Maatriksi astme kontseptsiooniga töötamiseks vajame teavet teemast "Algebralised täiendid ja minoorsed lisandid. Minoride tüübid ja algebralised täiendid." Esiteks puudutab see terminit "matrix minor", kuna me määrame maatriksi auastme täpselt alaealiste kaudu.

Maatriksi auaste on selle alaealiste maksimaalne järjestus, mille hulgas on vähemalt üks, mis ei ole võrdne nulliga.

Samaväärsed maatriksid- maatriksid, mille auastmed on üksteisega võrdsed.

Selgitame üksikasjalikumalt. Oletame, et teist järku alaealiste hulgas on vähemalt üks, mis erineb nullist. Ja kõik alaealised, kelle järjekord on suurem kui kaks, on võrdsed nulliga. Järeldus: maatriksi auaste on 2. Või näiteks kümnenda järgu alaealiste hulgas on vähemalt üks, mis ei ole võrdne nulliga. Ja kõik alaealised, kelle järjekord on suurem kui 10, on võrdsed nulliga. Järeldus: maatriksi auaste on 10.

Maatriksi $A$ järjestust tähistatakse järgmiselt: $\rang A$ või $r(A)$. Nullmaatriksi $O$ auaste eeldatakse nulliks, $\rang O=0$. Tuletan meelde, et maatriksi molli moodustamiseks tuleb read ja veerud läbi kriipsutada, kuid pole võimalik maha kriipsutada rohkem ridu ja veerge, kui maatriks ise sisaldab. Näiteks kui maatriksi $F$ suurus on $5\ korda 4$ (st sisaldab 5 rida ja 4 veergu), siis on selle alatähtede maksimaalne järjekord neli. Viienda järgu alaealisi ei ole enam võimalik moodustada, kuna nende jaoks on vaja 5 veergu (ja meil on ainult 4). See tähendab, et maatriksi $F$ auaste ei saa olla suurem kui neli, s.t. $\rang F≤4$.

Üldisemas vormis tähendab eeltoodu, et kui maatriks sisaldab $m$ rida ja $n$ veergu, siis ei saa selle aste ületada $m$ ja $n$ väikseimat, s.t. $\rang A≤\min(m,n)$.

Põhimõtteliselt tuleneb auastme määratlusest selle leidmise meetod. Maatriksi järgu leidmise protsessi saab definitsiooni järgi skemaatiliselt kujutada järgmiselt:

Lubage mul seda diagrammi üksikasjalikumalt selgitada. Alustame arutlemist päris algusest, st. mõne maatriksi $A$ esimese järgu alaealistest.

1. Kui kõik esimest järku minoorsed (st maatriksi $A$ elemendid) on võrdsed nulliga, siis $\rang A=0$. Kui esimest järku alaealiste hulgas on vähemalt üks, mis ei ole võrdne nulliga, siis $\rang A≥ 1$. Liigume edasi teise järgu alaealiste kontrollimise juurde.
2. Kui kõik teist järku alaealised on võrdsed nulliga, siis $\rang A=1$. Kui teist järku alaealiste hulgas on vähemalt üks, mis ei ole võrdne nulliga, siis $\rang A≥ 2$. Liigume edasi kolmanda järgu alaealiste kontrollimise juurde.
3. Kui kõik kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga, siis $\rang A=2$. Kui kolmandat järku alaealiste hulgas on vähemalt üks, mis ei ole võrdne nulliga, siis $\rang A≥ 3$. Liigume edasi neljanda järgu alaealiste kontrollimise juurde.
4. Kui kõik neljandat järku alaealised on võrdsed nulliga, siis $\rang A=3$. Kui neljandat järku alaealiste hulgas on vähemalt üks, mis ei ole võrdne nulliga, siis $\rang A≥ 4$. Liigume edasi viienda järgu alaealiste kontrollimisele ja nii edasi.

Mis ootab meid selle protseduuri lõpus? Võimalik, et k-ndat järku alaealiste hulgas on vähemalt üks, mis erineb nullist, ja kõik (k+1) järgu alaealised on võrdsed nulliga. See tähendab, et k on alaealiste maksimaalne järjekord, mille hulgas on vähemalt üks, mis ei võrdu nulliga, s.t. auaste võrdub k-ga. Olukord võib olla erinev: k-ndat järku alaealiste hulgas on vähemalt üks, mis ei võrdu nulliga, kuid (k+1) järgu alaealisi enam moodustada ei saa. Sel juhul võrdub maatriksi auaste ka k-ga. Lühidalt, viimati koostatud nullist erineva molli järjekord võrdub maatriksi auastmega.

Liigume edasi näidete juurde, milles illustreeritakse selgelt maatriksi astme leidmise protsessi definitsiooni järgi. Rõhutan veel kord, et selle teema näidetes leiame maatriksite auastme, kasutades ainult auastme definitsiooni. Teistest meetoditest (maatriksi auastme arvutamine alaealiste piiritlemise meetodil, maatriksi auastme arvutamine elementaarteisenduste meetodil) käsitletakse järgmistes teemades.

Muide, auastme leidmise protseduuri pole üldse vaja alustada kõige väiksemat järku alaealistega, nagu tehti näidetes nr 1 ja nr 2. Saate kohe liikuda kõrgema järgu alaealiste juurde (vt näide nr 3).

Näide nr 1

Leidke maatriksi auaste $A=\left(\begin(massiivi)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(massiivi) \right)$.

Selle maatriksi suurus on $3\ korda 5 $, st. sisaldab kolme rida ja viit veergu. Arvudest 3 ja 5 on miinimum 3, seetõttu ei ole maatriksi $A$ auaste suurem kui 3, s.o. $\rang A≤ 3$. Ja see ebavõrdsus on ilmne, kuna me ei saa enam moodustada neljandat järku alaealisi - nende jaoks on vaja 4 rida ja meil on ainult 3. Liigume otse antud maatriksi auastme leidmise protsessi juurde.

Esimest järku alaealiste hulgas (s.o. maatriksi $A$ elementide hulgas) on nullist erinevad ühed. Näiteks 5, -3, 2, 7. Üldiselt ei huvita meid nullist erinevate elementide koguarv. Seal on vähemalt üks nullist erinev element - ja sellest piisab. Kuna esimest järku alaealiste hulgas on vähemalt üks nullist erinev, järeldame, et $\rang A≥ 1$ ja jätkame teist järku alaealiste kontrollimist.

Alustame teise järgu alaealiste uurimist. Näiteks ridade nr 1, nr 2 ja veergude nr 1, nr 4 ristumiskohas on järgmise alaea elemendid: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(massiivi) \right| $. Selle determinandi puhul on kõik teise veeru elemendid võrdsed nulliga, seetõttu on determinant ise võrdne nulliga, s.t. $\left|\begin(massiivi)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(massiivi) \right|=0$ (vt omadus nr 3 determinantide omaduste teemas). Või võite lihtsalt arvutada selle determinandi, kasutades valemit nr 1, mis on esitatud teist ja kolmandat järku determinantide arvutamise jaotises:

$$ \left|\begin(massiivi)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(massiivi) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Esimene teist järku moll, mida testisime, osutus nulliga võrdseks. Mida see tähendab? Teise järgu alaealiste täiendava kontrollimise vajadusest. Kas need kõik osutuvad nulliks (ja siis võrdub auaste 1-ga) või on nende hulgas vähemalt üks alaealine, mis erineb nullist. Proovime teha parema valiku, kirjutades teist järku molli, mille elemendid asuvad ridade nr 1, nr 2 ning veergude nr 1 ja nr 5 ristumiskohas: $\left|\begin( massiiv)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(massiivi) \right|$. Leiame selle teist järku molli väärtuse:

$$ \left|\begin(massiivi)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(massiivi) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

See alaealine ei ole võrdne nulliga. Järeldus: teist järku alaealiste hulgas on vähemalt üks nullist erinev. Seetõttu $\rang A≥ 2$. Peame üle minema kolmanda järgu alaealiste õppimisele.

Kui valime kolmandat järku alaealiste moodustamiseks veeru nr 2 või veeru nr 4, siis on sellised alaealised võrdsed nulliga (kuna need sisaldavad nulli veergu). Jääb üle kontrollida ainult üks kolmanda järgu alaealine, mille elemendid asuvad veergude nr 1, nr 3, nr 5 ja ridade nr 1, nr 2, nr 3 ristumiskohas. Kirjutame selle molli üles ja leiame selle väärtuse:

$$ \left|\begin(massiivi)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(massiivi) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Seega on kõik kolmanda järgu alaealised võrdsed nulliga. Viimane nullist erinev moll, mille me koostasime, oli teist järku. Järeldus: alaealiste maksimaalne järjekord, mille hulgas on vähemalt üks nullist erinev, on 2. Seega $\rang A=2$.

Vastus: $\rang A=2$.

Näide nr 2

Leidke maatriksi auaste $A=\left(\begin(massiivi) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(massiivi) \right)$.

Meil on neljandat järku ruutmaatriks. Pangem kohe tähele, et selle maatriksi aste ei ületa 4, s.o. $\rang A≤ 4$. Alustame maatriksi auastme leidmist.

Esimest järku minoorsete (st maatriksi $A$ elementide hulgas) on vähemalt üks, mis ei ole võrdne nulliga, seega $\rang A≥ 1$. Liigume edasi teise järgu alaealiste kontrollimise juurde. Näiteks ridade nr 2, nr 3 ning veergude nr 1 ja nr 2 ristumiskohas saame järgmise teist järku minoori: $\left| \begin(massiivi) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(massiivi) \right|$. Arvutame selle välja:

$$\left| \begin(massiivi) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(massiivi) \right|=0-10=-10. $$

Teist järku alaealiste hulgas on vähemalt üks, mis ei ole võrdne nulliga, seega $\rang A≥ 2$.

Liigume edasi kolmanda järgu alaealiste juurde. Leiame näiteks alaealise, mille elemendid asuvad ridade nr 1, nr 3, nr 4 ja veergude nr 1, nr 2, nr 4 ristumiskohas:

$$\left | \begin(massiivi) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(massiivi) \right|=105-105=0. $$

Kuna see kolmanda järgu alaealine osutus võrdseks nulliga, on vaja uurida veel üht kolmandat järku alaealist. Kas kõik need on võrdsed nulliga (siis võrdub auaste 2) või nende hulgas on vähemalt üks, mis ei ole võrdne nulliga (siis hakkame õppima neljanda järgu alaealisi). Vaatleme kolmandat järku minoorset, mille elemendid asuvad ridade nr 2, nr 3, nr 4 ja veergude nr 2, nr 3, nr 4 ristumiskohas:

$$\left| \begin(massiivi) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(massiivi) \right|=-28. $$

Kolmandat järku alaealiste hulgas on vähemalt üks nullist erinev, seega $\rang A≥ 3$. Liigume edasi neljanda järgu alaealiste kontrollimise juurde.

Iga neljandat järku moll asub maatriksi $A$ nelja rea ​​ja nelja veeru ristumiskohas. Teisisõnu, neljandat järku moll on maatriksi $A$ determinant, kuna see maatriks sisaldab 4 rida ja 4 veergu. Selle maatriksi determinant arvutati välja teema "Determinandi järjekorra vähendamine. Determinandi lagundamine reas (veerus)" näites nr 2, seega võtame lihtsalt valmis tulemuse:

$$\left| \begin(massiivi) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (massiivi)\right|=86. $$

Seega ei võrdu neljanda järgu moll nulliga. Viiendat järku alaealisi me enam moodustada ei saa. Järeldus: alaealiste kõrgeim järjekord, mille hulgas on vähemalt üks nullist erinev, on 4. Tulemus: $\rang A=4$.

Vastus: $\rang A=4$.

Näide nr 3

Leidke maatriksi auaste $A=\left(\begin(massiivi) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( massiiv) \right)$.

Pangem kohe tähele, et see maatriks sisaldab 3 rida ja 4 veergu, seega $\rang A≤ 3$. Eelmistes näidetes alustasime auastme leidmist kõige väiksema (esimese) järgu alaealiste arvessevõtmisega. Siin püüame kohe kontrollida alaealisi kõrgeima võimaliku järjekorraga. Maatriksi $A$ jaoks on need kolmanda järgu alaealised. Vaatleme kolmandat järku molli, mille elemendid asuvad ridade nr 1, nr 2, nr 3 ja veergude nr 2, nr 3, nr 4 ristumiskohas:

$$\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(massiivi) \right|=-8-60-20=-88. $$

Seega on alaealiste kõrgeim järjekord, mille hulgas on vähemalt üks, mis ei ole võrdne nulliga, 3. Seetõttu on maatriksi auaste 3, s.o. $\rang A=3$.

Vastus: $\rang A=3$.

Üldiselt on maatriksi astme leidmine definitsiooni järgi üldiselt üsna töömahukas ülesanne. Näiteks suhteliselt väikeses maatriksis, mille suurus on $5\x4$, on 60 teist järku alaealist. Ja isegi kui 59 neist võrdub nulliga, võib 60. moll osutuda nullist erinevaks. Siis peate õppima kolmanda järgu kõrvalerialasid, millest selles maatriksis on 40 tükki. Tavaliselt püütakse kasutada vähem tülikaid meetodeid, nagu alaealiste piiritlemise meetod või samaväärsete teisenduste meetod.

Elementaarne Nimetatakse järgmisi maatriksteisendusi:

1) mis tahes kahe rea (või veeru) permutatsioon,

2) rea (või veeru) korrutamine nullist erineva arvuga,

3) ühele reale (või veerule) teise rea (või veeru) lisamine, korrutades teatud arvuga.

Neid kahte maatriksit nimetatakse samaväärne, kui üks neist saadakse teisest elementaarteisenduste lõpliku hulga abil.

Ekvivalentmaatriksid ei ole üldiselt võrdsed, kuid nende auastmed on võrdsed. Kui maatriksid A ja B on samaväärsed, siis kirjutatakse see järgmiselt: A ~ B.

Kanooniline Maatriks on maatriks, milles põhidiagonaali alguses on reas mitu ühte (mille arv võib olla null) ja kõik muud elemendid on võrdsed nulliga, näiteks

Kasutades ridade ja veergude elementaarseid teisendusi, saab mis tahes maatriksi taandada kanooniliseks. Kanoonilise maatriksi aste on võrdne selle põhidiagonaalil olevate maatriksite arvuga.

Näide 2 Leidke maatriksi auaste

A=

ja viige see kanoonilisse vormi.

Lahendus. Teisest reast lahutage esimene ja korraldage need read ümber:

.

Nüüd lahutame teisest ja kolmandast reast esimese, korrutatuna vastavalt 2 ja 5-ga:

;

lahutage esimene kolmandast reast; saame maatriksi

B = ,

mis on ekvivalentne maatriksiga A, kuna see saadakse sellest elementaarteisenduste lõpliku hulga abil. Ilmselgelt on maatriksi B aste 2 ja seega r(A)=2. Maatriksi B saab hõlpsasti taandada kanooniliseks. Lahutades kõigist järgnevatest esimese veeru, mis on korrutatud sobivate arvudega, nullisime kõik esimese rea elemendid, välja arvatud esimene, ja ülejäänud ridade elemendid ei muutu. Seejärel, lahutades kõigist järgnevatest teise veeru, mis on korrutatud sobivate arvudega, nullisime kõik teise rea elemendid, välja arvatud teine, ja saame kanoonilise maatriksi:

.

Kronecker – Capelli teoreem- lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi ühilduvuse kriteerium:

Selleks, et lineaarne süsteem oleks järjepidev, on vajalik ja piisav, et selle süsteemi laiendatud maatriksi auaste oleks võrdne selle põhimaatriksi astmega.

Tõend (süsteemi ühilduvustingimused)

Vajadus

Lase süsteem liigend Siis on sellised numbrid, et . Seetõttu on veerg maatriksi veergude lineaarne kombinatsioon. Sellest, et maatriksi auaste ei muutu, kui selle ridade (veergude) süsteemist kustutatakse või lisatakse rida (veerg), mis on teiste ridade (veergude) lineaarne kombinatsioon, järeldub, et .

Adekvaatsus

Laske . Võtame maatriksis mõned põhimollid. Sellest ajast alates on see ka maatriksi alusmoll. Siis vastavalt alusteoreemile alaealine, on maatriksi viimane veerg baasveergude, st maatriksi veergude lineaarne kombinatsioon. Seetõttu on süsteemi vabaliikmete veerg maatriksi veergude lineaarne kombinatsioon.

Tagajärjed

Peamiste muutujate arv süsteemid võrdne süsteemi auastmega.

Ühine süsteem defineeritakse (selle lahendus on kordumatu), kui süsteemi auaste on võrdne kõigi selle muutujate arvuga.

Homogeenne võrrandisüsteem

Pakkumine15 . 2 Homogeenne võrrandisüsteem

on alati ühine.

Tõestus. Selle süsteemi jaoks on lahenduseks arvude hulk , , .

Selles osas kasutame süsteemi maatrikstähistust: .

Pakkumine15 . 3 Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahendite summa on selle süsteemi lahendus. Lahendus, mis on korrutatud arvuga, on samuti lahendus.

Tõestus. Las need toimivad süsteemi lahendustena. Siis ja. Laske . Siis

Sellest ajast peale – lahendus.

Laskma olema suvaline arv, . Siis

Sellest ajast peale – lahendus.

Tagajärg15 . 1 Kui homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on nullist erinev lahend, siis on sellel lõpmatult palju erinevaid lahendeid.

Tõepoolest, korrutades nullist erineva lahenduse erinevate arvudega, saame erinevad lahendid.

Definitsioon15 . 5 Me ütleme, et lahendused süsteemid moodustavad põhiline lahenduste süsteem, kui veerud moodustavad lineaarselt sõltumatu süsteemi ja süsteemi mis tahes lahendus on nende veergude lineaarne kombinatsioon.

Mis tahes maatriks A tellida m × n võib pidada kollektsiooniks m stringvektorid või n veeruvektorid.

Koht maatriksid A tellida m × n on lineaarselt sõltumatute veeruvektorite või reavektorite maksimaalne arv.

Kui maatriksi auaste A võrdub r, siis on kirjutatud:

Maatriksi järgu leidmine

Lase A suvalise järjestuse maatriks m× n. Maatriksi auastme leidmiseks A Rakendame sellele Gaussi eliminatsioonimeetodit.

Pange tähele, et kui mingil elimineerimise etapil on juhtiv element võrdne nulliga, siis vahetame selle rea reaga, mille juhtelement erineb nullist. Kui selgub, et sellist rida pole, siis liikuge järgmise veeru juurde jne.

Pärast Gaussi pärilikku elimineerimisprotsessi saame maatriksi, mille põhidiagonaali all olevad elemendid on võrdsed nulliga. Lisaks võivad olla nullrea vektorid.

Nullist erinevate reavektorite arv on maatriksi auaste A.

Vaatame seda kõike lihtsate näidetega.

Näide 1.

Korrutades esimese rea 4-ga ja lisades teisele reale ja korrutades esimese rea 2-ga ja lisades kolmandale reale, saame:

Korrutage teine ​​rida -1-ga ja lisage see kolmandale reale:

Saime kaks nullist erinevat rida ja seetõttu on maatriksi auaste 2.

Näide 2.

Leiame järgmise maatriksi auastme:

Korrutage esimene rida -2-ga ja lisage see teisele reale. Samamoodi lähtestame esimese veeru kolmanda ja neljanda rea ​​elemendid:

Lähtestame teise veeru kolmanda ja neljanda rea ​​elemendid, liites vastavad read teisele reale korrutatuna arvuga -1.

Maatriksi järjestus on oluline numbriline tunnus. Kõige tüüpilisem probleem, mis nõuab maatriksi järgu leidmist, on lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi järjepidevuse kontrollimine. Selles artiklis anname maatriksi astme mõiste ja kaalume selle leidmise meetodeid. Materjali paremaks mõistmiseks analüüsime üksikasjalikult mitme näite lahendusi.

Leheküljel navigeerimine.

Maatriksi järgu määramine ja vajalikud lisamõisted.

Enne maatriksi auastme määratluse väljaütlemist peaksite hästi mõistma alaealise mõistet ja maatriksi alaealiste leidmine eeldab determinandi arvutamise oskust. Seega soovitame vajadusel meelde tuletada artikli teooriat, maatriksi determinandi leidmise meetodeid ja determinandi omadusi.

Võtame maatriksi A järjestusega . Olgu k mingi naturaalarv, mis ei ületa väikseimat arvudest m ja n, see tähendab, .

Definitsioon.

Väike k-s tellimus maatriks A on järjestuse ruutmaatriksi determinant, mis koosneb maatriksi A elementidest, mis paiknevad eelnevalt valitud k reas ja k veerus ning maatriksi A elementide paigutus säilib.

Teisisõnu, kui maatriksist A kustutame (p–k) rida ja (n–k) veerud ning ülejäänud elementidest loome maatriksi, säilitades maatriksi A elementide paigutuse, siis determinant saadud maatriks on maatriksi A järgu k minor.

Vaatame näite abil maatriks-molli definitsiooni.

Mõelge maatriksile .

Paneme kirja selle maatriksi mitu esimest järku molli. Näiteks kui valime maatriksi A kolmanda rea ​​ja teise veeru, vastab meie valik esimest järku minoorile . Teisisõnu, selle minoori saamiseks kriipsutasime maatriksist A maha esimese ja teise rea, samuti esimese, kolmanda ja neljanda veeru ning moodustasime ülejäänud elemendist determinandi. Kui valime maatriksi A esimese rea ja kolmanda veeru, saame minoori .

Illustreerime käsitletavate esimese järgu alaealiste saamise protseduuri
Ja .

Seega on maatriksi esimest järku minoorsed maatriksielemendid ise.

Näitame mitut teist järku alaealist. Valige kaks rida ja kaks veergu. Näiteks võtke esimene ja teine ​​rida ning kolmas ja neljas veerg. Selle valikuga on meil teist järku moll . Selle molli saab koostada ka maatriksist A kolmanda rea, esimese ja teise veeru kustutamisega.

Teine maatriksi A teist järku moll on .

Illustreerime nende teist järku alaealiste ehitust
Ja .

Samamoodi võib leida maatriksi A kolmandat järku minoori. Kuna maatriksis A on ainult kolm rida, valime need kõik. Kui valime nendest ridadest kolm esimest veergu, saame kolmandat järku minoorse

Selle saab konstrueerida ka maatriksi A viimase veeru maha kriipsutades.

Teine kolmanda järgu alaealine on

saadakse maatriksi A kolmanda veeru kustutamisel.

Siin on pilt, mis näitab nende kolmanda järgu alaealiste ehitamist
Ja .

Antud maatriksi A jaoks pole kolmandikust kõrgemat järku minoorseid, kuna .

Mitu k-ndat järgu alaealist on järgu maatriksis A?

K järku alaealiste arvu saab arvutada kui , kus Ja - kombinatsioonide arv vastavalt p-st k-ni ja n-st k-ni.

Kuidas saame maatriksi A kõik järgu p minorid konstrueerida n võrra?

Vajame palju maatriksirea numbreid ja palju veerunumbreid. Kirjutame kõik üles p-elementide kombinatsioonid k-ga(need vastavad maatriksi A valitud ridadele järgu k molli koostamisel). Igale reanumbrite kombinatsioonile lisame järjestikku k veerunumbri n elemendi kombinatsioonid. Need maatriksi A ridade ja veerunumbrite kombinatsioonide komplektid aitavad koostada kõiki k järku minoorseid.

Vaatame seda näitega.

Näide.

Leia kõik maatriksi teist järku mollid.

Lahendus.

Kuna algse maatriksi järjestus on 3 korda 3, on teise järgu alaealiste kogusumma .

Kirjutame üles kõik maatriksi A 3 kuni 2 reanumbrite kombinatsioonid: 1, 2; 1, 3 ja 2, 3. Kõik 3–2 veerunumbrite kombinatsioonid on 1, 2; 1, 3 ja 2, 3.

Võtame maatriksi A esimese ja teise rea. Valides nende ridade jaoks esimese ja teise veeru, esimese ja kolmanda veeru, teise ja kolmanda veeru, saame vastavalt alaealised.

Esimese ja kolmanda rea ​​jaoks on meil sarnase veergude valikuga

Teisele ja kolmandale reale tuleb lisada esimene ja teine, esimene ja kolmas, teine ​​ja kolmas veerg:

Seega on leitud maatriksi A kõik üheksa teist järku minoori.

Nüüd saame jätkata maatriksi auastme määramist.

Definitsioon.

Maatriksi auaste on maatriksi nullist erineva minoori kõrgeim järk.

Maatriksi A astet tähistatakse kui Rank(A) . Võite leida ka tähistusi Rg(A) või Rang(A) .

Maatriksi auaste ja maatriksi minoorsete definitsioonide põhjal võime järeldada, et nullmaatriksi auaste on võrdne nulliga ja nullmaatriksi auaste ei ole väiksem kui üks.

Maatriksi auastme leidmine definitsiooni järgi.

Niisiis, esimene meetod maatriksi auastme leidmiseks on alaealiste loendamise meetod. See meetod põhineb maatriksi järjestuse määramisel.

Peame leidma järjestusmaatriksi A auaste.

Kirjeldame lühidalt algoritm selle probleemi lahendamine alaealiste loetlemisega.

Kui maatriksis on vähemalt üks element, mis erineb nullist, siis on maatriksi auaste vähemalt võrdne ühega (kuna on olemas esimest järku minor, mis ei võrdu nulliga).

Järgmisena vaatame teise järgu alaealisi. Kui kõik teist järku alaealised on võrdsed nulliga, on maatriksi auaste võrdne ühega. Kui teist järku on vähemalt üks nullist erinev moll, siis loetleme kolmanda järgu mollid ja maatriksi auaste on vähemalt võrdne kahega.

Samamoodi, kui kõik kolmanda järgu alaealised on nullid, on maatriksi auaste kaks. Kui on vähemalt üks kolmanda järgu alaealine peale nulli, siis on maatriksi auaste vähemalt kolm ja liigume edasi neljanda järgu alaealiste loendamise juurde.

Pange tähele, et maatriksi auaste ei tohi ületada väikseimat arvu p ja n.

Näide.

Leidke maatriksi auaste .

Lahendus.

Kuna maatriks on nullist erinev, ei ole selle aste väiksem kui üks.

Teise järgu alaealine erineb nullist, seetõttu on maatriksi A aste vähemalt kaks. Liigume edasi kolmanda järgu alaealiste loendamise juurde. Neid kokku asju.

Kõik kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga. Seetõttu on maatriksi auaste kaks.

Vastus:

Aste(A) = 2 .

Maatriksi auastme leidmine alaealiste ääristamise meetodil.

Maatriksi järgu leidmiseks on ka teisi meetodeid, mis võimaldavad saada tulemuse väiksema arvutustööga.

Üks selline meetod on serva minoor meetod.

Tegeleme ääremolli mõiste.

Öeldakse, et maatriksi A (k+1) järgu moll M ok piirneb maatriksi A järgu k minoorse M-ga, kui minoorsele M ok-le vastav maatriks “sisaldab” mollile vastavat maatriksit. M .

Ehk siis piirnevale mollile M vastav maatriks saadakse piirdemollis M ok vastavast maatriksist, kustutades ühe rea ja ühe veeru elemendid.

Mõelge näiteks maatriksile ja võta teise järgu alaealine. Paneme kirja kõik piirnevad alaealised:

Alaealiste ääristamise meetodit põhjendab järgmine teoreem (esitame selle sõnastuse ilma tõestuseta).

Teoreem.

Kui kõik maatriksi A k-ndat järku minooriga n-ga piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, siis kõik maatriksi A järgu (k+1) mollid on võrdsed nulliga.

Seega ei ole maatriksi auastme leidmiseks vaja läbida kõiki alaealisi, mis on piisavalt piirnevad. Järkjärgu maatriksi A k-ndat järku mollidega piirnevate alaealiste arv leitakse valemiga . Pange tähele, et maatriksi A k-ndat järku minoori piirnevaid alaealisi ei ole rohkem kui maatriksi A (k + 1) järgu molli. Seetõttu on alaealiste piiritlemise meetodi kasutamine enamasti tulusam kui lihtsalt kõigi alaealiste loetlemine.

Liigume edasi maatriksi auastme leidmisele alaealiste ääristamise meetodil. Kirjeldame lühidalt algoritm seda meetodit.

Kui maatriks A on nullist erinev, siis esimest järku minoorseks võtame maatriksi A mis tahes elemendi, mis erineb nullist. Vaatame selle piirnevaid alaealisi. Kui need kõik on võrdsed nulliga, on maatriksi auaste võrdne ühega. Kui on vähemalt üks nullist erinev piirnev alaealine (selle järjekord on kaks), siis käsitleme selle piirnevaid alaealisi. Kui need kõik on nullid, siis Aste (A) = 2. Kui vähemalt üks piirnev alaealine on nullist erinev (selle järjekord on kolm), siis käsitleme selle piirnevaid alaealisi. Ja nii edasi. Selle tulemusena on Aste(A) = k, kui kõik maatriksi A (k + 1) järku piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, või Aste(A) = min(p, n), kui on olemas mitte- järgu molliga piirnev null-moll (min( p, n) – 1) .

Vaatame näite abil maatriksi auastme leidmiseks alaealiste ääristamise meetodit.

Näide.

Leidke maatriksi auaste alaealiste piiritlemise meetodil.

Lahendus.

Kuna maatriksi A element a 1 1 on nullist erinev, võtame seda esimest järku minoorsena. Alustame nullist erineva piirneva molli otsimist:

Leitakse teist järku servamoll, mis erineb nullist. Vaatame selle piirnevaid alaealisi (nende asjad):

Kõik teise järgu molliga piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, seetõttu on maatriksi A aste võrdne kahega.

Vastus:

Aste(A) = 2 .

Näide.

Leidke maatriksi auaste kasutades piirnevaid alaealisi.

Lahendus.

Esimest järku nullist erineva minoorina võtame maatriksi A elemendi a 1 1 = 1. Teise järgu ümberkaudne moll ei ole võrdne nulliga. See alaealine piirneb kolmanda järgu alaealisega
. Kuna see ei ole võrdne nulliga ja selle jaoks pole ühtegi piirnevat molli, võrdub maatriksi A auaste kolmega.

Vastus:

Aste(A) = 3 .

Auastme leidmine elementaarmaatriksteisenduste abil (Gaussi meetod).

Mõelgem veel ühele võimalusele maatriksi auastme leidmiseks.

Järgmisi maatriksteisendusi nimetatakse elementaarseteks:

• maatriksi ridade (või veergude) ümberkorraldamine;
• maatriksi mis tahes rea (veeru) kõigi elementide korrutamine suvalise arvuga k, mis erineb nullist;
• rea (veeru) elementidele lisades maatriksi teise rea (veeru) vastavad elemendid, korrutatuna suvalise arvuga k.

Maatriksit B nimetatakse samaväärseks maatriksiga A, kui B saadakse A-st, kasutades lõplikku arvu elementaarteisendusi. Maatriksite samaväärsust tähistatakse sümboliga “~”, st kirjutatud A ~ B.

Maatriksi järgu leidmine elementaarmaatriksteisenduste abil põhineb väitel: kui maatriksist A saadakse maatriksist A lõpliku arvu elementaarteisenduste abil, siis Rank(A) = Aste(B) .

Selle väite kehtivus tuleneb maatriksi determinandi omadustest:

• Maatriksi ridade (või veergude) ümberkorraldamisel muudab selle determinant märki. Kui see on võrdne nulliga, siis ridade (veerude) ümberpaigutamisel jääb see võrdseks nulliga.
• Maatriksi mis tahes rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel suvalise arvuga k, mis ei ole null, on saadud maatriksi determinant võrdne algmaatriksi determinandiga, mis on korrutatud k-ga. Kui algse maatriksi determinant on võrdne nulliga, siis pärast mis tahes rea või veeru kõigi elementide korrutamist arvuga k on saadud maatriksi determinant samuti võrdne nulliga.
• Maatriksi teatud rea (veeru) elementide liitmine maatriksi teise rea (veeru) vastavate elementide korrutatuna teatud arvuga k ei muuda selle determinanti.

Elementaarteisenduste meetodi olemus seisneb maatriksi, mille auaste peame leidma, taandamises elementaarteisenduste abil trapetsikujuliseks (konkreetsel juhul ülemiseks kolmnurkseks).

Miks seda tehakse? Seda tüüpi maatriksite järjestust on väga lihtne leida. See võrdub ridade arvuga, mis sisaldavad vähemalt ühte nullist erinevat elementi. Ja kuna maatriksi auaste elementaarsete teisenduste tegemisel ei muutu, on saadud väärtus algse maatriksi auaste.

Toome illustratsioonid maatriksitest, millest üks tuleks saada pärast teisendusi. Nende välimus sõltub maatriksi järjestusest.

Need illustratsioonid on mallid, milleks teisendame maatriksi A.

Kirjeldame meetodi algoritm.

Peame leidma nullist erineva maatriksi A järjestuse (p võib olla võrdne n-ga).

Niisiis, . Korrutame maatriksi A esimese rea kõik elemendid . Sel juhul saame samaväärse maatriksi, mis tähistab seda A (1):

Saadud maatriksi A (1) teise rea elementidele liidame esimese rea vastavad elemendid, korrutatuna . Kolmanda rea ​​elementidele liidame esimese rea vastavad elemendid, korrutatuna . Ja nii edasi kuni p-nda reani. Võtame samaväärse maatriksi, tähistame seda A (2):

Kui kõik saadud maatriksi elemendid, mis asuvad ridades teisest kuni p-ndani, on võrdsed nulliga, on selle maatriksi auaste võrdne ühega ja sellest tulenevalt on algse maatriksi aste võrdne ühele.

Kui ridades teisest kuni p-ndani on vähemalt üks nullist erinev element, jätkame teisenduste läbiviimist. Pealegi toimime täpselt samamoodi, kuid ainult joonisel märgitud maatriksi A (2) osaga.

Kui , siis korraldame maatriksi A (2) read ja (või) veerud ümber nii, et “uus” element muutub nullist erinevaks.

Teoreem (järkude määramise õigsuse kohta). Las kõik maatriksi alaealised A m × n (\displaystyle A_(m\times n)) tellida k (\displaystyle k) on võrdsed nulliga ( M k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). Siis ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0), kui need on olemas. Muster:/raam

Seotud määratlused

Omadused

• Teoreem (molli aluse kohta): Lase r = helin ⁡ A , M r (\displaystyle r=\operaatorinimi (helin) A,M_(r))- maatriksi alusmoll A (\displaystyle A), Siis:
• Tagajärjed:
• Teoreem (järgu invariantsuse kohta elementaarteisenduste korral): Tutvustame üksteisest elementaarteisendustega saadud maatriksite tähistust. Siis on tõene järgmine väide: Kui A ~ B (\displaystyle A\sim B), siis on nende auastmed võrdsed.
• Kroneckeri-Capelli teoreem: Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem on järjekindel siis ja ainult siis, kui selle põhimaatriksi aste on võrdne laiendatud maatriksi astmega. Eriti:
  • Süsteemi peamiste muutujate arv on võrdne süsteemi auastmega.
  • Järjepidev süsteem defineeritakse (selle lahendus on kordumatu), kui süsteemi auaste on võrdne kõigi selle muutujate arvuga.
• Sylvesteri ebavõrdsus: Kui A Ja B suuruse maatriksid m x n Ja n x k, See

r a n k A B ≥ r a n k A + r a n k B − n (\displaystyle rankAB\geq rankA+rankB-n)

See on järgmise ebavõrdsuse erijuhtum.

• Frobeniuse ebavõrdsus: Kui AB, BC, ABC on õigesti defineeritud, siis

r a n k A B C ≥ r a n k A B + r a n k B C − r a n k B (\displaystyle rankABC\geq rankAB+rankBC-rankB)

Lineaarne teisendus ja maatriksaste

Lase A (\displaystyle A)- suurusmaatriks m × n (\displaystyle m\times n)üle põllu C (\displaystyle C)(või R (\displaystyle R)). Lase T (\displaystyle T)- vastav lineaarne teisendus A (\displaystyle A) standardselt; see tähendab et T (x) = A x (\displaystyle T(x) = Ax). Maatriksi auaste A (\displaystyle A) on teisendusvahemiku mõõde T (\displaystyle T).

meetodid

Maatriksi auastme leidmiseks on mitu meetodit:

• Elementaarne teisendusmeetod

Maatriksi järjestus võrdub nullist erinevate ridade arvuga maatriksis pärast selle taandamist ešelonivormiks, kasutades maatriksi ridadel elementaarseid teisendusi.

• Piiritav minoormeetod

Laske maatriks sisse A (\displaystyle A) nullist erinev moll leitud k (\displaystyle k)- järjekorras M (\displaystyle M). Arvestagem kõiki alaealisi (k + 1) (\displaystyle (k+1))-ndas järgus, sealhulgas (äär)moll M (\displaystyle M); kui need kõik on võrdsed nulliga, siis on maatriksi auaste võrdne k (\displaystyle k). Vastasel juhul on piirnevate alaealiste seas nullist erinev üks ja kogu protseduur kordub.