Tund ja ettekanne teemal: "Võrrandisüsteemid. Asendusmeetod, liitmismeetod, uue muutuja sisseviimise meetod"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid! Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.
Õppevahendid ja simulaatorid veebipoes "Integral" 9. klassile
Õpikute simulaator Atanasyan L.S. Õpikute simulaator Pogorelova A.V.
Võrdsussüsteemide lahendamise viisid
Poisid, oleme uurinud võrrandisüsteeme ja õppinud neid graafikute abil lahendama. Vaatame nüüd, millised muud võimalused süsteemide lahendamiseks on olemas?Peaaegu kõik nende lahendamise viisid ei erine nendest, mida õppisime 7. klassis. Nüüd peame tegema mõned kohandused vastavalt võrranditele, mida oleme õppinud lahendama.
Kõigi selles õppetükis kirjeldatud meetodite olemus seisneb süsteemi asendamises samaväärse süsteemiga, millel on lihtsam lahendusvorm ja meetod. Poisid, pidage meeles, mis on samaväärne süsteem.
Asendusmeetod
Esimene viis kahe muutujaga võrrandisüsteemide lahendamiseks on meile hästi teada – see on asendusmeetod. Seda meetodit kasutasime lineaarvõrrandite lahendamiseks. Vaatame nüüd, kuidas võrrandeid üldjuhul lahendada?Kuidas peaks otsuse tegemisel toimima?
1. Väljendage üks muutujatest teise terminites. Kõige tavalisemad võrrandites kasutatavad muutujad on x ja y. Ühes võrrandis väljendame üht muutujat teisega. Näpunäide. Enne lahendamise alustamist vaadake hoolikalt mõlemat võrrandit ja valige see, kus muutujat on lihtsam väljendada.
2. Asendage saadud avaldis väljendatud muutuja asemel teise võrrandiga.
3. Lahendage saadud võrrand.
4. Asendage saadud lahendus teise võrrandiga. Kui lahendusi on mitu, tuleb need järjestikku asendada, et mitte kaotada paari lahendust.
5. Selle tulemusena saad numbripaari $(x;y)$, mis tuleb vastuseks kirjutada.
Näide.
Lahendage asendusmeetodil kahe muutujaga süsteem: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.
Lahendus.
Vaatame oma võrrandeid lähemalt. Ilmselgelt on y väljendamine esimeses võrrandis x-ga palju lihtsam.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Asendage esimene avaldis teise võrrandiga $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Lahendame teise võrrandi eraldi:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Teise võrrandi $x_1=2$ ja $x_2=3$ saime kaks lahendit.
Asendage järjestikku teise võrrandiga.
Kui $x=2$, siis $y=3$. Kui $x=3$, siis $y=2$.
Vastuseks on kaks numbripaari.
Vastus: $(2;3)$ ja $(3;2)$.
Algebraline liitmise meetod
Seda meetodit õppisime ka 7. klassis.On teada, et me saame korrutada kahes muutujas oleva ratsionaalse võrrandi suvalise arvuga, jättes meeles võrrandi mõlema poole korrutamise. Korrutasime ühe võrrandi teatud arvuga nii, et kui saadud võrrand lisatakse süsteemi teisele võrrandile, siis üks muutujatest hävib. Seejärel lahendati võrrand ülejäänud muutuja suhtes.
See meetod töötab endiselt, kuigi alati pole võimalik üht muutujatest hävitada. Kuid see võimaldab ühe võrrandi vormi oluliselt lihtsustada.
Näide.
Lahendage süsteem: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Lahendus.
Korrutage esimene võrrand 2-ga.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Lahutage esimesest võrrandist teine.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Nagu näete, on saadud võrrandi vorm palju lihtsam kui algne. Nüüd saame kasutada asendusmeetodit.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Avaldame saadud võrrandis x kuni y.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Saime $y=-1$ ja $y=-3$.
Asendage need väärtused järjestikku esimesse võrrandisse. Saame kaks numbripaari: $(1;-1)$ ja $(-1;-3)$.
Vastus: $(1;-1)$ ja $(-1;-3)$.
Uue muutuja sisestamise meetod
Uurisime ka seda meetodit, kuid vaatame seda uuesti.Näide.
Lahendage süsteem: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
Lahendus.
Tutvustame asendust $t=\frac(x)(y)$.
Kirjutame esimese võrrandi ümber uue muutujaga: $t+\frac(2)(t)=3$.
Lahendame saadud võrrandi:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Sai $t=2$ või $t=1$. Toome sisse pöördmuutuse $t=\frac(x)(y)$.
Saad: $x=2y$ ja $x=y$.
Iga avaldise puhul tuleb algne süsteem eraldi lahendada:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Saime neli paari lahendusi.
Vastus: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Näide.
Lahendage süsteem: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\lõpp(juhtumid)$.
Lahendus.
Tutvustame asendust: $z=\frac(2)(x-3y)$ ja $t=\frac(3)(2x+y)$.
Kirjutame algsed võrrandid ümber uute muutujatega:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Kasutame algebralise liitmise meetodit:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Tutvustame pöördasendust:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Kasutame asendusmeetodit:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Vastus: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.
Ülesanded võrrandisüsteemide iseseisvaks lahendamiseks
Lahendage süsteemid:1. $\begin(cases)2x-2y=6, \\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ lõpp(juhud)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(juhtumid)$. Tunni sisu
Lineaarvõrrandid kahe muutujaga
Õpilasel on koolis lõunatamiseks 200 rubla. Kook maksab 25 rubla ja tass kohvi 10 rubla. Mitu kooki ja tassi kohvi saab osta 200 rubla eest?
Tähistage läbivate kookide arvu x, ja kohvitasside arv läbi y. Siis tähistatakse kookide maksumust avaldisega 25 x ja kohvitasside hind 10 y .
25x- hind x koogid
10ja- hind y tassid kohvi
Kogusumma peaks olema 200 rubla. Siis saame kahe muutujaga võrrandi x Ja y
25x+ 10y= 200
Mitu juurt sellel võrrandil on?
Kõik oleneb õpilase isust. Kui ta ostab 6 kooki ja 5 tassi kohvi, siis on võrrandi juurteks numbrid 6 ja 5.
Väärtuste paar 6 ja 5 on võrrandi 25 juured x+ 10y= 200. Kirjutatud kujul (6; 5) , kusjuures esimene number on muutuja väärtus x, ja teine - muutuja väärtus y .
6 ja 5 ei ole ainsad juured, mis võrrandit 25 ümber pööravad x+ 10y= 200 identiteedile. Soovi korral saab tudeng sama 200 rubla eest osta 4 kooki ja 10 tassi kohvi:
Sel juhul on võrrandi 25 juured x+ 10y= 200 on väärtuste paar (4; 10) .
Pealegi ei pruugi üliõpilane üldse kohvi osta, vaid osta koogid kõigi 200 rubla eest. Siis võrrandi 25 juured x+ 10y= 200 on väärtused 8 ja 0
Või vastupidi, ära osta kooke, vaid osta kohvi kõigi 200 rubla eest. Siis võrrandi 25 juured x+ 10y= 200 on väärtused 0 ja 20
Proovime loetleda kõik võrrandi 25 võimalikud juured x+ 10y= 200. Leppigem kokku, et väärtused x Ja y kuuluvad täisarvude hulka. Ja olgu need väärtused suuremad või võrdsed nulliga:
x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Nii on see õpilasele endale mugav. Kooke on mugavam osta tervelt kui näiteks mitut tervet kooki ja pool kooki. Samuti on kohvi tervete tasside kaupa mugavam võtta kui näiteks mitut tervet tassi ja pool tassi.
Pange tähele, et paaritu jaoks xühegi all on võrdsust võimatu saavutada y. Siis väärtused x seal on järgmised numbrid 0, 2, 4, 6, 8. Ja teadmine x saab kergesti määrata y
Seega saime järgmised väärtuspaarid (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Need paarid on võrrandi 25 lahendid või juured x+ 10y= 200. Nad muudavad selle võrrandi identiteediks.
Tüüpvõrrand ax + by = c helistas kahe muutujaga lineaarvõrrand. Selle võrrandi lahendus või juured on väärtuste paar ( x; y), mis muudab selle identiteediks.
Pange tähele ka seda, et kui kahe muutujaga lineaarvõrrand on kirjutatud kujul ax + b y = c , siis nad ütlevad, et see on sisse kirjutatud kanooniline(tavaline) vorm.
Mõned lineaarvõrrandid kahes muutujas saab taandada kanooniliseks vormiks.
Näiteks võrrand 2(16x+ 3ja- 4) = 2(12 + 8x − y) võib meelde tuletada ax + by = c. Avame selle võrrandi mõlemas osas sulud, saame 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Tundmatuid sisaldavad terminid on koondatud võrrandi vasakule poole ja tundmatutest vabad terminid paremale. Siis saame 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Toome mõlemas osas sarnased terminid, saame võrrandi 16 x+ 8y= 32. See võrrand taandatakse kujule ax + by = c ja on kanooniline.
Varem vaadeldud võrrand 25 x+ 10y= 200 on ka kahe muutujaga lineaarvõrrand kanoonilisel kujul. Selles võrrandis on parameetrid a , b Ja c võrdub väärtustega vastavalt 25, 10 ja 200.
Tegelikult võrrand ax + by = c on lõpmatu arv lahendusi. Võrrandi lahendamine 25x+ 10y= 200, otsisime selle juuri ainult täisarvude hulgast. Selle tulemusena saime mitu väärtuspaari, mis muutsid selle võrrandi identiteediks. Aga ratsionaalarvude hulga võrrand 25 x+ 10y= 200 on lõpmatu arv lahendusi.
Uute väärtuspaaride saamiseks peate võtma suvalise väärtuse x, siis väljenda y. Näiteks võtame muutuja x väärtus 7. Siis saame ühe muutujaga võrrandi 25 × 7 + 10y= 200 milles väljendada y
Las olla x= 15. Siis võrrand 25x+ 10y= 200 saab 25 × 15 + 10y= 200. Siit leiame selle y = −17,5
Las olla x= –3 . Siis võrrand 25x+ 10y= 200 muutub 25 × (−3) + 10y= 200. Siit leiame selle y = −27,5
Kahe kahe muutujaga lineaarvõrrandi süsteem
Võrrandi jaoks ax + by = c võite võtta suvalise arvu suvalisi väärtusi x ja leida väärtusi y. Eraldi võttes on sellisel võrrandil lõpmatu arv lahendusi.
Kuid juhtub ka seda, et muutujad x Ja yühendatud mitte ühe, vaid kahe võrrandiga. Sel juhul moodustavad nad nn kahe muutujaga lineaarvõrrandi süsteem. Sellisel võrrandisüsteemil võib olla üks väärtuspaar (või teisisõnu: "üks lahendus").
Samuti võib juhtuda, et süsteemil puuduvad lahendused. Lineaarvõrrandisüsteemil võib harvadel ja erandjuhtudel olla lõpmatu arv lahendusi.
Kaks lineaarset võrrandit moodustavad süsteemi, kui väärtused x Ja y sisalduvad kõigis nendes võrrandites.
Läheme tagasi kõige esimese võrrandi 25 juurde x+ 10y= 200. Üks selle võrrandi väärtuste paaridest oli paar (6; 5) . Seda siis, kui 200 rubla eest sai osta 6 kooki ja 5 tassi kohvi.
Koostame ülesande nii, et paarist (6; 5) saab võrrandi 25 ainus lahendus x+ 10y= 200. Selleks koostame teise võrrandi, mis ühendaks sama x koogid ja y tassid kohvi.
Paneme ülesande teksti järgmiselt:
«Koolipoiss ostis 200 rubla eest mitu kooki ja mitu tassi kohvi. Kook maksab 25 rubla ja tass kohvi 10 rubla. Mitu kooki ja tassi kohvi ostis õpilane, kui on teada, et kooke on ühe võrra rohkem kui tassi kohvi?
Meil on juba esimene võrrand. See on võrrand 25 x+ 10y= 200. Nüüd kirjutame tingimuse võrrandi "kookide arv on ühe ühiku võrra rohkem kui tasside arv kohvi" .
Tortide arv on x, ja kohvitasside arv on y. Selle fraasi saate kirjutada võrrandi abil x − y= 1. See võrrand tähendaks, et kookide ja kohvi erinevus on 1.
x=y+ 1 . See võrrand tähendab, et kookide arv on ühe võrra suurem kui tasside arv kohvi. Seetõttu lisatakse võrdsuse saavutamiseks kohvitasside arvule üks. Seda saab hõlpsasti mõista, kui kasutame kaalumudelit, mida kaalusime kõige lihtsamate probleemide uurimisel:
Saime kaks võrrandit: 25 x+ 10y= 200 ja x=y+ 1. Kuna väärtused x Ja y, nimelt 6 ja 5 sisalduvad kõigis nendes võrrandites, siis moodustavad nad koos süsteemi. Paneme selle süsteemi kirja. Kui võrrandid moodustavad süsteemi, siis on need raamitud süsteemi märgiga. Süsteemimärk on lokkis sulg:
Lahendame selle süsteemi. See võimaldab meil näha, kuidas jõuame väärtusteni 6 ja 5. Selliste süsteemide lahendamiseks on palju meetodeid. Mõelge neist kõige populaarsematele.
Asendusmeetod
Selle meetodi nimi räägib enda eest. Selle olemus seisneb ühe võrrandi asendamises teisega, olles eelnevalt ühe muutuja väljendanud.
Meie süsteemis ei pea midagi väljendama. Teises võrrandis x = y+ 1 muutuja x juba väljendatud. See muutuja on võrdne avaldisega y+ 1 . Seejärel saate muutuja asemel asendada selle avaldise esimeses võrrandis x
Pärast väljendi asendamist y+ 1 asemel esimesse võrrandisse x, saame võrrandi 25(y+ 1) + 10y= 200 . See on ühe muutujaga lineaarne võrrand. Seda võrrandit on üsna lihtne lahendada:
Leidsime muutuja väärtuse y. Nüüd asendame selle väärtuse ühe võrrandiga ja leiame väärtuse x. Selleks on mugav kasutada teist võrrandit x = y+ 1 . Paneme sellesse väärtuse y
Seega on paar (6; 5) võrrandisüsteemi lahendus, nagu me kavatsesime. Kontrollime ja veendume, et paar (6; 5) vastab süsteemile:
Näide 2
Asendage esimene võrrand x= 2 + y teise võrrandisse 3 x - 2y= 9. Esimeses võrrandis muutuja x on võrdne avaldisega 2 + y. Selle asemel asendame selle avaldise teise võrrandiga x
Nüüd leiame väärtuse x. Selleks asendage väärtus y esimesse võrrandisse x= 2 + y
Seega on süsteemi lahenduseks paari väärtus (5; 3)
Näide 3. Lahendage asendusmeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:
Erinevalt eelmistest näidetest ei ole siin üks muutujatest selgesõnaliselt väljendatud.
Ühe võrrandi asendamiseks teisega peate esmalt .
Soovitav on väljendada muutujat, mille koefitsient on üks. Koefitsiendi ühikul on muutuja x, mis sisaldub esimeses võrrandis x+ 2y= 11. Väljendame seda muutujat.
Pärast muutuvat avaldist x, näeb meie süsteem välja selline:
Nüüd asendame esimese võrrandi teisega ja leiame väärtuse y
Asendaja y x
Seega on süsteemi lahenduseks väärtuste paar (3; 4)
Muidugi saab väljendada ka muutujat y. Juured ei muutu. Aga kui sa väljendad y, tulemuseks ei ole väga lihtne võrrand, mille lahendamine võtab rohkem aega. See näeb välja selline:
Näeme seda selles näites väljendada x palju mugavam kui väljendada y .
Näide 4. Lahendage asendusmeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:
Väljendage esimeses võrrandis x. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:
y
Asendaja y esimesse võrrandisse ja leidke x. Võite kasutada algset võrrandit 7 x+ 9y= 8 või kasutage võrrandit, milles muutuja on väljendatud x. Kasutame seda võrrandit, kuna see on mugav:
Seega on süsteemi lahenduseks väärtuste paar (5; −3)
Lisamise meetod
Liitmismeetodiks on süsteemis sisalduvate võrrandite liitmine termini haaval. Selle liitmise tulemuseks on uus ühe muutuja võrrand. Ja seda võrrandit on üsna lihtne lahendada.
Lahendame järgmise võrrandisüsteemi:
Lisage esimese võrrandi vasak pool teise võrrandi vasakpoolsele küljele. Ja esimese võrrandi parem pool teise võrrandi parema poolega. Saame järgmise võrdsuse:
Siin on sarnased terminid:
Selle tulemusena saime lihtsaima võrrandi 3 x= 27 mille juur on 9. Väärtuse teadmine x leiate väärtuse y. Asendage väärtus x teise võrrandisse x − y= 3. Saame 9 − y= 3. Siit y= 6 .
Seega on süsteemi lahenduseks väärtuste paar (9; 6)
Näide 2
Lisage esimese võrrandi vasak pool teise võrrandi vasakpoolsele küljele. Ja esimese võrrandi parem pool teise võrrandi parema poolega. Saadud võrdsuses esitame sarnased terminid:
Selle tulemusena saime lihtsaima võrrandi 5 x= 20, mille juur on 4. Väärtuse teadmine x leiate väärtuse y. Asendage väärtus x esimesse võrrandisse 2 x+y= 11. Võtame 8+ y= 11. Siit y= 3 .
Seega on süsteemi lahenduseks väärtuste paar (4;3)
Lisamisprotsessi pole üksikasjalikult kirjeldatud. Seda tuleb teha mõttes. Liitmisel tuleb mõlemad võrrandid taandada kanoonilisele kujule. See tähendab mõistusele ac+by=c .
Vaadeldavatest näidetest on näha, et võrrandite lisamise peamine eesmärk on vabaneda ühest muutujast. Kuid alati pole võimalik võrrandisüsteemi kohe liitmismeetodiga lahendada. Kõige sagedamini viiakse süsteem eelnevalt sellisele kujule, kus on võimalik selles süsteemis sisalduvad võrrandid liita.
Näiteks süsteem 
saab lahendada otse liitmismeetodiga. Mõlema võrrandi liitmisel terminid y Ja −y kaovad, sest nende summa on null. Selle tulemusena moodustub lihtsaim võrrand 11 x= 22 , mille juur on 2. Siis on võimalik määrata y võrdne 5-ga.
Ja võrrandisüsteem 
liitmismeetodit ei saa kohe lahendada, kuna see ei too kaasa ühe muutuja kadumist. Lisamise tulemuseks on võrrand 8 x+ y= 28 , millel on lõpmatu arv lahendeid.
Kui võrrandi mõlemad osad korrutada või jagada sama arvuga, mis ei ole võrdne nulliga, saadakse võrrand, mis on võrdne antud ühega. See reegel kehtib ka kahe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi puhul. Ühe võrrandi (või mõlema võrrandi) saab korrutada mõne arvuga. Tulemuseks on samaväärne süsteem, mille juured langevad kokku eelmisega.
Pöördume tagasi kõige esimese süsteemi juurde, mis kirjeldas, mitu kooki ja tassi kohvi õpilane ostis. Selle süsteemi lahendus oli väärtuste paar (6; 5) .
Korrutame mõlemad selles süsteemis olevad võrrandid mõne arvuga. Oletame, et korrutame esimese võrrandi 2-ga ja teise võrrandi 3-ga
Tulemuseks on süsteem 
Selle süsteemi lahendus on ikkagi väärtuste paar (6; 5)
See tähendab, et süsteemis olevaid võrrandeid saab taandada liitmismeetodi rakendamiseks sobivale kujule.
Tagasi süsteemi juurde , mida me ei saanud liitmismeetodiga lahendada.
Korrutage esimene võrrand 6-ga ja teine -2-ga
Siis saame järgmise süsteemi:
Lisame selles süsteemis sisalduvad võrrandid. Komponentide lisamine 12 x ja -12 x annab tulemuseks 0, lisandub 18 y ja 4 y annab 22 y, ning 108 ja −20 liitmine annab 88. Siis saad võrrandi 22 y= 88, seega y = 4 .
Kui algul on võrrandite lisamine mõttes raske, siis võid kirja panna, kuidas esimese võrrandi vasak pool liidetakse teise võrrandi vasaku poole ja esimese võrrandi parem külg võrrandi paremale poolele. teine võrrand:
Teades, et muutuja väärtus y on 4, leiate väärtuse x. Asendaja yühte võrrandisse, näiteks esimesse võrrandisse 2 x+ 3y= 18. Siis saame võrrandi ühe muutujaga 2 x+ 12 = 18 . Viime 12 paremale küljele, muutes märki, saame 2 x= 6, seega x = 3 .
Näide 4. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:
Korrutage teine võrrand -1-ga. Seejärel võtab süsteem järgmise vormi:
Lisame mõlemad võrrandid. Komponentide lisamine x Ja −x tulemuseks on 0, lisandub 5 y ja 3 y annab 8 y, ning 7 ja 1 liitmine annab 8. Tulemuseks on võrrand 8 y= 8 , mille juur on 1. Teades, et väärtus y on 1, leiate väärtuse x .
Asendaja y esimesse võrrandisse, saame x+ 5 = 7, seega x= 2
Näide 5. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:
Soovitav on, et samu muutujaid sisaldavad terminid paikneksid üksteise all. Seetõttu on teises võrrandis terminid 5 y ja −2 x kohta vahetada. Selle tulemusena on süsteem järgmisel kujul:
Korrutage teine võrrand 3-ga. Seejärel saab süsteem järgmise kuju:
Nüüd liidame mõlemad võrrandid. Liitmise tulemusena saame võrrandi 8 y= 16 , mille juur on 2.
Asendaja y esimesse võrrandisse saame 6 x− 14 = 40 . Viime termini −14 paremale poole, muutes märki, saame 6 x= 54 . Siit x= 9.
Näide 6. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:
Loobume murdudest. Korrutage esimene võrrand 36-ga ja teine 12-ga
Saadud süsteemis 
esimest võrrandit saab korrutada -5-ga ja teise võrrandiga 8
Lisame saadud süsteemi võrrandid. Siis saame lihtsaima võrrandi −13 y= –156 . Siit y= 12. Asendaja y esimesse võrrandisse ja leidke x
Näide 7. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:
Toome mõlemad võrrandid normaalkujule. Siin on mugav mõlemas võrrandis rakendada proportsioonireeglit. Kui esimeses võrrandis on parem külg ja teise võrrandi parem pool kui , siis on süsteem järgmine:
Meil on proportsioon. Korrutame selle äärmus- ja keskterminid. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:
Korrutame esimese võrrandi -3-ga ja avame teises sulud:
Nüüd liidame mõlemad võrrandid. Nende võrrandite liitmise tulemusena saame võrdsuse, mille mõlemas osas on null:
Selgub, et süsteemil on lõpmatu arv lahendusi.
Kuid me ei saa lihtsalt suvalisi väärtusi taevast võtta x Ja y. Saame määrata ühe väärtustest ja teine määratakse sõltuvalt meie määratud väärtusest. Näiteks lase x= 2. Asendage see väärtus süsteemis:
Ühe võrrandi lahendamise tulemusena tekib väärtus for y, mis rahuldab mõlemad võrrandid:
Saadud väärtuste paar (2; −2) rahuldab süsteemi:
Leiame veel ühe väärtuspaari. Las olla x= 4. Asendage see väärtus süsteemis:
Seda saab silma järgi kindlaks teha y võrdub nulliga. Seejärel saame väärtuste paari (4; 0), mis rahuldab meie süsteemi:
Näide 8. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:
Korrutage esimene võrrand 6-ga ja teine 12-ga
Kirjutame üle, mis üle jääb:
Korrutage esimene võrrand -1-ga. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:
Nüüd liidame mõlemad võrrandid. Liitmise tulemusena moodustub võrrand 6 b= 48 , mille juur on 8. Asendaja b esimesse võrrandisse ja leidke a
Kolme muutujaga lineaarvõrrandi süsteem
Kolme muutujaga lineaarvõrrand sisaldab kolme koefitsientidega muutujat ja lõikepunkti. Kanoonilises vormis saab selle kirjutada järgmiselt:
ax + by + cz = d
Sellel võrrandil on lõpmatu arv lahendeid. Andes kahele muutujale erineva väärtuse, saab leida kolmanda väärtuse. Lahenduseks on sel juhul väärtuste kolmik ( x; y; z), mis muudab võrrandi identiteediks.
Kui muutujad x, y, z on omavahel ühendatud kolme võrrandiga, siis moodustub kolmest lineaarsest võrrandist koosnev süsteem kolme muutujaga. Sellise süsteemi lahendamiseks saate rakendada samu meetodeid, mis kehtivad kahe muutujaga lineaarsete võrrandite puhul: asendusmeetod ja liitmismeetod.
Näide 1. Lahendage asendusmeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:
Avaldame kolmandas võrrandis x. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:
Nüüd teeme asendustööd. Muutuv x on võrdne väljendiga 3 − 2y − 2z . Asendage see avaldis esimeses ja teises võrrandis:
Avame mõlemas võrrandis sulud ja esitame sarnased terminid:
Oleme jõudnud kahe muutujaga lineaarsete võrrandite süsteemini. Sel juhul on mugav rakendada lisamismeetodit. Selle tulemusena muutuja y kaob ja leiame muutuja väärtuse z
Nüüd leiame väärtuse y. Selleks on mugav kasutada võrrandit − y+ z= 4. Asendage väärtus z
Nüüd leiame väärtuse x. Selleks on mugav kasutada võrrandit x= 3 − 2y − 2z . Asendage väärtused sellesse y Ja z
Seega on väärtuste kolmik (3; −2; 2) meie süsteemi lahendus. Kontrollides veendume, et need väärtused vastavad süsteemile:
Näide 2. Lahendage süsteem liitmismeetodil
Liidame esimese võrrandi teise võrrandiga, mis on korrutatud -2-ga.
Kui teine võrrand korrutada -2-ga, saab see kuju −6x+ 6ja- 4z = −4 . Nüüd lisage see esimesse võrrandisse:
Näeme, et elementaarteisenduste tulemusena määrati muutuja väärtus x. See on võrdne ühega.
Läheme tagasi põhisüsteemi juurde. Liidame teise võrrandi kolmandaga, mis on korrutatud -1-ga. Kui kolmas võrrand korrutada -1-ga, saab see kuju −4x + 5y − 2z = −1 . Nüüd lisage see teise võrrandisse:
Sain võrrandi x - 2y= −1. Asendage väärtus sellega x mille me varem leidsime. Siis saame väärtuse määrata y
Nüüd teame väärtusi x Ja y. See võimaldab teil määrata väärtuse z. Kasutame üht süsteemis sisalduvatest võrranditest:
Seega on väärtuste kolmik (1; 1; 1) meie süsteemi lahendus. Kontrollides veendume, et need väärtused vastavad süsteemile:
Lineaarvõrrandisüsteemide koostamise ülesanded
Võrrandisüsteemide koostamise ülesanne lahendatakse mitme muutuja sisseviimisega. Järgmiseks koostatakse võrrandid lähtudes ülesande tingimustest. Koostatud võrranditest moodustavad nad süsteemi ja lahendavad selle. Pärast süsteemi lahendamist tuleb kontrollida, kas selle lahendus vastab probleemi tingimustele.
1. ülesanne. Sõiduauto Volga lahkus linnast kolhoosi. Ta pöördus tagasi mööda teist teed, mis oli 5 km lühem kui esimene. Kokku sõitis auto mõlemale poole 35 km. Mitu kilomeetrit on iga tee pikk?
Lahendus
Las olla x- esimese tee pikkus, y- teise pikkus. Kui auto sõitis mõlemale poole 35 km, siis võib esimese võrrandi kirjutada järgmiselt x+ y= 35. See võrrand kirjeldab mõlema tee pikkuste summat.
Väidetavalt pöördus auto tagasi mööda teed, mis oli esimesest 5 km lühem. Siis saab teise võrrandi kirjutada kujul x− y= 5. See võrrand näitab, et teede pikkuste vahe on 5 km.
Või võib teise võrrandi kirjutada kui x= y+ 5 . Me kasutame seda võrrandit.
Kuna muutujad x Ja y mõlemas võrrandis tähistavad sama numbrit, siis saame neist moodustada süsteemi:
Lahendame selle süsteemi ühe eelnevalt uuritud meetodi abil. Sel juhul on mugav kasutada asendusmeetodit, kuna teises võrrandis on muutuja x juba väljendatud.
Asendage teine võrrand esimesega ja leidke y
Asendage leitud väärtus y teise võrrandisse x= y+ 5 ja leia x
Esimese tee pikkust tähistati muutujaga x. Nüüd oleme leidnud selle tähenduse. Muutuv x on 20. Seega on esimese tee pikkus 20 km.
Ja teise tee pikkust näitas y. Selle muutuja väärtus on 15. Seega on teise tee pikkus 15 km.
Teeme kontrolli. Esmalt veendume, et süsteem on õigesti lahendatud:
Nüüd kontrollime, kas lahendus (20; 15) vastab ülesande tingimustele.
Räägiti, et kokku sõitis auto mõlemale poole 35 km. Liidame mõlema tee pikkused kokku ja veendume, et lahendus (20; 15) vastab sellele tingimusele: 20 km + 15 km = 35 km
Järgmine tingimus: auto naasis tagasi mööda teist teed, mis oli esimesest 5 km lühem . Näeme, et lahendus (20; 15) vastab ka sellele tingimusele, kuna 15 km on lühem kui 20 km 5 km võrra: 20 km − 15 km = 5 km
Süsteemi koostamisel on oluline, et muutujad tähistaksid kõigis selles süsteemis sisalduvates võrrandites samu numbreid.
Seega sisaldab meie süsteem kahte võrrandit. Need võrrandid sisaldavad omakorda muutujaid x Ja y, mis tähistavad mõlemas võrrandis samu numbreid, nimelt teede pikkusi 20 km ja 15 km.
2. ülesanne. Platvormile laaditi tamme- ja männipuidust liiprid, kokku 300 liiprit. Teadaolevalt kaalusid kõik tammeliiprid 1 tonni vähem kui kõik männipuidust liiprid. Tehke kindlaks, mitu tamme- ja männiliiprit oli eraldi, kui iga tammeliipri kaal oli 46 kg ja iga männiliips 28 kg.
Lahendus
Las olla x tamm ja y platvormile laaditi männi liiprid. Kui liipriid oli kokku 300, siis võib esimese võrrandi kirjutada järgmiselt x+y = 300 .
Kõik tammepuidust liiprid kaalusid 46 x kg ja mänd kaalus 28 y kg. Kuna tammeliiprid kaalusid 1 tonni vähem kui männipuidust liiprid, võib teise võrrandi kirjutada järgmiselt. 28ja- 46x= 1000 . See võrrand näitab, et tamme- ja männipuidust liiprite massivahe on 1000 kg.
Tonnid on ümber arvestatud kilogrammideks, sest tamme- ja männipuidust liiprite massi mõõdetakse kilogrammides.
Selle tulemusena saame kaks võrrandit, mis moodustavad süsteemi
Lahendame selle süsteemi. Väljendage esimeses võrrandis x. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:
Asendage esimene võrrand teisega ja leidke y
Asendaja y võrrandisse x= 300 − y ja uuri, mida x
See tähendab, et platvormile laaditi 100 tamme- ja 200 männipuidust liiprit.
Kontrollime, kas lahendus (100; 200) vastab ülesande tingimustele. Esmalt veendume, et süsteem on õigesti lahendatud:
Öeldi, et kokku oli 300 magajat. Liidame kokku tamme ja männi liiprite arvud ja veendume, et lahendus (100; 200) vastab sellele tingimusele: 100 + 200 = 300.
Järgmine tingimus: kõik tammest liiprid kaalusid 1 tonni vähem kui kõik männid . Näeme, et lahendus (100; 200) vastab ka sellele tingimusele, kuna 46 × 100 kg tammeliiprid on kergemad kui 28 × 200 kg männipuidust liiprid: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.
3. ülesanne. Võtsime kolm tükki vase ja nikli sulamit massi vahekorras 2:1, 3:1 ja 5:1. Neist 12 kg kaaluv tükk sulatati vase ja nikli suhtega 4: 1. Leidke iga algse tüki mass, kui neist esimese mass on kaks korda suurem kui teise mass.
Analüüsime kahte tüüpi võrrandisüsteemide lahendamist:
1. Süsteemi lahendamine asendusmeetodil.
2. Süsteemi lahendamine süsteemi võrrandite liigendite kaupa liitmise (lahutamise) teel.
Selleks, et lahendada võrrandisüsteem asendusmeetod peate järgima lihtsat algoritmi:
1. Me väljendame. Mis tahes võrrandist väljendame ühte muutujat.
2. Asendus. Asendame väljendatud muutuja asemel teise võrrandiga saadud väärtuse.
3. Lahendame saadud võrrandi ühe muutujaga. Leiame süsteemile lahenduse.
Lahendada süsteem termini kaupa liitmise (lahutamise) teel vajalik:
1. Vali muutuja, millele teeme samad koefitsiendid.
2. Liidame või lahutame võrrandid, mille tulemusena saame ühe muutujaga võrrandi.
3. Lahendame saadud lineaarvõrrandi. Leiame süsteemile lahenduse.
Süsteemi lahenduseks on funktsiooni graafikute lõikepunktid.
Vaatleme üksikasjalikult näidete abil süsteemide lahendust.
Näide nr 1:
Lahendame asendusmeetodil
Võrrandisüsteemi lahendamine asendusmeetodil2x+5y=1 (1 võrrand)
x-10y = 3 (2. võrrand)
1. Ekspress
On näha, et teises võrrandis on muutuja x koefitsiendiga 1, seega selgub, et muutujat x on kõige lihtsam väljendada teisest võrrandist.
x=3+10 a
2. Pärast väljendamist asendame esimeses võrrandis muutuja x asemel 3 + 10y.
2(3+10a)+5a=1
3. Lahendame saadud võrrandi ühe muutujaga.
2 (3 + 10 a) + 5 a = 1 (avatud sulud)
6+20a+5a=1
25a = 1-6
25 a = -5 |: (25)
y = -5:25
y = -0,2
Võrrandisüsteemi lahenduseks on graafikute lõikepunktid, seepärast tuleb leida x ja y, kuna lõikepunkt koosneb x-st ja y-st.Leiame x, esimeses lõigus, kus väljendasime, asendame seal y.
x=3+10 a
x=3+10*(-0,2)=1
Tavapäraselt kirjutatakse esimesele kohale punktid, muutuja x ja teiseks muutuja y.
Vastus: (1; -0,2)
Näide nr 2:
Lahendame termini kaupa liitmise (lahutamise) teel.
Võrrandisüsteemi lahendamine liitmismeetodil3x-2y=1 (1 võrrand)
2x-3y = -10 (2. võrrand)
1. Valige muutuja, oletame, et valime x. Esimeses võrrandis on muutuja x koefitsient 3, teises - 2. Peame muutma koefitsiendid samaks, selleks on meil õigus võrrandid korrutada või jagada mis tahes arvuga. Korrutame esimese võrrandi 2-ga ja teise 3-ga ning saame kogukoefitsiendi 6.
3x-2a=1 |*2
6x-4a = 2
2x-3a = -10 |*3
6x-9a = -30
2. Esimesest võrrandist lahutage teine, et vabaneda muutujast x. Lahendage lineaarvõrrand.
__6x-4a = 2
5a=32 | : viis
y = 6,4
3. Leidke x. Asendame leitud y mis tahes võrrandis, oletame, et esimeses võrrandis.
3x-2a = 1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6
Lõikepunkt on x=4,6; y = 6,4
Vastus: (4,6; 6,4)
Kas soovite eksamiteks valmistuda tasuta? Juhendaja võrgus on vaba. Ilma naljata.
Vaatleme esmalt juhtumit, kui võrrandite arv on võrdne muutujate arvuga, s.t. m = n. Siis on süsteemi maatriks ruut ja selle determinanti nimetatakse süsteemi determinandiks.
Pöördmaatriksmeetod
Vaatleme üldistatult võrrandisüsteemi AX = B mitteainsuse ruutmaatriksiga A. Sel juhul on pöördmaatriks A -1 . Korrutame mõlemad pooled vasakul oleva A -1-ga. Saame A -1 AX \u003d A -1 B. Siit EX \u003d A -1 B ja
Viimane võrdus on sellistele võrrandisüsteemidele lahenduste leidmiseks maatriksvalem. Selle valemi kasutamist nimetatakse pöördmaatriksmeetodiks
Näiteks kasutame seda meetodit järgmise süsteemi lahendamiseks:
;
Süsteemi lahenduse lõpus saab kontrollida, asendades leitud väärtused süsteemi võrranditesse. Sel juhul peavad need muutuma tõelisteks võrdsusteks.
Selle näite puhul kontrollime:
Ruutmaatriksiga lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise meetod Crameri valemite abil
Olgu n=2:
Kui esimese võrrandi mõlemad osad korrutada 22-ga ja teise mõlemad osad (-a 12) ja seejärel saadud võrrandid liita, siis jätame muutuja x 2 süsteemist välja. Samamoodi saate elimineerida muutuja x 1 (korrutades esimese võrrandi mõlemad pooled (-a 21) ja teise võrrandi mõlemad pooled 11-ga). Selle tulemusena saame süsteemi:
Sulgudes olev avaldis on süsteemi determinant
Tähistage
Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:
Saadud süsteemist järeldub, et kui süsteemi determinant on 0, siis on süsteem järjepidev ja kindel. Selle ainulaadse lahenduse saab arvutada järgmiste valemitega:
Kui = 0, a 1 0 ja/või 2 0, siis on süsteemi võrrandid kujul 0*х 1 = 2 ja/või 0*х 1 = 2. Sel juhul on süsteem ebaühtlane.
Juhul, kui = 1 = 2 = 0, on süsteem järjekindel ja määramatu (sellel on lõpmatu arv lahendeid), kuna see võtab kuju:
Crameri teoreem(jätame tõestuse välja). Kui võrrandisüsteemi n maatriksi determinant ei ole võrdne nulliga, on süsteemil kordumatu lahendus, mis määratakse valemitega:
,
kus j on maatriksi determinant, mis on saadud maatriksist A, asendades j-nda veeru vabade liikmete veeruga.
Ülaltoodud valemeid nimetatakse Crameri valemid.
Näiteks kasutame seda meetodit süsteemi lahendamiseks, mis oli varem lahendatud pöördmaatriksmeetodi abil:
Vaadeldavate meetodite puudused:
1) oluline keerukus (determinantide arvutamine ja pöördmaatriksi leidmine);
2) piiratud ulatus (ruutmaatriksiga süsteemide jaoks).
Reaalseid majandusolukordi modelleerivad sageli süsteemid, milles võrrandite ja muutujate arv on küllaltki märkimisväärne ning võrrandeid on rohkem kui muutujaid Seetõttu on praktikas levinum järgmine meetod.
Gaussi meetod (muutujate järjestikuse kõrvaldamise meetod)
Seda meetodit kasutatakse n muutujaga m lineaarvõrrandi süsteemi üldiseks lahendamiseks. Selle olemus seisneb selles, et laiendatud maatriksile rakendatakse samaväärsete teisenduste süsteemi, mille abil võrrandisüsteem teisendatakse sellisele kujule, kui selle lahendused on kergesti leitavad (kui neid on).
See on selline vaade, kus süsteemimaatriksi ülemine vasak osa on astmeline maatriks. See saavutatakse samade tehnikate abil, mida kasutati astmelise maatriksi saamiseks auastme määramiseks. Sel juhul rakendatakse laiendatud maatriksile elementaarteisendusi, mis võimaldavad saada samaväärse võrrandisüsteemi. Pärast seda on suurendatud maatriks järgmine:
Sellise maatriksi saamist nimetatakse sirgjoonel Gaussi meetod.
Nimetatakse muutujate väärtuste leidmine vastavast võrrandisüsteemist tagurpidi Gaussi meetod. Mõelgem sellele.
Pange tähele, et viimased (m – r) võrrandid on järgmisel kujul:
Kui vähemalt üks numbritest 
ei ole võrdne nulliga, siis on vastav võrdsus väär ja kogu süsteem on ebaühtlane.
Seetõttu iga liigeste süsteemi jaoks 
. Sel juhul on muutujate mis tahes väärtuste viimased (m – r) võrrandid identiteedid 0 = 0 ja neid saab süsteemi lahendamisel ignoreerida (lihtsalt visake ära vastavad read).
Pärast seda näeb süsteem välja järgmine:
Mõelge esmalt juhtumile, kui r = n. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:
Süsteemi viimasest võrrandist võib üheselt leida x r .
Teades x r , saab sellest üheselt väljendada x r -1. Siis saame eelmisest võrrandist, teades x r ja x r -1 , väljendada x r -2 ja nii edasi. kuni x 1.
Seega on sel juhul süsteem koostööpõhine ja kindel.
Mõelge nüüd juhtumile, kui r
Sellest võrrandist saame põhimuutujat x r väljendada mittepõhimuutujate kaudu:
Eelviimane võrrand näeb välja selline:
Asendades saadud avaldise x r asemel, on võimalik põhimuutujat x r -1 väljendada mittepõhimuutujate kaudu. Jne. muutujale x 1 . Süsteemi lahenduse saamiseks saate mittepõhimuutujad võrdsustada suvaliste väärtustega ja seejärel arvutada saadud valemite abil põhimuutujad. Seega on sel juhul süsteem järjekindel ja määramatu (sellel on lõpmatu arv lahendusi).
Näiteks lahendame võrrandisüsteemi:
Kutsutakse välja põhimuutujate komplekt alus süsteemid. Nimetatakse ka nende koefitsientide veergude komplekt alus(põhiveerud) või põhimoll süsteemsed maatriksid. Kutsutakse välja see süsteemi lahendus, kus kõik mittepõhimuutujad on võrdsed nulliga põhilahendus.
Eelmises näites on põhilahendus (4/5; -17/5; 0; 0) (muutujad x 3 ja x 4 (c 1 ja c 2) on seatud nulliks ning põhimuutujad x 1 ja x 2 arvutatakse nende kaudu) . Mittepõhilahenduse näite toomiseks on vaja võrdsustada x 3 ja x 4 (c 1 ja c 2) suvaliste arvudega, mis ei ole samal ajal võrdsed nulliga, ning arvutada ülejäänud muutujad läbi neid. Näiteks kui c 1 = 1 ja c 2 = 0, saame mittepõhilise lahendi - (4/5; -12/5; 1; 0). Asenduse abil on lihtne kontrollida, kas mõlemad lahendused on õiged.
Ilmselgelt võib ebapõhiliste lahenduste määramatus süsteemis olla lõpmatu arv lahendusi. Mitu põhilahendust saab olla? Iga teisendatud maatriksi rida peab vastama ühele põhimuutujale. Kokku on ülesandes n muutujat ja r põhirida. Seetõttu ei saa põhimuutujate võimalike komplektide arv ületada kombinatsioonide arvu n-st 2-ni. See võib olla väiksem kui 
, sest alati ei ole võimalik süsteemi sellisele kujule teisendada, et see konkreetne muutujate hulk oleks aluseks.
Mis sorti see on? See on selline vorm, kus nende muutujate koefitsientide veergudest moodustatud maatriks on astmeline ja koosneb sel juhul ridadest. Need. nende muutujate koefitsientide maatriksi auaste peab olema võrdne r-ga. See ei saa olla suurem, kuna veergude arv on võrdne r-ga. Kui see osutub väiksemaks kui r, näitab see muutujatega veergude lineaarset sõltuvust. Sellised veerud ei saa olla aluseks.
Mõelgem, milliseid muid põhilahendusi võib ülaltoodud näites leida. Selleks kaaluge kõiki võimalikke nelja muutuja kombinatsioone kahe põhimuutujaga. Sellised kombinatsioonid saavad 
, ja ühte neist (x 1 ja x 2) on juba arvestatud.
Võtame muutujad x 1 ja x 3 . Leidke nende jaoks koefitsientide maatriksi auaste:
Kuna see on võrdne kahega, võivad need olla põhilised. Võrdlustame mittepõhimuutujad x 2 ja x 4 nulliga: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Siis valemist x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 järeldub, et x 1 \u003d 4/5 ja valemist x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 järeldub, et x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Seega saame põhilahenduse (4/5; 0; 17/5; 0).
Samamoodi saate põhilahendused põhimuutujatele x 1 ja x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 ja x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 ja x 4 - (0; 0; 9; 4).
Selle näite muutujaid x 2 ja x 3 ei saa võtta põhilistena, kuna vastava maatriksi auaste on võrdne ühega, s.o. vähem kui kaks:
.
Teine lähenemisviis on võimalik kindlaks teha, kas mõne muutuja põhjal on võimalik alust moodustada või mitte. Näite lahendamisel võttis see süsteemimaatriksi astmeliseks vormiks teisendamise tulemusena järgmise kuju:
Valides muutujapaare, oli võimalik arvutada selle maatriksi vastavad minoorsed. On lihtne näha, et kõigi paaride puhul, välja arvatud x 2 ja x 3, ei ole need võrdsed nulliga, s.t. veerud on lineaarselt sõltumatud. Ja ainult muutujatega x 2 ja x 3 veergude puhul 
, mis näitab nende lineaarset sõltuvust.
Vaatleme veel ühte näidet. Lahendame võrrandisüsteemi
Seega on viimase maatriksi kolmandale reale vastav võrrand ebajärjekindel - see tõi kaasa vale võrdsuse 0 = -1, seetõttu on see süsteem ebajärjekindel.
Jordani-Gaussi meetod 3 on Gaussi meetodi edasiarendus. Selle olemus seisneb selles, et süsteemi laiendatud maatriks teisendatakse kujule, kui muutujate koefitsiendid moodustavad identiteedimaatriksi kuni ridade või veergude permutatsioonini 4 (kus on süsteemimaatriksi auaste).
Lahendame süsteemi selle meetodi abil:
Mõelge süsteemi suurendatud maatriksile:
Selles maatriksis valime identiteedielemendi. Näiteks koefitsient x 2 kolmandas piirangus on 5. Jälgime, et selle veeru ülejäänud ridadel oleks nullid, st. muuta veerg üheks. Muutuste protsessis nimetame seda veerglubav(juht, võti). Kolmas piirang (kolmas string) kutsutakse ka lubav. mina ise element, mis seisab lubava rea ja veeru ristumiskohas (siin on see ühik), nimetatakse ka lubav.
Esimene rida sisaldab nüüd koefitsienti (-1). Selle asemele nulli saamiseks korrutage kolmas rida (-1) ja lahutage tulemus esimesest reast (st lisage lihtsalt esimene rida kolmandale).
Teine rida sisaldab koefitsienti 2. Selle asemele nulli saamiseks korrutage kolmas rida 2-ga ja lahutage tulemus esimesest reast.
Teisenduste tulemus näeb välja selline:
See maatriks näitab selgelt, et ühe kahest esimesest piirangust saab kustutada (vastavad read on proportsionaalsed, st need võrrandid tulenevad üksteisest). Tõmbame teise maha:
Seega on uues süsteemis kaks võrrandit. Vastu võetakse üks veerg (teine) ja siinne ühik asub teises reas. Pidagem meeles, et põhimuutuja x 2 vastab uue süsteemi teisele võrrandile.
Valime esimese rea jaoks põhimuutuja. See võib olla mis tahes muutuja, välja arvatud x 3 (kuna x 3 korral on esimesel piirangul nullkoefitsient, st muutujate hulk x 2 ja x 3 ei saa siin olla põhiline). Võite võtta esimese või neljanda muutuja.
Valime x 1. Siis on lahutuselemendiks 5 ja lahutava võrrandi mõlemad pooled tuleb jagada viiega, et saada üks esimese rea esimesse veergu.
Veenduge, et ülejäänud ridades (st teises reas) oleks esimeses veerus nullid. Kuna nüüd ei ole teine rida null, vaid 3, tuleb teisest reast lahutada teisendatud esimese rea elemendid, mis on korrutatud 3-ga:
Saadud maatriksist saab otse eraldada ühe põhilahenduse, võrdsustades mittepõhimuutujad nulliga ja põhimuutujad vabade liikmetega vastavates võrrandites: (0,8; -3,4; 0; 0). Samuti saate tuletada üldvalemid, mis väljendavad põhimuutujaid mittepõhimuutujate kaudu: x 1 \u003d 0,8 - 1,2 x 4; x 2 \u003d -3,4 + x 3 + 1,6 x 4. Need valemid kirjeldavad kogu süsteemi lõpmatut lahenduste hulka (võrdstades x 3 ja x 4 suvaliste arvudega, saate arvutada x 1 ja x 2).
Pange tähele, et teisenduste olemus Jordani-Gaussi meetodi igas etapis oli järgmine:
1) lubav string jagati lubava elemendiga, et saada selle asemele ühik,
2) kõigist teistest ridadest lahutati teisendatud lahutusvõimsus korrutatud elemendiga, mis oli antud reas lahutusveerus, et saada selle elemendi asemele null.
Vaatleme veel kord süsteemi teisendatud liitmaatriksit:
Sellest kirjest on näha, et süsteemi A maatriksi auaste on r.
Eeltoodud arutluskäigu käigus oleme kindlaks teinud, et süsteem on järjepidev siis ja ainult siis 
. See tähendab, et süsteemi suurendatud maatriks näeb välja järgmine:
Kui jätta kõrvale null read, saame, et süsteemi laiendatud maatriksi auaste on samuti võrdne r-ga.
Kroneckeri-Capelli teoreem. Lineaarvõrrandisüsteem on järjekindel siis ja ainult siis, kui süsteemi maatriksi aste on võrdne selle süsteemi laiendatud maatriksi astmega.
Tuletame meelde, et maatriksi auaste on võrdne selle lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalse arvuga. Siit järeldub, et kui laiendatud maatriksi aste on võrrandite arvust väiksem, siis on süsteemi võrrandid lineaarselt sõltuvad ja ühe või mitu neist saab süsteemist välja jätta (kuna need on lineaarsed teiste kombinatsioon). Võrrandisüsteem on lineaarselt sõltumatu ainult siis, kui laiendatud maatriksi auaste on võrdne võrrandite arvuga.
Veelgi enam, järjekindlate lineaarvõrrandisüsteemide puhul võib väita, et kui maatriksi aste on võrdne muutujate arvuga, siis on süsteemil ainulaadne lahendus ja kui see on väiksem kui muutujate arv, siis süsteem on määramatu ja sellel on lõpmatult palju lahendusi.
1Oletame näiteks, et maatriksis on viis rida (algne ridade järjekord on 12345). Peame muutma teist rida ja viiendat. Selleks, et teine rida viienda asemele langeks, alla “liikumiseks”, muudame järjestikku kolm korda külgnevaid ridu: teist ja kolmandat (13245), teist ja neljandat (13425) ning teist ja viiendat. (13452). Seejärel, et viies rida võtaks algses maatriksis teise koha, on vaja viiendat rida ülespoole “nihutada” vaid kahe järjestikuse muudatuse võrra: viies ja neljas rida (13542) ning viies ja kolmas rida. (15342).
2 Kombinatsioonide arv n-st r-ni 
nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi erinevate r-elemendiliste alamhulkade arvu (erinevad hulgad on need, millel on erinev elementide koostis, valiku järjekord pole oluline). See arvutatakse järgmise valemiga: 
. Tuletage meelde märgi "!" (faktoriaalne): 
0!=1.)
3Kuna see meetod on tavalisem kui varem käsitletud Gaussi meetod ja sisuliselt on Gaussi päri- ja tagurpidi meetodi kombinatsioon, nimetatakse seda mõnikord ka Gaussi meetodiks, jättes nime esimese osa välja.
4 Näiteks 
.
5Kui süsteemi maatriksis poleks ühikuid, siis oleks võimalik näiteks esimese võrrandi mõlemad osad jagada kahega ja siis saaks esimesest koefitsiendist ühik; või muud taolist.
Selle matemaatilise programmiga saate asendusmeetodi ja liitmismeetodi abil lahendada kahe muutujaga lineaarvõrrandi süsteemi.
Programm mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid pakub ka üksikasjalikku lahendust koos lahendusetappide selgitustega kahel viisil: asendusmeetodil ja liitmismeetodil.
See programm võib olla kasulik gümnaasiumiõpilastele katseteks ja eksamiteks valmistumisel, teadmiste kontrollimisel enne ühtset riigieksamit, vanematele paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamise kontrollimiseks. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt matemaatika või algebra kodutöö võimalikult kiiresti valmis saada? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjaliku lahendusega.
Nii saate läbi viia enda ja/või nooremate vendade või õdede koolitusi, samal ajal tõstetakse lahendatavate ülesannete valdkonna haridustaset.
Võrrandite sisestamise reeglid
Muutujana võib toimida mis tahes ladina täht.
Näiteks: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) jne.
Võrrandite sisestamisel võite kasutada sulgusid. Sel juhul on võrrandid esmalt lihtsustatud. Võrrandid pärast lihtsustusi peavad olema lineaarsed, st. kujul ax+by+c=0 elementide järjekorra täpsusega.
Näiteks: 6x+1 = 5(x+y)+2
Võrrandites saate kasutada mitte ainult täisarve, vaid ka murdarvusid kümnend- ja tavaliste murdude kujul.
Kümnendmurdude sisestamise reeglid.
Täis- ja murdosa kümnendmurdudes saab eraldada kas punkti või komaga.
Näiteks: 2,1n + 3,5m = 55
Harilike murdude sisestamise reeglid.
Murru lugeja, nimetaja ja täisarvuna saab toimida ainult täisarv.
Nimetaja ei saa olla negatiivne.
Numbrimurru sisestamisel eraldatakse lugeja nimetajast jagamismärgiga: /
Täisarvu osa eraldatakse murdosast ampersandiga: &
Näited.
-1 ja 2/3 a + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)
Lahenda võrrandisüsteem
Leiti, et mõnda selle ülesande lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.
Lahenduse ilmumiseks peab JavaScript olema lubatud.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.
Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on järjekorras.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...
Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saad sellest kirjutada Tagasisidevormi .
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.
Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:
Natuke teooriat.
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine. Asendusmeetod
Toimingute jada lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel asendusmeetodiga:
1) väljendab süsteemi mõnest võrrandist üht muutujat teise võrrandi kaudu;
2) asendada saadud avaldis selle muutuja asemel mõnes teises süsteemi võrrandis;
$$ \left\( \begin(massiivi)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(massiivi) \right. $$
Avaldame esimesest võrrandist y kuni x: y = 7-3x. Asendades teise võrrandi y asemel avaldise 7-3x, saame süsteemi:
$$ \left\( \begin(massiivi)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(massiivi) \right. $$
Lihtne on näidata, et esimesel ja teisel süsteemil on samad lahendused. Teises süsteemis sisaldab teine võrrand ainult ühte muutujat. Lahendame selle võrrandi:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Paremnool -5x+14-6x=3 \Paremnool -11x=-11 \Paremnool x=1 $$
Asendades võrrandis y=7-3x numbri x asemel arvu 1, leiame y vastava väärtuse:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Paremnool y=4 $$
Paar (1;4) - süsteemi lahendus
Nimetatakse kahe muutuja võrrandisüsteeme, millel on samad lahendid samaväärne. Samaväärseteks peetakse ka süsteeme, millel pole lahendusi.
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine liitmise teel
Kaaluge teist võimalust lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks - liitmismeetodit. Süsteeme sel viisil lahendades, samuti asendusmeetodil lahendades läheme antud süsteemist üle teise sellega samaväärsesse süsteemi, milles üks võrranditest sisaldab ainult ühte muutujat.
Toimingute jada lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel liitmismeetodiga:
1) korrutada süsteemi võrrandid liikme kaupa, valides tegurid nii, et ühe muutuja koefitsiendid muutuvad vastandarvudeks;
2) liita termini haaval süsteemi võrrandite vasak ja parem osa;
3) lahendab saadud võrrandi ühe muutujaga;
4) leida teise muutuja vastav väärtus.
Näide. Lahendame võrrandisüsteemi:
$$ \left\( \begin(massiivi)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(massiivi) \right. $$
Selle süsteemi võrrandites on y koefitsiendid vastandarvud. Liites termini haaval võrrandi vasak ja parem osa, saame võrrandi ühe muutujaga 3x=33. Asendame süsteemi ühe võrrandi, näiteks esimese võrrandiga 3x=33. Tutvume süsteemiga
$$ \left\( \begin(massiiv)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(massiivi) \right. $$
Võrrandist 3x=33 leiame, et x=11. Asendades selle x väärtuse võrrandis \(x-3y=38 \), saame võrrandi muutujaga y: \(11-3y=38 \). Lahendame selle võrrandi:
\(-3y=27 \Paremnool y=-9 \)
Seega leidsime võrrandisüsteemi lahenduse, lisades: \(x=11; y=-9 \) või \((11; -9) \)
Kasutades ära asjaolu, et süsteemi võrrandites on y koefitsiendid vastandarvud, taandasime selle lahendi samaväärse süsteemi lahendiks (summeerides iga algsümmeemi võrrandi mõlemad osad), milles üks võrranditest sisaldab ainult ühte muutujat.
Raamatud (õpikud) Ühtse riigieksami ja OGE testide kokkuvõtted võrgus Mängud, mõistatused Funktsioonide graafik Vene keele õigekirjasõnastik Noorte slängi sõnastik Vene koolide kataloog Venemaa keskkoolide kataloog Venemaa ülikoolide kataloog Venemaa ülikoolide kataloog Ülesannete loetelu
