On aeg lahti võtta juure ekstraheerimise meetodid. Need põhinevad juurte omadustel, eriti võrdusel, mis kehtib mis tahes mittenegatiivse arvu b kohta.
Allpool käsitleme omakorda peamisi juurte ekstraheerimise meetodeid.
Alustame kõige lihtsamast juhtumist - naturaalarvudest juurte eraldamine ruutude tabeli, kuubitabeli jne abil.
Kui ruutude, kuubikute jms tabelid. pole käepärast, on loogiline kasutada juure eraldamise meetodit, mis hõlmab juurarvu lagundamist lihtsateks teguriteks.
Eraldi tasub peatuda, mis on võimalik paaritute astendajatega juurte puhul.
Lõpuks kaaluge meetodit, mis võimaldab teil järjestikku leida juure väärtuse numbrid.
Alustame.
Kasutades ruutude tabelit, kuubikute tabelit jne.
Kõige lihtsamal juhul võimaldavad ruutude, kuubikute jms tabelid juurte väljavõtmist. Mis need tabelid on?
Täisarvude ruutude tabel vahemikus 0 kuni 99 (näidatud allpool) koosneb kahest tsoonist. Tabeli esimene tsoon asub hallil taustal, kindla rea ja veeru valimisega saab teha numbri vahemikus 0 kuni 99. Näiteks valime rea 8 kümnest ja veeru 3 ühikust, sellega fikseerisime numbri 83. Teine tsoon hõivab ülejäänud tabeli. Iga selle lahter asub kindla rea ja kindla veeru ristumiskohas ning sisaldab vastava arvu ruutu vahemikus 0 kuni 99 . Meie valitud 8 kümnest koosneva rea ja ühe veeru 3 ristumiskohas on lahter numbriga 6889, mis on arvu 83 ruut.
Kuubikute tabelid, arvude neljanda astme tabelid 0 kuni 99 ja nii edasi on sarnased ruutude tabeliga, ainult et need sisaldavad teises tsoonis kuupe, neljandaid astmeid jne. vastavad numbrid.
Ruudude, kuubikute, neljandate astmete jne tabelid. võimaldab eraldada ruutjuuri, kuupjuuri, neljandaid juuri jne. vastavalt nendes tabelites toodud numbritest. Selgitame nende rakendamise põhimõtet juurte kaevandamisel.
Oletame, et peame arvust a eraldama n-nda astme juure, samas kui arv a sisaldub n-nda astme tabelis. Selle tabeli järgi leiame arvu b nii, et a=b n . Siis 
, seega on arv b soovitud n-nda astme juur.
Näitena näitame, kuidas kuuptabeli abil eraldatakse 19683. aasta kuupjuur. Kuubikute tabelist leiame numbri 19 683, sellest leiame, et see arv on kuup numbrist 27, seega 
.
On selge, et n-nda astme tabelid on juurte kaevandamisel väga mugavad. Sageli pole neid aga käepärast ja nende koostamine nõuab teatud aega. Pealegi on sageli vaja välja võtta juured numbritest, mida vastavates tabelites pole. Sellistel juhtudel tuleb juurte eraldamiseks kasutada muid meetodeid.
Juurarvu lagundamine algteguriteks
Üsna mugav viis naturaalarvust juure eraldamiseks (juhul, kui juur on muidugi eraldatud), on tüviarvu lagundamine algteguriteks. Tema olemus on järgmine: pärast seda on üsna lihtne esitada soovitud indikaatoriga kraadina, mis võimaldab teil saada juure väärtuse. Selgitame seda punkti.
Olgu naturaalarvust a eraldatud n-nda astme juur ja selle väärtus võrdub b-ga. Sel juhul on võrdus a=b n tõene. Arvu b kui mis tahes naturaalarvu saab esitada kõigi selle algtegurite p 1 , p 2 , …, pm korrutisena kujul p 1 p 2 pm ja juurarv a on antud juhul (p 1 p 14 ... pm) n . Kuna arvu lagundamine algteguriteks on kordumatu, näeb juurarvu a lagundamine algteguriteks välja selline (p 1 ·p 2 ·…·pm) n , mis võimaldab arvutada juure väärtuse kui .
Pange tähele, et kui juurarvu a faktoriseerimist ei saa esitada kujul (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , siis sellisest arvust a ei eraldata n-nda astme juur täielikult.
Sellega tegeleme näidete lahendamisel.
Näide.
Võtke 144 ruutjuur.
Lahendus.
Kui pöörduda eelmises lõigus toodud ruutude tabeli poole, on selgelt näha, et 144=12 2 , millest on selge, et 144 ruutjuur on 12 .
Kuid selle punkti valguses huvitab meid, kuidas juur ekstraheeritakse, lagundades juurarvu 144 algteguriteks. Vaatame seda lahendust.
Laguneme 144 algteguriteks:
See tähendab, et 144 = 2 2 2 2 3 3 . Saadud lagunemise põhjal saab läbi viia järgmised teisendused: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Seega 
.
Kasutades juurte astme ja omaduste omadusi, võiks lahuse formuleerida veidi teisiti: .
Vastus:
Materjali koondamiseks kaaluge veel kahe näite lahendusi.
Näide.
Arvutage juurväärtus.
Lahendus.
Juurearvu 243 algfaktorisatsioon on 243=3 5 . Sellel viisil, 
.
Vastus:
Näide.
Kas juure väärtus on täisarv?
Lahendus.
Sellele küsimusele vastamiseks jagame juurarvu algteguriteks ja vaatame, kas seda saab esitada täisarvu kuubikuna.
Meil on 285 768=2 3 3 6 7 2 . Saadud lagunemist ei esitata täisarvu kuubina, kuna algteguri 7 aste ei ole kolmekordne. Seetõttu ei võeta kuupjuurt 285 768 täielikult.
Vastus:
Ei.
Murdarvudest juurte eraldamine
On aeg välja mõelda, kuidas juur murdarvust eraldatakse. Olgu murrujuurarv kirjutatud kujul p/q . Jagatise juure omaduse järgi on tõene järgmine võrdsus. Sellest võrdsusest järeldub murdosa juure reegel: Murru juur on võrdne jagatisega, mis jagatakse lugeja juure nimetaja juurega.
Vaatame näidet murrust juure eraldamise kohta.
Näide.
Mis on hariliku murru 25/169 ruutjuur.
Lahendus.
Ruudude tabeli järgi leiame, et algmurru lugeja ruutjuur on 5 ja nimetaja ruutjuur on 13. Siis 
. See lõpetab juure eraldamise tavalisest fraktsioonist 25/169.
Vastus:
Kümnendmurru või segaarvu juur ekstraheeritakse pärast juurarvude asendamist tavaliste murrudega.
Näide.
Võtke kümnendkoha 474.552 kuupjuur.
Lahendus.
Esitame esialgse kümnendkoha hariliku murruna: 474.552=474552/1000 . Siis 
. Jääb välja võtta kuupjuured, mis on saadud murdosa lugejas ja nimetajas. Sest 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 ja 1 000 = 10 3, siis 
ja 
. Jääb ainult arvutused lõpule viia 
.
Vastus:
.
Negatiivse arvu juure eraldamine
Eraldi tasub peatuda negatiivsetest arvudest juurte eraldamisel. Juurte uurimisel ütlesime, et kui juure eksponendiks on paaritu arv, siis negatiivne arv võib olla juure märgi all. Andsime sellistele tähistele järgmise tähenduse: negatiivse arvu −a ja juure 2 n−1 paaritu astendaja jaoks on meil 
. See võrdsus annab reegel negatiivsetest arvudest paaritute juurte eraldamiseks: negatiivse arvu juure eraldamiseks peate eraldama vastupidise positiivse arvu juure ja panema tulemuse ette miinusmärgi.
Vaatleme näidislahendust.
Näide.
Leidke juurväärtus.
Lahendus.
Teisendame algse avaldise nii, et juurmärgi alla ilmuks positiivne arv: 
. Nüüd asendame segaarvu tavalise murruga: 
. Rakendame juure harilikust murdest eraldamise reeglit: 
. Jääb arvutada saadud murdosa lugejas ja nimetajas olevad juured: 
.
Siin on lahenduse kokkuvõte: 
.
Vastus:
.
Bitipõhine juurväärtuse leidmine
Üldjuhul on juure all arv, mida ülalkirjeldatud tehnikaid kasutades ei saa esitada ühegi arvu n-nda astmena. Kuid samal ajal on vaja teada antud juure väärtust, vähemalt kuni teatud märgini. Sel juhul saate juure eraldamiseks kasutada algoritmi, mis võimaldab teil järjekindlalt saada soovitud arvu numbrite piisav arv väärtusi.
Selle algoritmi esimene samm on välja selgitada, mis on juurväärtuse kõige olulisem bitt. Selleks tõstetakse arvud 0, 10, 100, ... järjestikku astmeni n, kuni saadakse juurarvu ületav arv. Siis näitab arv, mille tõstsime eelmises etapis astmeni n, vastavat kõrget järjekorda.
Näiteks kaaluge seda algoritmi sammu viie ruutjuure eraldamisel. Võtame arvud 0, 10, 100, ... ja paneme need ruutudesse, kuni saame arvu, mis on suurem kui 5 . Meil on 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , mis tähendab, et kõige olulisem number on ühikunumber. Selle biti ja ka madalamate väärtuste leiate juure ekstraheerimise algoritmi järgmistest etappidest.
Kõik algoritmi järgmised sammud on suunatud juure väärtuse järjestikusele täpsustamisele, kuna leitakse juure soovitud väärtuse järgmiste numbrite väärtused, alustades kõrgeimast ja liikudes madalaima. . Näiteks juure väärtus esimeses etapis on 2, teises - 2,2, kolmandas - 2,23 ja nii edasi 2,236067977 ... . Kirjeldame, kuidas bittide väärtused leitakse.
Bittide leidmine toimub nende võimalike väärtuste loendamisega 0, 1, 2, ..., 9 . Sel juhul arvutatakse paralleelselt vastavate arvude n-ndad astmed ja neid võrreldakse juurarvuga. Kui mingil etapil ületab astme väärtus radikaalarvu, siis loetakse eelmisele väärtusele vastav numbri väärtus leituks ja kui seda ei juhtu, siis toimub üleminek juure eraldamise algoritmi järgmisele sammule. siis selle numbri väärtus on 9 .
Selgitame kõiki neid punkte, kasutades sama näidet viie ruutjuure eraldamiseks.
Esiteks leidke ühikute numbri väärtus. Kordame väärtusi 0, 1, 2, …, 9, arvutades vastavalt 0 2, 1 2, …, 9 2, kuni saame väärtuse, mis on suurem kui radikaalarv 5. Kõik need arvutused on mugavalt esitatud tabeli kujul: 
Seega on ühikute numbri väärtus 2 (kuna 2 2<5
, а 2 3 >5). Liigume edasi kümnenda koha väärtuse leidmise juurde. Sel juhul paneme numbrid 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 ruutu, võrreldes saadud väärtusi juurarvuga 5: 
Alates 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5 , siis kümnenda koha väärtus on 2 . Saate jätkata sajandikukoha väärtuse leidmist: 
Nii leitakse viie juure järgmine väärtus, see on võrdne 2,23-ga. Ja nii saate jätkata väärtuste leidmist: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Materjali konsolideerimiseks analüüsime vaadeldava algoritmi abil juure eraldamist sajandiku täpsusega.
Esiteks määratleme vanem numbri. Selleks kuubime arvud 0, 10, 100 jne. kuni saame arvu, mis on suurem kui 2151.186. Meil on 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , seega on kõige olulisem number kümnend.
Määratleme selle väärtuse. 
Alates 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151,186 , siis kümnendkoha väärtus on 1 . Liigume edasi üksuste juurde. 
Seega on ühe koha väärtus 2 . Liigume kümne juurde. 
Kuna isegi 12,9 3 on radikaalarvust 2 151,186 väiksem, on kümnenda koha väärtus 9. Jääb teha algoritmi viimane samm, see annab meile juure väärtuse vajaliku täpsusega. 
Selles etapis leitakse juure väärtus kuni sajandikuteni: 
.
Selle artikli kokkuvõtteks tahaksin öelda, et juurte ekstraheerimiseks on palju muid viise. Kuid enamiku ülesannete jaoks piisab ülaltoodud ülesannetest.
Bibliograafia.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8 lahtrile. õppeasutused.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt.Algebra ja analüüsi algus: Õpik üldharidusasutuste 10.–11.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele).
Eelistatavalt insenertehniline - selline, milles on juurmärgiga nupp: "√". Tavaliselt piisab juure ekstraheerimiseks numbri enda tippimisest ja seejärel nupu vajutamisest: “√”.
Enamikul kaasaegsetel mobiiltelefonidel on juurekstraktsiooni funktsiooniga rakendus "kalkulaator". Telefonikalkulaatori abil numbri juure leidmise protseduur sarnaneb ülaltooduga.
Näide.
Leia alates 2.
Lülitame kalkulaatori sisse (kui see on välja lülitatud) ja vajutame järjest kahe ja juure kujutisega nuppe (“2”, “√”). Klahvi "=" vajutamine pole tavaliselt vajalik. Selle tulemusena saame sellise arvu nagu 1,4142 (märkide arv ja "ümarus" sõltub biti sügavusest ja kalkulaatori seadistustest).
Märkus: juure otsimisel annab kalkulaator tavaliselt vea.
Kui teil on juurdepääs arvutile, on numbri juure leidmine väga lihtne.
1. Rakendust Kalkulaator saate kasutada peaaegu igas arvutis. Windows XP puhul saab seda programmi käivitada järgmiselt.
"Start" - "Kõik programmid" - "Tarvikud" - "Kalkulaator".
Parem on seada vaade "tavaliseks". Muide, erinevalt tõelisest kalkulaatorist on juure ekstraktimise nupul märgitud "sqrt", mitte "√".
Kui te ei jõua määratud viisil kalkulaatorini, saate tavalise kalkulaatori käsitsi käivitada:
"Start" - "Run" - "calc".
2. Numbri juure leidmiseks võite kasutada ka mõnda arvutisse installitud programmi. Lisaks on programmil oma sisseehitatud kalkulaator.
Näiteks MS Exceli rakenduse puhul saate teha järgmist toimingute jada:
Käivitame MS Exceli.
Kirjutame igasse lahtrisse numbri, millest soovite juure eraldada.
Liigutage lahtrikursor teise asukohta
Vajutage funktsiooni valiku nuppu (fx)
Valige funktsioon "ROOT".
Funktsiooni argumendina määrake lahter numbriga
Vajutage "OK" või "Enter"
Selle meetodi eeliseks on see, et nüüd piisab suvalise väärtuse sisestamisest lahtrisse numbriga, nagu funktsioon ilmub kohe.
Märge.
Arvujuure leidmiseks on mitmeid teisi, eksootilisemaid viise. Näiteks "nurk", kasutades slaidireeglit või Bradise tabeleid. Neid meetodeid käesolevas artiklis aga nende keerukuse ja praktilise kasutuse tõttu ei käsitleta.
Seotud videod
Allikad:
- kuidas leida arvu juur
Mõnikord on olukordi, kus peate tegema matemaatilisi arvutusi, sealhulgas eraldama arvust ruutjuured ja kõrgema astme juured. "A" "n" juur on arv, mille n-s aste on "a".
Juhend
Et leida juur "n", tehke järgmist.
Klõpsake arvutis "Start" - "Kõik programmid" - "Tarvikud". Seejärel sisestage alamjaotis "Utiliidid" ja valige "Kalkulaator". Saate seda teha käsitsi: klõpsake nuppu "Start", tippige reale "run" "calk" ja vajutage "Enter". avaneb. Mis tahes arvu ruutjuure eraldamiseks sisestage see kalkulaatori reale ja vajutage nuppu "sqrt". Kalkulaator eraldab sisestatud arvust teise astme juure, mida nimetatakse ruuduks.
Selleks, et eraldada juur, mille aste on teisest kõrgem, peate kasutama teist tüüpi kalkulaatorit. Selleks klõpsake kalkulaatori liideses nuppu "Vaade" ja valige menüüst rida "Inseneritöö" või "Teadus". Seda tüüpi kalkulaatoril on n-nda astme juure arvutamiseks vajalik funktsioon.
Kolmanda astme juure () eraldamiseks tippige "inseneri" kalkulaatorisse soovitud arv ja vajutage nuppu "3√". 3.-st suurema juure saamiseks tippige soovitud arv, vajutage nuppu ikooniga "y√x" ja seejärel sisestage arv - astendaja. Pärast seda vajutage võrdusmärki (nupp "=") ja saate otsitava juure.
Kui teie kalkulaatoril ei ole funktsiooni "y√x", toimige järgmiselt.
Kuubijuure ekstraheerimiseks sisestage radikaalavaldis ja märkige ruut sildi "Inv" kõrval. Selle toiminguga muudate kalkulaatori nuppude funktsioonid vastupidiseks, st klõpsates nupul kuubik, ekstraheerite kuubijuure. Nupu peal, mida sa
Matemaatikas peetakse küsimust, kuidas juured võtta, suhteliselt lihtsaks. Kui paneme naturaalrea arvud ruutudesse: 1, 2, 3, 4, 5 ... n, siis saame järgmise ruutude jada: 1, 4, 9, 16 ... n 2. Ruudude jada on lõpmatu ja kui te seda tähelepanelikult vaatate, näete, et selles ei ole väga palju täisarve. Miks see nii on, selgitame veidi hiljem.
Arvu juur: arvutusreeglid ja näited
Niisiis, me panime arvu 2 ruutu, st korrutasime selle iseendaga ja saime 4. Aga kuidas võtta arvu 4 juur? Ütleme kohe, et juured võivad olla ruudukujulised, kuupmeetrised ja mis tahes kraadid kuni lõpmatuseni.
Juureaste on alati naturaalarv, see tähendab, et sellist võrrandit on võimatu lahendada: juur n-i 3,6 astmeni.
Ruutjuur
Pöördume tagasi küsimuse juurde, kuidas eraldada ruutjuur 4-st. Kuna me võtsime arvu 2 ruutu, eraldame ka ruutjuure. 4 juure õigeks võtmiseks peate lihtsalt valima õige arvu, mis ruutudes annaks arvu 4. Ja see on loomulikult 2. Vaadake näidet:
- 2 2 =4
- 4 juur = 2
See näide on üsna lihtne. Proovime eraldada ruutjuure 64-st. Millise arvu endaga korrutamisel saadakse 64? Ilmselgelt on see 8.
- 8 2 =64
- Juur 64=8
kuupjuur
Nagu eespool mainitud, ei ole juured ainult ruudukujulised, proovime näite abil selgemalt selgitada, kuidas eraldada kuupjuur või kolmanda astme juur. Kuupjuure eraldamise põhimõte on sama, mis ruutjuure oma, ainsaks erinevuseks on see, et soovitud arv korrutati algselt iseendaga mitte üks, vaid kaks korda. Niisiis, oletame, et võtame järgmise näite:
- 3x3x3=27
- Loomulikult on arvu 27 kuupjuur kolm:
- 3. juur 27-st = 3
Oletame, et peate leidma 64 kuupjuure. Selle võrrandi lahendamiseks piisab, kui leiate arvu, mis kolmanda astmeni tõstmisel annaks 64.
- 4 3 =64
- 3. juur 64-st = 4
Ekstraheerige kalkulaatoris oleva arvu juur
Muidugi on kõige parem õppida ruudu, kuubi ja muude kraadide eraldamist harjutades, lahendades palju näiteid ja jättes meelde väikeste arvude ruutude ja kuubikute tabeli. Tulevikus hõlbustab see võrrandite lahendamiseks kuluvat aega ja väheneb see tunduvalt. Kuigi tuleb märkida, et mõnikord on vaja välja võtta nii suure arvu juur, et õige ruuduarvu leidmine maksab palju tööd, kui üldse. Ruutjuure väljavõtmisel tuleb appi tavaline kalkulaator. Kuidas kalkulaatoris juure võtta? Väga lihtne on sisestada number, mille järgi soovite tulemust leida. Nüüd vaadake hoolikalt kalkulaatori nuppe. Isegi kõige lihtsamal neist on juurikooniga võti. Sellel klõpsates saate kohe valmis tulemuse.
Mitte iga arvu ei saa võtta terve juurena, vaadake järgmist näidet:
1859. aasta juur = 43,116122…
Võite proovida seda näidet paralleelselt lahendada kalkulaatoril. Nagu näete, ei ole saadud arv täisarv, pealegi pole kümnendkoha järel olev numbrite hulk lõplik. Täpsema tulemuse saab anda spetsiaalsete insenerikalkulaatoritega, kuid tavaliste ekraanile täistulemus lihtsalt ei mahu. Ja kui jätkate varem alustatud ruutude seeriat, ei leia te sellest arvu 1859, kuna selle saamiseks ruudustatud arv ei ole täisarv.
Kui teil on vaja lihtsa kalkulaatoriga eraldada kolmanda astme juur, peate topeltklõpsama juuremärgiga nuppu. Näiteks võtame ülal kasutatud numbri 1859 ja eraldame sellest kuupjuure:
3. juur 1859-st = 6,5662867…
See tähendab, et kui number 6.5662867 ... tõsta kolmanda astmeni, siis saame ligikaudu 1859. Seega pole arvudest juurte eraldamine keeruline, pidage meeles ülaltoodud algoritme.
Mis on ruutjuur?
Tähelepanu!
On olemas täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")
See kontseptsioon on väga lihtne. Loomulik, ma ütleks. Matemaatikud püüavad leida reaktsiooni igale tegevusele. On liitmine ja lahutamine. On korrutamine ja jagamine. Seal on kvadratuur ... Nii on ka ruutjuure eraldamine! See on kõik. See tegevus ( võttes ruutjuure) on matemaatikas tähistatud selle ikooniga:
Ikooni ennast nimetatakse ilusaks sõnaks " radikaalne".
Kuidas juuri ekstraheerida? Parem on kaaluda näiteid.
Mis on 9 ruutjuur? Ja milline arv ruudus annab meile 9? 3 ruutu annab meile 9! Need:
Mis on ruutjuur nullist? Pole probleemi! Millise arvu ruudus null annab? Jah, ta ise annab nulli! Tähendab:
Püütud mis on ruutjuur? Siis kaalume näiteid:
Vastused (segaselt): 6; üks; 4; 9; 5.
Otsustas? Tõesti, see on palju lihtsam!
Aga... Mida teeb inimene, kui ta näeb mingit juurtega ülesannet?
Inimene hakkab igatsema ... Ta ei usu juurte lihtsusse ja kergusesse. Kuigi tundub, et ta teab mis on ruutjuur...
Seda seetõttu, et inimene on juurte uurimisel eiranud mitmeid olulisi punkte. Siis maksavad need moehullud katsete ja eksamite eest jõhkralt kätte ...
Punkt üks. Juured tuleb nägemise järgi ära tunda!
Mis on 49 ruutjuur? Seitse? Õige! Kuidas sa teadsid, et neid on seitse? Panid seitse ruutu ja said 49? Õige! Pange tähele, et ekstrakti juur 49-st pidime tegema pöördtehte – ruut 7! Ja veenduge, et me vahele ei jääks. Või võivad nad vahele jätta...
Selles peitub raskus juure ekstraheerimine. Ruudukujundamine iga number on võimalik ilma probleemideta. Korrutage arv veerus iseendaga – ja ongi kõik. Aga selleks juure ekstraheerimine nii lihtsat ja tõrgeteta tehnoloogiat pole olemas. konto eest korja üles vastake ja kontrollige, kas seda on tabanud ruudus.
See keeruline loomeprotsess – vastuse valimine – on oluliselt lihtsustatud, kui mäleta populaarsete numbrite ruudud. Nagu korrutustabel. Kui peate näiteks 4 korrutama 6-ga – te ei liida nelja 6 korda, eks? Vastus ilmub kohe 24. Kuigi kõigil pole seda, jah ...
Tasuta ja edukaks juurtega tööks piisab, kui tead arvude ruute vahemikus 1 kuni 20. seal ja tagasi. Need. peaksite saama hõlpsasti nimetada nii näiteks 11 ruudu kui ka ruutjuure 121-st. Selle meeldejätmise saavutamiseks on kaks võimalust. Esimene on õppida ruutude tabelit. See aitab näidetega palju kaasa. Teine on lahendada rohkem näiteid. Tore on meenutada ruutude tabelit.
Ja ei mingeid kalkulaatoreid! Ainult kontrollimiseks. Vastasel juhul aeglustate eksami ajal halastamatult kiirust ...
Niisiis, mis on ruutjuur Ja kuidas ekstrakti juured- Ma arvan, et see on arusaadav. Nüüd uurime, MILLEST saate need välja võtta.
Punkt kaks. Root, ma ei tunne sind!
Millistest arvudest saab ruutjuure võtta? Jah, peaaegu iga. Lihtsam on aru saada, mida see on keelatud ekstraheerige need.
Proovime selle juure arvutada:
Selleks peate valima arvu, mis ruudus annab meile -4. Valime.
Mida pole valitud? 2 2 annab +4. (-2) 2 annab jälle +4! See on kõik ... Pole olemas numbreid, mis ruudus annavad meile negatiivse arvu! Kuigi ma tean numbreid. Aga ma ei ütle sulle.) Minge kolledžisse ja uurige ise.
Sama lugu on iga negatiivse arvuga. Siit järeldus:
Avaldis, milles negatiivne arv on ruutjuure märgi all - pole mõtet! See on keelatud toiming. Sama keelatud kui nulliga jagamine. Pidage seda tõsiasja meeles! Või teisisõnu:
Negatiivsetest arvudest ei saa ruutjuurt eraldada!
Aga kõigest muust - saate. Näiteks on võimalik arvutada
Esmapilgul on see väga raske. Korja üles murded, aga ruut üles ... Ära muretse. Kui käsitleme juurte omadusi, taandatakse sellised näited samasse ruutude tabelisse. Elu muutub lihtsamaks!
Okei, murrud. Kuid me kohtame endiselt selliseid väljendeid nagu:
Pole viga. Kõik on sama. Kahe ruutjuur on arv, mille ruudustamisel saame kahekümnendiku. Ainult arv on täiesti ebaühtlane ... Siin see on:
Huvitaval kombel ei lõpe see murd kunagi... Selliseid numbreid nimetatakse irratsionaalseteks. Ruutjuurtes on see kõige tavalisem asi. Muide, seepärast kutsutaksegi juurtega väljendeid irratsionaalne. Selge see, et sellise lõpmatu murdosa kogu aeg kirjutamine on ebamugav. Seetõttu jätavad nad lõpmatu murdosa asemel selle järgmiselt:
Kui näite lahendamisel saate midagi, mis pole ekstraheeritav, näiteks:
siis jätame selle nii. See on vastus.
Peate selgelt aru saama, mis ikoonide all on
Seda muidugi juhul, kui võtta numbri juur sile, peate seda tegema. Ülesande vastus vormis näiteks
üsna täielik vastus.
Ja loomulikult peate mälust teadma ligikaudseid väärtusi:
Need teadmised aitavad keeruliste ülesannete puhul palju olukorda hinnata.
Punkt kolm. Kõige kavalam.
Peamise segaduse juurtega töösse toob just see moeröögatus. Tema on see, kes tekitab eneses kahtlust... Tegeleme selle moeröögatusega korralikult!
Alustuseks eraldame taas nende nelja ruutjuure. Mis, kas ma olen sind selle juurega juba kätte saanud?) Ei midagi, nüüd läheb huvitavaks!
Mis numbri annab ruudus 4? Noh, kaks, kaks - ma kuulen rahulolematuid vastuseid ...
Õige. Kaks. Aga ka miinus kaks annab 4 ruudu ... Vahepeal vastus
õige ja vastus
räigeim viga. Nagu nii.
Mis asi siis on?
Tõepoolest, (-2) 2 = 4. Ja ruutjuure nelja definitsiooni all miinus kaksüsna sobiv ... See on ka ruutjuur neljast.
Aga! Matemaatika koolikursuses on tavaks arvestada ruutjuurtega ainult mittenegatiivsed arvud! St null ja kõik positiivsed. Mõeldi isegi eritermin: numbrist a- see mittenegatiivne arv, mille ruut on a. Negatiivsed tulemused aritmeetilise ruutjuure ekstraheerimisel jäetakse lihtsalt kõrvale. Koolis kõik ruutjuured - aritmeetika. Kuigi seda pole konkreetselt mainitud.
Olgu, see on arusaadav. Veel parem on mitte jamada negatiivsete tulemustega... See pole veel segadus.
Segadus algab ruutvõrrandite lahendamisel. Näiteks peate lahendama järgmise võrrandi.
Võrrand on lihtne, kirjutame vastuse (nagu õpetatud):
See vastus (üsna õige, muide) on lihtsalt lühendatud märge kaks vastused:
Lõpeta peatus! Natuke kõrgemale kirjutasin, et ruutjuur on arv alati mittenegatiivne! Ja siin on üks vastustest - negatiivne! Häire. See on esimene (kuid mitte viimane) probleem, mis tekitab umbusku juurte vastu... Lahendame selle probleemi. Paneme vastused kirja (puhtalt mõistmiseks!) nii:
Sulud ei muuda vastuse olemust. Ma lihtsalt eraldasin sulgudega märgid alates juur. Nüüd on selgelt näha, et juur ise (sulgudes) on ikkagi mittenegatiivne arv! Ja märgid on võrrandi lahendamise tulemus. Iga võrrandi lahendamisel peame ju kirjutama kõik x, mis algsesse võrrandisse asendatuna annab õige tulemuse. Viie juur (positiivne!) sobib meie võrrandisse nii plussi kui miinusega.
Nagu nii. Kui sa lihtsalt võtke ruutjuur kõigest sinust alati saada üks mittenegatiivne tulemus. Näiteks:
Sest see - aritmeetiline ruutjuur.
Aga kui lahendate mõne ruutvõrrandi, näiteks:
siis alati Selgub kaks vastus (pluss ja miinus):
Sest see on võrrandi lahendus.
Loodan, mis on ruutjuur said oma punktidega õigesti aru. Nüüd jääb üle välja selgitada, mida saab juurtega teha, millised on nende omadused. Ja mis on moeröögatused ja veealused kastid ... vabandage, kivid!)
Kõik see - järgmistes tundides.
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)
saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Ringil näitas ta, kuidas saab veerus välja tõmmata ruutjuuri. Saate arvutada juure suvalise täpsusega, leida selle kümnendarvust nii palju numbreid, kui soovite, isegi kui see osutub irratsionaalseks. Algoritm jäi meelde, aga küsimused jäid. Ei olnud selge, kust meetod pärit on ja miks see õige tulemuse annab. Seda polnud raamatutes või võib-olla ma lihtsalt otsisin valedest raamatutest. Selle tulemusel tõin ma selle ise välja, nagu enamiku sellest, mida ma täna tean ja suudan. Jagan siin oma teadmisi. Muide, ma ei tea ikka veel, kus on antud algoritmi põhjendus)))
Esiteks ütlen teile näite abil, kuidas süsteem töötab, ja seejärel selgitan, miks see tegelikult töötab.
Võtame numbri (number on võetud “laest”, lihtsalt tuli meelde).
1. Jagame selle numbrid paarideks: need, mis asuvad koma vasakul, rühmitame kaks paremalt vasakule ja paremal olevad - kaks vasakult paremale. Saame .
2. Eraldame ruutjuure esimesest vasakpoolsest numbrirühmast - meie puhul on see nii (on selge, et täpset juurt ei pruugita välja võtta, võtame arvu, mille ruut on võimalikult lähedal meie arvule, mille moodustab esimene numbrirühm, kuid ei ületa seda). Meie puhul on see arv. Kirjutame vastuseks - see on juure kõrgeim number.
3. Tõstame juba vastuses oleva arvu - see on - ruudus ja lahutame esimesest vasakpoolsest arvude rühmast - arvust. Meie puhul see jääb
4. Paremale omistame järgmise kahe numbri rühma: . Juba vastuses olev arv korrutatakse , saame .
5. Nüüd jälgi hoolega. Peame lisama paremal olevale numbrile ühe numbri ja korrutama selle numbriga, st sama määratud numbriga. Tulemus peaks olema võimalikult lähedane numbrile , kuid jällegi mitte suurem kui see arv. Meie puhul on see number, kirjutame selle vastuseks kõrval paremale. See on meie ruutjuure kümnendkoha järgmine number.
6. Lahutades tootest , saame .
7. Järgmisena kordame tuttavaid tehteid: omistame paremale järgmise numbrirühma, korrutame saadud arvuga > omistame ühe numbri paremale, nii et sellega korrutades saame arvu väiksema, kuid lähima numbri. it - see on number - juure kümnendkoha järgmine number.
Arvutused kirjutatakse järgmiselt:
Ja nüüd lubatud selgitus. Algoritm põhineb valemil
Kommentaarid: 50
2 Anton:
Liiga segane ja segane. Jagage kõik lahti ja nummerdage need. Pluss: selgitage, kus igas toimingus asendame vajalikud väärtused. Ma pole kunagi varem veeru juurt arvutanud – sain selle raskustega selgeks.
5 Julia:
6 :
Paremal on praegu kirjutatud Julia, 23, need on kaks esimest (vasakul) juba vastuvõetud juurnumbrit, mis vastuses on. Korrutame algoritmi järgi 2-ga. Kordame lõikes 4 kirjeldatud samme.
7zzz:
viga jaotises "6. 167-st lahutame korrutise 43 * 3 = 123 (129 nada), saame 38.
pole selge, kuidas pärast koma osutus 08 ...9 Aleksander Fedotov:
Ja isegi kalkulaatorieelsel ajastul õpetati meile koolis ekstraheerima mitte ainult ruutu, vaid ka veerus oleva kuupjuure, kuid see on tüütum ja vaevanõudvam töö. Lihtsam oli kasutada Bradise tabeleid või slaidireeglit, mida me juba keskkoolis õppisime.
10 :
Aleksander, teil on õigus, saate veerus ja juurtest välja tõmmata suurte kraadidega. Ma kirjutan just sellest, kuidas leida kuupjuurt.
12 Sergei Valentinovitš:
Kallis Elizabeth Aleksandrovna! 70ndate lõpus töötasin välja ruutude automaatse (st mitte valikulise) arvutamise skeemi. root Felixi lisamismasinas. Huvi korral võin kirjelduse saata.
14 Vlad aus Engelsstadt:
(((ruutjuure veergu ekstraheerimine)))
Algoritm on lihtsustatud, kui kasutada arvutiteaduses õpitavat 2. numbrisüsteemi, kuid see on kasulik ka matemaatikas. A.N. Kolmogorov tsiteeris seda algoritmi populaarsetes kooliõpilastele mõeldud loengutes. Tema artikli leiate Tšebõševi kogust (Mathematical Journal, otsige selle linki Internetist)
Selleks puhuks öelge:
G. Leibniz kiirustas omal ajal ideega minna üle 10. numbrisüsteemilt kahendsüsteemile selle lihtsuse ja algajatele (noorematele koolilastele) juurdepääsetavuse tõttu. Kuid väljakujunenud traditsioonide murdmine on nagu kindluseväravate lõhkumine laubaga: see on võimalik, kuid see on kasutu. Nii selgub, nagu vanasti enim tsiteeritud habemega filosoofi sõnul: kõigi surnud põlvkondade traditsioonid suruvad elavate teadvuse alla.Näeme järgmine kord.
15 Vlad aus Engelsstadt:
)) Sergei Valentinovitš, jah, olen huvitatud ... ((
Vean kihla, et see on Babüloonia meetodi Felixi variatsioon ruudukujulise hobuse eraldamiseks järjestikuste lähenduste abil. Selle algoritmi tühistas Newtoni meetod (tangentmeetod)
Huvitav, kas tegin prognoosis vea?
18 :
2Vlad aus Engelsstadt
Jah, kahendkoodi algoritm peaks olema lihtsam, see on üsna ilmne.
Newtoni meetodi kohta. Võib-olla on, aga huvitav on ikkagi
20 Cyril:
Tänud. Aga algoritmi ikka ei eksisteeri, pole teada, kust see tuli, aga tulemus on õige. TÄNUD! Otsinud seda pikka aega
21 Aleksander:
Ja kuidas läheb juure väljavõtmine arvust, kus teine rühm vasakult paremale on väga väike? näiteks on kõigi lemmiknumber 4 398 046 511 104. pärast esimest lahutamist on võimatu kõike algoritmi järgi jätkata. Kas saate palun selgitada.
22 Aleksei:
Jah, ma tean seda teed. Mäletan, et lugesin seda mõne vana väljaande raamatust "Algebra". Seejärel järeldas ta ise analoogia põhjal, kuidas samas veerus kuupjuur välja võtta. Kuid seal on juba keerulisem: iga numbrit ei määrata enam ühes (nagu ruudu puhul), vaid kahe lahutamisega ja isegi seal on vaja pikki arve korrutada.
23 Artem:
Ruutjuure 56789.321 näites on kirjavigu. Arvude rühm 32 omistatakse kahel korral numbritele 145 ja 243, numbris 2388025 tuleb teine 8 asendada 3-ga. Seejärel tuleb viimane lahutamine kirjutada järgmiselt: 2431000 - 2383025 = 47975.
Lisaks saame jäägi jagamisel vastuse kahekordistunud väärtusega (v.a koma) täiendava arvu olulisi numbreid (47975/(2*238305) = 0,100658819…), mis tuleks lisada vastusele (√56789.321). = 238,305… = 238,305100659).24 Sergei:
Ilmselt pärines algoritm Isaac Newtoni raamatust "Üldne aritmeetika ehk raamat aritmeetilisest sünteesist ja analüüsist". Siin on väljavõte sellest:
JUURTE KOHTA
Ruutjuure eraldamiseks arvust tuleks kõigepealt panna punkt arvude kohale kuni üheni, alustades ühikutest. Seejärel tuleb jagatisesse või juure kirjutada arv, mille ruut on võrdne esimesele punktile eelnevate arvude või joonistega või sellele lähim. Pärast selle ruudu lahutamist leitakse järgemööda juure ülejäänud numbrid, jagades jäägi kahekordse juba eraldatud juureosa väärtusega ja lahutades iga kord ruudu ülejäänud osast viimane leitud number ja selle kümnekordne korrutis nimetatud jagaja.
25 Sergei:
Parandage raamatu pealkiri "Üldne aritmeetika või raamat aritmeetilise sünteesi ja analüüsi kohta"
26 Aleksander:
Täname huvitava sisu eest. Kuid see meetod tundub mulle mõnevõrra keerulisem, kui see on näiteks koolipoisi jaoks vajalik. Kasutan lihtsamat meetodit, mis põhineb ruutfunktsiooni laiendamisel, kasutades kahte esimest tuletist. Selle valem on:
sqrt(x)=A1+A2-A3 kus
A1 on täisarv, mille ruut on x-le lähim;
A2 on murd, lugejas x-A1, nimetajas 2*A1.
Enamiku koolikursusel ette tulnud numbrite puhul piisab sellest, et saada sajandiku täpsusega tulemus.
Kui vajate täpsemat tulemust, võtke
A3 on murd, lugejas A2 ruudus, nimetajas 2 * A1 + 1.
Loomulikult on rakendamiseks vaja täisarvude ruutude tabelit, kuid koolis pole see probleem. Selle valemi meeldejätmine on üsna lihtne.
Mind ajab aga segadusse, et sain A3 empiiriliselt arvutustabeliga katsetuste tulemusena ja ei saa päris hästi aru, miks sellel terminil selline vorm on. Äkki oskate nõu anda?27 Aleksander:
Jah, ma olen ka neid kaalutlusi kaalunud, kuid kurat peitub detailides. Sa kirjutad:
"sest a2 ja b erinevad juba üsna palju." Küsimus on selles, kui vähe täpselt.
See valem töötab hästi teise kümne numbrite puhul ja palju halvemini (mitte kuni sajandikuteni, vaid kuni kümnendikuni) esimese kümne numbrite puhul. Miks see juhtub, on juba raske mõista ilma tuletisinstrumente kaasamata.28 Aleksander:
Selgitan, kus näen minu pakutud valemi eelist. See ei nõua arvude mitte päris loomulikku jagamist numbripaarideks, mida, nagu kogemus näitab, tehakse sageli vigadega. Selle tähendus on ilmne, kuid analüüsiga kursis oleva inimese jaoks on see tühine. Töötab hästi numbritega 100 kuni 1000, mis on koolis kõige tavalisem.
29 Aleksander:
Muide, uurisin veidi ja leidsin valemist A3 täpse väljendi:
A3 = A22 /2 (A1 + A2)30 vasil stryzhak:
Meie ajal ei ole arvutitehnoloogia laialdane kasutamine, praktilisest vaatenurgast ruudukujulise hobuse väljavõtmine numbrist seda väärt. Kuid matemaatika austajatele pakuvad selle probleemi lahendamiseks muidugi huvi mitmesugused võimalused. Kooli õppekavas peaks selle arvutuse meetod ilma lisavahendite kaasamiseta toimuma samaväärselt veerus korrutamise ja jagamisega. Arvutusalgoritm peaks olema mitte ainult meelde jäetud, vaid ka arusaadav. Selles materjalis käsitletav klassikaline meetod koos olemuse avalikustamisega vastab täielikult ülaltoodud kriteeriumidele.
Aleksandri pakutud meetodi oluline puudus on täisarvude ruutude tabeli kasutamine. Millise enamuse koolikursusel esinevatest arvudest see on piiratud, autor vaikib. Mis puutub valemisse, siis üldiselt avaldab see mulle muljet, arvestades arvutuse suhteliselt suurt täpsust.31 Aleksander:
30 vasil stryzhak eest
Ma ei tundnud millestki puudust. Ruudude tabel on oletatud kuni 1000. Minu kooliajal õpiti see koolis lihtsalt pähe ja see oli kõigis matemaatikaõpikutes. Nimetasin selle intervalli selgesõnaliselt.
Mis puutub arvutitehnikasse, siis seda peamiselt matemaatikatundides ei kasutata, kui just pole mingi kalkulaatori kasutamise eriteema. Kalkulaatorid on nüüd sisse ehitatud seadmetesse, mille kasutamine eksamil on keelatud.32 vasil stryzhak:
Aleksander, tänan selgituse eest! Arvasin, et pakutud meetodi puhul on teoreetiliselt vaja meeles pidada või kasutada kõigi kahekohaliste arvude ruutude tabelit. Siis radikaalarvude puhul, mis ei sisaldu vahemikus 100 kuni 10000, võite kasutada meetod, kuidas neid koma liigutades vajaliku arvu tellimuste võrra suurendada või vähendada.
33 vasil stryzhak:
39 Aleksander:
MINU ESIMENE PROGRAMM KEELES "YAMB" NÕUKOGUDE MASINAAL "ISKRA 555" SÕIDU KIRJUTATUD SELLEKS, ET ARVULT RUUTJUUR VEERU ALGORITMI VÄLJA VÄLJAVÕTTA! ja nüüd ma unustasin, kuidas seda käsitsi ekstraktida!
