LCM-i arvutamise mõistmiseks peate esmalt määrama mõiste "mitu" tähenduse.
A kordne on naturaalarv, mis jagub A-ga ilma jäägita. Seega võib 5-kordseid arve pidada arvudeks 15, 20, 25 jne.
Konkreetse arvu jagajaid võib olla piiratud arv, kuid kordusi on lõpmatu arv.
Naturaalarvude ühiskordne on arv, mis jagub nendega ilma jääki jätmata.
Kuidas leida arvude vähim ühiskordne
Arvude vähim ühiskordne (LCM) (kaks, kolm või enam) on väikseim naturaalarv, mis jagub kõigi nende arvudega.
LOC-i leidmiseks võite kasutada mitut meetodit.
Väikeste arvude puhul on mugav kõik nende arvude kordsed reale üles kirjutada, kuni leiate nende hulgast midagi ühist. Mitmikuid tähistatakse suure K-tähega.
Näiteks saab 4 kordajaid kirjutada järgmiselt:
K (4) = (8, 12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Seega on näha, et arvude 4 ja 6 vähim ühiskordne on arv 24. See märge tehakse järgmiselt:
LCM(4, 6) = 24
Nüüd kirjutage mõlema arvu ühised tegurid. Meie versioonis on see kaks ja viis. Kuid muudel juhtudel võib see arv olla ühe, kahe või kolmekohaline või isegi rohkem. Järgmisena peate töötama kraadidega. Valige iga teguri jaoks väikseim võimsus. Näites on see teise astmeni kaks ja esimese astmeni viis.
Lõpuks peate lihtsalt saadud arvud korrutama. Meie puhul on kõik ülilihtne: kaks ruutu korrutatuna viiega võrdub 20-ga. Seega võib arvu 20 nimetada 60 ja 80 suurimaks ühisjagajaks.
Video teemal
Märge
Pidage meeles, et algtegur on arv, millel on ainult 2 jagajat: üks ja arv ise.
Abistavad nõuanded
Lisaks sellele meetodile saate kasutada ka eukleidilist algoritmi. Selle geomeetrilisel kujul esitatud täieliku kirjelduse leiate Eukleidese raamatust "Elements".
Seotud artikkel
Naturaalsete murdude liitmine ja lahutamine on võimalik ainult siis, kui neil on sama nimetaja. Et mitte teha arvutusi keeruliseks nende ühe nimetajani viimisel, leidke nimetajate vähim ühine jagaja ja teostage arvutus.
Sa vajad
- - oskus arvutada arve algteguriteks;
- - oskus teha tehteid murdarvudega.
Juhised
Kirjuta üles murdude liitmine. Seejärel leidke nende vähim ühiskordaja. Selleks tehke järgmine toimingute jada: 1. Kujutage ette iga nimetaja algarvudes (algarv, arv, mis jagub ainult 1-ga ja ise ilma jäägita, näiteks 2, 3, 5, 7, jne).2. Rühmitage kõik lihtsad, mis on välja kirjutatud, märkides nende kraadid. 3. Valige kõigi nendes arvudes esinevate algtegurite suurimad astmed. 4. Korrutage kirjalikud volitused.
Näiteks nimetajatega 15, 24 ja 36 murdude ühisnimetajaks on arv, mille saab arvutada järgmiselt: 15 = 3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2 Kirjutage nende arvude kõigi algjagajate suurimad astmed: 2^3 3^2 5=360.
Jagage ühisnimetaja igaühega ja lisatavate murdude nimetajatega. Korrutage nende lugejad saadud arvuga. Murru ühisjoone alla kirjuta vähim ühine dividend, mis on ühtlasi ka väikseim ühisnimetaja. Lisage lugejasse arvud, mis saadakse iga lugeja korrutamisel vähima ühise teguri jagatisega, mis on jagatud murdosa nimetajaga. Soovitud arv saadakse kõigi lugejate summa ja jagatuna väikseima ühisnimetajaga.
Näiteks 4/15, 7/24 ja 11/36 puhul tehke seda. Leidke väikseim ühisnimetaja, milleks on 360. Seejärel jagage 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Korrutage arv 4, mis on esimese murru lugeja, 24-ga (4 24=96), arv 7 15-ga (7 15=105), arv 11 10-ga (11 10=110). Seejärel lisa need numbrid (96+105+110=301). Saame tulemuseks 4/15+7/24+11/36=301/360.
Allikad:
- kuidas leida väikseim arv
Täisarvud on mitmesugused matemaatilised arvud, millel on igapäevaelus palju rakendusi. Mittenegatiivseid täisarve kasutatakse mis tahes objektide arvu märkimisel, negatiivseid - ilmaennustusteadetes jne. GCD ja LCM on jagamistehtega seotud täisarvude loomulikud omadused.
Juhised
GCD-d on lihtne arvutada eukleidilise algoritmi või kahendmeetodi abil. Vastavalt Eukleidese algoritmile arvude a ja b gcd määramiseks, millest üks ei ole null, on arvude jada r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, milles r_1 on võrdne jagamise jäägiga. esimene number teisega. Ja ülejäänud jada liikmed on võrdsed jääkidega, mis saadakse eelmise liikme jagamisel eelmisega, ja eelviimane element jagatakse viimasega ilma jäägita.
Matemaatiliselt võib jada esitada järgmiselt:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
kus k_i on täisarvutegur.
GCD (a, b) = r_n.
Näide.
Leidke GCD (36, 120). Eukleidilise algoritmi järgi lahutage 120-st arv, mis on 36-kordne, antud juhul on see 120 – 36*3 = 12. Nüüd lahutage 120-st arv, mis on 12-kordne, saate 120-12* 10 = 0. Seega, GCD (36, 120) = 12.
GCD leidmise binaaralgoritm põhineb nihketeoorial. Selle meetodi kohaselt on kahe numbri gcd-l järgmised omadused:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) paaris a ja b korral
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) paaris a ja paaritu b korral (vastupidine kehtib GCD (a, b) = GCD (a, b/2) korral)
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) paaritu a > b korral
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) paaritu b > a korral
Seega, gcd (36, 120) = 2 * gcd (18, 60) = 4 * gcd (9, 30) = 4 * gcd (9, 15) = 4 * gcd ((15 - 9) / 2 = 3 , 9) = 4*3 = 12.
Kahe täisarvu vähim ühiskordne (LCM) on väikseim täisarv, mis jagub mõlema algarvuga jääki jätmata.
LCM-i saab arvutada GCD abil: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
Teine viis LCM-i arvutamiseks on arvude kanooniline faktoriseerimine algteguriteks:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
kus r_i on algarvud ning k_i ja m_i on täisarvud ≥ 0.
LCM-i esitatakse samade algtegurite kujul, kus astmetena võetakse maksimaalselt kaks arvu.
Näide.
Leidke LCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
LCM – vähim ühiskordne. Arv, mis jagab kõik antud arvud ilma jäägita.
Näiteks kui antud arvud on 2, 3, 5, siis LCM=2*3*5=30
Ja kui antud arvud on 2,4,8, siis LCM =8
mis on GCD?
GCD on suurim ühine jagaja. Arv, mida saab kasutada iga antud arvu jagamiseks jääki jätmata.
On loogiline, et kui antud arvud on algarvud, siis gcd võrdub ühega.
Ja kui antud arvud on 2, 4, 8, siis on GCD võrdne 2-ga.
Me ei kirjelda seda üldiselt, vaid näitame lahendust lihtsalt näitega.
Antud kaks arvu 126 ja 44. Leidke GCD.
Siis kui meile antakse kaks vormi numbrit
Seejärel arvutatakse GCD järgmiselt
kus min on arvu pn kõigi astmete minimaalne väärtus
ja NOC as
kus max on arvu pn kõigi astmete maksimaalne väärtus
Ülaltoodud valemeid vaadates saate hõlpsalt tõestada, et kahe või enama arvu gcd on võrdne ühega, kui vähemalt ühe antud väärtuste paari hulgas on suhteliselt algarvud.
Seetõttu on ilma midagi arvutamata lihtne vastata küsimusele, millega võrdub selliste arvude nagu 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 gcd.
numbrid 3 ja 7 on kaasalgarvud ja seetõttu gcd = 1
Vaatame näidet.
Antud kolm numbrit 24654, 25473 ja 954
Iga arv on jagatud järgmisteks teguriteks
Või kui me kirjutame selle alternatiivsel kujul
See tähendab, et nende kolme numbri gcd on võrdne kolmega
Noh, me saame arvutada LCM-i sarnasel viisil ja see on võrdne
Meie bot aitab teil arvutada mis tahes täisarvu, kahe, kolme või kümne GCD ja LCM.
Allpool esitatud materjal on loogiline jätk teooriale artiklist pealkirjaga LCM – vähim ühiskordaja, definitsioon, näited, seos LCM-i ja GCD vahel. Siin me räägime vähima ühiskordse (LCM) leidmine, ja erilist tähelepanu pöörame näidete lahendamisele. Esiteks näitame, kuidas kahe numbri LCM arvutatakse nende numbrite GCD abil. Järgmisena vaatleme vähima ühise kordse leidmist, arvutades arvud algteguriteks. Pärast seda keskendume kolme või enama arvu LCM-i leidmisele ja pöörame tähelepanu ka negatiivsete arvude LCM-i arvutamisele.
Leheküljel navigeerimine.
Least Common Multiple (LCM) arvutamine GCD kaudu
Üks viis vähima ühiskordaja leidmiseks põhineb LCM-i ja GCD vahelisel suhtel. Olemasolev ühendus LCM-i ja GCD vahel võimaldab meil teadaoleva suurima ühisjagaja kaudu arvutada kahe positiivse täisarvu väikseima ühiskordse. Vastav valem on LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Vaatame näiteid LCM-i leidmiseks antud valemi abil.
Näide.
Leidke kahe arvu 126 ja 70 vähim ühiskordne.
Lahendus.
Selles näites a=126, b=70. Kasutame valemiga väljendatud seost LCM-i ja GCD vahel LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). See tähendab, et kõigepealt peame leidma arvude 70 ja 126 suurima ühisjagaja, mille järel saame kirjutatud valemi abil arvutada nende arvude LCM-i.
Leiame eukleidilise algoritmi abil GCD(126, 70): 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, seega GCD(126, 70)=14.
Nüüd leiame nõutava vähima ühiskordse: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.
Vastus:
LCM(126,70)=630.
Näide.
Millega võrdub LCM(68, 34)?
Lahendus.
Sest 68 jagub 34-ga, siis GCD(68, 34)=34. Nüüd arvutame väikseima ühiskordse: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68,34)= 68·34:34=68.
Vastus:
LCM(68,34)=68.
Pange tähele, et eelmine näide sobib järgmise reegliga positiivsete täisarvude a ja b jaoks LCM-i leidmiseks: kui arv a jagub b-ga, siis on nende arvude vähim ühiskordne a.
LCM-i leidmine arvude algteguriteks faktoriseerimise teel
Teine viis vähima ühiskordaja leidmiseks põhineb arvude arvutamisel algteguriteks. Kui koostate kõigist antud arvude algteguritest korrutise ja jätate sellest korrutisest välja kõik antud arvude dekompositsioonides esinevad tavalised algtegurid, siis on saadud korrutis võrdne antud arvude vähima ühiskordsega .
Võrdsusest tuleneb väljatoodud reegel LCM-i leidmiseks LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Tõepoolest, arvude a ja b korrutis on võrdne kõigi arvude a ja b laienemisega seotud tegurite korrutisega. GCD(a, b) on omakorda võrdne kõigi arvude a ja b laiendustes samaaegselt esinevate algtegurite korrutisega (nagu on kirjeldatud jaotises GCD leidmine, kasutades arvude algteguriteks laiendamist).
Toome näite. Teatagem, et 75=3·5·5 ja 210=2·3·5·7. Koostame korrutise kõigist nende laienduste teguritest: 2·3·3·5·5·5·7 . Nüüd jätame sellest korrutisest välja kõik tegurid, mis esinevad nii arvu 75 kui ka arvu 210 laienemises (need tegurid on 3 ja 5), siis saab korrutis kuju 2·3·5·5·7 . Selle korrutise väärtus on võrdne 75 ja 210 vähima ühiskordsega, st NOC(75,210)= 2·3·5·5·7=1050.
Näide.
Korrigeerige arvud 441 ja 700 algteguriteks ja leidke nende arvude vähim ühiskordne.
Lahendus.
Korrigeerime arvud 441 ja 700 algteguriteks:
Saame 441=3·3·7·7 ja 700=2·2·5·5·7.
Nüüd loome kõigist teguritest, mis on seotud nende arvude laiendamisega, korrutis: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Jätame sellest korrutisest välja kõik tegurid, mis esinevad samaaegselt mõlemas laienduses (selline tegur on ainult üks – see on arv 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Seega LCM(441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.
Vastus:
NOC(441,700)=44100.
LCM-i leidmise reeglit, kasutades arvude faktoriseerimist algteguriteks, saab sõnastada veidi teisiti. Kui lisada arvu b laiendusest puuduvad tegurid arvu a laienemise teguritele, siis on saadud korrutise väärtus võrdne arvu a ja b vähima ühiskordsega.
Näiteks võtame samad arvud 75 ja 210, nende jaotused algteguriteks on järgmised: 75=3·5·5 ja 210=2·3·5·7. Teguritele 3, 5 ja 5 arvu 75 laiendusest liidame arvu 210 laiendusest puuduvad tegurid 2 ja 7, saame korrutise 2·3·5·5·7, mille väärtus on võrdne LCM(75, 210).
Näide.
Leidke 84 ja 648 vähim ühiskordne.
Lahendus.
Esmalt saame arvude 84 ja 648 dekompositsioonid algteguriteks. Need näevad välja nagu 84=2·2·3·7 ja 648=2·2·2·3·3·3·3. Teguritele 2, 2, 3 ja 7 arvu 84 laiendusest liidame arvu 648 laiendusest puuduvad tegurid 2, 3, 3 ja 3, saame korrutise 2 2 2 3 3 3 3 7, mis võrdub 4 536 . Seega on 84 ja 648 soovitud vähim ühiskordne 4536.
Vastus:
LCM(84,648)=4536.
Kolme või enama numbri LCM-i leidmine
Kolme või enama arvu väikseima ühiskordse saab leida, leides järjestikku kahe arvu LCM-i. Tuletame meelde vastavat teoreemi, mis annab võimaluse leida kolme või enama arvu LCM.
Teoreem.
Olgu positiivsed täisarvud a 1 , a 2 , …, a k antud, leitakse nende arvude vähim ühiskordne m k, arvutades järjestikku m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Vaatleme selle teoreemi rakendamist nelja arvu vähima ühiskordse leidmise näitel.
Näide.
Leidke nelja numbri 140, 9, 54 ja 250 LCM.
Lahendus.
Selles näites a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Kõigepealt leiame m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Selleks määrame eukleidilise algoritmi abil GCD(140, 9), saame 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, seega GCD(140, 9)=1 , kust GCD(140, 9)=140·9:GCD(140,9)= 140·9:1=1260. See tähendab, et m 2 = 1 260.
Nüüd leiame m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Arvutame selle läbi GCD(1 260, 54), mille määrame samuti eukleidilise algoritmi abil: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Seejärel gcd(1260,54)=18, millest gcd(1260,54)=1260·54:gcd(1260,54)=1260·54:18=3780. See tähendab, et m 3 = 3 780.
Jääb üle vaid leida m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Selleks leiame eukleidilise algoritmi abil GCD(3,780, 250): 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Seetõttu GCM(3780;250)=10, kust GCM(3780;250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. See tähendab, et m 4 = 94 500.
Seega on algse nelja arvu vähim ühiskordne 94 500.
Vastus:
LCM(140; 9; 54; 250) = 94 500.
Paljudel juhtudel on mugav leida kolme või enama arvu vähim ühiskordne, kasutades antud arvude algfaktoriseerimist. Sel juhul peaksite järgima järgmist reeglit. Mitme arvu vähim ühiskordne on võrdne korrutisega, mis koosneb järgmiselt: teise arvu laiendamisel puuduvad tegurid liidetakse kõikidele esimese arvu laienemise teguritele, puuduvad tegurid esimese arvu laienemisest. saadud teguritele lisatakse kolmas arv jne.
Vaatame näidet vähima ühiskordse leidmise kohta algfaktorisatsiooni abil.
Näide.
Leidke viiest arvust 84, 6, 48, 7, 143 vähim ühiskordne.
Lahendus.
Esiteks saame nende arvude jaotused algteguriteks: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 on algarv, see langeb kokku selle lagunemisega algteguriteks) ja 143=11·13.
Nende arvude LCM-i leidmiseks peate esimese numbri 84 teguritele (need on 2, 2, 3 ja 7) lisama teise numbri 6 laiendusest puuduvad tegurid. Arvu 6 lagunemine ei sisalda puuduvaid tegureid, kuna nii 2 kui 3 on juba esimese arvu 84 dekomponeerimisel olemas. Järgmiseks liidame teguritele 2, 2, 3 ja 7 puuduvad tegurid 2 ja 2 kolmanda arvu 48 laiendusest, saame tegurite 2, 2, 2, 2, 3 ja 7 hulga. Järgmises etapis ei ole vaja sellele komplektile kordajaid lisada, kuna 7 on selles juba sisaldunud. Lõpuks lisame teguritele 2, 2, 2, 2, 3 ja 7 arvu 143 laiendist puuduvad tegurid 11 ja 13. Saame korrutise 2·2·2·2·3·7·11·13, mis on võrdne 48 048-ga.
Vaatame kolme võimalust vähima ühiskordaja leidmiseks.
Leidmine faktoriseerimise teel
Esimene meetod on leida vähim ühiskordne, arvutades antud arvud algteguriteks.
Oletame, et peame leidma arvude 99, 30 ja 28 LCM-i. Selleks arvestame kõik need arvud algteguriteks:
Soovitud arvu jagumiseks 99, 30 ja 28-ga on vajalik ja piisav, et see hõlmaks kõiki nende jagajate algtegureid. Selleks peame võtma kõik nende arvude algtegurid võimalikult suure võimsuseni ja korrutama need kokku:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Seega LCM (99, 30, 28) = 13 860 ükski teine arv, mis on väiksem kui 13 860, ei jagu 99, 30 või 28-ga.
Antud arvude vähima ühiskordse leidmiseks arvestage need algteguritesse, seejärel võtke iga algtegur suurima eksponendiga, milles see esineb, ja korrutage need tegurid kokku.
Kuna suhteliselt algarvudel ei ole ühiseid algtegureid, on nende vähim ühiskordne võrdne nende arvude korrutisega. Näiteks kolm arvu: 20, 49 ja 33 on suhteliselt algarvud. Sellepärast
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Sama tuleb teha ka erinevate algarvude vähima ühiskordse leidmisel. Näiteks LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Valiku järgi leidmine
Teine meetod on vähima ühiskordse leidmine valiku teel.
Näide 1. Kui antud arvudest suurim jagatakse teise etteantud arvuga, on nende arvude LCM võrdne neist suurimaga. Näiteks antud neli numbrit: 60, 30, 10 ja 6. Igaüks neist jagub 60-ga, seega:
LCM(60; 30; 10; 6) = 60
Muudel juhtudel kasutatakse vähima ühiskordse leidmiseks järgmist protseduuri:
- Määrake antud arvudest suurim arv.
- Järgmiseks leiame arvud, mis on suurima arvu kordsed, korrutades selle kasvavas järjekorras naturaalarvudega ja kontrollides, kas saadud korrutis jagub ülejäänud antud arvudega.
Näide 2. Antud kolm arvu 24, 3 ja 18. Määrame neist suurima – see on arv 24. Järgmiseks leiame arvud, mis on 24 kordsed, kontrollides, kas igaüks neist jagub 18 ja 3-ga:
24 · 1 = 24 - jagub 3-ga, kuid ei jagu 18-ga.
24 · 2 = 48 - jagub 3-ga, kuid ei jagu 18-ga.
24 · 3 = 72 – jagub 3 ja 18-ga.
Seega LCM (24, 3, 18) = 72.
Otsimine LCM-i järjestikuse leidmise teel
Kolmas meetod on LCM-i järjestikuse leidmise teel vähima ühiskordaja leidmine.
Kahe antud arvu LCM võrdub nende arvude korrutisega, mis on jagatud nende suurima ühisjagajaga.
Näide 1. Leidke kahe antud arvu LCM: 12 ja 8. Määrake nende suurim ühisjagaja: GCD (12, 8) = 4. Korrutage need arvud:
Jagame toote nende gcd-ga:
Seega LCM (12, 8) = 24.
Kolme või enama numbri LCM-i leidmiseks kasutage järgmist protseduuri.
- Esiteks leidke nende kahe numbri LCM.
- Seejärel leitud vähima ühiskordse ja kolmanda antud arvu LCM.
- Seejärel saadud vähima ühiskordse ja neljanda arvu LCM jne.
- Seega jätkub LCM-i otsimine seni, kuni on numbreid.
Näide 2. Leiame kolme antud arvu LCM-i: 12, 8 ja 9. Arvude 12 ja 8 LCM-i leidsime juba eelmises näites (see on arv 24). Jääb üle leida arvu 24 ja kolmanda antud arvu vähim ühiskordne - 9. Määrake nende suurim ühisjagaja: GCD (24, 9) = 3. Korrutage LCM arvuga 9:
Jagame toote nende gcd-ga:
Seega LCM (12, 8, 9) = 72.
Jätkame vestlust vähim ühiskordsest, mida alustasime jaotises “LCM – vähim ühiskordaja, määratlus, näited”. Selles teemas vaatleme viise, kuidas leida kolme või enama arvu LCM-i, ja käsitleme küsimust, kuidas leida negatiivse arvu LCM-i.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Least Common Multiple (LCM) arvutamine GCD kaudu
Oleme juba loonud seose vähima ühiskordaja ja suurima ühisjagaja vahel. Nüüd õpime, kuidas GCD abil LCM-i määrata. Kõigepealt mõelgem välja, kuidas seda positiivsete arvude puhul teha.
Definitsioon 1
Väikseima ühiskordse saab leida läbi suurima ühisjagaja, kasutades valemit LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
Näide 1
Peate leidma numbrite 126 ja 70 LCM-i.
Lahendus
Võtame a = 126, b = 70. Asendame väärtused väikseima ühiskordse arvutamise valemis suurima ühisjagaja kaudu LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Leiab arvude 70 ja 126 gcd. Selleks vajame eukleidilist algoritmi: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, seega GCD (126 , 70) = 14 .
Arvutame LCM-i: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Vastus: LCM(126; 70) = 630.
Näide 2
Leidke numbrid 68 ja 34.
Lahendus
GCD-d pole sel juhul raske leida, kuna 68 jagub 34-ga. Arvutame väikseima ühiskordse valemi abil: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Vastus: LCM(68; 34) = 68.
Selles näites kasutasime positiivsete täisarvude a ja b vähima ühiskordse leidmiseks reeglit: kui esimene arv jagub teisega, on nende arvude LCM võrdne esimese arvuga.
LCM-i leidmine arvude algteguriteks faktoriseerimise teel
Vaatame nüüd LCM-i leidmise meetodit, mis põhineb arvude algteguriteks arvutamisel.
2. definitsioon
Vähima ühiskordaja leidmiseks peame tegema mitmeid lihtsaid samme:
- koostame kõigi nende arvude algtegurite korrutise, mille jaoks peame leidma LCM-i;
- me jätame nende tulemuseks olevatest toodetest välja kõik peamised tegurid;
- pärast ühiste algtegurite kõrvaldamist saadud korrutis on võrdne antud arvude LCM-iga.
See vähima ühiskordaja leidmise meetod põhineb võrdusel LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Kui vaadata valemit, siis selgub: arvude a ja b korrutis võrdub kõigi nende kahe arvu lagunemisel osalevate tegurite korrutisega. Sel juhul on kahe arvu gcd võrdne kõigi nende kahe arvu faktorisatsioonis samaaegselt esinevate algtegurite korrutisega.
Näide 3
Meil on kaks numbrit 75 ja 210. Saame neid arvutada järgmiselt: 75 = 3 5 5 Ja 210 = 2 3 5 7. Kui moodustate kahe algarvu kõigi tegurite korrutise, saate: 2 3 3 5 5 5 7.
Kui jätta välja nii arvude 3 kui ka 5 ühised tegurid, saame järgmise kujuga korrutise: 2 3 5 5 7 = 1050. Sellest tootest saab meie LCM numbrite 75 ja 210 jaoks.
Näide 4
Leidke numbrite LCM 441 Ja 700 , arvestades mõlemad arvud algteguriteks.
Lahendus
Leiame kõik tingimuses antud arvude algtegurid:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Saame kaks arvuahelat: 441 = 3 3 7 7 ja 700 = 2 2 5 5 7.
Kõigi nende arvude lagunemisel osalenud tegurite korrutis on järgmine: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Leiame ühised tegurid. See on number 7. Jätame selle toote koguarvust välja: 2 2 3 3 5 5 7 7. Selgub, et NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Vastus: LOC(441; 700) = 44 100.
Esitame veel ühe meetodi sõnastus LCM-i leidmiseks, jagades arvud algteguriteks.
3. määratlus
Varem jätsime mõlemale arvule ühiste tegurite koguarvust välja. Nüüd teeme seda teisiti:
- Kombineerime mõlemad arvud algteguriteks:
- liita esimese arvu algtegurite korrutisele teise arvu puuduvad tegurid;
- saame toote, mis on soovitud kahe numbri LCM.
Näide 5
Pöördume tagasi numbrite 75 ja 210 juurde, mille jaoks me juba ühes eelmises näites LCM-i otsisime. Jaotame need lihtsateks teguriteks: 75 = 3 5 5 Ja 210 = 2 3 5 7. Koefitsientide 3, 5 ja korrutisesse 5 numbrid 75 lisavad puuduvad tegurid 2 Ja 7 numbrid 210. Saame: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . See on numbrite 75 ja 210 LCM.
Näide 6
On vaja arvutada numbrite 84 ja 648 LCM.
Lahendus
Jaotame tingimuse arvud lihtsateks teguriteks: 84 = 2 2 3 7 Ja 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Lisame korrutisele tegurid 2, 2, 3 ja 7
numbrid 84 puuduvad tegurid 2, 3, 3 ja
3
numbrid 648. Saame toote kätte 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. See on 84 ja 648 vähim ühiskordne.
Vastus: LCM(84648) = 4536.
Kolme või enama numbri LCM-i leidmine
Sõltumata sellest, kui paljude arvudega me tegeleme, on meie toimingute algoritm alati sama: leiame järjestikku kahe arvu LCM-i. Selle juhtumi jaoks on olemas teoreem.
1. teoreem
Oletame, et meil on täisarvud a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k need arvud leitakse, arvutades järjestikku m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Nüüd vaatame, kuidas saab teoreemi konkreetsete probleemide lahendamiseks rakendada.
Näide 7
Peate arvutama nelja arvu 140, 9, 54 ja vähima ühiskordse 250 .
Lahendus
Tutvustame tähistust: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Alustuseks arvutame m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Arvude 140 ja 9 GCD arvutamiseks rakendame eukleidilist algoritmi: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Saame: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Seetõttu m 2 = 1260.
Nüüd arvutame sama algoritmi abil m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Arvutuste käigus saame m 3 = 3 780.
Peame lihtsalt arvutama m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Me järgime sama algoritmi. Saame m 4 = 94 500.
Näidistingimuse nelja numbri LCM on 94500.
Vastus: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Nagu näete, on arvutused lihtsad, kuid üsna töömahukad. Aja säästmiseks võite minna muul viisil.
4. määratlus
Pakume teile järgmist toimingute algoritmi:
- lagundame kõik arvud algteguriteks;
- esimese arvu tegurite korrutisele liidame puuduvad tegurid teise arvu korrutisest;
- eelmises etapis saadud korrutisele lisame kolmanda arvu puuduvad tegurid jne;
- saadud korrutis on tingimuse kõigi arvude vähim ühiskordne.
Näide 8
Peate leidma viie numbri 84, 6, 48, 7, 143 LCM-i.
Lahendus
Korrigeerime kõik viis arvu algteguriteks: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Algarve, mis on arv 7, ei saa algtegurite hulka arvestada. Sellised arvud langevad kokku nende lagunemisega algteguriteks.
Nüüd võtame arvu 84 algtegurite 2, 2, 3 ja 7 korrutise ja liidame neile teise arvu puuduvad tegurid. Jagasime arvu 6 kaheks ja 3-ks. Need tegurid on juba esimese numbri korrutises. Seetõttu jätame need välja.
Jätkame puuduvate kordajate lisamist. Liigume edasi arvu 48 juurde, mille algtegurite korrutisest võtame 2 ja 2. Seejärel liidame neljanda arvu algteguri 7 ning viienda arvu tegurid 11 ja 13. Saame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. See on algse viie arvu väikseim ühiskordne.
Vastus: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Negatiivsete arvude vähima ühiskordse leidmine
Negatiivsete arvude vähima ühiskordse leidmiseks tuleb need arvud esmalt asendada vastupidise märgiga arvudega ja seejärel sooritada arvutused ülaltoodud algoritmide abil.
Näide 9
LCM (54, -34) = LCM (54, 34) ja LCM (-622, -46, -54, -888) = LCM (622, -46,54,888).
Sellised toimingud on lubatavad, kuna sellega nõustume a Ja − a- vastandarvud,
siis arvu kordsete hulk a sobib arvu kordsete hulgaga − a.
Näide 10
On vaja arvutada negatiivsete arvude LCM − 145 Ja − 45 .
Lahendus
Asendame numbrid − 145 Ja − 45 nende vastandarvudele 145 Ja 45 . Nüüd, kasutades algoritmi, arvutame LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, olles eelnevalt määranud GCD eukleidilise algoritmi abil.
Saame, et arvude LCM on − 145 ja − 45 võrdub 1 305 .
Vastus: LCM (− 145, − 45) = 1305.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
