ov, kõigepealt peate mõistma sellist mõistet nagu vektori edasilükkamine antud punktist.

Definitsioon 1

Kui punkt $A$ on mingi vektori $\overrightarrow(a)$ algus, siis öeldakse, et vektor $\overrightarrow(a)$ on punktist $A$ eraldatud (joonis 1).

Joonis 1. $\overrightarrow(a)$ joonistatud punktist $A$

Tutvustame järgmist teoreemi:

1. teoreem

Igast punktist $K$ saab joonistada vektori $\overrightarrow(a)$ ja ainult ühe.

Tõestus.

Olemasolu: Siin tuleb arvestada kahe juhtumiga:

Vektor $\overrightarrow(a)$ on null.

Sel juhul on ilmne, et soovitud vektoriks on vektor $\overrightarrow(KK)$.

Vektor $\overrightarrow(a)$ on nullist erinev.

Olgu punkt $A$ tähistab vektori $\overrightarrow(a)$ algust ja punkt $B$ vektori $\overrightarrow(a)$ lõppu. Joonistame vektoriga $\overrightarrow(a)$ paralleelse sirge $b$ läbi punkti $K$. Joonistame sellele sirgele lõigud $\left|KL\right|=|AB|$ ja $\left|KM\right|=|AB|$. Vaatleme vektoreid $\overrightarrow(KL)$ ja $\overrightarrow(KM)$. Nendest kahest vektorist on soovitud vektor, mis suunatakse koos vektoriga $\overrightarrow(a)$ (joonis 2)

Joonis 2. 1. teoreemi illustratsioon

Unikaalsus: ainulaadsus tuleneb kohe alajaotises "olemasolu" teostatud konstruktsioonist.

Teoreem on tõestatud.

Vektorite lahutamine. Esimene reegel

Olgu meile antud vektorid $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$.

2. definitsioon

Kahe vektori $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ erinevus on vektor $\overrightarrow(c)$, mis lisamisel vektorile $\overrightarrow(b)$ annab vektori $\ overrightarrow(a)$ , see tähendab

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]

Määramine:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.

Vaatleme kahe vektori erinevuse konstrueerimist ülesande abil.

Näide 1

Olgu antud vektorid $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$. Koostage vektor $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.

Lahendus.

Koostame suvalise punkti $O$ ja joonistame sellest vektorid $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$. Ühendades punkti $B$ punktiga $A$, saame vektori $\overrightarrow(BA)$ (joonis 3).

Joonis 3. Kahe vektori erinevus

Kahe vektori summa koostamise kolmnurga reegli järgi näeme seda

\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]

Definitsioonist 2 saame selle

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]

Vastus:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.

Sellest ülesandest saame järgmise reegli kahe vektori erinevuse leidmiseks. Et leida erinevust $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, peame suvalisest punktist $O$ kõrvale jätma vektorid $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow( OB)=\overrightarrow(b )$ ja ühenda teise vektori lõpp esimese vektori lõpuga.

Vektorite lahutamine. Reegel kaks

Tuletage meelde järgmist mõistet, mida vajame.

3. määratlus

Vektorit $\overrightarrow(a_1)$ nimetatakse suvaliseks vektori $\overrightarrow(a)$ jaoks, kui need vektorid on vastassuunalised ja on sama pikkusega.

Määramine: Vektor $(-\overrightarrow(a))$ on vastupidine vektorile $\overrightarrow(a)$.

Kahe vektori erinevuse teise reegli juurutamiseks peame esmalt tutvustama ja tõestama järgmise teoreemi.

2. teoreem

Mis tahes kahe vektori $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ puhul kehtib järgmine võrdsus:

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]

Tõestus.

Definitsiooni 2 järgi on meil

Lisage mõlemale osale vektor $\left(-\overrightarrow(b)\right)$, saame

Kuna vektorid $\overrightarrow(b)$ ja $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ on vastandlikud, siis $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ ülenool (0)$. Meil on

Teoreem on tõestatud.

Sellest teoreemist saame järgmise reegli kahe vektori erinevuse kohta: erinevuse $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$ leidmiseks peame edasi lükkama vektori $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow( a)$ suvalisest punktist $O$, seejärel lükake saadud punktist $A$ vektor $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ ja ühendage esimese vektori algus vektori lõpuga teine ​​vektor.

Näide ülesandest vektorite erinevuse mõiste kohta

Näide 2

Olgu $ADCD$ rööpkülik, mille diagonaalid lõikuvad punktis $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (joonis 4). Väljendage järgmisi vektoreid $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ kujul:

a) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$

b) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$

Joonis 4. Paralleelogramm

Lahendus.

a) Liidame kolmnurga reegli järgi, saame

\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]

Kahe vektori erinevuse esimesest reeglist saame

\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]

b) Kuna $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, saame

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]

2. teoreemi järgi on meil

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]

Kolmnurga reeglit kasutades oleme lõpuks saanud

\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]

Selles tunnis omandatud teadmised ja oskused on õpilastele kasulikud mitte ainult geomeetria tundides, vaid ka teiste loodusainete tundides. Tunni jooksul õpivad õpilased joonistama vektorit antud punktist. See võib olla nii tavaline geomeetriatund kui ka klassiväline või -väline matemaatikatund. See areng aitab õpetajal säästa aega teemal "Vektori edasilükkamine antud punktist" tunniks valmistumisel. Piisab, kui ta mängib tunnis videotundi ja seejärel kinnitab materjali enda valitud harjutustega.

Tunni kestus on vaid 1:44 minutit. Kuid sellest piisab, et õpetada kooliõpilasi vektorit antud punktist edasi lükkama.

Tund algab vektori demonstreerimisega, mille algus on mingil hetkel. Nad ütlevad, et vektor on sellest edasi lükatud. Seejärel teeb autor ettepaneku tõestada temaga väidet, mille kohaselt saab mis tahes punktist tõmmata antud vektoriga võrdse ja pealegi ainulaadse vektori. Tõestuse käigus käsitleb autor iga juhtumit üksikasjalikult. Esiteks võtab see olukorra, kui antud vektor on null, ja teiseks, kui vektor on nullist erinev. Tõestuse käigus kasutatakse illustratsioone jooniste ja konstruktsioonide, matemaatilise märgistuse näol, mis kujundavad koolilaste matemaatilist kirjaoskust. Autor räägib aeglaselt, mis võimaldab õpilastel kommenteerimise ajal paralleelselt märkmeid teha. Autori poolt eelnevalt sõnastatud väite tõestamise käigus läbiviidud konstruktsioon näitab, kuidas ühest punktist saab konstrueerida antud vektoriga võrdset vektorit.

Kui õpilased jälgivad tundi hoolikalt ja teevad samal ajal märkmeid, õpivad nad materjali kergesti selgeks. Veelgi enam, autor räägib üksikasjalikult, mõõdetult ja üsna täielikult. Kui te mingil põhjusel midagi ei kuulnud, võite minna tagasi ja vaadata õppetundi uuesti.

Pärast videoõpetuse vaatamist on soovitav alustada materjali fikseerimisega. Õpetajal soovitatakse valida selleteemalised ülesanded, et välja töötada oskus vektorit antud punktist edasi lükata.

Seda õppetundi saavad õpilased kasutada teema iseseisvaks õppimiseks. Kuid konsolideerimiseks peate võtma ühendust õpetajaga, et ta valiks sobivad ülesanded. Tõepoolest, ilma materjali konsolideerimata on treeningul raske positiivset tulemust saavutada.

1. Defineerige geomeetriliste vektorite võrdsus.

Kaht geomeetrilist vektorit nimetatakse võrdseks, kui:

need on kollineaarsed ja ühesuunalised;

nende pikkus on sama.

2. Määrake vektorite summa ja vektori korrutis arvuga.

Kahe vektori a ja b summa a + b on vektor c, mis on konstrueeritud järgmise kolmnurga reegli järgi. Ühendame vektori b alguse vektori a lõpuga. Siis on nende vektorite summaks vektor c, mille algus langeb kokku a algusega ja mille lõpp langeb kokku b lõpuga.

Kolmnurga reegli kõrval on rööpküliku reegel. Valides vektoritele a ja b ühise alguspunkti, ehitame nendele vektoritele rööpküliku. Seejärel määrab vektorite ühisest alguspunktist väljuva rööpküliku diagonaal nende summa.

Vektorit arvuga korrutades ei muutu vektori suund, vaid vektori pikkus korrutatakse arvuga.

3. Andke kollineaarsete ja koplanaarsete vektorite definitsioonid.

Kaht geomeetrilist vektorit peetakse kollineaarseks, kui nad asuvad samal sirgel või paralleelsel sirgel.

Kolme geomeetrilist vektorit nimetatakse koplanaarseks, kui need vektorid asuvad sirgel, mis on paralleelne mõne tasapinnaga.

4. Andke lineaarselt sõltuva ja lineaarselt sõltumatu vektorite süsteemi definitsioon.

Vektoreid a 1 , … , a n nimetatakse lineaarselt sõltuvateks, kui selline koefitsientide hulk α 1 , . . . , α n nii, et α 1 a 1 + . . . + α n a n = 0 ja pealegi on vähemalt üks neist koefitsientidest nullist erinev.

Kui määratud koefitsientide komplekti ei eksisteeri, nimetatakse vektoreid lineaarselt sõltumatuteks.

5. Sõnastage lineaarse sõltuvuse geomeetrilised kriteeriumid 2 ja 3 vektorit.

Kaks vektorit on lineaarselt sõltuvad siis ja ainult siis, kui nad on kollineaarsed.

6. Määratlege vektori alus ja koordinaadid.

Alus on vektorite hulk vektorruumis, nii et selle ruumi mis tahes vektorit saab üheselt esitada selle hulga vektorite lineaarse kombinatsioonina - baasvektorid.

Vektori koordinaadid on valitud koordinaatsüsteemis ainsa võimaliku baasvektorite lineaarse kombinatsiooni koefitsiendid, mis on võrdsed antud vektoriga.

7. Sõnasta teoreem vektori laienemise kohta baasi järgi.

Iga vektorruumi vektorit saab selle alusel ja pealegi ainulaadsel viisil lagundada.

8. Määratlege vektori ortogonaalne skalaarprojektsioon suunale.

Vektori ortogonaalprojektsiooni vektori suunale nimetatakse skalaarsuuruseks Pr = | | cos() , kus nurk on vektorite vaheline nurk.

9. Defineeri vektorite skalaarkorrutis.

Kahe vektori skalaarkorrutist nimetatakse arvuks, mis on võrdne cos-ga -

pikkuste korrutis | | ja | | need vektorid nendevahelise nurga koosinuse järgi.

10. Sõnasta skalaarkorrutise lineaarsusomadus.

λ(̅ ̅ ).

= ̅ c̅+ ̅ c̅.

11. Kirjutage üles valem kahe ortonormaalsel alusel antud vektori skalaarkorrutise arvutamiseks.

̅ = { , }, ̅ = { , }

̅ ̅ = + +

12. Kirjutage üles ortonormaalsel alusel antud vektoritevahelise nurga koosinuse valem.

̅ ̅ cos =̅ |̅|| |

13. Defineeri vektorite parem- ja vasakkolmik.

Mittetasatasandiliste vektorite a, b, c järjestatud kolmikut nimetatakse õigeks, kui vektori a suund langeb kokku vektori b suunaga vektori a lühima pöörde abil nende vektorite tasapinnas, mis sooritatakse vastupäeva alates vektor ac. Muidu (päripäeva pööramine) nimetatakse seda kolmikut vasakuks.

14. Defineeri vektorite vektorkorrutis.

vektorkunst mittekollineaarseid vektoreid ̅ ja ̅ nimetatakse vektoriks с̅, mis vastab kolmele järgmisele tingimusele:

vektor c on ortogonaalne vektoritega a ja b ;

vektori c pikkus on võrdne |с̅ | = |̅ | |̅ |sin ϕ, kus ϕ on vektorite ̅ ja ̅ vaheline nurk;

vektorite järjestatud kolmik ̅ ,̅ ,с̅ on õige.

15. Sõnastage skalaarkorrutise kommutatiivsuse (sümmeetria) omadus ja vektori korrutise antikommutatiivsuse (antisümmeetria) omadus.

Skalaarkorrutis on kommutatiivne: ̅ ̅ =̅ ̅ .

Vektorkorrutis on antikommutatiivne: ̅ x̅ =− ̅ x̅ .

16. Sõnasta vektorite vektorkorrutise lineaarsusomadus.

assotsiatiivsuse omadus koos arvuga korrutamisega (λ ̅ )×̅ = λ(̅ ×̅ );

distributiivne omadus liitmise suhtes (̅ +̅ )×с̅ =̅×с̅ +̅×с̅ .

Vektorkorrutise assotsiatiivsuse ja jaotusomadused ühinevad sarnaselt sisemise korrutise puhul vektorkorrutise lineaarsuse omadus

esimese teguri suhtes. Vektorkorrutise antikommutatiivsuse tõttu on vektorkorrutis lineaarne ka teise teguri suhtes:

̅ ×(λ̅ ) = −(λ̅ )×̅ = −λ(̅ ×̅ ) = λ(̅ ×̅ )

̅ ×(̅ +̅s ) = −(̅ +̅s )×̅ = −(̅ ×̅ +̅s ×̅ ) =̅ ×̅ +̅ ×̅s.

17. Kirjutage üles ristkorrutise arvutamise valem õiges ortonormaalis.

̅ = { , }, ̅ = { , }.

18. Defineeri vektorite segakorrutis.

segatud toode kolme vektorit ̅ , ̅ , c̅ nimetatakse arvuks, mis võrdub (̅ ×̅ ) c̅ - kahe esimese vektori ja kolmanda vektori ristkorrutise skalaarkorrutisega.

19. Sõnasta segakorrutise permutatsiooniomadus (viltussümmeetria).

Segatoote puhul tsüklilise permutatsiooni reegel:

Need segatoote omadused on formuleeritud esimese teguri jaoks. Tsüklilist permutatsiooni kasutades võib aga tõestada sarnast

väited nii teise kui ka kolmanda teguri kohta, s.o. võrdsused on tõesed

̅ (λ̅ )̅с = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ ̅ (λ̅с ) = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ (̅̅̅ 1 +̅̅̅ 2 )̅̅̅̅̅̅̅̅, ̅̅̅ + 1 1 +̅ 2 ) =̅ ̅ ̅ 1 +̅ ̅ ̅ 2 ,

ja selle tulemusena on meil segaprodukti lineaarsusomadus iga teguri jaoks.

21. Kirjutage õiges ortonormaalis üles segakorrutise arvutamise valem.

̅ = { , }, ̅ = { , }, ̅= { , }

22. Kirjutage üles tasandi üldvõrrand ja võrrand “lõikudes”. Selgitage nendes võrrandites sisalduvate parameetrite geomeetrilist tähendust.

Nimetatakse võrrand Ax + By + Cz + D = 0 tasapinna üldvõrrand. Selle võrrandi tundmatute koefitsiendid A, B, C on selge geomeetrilise tähendusega: vektor n = (A; B; C) on tasandiga risti. Seda nimetatakse tasapinna normaalvektoriks. See, nagu ka tasandi üldvõrrand, määratakse kuni (nullist erineva) arvulise tegurini.

Nimetatakse võrrand + + = 1 tasapinnaline võrrand segmentides, kus a, b, c on

telgedel OX, OY ja OZ paiknevate punktide vastavad koordinaadid.

23. Kirjutage üles 3 etteantud punkti läbiva tasandi võrrand.

Olgu 1 (1 , 1 , 1 ) ,2 (2 , 2 , 2 ), 3 (3 , 3 , 3 ) antud punktid ja punkt M(x, y, z) moodustatud tasapinnale kuuluv punkt punktide 1 , 2 ja 3 järgi, siis on tasapinnaline võrrand

24. Sõnasta kahe tasandi paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused.

kaks lennukit risti, kui nende normaalvektorid on ortogonaalsed.

Kaks tasapinda on paralleelsed, kui nende normaalvektorid on kollineaarsed.

25. Kirjutage üldvõrrandiga antud punkti ja tasandi kauguse valem.

Et leida kaugus punktist 0 (0 , 0 , 0 ) tasapinnani

: + + + = 0 kasutatakse valemit: (,) = | 0 + 0 + 0 + |

√ 2 +2 +2

26. Kirjutage üles sirgjoone kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis. Selgitage nendes võrrandites sisalduvate parameetrite geomeetrilist tähendust.

Võrrand ( = 0 + , kus (l; m; n) on sirge L suunava vektori koordinaadid ja

1 (1 ,1 ,1 ) ja 2 (2 ,2 ,2 ).

28. Kirjuta üles kahe sirge samale tasapinnale kuulumise tingimus.

Olgu a ja b nende sirgete suunavektorid ning punktid M1 ja M2 kuuluvad vastavalt sirgetele ja l 1 ja l 2 . Siis kuuluvad kaks rida samale tasapinnale, kui segakorrutis (a, b, M1 M2 ) on võrdne 0-ga.

29. Kirjutage üles valem kauguse kohta punktist ruumi sirgeni.

Kaugus punktist 1 jooneni L saab arvutada järgmise valemi abil:

30. Kirjutage üles kaldjoonte vahelise kauguse valem.

Ristjoonte 1 ja 2 vahelise kauguse saab arvutada järgmise valemiga:

mis kuuluvad sirgjoonte hulka.

1. Tõesta kolme vektori lineaarse sõltuvuse geomeetriline kriteerium.

Kolm vektorit on lineaarselt sõltuvad siis ja ainult siis, kui nad on tasapinnalised.

Tõestus:

Kui kolm vektorit ̅ ,̅ ,̅ on lineaarselt sõltuvad, siis vastavalt teoreemile 2.1 (vektorite lineaarsest sõltuvusest) on üks neist, näiteks ̅ , teiste lineaarne kombinatsioon: ̅ = β̅ + γ̅ . Kombineerime vektorite ̅ ja ̅ algused punktis A. Siis saavad vektorid β̅ , γ̅ punktis A ühise alguspunkti ja rööpkülikureegli järgi nende summa, s.o. vector̅ , on vektor algusega A ja lõpuga, mis on terminivektoritele ehitatud rööpküliku tipp. Seega asuvad kõik vektorid samal tasapinnal, s.t. koplanaarne.

Olgu vektorid ̅ ,̅ ,̅ tasapinnalised. Kui üks neist vektoritest on null, siis on ilmne, et see on teiste lineaarne kombinatsioon. Piisab, kui kõik lineaarse kombinatsiooni koefitsiendid on võrdsed nulliga. Seetõttu võime eeldada, et kõik kolm vektorit ei ole nullid. Kombineerime nende vektorite algused ühises punktis O. Olgu nende otsteks vastavalt punktid A, B, C (joonis 2.1). Läbi punkti C tõmbame sirged paralleelsed joontega, mis läbivad punktipaare O, A ja O, B. Tähistades lõikepunktid tähega A’ ja B’, saame

vektorid baasis.

Tõestus: (i = 2 puhul)

(̅1 , ̅2 )– alus 2 , ̅2

Ruumi V2 definitsiooni järgi: x, e1, e2 on tasapinnalised => (3 vektori lineaarse sõltuvuse kriteerium) => ̅ ,̅ 1 , ̅ 2 on lineaarselt sõltuvad => 0 , 1 , 2 .

0 ̅+1 ̅1 +2 ̅2 = 0̅ ,0 2 +1 2 +2 2 ≠ 0

1 juhtum: 0 \u003d 0, siis 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 = 0 ̅, 1 2 + 2 2 ≠ 0, siis 1, 2 on lineaarselt sõltuvad (̅ 1, ̅ 2) - lin. sõltuvad. ̅ 1 ja ̅ 2 on kollineaarsed.

2. juhtum: 0 ≠ 0

̅= (− 1 ) ̅1 + (−2 ) ̅2 0 0

Tõestatud olemasolu.

Olgu siin 2 esitust:

̅= 1 ̅1 +2 ̅2

Erinevus:

0 ̅ = ̅− ̅= 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 − 1 ̅ 1 − 2 ̅ 2 = (1 − 1 )̅ 1 + (2 − 2 )̅ 2 => on lineaarselt sõltuvad ja see on vastuolus alus.

3. Tõesta skalaarkorrutise lineaarsusomadus.

Koos arvuga korrutamisega on skalaarkorrutamise tehe assotsiatiivne: (λ̅ )̅ =

λ(̅ ̅ ).

Skalaarkorrutis ja vektori liitmine on seotud distributiivse omadusega: (̅ +̅ )с̅

= ̅ c̅+ ̅ c̅.

Q.E.D.

4. Tuletage ortonormaalsel alusel antud vektorite skalaarkorrutise arvutamise valem.

Ortonormaalsel alusel antud vektorite skalaarkorrutise arvutamise valemi tuletamine.

Olgu vektorid ̅ ja ̅ alates 3 antud nende koordinaatide järgi ortonormaalses baasis, ̅ ,̅ ̅ :̅ = ( ; ; ),̅ = ( ; ; ). See tähendab, et on olemas laiendused ̅ =̅ +̅ +̅ ,

̅ =̅ +̅ +̅ . Kasutades neid ja skalaarkorrutise omadusi, arvutame

̅̅ = (̅+ ̅+̅ )(̅+ ̅+̅ )

= ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ + ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ +̅ ̅+̅ ̅ +̅ ̅ =2 ̅+2 ̅+̅ 2 = + + .

Lõplik vastus saadi võttes arvesse asjaolu, et aluse ortonormaalsus,̅ ,̅

̅ tähendab võrduste ̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, 2 ̅= 2 ̅= 2 = 1 täitumist. Sellel viisil,

̅ ̅ = + +

5. Tuletage valem õiges ortonormaalses baasis antud vektorite ristkorrutise arvutamiseks.

Ortonormaalsel alusel antud vektorite ristkorrutise arvutamise valemi tuletamine.

Saadud valemi lihtsustamiseks märgime, et see sarnaneb 1. rea kolmandat järku determinandi laiendamise valemiga, arvuliste koefitsientide asemel kasutatakse ainult vektoreid. Seetõttu võite selle valemi kirjutada determinandiks, mis arvutatakse tavapäraste reeglite järgi. Selle determinandi kaks rida koosnevad numbritest ja üks vektoritest. Seega saab vektorkorrutise arvutamise valemi õiges ortonormaalses baasis,̅ ,̅ ̅ kirjutada järgmiselt:

6. Tõesta segaprodukti lineaarsusomadus.

Segaprodukti omadusi kasutades saab tõestada vektori lineaarsust

tooted esimese teguri järgi:

(̅ + ̅ , ̅)= (̅,)̅+ (̅ ,)̅

Selleks leiame võrdsuse vasakult küljelt vektori skalaarkorrutise ja standardbaasi ühikvektori. Arvestades segatoote lineaarsust teise teguri suhtes,

saame

need. Tõestatava võrdsuse vasakpoolse vektori abstsiss on võrdne selle paremal küljel oleva vektori abstsissiga. Samamoodi tõestame, et võrdsuse mõlemas osas on vektorite ordinaadid ja ka rakendused vastavalt võrdsed. Seetõttu on need võrdsed vektorid, kuna nende koordinaadid standardse aluse suhtes on samad.

7. Tuletage valem kolme vektori segakorrutise arvutamiseks õiges ortonormaalses baasis.

Valemi tuletamine kolme vektori segakorrutise arvutamiseks õiges ortonormaalses baasis.

8. Tuletage üldvõrrandiga antud punkti ja tasandi kauguse valem.

Üldvõrrandiga antud punkti ja tasandi kauguse valemi tuletamine.

Vaatleme mõnda tasapinda π ja suvalist punkti 0 ruumis. Valime

tasapinna jaoks ühiknormaalvektor n, mille alguspunkt on mingis punktis 1 π , ja olgu ρ(0 ,

alates | ̅ | = 1.

= |0 +0 +0 + | √2 +2 +2

kuna 1 + 1 + 1 = − . Punkti ja tasapinna kauguse arvutamiseks peate punkti koordinaadid asendama tasapinna üldvõrrandiga ja seejärel jagama tulemuse absoluutväärtuse normaliseeriva teguriga, mis on võrdne vastava pikkusega. normaalvektor.

9. Tuleta valem kauguse kohta punktist sirgjooneni ruumis.

Ruumi punkti ja sirge kauguse valemi tuletamine.

Ristkorrutise abil saab arvutada kauguse punktist 1 (1 , 1 , 1 ) kanooniliste võrranditega L antud sirgeni L: − 0 = − 0 = − 0. Tõesti,

sirge kanoonilised võrrandid annavad meile sirgel punkti 0 (0 , 0 , 0 )

ja selle sirge suunavektor ̅ = (l; m; n). Ehitame vektoritele ̅ ja ̅̅̅̅̅̅̅ rööpküliku.

Siis võrdub kaugus punktist 1 sirgeni L rööpküliku kõrgusega h (joonis 6.6).

Seega saab vajaliku vahemaa arvutada valemiga

10. Tuletage kaldjoonte vahelise kauguse valem.

Viltusjoonte vahelise kauguse valemi tuletamine.

Viltusjoonte vahelise kauguse saab leida segamise abil

lõikuvad, nende suunavektorid 1 ,2 ja sirgete punkte ühendav vektor 1 2 on mittetasapinnalised. Seetõttu saab neile ehitada rööptahuka (joon. 6.7).

Siis võrdub joonte vaheline kaugus selle rööptahuka kõrgusega h. Rööptahuka kõrgust saab omakorda arvutada rööptahuka ruumala ja selle aluse pindala suhtena. Rööptahuka ruumala on võrdne kolme näidatud vektori segakorrutise mooduliga ja rööptahuka pindala rööptahuka põhjas on võrdne joonte suunavektorite vektorkorrutise mooduliga . Selle tulemusena saame distantsi valemi

(1 , 2 ) ridade vahel:	̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅
(1 ,2 ) =	| 1 2	1 2|
		Vektor on eukleidilise ruumi sirge suunatud lõik, mille üht otsa (punkti A) nimetatakse vektori alguseks ja teist otsa (punkti B) vektori lõpuks (joonis 1). . Vektorid on tähistatud: Kui vektori algus ja lõpp on samad, siis kutsutakse vektorit nullvektor ja tähistatud 0 . Näide. Olgu vektori alguses kahemõõtmelises ruumis koordinaadid A(12,6) , ja vektori lõpp on koordinaadid B(12.6). Siis on vektor nullvektor. Lõika pikkus AB helistas moodul (pikkus, norm) vektor ja seda tähistatakse | a|. Nimetatakse vektorit, mille pikkus on võrdne ühega ühikvektor. Lisaks moodulile iseloomustab vektorit suund: vektoril on suund alates A juurde B. Vektorit nimetatakse vektoriks, vastupidine vektor . Neid kahte vektorit nimetatakse kollineaarne kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Joonisel fig. 3 punast vektorit on kollineaarsed alates nad asuvad samal sirgel ja sinised vektorid on kollineaarsed, sest nad asuvad paralleelsetel joontel. Nimetatakse kahte kollineaarset vektorit võrdselt suunatud kui nende otsad asuvad samal pool nende algust ühendavat joont. Nimetatakse kahte kollineaarset vektorit vastassuunas kui nende otsad asuvad nende algust ühendava joone vastaskülgedel. Kui kaks kollineaarset vektorit asuvad samal sirgel, siis öeldakse, et need on võrdselt suunatud, kui üks ühe vektori moodustatud kiirtest sisaldab täielikult teise vektori moodustatud kiirt. Vastasel juhul nimetatakse vektoreid vastassuunalisteks. Joonisel 3 on sinised vektorid samas suunas ja punased vastupidises suunas. Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne kui neil on võrdsed moodulid ja need on võrdselt suunatud. Joonisel 2 on vektorid võrdsed, sest nende moodulid on võrdsed ja sama suunaga. Vektoreid nimetatakse koplanaarne kui need asuvad samal tasapinnal või paralleelsetel tasapindadel. AT n Dimensioonilises vektorruumis vaatleme kõigi vektorite hulka, mille alguspunkt kattub lähtepunktiga. Seejärel saab vektori kirjutada järgmisel kujul: (1) kus x 1 , x 2 , ..., x n vektori lõpp-punkti koordinaadid x. Kujul (1) kirjutatud vektorit kutsutakse rea vektor, ja vektor, mis on kirjutatud kujul (2) helistas veeru vektor. Number n helistas dimensioon (korras) vektor. Kui a siis kutsutakse vektorit nullvektor(sest vektori alguspunkt ). Kaks vektorit x ja y on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende vastavad elemendid on võrdsed. G – 9. klassi tund nr 2 Teema: Vektori mõiste. Vektori võrdsus. Vektori edasilükkamine etteantud punktist. Eesmärgid: tutvustada vektori mõistet, selle pikkust, kollineaarset ja võrdusvektorit; õpetada õpilasi vektoreid kujutama ja tähistama, etteantud vektorit edasi lükkama mistahes tasandi punktist; kinnistada õpilaste teadmisi ülesannete lahendamise käigus; arendada mälu, tähelepanu, matemaatilist mõtlemist; arendada töökust, soovi saavutada eesmärke ja eesmärke. Tundide ajal. korralduslikud hetked. Tunni teema ja eesmärkide esitlus. Õpilaste teadmiste ja oskuste täiendamine. 1. Kodutööde kontrollimine. Lahendamata ülesannete analüüs. 2. Teoreetilise teabe kontrollimine: Võrdhaarne kolmnurk ja selle omadused. Kolmnurkade võrdsuse märgid. Kolmnurga keskjoone määratlus ja selle omadused. Pythagorase teoreem ja selle pöördteoreem. Kolmnurga pindala arvutamise valem. Rööpküliku mõiste, rööpküliku, rombi, ristküliku omadused ja tunnused. Trapetsi mõiste, trapetside liigid. Rööpküliku pindala, trapetsi pindala. Uue materjali õppimine. Lõigete 76–78 materjal tuleks esitada lühikese loengu vormis, kasutades erinevaid vektoresitlusi. 1. Vektorkoguste (või lühidalt vektorite) mõiste. 2. Näiteid õpilastele füüsikakursusest teadaolevate vektorsuuruste kohta: jõud, materiaalse punkti nihe, kiirus ja muud (õpiku joonis 240). 3. Vektori definitsioon (joon. 241, 242). 4. Vektori tähistus on kahe suure ladina tähega, mille kohal on nool, näiteksvõi tähistatakse sageli ühe väikese ladina tähega, mille kohal on nool:(Joon. 243, a, b). 5. Nullvektori mõiste: iga tasandi punkt on ühtlasi vektor; sel juhul nimetatakse vektorit nulliks; eest seisma:(Joon. 243, a). 6. Nullist erineva vektori pikkuse või mooduli määramine. Määramine:. Nullvektori pikkus= 0. 7. Leidke joonistel 243, a ja 243, b näidatud vektorite pikkused. 8. Täida praktilisi ülesandeid nr 738, 739. 9. Vaatleme näidet keha liikumisest, kus kõik selle punktid liiguvad sama kiirusega ja samas suunas (õpiku punktist 77), joon. 244. 10. Tutvustage kollineaarsete vektorite mõistet (joonis 245). 11. Kaassuunaliste vektorite ja vastassuunaliste vektorite mõistete defineerimine, nende tähistus (joonis 246). 12. Nullvektor on suunatud mis tahes vektoriga. 13. Võrdsete vektorite definitsioon: kuija, siis. 14. Väljendi tähenduse selgitus: „Vektoredasi lükatud punktist A "(joon. 247). 15. Tõestus väitele, et igast punktist on võimalik edasi lükata antud vektoriga võrdset vektorit ja pealegi ainult ühte (joonis 248). 16. Praktilise ülesande nr 743 elluviimine. 17. Suuliselt lahendage tahvlil valminud joonise järgi ülesanne nr 749. Probleemi lahendamine. 1. Lahenda ülesanne nr 740 (a) tahvlil ja vihikutes. 2. Lahenda suuliselt ülesanne nr 744. 3. Lahenda ülesanne number 742. 4. Lahenda ülesanne nr 745 (valikuliselt). 5. Suuliselt, vastavalt koostatud joonisele, lahendada ülesanne nr 746. 6. Tõesta otsene väide ülesandes nr 750: Tõestus Tingimuste järgi, siis AB || CD, siis on rööpküliku alusel ABDC rööpkülik ja rööpküliku diagonaalid poolitatakse lõikepunktiga, mis tähendab, et lõikude AD ja BC keskpunktid langevad kokku. Kordamine korraldada järgmiste ülesannete lahendamise käigus - Kordamise ülesanded OGE (GIA) ülesannete pangast -2016: № 9, 10, 11, 12, 13 - moodulist "Geomeetria"; Nr 24 - mooduli "Geomeetria" 2. osast Valik nr 3 Tunni tulemused. Õppetunni kokkuvõte. Märkide panemine. § 1 õppimise tulemusena peaksid õpilased teadma vektori ja võrdusvektorite mõisteid; oskama vektoreid kujutada ja tähistada, antud punktist etteantud vektorit edasi lükata; lahendada ülesandeid tüübist nr 741–743; 745–752.  Kodutöö: tutvuge punktides 76–78 oleva materjaliga; vasta küsimustele 1-6, lk. 213 õpikut; lahendada ülesandeid nr 747, 749, 751. Soovitame lugeda Aforismid ja huumor restoraniteemadel Ütlused restoranide kohta Tsitaadid restoranide ja söögikohtade kohta Tsitaadid kohvikute ja inimeste kohta Erinevus hariliku lesta ja hariliku lesta vahel Ksenia Borodina rääkis kõigepealt, miks ta leppis oma petva abikaasaga Borodina lahutab Kurbanist Peapreester Avvkumi lühielulugu Avvakum lühibiograafia Ksenia Borodina ja Kurban Omarovi suhete üksikasjad Ksenia Borodina läks Kurbanist lahku Sarnased postitused igemehaigus 2022-05-26 10:39:00 Kosmonautikapäev lasteaias - stsenaarium kosmonautikapäeva kesk- ja ettevalmistusrühmadele Eesmärk: 1. Laiendage laste ideid astronautikast .2. Kasvatada patriotismitunnet ja uhkust Isamaa üle.3. Korralda... igemete ravi 2022-05-26 10:39:00 Kuidas võtta seesamiseemneid, selle eeliseid ja kahjustusi: parimad näpunäited seesamiseemnete kasutamiseks inimkeha jaoks Juba iidsetest aegadest on meie juurde tulnud selline taim nagu seesam. Selle kasulikud omadused ja vastunäidustused olid teada isegi meie ...