Sirge prisma külgpindade omadused. Kõik, mida peate prisma kohta teadma (2019)

Definitsioon 1. Prismaatiline pind
Teoreem 1. Prismaatilise pinna paralleellõigetel
Definitsioon 2. Prismaatilise pinna ristilõige
Definitsioon 3. Prisma
Definitsioon 4. Prisma kõrgus
Definitsioon 5. Otsene prisma
Teoreem 2. Prisma külgpinna pindala

Parallelepiped:
Definitsioon 6. Parallelepiped
Teoreem 3. Rööptahuka diagonaalide lõikepunktist
Definitsioon 7. Parempoolne rööptahukas
Definitsioon 8. Ristkülikukujuline rööptahukas
Definitsioon 9. Rööptahuka mõõtmed
Definitsioon 10. Kuubik
Definitsioon 11. Romboeeder
Teoreem 4. Ristkülikukujulise rööptahuka diagonaalidel
Teoreem 5. Prisma ruumala
Teoreem 6. Sirge prisma ruumala
Teoreem 7. Ristkülikukujulise rööptahuka ruumala

prisma nimetatakse hulktahuks, mille kaks tahku (alust) asetsevad paralleelsetes tasandites ja servad, mis nendes tahkudes ei asu, on üksteisega paralleelsed.
Nimetatakse muid nägusid peale aluste külgmine.
Külgpindade ja aluste külgi nimetatakse prisma servad, nimetatakse servade otsad prisma tipud. Külgmised ribid nimetatakse servadeks, mis ei kuulu aluste hulka. Külgpindade liitu nimetatakse prisma külgpind, ja kõigi nägude liitu nimetatakse prisma täispind. Prisma kõrgus nimetatakse risti, mis on langetatud ülemise aluse punktist alumise aluse tasapinnale või selle risti pikkusele. sirge prisma nimetatakse prismaks, mille külgservad on risti aluste tasanditega. Õige nimetatakse sirgeks prismaks (joon. 3), mille põhjas asub korrapärane hulknurk.

Nimetused:
l - külgribi;
P - baasi ümbermõõt;
S o - baaspindala;
H - kõrgus;
P ^ - risti lõigu ümbermõõt;
S b - külgpindala;
V - maht;
S p - prisma kogupinna pindala.

V=SH
S p \u003d S b + 2S o
S b = P^l

Definitsioon 1 . Prismaatiline pind on kujund, mis on moodustatud mitme tasandi osadest, mis on paralleelsed ühe sirgega, mida piiravad need sirged, mida mööda need tasandid üksteisega ristuvad *; need sirged on üksteisega paralleelsed ja neid nimetatakse prismaatilise pinna servad.
*Eeldatakse, et iga kaks järjestikust tasapinda lõikuvad ja viimane tasand lõikub esimesega.

1. teoreem . Prismapinna lõiked üksteisega paralleelsete (kuid mitte selle servadega paralleelsete) tasanditega on võrdsed hulknurgad.
Olgu ABCDE ja A"B"C"D"E prismaatilise pinna lõigud kahe paralleelse tasandiga. Nende kahe hulknurga võrdsuse kontrollimiseks piisab, kui näidata, et kolmnurgad ABC ja A"B"C on võrdsed ja neil on sama pöörlemissuund ja sama kehtib ka kolmnurkade ABD ja A"B"D", ABE ja A"B"E kohta. Kuid nende kolmnurkade vastavad küljed on paralleelsed (näiteks AC on paralleelne A "C") kui teatud tasandi ja kahe paralleelse tasandi lõikejooned; sellest järeldub, et need küljed on võrdsed (näiteks AC võrdub A"C") rööpküliku vastaskülgedena ning nende külgede moodustatud nurgad on võrdsed ja sama suunaga.

2. definitsioon . Prismaatilise pinna ristilõige on selle pinna läbilõige selle servadega risti oleva tasapinnaga. Eelmise teoreemi alusel on sama prismaatilise pinna kõik risti olevad lõigud võrdsed hulknurgad.

3. määratlus . Prisma on hulktahukas, mida piirab prismaatiline pind ja kaks üksteisega paralleelset tasandit (kuid mitte paralleelsed prismaatilise pinna servadega).
Nendes viimastes tasapindades lebavaid nägusid nimetatakse prisma alused; prismaatilisele pinnale kuuluvad näod - külgmised näod; prismaatilise pinna servad - prisma külgmised servad. Eelmise teoreemi kohaselt on prisma alused võrdsed hulknurgad. Prisma kõik külgpinnad rööpkülikuid; kõik külgmised servad on üksteisega võrdsed.
On ilmne, et kui prisma ABCDE alus ja üks servadest AA" on antud suurusjärgus ja suunas, siis on võimalik prisma konstrueerida, tõmmates servad BB", CC", .., võrdsed ja paralleelsed sellega. serv AA".

4. määratlus . Prisma kõrgus on selle aluste tasandite vaheline kaugus (HH").

Definitsioon 5 . Prismat nimetatakse sirgeks, kui selle alused on prismaatilise pinna risti lõigud. Sel juhul on prisma kõrgus loomulikult selle külgribi; külgmised servad ristkülikud.
Prismasid saab klassifitseerida külgpindade arvu järgi, mis on võrdne selle aluseks oleva hulknurga külgede arvuga. Seega võivad prismad olla kolmnurksed, nelinurksed, viisnurksed jne.

2. teoreem . Prisma külgpinna pindala on võrdne külgserva ja ristlõike perimeetri korrutisega.
Olgu antud prisma ABCDEA"B"C"D"E" ja selle ristilõige abcde, nii et lõigud ab, bc, .. on risti selle külgservadega. Tahk ABA"B" on rööpkülik, selle pindala on võrdne aluse AA korrutisega " kõrgusele, mis vastab ab; näo pindala BCV "C" on võrdne aluse BB korrutisega kõrgusega bc jne. Seetõttu on külgpind (st külgpindade pindalade summa) võrdne külgserva korrutisega, teisisõnu lõikude AA", BB", .. kogupikkusega summaga ab+bc+cd+de+ea.

Definitsioon.

See on kuusnurk, mille alused on kaks võrdset ruutu ja külgpinnad on võrdsed ristkülikud.

Külgribi on kahe külgneva külgpinna ühine külg

Prisma kõrgus on prisma alustega risti olev sirglõik

Prisma diagonaal- segment, mis ühendab kahte aluste tippu, mis ei kuulu samasse tahku

Diagonaaltasand- tasapind, mis läbib prisma diagonaali ja selle külgservi

Diagonaalne lõige- prisma ja diagonaaltasandi ristumiskoha piirid. Korrapärase nelinurkse prisma diagonaallõige on ristkülik

Ristlõige (ristlõige)- see on prisma ja selle külgservadega risti tõmmatud tasapinna ristumiskoht

Korrapärase nelinurkse prisma elemendid

Joonisel on kaks tavalist nelinurkset prismat, mis on tähistatud vastavate tähtedega:

Alused ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 on võrdsed ja üksteisega paralleelsed
Külgpinnad AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ja CC 1 D 1 D, millest igaüks on ristkülik
Külgpind - prisma kõigi külgpindade pindalade summa
Kogupind - kõigi aluste ja külgpindade pindalade summa (külgpinna ja aluste pindalade summa)
Külgmised ribid AA 1 , BB 1 , CC 1 ja DD 1 .
Diagonaal B 1 D
Aluse diagonaal BD
Diagonaallõige BB 1 D 1 D
Ristlõige A 2 B 2 C 2 D 2 .

Korrapärase nelinurkse prisma omadused

Alused on kaks võrdset ruutu
Alused on üksteisega paralleelsed
Küljed on ristkülikud.
Külgmised näod on üksteisega võrdsed
Külgpinnad on alustega risti
Külgmised ribid on üksteisega paralleelsed ja võrdsed
Ristlõige, mis on risti kõigi külgribidega ja paralleelne alustega
Perpendikulaarsed lõikenurgad – parem
Korrapärase nelinurkse prisma diagonaallõige on ristkülik
Alustega paralleelne risti (ristlõige).

Tavalise nelinurkse prisma valemid

Juhised probleemide lahendamiseks

Probleemide lahendamisel teemal " korrapärane nelinurkne prisma" tähendab, et:

Õige prisma- prisma, mille põhjas asetseb korrapärane hulknurk ja külgservad on risti aluse tasanditega. See tähendab, et tavaline nelinurkne prisma asub oma põhjas ruut. (vaata ülalt tavalise nelinurkse prisma omadusi) Märge. See on osa tunnist, kus on geomeetria ülesanded (jaotis tahke geomeetria - prisma). Siin on ülesanded, mis põhjustavad raskusi lahendamisel. Kui teil on vaja lahendada geomeetria probleem, mida siin pole - kirjutage sellest foorumisse. Ruutjuure eraldamise toimingu tähistamiseks ülesannete lahendamisel kasutatakse sümbolit√ .

Ülesanne.

Tavalises nelinurkses prismas on aluse pindala 144 cm 2 ja kõrgus 14 cm. Leidke prisma diagonaal ja kogupind.

Lahendus.
Korrapärane nelinurk on ruut.
Sellest lähtuvalt on aluse külg võrdne

√144 = 12 cm.
Kui tavalise ristkülikukujulise prisma aluse diagonaal on võrdne
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Korrapärase prisma diagonaal moodustab prisma aluse diagonaali ja kõrgusega täisnurkse kolmnurga. Vastavalt Pythagorase teoreemile on antud korrapärase nelinurkse prisma diagonaal võrdne:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Vastus: 22 cm

Ülesanne

Leidke tavalise nelinurkse prisma kogupindala, kui selle diagonaal on 5 cm ja külgpinna diagonaal on 4 cm.

Lahendus.
Kuna korrapärase nelinurkse prisma alus on ruut, siis aluse külg (tähistatud kui a) leitakse Pythagorase teoreemiga:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Külgpinna kõrgus (tähistatud kui h) on siis võrdne:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Kogupindala on võrdne külgpinna ja kahekordse põhipinna summaga

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Vastus: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Definitsioon. Prisma- see on hulktahukas, mille kõik tipud asuvad kahel paralleelsel tasapinnal ja samal kahel tasapinnal on prisma kaks tahku, mis on vastavalt paralleelsete külgedega võrdsed hulknurgad ja kõik servad, mis ei asu nendel. tasapinnad on paralleelsed.

Nimetatakse kahte võrdset nägu prisma alused(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Kõiki teisi prisma tahke nimetatakse külgmised näod(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Kõik külgmised näod moodustuvad prisma külgpind .

Prisma kõik külgpinnad on rööpkülikukujulised .

Servad, mis ei asu alustel, nimetatakse prisma külgservadeks ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma diagonaal nimetatakse lõiku, mille otsteks on prisma kaks tippu, mis ei asu selle ühel küljel (AD 1).

Prisma aluseid ühendava ja mõlema põhjaga korraga risti oleva lõigu pikkus on nn. prisma kõrgus .

Määramine:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Kõigepealt märgitakse möödasõidu järjekorras ühe aluse tipud ja seejärel samas järjekorras teise tipud; iga külgserva otsad on tähistatud samade tähtedega, ainult tipud asuvad üks alus on tähistatud tähtedega ilma indeksita ja teine - indeksiga)

Prisma nimetus on seotud nurkade arvuga joonisel, mis asub selle aluses, näiteks joonisel 1 on alus viisnurk, mistõttu prisma nn. viisnurkne prisma. Aga kuna sellisel prismal on 7 tahku, siis see seitsmeeeder(2 tahku on prisma alused, 5 tahku on rööpkülikukujulised, on selle külgpinnad)

Sirgete prismade hulgast paistab silma konkreetne tüüp: tavalised prismad.

Sirget prismat nimetatakse õige, kui selle alused on korrapärased hulknurgad.

Tavalise prisma kõik külgpinnad on võrdsed ristkülikud. Prisma erijuhtum on rööptahukas.

Parallelepiped

Parallelepiped- See on nelinurkne prisma, mille põhjas asub rööpkülik (kaldus rööptahukas). Parempoolne rööptahukas- rööptahukas, mille külgservad on risti aluse tasanditega.

risttahukas- parempoolne rööptahukas, mille põhi on ristkülik.

Omadused ja teoreemid:

Rööptahuka mõned omadused on sarnased rööpküliku üldtuntud omadustega Võrdsete mõõtmetega ristkülikukujulist rööptahukat nimetatakse nn. kuubik .Kuubi kõik tahud on võrdsed ruudud.Diagonaali ruut on võrdne tema kolme mõõtme ruutude summaga

kus d on ruudu diagonaal;
a - ruudu külg.

Prisma idee annab:

mitmesugused arhitektuurilised struktuurid;
Laste mänguasjad;
pakkimiskastid;
disainesemed jne.

Prisma kogu- ja külgpindala

Prisma kogupindala on selle kõigi tahkude pindalade summa Külgmine pindala nimetatakse selle külgpindade pindalade summaks. prisma alused on võrdsed hulknurgad, siis on nende pindalad võrdsed. Niisiis

S täis \u003d S pool + 2S põhi,

kus S täis- kogupindala, S pool- külgpindala, S peamine- baaspindala

Sirge prisma külgpinna pindala on võrdne aluse perimeetri ja prisma kõrguse korrutisega.

S pool\u003d P peamine * h,

kus S pool on sirge prisma külgpinna pindala,

P main - sirge prisma aluse ümbermõõt,

h on sirge prisma kõrgus, mis on võrdne külgservaga.

Prisma maht

Prisma ruumala on võrdne aluse pindala ja kõrguse korrutisega.

Loeng: Prisma, selle alused, külgservad, kõrgus, külgpind; sirge prisma; parem prisma

Prisma

Kui oled meie juures varasematest küsimustest lapikuid figuure õppinud, siis oled täiesti valmis kolmemõõtmelisi kujundeid uurima. Esimene tahke aine, mille me õpime, on prisma.

Prisma- See on kolmemõõtmeline keha, millel on suur hulk nägusid.

Selle joonise põhjas on kaks hulknurka, mis asetsevad paralleelsetes tasandites ja kõik külgpinnad on rööpküliku kujul.

Joonis 1. Joon. 2

Niisiis, mõtleme välja, millest prisma koosneb. Selleks pöörake tähelepanu joonisele 1

Nagu varem mainitud, on prismal kaks alust, mis on üksteisega paralleelsed – need on viisnurgad ABCEF ja GMNJK. Pealegi on need hulknurgad üksteisega võrdsed.

Kõiki teisi prisma tahke nimetatakse külgpindadeks – need koosnevad rööpkülikutest. Näiteks BMNC, AGKF, FKJE jne.

Kõigi külgpindade ühispinda nimetatakse külgpind.

Igal külgneva näo paaril on ühine külg. Sellist ühist külge nimetatakse servaks. Näiteks MB, CE, AB jne.

Kui prisma ülemine ja alumine alus on ühendatud risti, nimetatakse seda prisma kõrguseks. Joonisel on kõrgus märgitud sirgjoonena OO 1.

Prismasid on kahte peamist tüüpi: kaldus ja sirge.

Kui prisma külgservad ei ole alustega risti, siis sellist prismat nimetatakse kaldus.

Kui prisma kõik servad on alustega risti, siis sellist prismat nimetatakse otse.

Kui prisma alusteks on korrapärased hulknurgad (need, mille küljed on võrdsed), siis sellist prismat nimetatakse õige.

Kui prisma alused ei ole üksteisega paralleelsed, siis kutsutakse sellist prismat kärbitud.

Näete seda joonisel 2

Valemid ruumala, prisma pindala leidmiseks

Helitugevuse leidmiseks on kolm põhivalemit. Need erinevad üksteisest oma rakenduse poolest:

Sarnased valemid prisma pindala leidmiseks:

Stereomeetria on geomeetria haru, mis uurib kujundeid, mis ei asu samal tasapinnal. Üks stereomeetria uurimisobjekte on prismad. Artiklis anname prisma definitsiooni geomeetrilisest vaatepunktist ja loetleme lühidalt ka sellele iseloomulikud omadused.

Geomeetriline kujund

Prisma definitsioon geomeetrias on järgmine: see on ruumikujund, mis koosneb kahest identsest n-nurgast, mis paiknevad paralleelsetes tasandites ja on omavahel tippude kaudu ühendatud.

Prisma saamine pole keeruline. Kujutage ette, et on kaks identset n-nurka, kus n on külgede või tippude arv. Asetame need nii, et need oleksid üksteisega paralleelsed. Pärast seda tuleks ühe hulknurga tipud ühendada teise hulknurga vastavate tippudega. Moodustatud joonis koosneb kahest n-nurksest küljest, mida nimetatakse alusteks, ja n-st nelinurksest küljest, mis üldiselt on rööpkülikukujulised. Rööpkülikute hulk moodustab joonise külgpinna.

Kõnealuse kujundi geomeetriliseks saamiseks on veel üks viis. Seega, kui me võtame n-nurga ja kanname selle võrdse pikkusega paralleelsete segmentide abil teisele tasapinnale, siis saame uues tasapinnas esialgse hulknurga. Mõlemad hulknurgad ja kõik nende tippudest tõmmatud paralleelsed segmendid moodustavad prisma.

Ülaltoodud pildil on seda nn, kuna selle alused on kolmnurgad.

Figuuri moodustavad elemendid

Eespool oli antud prisma definitsioon, millest on selge, et figuuri põhielemendid on selle näod või küljed, piirates kõiki prisma sisepunkte välisruumist. Vaadeldava figuuri mis tahes nägu kuulub ühte kahest tüübist:

külgmine;
põhjustel.

Külgtükke on n ja need on rööpkülikud või nende teatud tüübid (ristkülikud, ruudud). Üldiselt erinevad külgpinnad üksteisest. Alusel on ainult kaks tahku, need on n-kujulised ja on üksteisega võrdsed. Seega on igal prismal n+2 külge.

Figuuri iseloomustavad lisaks külgedele ka selle tipud. Need on punktid, kus kolm nägu puudutavad korraga. Veelgi enam, kaks kolmest näost kuuluvad alati külgpinnale ja üks - alusele. Seega pole prismas spetsiaalselt valitud ühte tippu, nagu näiteks püramiidis, kõik need on võrdsed. Joonise tippude arv on 2*n (n tükki iga aluse kohta).

Lõpuks on prisma kolmas oluline element selle servad. Need on teatud pikkusega segmendid, mis moodustuvad figuuri külgede ristumise tulemusena. Sarnaselt nägudele on ka servadel kahte tüüpi:

või moodustavad ainult küljed;
või tekivad rööpküliku ja n-nurga aluse külje ristumiskohas.

Servade arv on seega 3*n ja 2*n neist kuulub nimetatud tüüpidest teise.

Prisma tüübid

Prismade klassifitseerimiseks on mitu võimalust. Kuid need kõik põhinevad kahel joonise tunnusel:

n-söe baasi tüübi kohta;
küljel tüüp.

Alustuseks pöördume teise singulaarsuse poole ja anname sirgjoone definitsiooni. Kui vähemalt üks külg on üldist tüüpi rööpkülik, nimetatakse joonist kaldus või kaldus. Kui kõik rööpkülikud on ristkülikud või ruudud, on prisma sirge.

Definitsiooni võib anda ka veidi teisiti: sirge kujund on prisma, mille külgservad ja tahud on selle alustega risti. Joonisel on kaks nelinurkset kujundit. Vasak on sirge, parem on kaldu.

Liigume nüüd edasi klassifikatsiooni juurde alustes lebava n-goni tüübi järgi. Sellel võivad olla samad küljed ja nurgad või erinevad. Esimesel juhul nimetatakse hulknurka regulaarseks. Kui vaadeldav joonis sisaldab hulknurka, mille põhjas on võrdsed küljed ja nurgad ning see on sirgjoon, siis nimetatakse seda korrapäraseks. Selle määratluse kohaselt võib korrapärase prisma põhjas olla võrdkülgne kolmnurk, ruut, korrapärane viisnurk või kuusnurk jne. Loetletud õiged arvud on näidatud joonisel.

Prismade lineaarsed parameetrid

Vaadeldavate jooniste mõõtmete kirjeldamiseks kasutatakse järgmisi parameetreid:

kõrgus;
aluse küljed;
külgribide pikkused;
mahudiagonaalid;
diagonaalsed küljed ja alused.

Tavaprismade puhul on kõik nimetatud suurused omavahel seotud. Näiteks külgribide pikkused on samad ja võrdsed kõrgusega. Konkreetse n-nurkse korrapärase joonise jaoks on olemas valemid, mis võimaldavad meil määrata kõik ülejäänud mis tahes kahe lineaarse parameetri põhjal.

Figuuri pind

Kui pöörduda ülaltoodud prisma definitsiooni poole, pole raske aru saada, mida joonise pind kujutab. Pind on kõigi nägude pindala. Sirge prisma puhul arvutatakse see järgmise valemiga:

S = 2*S o + P o *h

kus S o on aluse pindala, P o on n-nurga ümbermõõt põhjas, h on kõrgus (aluste vaheline kaugus).