Kuidas saada aritmeetiline keskmine. Kuidas leida aritmeetiline keskmine ja kus see igapäevaelus kasuks võib tulla

Mis on aritmeetiline keskmine

Mitme väärtuse aritmeetiline keskmine on nende väärtuste summa ja nende arvu suhe.

Teatud arvude jada aritmeetilist keskmist nimetatakse kõigi nende arvude summaks, jagatuna liikmete arvuga. Seega on aritmeetiline keskmine arvrea keskmine väärtus.

Mis on mitme arvu aritmeetiline keskmine? Ja need on võrdsed nende arvude summaga, mis jagatakse selles summas olevate liikmete arvuga.

Kuidas leida aritmeetiline keskmine

Mitme arvu aritmeetilise keskmise arvutamisel või leidmisel pole midagi rasket, piisab, kui liita kõik esitatud arvud ja jagada saadud summa liikmete arvuga. Saadud tulemus on nende arvude aritmeetiline keskmine.

Vaatleme seda protsessi üksikasjalikumalt. Mida me peame tegema, et arvutada aritmeetiline keskmine ja saada selle arvu lõpptulemus.

Esiteks, selle arvutamiseks peate määrama arvude komplekti või nende arvu. See komplekt võib sisaldada suuri ja väikeseid numbreid ning nende arv võib olla ükskõik milline.

Teiseks tuleb kõik need arvud kokku liita ja saada nende summa. Loomulikult, kui arvud on lihtsad ja nende arv on väike, saab arvutusi teha käsitsi kirjutades. Ja kui numbrite komplekt on muljetavaldav, siis on parem kasutada kalkulaatorit või arvutustabelit.

Ja neljandaks tuleb liitmisel saadud summa jagada numbrite arvuga. Selle tulemusena saame tulemuse, mis on selle seeria aritmeetiline keskmine.

Mille jaoks on aritmeetiline keskmine?

Aritmeetiline keskmine võib olla kasulik mitte ainult matemaatikatundide näidete ja ülesannete lahendamisel, vaid ka muudel inimese igapäevaelus vajalikel eesmärkidel. Sellisteks eesmärkideks võib olla aritmeetilise keskmise arvutamine, et arvutada välja keskmine finantskulu kuus või arvutada teel veedetud aeg, ka selleks, et välja selgitada liiklus, tootlikkus, kiirus, tootlikkus ja palju muud.

Seega proovime näiteks välja arvutada, kui palju aega kulub sul kooli sõitmisele. Kooli minnes või koju naastes veedad teel iga kord erinevat aega, sest kui sul on kiire, siis läheb kiiremini ja seetõttu kulub teele vähem aega. Kuid koju naastes võite minna aeglaselt, vestelda klassikaaslastega, imetleda loodust ja seetõttu kulub teele rohkem aega.

Seetõttu ei saa te täpselt määrata teel veedetud aega, kuid tänu aritmeetilisele keskmisele saate ligikaudu teada teel veedetud aja.

Oletame, et esimesel päeval pärast nädalavahetust veetsite teel kodust kooli viisteist minutit, teisel päeval võttis teekond kakskümmend minutit, kolmapäeval läbisite distantsi kahekümne viie minutiga, sama ajaga tegid teed neljapäeval ja reedel sul polnud kiiret ja naasid pooleks tunniks.

Leiame kõigi viie päeva aritmeetilise keskmise, lisades aja. Niisiis,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Nüüd jagage see summa päevade arvuga

Selle meetodi abil olete õppinud, et teekond kodust kooli võtab teie ajast umbes kakskümmend kolm minutit.

Kodutöö

1. Leidke lihtsate arvutuste abil oma klassi õpilaste nädalas viibimise aritmeetiline keskmine.

2. Leidke aritmeetiline keskmine:

3. Lahendage probleem:

Aritmeetiline keskmine on arvude summa jagatud samade arvude arvuga. Aritmeetilise keskmise leidmine on väga lihtne.

Nagu definitsioonist järeldub, peame võtma numbrid, liitma need kokku ja jagama nende arvuga.

Toome näite: arvud 1, 3, 5, 7 on antud ja me peame leidma nende arvude aritmeetilise keskmise.

esmalt lisa need numbrid (1+3+5+7) ja saad 16
peame saadud tulemuse jagama 4-ga (arv): 16/4 ja saame tulemuseks 4.

Seega on arvude 1, 3, 5 ja 7 aritmeetiline keskmine 4.

Aritmeetiline keskmine - antud näitajate keskmine väärtus.

See leitakse, jagades kõigi näitajate summa nende arvuga.

Näiteks mul on 5 õuna kaaluga 200, 250, 180, 220 ja 230 grammi.

1 õuna keskmine kaal on järgmine:

otsime kõigi õunte kogumassi (kõikide näitajate summa) - see on 1080 grammi,
jagage kogumass õunte arvuga 1080:5 = 216 grammi. See on aritmeetiline keskmine.

See on statistikas kõige sagedamini kasutatav näitaja.

Aritmeetiline keskmine on arvud, mis liidetakse ja jagatakse nende arvuga, vastuseks on aritmeetiline keskmine.

Näiteks: Katya pani hoiupõrsasse 50 rubla, Maxim 100 rubla ja Saša pani hoiupõrsasse 150 rubla. 50 + 100 + 150 = 300 rubla hoiupõrsas, nüüd jagame selle summa kolmega (raha panevad kolm inimest). Seega 300: 3 = 100 rubla. Need 100 rubla on aritmeetiline keskmine, igaüks neist pannakse hoiupõrsasse.

On selline lihtne näide: üks inimene sööb liha, teine kapsast ja aritmeetiline keskmine söövad nad mõlemad kapsarulle.

Samamoodi arvutatakse keskmine palk ...

Aritmeetiline keskmine on kõigi väärtuste summa ja jagatud nende arvuga.

Näiteks numbrid 2, 3, 5, 6. Peate need lisama 2+ 3+ 5 + 6 = 16

Jaga 16 4-ga ja saad vastuseks 4.

4 on nende arvude aritmeetiline keskmine.

Mitme arvu aritmeetiline keskmine on nende arvude summa jagatud nende arvuga.

x vrd aritmeetiline keskmine

S arvude summa

n arvude arv.

Näiteks peame leidma arvude 3, 4, 5 ja 6 aritmeetilise keskmise.

Selleks peame need liitma ja jagama saadud summa 4-ga:

(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

Mäletan, kuidas matemaatika lõpueksami sooritasin

Nii et seal oli vaja leida aritmeetiline keskmine.

Hea, et lahked inimesed soovitasid, mida teha, muidu on katastroof.

Näiteks on meil 4 numbrit.

Liidame numbrid ja jagame nende arvuga (antud juhul 4)

Näiteks numbrid 2,6,1,1. Lisage 2+6+1+1 ja jagage 4-ga = 2,5

Nagu näete, pole midagi keerulist. Seega on aritmeetiline keskmine kõigi arvude keskmine.

Teame seda koolist. Kellel oli hea matemaatikaõpetaja, võis see lihtne toiming esimest korda meelde jätta.

Aritmeetilise keskmise leidmisel on vaja liita kõik saadaolevad arvud ja jagada nende arvuga.

Näiteks ostsin poest 1 kg õunu, 2 kg banaane, 3 kg apelsine ja 1 kg kiivi. Mitu kilogrammi keskmiselt ostsin puuvilju.

7/4 = 1,8 kilogrammi. Sellest saab aritmeetiline keskmine.

Aritmeetiline keskmine on mitme arvu keskmine.

Näiteks numbrite 2 ja 4 vahel on keskmine arv 3.

Aritmeetilise keskmise leidmise valem on järgmine:

Peate liitma kõik numbrid ja jagama nende arvuga:

Näiteks on meil 3 numbrit: 2, 5 ja 8.

Aritmeetilise keskmise leidmine:

X=(2+5+8)/3=15/3=5

Aritmeetilise keskmise ulatus on üsna lai.

Näiteks teades lõigu kahe punkti koordinaate, saate leida selle lõigu keskkoha koordinaadid.

Näiteks lõigu koordinaadid: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).

Selle lõigu keskosa tähistame koordinaatidega X3,Y3,Z3.

Eraldi leiame iga koordinaadi keskpunkti:

Aritmeetiline keskmine on antud...

Need. meil on lihtsalt erineva pikkusega pulgakesi ja tahame teada nende keskmist väärtust.

On loogiline, et selleks viime need kokku, saades pika pulga ja jagame selle seejärel vajalikuks arvuks osadeks.

Siit tuleb aritmeetiline keskmine.

Valem tuletatakse nii: Sa=(S(1)+..S(n))/n..

Aritmeetikat peetakse matemaatika kõige elementaarsemaks haruks ja see uurib lihtsaid tehteid arvudega. Seetõttu on ka aritmeetiline keskmine väga lihtne leida. Alustame määratlusega. Aritmeetiline keskmine on väärtus, mis näitab, milline arv on mitmes järjestikuses sama tüüpi tegevuses tõele kõige lähemal. Näiteks sada meetrit joostes näitab inimene iga kord erinevat aega, kuid keskmine väärtus jääb näiteks 12 sekundi piiresse. Aritmeetilise keskmise leidmine taandub seega teatud seeria kõikide arvude (jooksutulemuste) järjestikusele liitmisele ja selle summa jagamisele nende jooksude (katsete, arvude) arvuga. Valemi kujul näeb see välja järgmine:

Sarif = (X1+X2+..+Xn)/n

Matemaatikuna huvitavad mind selleteemalised küsimused.

Alustan probleemi ajaloost. Keskmiste väärtuste peale on mõelnud iidsetest aegadest peale. Aritmeetiline keskmine, geomeetriline keskmine, harmooniline keskmine. Need kontseptsioonid pakkusid välja Vana-Kreekas Pythagoreanid.

Ja nüüd küsimus, mis meid huvitab. Mida mõeldakse all mitme arvu aritmeetiline keskmine:

Nii et arvude aritmeetilise keskmise leidmiseks peate liitma kõik arvud ja jagama saadud summa liikmete arvuga.

Seal on valem:

Näide. Leidke arvude aritmeetiline keskmine: 100, 175, 325.

Kasutame kolme arvu aritmeetilise keskmise leidmiseks valemit (see tähendab, et n asemel on 3; peate liitma kõik 3 arvu ja jagama saadud summa nende arvuga, st 3-ga). Meil on: x=(100+175+325)/3=600/3=200.

Aritmeetilise keskmise mõiste all mõistetakse ettemääratud arvude jada keskmise väärtuse lihtsa arvutusjada tulemust. Tuleb märkida, et seda väärtust kasutavad praegu laialdaselt mitmete tööstusharude spetsialistid. Näiteks teatakse valemeid majandusteadlaste või statistikatööstuse töötajate arvutuste tegemisel, kus seda tüüpi väärtust nõutakse. Lisaks kasutatakse seda indikaatorit aktiivselt mitmetes teistes ülalnimetatutega seotud tööstusharudes.

Selle väärtuse arvutamise üheks tunnuseks on protseduuri lihtsus. Tehke arvutused igaüks saab. Selleks pole teil vaja eriharidust. Sageli pole arvutitehnoloogiat vaja kasutada.

Vastuseks küsimusele, kuidas leida aritmeetiline keskmine, kaaluge mitmeid olukordi.

Lihtsaim viis selle väärtuse arvutamiseks on arvutada see kahe arvu jaoks. Sel juhul on arvutusprotseduur väga lihtne:

Esialgu on vaja läbi viia valitud numbrite lisamise toiming. Seda saab sageli teha, nagu öeldakse, käsitsi, ilma elektroonilisi seadmeid kasutamata.
Pärast lisamise tegemist ja selle tulemuse saamist on vaja jagada. See toiming hõlmab kahe lisatud arvu summa jagamist kahega – lisatud arvude arvuga. Just see toiming võimaldab teil saada vajaliku väärtuse.

Valem

Seega näeb nõutava väärtuse arvutamise valem kahe korral välja järgmine:

(A+B)/2

See valem kasutab järgmist tähistust:

A ja B on eelvalitud numbrid, millele peate leidma väärtuse.

Kolme väärtuse leidmine

Selle väärtuse arvutamine olukorras, kus on valitud kolm numbrit, ei erine palju eelmisest valikust:

Selleks valige arvutamisel vajalikud arvud ja lisage need, et saada kogusumma.
Pärast selle summa kolme leidmist tuleb jagamisprotseduur uuesti läbi viia. Sel juhul tuleb saadud summa jagada kolmega, mis vastab valitud numbrite arvule.

Valem

Seega näeb aritmeetilise kolme arvutamisel vajalik valem välja järgmine:

(A+B+C)/3

Selles valemis kasutusele on võetud järgmine märge:

A, B ja C on arvud, millele on vaja leida aritmeetiline keskmine.

Nelja aritmeetilise keskmise arvutamine

Nagu juba eelmiste valikutega analoogia põhjal näha, arvutatakse see väärtus neljaga võrdse koguse korral järgmises järjekorras:

Valitakse neli numbrit, mille aritmeetiline keskmine arvutatakse. Järgmisena tehakse selle protseduuri summeerimine ja lõpptulemuse leidmine.
Nüüd peaksite lõpptulemuse saamiseks võtma saadud summa neli ja jagama selle neljaga. Saadud andmete väärtus on nõutav.

Valem

Ülalkirjeldatud toimingute jadast nelja aritmeetilise keskmise leidmiseks saate järgmise valemi:

(A+B+C+E)/4

Selles valemis muutujatel on järgmine tähendus:

A, B, C ja E on need, mille jaoks peate leidma aritmeetilise keskmise väärtuse.

Selle valemi abil on alati võimalik arvutada teatud arvu arvude jaoks vajalik väärtus.

Viie aritmeetilise keskmise arvutamine

Selle toimingu sooritamine nõuab teatud toimingute algoritmi.

Kõigepealt peate valima viis arvu, mille aritmeetiline keskmine arvutatakse. Pärast seda valikut tuleb need numbrid, nagu ka eelmistes valikutes, lihtsalt kokku liita ja saada lõppsumma.
Saadud summa tuleb jagada nende arvuga viiega, mis võimaldab teil saada vajaliku väärtuse.

Valem

Seega saame sarnaselt eelnevalt kaalutud variantidele aritmeetilise keskmise arvutamiseks järgmise valemi:

(A+B+C+E+P)/5

Selles valemis on muutujatel järgmine märge:

A, B, C, E ja P on arvud, mille aritmeetilise keskmise soovite saada.

Universaalne arvutusvalem

Valemite erinevate variantide kaalumine aritmeetilise keskmise arvutamiseks, võite pöörata tähelepanu sellele, et neil on ühine muster.

Seetõttu on aritmeetilise keskmise leidmiseks otstarbekam rakendada üldist valemit. On ju olukordi, kus arvutuste arv ja suurus võib olla väga suur. Seetõttu oleks targem kasutada universaalset valemit ja mitte tuletada selle väärtuse arvutamiseks iga kord individuaalset tehnoloogiat.

Peamine valemi määramisel on aritmeetilise keskmise arvutamise põhimõte umbes.

See põhimõte, nagu ülaltoodud näidetest näha, näeb välja järgmine:

Arvede arv, mis on määratud vajaliku väärtuse saamiseks, loendatakse. Seda toimingut saab teha nii käsitsi väikese arvu numbritega kui ka arvutitehnoloogia abil.
Valitud arvud liidetakse. See toiming tehakse enamikus olukordades arvutitehnoloogia abil, kuna numbrid võivad koosneda kahest, kolmest või enamast numbrist.
Valitud arvude liitmisel saadud summa tuleb jagada nende arvuga. See väärtus määratakse aritmeetilise keskmise arvutamise algfaasis.

Seega näeb valitud arvude jada aritmeetilise keskmise arvutamise üldvalem välja järgmine:

(А+В+…+N)/N

See valem sisaldab järgmised muutujad:

A ja B on arvud, mis valitakse eelnevalt nende aritmeetilise keskmise arvutamiseks.

N on arvude arv, mis võeti vajaliku väärtuse arvutamiseks.

Asendades iga kord valitud arvud sellesse valemisse, saame alati vajaliku aritmeetilise keskmise väärtuse.

Nagu nähtud, aritmeetilise keskmise leidmine on lihtne protseduur. Tehtavate arvutuste suhtes tuleb aga tähelepanelik olla ja saadud tulemust kontrollida. Selline lähenemine on seletatav asjaoluga, et isegi kõige lihtsamates olukordades on võimalus saada viga, mis võib seejärel mõjutada edasisi arvutusi. Sellega seoses on soovitatav kasutada arvutitehnoloogiat, mis on võimeline tegema igasuguse keerukusega arvutusi.

Excelis keskmise väärtuse leidmiseks (olgu see numbriline, tekstiline, protsentuaalne või muu väärtus) on palju funktsioone. Ja igal neist on oma omadused ja eelised. Selles ülesandes saab ju seada teatud tingimused.

Näiteks arvutatakse Exceli arvuseeria keskmised väärtused statistiliste funktsioonide abil. Samuti saate oma valemi käsitsi sisestada. Vaatleme erinevaid võimalusi.

Kuidas leida arvude aritmeetilist keskmist?

Aritmeetilise keskmise leidmiseks liidate kõik komplekti kuuluvad arvud ja jagate summa arvuga. Näiteks õpilase hinded informaatikas: 3, 4, 3, 5, 5. Mis läheb veerandile: 4. Aritmeetilise keskmise leidsime valemiga: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Kuidas seda Exceli funktsioonide abil kiiresti teha? Võtke näiteks juhuslike numbrite seeria stringis:

Või: muutke lahter aktiivseks ja sisestage lihtsalt käsitsi valem: = AVERAGE(A1:A8).

Nüüd vaatame, mida funktsioon AVERAGE veel suudab.

Leidke kahe esimese ja kolme viimase arvu aritmeetiline keskmine. Valem: =KESKMINE(A1:B1;F1:H1). Tulemus:

Tingimuste järgi keskmine

Aritmeetilise keskmise leidmise tingimuseks võib olla numbriline või tekstiline kriteerium. Kasutame funktsiooni: =AVERAGEIF().

Leidke 10-st suuremate või sellega võrdsete arvude aritmeetiline keskmine.

Funktsioon: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Kolmas argument - "Averaging range" - jäetakse välja. Esiteks pole see nõutav. Teiseks sisaldab programmi poolt sõelutud vahemik AINULT arvväärtusi. Esimeses argumendis määratud lahtrites tehakse otsing vastavalt teises argumendis määratud tingimusele.

Tähelepanu! Otsingukriteeriumi saab määrata lahtris. Ja valemis, et teha sellele viide.

Leiame tekstikriteeriumi järgi arvude keskmise väärtuse. Näiteks toote keskmine müük "tabelid".

Funktsioon näeb välja selline: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Vahemik – tootenimetustega veerg. Otsingukriteeriumiks on link lahtrile, kus on sõna "tabelid" (lingi A7 asemel võite sisestada sõna "tabelid"). Keskmistamisvahemik – need lahtrid, millest võetakse keskmise väärtuse arvutamiseks andmeid.

Funktsiooni arvutamise tulemusena saame järgmise väärtuse:

Tähelepanu! Tekstikriteeriumi (tingimuse) jaoks tuleb määrata keskmistamisvahemik.

Kuidas arvutada Excelis kaalutud keskmist hinda?

Kuidas me kaalutud keskmist hinda teame?

Valem: =SUMMA(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).

SUMPRODUCT valemi abil saame teada kogutulu pärast kogu kaubakoguse müüki. Ja funktsioon SUM – võtab kokku kauba koguse. Jagades kaupade müügist saadud kogutulu kaubaühikute koguarvuga, saime kaalutud keskmise hinna. See indikaator võtab arvesse iga hinna "kaalu". Selle osa väärtuste kogumassist.

Standardhälve: valem Excelis

Eristage üldkogumi ja valimi standardhälvet. Esimesel juhul on see üldise dispersiooni juur. Teises valimi dispersioonist.

Selle statistilise näitaja arvutamiseks koostatakse dispersioonivalem. Sellest võetakse juur. Kuid Excelis on standardhälbe leidmiseks valmis funktsioon.

Standardhälve on seotud lähteandmete skaalaga. Sellest ei piisa analüüsitud vahemiku varieerumise kujundlikuks esitamiseks. Andmete suhtelise hajumise taseme saamiseks arvutatakse variatsioonikordaja:

standardhälve / aritmeetiline keskmine

Exceli valem näeb välja selline:

STDEV (väärtuste vahemik) / AVERAGE (väärtuste vahemik).

Variatsioonikoefitsient arvutatakse protsentides. Seetõttu määrame lahtris protsendivormingu.

Kõige tavalisem keskmise tüüp on aritmeetiline keskmine.

lihtne aritmeetiline keskmine

Lihtne aritmeetiline keskmine on keskmine liige, mille määramisel jaotatakse antud atribuudi kogumaht andmetes võrdselt kõigi sellesse üldkogumisse kuuluvate üksuste vahel. Seega on keskmine aastane toodang töötaja kohta selline toodangu mahu väärtus, mis langeks igale töötajale, kui kogu toodangumaht jaguneks võrdselt organisatsiooni kõigi töötajate vahel. Aritmeetiline keskmine lihtväärtus arvutatakse järgmise valemi abil:

lihtne aritmeetiline keskmine— võrdne tunnuse üksikute väärtuste summa ja koondtunnuste arvu suhtega

. 6-liikmeline meeskond saab 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tuhat rubla kuus.

Leidke keskmine palk
Lahendus: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tuhat rubla.

Aritmeetiline kaalutud keskmine

Kui andmestiku maht on suur ja esindab jaotusrida, arvutatakse kaalutud aritmeetiline keskmine. Nii määratakse toodanguühiku kaalutud keskmine hind: tootmise kogumaksumus (selle koguse toodete summa ja toodanguühiku hind) jagatakse toodangu kogukogusega.

Esitame seda järgmise valemi kujul:

Kaalutud aritmeetiline keskmine- on võrdne suhtega (atribuudi väärtuse korrutised selle atribuudi kordussagedusega) ja (kõikide atribuutide sageduste summa) Seda kasutatakse juhul, kui uuritava üldkogumi variandid esinevad ebavõrdselt kordade arv.

. Leia poetöötajate keskmine palk kuus

Keskmise palga saab, jagades kogupalga töötajate koguarvuga:

Vastus: 3,35 tuhat rubla.

Intervallide jada aritmeetiline keskmine

Intervalli variatsioonirea aritmeetilise keskmise arvutamisel määratakse esmalt iga intervalli keskmine ülemise ja alumise piiri poolsummana ning seejärel kogu seeria keskmisena. Avatud intervallide puhul määrab alumise või ülemise intervalli väärtuse nendega külgnevate intervallide väärtus.

Intervalli seeriatest arvutatud keskmised on ligikaudsed.

Näide 3. Määrake õhtuse osakonna õpilaste keskmine vanus.

Intervalli seeriatest arvutatud keskmised on ligikaudsed. Nende lähendamise määr sõltub sellest, mil määral läheneb populatsiooniüksuste tegelik jaotus intervalli sees ühtlaseks.

Keskmiste arvutamisel saab kaaludena kasutada mitte ainult absoluutseid, vaid ka suhtelisi väärtusi (sagedust):