Ja iidsed egiptlased kasutasid meie meetoditega sarnaseid meetodeid erinevate kujundite pindalade arvutamiseks.

Minu raamatutes "Algused" Kuulus Vana-Kreeka matemaatik Euclid kirjeldas üsna palju võimalusi paljude geomeetriliste kujundite pindala arvutamiseks. Esimesed venekeelsed geomeetrilist teavet sisaldavad käsikirjad kirjutati 16. sajandil. Need kirjeldavad reegleid erineva kujuga kujundite alade leidmiseks.

Tänapäeval saate tänapäevaste meetodite abil suure täpsusega leida mis tahes figuuri pindala.

Vaatleme üht lihtsaimat kujundit – ristkülikut – ja selle pindala leidmise valemit.

Ristküliku pindala valem

Vaatleme joonist (joonis 1), mis koosneb $8$ ruutudest, mille küljed on $1$ cm. Ühe ruudu pindala, mille külg on $1$ cm, nimetatakse ruutsentimeetriks ja kirjutatakse $1\ cm^2. $.

Selle joonise pindala (joonis 1) on võrdne $8\cm^2$.

Figuuri pindala, mille saab jagada mitmeks ruuduks, mille külg on $1\ cm$ (näiteks $p$), võrdub $p\ cm^2$.

Teisisõnu, joonise pindala on võrdne nii palju $cm^2$, kui mitmeks ruuduks, mille külg on $1\ cm$, saab selle arvu jagada.

Vaatleme ristkülikut (joonis 2), mis koosneb $3$ triipudest, millest igaüks on jagatud $5$ ruutudeks, mille külg on $1\ cm$. kogu ristkülik koosneb $5\cdot 3=15$ sellistest ruutudest ja selle pindala on $15\cm^2$.

1. pilt.

Joonis 2.

Kujundite pindala tähistatakse tavaliselt tähega $S$.

Ristküliku pindala leidmiseks peate korrutama selle pikkuse laiusega.

Kui tähistame selle pikkust tähega $a$ ja laiust tähega $b$, siis näeb ristküliku pindala valem välja järgmine:

Definitsioon 1

Figuurid on nn võrdne kui arvud üksteise peale asetatuna langevad kokku. Võrdsetel arvudel on võrdsed pindalad ja võrdsed perimeetrid.

Figuuri pindala võib leida selle osade pindalade summana.

Näide 1

Näiteks joonisel $3$ on ristkülik $ABCD$ jagatud joonega $KLMN$ kaheks osaks. Ühe osa pindala on $12\ cm^2$ ja teise osa pindala on $9\ cm^2$. Siis on ristküliku $ABCD$ pindala võrdne $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Leidke ristküliku pindala järgmise valemi abil:

Nagu näete, on mõlema meetodi abil leitud alad võrdsed.

Joonis 3.

Joonis 4.

Joonelõik $AC$ jagab ristküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks: $ABC$ ja $ADC$. See tähendab, et iga kolmnurga pindala on võrdne poolega kogu ristküliku pindalast.

2. definitsioon

Nimetatakse võrdsete külgedega ristkülik ruut.

Kui tähistame ruudu külge tähega $a$, siis leitakse ruudu pindala valemiga:

Sellest ka arvu $a$ nimeruut.

Näide 2

Näiteks kui ruudu külg on $5$ cm, siis on selle pindala:

Mahud

Kaubanduse ja ehituse arenedes, isegi iidsete tsivilisatsioonide ajal, tekkis vajadus mahtude leidmiseks. Matemaatikas on geomeetria haru, mis tegeleb ruumikujude uurimisega, mida nimetatakse stereomeetriaks. Selle eraldiseisva matemaatikaharu mainimist leiti juba $IV$ sajandil eKr.

Muistsed matemaatikud töötasid välja lihtsate kujundite – kuubi ja rööptahuka – mahu arvutamise meetodi. Kõik tolleaegsed hooned olid sellise kujuga. Kuid hiljem leiti meetodid keerukama kujuga figuuride mahu arvutamiseks.

Ristkülikukujulise rööptahuka ruumala

Kui täidate vormi märja liivaga ja keerate seejärel ümber, saate ruumilise kujundi, mida iseloomustab maht. Kui teete sama vormi abil mitu sellist kuju, saate sama mahuga figuurid. Kui täidate vormi veega, on ka vee maht ja liivafiguuri maht võrdsed.

Joonis 5.

Saate võrrelda kahe anuma mahtu, täites ühe veega ja valades selle teise anumasse. Kui teine ​​anum on täielikult täidetud, on anumatel võrdsed mahud. Kui esimesse jääb vesi, on esimese anuma maht suurem kui teise. Kui esimesest anumast vee valamisel ei ole võimalik teist anumat täielikult täita, siis on esimese anuma maht väiksem kui teise anuma maht.

Mahtu mõõdetakse järgmiste ühikute abil:

$mm^3$ -- kuupmillimeeter,

$cm^3$ -- kuupsentimeetrit,

$dm^3$ -- kuupdetsimeeter,

$m^3$ -- kuupmeeter,

$km^3$ -- kuupkilomeeter.

Üldine ülevaade. Stereomeetria valemid!

Tere, kallid sõbrad! Selles artiklis otsustasin teha üldise ülevaate stereomeetria probleemidest, mis tulevad Matemaatika ühtne riigieksam e. Peab ütlema, et selle rühma ülesanded on üsna mitmekesised, kuid mitte rasked. Need on geomeetriliste suuruste leidmise probleemid: pikkused, nurgad, pindalad, mahud.

Arvesse võetakse: kuubik, risttahukas, prisma, püramiid, liitpolühedron, silinder, koonus, kuul. Kurb tõsiasi on see, et mõned lõpetajad ei võta selliseid probleeme isegi eksami ajal enda peale, kuigi üle 50% neist lahendatakse lihtsalt, peaaegu suuliselt.

Ülejäänud nõuavad vähe pingutust, teadmisi ja eritehnikaid. Järgmistes artiklites käsitleme neid ülesandeid, ärge jätke seda mööda, tellige ajaveebi värskendused.

Lahendamiseks peate teadma pindalade ja mahtude valemid rööptahukas, püramiid, prisma, silinder, koonus ja kera. Keerulisi probleeme pole, need kõik lahendatakse 2-3 sammuga, oluline on “näha”, millist valemit on vaja rakendada.

Kõik vajalikud valemid on toodud allpool:

Pall või kera. Sfääriline või sfääriline pind (mõnikord lihtsalt kera) on ühest punktist – kuuli keskpunktist – võrdsel kaugusel asuvate punktide geomeetriline asukoht.

Palli maht võrdne püramiidi ruumalaga, mille põhja pindala on sama kui kuuli pinnaga ja mille kõrgus on kuuli raadius

Kera ruumala on poolteist korda väiksem kui selle ümber piiratud silindri maht.

Ringkoonuse saab, kui pöörata täisnurkne kolmnurk ümber selle ühe jala, mistõttu ringkoonust nimetatakse ka pöördekoonuseks. Vaata ka Ringikujulise koonuse pindala

Ümmarguse koonuse maht võrdne ühe kolmandikuga põhipinna S ja kõrguse H korrutisest:

(H on kuubi serva kõrgus)

Rööptahukas on prisma, mille alus on rööpkülik. Rööptorul on kuus tahku ja kõik need on rööpkülikukujulised. Rööptahukat, mille neli külgtahta on ristkülikud, nimetatakse sirgeks rööptahuks. Parempoolset rööptahukat, mille kuus tahku on kõik ristkülikud, nimetatakse ristkülikuks.

Ristkülikukujulise rööptahuka ruumala võrdne aluse pindala ja kõrguse korrutisega:

(S on püramiidi aluse pindala, h on püramiidi kõrgus)

Püramiid on hulktahukas, millel on üks tahk - püramiidi põhi - suvaline hulknurk ja ülejäänud - külgpinnad - ühise tipuga kolmnurgad, mida nimetatakse püramiidi tipuks.

Püramiidi põhjaga paralleelne lõik jagab püramiidi kaheks osaks. Püramiidi osa selle aluse ja selle lõigu vahel on kärbitud püramiid.

Tüvipüramiidi ruumala võrdne ühe kolmandikuga kõrguse korrutisest h(OS)ülemise aluse pindalade summa järgi S1 (abcde), kärbitud püramiidi alumine alus S2 (ABCDE) ja keskmine proportsionaalne nende vahel.

n - korrapärase hulknurga külgede arv - korrapärase püramiidi alus
a - korrapärase hulknurga külg - korrapärase püramiidi alus
h - tavalise püramiidi kõrgus

Regulaarne kolmnurkne püramiid on hulktahukas, millel on üks tahk - püramiidi põhi - tavaline kolmnurk ja ülejäänud - külgpinnad - võrdsed kolmnurgad, millel on ühine tipp. Kõrgus langeb ülevalt aluse keskele.

Korrapärase kolmnurkse püramiidi ruumala võrdne ühe kolmandikuga korrapärase kolmnurga pindala korrutisest, mis on alus S (ABC) kõrgusele h(OS)

a - korrapärase kolmnurga külg - korrapärase kolmnurkse püramiidi alus
h - korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus

Tetraeedri ruumala valemi tuletamine

Tetraeedri ruumala arvutatakse püramiidi ruumala klassikalise valemi abil. On vaja asendada tetraeedri kõrgus ja korrapärase (võrdkülgse) kolmnurga pindala.

Tetraeedri ruumala- on võrdne murdosaga, mille lugeja ruutjuur kahest nimetajas on kaksteist, korrutatuna tetraeedri serva pikkuse kuubiga

(h on rombi külje pikkus)

Ümbermõõt lk on ligikaudu kolm tervet ja üks seitsmendik ringi läbimõõdust. Ringi ümbermõõdu ja selle läbimõõdu täpset suhet tähistab kreeka täht π

Selle tulemusena arvutatakse valemi abil ringi või ümbermõõt

(r on kaare raadius, n on kaare kesknurk kraadides.)

Geomeetriaülesannete lahendamiseks peate teadma valemeid - näiteks kolmnurga pindala või rööpküliku pindala -, aga ka lihtsaid tehnikaid, mida me käsitleme.

Kõigepealt õpime selgeks jooniste pindalade valemid. Oleme need spetsiaalselt kogunud mugavasse tabelisse. Prindi, õpi ja kandideeri!

Muidugi pole kõik geomeetriavalemid meie tabelis. Näiteks matemaatika ühtse riigieksami profiili teises osas geomeetria ja stereomeetria probleemide lahendamiseks kasutatakse teisi kolmnurga pindala valemeid. Kindlasti räägime teile neist.

Aga mis siis, kui peate leidma mitte trapetsi või kolmnurga pindala, vaid mõne keeruka kujundi pindala? On universaalseid viise! Näitame neid FIPI tegumipanga näidete abil.

1. Kuidas leida mittestandardse figuuri pindala? Näiteks suvaline nelinurk? Lihtne tehnika – jagame selle kujundi nendeks, millest me kõike teame, ja leiame selle pindala – nende kujundite pindalade summana.

Jagage see nelinurk horisontaaljoonega kaheks kolmnurgaks, mille ühine alus on võrdne . Kõrgused need kolmnurgad on võrdsed ja . Siis on nelinurga pindala võrdne kahe kolmnurga pindalade summaga: .

Vastus: .

2. Mõnel juhul võib kujundi pindala esitada mõne ala erinevusena.

Polegi nii lihtne välja arvutada, millega selle kolmnurga alus ja kõrgus võrdub! Kuid võime öelda, et selle pindala on võrdne küljega ruudu ja kolme täisnurkse kolmnurga pindalade vahega. Kas näete neid pildil? Saame: .

Vastus: .

3. Mõnikord peate ülesandes leidma mitte kogu figuuri pindala, vaid selle osa. Tavaliselt räägime sektori pindalast - ringi osast, leidke selle raadiusega ringi pindala, mille kaare pikkus on võrdne.

Sellel pildil näeme osa ringist. Kogu ringi pindala on võrdne . Jääb välja selgitada, milline ringi osa on kujutatud. Kuna kogu ringi pikkus on võrdne (alates) ja antud sektori kaare pikkus on võrdne, on kaare pikkus väiksem kui kogu ringi pikkus. Nurk, mille all see kaar toetub, on samuti väiksem kui täisring (st kraadid). See tähendab, et sektori pindala on mitu korda väiksem kui kogu ringi pindala.

Videokursus “Saada A” sisaldab kõiki teemasid, mis on vajalikud matemaatika ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks 60-65 punktiga. Täielikult kõik matemaatika profiili ühtse riigieksami ülesanded 1-13. Sobib ka matemaatika ühtse riigieksami põhieksami sooritamiseks. Kui soovid sooritada ühtse riigieksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus ühtseks riigieksamiks 10.-11.klassidele, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika ühtse riigieksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei 100-punktiline ega humanitaartudeng.

Kogu vajalik teooria. Ühtse riigieksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Kõik FIPI Task Banki 1. osa praegused ülesanded on analüüsitud. Kursus vastab täielikult ühtse riigieksami 2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad ühtse riigieksami ülesanded. Sõnaülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad algoritmid probleemide lahendamiseks. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi ühtse riigieksami ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Tuupimise asemel mõistmine. Selged selgitused keerukatele mõistetele. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Alus ühtse riigieksami 2. osa keerukate ülesannete lahendamiseks.