"Kasvav ja vähenev funktsioon"

Tunni eesmärgid:

1. Õppige leidma monotoonsuse intervalle.

2. Olukorra analüüsi võimaldavate vaimsete võimete arendamine ja adekvaatsete tegevusmeetodite väljatöötamine (analüüs, süntees, võrdlus).

3. Aine vastu huvi tekkimine.

Tundide ajal

Täna jätkame tuletise rakendamise uurimist ja käsitleme selle funktsioonide uurimisel rakendamise küsimust. Esitöö

Ja nüüd anname mõned määratlused funktsiooni "Ajujaht" omadustele

1. Mida nimetatakse funktsiooniks?

2. Mis on muutuja x nimi?

3. Mis on muutuja Y nimi?

4. Mis on funktsiooni ulatus?

5. Mis on funktsiooni väärtuste komplekt?

6. Mis on paarisfunktsioon?

7. Millist funktsiooni nimetatakse paarituks?

8. Mida saab öelda paarisfunktsiooni graafiku kohta?

9. Mida saab öelda paaritu funktsiooni graafiku kohta?

10. Mis on kasvav funktsioon?

11. Mis on kahanev funktsioon?

12. Mis on perioodiline funktsioon?

Matemaatika uurib matemaatilisi mudeleid. Üks olulisemaid matemaatilisi mudeleid on funktsioon. Funktsioonide kirjeldamiseks on erinevaid viise. Milline neist on kõige ilmsem?

- Graafika.

- Kuidas koostada graafikut?

- Punktide järgi.

See meetod sobib, kui tead ette, milline graafik välja näeb. Näiteks milline on ruutfunktsiooni, lineaarfunktsiooni, pöördproportsionaalsuse, funktsiooni y = sinx graafik? (Vastavad valemid on näidatud, õpilased nimetavad kõverad, mis on graafikud.)

Aga mis siis, kui soovite joonistada funktsiooni või veelgi keerukama funktsiooni? Võite leida mitu punkti, kuid kuidas funktsioon nende punktide vahel käitub?

Pange tahvlile kaks punkti, paluge õpilastel näidata, milline võiks välja näha graafik "nende vahel":

Funktsiooni käitumise väljaselgitamiseks aitab selle tuletis.

Ava vihikud, kirjuta number üles, tunnitöö.

Tunni eesmärk: õppige, kuidas funktsiooni graafik on seotud selle tuletise graafikuga, ja õppige lahendama kahte tüüpi ülesandeid:

1. Leia tuletise graafiku järgi funktsiooni enda suurenemise ja kahanemise intervallid ning funktsiooni ekstreemumipunktid;

2. Intervallide tuletise märkide skeemi järgi leida funktsiooni enda suurenemise ja kahanemise intervallid ning funktsiooni äärmuspunktid.

Selliseid ülesandeid meie õpikutes ei ole, küll aga leidub ühtse riigieksami testides (A ja B osad).

Tänases tunnis käsitleme protsessi uurimise teise etapi töö väikest elementi, funktsiooni ühe omaduse uurimist - monotoonsuse intervallide määratlust.

Selle probleemi lahendamiseks peame meenutama mõnda varem käsitletud küsimust.

Paneme siis kirja tänase tunni teema: Funktsioonide suurenemise ja kahanemise märgid.

Funktsiooni suurenemise ja vähenemise märgid:

Kui selle funktsiooni tuletis on positiivne kõigi x väärtuste puhul intervallis (a; c), st f "(x)\u003e 0, siis funktsioon selles intervallis suureneb.
Kui selle funktsiooni tuletis on negatiivne kõigi x väärtuste korral intervallis (a; b), st f "(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

Monotoonsuse intervallide leidmise järjekord:

Leidke funktsiooni ulatus.

1. Leia funktsiooni esimene tuletis.

2. otsustada juhatuse üle

Leida kriitilised punktid, uurida esimese tuletise märki intervallides, milleks leitud kriitilised punktid funktsiooni domeeni jagavad. Leia funktsioonide monotoonsuse intervallid:

a) määratlusvaldkond,

b) leidke esimene tuletis:,

c) leida kriitilised punktid: ; , ja

3. Uurime saadud intervallides tuletise märki, lahendus esitatakse tabeli kujul.

osutada äärmuslikele punktidele

Vaatame mõningaid näiteid suurendamise ja vähendamise funktsiooni uurimisest.

Piisavaks tingimuseks maksimumi olemasoluks on tuletise märgi muutmine kriitilise punkti läbimisel "+"-lt "-"-ks, miinimumi puhul "-"-lt "+"-ks. Kui tuletis kriitilist punkti läbides märki ei muuda, siis ekstreemumit selles punktis ei ole

1. Leidke D(f).

2. Leidke f "(x).

3. Leida statsionaarsed punktid, st. punktid, kus f"(x) = 0 või f"(x) ei eksisteeri.
(Tuletis on 0 lugeja nullidel, tuletist nimetaja nullidel ei eksisteeri)

4. Leidke koordinaatjoonel D(f) ja need punktid.

5. Määrake tuletise märgid igal intervallil

6. Rakenda märke.

7. Kirjuta vastus üles.

Uue materjali konsolideerimine.

Õpilased töötavad paaris ja kirjutavad oma lahendused vihikusse.

a) y \u003d x³ - 6 x² + 9 x - 9;

b) y \u003d 3 x² - 5x + 4.

Tahvli juures töötab kaks inimest.

a) y \u003d 2 x³ - 3 x² - 36 x + 40

b) y \u003d x4-2 x³

3.Õppetunni kokkuvõte

Kodutöö: test (diferentseeritud)

Suurenevad ja kahanevad intervallid annavad funktsiooni käitumise kohta väga olulist teavet. Nende leidmine on osa funktsioonide uurimise ja joonistamise protsessist. Lisaks pööratakse funktsiooni suurimate ja väiksemate väärtuste leidmisel teatud intervallil erilist tähelepanu äärmuspunktidele, kus toimub muutus tõusust vähenemiseni või langusest suurenemiseni.

Käesolevas artiklis anname vajalikud definitsioonid, sõnastame piisava kriteeriumi funktsiooni suurendamiseks ja vähendamiseks intervallil ning piisavad tingimused ekstreemumi olemasoluks ning rakendame kogu seda teooriat näidete ja ülesannete lahendamisel.

Leheküljel navigeerimine.

Kasvav ja kahanev funktsioon intervallil.

Kasvava funktsiooni definitsioon.

Funktsioon y=f(x) suureneb intervallil X, kui mis tahes ja korral ebavõrdsus on rahuldatud. Teisisõnu, argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.

Funktsiooni määratluse vähendamine.

Funktsioon y=f(x) väheneb intervallil X, kui mis tahes ja korral ebavõrdsus . Teisisõnu, argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

MÄRKUS: kui funktsioon on defineeritud ja pidev suurenemise või kahanemise intervalli (a;b) otstes, st punktides x=a ja x=b , siis kaasatakse need punktid suurenemise või kahanemise intervalli. See ei ole vastuolus intervalli X kasvava ja kahaneva funktsiooni definitsioonidega.

Näiteks põhiliste elementaarfunktsioonide omadustest teame, et y=sinx on defineeritud ja pidev kõigi argumendi tegelike väärtuste jaoks. Seetõttu saame intervalli siinusfunktsiooni suurenemise põhjal väita intervalli suurenemist.

Äärmuspunktid, äärmusfunktsioon.

Punkti nimetatakse maksimaalne punkt funktsioon y=f(x), kui ebavõrdsus on tõene kõigi selle naabruses asuvate x-ide jaoks. Kutsutakse funktsiooni väärtust maksimumpunktis funktsiooni maksimum ja tähistada .

Punkti nimetatakse miinimumpunkt funktsioon y=f(x), kui ebavõrdsus on tõene kõigi selle naabruses asuvate x-ide jaoks. Kutsutakse funktsiooni väärtust miinimumpunktis funktsiooni miinimum ja tähistada .

Punkti naabrusena mõistetakse intervalli , kus on piisavalt väike positiivne arv.

Nimetatakse miinimum- ja maksimumpunktid äärmuslikud punktid, ja kutsutakse äärmuspunktidele vastavad funktsiooni väärtused funktsiooni äärmus.

Ärge ajage funktsiooni äärmusi segamini funktsiooni maksimaalse ja minimaalse väärtusega.

Esimesel joonisel saavutatakse funktsiooni maksimaalne väärtus lõigul maksimaalses punktis ja on võrdne funktsiooni maksimumiga ning teisel joonisel saavutatakse funktsiooni maksimaalne väärtus punktis x=b , mis ei ole maksimumpunkt.

Piisavad tingimused funktsioonide suurendamiseks ja vähendamiseks.

Funktsiooni suurenemise ja vähenemise piisavate tingimuste (märkide) alusel leitakse funktsiooni suurenemise ja vähenemise intervallid.

Siin on intervalli suurenemise ja kahanemise märkide sõnastused:

kui funktsiooni y=f(x) tuletis on positiivne mis tahes intervalli X korral x , siis funktsioon suureneb X võrra;
kui funktsiooni y=f(x) tuletis on negatiivne mistahes x jaoks vahemikust X , siis funktsioon on kahanev X .

Seega on funktsiooni suurendamise ja vähenemise intervallide määramiseks vaja:

Vaatleme algoritmi selgitamiseks näidet suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallide leidmisest.

Näide.

Leia funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid.

Lahendus.

Esimene samm on funktsiooni ulatuse leidmine. Meie näites ei tohiks nimetaja avaldis seetõttu kaduda.

Liigume edasi funktsiooni tuletise leidmise juurde:

Funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallide määramiseks piisava kriteeriumi alusel lahendame võrratused ja definitsioonipiirkonnas. Kasutame intervallmeetodi üldistust. Lugeja ainus tegelik juur on x = 2 ja nimetaja kaob, kui x=0. Need punktid jagavad definitsioonipiirkonna intervallideks, milles funktsiooni tuletis säilitab oma märgi. Märgime need punktid numbrireale. Plusside ja miinustega tähistame tinglikult intervalle, millel tuletis on positiivne või negatiivne. Allolevad nooled näitavad skemaatiliselt funktsiooni suurenemist või vähenemist vastaval intervallil.

Sellel viisil, ja .

Punktis x=2 funktsioon on defineeritud ja pidev, seega tuleb see lisada nii kasvavale kui ka kahanevale intervallile. Punktis x=0 ei ole funktsioon defineeritud, mistõttu see punkt ei sisaldu nõutavate intervallide hulgas.

Esitame funktsiooni graafiku, et võrrelda sellega saadud tulemusi.

Vastus:

Funktsioon suureneb kell , väheneb intervallil (0;2] .

Funktsiooni ekstreemumi jaoks piisavad tingimused.

Funktsiooni maksimumide ja miinimumide leidmiseks võite kasutada mis tahes kolmest ekstreemumimärgist, muidugi juhul, kui funktsioon vastab nende tingimustele. Kõige tavalisem ja mugavam on neist esimene.

Ekstreemumi esimene piisav tingimus.

Olgu funktsioon y=f(x) diferentseeruv punkti -naabruses ja pidev punktis endas.

Teisisõnu:

Algoritm ekstreemumipunktide leidmiseks funktsiooni ekstreemumi esimese märgi järgi.

Funktsiooni ulatuse leidmine.
Funktsiooni tuletise leiame definitsioonipiirkonnast.
Määrame lugeja nullid, tuletise nimetaja nullid ja domeeni punktid, kus tuletist ei eksisteeri (kõik loetletud punktid on nn. võimaliku äärmuse punktid, läbides neid punkte, saab tuletis lihtsalt oma märki muuta).
Need punktid jagavad funktsiooni domeeni intervallideks, milles tuletis säilitab oma märgi. Määrame tuletise märgid igal intervallil (näiteks arvutame funktsiooni tuletise väärtuse ühe intervalli mis tahes punktis).
Valime punktid, kus funktsioon on pidev ja mille läbimisel tuletis muudab märki – need on ekstreemumipunktid.

Liiga palju sõnu, vaatleme mõnda näidet funktsiooni ekstreemumipunktide ja ekstreemumite leidmisest, kasutades funktsiooni ekstreemumi esimest piisavat tingimust.

Näide.

Leia funktsiooni äärmuspunkt.

Lahendus.

Funktsiooni ulatus on kogu reaalarvude komplekt, välja arvatud x=2 .

Leiame tuletise:

Lugeja nullpunktid on punktid x=-1 ja x=5 , nimetaja läheb nulli, kui x=2 . Märkige need punktid numbrireale

Määrame iga intervalli tuletise märgid, selleks arvutame tuletise väärtuse iga intervalli mis tahes punktis, näiteks punktides x=-2, x=0, x=3 ja x= 6 .

Seetõttu on tuletis intervalli suhtes positiivne (joonisel paneme selle intervalli kohale plussmärgi). Samamoodi

Seetõttu panime teisele intervallile miinuse, kolmandale miinuse ja neljandale plussi.

Jääb valida punktid, kus funktsioon on pidev ja selle tuletis muudab märki. Need on äärmuslikud punktid.

Punktis x=-1 funktsioon on pidev ja tuletis muudab märgi plussist miinusesse, seetõttu on ekstreemumi esimese märgi järgi x=-1 maksimumpunkt, see vastab funktsiooni maksimumile .

Punktis x=5 funktsioon on pidev ja tuletis muudab märgi miinusest plussiks, seega x=-1 on miinimumpunkt, see vastab funktsiooni miinimumile .

Graafiline illustratsioon.

Vastus:

TÄHELEPANU: ekstreemumi esimene piisav märk ei nõua, et funktsioon oleks punktis endas diferentseeritav.

Näide.

Leia funktsiooni äärmuslikud punktid ja äärmused .

Lahendus.

Funktsiooni domeeniks on kogu reaalarvude komplekt. Funktsiooni enda saab kirjutada järgmiselt:

Leiame funktsiooni tuletise:

Punktis x=0 tuletist ei eksisteeri, kuna ühepoolsete piiride väärtused ei lange kokku, kui argument kaldub nulli:

Samal ajal on algfunktsioon punktis x=0 pidev (vt funktsiooni pidevuse uurimise jaotist):

Leidke argumendi väärtused, mille juures tuletis kaob:

Märgime kõik saadud punktid reaaljoonele ja määrame iga intervalli tuletise märgi. Selleks arvutame tuletise väärtused iga intervalli suvalistes punktides, näiteks millal x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

See on,

Seega ekstreemumi esimese märgi järgi on miinimumpunktid , on maksimumpunktid .

Arvutame funktsiooni vastavad miinimumid

Arvutame funktsiooni vastavad maksimumid

Graafiline illustratsioon.

Vastus:

Funktsiooni ekstreemumi teine märk.

Nagu näete, nõuab see funktsiooni ekstreemumi märk tuletise olemasolu vähemalt teise järguni punktis .

Funktsiooni suurenemine, vähenemine ja ekstreemsus

Funktsiooni suurenemise, vähenemise ja äärmuslike intervallide leidmine on nii iseseisev ülesanne kui ka oluline osa teistest ülesannetest, eelkõige täielik funktsiooni uuring. Esialgne teave funktsiooni suurenemise, vähenemise ja ekstreemsuse kohta on antud tuletise teoreetiline peatükk, mida soovitan soojalt eeluuringuks (või kordamine)- ka sel põhjusel, et järgnev materjal põhineb väga tuletise olemus on selle artikli harmooniline jätk. Kuigi kui aeg hakkab otsa saama, on võimalik ka puhtformaalne tänase õppetunni näidete väljatöötamine.

Ja täna on õhus haruldase üksmeele vaim ja ma tunnen otse, et kõik kohalviibijad põlevad soovist õppida uurima funktsiooni tuletise abil. Seetõttu ilmub teie monitoride ekraanidele kohe mõistlik hea igavene terminoloogia.

Milleks? Üks praktilisemaid põhjuseid on: et teha selgeks, mida teilt konkreetse ülesande täitmisel üldiselt nõutakse!

Funktsiooni monotoonsus. Ekstreemumipunktid ja funktsiooni äärmused

Vaatleme mõnda funktsiooni. Lihtsustatult eeldame seda pidev tervel arvureal:

Igaks juhuks vabaneme kohe võimalikest illusioonidest, eriti neil lugejatel, kes on hiljuti tuttavaks saanud funktsiooni märgi püsivuse intervallid. Nüüd meie EI OLE HUVITATUD, kuidas funktsiooni graafik paikneb telje suhtes (üleval, all, kus see teljega ristub). Veenvuse huvides kustutage mõtteliselt teljed ja jätke üks graafik. Sest huvi selle vastu on.

Funktsioon suureneb intervallil, kui selle intervalli mis tahes kahe punkti puhul, mis on seotud suhtega , on ebavõrdsus tõene. See tähendab, et argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele ja selle graafik läheb "alt üles". Demofunktsioon kasvab ajavahemiku jooksul.

Samamoodi funktsioon väheneb on intervall, kui iga kahe punkti antud intervalli, nii et , Ebavõrdsus on tõsi. See tähendab, et argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele ja selle graafik läheb "ülevalt alla". Meie funktsioon väheneb ajavahemike jooksul .

Kui funktsioon intervalli jooksul suureneb või väheneb, nimetatakse seda rangelt monotoonne sellel intervallil. Mis on monotoonsus? Võtke seda sõna otseses mõttes – monotoonsus.

Samuti on võimalik määratleda mitte vähenev funktsioon (lõdvestunud seisund esimeses definitsioonis) ja mitte suurenev funktsioon (pehmendatud tingimus 2. definitsioonis). Intervalli mittekahanevat või mittesuurenevat funktsiooni nimetatakse antud intervalli monotoonseks funktsiooniks (range monotoonsus on "lihtsalt" monotoonsuse erijuht).

Teooria kaalub ka muid lähenemisviise funktsiooni suurendamise / vähendamise määramiseks, sealhulgas poolintervallide, segmentide puhul, kuid selleks, et mitte valada pähe õli-õli-õli, nõustume opereerima avatud intervallidega kategooriliste definitsioonidega - see on selgem ja paljude praktiliste probleemide lahendamiseks täiesti piisav.

Sellel viisil, minu artiklites jääb peaaegu alati peitu sõnastus "funktsiooni monotoonsus". intervallidega range monotoonsus(funktsiooni range suurendamine või vähenemine).

Punkti naabruskond. Sõnad, mille peale õpilased puistavad, kuhu vähegi saavad, ja peidavad end õudusega nurkadesse. …Kuigi pärast postitust Cauchy piirid nad ilmselt enam ei peida, vaid ainult värisevad kergelt =) Ärge muretsege, nüüd pole matemaatilise analüüsi teoreemide tõestust - mul oli vaja naabruskonda, et definitsioone rangemalt sõnastada äärmuslikud punktid. Me mäletame:

Naabruskonna punkt nimeta intervall, mis sisaldab antud punkti, samas kui mugavuse huvides eeldatakse, et intervall on sageli sümmeetriline. Näiteks punkt ja selle standardne naabruskond:

Põhimõtteliselt määratlused:

Punkti nimetatakse range maksimumpunkt, kui on olemas tema naabruskond, kõigi jaoks mille väärtused, välja arvatud punkt ise, on ebavõrdsus täidetud. Meie konkreetses näites on see punkt.

Punkti nimetatakse range miinimumpunkt, kui on olemas tema naabruskond, kõigi jaoks mille väärtused, välja arvatud punkt ise, on ebavõrdsus täidetud. Joonisel - punkt "a".

Märge : nõue, et naabruskond oleks sümmeetriline, pole üldse vajalik. Lisaks on see oluline olemasolu fakt naabruskond (ehkki väike, isegi mikroskoopiline), mis vastab kindlaksmääratud tingimustele

Punkte nimetatakse range äärmuse punktid või lihtsalt äärmuslikud punktid funktsioonid. See tähendab, et see on maksimumpunktide ja miinimumpunktide üldistatud termin.

Kuidas mõista sõna "extremum"? Jah, täpselt sama otse kui monotoonsus. Vuoristorata äärmuslikud punktid.

Nagu monotoonsuse puhul, on teoorias ja veelgi enam levinud mitterangeid postulaate (mille alla loomulikult jäävad kaalutud ranged juhtumid!):

Punkti nimetatakse maksimaalne punkt, kui on olemas selle ümbrus, nii et kõigi jaoks
Punkti nimetatakse miinimumpunkt, kui on olemas selle ümbrus, nii et kõigi jaoks selle naabruskonna väärtusi, ebavõrdsus kehtib.

Pange tähele, et vastavalt kahele viimasele definitsioonile loetakse konstantse funktsiooni mis tahes punkti (või mõne funktsiooni "tasapinda") nii maksimum- kui ka miinimumpunktiks! Funktsioon , muide, on nii mittesuurenev kui ka mittekahanev, st monotoonne. Kuid me jätame need argumendid teoreetikute hooleks, kuna praktikas mõtiskleme traditsiooniliste "künkade" ja "õõnsuste" (vt joonist) üle peaaegu alati ainulaadse "mäekuninga" või "rabaprintsessiga". Sordina esineb punkt, suunatud üles või alla, näiteks funktsiooni miinimum punktis .

Oh, ja rääkides kuningriigist:
- tähendust nimetatakse maksimaalselt funktsioonid;
- tähendust nimetatakse miinimum funktsioonid.

Üldnimetus - äärmused funktsioonid.

Palun olge oma sõnadega ettevaatlik!

äärmuslikud punktid on "x" väärtused.
Äärmused- "mängu" väärtused.

! Märge : mõnikord viitavad loetletud terminid punktidele "x-y", mis asuvad otse funktsiooni GRAAFIL.

Mitu äärmust võib funktsioonil olla?

Mitte ükski, 1, 2, 3, … jne. lõpmatuseni. Näiteks siinusel on lõpmatu arv miinimume ja maksimume.

TÄHTIS! Mõiste "maksimaalne funktsioon" ei ole identsed mõiste "funktsiooni maksimaalne väärtus". On hästi näha, et väärtus on maksimaalne ainult kohalikus naabruses ja vasakus ülanurgas on “äkilisemad kamraadid”. Samuti ei ole "minimaalne funktsioon" sama mis "minimaalne funktsiooni väärtus" ja joonisel on näha, et väärtus on minimaalne ainult teatud piirkonnas. Sellega seoses nimetatakse ka äärmuslikke punkte kohalikud äärmuspunktid, ja äärmused kohalikud äärmused. Nad kõnnivad ja rändavad ringi ja globaalne vennad. Seega on iga parabooli tipp globaalne miinimum või globaalne maksimum. Lisaks ei tee ma vahet äärmuste tüüpide vahel ja selgitus kõlab pigem üldhariduslikel eesmärkidel - lisaomadussõnad "kohalik" / "globaalne" ei tohiks üllatusena tulla.

Võtame oma lühikese kõrvalekaldumise teooriasse kokku kontrolllöögiga: mida tähendab ülesanne “leia funktsiooni monotoonsuse intervallid ja äärmuspunktid”?

Koostis palub leida:

- funktsiooni suurendamise / vähenemise intervallid (mittelangev, mittesuurenemine ilmneb palju harvemini);

– maksimumpunktid ja/või miinimumpunktid (kui neid on). Noh, parem on leida veast ise miinimumid / maksimumid ;-)

Kuidas seda kõike defineerida? Tuletisfunktsiooni abil!

Kuidas leida intervalle suurenemise, vähenemise,
funktsiooni äärmuspunktid ja ekstreemumid?

Paljud reeglid on tegelikult juba teada ja arusaadavad õppetund tuletise tähendusest.

Tangentne tuletis kannab häid uudiseid, et funktsioon täieneb kogu aeg domeenid.

Kootangensiga ja selle tuletisega olukord on täpselt vastupidine.

Arsiinus kasvab intervallil - tuletis on siin positiivne: .
Funktsiooni puhul on funktsioon määratletud, kuid mitte diferentseeritav. Kriitilises punktis on aga parempoolne tuletis ja parempoolne puutuja ning teises servas nende vasakpoolsed vasted.

Arvan, et kaarekoosinuse ja selle tuletise kohta pole teil raske sarnaseid arutluskäike teha.

Kõik need juhtumid, millest paljud on tabelituletised, tuletan teile meelde, järgige otse tuletise määratlused.

Miks uurida funktsiooni tuletisega?

Et saada parem ülevaade selle funktsiooni graafikust: kuhu läheb "alt üles", kus "ülevalt alla", kus jõuab kõrgete madalseisudeni (kui üldse). Kõik funktsioonid pole nii lihtsad – enamasti ei ole meil üldjuhul vähimatki ettekujutust konkreetse funktsiooni graafikust.

On aeg liikuda sisukamate näidete juurde ja kaaluda algoritm funktsiooni monotoonsuse ja ekstreemsuse intervallide leidmiseks:

Näide 1

Leia funktsiooni suurenemise/kahanemise intervallid ja ekstreemumid

Lahendus:

1) Esimene samm on leida funktsiooni ulatus, ja võtke teadmiseks ka katkestuspunktid (kui need on olemas). Sel juhul on funktsioon pidev kogu reaalreal ja see toiming on mõnevõrra formaalne. Kuid mõnel juhul lõkkelevad siin tõsised kired, nii et käsitleme lõiku hooletusse jätmata.

2) Algoritmi teine punkt on tingitud

ekstreemumi vajalik tingimus:

Kui punktis on ekstreemum, siis kas väärtust ei eksisteeri.

Kas olete lõpust segaduses? Funktsiooni "modulo x" ekstreemum .

tingimus on vajalik, kuid mitte piisavalt, ja vastupidine pole alati tõsi. Seega ei tulene võrdsusest veel, et funktsioon saavutab maksimumi või miinimumi punktis . Eespool on juba valgustatud klassikaline näide - see on kuupparabool ja selle kriitiline punkt.

Aga olgu kuidas on, ekstreemumi vajalik tingimus dikteerib vajaduse leida kahtlased punktid. Selleks leidke tuletis ja lahendage võrrand:

Esimese artikli alguses funktsioonigraafikute kohta Rääkisin teile, kuidas näite abil kiiresti parabooli ehitada : "... võtame esimese tuletise ja võrdsustame selle nulliga: ... Niisiis, meie võrrandi lahendus: - just selles punktis asub parabooli tipp ...". Nüüd arvan, et kõik saavad aru, miks parabooli ülaosa on täpselt selles punktis =) Üldiselt tuleks siin alustada sarnasest näitest, kuid see on liiga lihtne (isegi teekannu jaoks). Lisaks on tunni lõpus analoog teemal tuletisfunktsioon. Nii et tõstame taset:

Näide 2

Leia funktsiooni monotoonsuse intervallid ja ekstreemumid

See on tee-seda-ise näide. Ülesande terviklahendus ja ligikaudne viimistlusnäidis tunni lõpus.

Kauaoodatud kohtumise hetk murdosa ratsionaalsete funktsioonidega on saabunud:

Näide 3

Uurige funktsiooni, kasutades esimest tuletist

Pöörake tähelepanu sellele, kui mitmekülgselt saab ühte ja sama ülesannet ümber sõnastada.

Lahendus:

1) Funktsioon kannatab punktides lõpmatuid katkestusi.

2) Tuvastame kriitilised punktid. Leiame esimese tuletise ja võrdsustame selle nulliga:

Lahendame võrrandi. Murd on null, kui selle lugeja on null:

Seega saame kolm kriitilist punkti:

3) Jäta kõrvale KÕIK tuvastatud punktid numbrireal ja intervalli meetod defineerige DERIVATIIVI tunnused:

Tuletan teile meelde, et peate võtma intervalli mingi punkti, arvutama selles oleva tuletise väärtuse ja määrake selle märk. Kasumlikum on isegi mitte arvestada, vaid "hinnata" suuliselt. Võtke näiteks intervallile kuuluv punkt ja tehke asendus: .

Kaks "plussi" ja üks "miinus" annavad seega "miinuse", mis tähendab, et tuletis on negatiivne kogu intervalli kohta.

Nagu te aru saate, tuleb toiming läbi viia iga kuue intervalli jaoks. Muide, pange tähele, et lugejategur ja nimetaja on mis tahes intervalli mis tahes punkti puhul rangelt positiivsed, mis lihtsustab ülesannet oluliselt.

Niisiis, tuletis ütles meile, et FUNKTSIOON ISE suureneb ja väheneb võrra. Sama tüüpi vahesid on mugav kinnitada liidu ikooniga .

Sel hetkel, kui funktsioon saavutab maksimumi:
Sel hetkel, kui funktsioon saavutab oma miinimumi:

Mõelge, miks te ei saa teist väärtust ümber arvutada ;-)

Punkti läbimisel tuletis märki ei muuda, seega funktsioonil EI OLE seal VÄLJAS - see nii vähenes kui ka jäi kahanevaks.

! Kordame ühte olulist punkti: punkte ei peeta kriitiliseks – neil on funktsioon täpsustamata. Vastavalt sellele siin äärmusi ei saa põhimõtteliselt olla(isegi kui tuletis muudab märki).

Vastus: funktsioon suureneb võrra ja väheneb Kohas, mil saavutatakse funktsiooni maksimum: , ja punktis - miinimum: .

Teadmised monotoonsuse intervallidest ja äärmustest koos väljakujunenud asümptoodid annab juba väga hea ettekujutuse funktsiooni graafiku välimusest. Tavainimene suudab verbaalselt kindlaks teha, et funktsiooni graafikul on kaks vertikaalset asümptooti ja kaldus asümptoot. Siin on meie kangelane:

Proovige uuesti uuringu tulemusi selle funktsiooni graafikuga korreleerida.
Kriitilises punktis ekstreemumit pole, aga on kõvera kääne(mis reeglina juhtub sarnastel juhtudel).

Näide 4

Funktsiooni äärmuste leidmine

Näide 5

Leia funktsiooni monotoonsuse intervallid, maksimumid ja miinimumid

... lihtsalt mingi X-in-a-cube Holiday selgub täna ....
Oooo, kes seal galeriis selle eest juua pakkus? =)

Igal ülesandel on oma sisulised nüansid ja tehnilised peensused, mida tunni lõpus kommenteeritakse.

Funktsiooni äärmused

2. definitsioon

Punkti $x_0$ nimetatakse funktsiooni $f(x)$ maksimumpunktiks, kui selle punkti naabrus on selline, et kõigi selle naabruskonna $x$ jaoks on ebavõrdsus $f(x)\le f(x_0 )$ on rahul.

3. määratlus

Punkti $x_0$ nimetatakse funktsiooni $f(x)$ maksimumpunktiks, kui selle punkti naabruskond on selline, et kogu selle naabruskonna $x$ korral on ebavõrdsus $f(x)\ge f(x_0) $ on rahul.

Funktsiooni ekstreemumi mõiste on tihedalt seotud funktsiooni kriitilise punkti mõistega. Tutvustame selle määratlust.

4. määratlus

$x_0$ nimetatakse funktsiooni $f(x)$ kriitiliseks punktiks, kui:

1) $x_0$ - määratluspiirkonna sisepunkt;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ või seda pole olemas.

Ekstreemumi mõiste jaoks saab sõnastada teoreeme selle olemasolu piisavate ja vajalike tingimuste kohta.

2. teoreem

Piisav äärmuslik seisund

Olgu punkt $x_0$ funktsiooni $y=f(x)$ jaoks kriitiline ja asub intervallis $(a,b)$. Olgu igal intervallil $\left(a,x_0\right)\ ja\ (x_0,b)$ tuletis $f"(x)$ ja säilitage konstantne märk. Seejärel:

1) Kui intervallil $(a,x_0)$ on tuletis $f"\left(x\right)>0$ ja intervallil $(x_0,b)$ tuletis $f"\left(x\ õige)

2) Kui tuletis $f"\left(x\right)0$ on vahemikus $(a,x_0)$, siis on punkt $x_0$ selle funktsiooni miinimumpunkt.

3) Kui nii intervallil $(a,x_0)$ kui ka intervallil $(x_0,b)$ on tuletis $f"\left(x\right) >0$ või tuletis $f"\left(x \paremal)

Seda teoreemi illustreerib joonis 1.

Joonis 1. Piisav tingimus ekstreemide olemasoluks

Näited äärmustest (joonis 2).