx 2 + c = 0,

kus a, b, c on reaalarvud ja a > 0. Võttes kasutusele abitundmatu y = x², uurime selle võrrandi juuri ja kanname tulemused tabelisse (vt lisa nr 1)

2.8 Cardano valem

Kui kasutame kaasaegset sümboolikat, võib Cardano valemi tuletis välja näha järgmine:

x =

See valem määrab kolmanda astme üldvõrrandi juured:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

See valem on väga tülikas ja keeruline (sisaldab mitmeid keerulisi radikaale). See ei kehti alati, sest. väga raske täita.

2.9 Kolmanda astme sümmeetrilised võrrandid

Kolmanda astme sümmeetrilisi võrrandeid nimetatakse vormivõrranditeks

ax³ + bx² + bx + a = 0 ( 1 )

ax³ + bx² - bx - a = 0 ( 2 )

kus a ja b on antud numbrid ning a¹0.

Näitame, kuidas võrrand ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).

Saame, et võrrand ( 1 ) on võrdne võrrandiga

(x + 1) (ax² +(b - a)x + a) = 0.

Nii et selle juured on võrrandi juured

ax² +(b - a)x + a = 0

ja arv x = -1

võrrand ( 2 )

ax³ + bx² - bx - a = a(x3 - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + ax + a + bx) = (x - 1) (ax² + (b + a)x + a).

1) Näide :

2x³ + 3x² - 3x - 2 = 0

On selge, et x 1 = 1 ja

x 2 ja x 3 on võrrandi 2x² + 5x + 2 = 0 juured,

Leiame need diskriminandi kaudu:

x 1,2 =

x 2 \u003d -, x 3 \u003d -2

2) Näide :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

On selge, et x 1 \u003d -1 ja

x 2 ja x 3 on võrrandi 5x² + 26x + 5 = 0 juured,

Leiame need diskriminandi kaudu:

x 1,2 =

x 2 \u003d -5, x 3 = -0,2.

2.10 Tagastusvõrrandid

Pöördvõrrand – algebraline võrrand

a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n - 1 x + a n \u003d 0,

milles a k \u003d a n - k, kus k = 0, 1, 2 ... n, pealegi a ≠ 0.

Pöördvõrrandi juurte leidmise probleem taandub väiksema astme algebralisele võrrandile lahenduste leidmise probleemiks. Termini vastastikused võrrandid võttis kasutusele L. Euler.

Vormi neljanda astme võrrand:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

Selle võrrandi viimine vormile

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0 ja y = x + m/x ja y² - 2m = x² + m²/x²,

kust võrrand taandatakse ruutväärtuseks

ay² + by + (c-2am) = 0.

3x 4 + 5x 3 - 14x 2 - 10x + 12 = 0

Jagades selle x 2-ga, saame samaväärse võrrandi

3x 2 + 5x - 14 - 5 × või

Kus ja

3(y 2 - 4) + 5y - 14 = 0, kust

y 1 = y 2 = -2, seega

Ja kus

Vastus: x 1,2 = x 3,4 =.

Sümmeetrilised võrrandid on vastastikuste võrrandite erijuht. Kolmanda astme sümmeetrilistest võrranditest rääkisime varem, kuid on ka neljanda astme sümmeetrilisi võrrandeid.

Neljanda astme sümmeetrilised võrrandid.

1) Kui m = 1, siis see on esimest tüüpi sümmeetriline võrrand, mille kuju on

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ja lahendatud uue asendusega

2) Kui m = -1, siis see on teist tüüpi sümmeetriline võrrand, mille vorm

ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 ja lahendatud uue asendusega

2.11 Horneri skeem

Polünoomide jagamiseks rakendatakse nurga jagamise reeglit ehk Horneri skeemi . Selleks on polünoomid järjestatud kahanevas astmes X ja leida jagatise Q(x) vanem liige tingimusest, et kui see korrutada jagaja D(x) vanema astmega, saadakse dividendi P(x) vanem liige. Jagatise leitud liige korrutatakse, seejärel jagajaga ja lahutatakse dividendist. Jagatise vanem liige määratakse tingimusest, et jagaja vanema liikmega korrutamisel saadakse erinevuse polünoomi vanem liige jne. Protsess jätkub seni, kuni erinevuse aste on väiksem kui jagaja aste (vt lisa nr 2).

Võrrandite R = 0 korral asendatakse see algoritm Horneri skeemiga.

Näide :

x 3 + 4x 2 + x - 6 = 0

Leiame vaba liikme jagajad ±1; ±2; ± 3; ±6.

Võrrandi vasakut poolt tähistame f(x)-ga. Ilmselgelt f(1) = 0, x1 = 1. Jagage f(x) x - 1-ga. (Vt lisa nr 3)

x 3 + 4x 2 + x - 6 \u003d (x - 1) (x 2 + 5x + 6)

Viimast tegurit tähistatakse Q(x). Lahendame võrrandi Q(x) = 0.

x 2,3 =

Vastus : 1; -2; -3.

Selles peatükis oleme andnud mõned valemid erinevate võrrandite lahendamiseks. Enamik neist valemitest on konkreetsete võrrandite lahendid. Need omadused on väga mugavad, kuna võrrandeid on palju lihtsam lahendada selle võrrandi jaoks eraldi valemi abil, mitte üldpõhimõtte järgi. Oleme andnud iga meetodi kohta tõestuse ja mitu näidet.

Järeldus

Esimeses peatükis käsitleti ruutvõrrandite ja kõrgemat järku võrrandite tekkelugu. Erinevaid võrrandeid lahendati rohkem kui 25 sajandit tagasi. Indias Babülonis loodi palju võimalusi selliste võrrandite lahendamiseks. Vajadus võrrandite järele on olnud ja jääb olema.

Teises peatükis esitatakse erinevad meetodid ruutvõrrandite ja kõrgemat järku võrrandite lahendamiseks (juurte leidmiseks). Põhimõtteliselt on need meetodid teatud laadi võrrandite lahendamiseks, see tähendab, et iga võrrandirühma jaoks, mida ühendavad mõned ühised omadused või tüüp, on antud spetsiaalne reegel, mis kehtib ainult selle võrrandirühma kohta. See meetod (iga võrrandi jaoks oma valemi valimine) on palju lihtsam kui diskriminandi kaudu juurte leidmine.

Selles essees on kõik eesmärgid saavutatud ja põhiülesanded täidetud, uued senitundmatud valemid tõestatud ja õpitud. Töötasime läbi palju näidete variante enne nende abstraktseks panemist, nii et teame juba, kuidas mõnda võrrandit lahendada. Iga lahendus on meile edasistes uuringutes kasulik. See essee aitas klassifitseerida vanu teadmisi ja õppida uusi.

Bibliograafia

1. Vilenkin N. Ya. “Algebra 8. klassile”, M., 1995.

2. Galitski M.L. “Algebra ülesannete kogu”, M. 2002.

3. Daan-Dalmediko D. “Teed ja labürindid”, M., 1986.

4. Zvavich L.I. “Algebra 8. klass”, M., 2002.

5. Kushnir I.A. "Võrrandid", Kiiev 1996.

6. Savin Yu.P. “Noore matemaatiku entsüklopeediline sõnaraamat”, M., 1985.

7. Mordkovich A.G. “Algebra 8. klass”, M., 2003.

8. Khudobin A.I. “Algebra ülesannete kogu”, M., 1973.

9. Sharygin I.F. “Algebra valikkursus”, M., 1989.

1. lisa

Bikvadraatvõrrandite uurimine

C	b		leiud
			Abivõrrandi juurtel ay² +by+c=0	Selle võrrandi juurte kohta a(x²)² +bx² +c=0
C< 0	b- suvaline reaalarv		y< 0 ; y > 0 1 2	x = ±Öy
C > 0	b<0	D > 0		x = ±Öy
		D = 0	y > 0	x = ±Öy
		D< 0	pole juuri	pole juuri
	b ≥ 0			pole juuri
			pole juuri	pole juuri
			y > 0 y< 0 1 2	x = ±Öy
C=0	b > 0		y=0	x=0
	b = 0		y=0	x=0
	b< 0		y=0	x=0

Lisa 2

Polünoomi jagamine polünoomi "nurgaga"

A0	a 1	a 2	...	a n	c
+
b 0 c	b 1 c	…	b n-1 c
B0	b 1	b 2	…	b n	= R (ülejäänud)

Lisa 3

Horneri skeem

Juur
	1	4	1	-6	1
x 1 = 1
lammutada	5	6	0
	1	1 × 1 +4 = 5	5x1 + 1 = 6	6 × 1 - 6 = 0
juur
x 1 = 1

Ruutvõrrandid Vana-Babülonis Vajaduse lahendada mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid juba antiikajal tingis vajadus lahendada ülesandeid, mis on seotud sõjalise iseloomuga maa-alade ja mullatööde leidmisega, samuti astronoomia ja matemaatika enda arenguga. Babüloonlased teadsid ruutvõrrandi lahendada umbes 2000 aastat enne meie usku. Kasutades tänapäevast algebralist tähistust, võime öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid: määrused. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid toovad ainult probleeme retseptidena välja toodud lahendustega, viitamata nende leidmise viisidele. Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babüloonias, puuduvad kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

Kuidas Diophantos koostas ja lahendas ruutvõrrandid “Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja korrutis on 96” Diophantos väidab nii: ülesande tingimusest järeldub, et soovitud arvud ei ole võrdsed, sest kui need oleksid võrdsed, siis oleks nende korrutis mitte 96, vaid 100. Seega on üks neist rohkem kui pool nende summast, s.o. 10+X, teine ​​on väiksem, st. 10-X. Nende erinevus on 2X, seega X=2. Üks soovitud arvudest on 12, teine ​​on 8. Lahendust X = -2 Diophantuse jaoks ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve. VÕRRAND: või muidu:

Ruutvõrrandid Indias Ruutvõrrandi ülesandeid leidub ka astronoomilises traktaadis "Aryabhattam", mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks: ax ² +bx=c, a>0 Kaheksas osa neist väljakul, kus mul oli lagendikul lõbus. Ja kaksteist mööda liaane ... Nad hakkasid hüppama rippudes ... Mitu ahvi oli Sa ütle mulle, selles karjas ?. Ülesandele vastav võrrand: Baskara kirjutab varjus: Täiendas vasaku külje ruuduks, 0 12. sajandi kuulsa India matemaatiku Bhaskara üks probleeme. Kari särtsakasid ahve Pärast isu täis söömist oli neil lõbus. Kaheksas osa neist väljakul, kus mul oli lagendikul lõbus. Ja kaksteist mööda liaane ... Nad hakkasid hüppama rippudes ... Mitu ahvi oli Sa ütle mulle, selles karjas ?. Ülesandele vastav võrrand: Baskara kirjutab varjus: Täiendas vasaku külje ruuduks, ">

Ruutvõrrandid Vana-Aasias Kesk-Aasia teadlane al-Khwarizmi lahendas selle võrrandi järgmiselt: Ta kirjutas: "Reegel on järgmine: kahekordistage juurte arv, x = 2x 5, saate selles ülesandes viis, korrutage 5 selle võrrandiga. sellele on see kakskümmend viis, 5 5=25 lisage see kolmekümne üheksale, see on kuuskümmend neli, 64 võtke selle juur, see on kaheksa, 8 ja lahutage sellest poolest juurte arv , st viis, 8-5 jääb 3-ks, see on teie otsitud ruudu juur." Aga teine ​​juur? Teist juurt ei leitud, kuna negatiivseid numbreid polnud teada. x x = 39

Ruutvõrrandid Euroopas XIII-XVII sajand. Üldise reegli ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud ühele kanoonilisele kujule x2 + in + c = 0, sõnastas Euroopas Stiefel alles aastal 1544. Valemid ruutvõrrandite lahendamiseks Euroopas sõnastas esmakordselt 1202. aastal Itaalia matemaatik Leonard Fibonacci. Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. Alles 17. sajandil tänu Descartes'i, Newtoni ja teiste teadlaste töödele võtab ruutvõrrandite lahendamise meetod tänapäevase kuju

Vieta teoreemist Lause, mis väljendab ruutvõrrandi kordajate ja selle juurte vahelist seost, mis kannab Vieta nime, sõnastas ta esimest korda 1591. aastal. Nii: „Kui B + D korrutatakse A-A-ga on võrdne BD-ks, siis A on võrdne B-ga ja D-ga. Vieta mõistmiseks tuleks meeles pidada, et A, nagu iga täishäälik, tähendas tundmatut (meie x), samas kui vokaalid B, D on tundmatu koefitsiendid. Kaasaegse algebra keeles tähendab Vieta ülaltoodud sõnastus: Kui antud ruutvõrrandil x 2 +px + q \u003d 0 on reaaljuured, siis on nende summa võrdne -p ja korrutis q-ga, on x 1 + x 2 \u003d -p, x 1 x 2 = q (antud ruutvõrrandi juurte summa võrdub teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga ja juurte korrutis on võrdne vaba tähtajani).

Faktoriseerimise meetod seisneb üldise ruutvõrrandi viimises kujule: A(x)·B(x)=0, kus A(x) ja B(x) on polünoomid x suhtes. Eesmärk: Ühise teguri väljavõtmine sulgudest; Kasutades lühendatud korrutusvalemeid; rühmitamise meetod. Teed: Näide:

Ruutvõrrandi juured: Kui D>0, Kui D 0, kui D> 0, kui D> 0, kui D" title="(!LANG: ruutjuured: kui D>0, kui D"> title="Ruutvõrrandi juured: Kui D>0, Kui D"> !}

X 1 ja x 2 on võrrandi juured. Võrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil X 2 + 3X - 10 \u003d 0 X 1 X 2 \u003d - 10, mis tähendab, et juurtel on erinevad märgid X 1 + X 2 \u003d - 3, mis tähendab, et juur on absoluutväärtuses suurem - negatiivne Valimisega leiame juured: X 1 \u003d - 5, X 2 \u003d 2 Näiteks:

0, vastavalt Vieta teoreemile vastupidisele teoreemile saame juured: 5; 6, siis pöördume tagasi algvõrrandi juurte juurde: 2,5; 3. Vastus: 2,5; 3. Võrrandi "title="(!LANG: Lahendage võrrand: 2x 2 - 11x +15 = 0) lahend. Kandke koefitsient 2 vabaliikmele y 2 - 11y +30 = 0. D>0, vastavalt teoreem, Vieta teoreemi pöörd, saame juured: 5;6, siis pöördume tagasi algvõrrandi juurte juurde: 2,5; 3. Vastus: 2,5; 3. Võrrandi lahendus" class="link_thumb"> 14 !} Lahendage võrrand: 2x x +15 \u003d 0. Kanname koefitsiendi 2 üle vabaliikmele y y +30 \u003d 0. D> 0, vastavalt teoreemile Vieta teoreemi pöördväärtus, saame juured: 5 6, siis pöördume tagasi algse võrrandi juurte juurde: 2, 5; 3. Vastus: 2,5; 3. võrrandite lahendamine "ülekande" meetodil 0, vastavalt Vieta teoreemile vastupidisele teoreemile saame juured: 5; 6, siis pöördume tagasi algvõrrandi juurte juurde: 2,5; 3. Vastus: 2,5; 3. Võrrandi "\u003e 0" lahendus, vastavalt teoreemile, Vieta teoreemi pöördväärtus, saame juured: 5; 6, siis pöördume tagasi algse võrrandi juurte juurde: 2,5; 3. Vastus: 2,5 3. Lahendades võrrandeid "ülekande" meetodil" > 0, vastavalt Vieta teoreemile vastupidisele teoreemile, saame juured: 5;6, seejärel pöördume tagasi algvõrrandi juurte juurde: 2,5; 3. Vastus: 2,5; 3. Võrrandi "title="(!LANG: Lahendage võrrand: 2x 2 - 11x +15 = 0) lahend. Kandke koefitsient 2 vabaliikmele y 2 - 11y +30 = 0. D>0, vastavalt teoreem, Vieta teoreemi pöörd, saame juured: 5;6, siis pöördume tagasi algvõrrandi juurte juurde: 2,5; 3. Vastus: 2,5; 3. Võrrandi lahendus"> title="Lahendage võrrand: 2x 2 - 11x +15 \u003d 0. Kanname koefitsiendi 2 üle vabaliikmele y 2 - 11y +30 \u003d 0. D> 0, vastavalt teoreemile Vieta teoreemi pöördväärtus, me saame juured: 5; 6, siis pöördume tagasi algsete võrrandite juurte juurde: 2,5; 3. Vastus: 2,5; 3. Võrrandi lahend"> !}

Kui ruutvõrrandis a + b + c \u003d 0, siis on üks juurtest 1 ja teine ​​vastavalt Vieta teoreemile on võrdne teisega, kui ruutvõrrandis a + c \u003d b, siis on üks juurtest võrdne (-1) ja teine, vastavalt Vieta teoreemile, on võrdne Näide: Ruutvõrrandi kordajate omadused 137x x - 157 = 0. a = 137 , b = 20, c = a + b + c = -157 = 0. x 1 = 1, vastus: 1; 137x x - 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b + c = - 157 = 0. x 1 = 1, vastus: 1;

Graafiline viis ruutvõrrandi lahendamiseks Ilma valemeid kasutamata saab ruutvõrrandi graafiliselt lahendada. Lahendame võrrandi Selleks koostame kaks graafikut: X Y X 01 Y012 Vastus: Graafikute ja ristumispunktide abstsissid on võrrandi juured. Kui graafikud ristuvad kahes punktis, on võrrandil kaks juurt. Kui graafikud lõikuvad ühes punktis, on võrrandil üks juur. Kui graafikud ei ristu, pole võrrandil juuri. 1)y=x2 2)y=x+1

Ruutvõrrandite lahendamine nomogrammi abil See on vana ja teenimatult unustatud viis ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on paigutatud lk 83 "Neljaväärtuslikud matemaatilised tabelid" Bradis V.M. Tabel XXII. Nomogramm võrrandi lahendamiseks See nomogramm võimaldab ilma ruutvõrrandit lahendamata määrata võrrandi juured selle kordajate järgi. Võrrandi jaoks annab nomogramm juured

Ruutvõrrandite lahendamise geomeetriline viis Antiikajal, kui geomeetria oli algebrast rohkem arenenud, ei lahendatud ruutvõrrandeid mitte algebraliselt, vaid geomeetriliselt. Ja siin näiteks, kuidas vanad kreeklased lahendasid võrrandi: või Avaldised ja geomeetriliselt annavad sama ruudu ja algne võrrand on sama võrrand. Kust me mida saame või

Kokkuvõte Need otsustusmeetodid väärivad tähelepanu, kuna need kõik ei kajastu koolimatemaatika õpikutes; nende tehnikate valdamine aitab õpilastel aega kokku hoida ja võrrandeid tõhusalt lahendada; kiire lahenduse vajadus on tingitud sisseastumiseksamite testsüsteemi kasutamisest;

Uurimine

Teema kohta

"Ruutvõrrandite lahendamise meetodid"

Esitatud:
8. rühma "G" klass

Tööjuht:
Benkovskaja Maria Mihhailovna

Projekti eesmärgid ja eesmärgid.

1. Näidake, et matemaatikas, nagu igal teisel teadusel, on piisavalt oma lahendamata saladusi.
2. Rõhutage, et matemaatikuid eristab ebastandardne mõtlemine. Ja vahel on hea matemaatiku leidlikkus ja intuitsioon lihtsalt imetlusväärne!
3. Näidake, et ruutvõrrandite lahendamise katse aitas kaasa uute matemaatika mõistete ja ideede väljatöötamisele.
4. Õppige töötama erinevate teabeallikatega.
5. Jätkata uurimistööd matemaatikas

Uurimise etapid

1. Ruutvõrrandite tekkelugu.

2. Ruutvõrrandi definitsioon ja selle liigid.

3. Ruutvõrrandite lahendamine diskrimineeriva valemi abil.

4. Francois Viet ja tema teoreem.

5. Koefitsientide omadused ruutvõrrandi juurte kiireks leidmiseks.

6. Praktiline orienteerumine.

Läbi võrrandite, teoreemide

Olen lahendanud palju probleeme.

(Chaucer, inglise luuletaja, keskaeg.)

etapp. Ruutvõrrandite tekkimise ajalugu.

Vajaduse lahendada mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis juba iidsetel aegadel vajadus lahendada ülesandeid, mis on seotud sõjalise iseloomuga maa-alade ja pinnasetööde leidmisega, aga ka maa-alade leidmisega. astronoomia ja matemaatika enda areng.

Babüloonlased suutsid ruutvõrrandid lahendada umbes 2000 eKr. Babüloonia tekstides toodud nende võrrandite lahendamise reegel ühtib sisuliselt tänapäevaste omadega, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reegli leidmiseni jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele.

Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

Diophantose aritmeetika sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mis on lahendatud erineva astme võrrandite formuleerimisega, kuid see ei sisalda algebra süstemaatilist esitust.

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba 499. aastal koostatud astronoomilistes traktaatides "Aryabhattiam". India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

Al-Khorezmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autoril on 6 tüüpi võrrandeid. Al-Khwarizmi jaoks, kes ei teadnud negatiivseid numbreid, on iga võrrandi tingimused liitmised, mitte lahutamised. Samas ei võeta teadlikult arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid, mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel ei võta al-Khwarizmi, nagu kõik teadlased enne 17. sajandit, nulllahendust.

Al-Khwarizmi traktaat on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt esitatud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja nende lahendamise valemid.

Al-Khwarizmi mudelil Euroopas ruutvõrrandite lahendamise valemid esitati esmakordselt Itaalia matemaatiku Leonardo Fibonacci poolt 1202. aastal kirjutatud Abakuse raamatus. Seda mahukat teost eristab esituse terviklikkus ja selgus. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised meetodid ülesannete lahendamiseks ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud Abakuse raamatu probleemid kandusid peaaegu kõikidesse Euroopa 16.–17. ja osaliselt 18. sajandi õpikutesse.

Üldreegel ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks koefitsientide b,c kõigi võimalike märkide kombinatsioonidega sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas, kes arvestasid mitte ainult positiivsete, vaid ka negatiivsete juurtega. Alles 17. sajandil sai ruutvõrrandite lahendamise meetod tänu Girrardi, Descartes'i, Newtoni ja teiste teadlaste töödele tänapäevase kuju.

TULEB VÄLJA:

Ruutvõrrandi ülesandeid leidub juba 499. aastal.

Vana-Indias olid levinud avalikud võistlused raskete ülesannete lahendamisel – OLÜMPIAADID .

©2015-2019 sait
Kõik õigused kuuluvad nende autoritele. See sait ei pretendeeri autorlusele, kuid pakub tasuta kasutamist.
Lehe loomise kuupäev: 2016-04-11

Tatarstani Vabariigi Haridus- ja Teadusministeerium

Valla eelarveline õppeasutus

"Usad keskkool

Tatarstani Vabariigi Vysokogorsky munitsipaalrajoon

Uuring:

"Lugu esinemineruut võrrandid»

Lõpetanud: Andreeva Ekaterina,

8B klassi õpilane

Juhendaja:

Pozharskaja Tatjana Leonidovna,

matemaatika õpetaja

Sissejuhatus

Kes tahab piirduda olevikuga

teadmata minevikku,

ta ei saa kunagi aru.

G.V. Leibniz

Matemaatika koolikursuse võrrandid on juhtival kohal, kuid ükski võrranditüüp pole leidnud nii laialdast rakendust kui ruutvõrrandid.

Teise astme võrrandi või ruutvõrrandid suutsid inimesed lahendada isegi Vana-Babülonis II aastatuhandel eKr. Ruutvõrrandideni viivaid probleeme käsitletakse paljudes iidsetes matemaatilistes käsikirjades ja traktaatides. Ja praegu lahendatakse ruutvõrrandite abil ka palju algebra, geomeetria, füüsika ülesandeid. Neid lahendades leiavad inimesed vastused erinevatele teaduse ja tehnika küsimustele.

Sihtmärk see uurimus - ruutvõrrandite tekkimise ajaloo uurimiseks.

Selle eesmärgi saavutamiseks on vaja lahendada järgmised ülesanded:

1. Tutvuge selleteemalise teadusliku kirjandusega.
2. Jälgige ruutvõrrandite tekkimise ajalugu.

Õppeobjekt: ruutvõrrandid.

Õppeaine: ruutvõrrandite tekkimise ajalugu.

Teema asjakohasus :

1. Inimesed on ruutvõrrandeid lahendanud iidsetest aegadest peale. Tahtsin teada ruutvõrrandite tekkelugu.
2. Kooliõpikutes puudub teave ruutvõrrandite tekkimise ajaloo kohta.

Uurimismeetodid:

1. Töötada õppe- ja populaarteadusliku kirjandusega.
2. Vaatlus, võrdlus, analüüs.

Töö teaduslik väärtus seisneb minu arvates selles, et see materjal võib huvi pakkuda matemaatikahuvilistele koolilastele ja valiktundide õpetajatele.

Ruutvõrrandid Vana-Babülonis.

Vana-Babülonis tingis vajaduse lahendada mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid vajadus lahendada probleeme, mis on seotud sõjalise iseloomuga maa-alade ja mullatööde leidmisega, samuti astronoomia arenguga. ja matemaatika ise.

Kaasaegset algebralist tähistust kasutades võime öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täielikud ruutvõrrandid:

x 2 - x \u003d 14,5

Babüloonia tekstides toodud nende võrrandite lahendamise reegel ühtib sisuliselt tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele.

Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

Näide võetud ühelt selle perioodi savitahvlilt.

"Kahe ruudu summa pindala on 1000. Ühe ruudu külg on teise ruudu külg miinus 10. Mis on ruutude küljed?"

See viib võrranditeni, mille lahendus taandub positiivse juurega ruutvõrrandi lahendamiseks.

Tegelikult piirdub lahendus kiilkirjas, nagu kõigis idapoolsetes probleemides, ruutvõrrandi lahendamiseks vajalike arvutuse etappide lihtsa loetlemisega:

“Ruut 10; see annab 100; lahutada 1000-st 100; see annab 900" jne

Kuidas Diophantus ruutvõrrandeid koostas ja lahendas

Diophantus esitab ühe kõige raskema mõistatuse teaduse ajaloos. Üks originaalsemaid Vana-Kreeka matemaatikuid oli Aleksandria Diophantos, kelle teostel oli algebra ja arvuteooria jaoks suur tähtsus. Seni pole Diophantuse sünniaastat ega surmakuupäeva selgunud. Ajavahemik, mil Diophantus võis elada, on pool aastatuhandet! Arvatakse, et ta elas 3. sajandil pKr. Kuid Diophantuse elukoht on hästi teada - see on kuulus Aleksandria, hellenistliku maailma teadusliku mõtte keskus.

Diophantose teostest on olulisim Aritmeetika, millest 13 raamatut on tänaseni säilinud vaid 6.

Diophantuse Aritmeetika ei sisalda algebra süstemaatilist kirjeldust, kuid see sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mis on lahendatud erineva astme võrrandite formuleerimisega.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne: "Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96"

Diophantus väidab nii: ülesande tingimusest tuleneb, et soovitud arvud ei ole võrdsed, kuna kui need oleksid võrdsed, siis oleks nende korrutis võrdne mitte 96, vaid 100-ga. Seega on üks neist suurem kui pool nende summast, s.o. 10+x, teine ​​on väiksem, st. 10-ndad. Erinevus nende vahel 2x.

Siit ka võrrand:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Siit x = 2. Üks soovitud numbritest on 12 , muu 8 . Otsus x = -2 Diophantost ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande valides ühe soovitud numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni

y(20 - y) = 96,

y 2 – 20 a + 96 = 0. (2)

On selge, et valides tundmatuteks soovitud arvude poole erinevuse, lihtsustab Diophantus lahendust; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi (1) lahendamiseks.

Ruutvõrrandid Diophantuse aritmeetikast:

1. 12x2+x=1
2. 630x2 +73x=6.

Juba iidsetel aegadel oli India kuulus oma teadmiste poolest astronoomia, grammatika ja muude teaduste vallas.

India teadlased on saavutanud suurimat edu selles valdkonnas matemaatika. Nad olid aritmeetika ja algebra rajajad, mille arendamisel läksid nad kreeklastest kaugemale.

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba 499. aastal koostatud astronoomilises traktaadis "Aryabhattiam". India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) visandas ruutvõrrandite lahendamise üldreegli, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks: ax 2 +bx=c, a>0.

Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.
Vana-Indias olid avalikud võistlused tavalised
keeruliste probleemide lahendamisel. Ühes iidse India raamatus öeldakse selliste võistluste kohta järgmist: "Nii nagu päike särab oma säraga tähti, ületab õppinud inimene avalikel koosolekutel, pakkudes välja ja lahendades algebralisi probleeme."

Tööülesanded olid sageli poeetilises vormis.
Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara:

« Tore ahvikari,

Sööge hästi, lõbutsege.

Nende kaheksas osa on ruudus,

Heinamaal lõbutsemas.

Ja kaksteist viinapuudes ...

Nad hakkasid hüppama, rippudes ...

Kui palju ahve oli

Ütle mulle, selles karjas?

Bhaskara lahendus näitab, et ta oli teadlik ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest.

Ülesandele vastav võrrand

Bhaskara kirjutab x 2 - 64x \u003d -768 ja selle võrrandi vasakpoolse külje ruuduks viimiseks lisage mõlemale osale 32 2, saades siis:

x 2 -64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Ruutvõrrandid Hiinas (1. aastatuhandel eKr).

Esimesed Hiina kirjalikud mälestised, mis meile on jõudnud, pärinevad Shangi ajastust (XVIII-XII sajand eKr). Ja juba XIV sajandi ennustamisluudel. eKr e., leitud Henanist, on numbrite tähistus säilinud. Kuid teaduse tõeline õitseng algas pärast XII sajandit. eKr e. Hiina vallutasid Zhou nomaadid. Nende aastate jooksul tõusid Hiina matemaatika ja astronoomia esile ja saavutasid hämmastavad kõrgused. Ilmusid esimesed täpsed kalendrid ja matemaatikaõpikud. Kahjuks ei võimaldanud keiser Qin Shi Huangi (Shi Huangdi) "raamatute hävitamine" varastel raamatutel meieni jõuda, kuid suure tõenäosusega olid need aluseks järgmistele teostele.

"Matemaatika üheksas raamatus" on esimene matemaatiline teos paljudest Vana-Hiina klassikalistest teostest, Vana-Hiina tähelepanuväärne monument varase Hani dünastia ajal (206 eKr – 7 pKr). See essee sisaldab mitmekesist ja rikkalikku matemaatilist materjali, sealhulgas ruutvõrrandeid.

Hiina ülesanne: "Seal on veehoidla, mille külg on 10 chi. Selle keskel kasvab pilliroog, mis ulatub 1 chi võrra veepinnast kõrgemale. Kui pilliroog kaldale tõmmata, siis see lihtsalt puudutab seda. Küsimus on: kui sügav on vesi ja kui pikk on pilliroog?

(x + 1) 2 \u003d x 2 +5 2,

x 2 + 2x + 1 \u003d x 2 +25,

Vastus: 12chi; 13h.

Al-Khwarizmi ruutvõrrandid

"Olen koostanud lühikese raamatu algebra ja almukabala arvutamisest, mis sisaldab lihtsaid ja keerulisi aritmeetikaküsimusi, sest see on inimestele vajalik." Al-Khwarizmi Muhammad bin Musa.

Al-Khwarizmi (Usbekistan) on enim tuntud oma "Täienduste ja vastuolude raamatu" ("Al-kitab al mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala") poolest, mille nimest tuleneb sõna "algebra". . See traktaat on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

Oma traktaadi teoreetilises osas esitab al-Khwarizmi 1. ja 2. astme võrrandite klassifikatsiooni ning eristab kuus nende tüüpi:

1) "Ruudmed on võrdsed juurtega", st ax 2 = bx. (näide:)

2) "Ruudmed on võrdsed arvuga", st telg 2 \u003d s. (näide:)

3) "Juured on võrdsed arvuga", st kirves \u003d c. (näide:)

4) “Ruut ja arvud on võrdsed juurtega”, st ax 2 + c = bx. (näide:)

5) "Ruut ja juured on võrdsed arvuga", st ax 2 + bx \u003d c.

6) "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", st bx + c == ax 2. (näide:)

Al-Khwarizmi jaoks, kes vältis negatiivsete arvude kasutamist, on kõigi nende võrrandite tingimused liitmised, mitte lahutamised. Sel juhul ei võeta ilmselgelt arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid. Autor toob välja meetodid nende võrrandite lahendamiseks, kasutades al-jabri ja al-muqabala meetodeid. Tema otsus ei lange muidugi meie omaga täielikult kokku. Rääkimata sellest, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel ei võta al-Khwarizmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, nulli. lahendus, ilmselt seetõttu, et konkreetsete praktiliste ülesannete puhul pole see oluline. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel kehtestab al-Khwarizmi nende lahendamise reeglid, kasutades konkreetseid arvulisi näiteid ja seejärel nende geomeetrilisi tõestusi.

Võtame näite.

“Ruut ja arv 21 on võrdne 10 juurega. Leia juur"(oletades, et võrrandi juur on x 2 + 21 = 10x).

Autori lahendus kõlab umbes nii: "Jaga juurte arv pooleks, saad 5, korrutage 5 iseendaga, lahutage korrutisest 21, jääb 4. Võtke 4 juur, saate 2. Lahutage 5-st 2, saate 3, see on soovitud juur . Või lisage 2 kuni 5, mis annab 7, see on ka juur.

Al-Khwarizmi kuulus võrrand: "Ruut ja kümme juurt võrdub 39." x 2 + 10x= 39 (IX sajand). Oma traktaadis kirjutab ta: „Reegel on järgmine: kui kahekordistada juurte arvu, saad selles ülesandes viis. Kui lisada see kolmkümmend üheksa, on see kuuskümmend neli. Võtke sellest juur, siis tuleb kaheksa ja lahutage sellest pool juurte arvu, s.o. viis, tuleb kolm: see on otsitud ruudu juur."

Ruutvõrrandid Euroopas XII-XVII sajand.

Euroopas Al-Khwarizmi mudelil ruutvõrrandite lahendamise vorme kirjeldati esmakordselt 1202. aastal kirjutatud "Abakuse raamatus". Itaalia matemaatik Leonard Fibonacci. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule.

See raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud selle raamatu ülesanded kanti üle peaaegu kõikidesse Euroopa 14.–17. sajandi õpikutesse. Üldreegli kujuga x 2 + bx \u003d c taandatud ruutvõrrandite lahendamiseks kõigi võimalike märkide ja koefitsientide b, c kombinatsioonidega sõnastas Euroopas 1544. aastal M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. arvestama lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles XVII sajandil. tänu Girardi, Descartes’i, Newtoni ja teiste teadlaste töödele saab ruutvõrrandite lahendamise meetod tänapäevase ilme.

Järeldus.

Ruutvõrrandid on alus, millel toetub algebra majesteetlik ehitis. Erinevaid võrrandeid, nii ruut- kui ka kõrgema astme võrrandeid, lahendasid meie kauged esivanemad. Need võrrandid lahendati kõige erinevamates ja üksteisest kaugemates riikides. Vajadus võrrandite järele oli suur. Võrrandeid kasutati ehituses, sõjanduses ja igapäevastes olukordades.

Tänapäeval on ruutvõrrandite lahendamise oskus hädavajalik kõigile. Ruutvõrrandi kiire, ratsionaalse ja korrektse lahendamise oskus hõlbustab paljude matemaatikakursuse teemade läbimist. Ruutvõrrandeid ei lahendata mitte ainult matemaatika tundides, vaid ka füüsika, keemia, informaatika tundides. Enamik praktilisi probleeme reaalses maailmas taandub ka ruutvõrrandite lahendamisele.

Kirjandus

1. Bashmakova I. G. Diofantiini ja diofantiini võrrandid. Moskva: Nauka, 1972.
2. Berezkina E.I. Vana-Hiina matemaatika - M.: Nauka, 1980
3. Picchurin L.F. Algebra õpiku lehekülgede taga: Raamat. õpilastele

7-9 rakku. Põhikool - M.: Valgustus, 1990

1. Glazer G. I. Matemaatika ajalugu koolis VII - VIII klass. Juhend õpetajatele. - M.: Valgustus, 1982.

Ruutvõrrandite lahendamise tehnikaid on omandanud erinevate tsivilisatsioonide esindajad: Vana-Egiptus, Vana-Babülon, Vana-Kreeka, Vana-India, Vana-Hiina, keskaeg, Euroopa.

Esimest korda suutsid Vana-Egiptuse matemaatikud lahendada ruutvõrrandi. Üks matemaatilistest papüürustest sisaldab probleemi:

"Leia ristkülikukujulise välja küljed, kui selle pindala on 12 ja - pikkused on võrdsed laiusega." "Välja pikkus on 4," ütleb papüürus.

Möödusid aastatuhanded, algebrasse sisenesid negatiivsed arvud. Lahendades võrrandi x² = 16, saame kaks arvu: 4, -4.

Muidugi võtaksime Egiptuse ülesandes X = 4, kuna välja pikkus saab olla ainult positiivne väärtus.

Meieni jõudnud allikad näitavad, et iidsetel teadlastel oli teada üldisi meetodeid tundmatute kogustega probleemide lahendamiseks. Babüloonia tekstides toodud ruutvõrrandite lahendamise reegel on sisuliselt sama, mis tänapäeva, kuid pole teada, kuidas babüloonlased "siia punkti jõudsid". Kuid peaaegu kõigis leitud papüürustes ja kiilkirjatekstides on toodud ainult ülesanded lahendustega. Autorid esitasid oma arvulisi arvutusi vaid aeg-ajalt alatute kommentaaridega nagu: “Vaata!”, “Tee ära!”, “Leidsite õige!”.

Kreeka matemaatik Diophantos kirjutas ja lahendas ruutvõrrandid. Tema "Aritmeetika" ei sisalda algebra süstemaatilist esitust, kuid sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mida lahendatakse erineva astme võrrandite koostamisega.

Ruutvõrrandite koostamise ülesanded leiab juba astronoomilisest traktaadist "Aria-bhatiam", mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Ariabhatta.

Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) tõi välja üldreegli, kuidas lahendada ruutvõrrandeid kujul ax² + bx = c.

Vana-Indias olid avalikud võistlused keeruliste probleemide lahendamisel tavalised. Ühes vanas India raamatus selliste võistluste kohta öeldakse järgmist: "Nii nagu päike särab oma säraga tähti, ületab õpetatud inimene avalikel koosolekutel, pakkudes välja ja lahendades algebralisi ülesandeid." Tööülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara:

Meeldiv ahvikari

Sööge hästi, lõbutsege.

Kaheksas osa neist platsil lõbustas lagendikul.

Ja kaksteist mööda viinapuud ... hakkasid hüppama, rippuma ...​

Kui palju ahve oli

Ütle mulle, selles karjas?

Bhaskara lahendus näitab, et ta teadis ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest.

Kõige iidsemad hiina matemaatilised tekstid, mis meieni on jõudnud, pärinevad 1. sajandi lõpust eKr. eKr. II sajandil. eKr. Matemaatika üheksas raamatus kirjutati. Hiljem, 7. sajandil, lisati see kogusse "Kümme klassikalist traktaati", mida uuriti palju sajandeid. Traktaat "Matemaatika üheksas raamatus" selgitab, kuidas eraldada ruutjuur, kasutades kahe arvu summa ruudu valemit.

Meetodit nimetati "tian-jüaaniks" (sõna-sõnalt - "taevane element") - nagu hiinlased tähistasid tundmatut kogust.​

Esimene probleemide lahendamise käsiraamat, mis sai laialt tuntuks, oli 9. sajandi Bagdadi õpetlase töö. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Sõna "al-jabr" - aja jooksul muutus tuntud sõnaks "algebra" ja al-Khwarizmi töö ise sai lähtepunktiks võrrandite lahendamise teaduse arengus. Al-Khorezmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb kuus võrranditüüpi, väljendades neid järgmiselt:

-ruudud võrdsed juured, see on ah ² = bx;

-ruutude arv on võrdne, see on ah ² = c;

-juured on võrdsed arvuga, see tähendab, ax = c;

-ruudud ja arvud on võrdsed juurtega, see on ah ²+ c \u003d bx;

-ruudud ja juured on võrdsed arvuga, see on ah ² + bx \u003d c;

-juured ja arvud on ruudukujulised, st bx + c = ax ²;

Al-Khwarizmi traktaat on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt esitatud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

Al-Khwarizmi mudelil Euroopas ruutvõrrandite lahendamise valemid esitati esmakordselt Itaalia matemaatiku Leonardo Fibonacci poolt 1202. aastal kirjutatud Abakuse raamatus. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud Abakuse raamatu ülesanded sisaldusid peaaegu kõigis 16.–17. sajandi Euroopa õpikutes. ja osa 18. sajandist.

Ruutvõrrandite lahendamise üldreegel, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks x ² + bx \u003d c koos kõigi võimalike koefitsientide b ja c märkide kombinatsioonidega sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid ta tundis ära ka ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. arvestada lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles 17. sajandil sai ruutvõrrandite lahendamise meetod tänu Girardi, Descartes'i, Newtoni ja teiste teadlaste töödele tänapäevase kuju.

​

​