Sinus Täisnurkse kolmnurga teravnurk α on suhe vastupidine kateeter hüpotenuusile.
Seda tähistatakse järgmiselt: sin α.

Koosinus Täisnurkse kolmnurga teravnurk α on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
Seda tähistatakse järgmiselt: cos α.

Tangent teravnurk α on vastasjala ja külgneva jala suhe.
Seda tähistatakse järgmiselt: tg α.

Kotangent teravnurk α on külgneva jala ja vastassuunalise jala suhe.
See on tähistatud järgmiselt: ctg α.

Nurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens sõltuvad ainult nurga suurusest.

Reeglid:

Põhilised trigonomeetrilised identiteedid täisnurkses kolmnurgas:

(α - teravnurk jala vastas b ja jala kõrval a . Külg Koos - hüpotenuus. β - teine ​​teravnurk).

Teranurga suurenedessinα jatg α suurenemine jacos α väheneb.

Iga teravnurga α korral:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Selgitav näide:

Laske sisse täisnurkne kolmnurk ABC
AB = 6,
BC = 3,
nurk A = 30º.

Leidke nurga A siinus ja nurga B koosinus.

Lahendus.

1) Esiteks leiame nurga B väärtuse. Siin on kõik lihtne: kuna täisnurkses kolmnurgas on teravnurkade summa 90º, siis nurk B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Arvutage patt A. Teame, et siinus võrdub vastasjala ja hüpotenuusi suhtega. Nurga A puhul on vastaskülg külg BC. Niisiis:

eKr 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Nüüd arvutame cos B. Teame, et koosinus on võrdne külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega. Nurga B puhul on külgnev jalg sama külg BC. See tähendab, et peame jälle jagama BC AB-ks - see tähendab tegema samu toiminguid, mis nurga A siinuse arvutamisel:

eKr 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Tulemuseks on:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Sellest järeldub, et täisnurkses kolmnurgas on ühe teravnurga siinus võrdne teise teravnurga koosinusega - ja vastupidi. See on täpselt see, mida meie kaks valemit tähendavad:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Vaatame uuesti:

1) Olgu α = 60º. Asendades siinuse valemis α väärtuse, saame:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Olgu α = 30º. Asendades α väärtuse koosinusvalemis, saame:
cos (90° - 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(Lisateavet trigonomeetria kohta leiate jaotisest Algebra)

Selles artiklis näitame, kuidas nurga ja arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid trigonomeetrias. Siin räägime noodikirjast, toome kirjete näiteid, toome graafilisi illustratsioone. Kokkuvõtteks toome paralleeli siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide vahel trigonomeetrias ja geomeetrias.

Leheküljel navigeerimine.

Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon

Jälgime, kuidas kujuneb kooli matemaatikakursusel mõiste siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Geomeetria tundides antakse täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon. Ja hiljem uuritakse trigonomeetriat, mis viitab pöördenurga ja arvu siinusele, koosinusele, puutujale ja kotangensile. Anname kõik need määratlused, toome näiteid ja anname vajalikud kommentaarid.

Täisnurkse kolmnurga teravnurk

Geomeetria käigust on teada täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid. Need on antud täisnurkse kolmnurga külgede suhtena. Tutvustame nende koostisi.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastasjala ja hüpotenuusi suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on vastasjala ja külgneva jala suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga kotangens on külgneva jala ja vastasjala suhe.

Seal võetakse kasutusele ka siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tähistus - vastavalt sin, cos, tg ja ctg.

Näiteks kui ABC on täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C, siis on teravnurga A siinus võrdne vastasjala BC ja hüpotenuusi AB suhtega, st sin∠A=BC/AB.

Need määratlused võimaldavad teil arvutada teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused täisnurkse kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste, aga ka siinuse, koosinuse, puutuja, kotangens ja ühe külje pikkus, leidke teiste külgede pikkused. Näiteks kui me teaksime, et täisnurkses kolmnurgas on jalg AC 3 ja hüpotenuus AB on 7 , siis saaksime välja arvutada teravnurga A koosinuse definitsiooni järgi: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Pöörlemisnurk

Trigonomeetrias hakkavad nad nurka laiemalt vaatama – tutvustavad pöördenurga mõistet. Pöördenurk, erinevalt teravnurgast, ei ole piiratud kaadritega vahemikus 0 kuni 90 kraadi, pöördenurka kraadides (ja radiaanides) saab väljendada mis tahes reaalarvuga vahemikus −∞ kuni +∞.

Selles valguses ei ole siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid enam teravnurk, vaid suvalise suurusega nurk – pöördenurk. Need on antud punkti A 1 x ja y koordinaatide kaudu, millesse läheb nn algpunkt A(1, 0) pärast selle pöörlemist läbi nurga α ümber punkti O - ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi algus. ja ühikuringi keskpunkt.

Definitsioon.

Pöörlemisnurga siinusα on punkti A 1 ordinaat, st sinα=y .

Definitsioon.

pöördenurga koosinusα nimetatakse punkti A 1 abstsissiks, st cosα=x .

Definitsioon.

Pöörlemisnurga puutujaα on punkti A 1 ordinaadi ja selle abstsissi suhe, st tgα=y/x .

Definitsioon.

Pöörlemisnurga kotangensα on punkti A 1 abstsissi ja selle ordinaadi suhe, see tähendab ctgα=x/y .

Siinus ja koosinus on defineeritud iga nurga α jaoks, kuna me saame alati määrata punkti abstsissi ja ordinaadi, mis saadakse lähtepunkti pööramisel nurga α võrra. Ja puutuja ja kotangent pole ühegi nurga jaoks määratletud. Puutujat ei määratleta selliste nurkade α jaoks, mille juures algpunkt läheb null-abstsissiga punkti (0, 1) või (0, −1) ja see toimub nurkade 90°+180° k , k∈Z korral. (π /2+π k rad). Tõepoolest, selliste pöördenurkade korral pole avaldisel tgα=y/x mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Mis puutub kotangenti, siis seda ei ole defineeritud selliste nurkade α puhul, mille juures lähtepunkt läheb nullordinaat (1, 0) või (−1, 0) punkti, ja see kehtib nurkade 180° k , k puhul. ∈Z (π k rad).

Seega on siinus ja koosinus defineeritud mis tahes pöördenurkade jaoks, puutuja on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) ja kotangens on kõikide nurkade jaoks, välja arvatud 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Meile juba tuntud tähised esinevad definitsioonides sin, cos, tg ja ctg, nendega tähistatakse ka pöördenurga siinust, koosinust, puutujat ja kotangenti (mõnikord võib leida tangensile ja kotangendile vastava tähise tan ja cot). kotangent). Seega saab 30-kraadise pöördenurga siinuse kirjutada kui sin30°, kirjed tg(−24°17′) ja ctgα vastavad pöördenurga puutujale −24 kraadi 17 minutit ja pöördenurga α kotangensile. . Tuletame meelde, et nurga radiaanimõõtu kirjutades jäetakse sageli märge "rad" välja. Näiteks kolme pi rad pöördenurga koosinust tähistatakse tavaliselt cos3 π .

Selle lõigu kokkuvõttes väärib märkimist, et pöördenurga siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensist rääkides jäetakse sageli välja fraas "pöörlemisnurk" või sõna "pööramine". See tähendab, et fraasi "pöörlemisnurga siinus alfa" asemel kasutatakse tavaliselt väljendit "alfa nurga siinus" või veelgi lühemat - "alfa siinus". Sama kehtib koosinuse, puutuja ja kotangensi kohta.

Oletame ka, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas 0–90 pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega. kraadid. Me põhjendame seda.

Numbrid

Definitsioon.

Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t on arv, mis võrdub vastavalt pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga t radiaanides.

Näiteks 8 π koosinus on definitsiooni järgi arv, mis võrdub nurga 8 π rad koosinusega. Ja nurga koosinus 8 π rad on võrdne ühega, seetõttu on arvu 8 π koosinus võrdne 1-ga.

Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi defineerimisel on veel üks lähenemine. See seisneb selles, et igale reaalarvule t määratakse ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi alguspunktis tsentreeritud ühikuringi punkt ning siinus, koosinus, puutuja ja kotangens määratakse selle punkti koordinaatide kaudu. Peatume sellel üksikasjalikumalt.

Näitame, kuidas luuakse vastavus reaalarvude ja ringi punktide vahel:

• arvule 0 omistatakse alguspunkt A(1, 0) ;
• positiivne arv t on seotud ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume ümber ringi alguspunktist vastupäeva ja läbime tee pikkusega t;
• negatiivne arv t on seotud ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume ümber ringi alguspunktist päripäeva ja läbime tee pikkusega |t| .

Liigume nüüd edasi arvu t siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide juurde. Oletame, et arv t vastab ringi punktile A 1 (x, y) (näiteks arv &pi/2; vastab punktile A 1 (0, 1) ).

Definitsioon.

Arvu siinus t on arvule t vastava ühikringipunkti ordinaat, st sint=y .

Definitsioon.

Arvu koosinus t nimetatakse arvule t vastava ühikringi punkti abstsissiks ehk kulu=x .

Definitsioon.

Arvu puutuja t on arvule t vastava ühikringkonna punkti ordinaadi ja abstsissi suhe, st tgt=y/x. Teises samaväärses sõnastuses on arvu t puutuja selle arvu siinuse ja koosinuse suhe, see tähendab tgt=sint/kulu .

Definitsioon.

Arvu kotangents t on abstsissi ja arvule t vastava ühikringjoone punkti ordinaadi suhe, st ctgt=x/y. Teine sõnastus on järgmine: arvu t puutuja on arvu t koosinuse ja arvu t siinuse suhe: ctgt=kulu/sint .

Siinkohal märgime, et just antud definitsioonid ühtivad selle alajao alguses antud määratlusega. Tõepoolest, arvule t vastav ühikringi punkt langeb kokku punktiga, mis saadakse lähtepunkti pööramisel läbi t radiaani nurga.

Samuti tasub seda punkti selgitada. Oletame, et meil on sin3 kirje. Kuidas aru saada, kas kõne all on arvu 3 siinus või 3 radiaani pöördenurga siinus? Tavaliselt selgub see kontekstist, muidu pole sellel ilmselt tähtsust.

Nurga- ja arvargumendi trigonomeetrilised funktsioonid

Eelmises lõigus toodud definitsioonide kohaselt vastab iga pöördenurk α sinα täpselt määratletud väärtusele, samuti cosα väärtusele. Lisaks vastavad kõik pöördenurgad peale 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) väärtustele tgα ja peale 180° k , k∈Z (π k rad ) on ctgα väärtused. Seetõttu on sinα, cosα, tgα ja ctgα nurga α funktsioonid. Teisisõnu, need on nurgaargumendi funktsioonid.

Samamoodi saame rääkida arvulise argumendi funktsioonidest siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Tõepoolest, iga reaalarv t vastab täpselt määratletud sinti väärtusele ja ka kulule. Lisaks vastavad kõik arvud peale π/2+π·k , k∈Z väärtustele tgt ja numbrid π·k , k∈Z vastavad väärtustele ctgt .

Nimetatakse funktsioone siinus, koosinus, puutuja ja kotangens trigonomeetrilised põhifunktsioonid.

Tavaliselt on kontekstist selgelt näha, et tegemist on nurkargumendi või arvargumendi trigonomeetriliste funktsioonidega. Vastasel juhul võime käsitleda sõltumatut muutujat nii nurga mõõduna (nurga argument) kui ka arvulise argumendina.

Põhiliselt uuritakse koolis aga arvfunktsioone ehk funktsioone, mille argumendid ja ka vastavad funktsiooni väärtused on arvud. Seega, kui me räägime funktsioonidest, siis on soovitatav käsitleda trigonomeetrilisi funktsioone kui numbriliste argumentide funktsioone.

Definitsioonide ühendamine geomeetriast ja trigonomeetriast

Kui arvestada pöördenurka α vahemikus 0 kuni 90 kraadi, siis on pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsiooni andmed trigonomeetria kontekstis täielikult kooskõlas siinuse, koosinuse määratlustega. , täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja ja kotangens, mis on antud geomeetria kursusel. Põhjendame seda.

Joonistage ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis Oxy ühikring. Pange tähele alguspunkti A(1, 0) . Pöörame seda nurga α võrra vahemikus 0 kuni 90 kraadi, saame punkti A 1 (x, y) . Kukkume risti A 1 H punktist A 1 Ox-teljele.

On hästi näha, et täisnurkses kolmnurgas on nurk A 1 OH võrdne pöördenurgaga α, selle nurgaga külgneva jala OH pikkus võrdub punkti A 1 abstsissiga, see tähendab |OH |=x, nurga vastas oleva jala pikkus A 1 H võrdub punkti A 1 ordinaadiga, see tähendab |A 1 H|=y ja hüpotenuusi OA 1 pikkus on võrdne ühega , kuna see on ühikuringi raadius. Siis on geomeetria definitsiooni järgi teravnurga α siinus täisnurkses kolmnurgas A 1 OH võrdne vastasharu ja hüpotenuusi suhtega, st sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Ja trigonomeetria definitsiooni järgi on pöördenurga α siinus võrdne punkti A 1 ordinaadiga, see tähendab sinα=y. See näitab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse määratlus on samaväärne pöördenurga α siinuse määratlusega α 0 kuni 90 kraadi korral.

Samamoodi saab näidata, et teravnurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas pöördenurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega.

Bibliograafia.

1. Geomeetria. 7-9 klassid: õpingud. üldhariduse jaoks institutsioonid / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev jt]. - 20. väljaanne M.: Haridus, 2010. - 384 lk.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geomeetria: Proc. 7-9 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / A. V. Pogorelov. - 2. trükk - M.: Valgustus, 2001. - 224 lk.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra ja elementaarfunktsioonid: Õpik keskkooli 9. klassi õpilastele / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Toimetanud füüsika- ja matemaatikateaduste doktor O. N. Golovin – 4. väljaanne. Moskva: Haridus, 1969.
4. Algebra: Proc. 9 raku jaoks. keskm. kool / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovski.- M.: Valgustus, 1990.- 272 lk.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. tr.- M.: Valgustus, 2004.- 384 lk.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovitš A.G. Algebra ja analüüsi algus. 10. klass. Kell 14 1. osa: õpik haridusasutustele (profiilitasand) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. väljaanne, lisa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 lk.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toim. A. B. Žižtšenko. - 3. väljaanne - I .: Haridus, 2010. - 368 lk.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Valgustus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovitš A. G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.

Vastasjala ja hüpotenuusi suhet nimetatakse teravnurga siinus täisnurkne kolmnurk.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus

Lähima jala ja hüpotenuusi suhet nimetatakse teravnurga koosinus täisnurkne kolmnurk.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja

Nimetatakse vastasjala ja külgneva jala suhet teravnurga puutuja täisnurkne kolmnurk.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Täisnurkse kolmnurga teravnurga kotangens

Külgneva jala ja vastasjala suhet nimetatakse teravnurga kotangents täisnurkne kolmnurk.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Suvalise nurga siinus

Nimetatakse ühikringi punkti ordinaat, millele vastab nurk \alpha suvalise nurga siinus pööramine \alpha .

\sin \alpha=y

Suvalise nurga koosinus

Nimetatakse ühikringi punkti abstsiss, millele vastab nurk \alpha suvalise nurga koosinus pööramine \alpha .

\cos \alpha=x

Suvalise nurga puutuja

Nimetatakse suvalise pöördenurga \alpha siinuse suhet selle koosinusesse suvalise nurga puutuja pööramine \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Suvalise nurga kotangens

Nimetatakse suvalise pöördenurga \alpha koosinuse suhet selle siinusesse suvalise nurga kotangents pööramine \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Näide suvalise nurga leidmisest

Kui \alpha on mingi nurk AOM , kus M on punkt ringjoonel, siis

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Näiteks kui \angle AOM = -\frac(\pi)(4), siis: punkti M ordinaat on -\frac(\sqrt(2))(2), abstsiss on \frac(\sqrt(2))(2) ja sellepärast

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Kootangentide puutujate koosinuste väärtuste tabel

Peamiste sageli esinevate nurkade väärtused on toodud tabelis:

Trigonomeetria on matemaatika haru, mis uurib trigonomeetrilisi funktsioone ja nende kasutamist geomeetrias. Trigonomeetria areng algas Vana-Kreeka päevil. Keskajal andsid Lähis-Ida ja India teadlased selle teaduse arengusse olulise panuse.

See artikkel on pühendatud trigonomeetria põhimõistetele ja määratlustele. Selles käsitletakse peamiste trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi: siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Selgitatakse ja illustreeritakse nende tähendust geomeetria kontekstis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Esialgu väljendati trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi, mille argumendiks on nurk, täisnurkse kolmnurga külgede suhte kaudu.

Trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid

Nurga siinus (sin α) on selle nurga vastas oleva jala ja hüpotenuusi suhe.

Nurga koosinus (cos α) on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.

Nurga puutuja (t g α) on vastasjala ja külgneva jala suhe.

Nurga kootangens (c t g α) on külgneva jala ja vastassuunalise jala suhe.

Need definitsioonid on antud täisnurkse kolmnurga teravnurga kohta!

Toome näite.

Kolmnurgas ABC täisnurgaga C on nurga A siinus võrdne jala BC ja hüpotenuusi AB suhtega.

Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid võimaldavad arvutada nende funktsioonide väärtused kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste põhjal.

Oluline meeles pidada!

Siinus- ja koosinusväärtuste vahemik: -1 kuni 1. Teisisõnu, siinus ja koosinus võtavad väärtused vahemikus -1 kuni 1. Tangensi ja koosinuse väärtuste vahemik on kogu arvurida, st need funktsioonid võivad võtta mis tahes väärtuse.

Eespool toodud määratlused viitavad teravnurkadele. Trigonomeetrias võetakse kasutusele pöördenurga mõiste, mille väärtust erinevalt teravnurgast ei piira raamid vahemikus 0 kuni 90 kraadi Pöördenurka kraadides või radiaanides väljendatakse mis tahes reaalarvuga alates - ∞ kuni + ∞.

Selles kontekstis saab määratleda suvalise suurusega nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi. Kujutage ette ühikringi, mille keskpunkt on Descartes'i koordinaatsüsteemi alguspunkt.

Algpunkt A koordinaatidega (1 , 0) pöörleb ümber ühikuringi keskpunkti mingi nurga α võrra ja läheb punkti A 1 . Määratlus antakse punkti A 1 (x, y) koordinaatide kaudu.

Pöörlemisnurga siinus (sinus).

Pöörlemisnurga α siinus on punkti A 1 (x, y) ordinaat. sinα = y

Pöörlemisnurga koosinus (cos).

Pöördenurga α koosinus on punkti A 1 (x, y) abstsiss. cos α = x

Pöörlemisnurga puutuja (tg).

Pöördenurga α puutuja on punkti A 1 (x, y) ordinaadi ja selle abstsissi suhe. t g α = y x

Pöörlemisnurga kotangents (ctg).

Pöördenurga α kotangens on punkti A 1 (x, y) abstsissi ja selle ordinaadi suhe. c t g α = x y

Siinus ja koosinus on määratletud mis tahes pöördenurga jaoks. See on loogiline, sest pöördejärgse punkti abstsissi ja ordinaati saab määrata mis tahes nurga all. Tangensi ja kotangensi puhul on olukord erinev. Puutujat ei määrata, kui punkt pärast pöörlemist läheb null-abstsissiga punkti (0 , 1) ja (0 , - 1). Sellistel juhtudel pole puutuja t g α = y x avaldisel lihtsalt mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Sarnane on olukord kotangensiga. Erinevus seisneb selles, et kotangenti ei määrata juhtudel, kui punkti ordinaat kaob.

Oluline meeles pidada!

Siinus ja koosinus on määratletud mis tahes nurga α jaoks.

Puutuja on määratletud kõikide nurkade jaoks, välja arvatud α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kootangens on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Praktiliste näidete lahendamisel ärge öelge "pöördenurga α siinus". Sõnad "pöördenurk" on lihtsalt välja jäetud, mis annab mõista, et kontekstist on juba selge, mis on kaalul.

Numbrid

Kuidas on lood arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi, mitte pöördenurga määratlusega?

Arvu siinus, koosinus, puutuja, kotangens

Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t kutsutakse arv, mis on vastavalt võrdne siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga in t radiaan.

Näiteks siinus 10 π võrdub pöördenurga siinusega 10 π rad.

Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi defineerimisel on veel üks lähenemine. Vaatleme seda üksikasjalikumalt.

Mis tahes reaalarv tühikringi punkt viiakse vastavusse ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi alguspunkti keskpunktiga. Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on määratletud selle punkti koordinaatidena.

Ringjoone alguspunktiks on punkt A koordinaatidega (1 , 0).

positiivne arv t

Negatiivne arv t vastab punktile, kuhu alguspunkt liigub, kui see liigub ümber ringi vastupäeva ja läbib tee t .

Nüüd, kui seos arvu ja ringi punkti vahel on loodud, jätkame siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsiooniga.

Siinus (patt) arvust t

Arvu siinus t- arvule vastava ühikringi punkti ordinaat t. sin t = y

Koosinus (cos) t-st

Arvu koosinus t- arvule vastava ühikringi punkti abstsiss t. cos t = x

t puutuja (tg).

Arvu puutuja t- arvule vastava ühikringi punkti ordinaadi ja abstsissi suhe t. t g t = y x = sin t cos t

Viimased määratlused on kooskõlas käesoleva jaotise alguses antud määratlusega ega ole sellega vastuolus. Punkt arvule vastaval ringil t, langeb kokku punktiga, milleni lähtepunkt liigub pärast nurga pööramist t radiaan.

Nurga- ja arvargumendi trigonomeetrilised funktsioonid

Nurga α iga väärtus vastab selle nurga siinuse ja koosinuse teatud väärtusele. Nii nagu kõik nurgad α peale α = 90 ° + 180 ° · k, vastab k ∈ Z (α = π 2 + π · k, k ∈ Z) puutuja teatud väärtusele. Kootangens, nagu eespool mainitud, on defineeritud kõigi α jaoks, välja arvatud α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Võime öelda, et sin α , cos α , t g α , c t g α on nurga alfa funktsioonid ehk nurgaargumendi funktsioonid.

Samamoodi võib arvulise argumendi funktsioonidena rääkida siinusest, koosinusest, puutujast ja kotangensist. Iga reaalarv t vastab arvu siinuse või koosinuse kindlale väärtusele t. Kõik arvud peale π 2 + π · k , k ∈ Z vastavad puutuja väärtusele. Kootangens on samamoodi defineeritud kõigi arvude jaoks, välja arvatud π · k , k ∈ Z.

Trigonomeetria põhifunktsioonid

Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on trigonomeetrilised põhifunktsioonid.

Tavaliselt on kontekstist selge, millise trigonomeetrilise funktsiooni argumendiga (nurkargumendiga või numbriargumendiga) tegemist on.

Pöördume tagasi definitsioonide alguses olevate andmete ja nurga alfa juurde, mis jääb vahemikku 0 kuni 90 kraadi. Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi trigonomeetrilised definitsioonid on täielikult kooskõlas geomeetriliste definitsioonidega, mis on antud täisnurkse kolmnurga külgede vahekordadest. Näitame seda.

Võtke ühikring, mille keskpunkt on ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem. Pöörame alguspunkti A (1, 0) kuni 90 kraadise nurga võrra ja joonistame saadud punktist A 1 (x, y) risti x-teljega. Saadud täisnurkses kolmnurgas on nurk A 1 O H võrdne pöördenurgaga α, jala pikkus O H võrdub punkti A abstsissiga 1 (x, y) . Nurga vastas oleva jala pikkus võrdub punkti A 1 (x, y) ordinaadiga ja hüpotenuusi pikkus on võrdne ühega, kuna see on ühikuringi raadius.

Vastavalt geomeetria definitsioonile on nurga α siinus võrdne vastasjala ja hüpotenuusi suhtega.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

See tähendab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse määratlus kuvasuhte kaudu on samaväärne pöördenurga α siinuse määratlusega, kusjuures alfa asub vahemikus 0 kuni 90 kraadi.

Samamoodi saab definitsioonide vastavust näidata koosinuse, puutuja ja kotangensi jaoks.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Õpetajad usuvad, et iga õpilane peaks oskama arvutada, oskama trigonomeetrilisi valemeid, kuid mitte iga õpetaja ei selgita, mis on siinus ja koosinus. Mis on nende tähendus, kus neid kasutatakse? Miks me räägime kolmnurkadest, aga õpikusse on joonistatud ring? Proovime kõik faktid omavahel ühendada.

Õppeaine

Trigonomeetria õpe algab tavaliselt gümnaasiumi 7. või 8. klassis. Sel ajal selgitatakse õpilastele, mis on siinus ja koosinus, pakutakse nende funktsioonide abil lahendada geomeetrilisi ülesandeid. Hiljem ilmnevad keerulisemad valemid ja avaldised, mis vajavad algebralist teisendamist (kaks- ja poolnurga valemid, astmefunktsioonid), töö käib trigonomeetrilise ringiga.

Siiski ei suuda õpetajad alati selgelt selgitada kasutatavate mõistete tähendust ja valemite rakendatavust. Seetõttu ei näe õpilane sageli selles aines mõtet ning päheõpitud info ununeb kiiresti. Küll aga tasub korra gümnasistile selgitada näiteks funktsiooni seost võnkuva liikumisega ning loogiline seos jääb paljudeks aastateks meelde ning naljadest aine kasutuse üle saab asja. minevik.

Kasutamine

Uudishimu huvides vaatleme erinevaid füüsikaharusid. Kas soovite määrata mürsu ulatuse? Või arvutate objekti ja teatud pinna vahelist hõõrdejõudu? Pendli õõtsumine, klaasi läbivate kiirte vaatamine, induktsiooni arvutamine? Trigonomeetrilised mõisted esinevad peaaegu igas valemis. Mis on siinus ja koosinus?

Definitsioonid

Nurga siinus on vastasjala ja hüpotenuusi suhe, koosinus on külgneva jala ja sama hüpotenuusi suhe. Siin pole absoluutselt midagi keerulist. Võib-olla ajavad õpilased tavaliselt segadusse trigonomeetrilises tabelis nähtavad väärtused, kuna seal ilmuvad ruutjuured. Jah, neist kümnendmurdude saamine pole kuigi mugav, aga kes ütles, et matemaatikas peavad kõik arvud paaris olema?

Tegelikult võib trigonomeetria ülesannete raamatutest leida naljaka vihje: enamik vastuseid on siin paaris ja halvimal juhul sisaldavad kahe-kolme juurt. Järeldus on lihtne: kui teie vastuses on "mitme looga" murd, kontrollige lahendust arvutustes või arutlusvigade suhtes. Ja suure tõenäosusega leiate need.

Mida meeles pidada

Nagu igas teaduses, on ka trigonomeetrias andmeid, mida tuleb õppida.

Esiteks peaksite meeles pidama siinuste, täisnurkse kolmnurga koosinuste 0 ja 90, samuti 30, 45 ja 60 kraadi arvväärtusi. Neid näitajaid leidub üheksas kooliülesandes kümnest. Neid väärtusi õpikusse piiludes kaotate palju aega ning kontroll- ega eksamit pole kuskilt vaadata.

Tuleb meeles pidada, et mõlema funktsiooni väärtus ei tohi ületada ühte. Kui arvutuses leiate väärtuse, mis jääb vahemikku 0–1, peatuge ja lahendage probleem uuesti.

Siinuse ja koosinuse ruutude summa on võrdne ühega. Kui olete ühe väärtustest juba leidnud, kasutage ülejäänud leidmiseks seda valemit.

Teoreemid

Põhilises trigonomeetrias on kaks põhiteoreemi: siinused ja koosinused.

Esimene ütleb, et kolmnurga mõlema külje ja vastasnurga siinuse suhe on sama. Teine on see, et mis tahes külje ruudu saab saada kahe ülejäänud külje ruudu liitmisel ja nende korrutise kahekordsel lahutamisel, mis on korrutatud nende vahelise nurga koosinusega.

Seega, kui asendada koosinusteoreemiga nurga väärtus 90 kraadi, saame ... Pythagorase teoreemi. Nüüd, kui teil on vaja arvutada joonise pindala, mis ei ole täisnurkne kolmnurk, ei saa te enam muretseda - kaks vaadeldud teoreemi lihtsustavad ülesande lahendamist oluliselt.

Sihid ja eesmärgid

Trigonomeetria uurimine muutub oluliselt lihtsamaks, kui mõistate ühte lihtsat tõsiasja: kõik teie toimingud on suunatud ühe eesmärgi saavutamisele. Kolmnurga mis tahes parameetrid leiate, kui teate selle kohta minimaalset teavet - see võib olla ühe nurga väärtus ja kahe külje pikkus või näiteks kolm külge.

Mis tahes nurga siinuse, koosinuse, puutuja määramiseks piisab nendest andmetest, nende abiga saate hõlpsalt arvutada joonise pindala. Peaaegu alati on vastusena nõutav üks mainitud väärtustest ja need leiate samade valemite abil.

Vastuolud trigonomeetria uurimisel

Üks ebaselgeid küsimusi, mida õpilased eelistavad vältida, on trigonomeetria erinevate mõistete seoste avastamine. Näib, et nurkade siinuste ja koosinuste uurimiseks kasutatakse kolmnurki, kuid millegipärast leidub sümboleid sageli ringiga joonisel. Lisaks on täiesti arusaamatu lainetaoline graaf, mida nimetatakse sinusoidiks, millel pole välist sarnasust ei ringi ega kolmnurkadega.

Veelgi enam, nurki mõõdetakse kas kraadides või radiaanides ning lihtsalt 3,14 (ilma ühikuteta) kirjutatud arv Pi ilmub mingil põhjusel valemitesse, mis vastab 180 kraadile. Kuidas see kõik on seotud?

Ühikud

Miks on pi täpselt 3,14? Kas mäletate, mis see väärtus on? See on raadiuste arv, mis mahuvad poolel ringil kaarega. Kui ringi läbimõõt on 2 sentimeetrit, on ümbermõõt 3,14 * 2 ehk 6,28.

Teine punkt: võib-olla olete märganud sõnade "radiaan" ja "raadius" sarnasust. Fakt on see, et üks radiaan on arvuliselt võrdne nurga väärtusega, mis on eraldatud ringi keskpunktist ühe raadiusega kaareni.

Nüüd ühendame saadud teadmised ja mõistame, miks trigonomeetrias on koordinaatide telje ülaossa kirjutatud “Pi pooleks” ja vasakule “Pi”. See on radiaanides mõõdetud nurga väärtus, sest poolring on 180 kraadi ehk 3,14 radiaani. Ja kus on kraadid, seal on siinused ja koosinused. Kolmnurka on lihtne soovitud punktist joonistada, lükates lõigud keskele ja koordinaatide teljele.

Vaatame tulevikku

Koolis õpitud trigonomeetria käsitleb sirgjoonelist koordinaatsüsteemi, kus, kui kummaliselt see ka ei kõlaks, joon on sirge.

Kuid ruumiga töötamiseks on ka keerukamaid viise: kolmnurga nurkade summa on siin üle 180 kraadi ja sirgjoon näeb meie vaates välja nagu tõeline kaar.

Liigume sõnadelt tegudele! Võtke õun. Tee noaga kolm lõiget nii, et pealtvaates saad kolmnurga. Võtke saadud õunatükk välja ja vaadake "ribisid", kus koor lõpeb. Nad pole üldse sirged. Teie käes olevaid puuvilju võib tinglikult nimetada ümaraks ja kujutage nüüd ette, kui keerulised peavad olema valemid, mille abil saate leida lõigatud tüki ala. Kuid mõned eksperdid lahendavad selliseid probleeme iga päev.

Trigonomeetrilised funktsioonid päriselus

Kas olete märganud, et lennuki lühimal marsruudil punktist A punkti B meie planeedi pinnal on selgelt väljendunud kaarekuju? Põhjus on lihtne: Maa on sfääriline, mis tähendab, et kolmnurkade abil ei saa palju arvutada – siin tuleb kasutada keerulisemaid valemeid.

Igas ruumiga seotud küsimuses ei saa te ilma teravnurga siinuse / koosinuseta hakkama. Huvitaval kombel koonduvad siin mitmed tegurid: trigonomeetrilised funktsioonid on vajalikud planeetide liikumise arvutamisel ringides, ellipsides ja erinevatel keerukama kujuga trajektooridel; rakettide, satelliitide, süstikute, uurimissõidukite lahtilaskmise protsess; kaugete tähtede vaatlemine ja galaktikate uurimine, kuhu inimesed lähitulevikus ei jõua.

Üldiselt on trigonomeetriat omava inimese tegevusvaldkond väga lai ja ilmselt laieneb see aja jooksul.

Järeldus

Täna õppisime või igal juhul kordasime, mis on siinus ja koosinus. Need on mõisted, mida te ei pea kartma – sa lihtsalt tahad ja mõistate nende tähendust. Pidage meeles, et trigonomeetria ei ole eesmärk, vaid ainult tööriist, millega saab rahuldada inimese tegelikke vajadusi: ehitada maju, tagada liiklusohutus, isegi universumi avarusteid hallata.

Tõepoolest, teadus ise võib tunduda igav, kuid niipea, kui leiate selles võimaluse oma eesmärkide saavutamiseks, eneseteostuseks, muutub õppeprotsess huvitavaks ja teie isiklik motivatsioon tõuseb.

Kodutöö jaoks proovige leida viise, kuidas rakendada trigonomeetrilisi funktsioone valdkonnas, mis teid isiklikult huvitab. Unistage, lülitage oma kujutlusvõime sisse ja siis selgub kindlasti, et uued teadmised on teile tulevikus kasulikud. Ja pealegi on matemaatika kasulik üldiseks mõtlemise arendamiseks.