የመማሪያ መጽሐፍ፡

• ማካሪቼቭ ዩ.ኤን., ሚንዲዩክ ኤን.አር. ሂሳብ. 7 ኛ ክፍል

ግቦች፡-

I. የተማሪ ዳሰሳ

1. ተግባር ምን ይባላል?

(ተግባር የአንዱ ተለዋዋጭ በሌላው ላይ ያለው ጥገኛ ነው፣ በዚህ ውስጥ እያንዳንዱ የነፃ ተለዋዋጭ እሴት ከተለዋዋጭ ነጠላ እሴት ጋር ይዛመዳል።)

2. የአንድ ተግባር ጎራ ምንድን ነው?

(የገለልተኛ ተለዋዋጭ (ክርክር) የተግባርን ጎራ የሚይዘው ሁሉም እሴቶች።)

3. የአንድ ተግባር ክልል ምን ያህል ነው?

(ጥገኛ ተለዋዋጭ የሚወስዳቸው ሁሉም እሴቶች የተግባር እሴቶች ይባላሉ)

4. ምን ተግባራትን አውቀናል?

ሀ) ከቅጹ ቀጥተኛ ተግባር ጋር y = kx + b,

የቅጹ ቀጥተኛ ተመጣጣኝነት y = kx

ለ) ከቅጹ ተግባራት ጋር y = x 2፣ y = x 3

5. የመስመራዊ ተግባር ግራፍ ምንድነው? ( ቀጥታ). ይህንን ግራፍ ለመሥራት ስንት ነጥቦች ያስፈልጋሉ?

ግንባታን ሳያደርጉ በሚከተሉት ቀመሮች የተሰጡትን የተግባር ግራፎች አንጻራዊ ቦታ ይወስኑ።

ሀ ) y = 3x + 2; y = 1.2x + 5;

ለ) y = 1.5x + 4; y = -0.2x + 4; y = x + 4;

ጋር) y = 2x + 5; y = 2x - 7; y = 2x

ምስል 1

ስዕሉ የመስመራዊ ተግባራትን ግራፎች ያሳያል ( እያንዳንዱ ተማሪ በጠረጴዛቸው ላይ ግራፎች የያዘ ወረቀት ይሰጠዋል.). ለእያንዳንዱ ግራፍ ቀመር ይጻፉ

እስካሁን የምናውቃቸው የትኞቹ የተግባር ግራፎች ናቸው? ( y = x 2; y = x 3 )

1. የአንድ ተግባር ግራፍ ምንድነው? y = x 2 (ፓራቦላ).
2. ፓራቦላን ለማሳየት ስንት ነጥቦችን መገንባት ያስፈልገናል? ( 7, ከመካከላቸው አንዱ የፓራቦላ ጫፍ ነው).

በቀመር የተሰጠውን ፓራቦላ እንገንባ y = x 2

ምስል 2

የአንድ ተግባር ግራፍ ምን ባህሪያት አሉት? y = x 3 ?

1. ከሆነ x = 0 ፣ ያ y = 0 - የፓራቦላ ጫፍ (0;0)
2. ጎራ፡ X - ማንኛውም ቁጥር, ዲ (y) = (-?; ?) ዲ (y) = አር
3. የእሴቶች ክልል በ ? 0
4. ኢ (ይ) =
5. ተግባሩ በየተወሰነ ጊዜ ይጨምራል

   ተግባሩ በየተወሰነ ጊዜ ይጨምራል - በእነዚህ የ x እሴቶች ፣ በፓራቦላ ከግራ ወደ ቀኝ በመንቀሳቀስ ፣ “ከኮረብታው እንወርዳለን” (ምስል 55 ይመልከቱ)። ተግባሩ y = x 2 በጨረር ይጨምራል;
   ለ) በክፍሉ ላይ [- 3, - 1.5];
   ሐ) በክፍል [- 3፣ 2] ላይ።

   መፍትሄ፣
   

   ሀ) ፓራቦላ y = x 2 እንገንባ እና ከተለዋዋጭ x እሴቶች ጋር የሚዛመደውን የዚያን ክፍል እንምረጥ (ምስል 56)። ለተመረጠው የግራፉ ክፍል በስሙ ላይ እናገኛለን. = 1 (በ x = 1)፣ y ቢበዛ። = 9 (በ x = 3)።
   

   ለ) ፓራቦላ y = x 2 እንገንባ እና ከተለዋዋጭ x እሴቶች ጋር የሚዛመደውን ክፍል [-3, -1.5] (ምስል 57) እንመርጥ. ለተመረጠው የግራፉ ክፍል, y ስም እናገኛለን. = 2.25 (በ x = - 1.5)፣ y ከፍተኛ። = 9 (በ x = - 3)።
   

   ሐ) ፓራቦላ y = x 2 እንገንባ እና ከተለዋዋጭ x እሴቶች ጋር የሚዛመደውን የሱ ክፍል ከክፍል [-3, 2] (ምስል 58) እንምረጥ. ለተመረጠው የግራፉ ክፍል, y max = 0 (በ x = 0), y max እናገኛለን. = 9 (በ x = - 3)።

   

   ምክር። ተግባሩን y - x 2 ነጥብ በነጥብ በእያንዳንዱ ጊዜ እንዳይሰራ ለመከላከል ከወፍራም ወረቀት ላይ የፓራቦላ አብነት ይቁረጡ። በእሱ እርዳታ ፓራቦላ በጣም በፍጥነት ይሳሉ.

   አስተያየት. የፓራቦላ አብነት እንዲያዘጋጁ በመጋበዝ፣ የተግባር y = x 2 እና መብቶችን እኩል እያደረግን ይመስላል። መስመራዊ ተግባር y = kx + ሜትር ከሁሉም በላይ, የመስመራዊ ተግባር ግራፍ ቀጥታ መስመር ነው, እና ቀጥታ መስመርን ለማሳየት, ተራ ገዢ ጥቅም ላይ ይውላል - ይህ የግራፍ ግራፍ y = kx + m አብነት ነው. ስለዚህ ለተግባሩ ግራፍ አብነት ይኑርዎት y = x 2።

   ምሳሌ 2.የፓራቦላ y = x 2 እና ቀጥታ መስመር y - x + 2 መገናኛ ነጥቦችን ያግኙ።
   

   መፍትሄ። በአንድ ቅንጅት ሲስተም ፓራቦላ y = x 2 እና ቀጥተኛ መስመር y = x + 2 (ምስል 59) እንገንባ። በ A እና B ላይ እርስ በርስ ይገናኛሉ, እና ከሥዕሉ ላይ የእነዚህን ነጥቦች A እና B መጋጠሚያዎች ለማግኘት አስቸጋሪ አይደለም: ለ ነጥብ A አለን: x = - 1, y = 1, እና ለ ነጥብ B አለን: x - 2፣ y = 4
   

   መልስ፡ ፓራቦላ y = x 2 እና ቀጥታ መስመር y = x + 2 በሁለት ነጥብ ይገናኛሉ፡ A (-1; 1) እና B (2; 4)።
   

   ጠቃሚ ማስታወሻ.እስካሁን ድረስ ስዕሉን ተጠቅመን መደምደሚያ ላይ ለመድረስ በጣም ደፋር ነበርን. ይሁን እንጂ የሒሳብ ሊቃውንት ሥዕሎችን በጣም አያምኑም። በስእል 59 ላይ የፓራቦላ እና የቀጥታ መስመር መጋጠሚያ ሁለት ነጥቦችን ካገኘ እና ስዕሉን ተጠቅሞ የእነዚህን ነጥቦች መጋጠሚያዎች ካወቀ በኋላ ፣ የሂሳብ ሊቃውንት ብዙውን ጊዜ እራሱን ይፈትሻል-ነጥቡ (-1; 1) በእውነቱ በሁለቱም ቀጥተኛ መስመር ላይ ነው ወይ? እና ፓራቦላ; ነጥቡ (2፤ 4) በእውነቱ በሁለቱም ቀጥተኛ መስመር እና በፓራቦላ ላይ ነው?

   

   ይህንን ለማድረግ የነጥቦችን A እና B መጋጠሚያዎች ወደ ቀጥታ መስመር እኩልነት እና ወደ ፓራቦላ እኩልነት መተካት ያስፈልግዎታል, ከዚያም በሁለቱም ሁኔታዎች ትክክለኛ እኩልነት መገኘቱን ያረጋግጡ. በምሳሌ 2፣ በሁለቱም ሁኔታዎች እኩልነት እውነት ይሆናል። ይህ ቼክ በተለይ ብዙውን ጊዜ የሚከናወነው ስለ ስዕሉ ትክክለኛነት ጥርጣሬ ሲፈጠር ነው.

   በማጠቃለያው ፣ የፊዚክስ ሊቃውንት እና የሂሳብ ሊቃውንት በጋራ የተገኘ እና የተረጋገጠ የፓራቦላ አንድ አስደሳች ንብረት እናስተውላለን።
   

   ፓራቦላ y = x 2ን እንደ ማያ ገጽ ፣ እንደ አንጸባራቂ ወለል አድርገን እና የብርሃን ምንጭን በቦታው ላይ ካስቀመጥነው ከስክሪኑ ፓራቦላ የሚንፀባረቁ ጨረሮች ትይዩ የብርሃን ጨረር ይፈጥራሉ (ምስል 60)። . ነጥቡ የፓራቦላ ትኩረት ተብሎ ይጠራል. ይህ ሃሳብ በመኪናዎች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል: የፊት መብራቱ አንጸባራቂ ገጽታ የፓራቦል ቅርጽ አለው, እና አምፖሉ በማዕከላዊ ቦታ ላይ ይቀመጣል - ከዚያም የፊት መብራቱ ብርሃን በበቂ ሁኔታ ይሰራጫል.

   የቀን መቁጠሪያ - ቲማቲክ እቅድ በሂሳብ ፣ ቪዲዮበሂሳብ ኦንላይን ፣ ሒሳብ በትምህርት ቤት ማውረድ

   A.V. Pogorelov, ጂኦሜትሪ ለ 7-11 ኛ ክፍል, ለትምህርት ተቋማት የመማሪያ መጽሀፍ

   የትምህርት ይዘት የትምህርት ማስታወሻዎችደጋፊ ፍሬም ትምህርት አቀራረብ ማጣደፍ ዘዴዎች መስተጋብራዊ ቴክኖሎጂዎች ተለማመዱ ተግባራት እና ልምምድ እራስን የሚፈትኑ አውደ ጥናቶች፣ ስልጠናዎች፣ ጉዳዮች፣ ተልዕኮዎች የቤት ስራ የውይይት ጥያቄዎች የተማሪዎች የንግግር ጥያቄዎች ምሳሌዎች ኦዲዮ, ቪዲዮ ክሊፖች እና መልቲሚዲያፎቶግራፎች፣ ሥዕሎች፣ ግራፊክስ፣ ሠንጠረዦች፣ ሥዕላዊ መግለጫዎች፣ ቀልዶች፣ ታሪኮች፣ ቀልዶች፣ ቀልዶች፣ ምሳሌዎች፣ አባባሎች፣ ቃላቶች፣ ጥቅሶች ተጨማሪዎች ረቂቅመጣጥፎች ዘዴዎች ለ ጉጉ የሕፃን አልጋዎች የመማሪያ መጽሐፍት መሰረታዊ እና ተጨማሪ የቃላት መዝገበ-ቃላት የመማሪያ መጽሀፎችን እና ትምህርቶችን ማሻሻልበመማሪያ መጽሐፍ ውስጥ ስህተቶችን ማስተካከልበመማሪያ መጽሀፍ ውስጥ ያለውን ክፍልፋይ ማዘመን፣ በትምህርቱ ውስጥ የፈጠራ ስራዎች፣ ጊዜ ያለፈበትን እውቀት በአዲስ መተካት ለመምህራን ብቻ ፍጹም ትምህርቶችየዓመቱ የቀን መቁጠሪያ እቅድ; ዘዴያዊ ምክሮች, የውይይት ፕሮግራሞች የተዋሃዱ ትምህርቶች

   የሂሳብ መግለጫዎች (ቀመሮች) አጭር ማባዛት(ስኩዌር ድምር እና ልዩነት፣ ኩብ ድምር እና ልዩነት፣ የካሬዎች ልዩነት፣ ድምር እና የኪዩብ ልዩነት) በብዙ የትክክለኛ ሳይንስ ዘርፎች እጅግ በጣም የማይተኩ ናቸው። እነዚህ 7 ተምሳሌታዊ መግለጫዎች አገላለጾችን ለማቅለል፣ እኩልታዎችን ለመፍታት፣ ፖሊኖሚሎችን ለማባዛት፣ ክፍልፋዮችን ለመቀነስ፣ ውህደቶችን ለመፍታት እና ሌሎችም ጠቃሚ ናቸው። ይህ ማለት እንዴት እንደሚገኙ, ለምን እንደሚያስፈልጉ እና ከሁሉም በላይ, እነሱን ለማስታወስ እና ከዚያም እንዴት እንደሚተገበሩ ለመረዳት በጣም ጠቃሚ ይሆናል. ከዚያም ማመልከት አጭር የማባዛት ቀመሮችበተግባር በጣም አስቸጋሪው ነገር ምን እንደሆነ ማየት ይሆናል Xእና ምን አለህ. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ምንም ገደቦች የሉም ሀእና ለአይደለም፣ ይህም ማለት ማንኛውም የቁጥር ወይም የፊደል አገላለጽ ሊሆን ይችላል።

   እና ስለዚህ እነሆ፡-

   አንደኛ x 2 - በ 2 = (x - y) (x+y)ለማስላት የካሬዎች ልዩነትሁለት መግለጫዎች, የእነዚህን አባባሎች ልዩነት በድምር ማባዛት ያስፈልግዎታል.

   ሁለተኛ (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. ማግኘት የድምሩ ካሬሁለት አገላለጾች፣ በመጀመሪያው አገላለጽ ካሬ ላይ የመጀመሪያውን አገላለጽ ድርብ ምርት እና ሁለተኛውን የሁለተኛው አገላለጽ ካሬ ማከል ያስፈልግዎታል።

   ሶስተኛ (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. ለማስላት የካሬ ልዩነትሁለት አገላለጾች፣ ከመጀመሪያው አገላለጽ ካሬ ውስጥ የመጀመሪያውን አገላለጽ ውጤት ሁለት ጊዜ በሁለተኛው እና በሁለተኛው አገላለጽ ካሬ መቀነስ ያስፈልግዎታል።

   አራተኛ (x + y) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3xy 2 + በ 3.ለማስላት ኩብ ድምርሁለት አገላለጾች፣ በመጀመሪያው አገላለጽ የካሬውን የሶስትዮሽ ምርት በሁለተኛው ሲደመር የመጀመሪያው አገላለጽ ባለሶስት እጥፍ ምርት በሁለተኛው አገላለጽ ካሬ እና በሁለተኛው አገላለጽ ኩብ ላይ ማከል ያስፈልግዎታል።

   አምስተኛ (x - y) 3 = x 3 - 3 x 2 y + 3xy 2 - በ 3. ለማስላት ልዩነት ኩብሁለት አገላለጾች፣ የመጀመሪያው አገላለጽ የካሬውን ሦስት እጥፍ ምርት በሁለተኛው ሲደመር በሁለተኛው አገላለጽ ካሬ ሲቀነስ የሶስትዮሽ ምርትን ከመጀመሪያው አገላለጽ ኩብ መቀነስ ያስፈልጋል።

   ስድስተኛ x 3 + 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2)ለማስላት የኩቦች ድምርሁለት አገላለጾች, የእነዚህን አባባሎች ልዩነት ባልተሟላ ካሬ የመጀመሪያውን እና የሁለተኛውን አገላለጽ ድምር ማባዛት ያስፈልግዎታል.

   ሰባተኛ x 3 - በ 3 = (x - y) (x 2 + xy + y 2)ስሌቱን ለማከናወን የኩቦች ልዩነቶችሁለት አገላለጾች, የአንደኛውን እና የሁለተኛውን መግለጫዎች ልዩነት በእነዚህ አባባሎች ድምር ባልተሟላ ካሬ ማባዛት ያስፈልግዎታል.

   ሁሉም ቀመሮች በተቃራኒ አቅጣጫ (ከቀኝ ወደ ግራ) ስሌት ለመሥራት ጥቅም ላይ እንደሚውሉ ለማስታወስ አስቸጋሪ አይደለም.

   የእነዚህ ቅጦች መኖር ከ 4 ሺህ ዓመታት በፊት ይታወቅ ነበር. በጥንቷ ባቢሎን እና በግብፅ ነዋሪዎች በሰፊው ይገለገሉባቸው ነበር. ነገር ግን በእነዚያ ጊዜያት በቃላት ወይም በጂኦሜትሪ ይገለጻሉ እና ፊደሎችን በስሌቶች ውስጥ አይጠቀሙም ነበር.

   እናስተካክለው ካሬ ድምር ማረጋገጫ(a + b) 2 = a 2 +2ab +b 2.

   በመጀመሪያ ይህ የሂሳብ ንድፍበጥንታዊው የግሪክ ሳይንቲስት ኤውክሊድ የተረጋገጠው፣ በአሌክሳንድሪያ በ3ኛው ክፍለ ዘመን ከክርስቶስ ልደት በፊት ይሠራ ነበር፣ የጥንቷ ሄላስ ሳይንቲስቶች ቁጥሮችን ለማመልከት ፊደሎችን ስላልተጠቀሙ ቀመሩን ለማረጋገጥ የጂኦሜትሪክ ዘዴ ተጠቅሟል። በየቦታው የሚጠቀሙት "a 2" ሳይሆን "በክፍል ሀ ላይ ያለ ካሬ", "ab" ሳይሆን "በክፍል ሀ እና ለ መካከል የተከለለ አራት ማዕዘን" ነበር.

   መመሪያዎች

   የመተካት MethodExpress አንድ ተለዋዋጭ እና ወደ ሌላ እኩልታ ይቀይሩት. ማንኛውንም ተለዋዋጭ በእርስዎ ምርጫ መግለጽ ይችላሉ። ለምሳሌ፣ yን ከሁለተኛው እኩልታ ይግለጹ፡-
   x-y=2 => y=x-2ከዚያ ሁሉንም ነገር ወደ መጀመሪያው እኩልነት ይቀይሩት፡-
   2x+(x-2)=10 ሁሉንም ነገር ያለ "x" ወደ ቀኝ በኩል ያንቀሳቅሱ እና ያሰሉ፡-
   2x+x=10+2
   3x=12 በመቀጠል፣ x ለማግኘት፣ የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በ3 ይከፋፍሏቸው፡
   x=4. ስለዚህ፣ “x. አግኝ "y. ይህንን ለማድረግ “y”ን በገለጹበት ቀመር ውስጥ “x”ን ይተኩ፡-
   y=x-2=4-2=2
   y=2.

   ቼክ ያድርጉ። ይህንን ለማድረግ ውጤቱን ወደ እኩልታዎች ይተኩ-
   2*4+2=10
   4-2=2
   ያልታወቁት በትክክል ተገኝተዋል!

   እኩልታዎችን የመደመር ወይም የመቀነስ መንገድ ማንኛውንም ተለዋዋጭ ወዲያውኑ ያስወግዱ። በእኛ ሁኔታ, ይህን በ "y.
   በቀመር ውስጥ "y" የ "+" ምልክት ስላለው እና በሁለተኛው "-" ውስጥ, ከዚያም የመደመር ክዋኔውን ማከናወን ይችላሉ, ማለትም. የግራ ጎኑን በግራ፣ ቀኝን በቀኝ እጠፉት፤
   2x+y+(x-y)=10+2ቀይር፡
   2x+y+x-y=10+2
   3x=12
   x=4“x”ን በማንኛውም እኩልታ ተካ እና “y”ን አግኝ፡-
   2*4+y=10
   8+y=10
   y=10-8
   y=2 1 ኛ ዘዴን በመጠቀም ሥሮቹ በትክክል መገኘታቸውን ማረጋገጥ ይችላሉ.

   በግልጽ የተቀመጡ ተለዋዋጮች ከሌሉ, እኩልታዎችን በትንሹ መቀየር አስፈላጊ ነው.
   በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ "2x" አለን, እና በሁለተኛው ውስጥ በቀላሉ "x" አለን. ሲደመር ወይም ሲቀንስ xን ለመቀነስ፣ ሁለተኛውን እኩልታ በ2 ማባዛት፡-
   x-y=2
   2x-2y=4ከዚያም ሁለተኛውን ከመጀመሪያው ስሌት ቀንስ።
   2x+y-(2x-2y)=10-4 ከቅንፉ ፊት ተቀንሶ ካለ፣ከከፈቱ በኋላ ምልክቶቹን ወደ ተቃራኒዎቹ ይቀይሩ።
   2x+y-2x+2y=6
   3у=6
   ከማንኛውም እኩልታ በመግለጽ y=2x ፈልግ፣ ማለትም
   x=4

   በርዕሱ ላይ ቪዲዮ

   የልዩነት እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ፣ ግጭቱ x (ወይም በአካላዊ ችግሮች ጊዜ t) ሁል ጊዜ በግልፅ አይገኝም። ቢሆንም፣ ይህ ልዩነትን እኩልነት የመግለጽ ቀለል ያለ ልዩ ጉዳይ ነው፣ እሱም ብዙውን ጊዜ በውስጡ ያለውን ፍለጋን ለማቃለል ይረዳል።

   መመሪያዎች

   ክርክሩ t የጠፋበትን ልዩነት እኩልነት የሚያስከትል የፊዚክስ ችግርን አስቡበት። ይህ በቁም አውሮፕላን ውስጥ በሚገኘው ርዝመት r ክር ላይ የተንጠለጠለ የጅምላ መወዛወዝ ችግር ነው. የፔንዱለም እንቅስቃሴ እኩልታ መጀመሪያ ላይ እንቅስቃሴ አልባ ከሆነ እና ከተመጣጣኝ ሁኔታ በ α አንግል ዘንበል ብሎ ከሆነ ያስፈልጋል። ኃይሎቹ ችላ ሊባሉ ይገባል (ምሥል 1 ሀ ይመልከቱ).

   

   መፍትሄ። የሂሳብ ፔንዱለም በ O ነጥብ ላይ ክብደት በሌለው እና በማይሰፋ ክር ላይ የተንጠለጠለ የቁስ ነጥብ ነው። ሁለት ሃይሎች በነጥቡ ላይ ይሠራሉ፡ የስበት ኃይል G=mg እና የክር ውጥረት N. ሁለቱም ሃይሎች በቋሚ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ። . ስለዚህ ችግሩን ለመፍታት በነጥብ ኦ በኩል በሚያልፈው አግድም ዘንግ ዙሪያ የአንድን ነጥብ ተዘዋዋሪ እንቅስቃሴ እኩልታ መተግበር ይችላሉ ። የአንድ አካል ተዘዋዋሪ እንቅስቃሴ ቀመር በምስል ላይ የሚታየውን ቅርፅ አለው። 1 ለ. በዚህ ሁኔታ ውስጥ, እኔ ቁሳዊ ነጥብ inertia ቅጽበት ነው; j ከነጥቡ ጋር የክርን የማሽከርከር አንግል ነው ፣ ከቋሚው ዘንግ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ ይለካል ። M በቁሳዊ ነጥብ ላይ የተተገበሩ ኃይሎች ጊዜ ነው።

   እነዚህን እሴቶች አስላ። I=mr^2፣ M=M(G)+M(N)። ግን M (N) = 0, የኃይሉ የድርጊት መስመር በነጥብ O. M (G) = -mgrsinj በኩል ስለሚያልፍ. የ "-" ምልክት ማለት የኃይሉ ጊዜ ከእንቅስቃሴው በተቃራኒ አቅጣጫ ይመራል ማለት ነው. የንቃተ-ህሊና ጊዜን እና የግዳጅ ጊዜን ወደ እንቅስቃሴ እኩልታ ይለውጡ እና በምስል ላይ የሚታየውን እኩልታ ያግኙ። 1ሰ. ብዛትን በመቀነስ, ግንኙነት ብቅ ይላል (ምስል 1 መ ይመልከቱ). እዚህ ምንም ክርክር የለም.

   ለማንበብ እንመክራለን

   • የመከፋፈል መሰረታዊ ምልክቶች በምን ቁጥር እንደሚከፋፈል እንዴት መረዳት ይቻላል?
   • የመስመር ተግባር ጥናት
   • የተፈጥሮ ቁጥሮችን እና ባህሪያቱን ማባዛት - እውቀት ሃይፐርማርኬት
   • አጠር ያሉ የማባዛት ቀመሮች ተግባር y 2 x2 ይገንቡ