Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Mifumo ya milinganyo. Njia ya uingizwaji, njia ya kuongeza, njia ya kutambulisha kigezo kipya"
Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, maoni, mapendekezo! Nyenzo zote zinachunguzwa na programu ya antivirus.
Vifaa vya kufundishia na simulators kwenye duka la mtandaoni "Integral" kwa daraja la 9
Simulator ya vitabu vya kiada Atanasyan L.S. Simulator ya vitabu vya kiada Pogorelova A.V.
Njia za kutatua mifumo ya usawa
Jamani, tumesoma mifumo ya milinganyo na kujifunza jinsi ya kuisuluhisha kwa kutumia grafu. Sasa hebu tuone ni njia gani zingine za kutatua mifumo zipo?Karibu njia zote za kuzitatua hazitofautiani na zile ambazo tulisoma katika darasa la 7. Sasa tunahitaji kufanya marekebisho kadhaa kulingana na milinganyo ambayo tumejifunza kutatua.
Kiini cha njia zote zilizoelezwa katika somo hili ni uingizwaji wa mfumo na mfumo sawa na fomu rahisi na njia ya ufumbuzi. Guys, kumbuka ni mfumo gani unaofanana.
Njia ya Kubadilisha
Njia ya kwanza ya kutatua mifumo ya equations na vigezo viwili inajulikana kwetu - hii ni njia ya uingizwaji. Tulitumia njia hii kutatua milinganyo ya mstari. Sasa hebu tuone jinsi ya kutatua equations katika kesi ya jumla?Mtu anapaswa kuendeleaje anapofanya uamuzi?
1. Eleza moja ya vigezo katika suala la nyingine. Vigezo vinavyotumika sana katika milinganyo ni x na y. Katika moja ya equations, tunaelezea tofauti moja kwa suala la mwingine. Kidokezo: Angalia vizuri milinganyo yote miwili kabla ya kuanza kusuluhisha na uchague ile ambapo itakuwa rahisi kueleza utofauti.
2. Badilisha usemi unaotokana na mlinganyo wa pili, badala ya kigezo kilichoonyeshwa.
3. Tatua mlinganyo tuliopata.
4. Weka suluhisho linalosababisha katika equation ya pili. Ikiwa kuna suluhisho kadhaa, basi ni muhimu kuzibadilisha kwa mlolongo ili usipoteze suluhisho kadhaa.
5. Kama matokeo, utapata jozi ya nambari $(x;y)$, ambayo lazima iandikwe kama jibu.
Mfano.
Tatua mfumo ulio na viambajengo viwili kwa kutumia mbinu mbadala: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.
Suluhisho.
Wacha tuangalie kwa karibu milinganyo yetu. Ni wazi, kuelezea y katika suala la x katika equation ya kwanza ni rahisi zaidi.
$\anza(kesi)y=5-x, \\xy=6\end(kesi)$.
Badilisha usemi wa kwanza kwenye mlinganyo wa pili $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(kesi)$.
Wacha tusuluhishe equation ya pili kando:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Tulipata masuluhisho mawili ya mlingano wa pili $x_1=2$ na $x_2=3$.
Badilisha mfululizo katika mlingano wa pili.
Ikiwa $x=2$ basi $y=3$. Ikiwa $x=3$ basi $y=2$.
Jibu litakuwa jozi mbili za nambari.
Jibu: $(2;3)$ na $(3;2)$.
Mbinu ya kuongeza algebra
Pia tulisoma njia hii katika daraja la 7.Inajulikana kuwa tunaweza kuzidisha mlinganyo wa kimantiki katika vigeu viwili kwa nambari yoyote, tukikumbuka kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo. Tulizidisha moja ya equations kwa nambari fulani ili wakati equation inayotokana inaongezwa kwa equation ya pili ya mfumo, moja ya vigezo huharibiwa. Kisha equation ilitatuliwa kwa heshima na kutofautiana iliyobaki.
Njia hii bado inafanya kazi, ingawa si mara zote inawezekana kuharibu moja ya vigezo. Lakini inaruhusu mtu kurahisisha kwa kiasi kikubwa fomu ya moja ya equations.
Mfano.
Tatua mfumo: $\anza(kesi)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(kesi)$.
Suluhisho.
Zidisha mlingano wa kwanza kwa 2.
$\anza(kesi)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(kesi)$.
Ondoa ya pili kutoka kwa mlinganyo wa kwanza.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Kama unaweza kuona, fomu ya equation inayosababishwa ni rahisi zaidi kuliko ile ya asili. Sasa tunaweza kutumia njia mbadala.
$\anza(kesi)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\mwisho(kesi)$.
Wacha tueleze x kupitia y katika mlinganyo unaotokana.
$\anza(kesi)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(kesi)$.
Nimepata $y=-1$ na $y=-3$.
Badilisha maadili haya kwa kufuatana katika mlingano wa kwanza. Tunapata jozi mbili za nambari: $(1;-1)$ na $(-1;-3)$.
Jibu: $(1;-1)$ na $(-1;-3)$.
Mbinu ya kutambulisha kigezo kipya
Pia tulijifunza njia hii, lakini hebu tuangalie tena.Mfano.
Tatua mfumo: $\anza(kesi)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(kesi)$.
Suluhisho.
Wacha tuanzishe uingizwaji $t=\frac(x)(y)$.
Hebu tuandike upya mlingano wa kwanza kwa kigezo kipya: $t+\frac(2)(t)=3$.
Wacha tusuluhishe equation inayosababisha:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Nimepata $t=2$ au $t=1$. Wacha tuanzishe mabadiliko ya nyuma $t=\frac(x)(y)$.
Nimepata: $x=2y$ na $x=y$.
Kwa kila moja ya maneno, mfumo asili lazima utatuliwe tofauti:
$\anza(kesi)x=2y, \\2x^2-y^2=1\mwisho(kesi)$. $\anza(kesi)x=y, \\2x^2-y^2=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2y, \\8y^2-y^2=1\mwisho(kesi)$. $\anza(kesi)x=y, \\2y^2-y^2=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2y, \\7y^2=1\mwisho(kesi)$. $\anza(kesi)x=2y, \\y^2=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(kesi)$. $\anza(kesi)x=y, \\y=±1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(kesi)$. $\anza(kesi)x=±1, \\y=±1\mwisho(kesi)$.
Tulipokea jozi nne za suluhisho.
Jibu: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Mfano.
Tatua mfumo: $\anza(kesi)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(kesi)$.
Suluhisho.
Tunatanguliza uingizwaji: $z=\frac(2)(x-3y)$ na $t=\frac(3)(2x+y)$.
Wacha tuandike tena hesabu za asili na anuwai mpya:
$\anza(kesi)z+t=2, \\4z-3t=1\end(kesi)$.
Wacha tutumie njia ya kuongeza algebra:
$\anza(kesi)3z+3t=6, \\4z-3t=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)7z=7, \\4z-3t=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)z=1, \\-3t=1-4\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)z=1, \\t=1\end(kesi)$.
Wacha tuanzishe uingizwaji wa kinyume:
$\anza(kesi)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x-3y=2, \\2x+y=3\mwisho(kesi)$.
Wacha tutumie njia mbadala:
$\anza(kesi)x=2+3y, \\4+6y+y=3\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2+3y, \\7y=-1\mwisho(kesi)$.
$\anza(kesi)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(kesi)$.
$\anza(kesi)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(kesi)$.
Jibu: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.
Shida kwenye mifumo ya milinganyo kwa suluhisho huru
Suluhisha mifumo:1. $\anza(kesi)2x-2y=6, \\xy =-2\mwisho(kesi)$.
2. $\anza(kesi)x+y^2=3, \\xy^2=4\mwisho(kesi)$.
3. $\anza(kesi)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\mwisho(kesi)$.
4. $\anza(kesi)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ mwisho(kesi)$.
5. $\anza(kesi)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(kesi)$. Maudhui ya somo
Milinganyo ya Mistari yenye Vigezo viwili
Mwanafunzi ana rubles 200 kula chakula cha mchana shuleni. Keki inagharimu rubles 25, na kikombe cha kahawa kinagharimu rubles 10. Ni mikate ngapi na vikombe vya kahawa unaweza kununua kwa rubles 200?
Onyesha idadi ya mikate kupitia x, na idadi ya vikombe vya kahawa kupitia y. Halafu gharama ya keki itaonyeshwa na usemi 25 x, na gharama ya vikombe vya kahawa katika 10 y .
25x- bei x mikate
10y- bei y vikombe vya kahawa
Kiasi cha jumla kinapaswa kuwa rubles 200. Kisha tunapata equation na vigezo viwili x Na y
25x+ 10y= 200
Je, mlingano huu una mizizi mingapi?
Yote inategemea hamu ya mwanafunzi. Ikiwa atanunua keki 6 na vikombe 5 vya kahawa, basi mizizi ya equation itakuwa nambari 6 na 5.
Jozi ya maadili 6 na 5 inasemekana kuwa mizizi ya Equation 25 x+ 10y= 200 . Imeandikwa kama (6; 5) , na nambari ya kwanza ikiwa thamani ya kutofautisha x, na pili - thamani ya kutofautiana y .
6 na 5 sio mizizi pekee inayogeuza Equation 25 x+ 10y= 200 kwa utambulisho. Ikiwa inataka, kwa rubles 200 sawa, mwanafunzi anaweza kununua keki 4 na vikombe 10 vya kahawa:
Katika kesi hii, mizizi ya equation 25 x+ 10y= 200 ni jozi ya maadili (4; 10) .
Kwa kuongezea, mwanafunzi anaweza asinunue kahawa hata kidogo, lakini nunua keki kwa rubles 200 zote. Kisha mizizi ya equation 25 x+ 10y= 200 itakuwa maadili 8 na 0
Au kinyume chake, usinunue keki, lakini ununue kahawa kwa rubles 200 zote. Kisha mizizi ya equation 25 x+ 10y= 200 itakuwa maadili 0 na 20
Wacha tujaribu kuorodhesha mizizi yote inayowezekana ya equation 25 x+ 10y= 200 . Tukubaliane kwamba maadili x Na y ni ya seti ya nambari kamili. Na acha maadili haya yawe makubwa kuliko au sawa na sifuri:
x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Kwa hivyo itakuwa rahisi kwa mwanafunzi mwenyewe. Keki ni rahisi zaidi kununua nzima kuliko, kwa mfano, keki kadhaa nzima na keki ya nusu. Kahawa pia ni rahisi zaidi kuchukua katika vikombe nzima kuliko, kwa mfano, vikombe kadhaa nzima na kikombe nusu.
Kumbuka kwamba kwa isiyo ya kawaida x haiwezekani kufikia usawa chini ya yoyote y. Kisha maadili x kutakuwa na nambari zifuatazo 0, 2, 4, 6, 8. Na kujua x inaweza kuamua kwa urahisi y
Kwa hivyo, tulipata jozi zifuatazo za maadili (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Jozi hizi ni suluhu au mizizi ya Equation 25 x+ 10y= 200. Wanageuza mlingano huu kuwa utambulisho.
Chapa equation shoka + kwa = c kuitwa mlingano wa mstari na vigeu viwili. Suluhisho au mizizi ya equation hii ni jozi ya maadili ( x; y), ambayo huigeuza kuwa kitambulisho.
Kumbuka pia kwamba ikiwa equation ya mstari na vigeu viwili imeandikwa kama shoka + b y = c , halafu wanasema imeandikwa ndani kisheria(kawaida) fomu.
Baadhi ya milinganyo ya mstari katika vigeu viwili inaweza kupunguzwa hadi umbo la kisheria.
Kwa mfano, equation 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) inaweza kuletwa akilini shoka + kwa = c. Wacha tufungue mabano katika sehemu zote mbili za equation hii, tunapata 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Masharti yaliyo na haijulikani yamewekwa kwenye upande wa kushoto wa equation, na masharti ya bure ya haijulikani yamepangwa upande wa kulia. Kisha tunapata 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Tunaleta maneno sawa katika sehemu zote mbili, tunapata equation 16 x+ 8y= 32. Equation hii imepunguzwa kwa fomu shoka + kwa = c na ni ya kisheria.
Equation 25 iliyozingatiwa hapo awali x+ 10y= 200 pia ni mlinganyo wa mstari unaobadilika-badilika-mbili katika umbo la kisheria. Katika equation hii, vigezo a , b Na c ni sawa na maadili 25, 10 na 200, mtawaliwa.
Kwa kweli equation shoka + kwa = c ina idadi isiyo na kikomo ya suluhisho. Kutatua Equation 25x+ 10y= 200, tulitafuta mizizi yake tu kwenye seti ya nambari kamili. Kwa hivyo, tulipata jozi kadhaa za maadili ambazo ziligeuza mlinganyo huu kuwa kitambulisho. Lakini kwa seti ya nambari za busara equation 25 x+ 10y= 200 itakuwa na idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.
Ili kupata jozi mpya za maadili, unahitaji kuchukua thamani ya kiholela x, kisha eleza y. Kwa mfano, hebu tuchukue tofauti x thamani 7. Kisha tunapata equation na variable moja 25×7 + 10y= 200 ambamo kueleza y
Hebu iwe x= 15 . Kisha equation 25x+ 10y= 200 inakuwa 25 × 15 + 10y= 200. Kuanzia hapa tunapata hiyo y = −17,5
Hebu iwe x= -3 . Kisha equation 25x+ 10y= 200 inakuwa 25 × (-3) + 10y= 200. Kuanzia hapa tunapata hiyo y = −27,5
Mfumo wa milinganyo miwili ya mstari na vigeu viwili
Kwa equation shoka + kwa = c unaweza kuchukua idadi yoyote ya mara maadili holela kwa x na kupata maadili kwa y. Ikichukuliwa kando, equation kama hiyo itakuwa na idadi isiyo na kikomo ya suluhisho.
Lakini pia hutokea kwamba vigezo x Na y kuunganishwa si kwa moja, lakini kwa equations mbili. Katika kesi hii, wao huunda kinachojulikana mfumo wa milinganyo ya mstari yenye viambishi viwili. Mfumo kama huo wa equations unaweza kuwa na jozi moja ya maadili (au kwa maneno mengine: "suluhisho moja").
Inaweza pia kutokea kwamba mfumo hauna suluhu hata kidogo. Mfumo wa milinganyo ya mstari unaweza kuwa na idadi isiyo na kikomo ya suluhu katika matukio adimu na ya kipekee.
Milinganyo miwili ya mstari huunda mfumo wakati maadili x Na y zimejumuishwa katika kila milinganyo hii.
Wacha turudi kwenye mlingano wa kwanza kabisa wa 25 x+ 10y= 200 . Moja ya jozi ya maadili ya equation hii ilikuwa jozi (6; 5). Hii ndio kesi wakati rubles 200 zinaweza kununua keki 6 na vikombe 5 vya kahawa.
Tunatunga tatizo ili jozi (6; 5) iwe suluhu la pekee la equation 25 x+ 10y= 200 . Ili kufanya hivyo, tunaunda equation nyingine ambayo ingeunganisha sawa x mikate na y vikombe vya kahawa.
Wacha tuweke maandishi ya kazi kama ifuatavyo:
"Mvulana wa shule alinunua keki kadhaa na vikombe kadhaa vya kahawa kwa rubles 200. Keki inagharimu rubles 25, na kikombe cha kahawa kinagharimu rubles 10. Je, mwanafunzi alinunua keki na vikombe vingapi vya kahawa ikiwa inajulikana idadi ya keki ni moja zaidi ya idadi ya vikombe vya kahawa?
Tayari tunayo mlingano wa kwanza. Hii ni Equation 25 x+ 10y= 200 . Sasa hebu tuandike equation kwa hali hiyo "idadi ya mikate ni uniti moja zaidi ya vikombe vya kahawa" .
Idadi ya mikate ni x, na idadi ya vikombe vya kahawa ni y. Unaweza kuandika kifungu hiki kwa kutumia mlinganyo x - y= 1. Mlinganyo huu unamaanisha kuwa tofauti kati ya keki na kahawa ni 1.
x=y+ 1 . Equation hii ina maana kwamba idadi ya mikate ni moja zaidi ya idadi ya vikombe vya kahawa. Kwa hiyo, ili kupata usawa, mtu huongezwa kwa idadi ya vikombe vya kahawa. Hii inaweza kueleweka kwa urahisi ikiwa tutatumia mfano wa uzani ambao tulizingatia wakati wa kusoma shida rahisi zaidi:
Nilipata milinganyo miwili: 25 x+ 10y= 200 na x=y+ 1. Tangu maadili x Na y, yaani 6 na 5 zimejumuishwa katika kila milinganyo hii, kisha kwa pamoja huunda mfumo. Hebu tuandike mfumo huu. Ikiwa equations huunda mfumo, basi zimewekwa na ishara ya mfumo. Ishara ya mfumo ni brace ya curly:
Wacha tusuluhishe mfumo huu. Hii itaturuhusu kuona jinsi tunavyofika kwenye maadili 6 na 5. Kuna njia nyingi za kutatua mifumo kama hii. Fikiria maarufu zaidi kati yao.
Njia ya Kubadilisha
Jina la njia hii linajieleza yenyewe. Kiini chake ni kubadilisha mlinganyo mmoja hadi mwingine, baada ya kuonyesha moja ya vigeu hapo awali.
Katika mfumo wetu, hakuna kitu kinachohitajika kuonyeshwa. Katika equation ya pili x = y+ 1 tofauti x tayari imeonyeshwa. Tofauti hii ni sawa na usemi y+ 1 . Basi unaweza kubadilisha usemi huu katika equation ya kwanza badala ya kutofautisha x
Baada ya kubadilisha usemi y+ 1 kwenye mlinganyo wa kwanza badala yake x, tunapata equation 25(y+ 1) + 10y= 200 . Huu ni mlinganyo wa mstari na kigezo kimoja. Equation hii ni rahisi sana kutatua:
Tulipata thamani ya kutofautiana y. Sasa tunabadilisha thamani hii katika mojawapo ya milinganyo na kupata thamani x. Kwa hili, ni rahisi kutumia equation ya pili x = y+ 1 . Hebu tuweke thamani ndani yake y
Kwa hivyo jozi (6; 5) ni suluhisho la mfumo wa milinganyo, kama tulivyokusudia. Tunaangalia na kuhakikisha kuwa jozi (6; 5) inakidhi mfumo:
Mfano 2
Badilisha mlingano wa kwanza x= 2 + y katika equation ya pili 3 x - 2y= 9 . Katika equation ya kwanza, kutofautiana x ni sawa na usemi 2 + y. Tunabadilisha usemi huu katika mlinganyo wa pili badala ya x
Sasa hebu tupate thamani x. Ili kufanya hivyo, badilisha thamani y kwenye equation ya kwanza x= 2 + y
Kwa hivyo suluhisho la mfumo ni thamani ya jozi (5; 3)
Mfano 3. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia mbadala:
Hapa, tofauti na mifano ya awali, moja ya vigezo haijaonyeshwa kwa uwazi.
Ili kubadilisha mlinganyo mmoja hadi mwingine, kwanza unahitaji .
Inapendekezwa kueleza kigezo ambacho kina mgawo wa moja. Kitengo cha mgawo kina kutofautiana x, ambayo iko katika mlingano wa kwanza x+ 2y= 11 . Hebu kueleza kutofautiana hii.
Baada ya usemi unaobadilika x, mfumo wetu utaonekana kama hii:
Sasa tunabadilisha equation ya kwanza hadi ya pili na kupata thamani y
Mbadala y x
Kwa hivyo suluhisho la mfumo ni jozi ya maadili (3; 4)
Bila shaka, unaweza pia kueleza kutofautiana y. Mizizi haitabadilika. Lakini ikiwa unajieleza y, matokeo sio equation rahisi sana, suluhisho ambalo litachukua muda zaidi. Itakuwa kama hii:
Tunaona kwamba katika mfano huu kueleza x rahisi zaidi kuliko kujieleza y .
Mfano 4. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia mbadala:
Eleza katika mlinganyo wa kwanza x. Kisha mfumo utachukua fomu:
y
Mbadala y kwenye equation ya kwanza na upate x. Unaweza kutumia mlingano asilia 7 x+ 9y= 8 , au tumia mlinganyo ambamo kigezo kinaonyeshwa x. Tutatumia equation hii, kwa kuwa ni rahisi:
Kwa hivyo suluhisho la mfumo ni jozi ya maadili (5; -3)
Mbinu ya kuongeza
Njia ya kuongeza ni kuongeza muda baada ya muda milinganyo iliyojumuishwa kwenye mfumo. Nyongeza hii inasababisha mlingano mpya wa kigezo kimoja. Na ni rahisi sana kutatua mlingano huu.
Wacha tusuluhishe mfumo ufuatao wa hesabu:
Ongeza upande wa kushoto wa mlinganyo wa kwanza kwa upande wa kushoto wa mlinganyo wa pili. Na upande wa kulia wa mlingano wa kwanza na upande wa kulia wa mlinganyo wa pili. Tunapata usawa ufuatao:
Hapa kuna maneno sawa:
Kama matokeo, tulipata equation rahisi zaidi ya 3 x= 27 ambao mzizi wake ni 9. Kujua thamani x unaweza kupata thamani y. Badilisha thamani x kwenye equation ya pili x - y= 3 . Tunapata 9 - y= 3 . Kutoka hapa y= 6 .
Kwa hivyo suluhisho la mfumo ni jozi ya maadili (9; 6)
Mfano 2
Ongeza upande wa kushoto wa mlinganyo wa kwanza kwa upande wa kushoto wa mlinganyo wa pili. Na upande wa kulia wa mlingano wa kwanza na upande wa kulia wa mlinganyo wa pili. Katika usawa unaotokana, tunawasilisha maneno kama haya:
Kama matokeo, tulipata equation rahisi zaidi ya 5 x= 20, mzizi wake ni 4. Kujua thamani x unaweza kupata thamani y. Badilisha thamani x katika equation ya kwanza 2 x+y= 11 . Wacha tupate 8 + y= 11 . Kutoka hapa y= 3 .
Kwa hivyo suluhisho la mfumo ni jozi ya maadili (4;3)
Mchakato wa kuongeza haujaelezewa kwa undani. Inapaswa kufanywa katika akili. Wakati wa kuongeza, milinganyo yote miwili lazima ipunguzwe hadi fomu ya kisheria. Hiyo ni, kwa akili ac+by=c .
Kutoka kwa mifano iliyozingatiwa, inaweza kuonekana kuwa lengo kuu la kuongeza equations ni kuondokana na moja ya vigezo. Lakini si mara zote inawezekana kutatua mara moja mfumo wa equations kwa njia ya kuongeza. Mara nyingi, mfumo huletwa hapo awali kwa fomu ambayo inawezekana kuongeza hesabu zilizojumuishwa katika mfumo huu.
Kwa mfano, mfumo 
inaweza kutatuliwa moja kwa moja na njia ya kuongeza. Wakati wa kuongeza equations zote mbili, masharti y Na −y kutoweka kwa sababu jumla yao ni sifuri. Kama matokeo, equation rahisi zaidi huundwa 11 x= 22 , ambayo mizizi yake ni 2. Kisha itawezekana kuamua y sawa na 5.
Na mfumo wa equations 
njia ya kuongeza haiwezi kutatuliwa mara moja, kwa kuwa hii haitasababisha kutoweka kwa moja ya vigezo. Nyongeza itasababisha Mlingano wa 8 x+ y= 28 , ambayo ina idadi isiyo na kikomo ya ufumbuzi.
Ikiwa sehemu zote mbili za equation zitazidishwa au kugawanywa kwa nambari sawa ambayo si sawa na sifuri, basi equation sawa na moja iliyotolewa itapatikana. Sheria hii pia ni halali kwa mfumo wa milinganyo ya mstari na vigezo viwili. Moja ya milinganyo (au milinganyo yote miwili) inaweza kuzidishwa kwa nambari fulani. Matokeo yake ni mfumo sawa, mizizi ambayo itafanana na uliopita.
Wacha turudi kwenye mfumo wa kwanza kabisa, ambao ulielezea ni mikate ngapi na vikombe vya kahawa ambavyo mwanafunzi alinunua. Suluhisho la mfumo huu lilikuwa jozi ya maadili (6; 5).
Tunazidisha milinganyo yote miwili iliyojumuishwa katika mfumo huu kwa baadhi ya nambari. Wacha tuseme tunazidisha mlinganyo wa kwanza kwa 2 na wa pili kwa 3
Matokeo yake ni mfumo 
Suluhisho la mfumo huu bado ni jozi ya maadili (6; 5)
Hii ina maana kwamba milinganyo iliyojumuishwa kwenye mfumo inaweza kupunguzwa hadi fomu inayofaa kutumia mbinu ya kuongeza.
Rudi kwenye mfumo , ambayo hatukuweza kutatua kwa njia ya kuongeza.
Zidisha mlingano wa kwanza kwa 6 na wa pili kwa -2
Kisha tunapata mfumo ufuatao:
Tunaongeza milinganyo iliyojumuishwa katika mfumo huu. Ongezeko la vipengele 12 x na -12 x itasababisha 0, nyongeza 18 y na 4 y itatoa 22 y, na kuongeza 108 na −20 inatoa 88. Kisha unapata equation 22. y= 88 , kwa hivyo y = 4 .
Ikiwa mwanzoni ni ngumu kuongeza equation katika akili yako, basi unaweza kuandika jinsi upande wa kushoto wa equation ya kwanza umeongezwa kwa upande wa kushoto wa equation ya pili, na upande wa kulia wa equation ya kwanza upande wa kulia wa equation. equation ya pili:
Kujua kwamba thamani ya kutofautiana y ni 4, unaweza kupata thamani x. Mbadala y katika mojawapo ya milinganyo, kwa mfano katika mlingano wa kwanza 2 x+ 3y= 18 . Kisha tunapata equation na kigezo kimoja 2 x+ 12 = 18 . Tunahamisha 12 kwenda upande wa kulia, tukibadilisha ishara, tunapata 2 x= 6 , kwa hivyo x = 3 .
Mfano 4. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia ya kuongeza:
Zidisha mlingano wa pili kwa -1. Kisha mfumo utachukua fomu ifuatayo:
Wacha tuongeze milinganyo yote miwili. Ongezeko la vipengele x Na −x itasababisha 0, nyongeza 5 y na 3 y itatoa 8 y, na kuongeza 7 na 1 inatoa 8. Matokeo yake ni mlinganyo 8 y= 8 , ambayo mzizi wake ni 1. Kujua kwamba thamani y ni 1, unaweza kupata thamani x .
Mbadala y katika equation ya kwanza, tunapata x+ 5 = 7 , kwa hiyo x= 2
Mfano 5. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia ya kuongeza:
Inastahili kuwa maneno yaliyo na vigezo sawa iko moja chini ya nyingine. Kwa hivyo, katika equation ya pili, maneno 5 y na -2 x badilisha maeneo. Kama matokeo, mfumo utachukua fomu:
Zidisha equation ya pili kwa 3. Kisha mfumo utachukua fomu:
Sasa hebu tuongeze milinganyo yote miwili. Kama matokeo ya kuongeza, tunapata equation 8 y= 16 , ambayo mzizi wake ni 2.
Mbadala y katika equation ya kwanza, tunapata 6 x− 14 = 40 . Tunahamisha neno -14 kwa upande wa kulia, tukibadilisha ishara, tunapata 6 x= 54 . Kutoka hapa x= 9.
Mfano 6. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia ya kuongeza:
Wacha tuachane na sehemu. Zidisha mlingano wa kwanza kwa 36 na wa pili kwa 12
Katika mfumo wa matokeo 
mlinganyo wa kwanza unaweza kuzidishwa na -5 na wa pili kwa 8
Hebu tuongeze equations katika mfumo unaosababisha. Kisha tunapata mlinganyo rahisi zaidi -13 y= -156 . Kutoka hapa y= 12 . Mbadala y kwenye equation ya kwanza na upate x
Mfano 7. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia ya kuongeza:
Tunaleta equations zote mbili kwa fomu ya kawaida. Hapa ni rahisi kutumia kanuni ya uwiano katika equations zote mbili. Ikiwa katika equation ya kwanza upande wa kulia unawakilishwa kama , na upande wa kulia wa equation ya pili kama , basi mfumo utachukua fomu:
Tuna uwiano. Tunazidisha masharti yake yaliyokithiri na ya kati. Kisha mfumo utachukua fomu:
Tunazidisha equation ya kwanza kwa -3, na kufungua mabano ya pili:
Sasa hebu tuongeze milinganyo yote miwili. Kama matokeo ya kuongeza hesabu hizi, tunapata usawa, katika sehemu zote mbili ambazo kutakuwa na sifuri:
Inatokea kwamba mfumo una idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi.
Lakini hatuwezi kuchukua tu maadili ya kiholela kutoka angani kwa x Na y. Tunaweza kutaja moja ya maadili, na nyingine itajulikana kulingana na thamani tuliyotaja. Kwa mfano, basi x= 2 . Weka thamani hii kwenye mfumo:
Kama matokeo ya kutatua moja ya milinganyo, thamani ya y, ambayo itakidhi hesabu zote mbili:
Jozi zinazotokana za maadili (2; -2) zitatosheleza mfumo:
Hebu tutafute jozi nyingine ya maadili. Hebu iwe x= 4. Weka thamani hii kwenye mfumo:
Inaweza kuamua kwa jicho hilo y sawa na sifuri. Kisha tunapata jozi ya maadili (4; 0), ambayo inakidhi mfumo wetu:
Mfano 8. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia ya kuongeza:
Zidisha mlingano wa kwanza kwa 6 na wa pili kwa 12
Wacha tuandike tena kile kilichobaki:
Zidisha mlingano wa kwanza kwa -1. Kisha mfumo utachukua fomu:
Sasa hebu tuongeze milinganyo yote miwili. Kama matokeo ya kuongeza, equation 6 huundwa b= 48 , ambayo mzizi wake ni 8. Mbadala b kwenye equation ya kwanza na upate a
Mfumo wa milinganyo ya mstari na vigeu vitatu
Mlinganyo wa mstari na vigeu vitatu ni pamoja na viambajengo vitatu vilivyo na mgawo, pamoja na ukatizaji. Katika fomu ya kisheria, inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
shoka + kwa + cz = d
Mlinganyo huu una idadi isiyo na kikomo ya masuluhisho. Kwa kutoa vigezo viwili thamani tofauti, thamani ya tatu inaweza kupatikana. Suluhisho katika kesi hii ni mara tatu ya maadili ( x; y; z) ambayo hugeuza mlinganyo kuwa kitambulisho.
Ikiwa vigezo x, y, z zimeunganishwa na milinganyo mitatu, kisha mfumo wa milinganyo mitatu ya mstari na vigezo vitatu huundwa. Ili kutatua mfumo kama huo, unaweza kutumia njia zile zile zinazotumika kwa milinganyo ya mstari na vigezo viwili: njia ya kubadilisha na njia ya kuongeza.
Mfano 1. Tatua mfumo ufuatao wa milinganyo kwa kutumia njia mbadala:
Tunaelezea katika equation ya tatu x. Kisha mfumo utachukua fomu:
Sasa wacha tufanye badala. Inaweza kubadilika x ni sawa na usemi 3 − 2y − 2z . Badili usemi huu katika milinganyo ya kwanza na ya pili:
Wacha tufungue mabano katika hesabu zote mbili na tupe masharti kama:
Tumefika katika mfumo wa milinganyo ya mstari yenye viambishi viwili. Katika kesi hii, ni rahisi kutumia njia ya kuongeza. Matokeo yake, kutofautiana y itatoweka na tunaweza kupata thamani ya kutofautisha z
Sasa hebu tupate thamani y. Kwa hili, ni rahisi kutumia equation - y+ z= 4. Badilisha thamani z
Sasa hebu tupate thamani x. Kwa hili, ni rahisi kutumia equation x= 3 − 2y − 2z . Badilisha maadili ndani yake y Na z
Kwa hivyo, mara tatu ya maadili (3; -2; 2) ndio suluhisho la mfumo wetu. Kwa kuangalia, tunahakikisha kuwa maadili haya yanakidhi mfumo:
Mfano 2. Tatua mfumo kwa njia ya kuongeza
Wacha tuongeze equation ya kwanza na ya pili ikizidishwa na -2.
Ikiwa equation ya pili imezidishwa na -2, basi itachukua fomu −6x+ 6y- 4z = −4 . Sasa ongeza kwenye equation ya kwanza:
Tunaona kuwa kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, thamani ya kutofautisha iliamuliwa x. Ni sawa na moja.
Hebu turudi kwenye mfumo mkuu. Wacha tuongeze mlingano wa pili na wa tatu uliozidishwa na -1. Ikiwa equation ya tatu imezidishwa na -1, basi itachukua fomu −4x + 5y − 2z = −1 . Sasa ongeza kwa equation ya pili:
Nimepata mlinganyo x - 2y= -1 . Weka thamani ndani yake x ambayo tumepata hapo awali. Kisha tunaweza kuamua thamani y
Sasa tunajua maadili x Na y. Hii inakuwezesha kuamua thamani z. Tunatumia moja ya milinganyo iliyojumuishwa kwenye mfumo:
Kwa hivyo, mara tatu ya maadili (1; 1; 1) ndio suluhisho la mfumo wetu. Kwa kuangalia, tunahakikisha kuwa maadili haya yanakidhi mfumo:
Majukumu ya kuandaa mifumo ya milinganyo ya mstari
Kazi ya kuandaa mifumo ya equations inatatuliwa kwa kuanzisha vigezo kadhaa. Ifuatayo, hesabu zinaundwa kulingana na hali ya shida. Kutoka kwa hesabu zilizokusanywa, huunda mfumo na kuutatua. Baada ya kusuluhisha mfumo, inahitajika kuangalia ikiwa suluhisho lake linakidhi hali ya shida.
Jukumu la 1. Gari la Volga liliondoka jijini kuelekea shamba la pamoja. Alirudi nyuma kwenye barabara nyingine, ambayo ilikuwa fupi kwa kilomita 5 kuliko ya kwanza. Kwa jumla, gari liliendesha kilomita 35 kwa njia zote mbili. Kila barabara ina urefu wa kilomita ngapi?
Suluhisho
Hebu iwe x- urefu wa barabara ya kwanza, y- urefu wa pili. Ikiwa gari liliendesha kilomita 35 kwa njia zote mbili, basi equation ya kwanza inaweza kuandikwa kama x+ y= 35. Mlinganyo huu unaelezea jumla ya urefu wa barabara zote mbili.
Inasemekana gari hilo lilikuwa linarudi nyuma kando ya barabara, ambayo ilikuwa fupi kuliko ile ya kwanza kwa kilomita 5. Kisha equation ya pili inaweza kuandikwa kama x− y= 5. Equation hii inaonyesha kwamba tofauti kati ya urefu wa barabara ni 5 km.
Au equation ya pili inaweza kuandikwa kama x= y+ 5 . Tutatumia equation hii.
Tangu vigezo x Na y katika hesabu zote mbili zinaashiria nambari sawa, basi tunaweza kuunda mfumo kutoka kwao:
Wacha tusuluhishe mfumo huu kwa kutumia moja ya njia zilizosomwa hapo awali. Katika kesi hii, ni rahisi kutumia njia ya uingizwaji, kwani katika equation ya pili kutofautisha x tayari imeonyeshwa.
Badili mlinganyo wa pili kuwa wa kwanza na utafute y
Badilisha thamani iliyopatikana y kwenye equation ya pili x= y+ 5 na kupata x
Urefu wa barabara ya kwanza ulionyeshwa na kutofautiana x. Sasa tumepata maana yake. Inaweza kubadilika x ni 20. Kwa hiyo urefu wa barabara ya kwanza ni 20 km.
Na urefu wa barabara ya pili ulionyeshwa na y. Thamani ya kutofautiana hii ni 15. Kwa hiyo urefu wa barabara ya pili ni 15 km.
Hebu tufanye ukaguzi. Kwanza, hebu tuhakikishe kuwa mfumo unatatuliwa kwa usahihi:
Sasa hebu tuangalie ikiwa suluhisho (20; 15) linakidhi masharti ya tatizo.
Ilisemekana kuwa kwa jumla gari liliendesha kilomita 35 kwenda pande zote mbili. Tunaongeza urefu wa barabara zote mbili na kuhakikisha kuwa suluhisho (20; 15) linakidhi hali hii: 20 km + 15 km = 35 km
Hali inayofuata: gari lilirudi nyuma kwenye barabara nyingine, ambayo ilikuwa fupi kwa kilomita 5 kuliko ya kwanza . Tunaona kwamba suluhisho (20; 15) pia linakidhi hali hii, kwani kilomita 15 ni fupi kuliko kilomita 20 kwa kilomita 5: 20 km - 15 km = 5 km
Wakati wa kuunda mfumo, ni muhimu kwamba vigezo viashiria nambari sawa katika milinganyo yote iliyojumuishwa katika mfumo huu.
Kwa hivyo mfumo wetu una milinganyo miwili. Milinganyo hii kwa upande wake ina viambajengo x Na y, ambayo inaashiria nambari sawa katika milinganyo yote miwili, yaani urefu wa barabara sawa na kilomita 20 na kilomita 15.
Jukumu la 2. Vilala vya mwaloni na misonobari vilipakiwa kwenye jukwaa, jumla ya vilala 300. Inajulikana kuwa walalaji wote wa mwaloni walikuwa na uzito wa tani 1 chini ya walalaji wote wa pine. Amua ni wangapi walala wa mwaloni na pine walikuwa tofauti, ikiwa kila mtunzi wa mwaloni alikuwa na uzito wa kilo 46, na kila mtu anayelala pine 28 kg.
Suluhisho
Hebu iwe x mwaloni na y pine sleepers zilipakiwa kwenye jukwaa. Ikiwa kulikuwa na walalaji 300 kwa jumla, basi equation ya kwanza inaweza kuandikwa kama x+y = 300 .
Walalaji wote wa mwaloni walikuwa na uzito wa 46 x kilo, na pine uzani wa 28 y kilo. Kwa kuwa walalaji wa mwaloni walikuwa na uzito wa tani 1 chini ya walalaji wa misonobari, mlinganyo wa pili unaweza kuandikwa kama 28y- 46x= 1000 . Equation hii inaonyesha kuwa tofauti kubwa kati ya walalaji wa mwaloni na pine ni kilo 1000.
Tani zimebadilishwa kuwa kilo kwa sababu wingi wa usingizi wa mwaloni na pine hupimwa kwa kilo.
Kama matokeo, tunapata milinganyo miwili inayounda mfumo
Wacha tusuluhishe mfumo huu. Eleza katika mlinganyo wa kwanza x. Kisha mfumo utachukua fomu:
Badili mlinganyo wa kwanza hadi wa pili na utafute y
Mbadala y kwenye equation x= 300 − y na kujua nini x
Hii inamaanisha kuwa vitambaa 100 vya mwaloni na 200 vya misonobari vilipakiwa kwenye jukwaa.
Wacha tuangalie ikiwa suluhisho (100; 200) linakidhi masharti ya shida. Kwanza, hebu tuhakikishe kuwa mfumo unatatuliwa kwa usahihi:
Ilisemekana kwamba kulikuwa na walalaji 300 kwa jumla. Tunaongeza idadi ya walalaji wa mwaloni na pine na hakikisha kuwa suluhisho (100; 200) inakidhi hali hii: 100 + 200 = 300.
Hali inayofuata: walalaji wote wa mwaloni walikuwa na uzito wa tani 1 chini ya misonobari yote . Tunaona kwamba suluhisho (100; 200) pia inakidhi hali hii, kwani 46 × 100 kg ya usingizi wa mwaloni ni nyepesi kuliko 28 × 200 kg ya usingizi wa pine: 5600 kg - 4600 kg = 1000 kg.
Jukumu la 3. Tulichukua vipande vitatu vya aloi ya shaba na nickel kwa uwiano wa 2: 1, 3: 1 na 5: 1 kwa uzito. Kati ya hizi, kipande chenye uzito wa kilo 12 kiliunganishwa na uwiano wa shaba na nikeli ya 4: 1. Pata wingi wa kila kipande cha asili ikiwa wingi wa wa kwanza wao ni mara mbili ya pili.
Tutachambua aina mbili za mifumo ya utatuzi wa equations:
1. Suluhisho la mfumo kwa njia ya uingizwaji.
2. Suluhisho la mfumo kwa kuongeza muda kwa muda (kutoa) ya equations ya mfumo.
Ili kutatua mfumo wa equations njia mbadala Unahitaji kufuata algorithm rahisi:
1. Tunaeleza. Kutoka kwa equation yoyote, tunaelezea tofauti moja.
2. Mbadala. Tunabadilisha katika mlinganyo mwingine badala ya utofauti ulioonyeshwa, thamani inayotokana.
3. Sisi kutatua equation kusababisha na variable moja. Tunapata suluhisho la mfumo.
Kusuluhisha mfumo kwa kuongeza muda kwa muda (kutoa) muhimu:
1. Chagua variable ambayo tutafanya coefficients sawa.
2. Tunaongeza au kupunguza equations, kwa matokeo tunapata equation na variable moja.
3. Sisi kutatua equation linear kusababisha. Tunapata suluhisho la mfumo.
Suluhisho la mfumo ni pointi za makutano ya grafu za kazi.
Hebu fikiria kwa undani ufumbuzi wa mifumo kwa kutumia mifano.
Mfano #1:
Wacha tusuluhishe kwa njia mbadala
Kutatua mfumo wa milinganyo kwa njia mbadala2x+5y=1 (mlinganyo 1)
x-10y=3 (mlinganyo wa 2)
1. Express
Inaweza kuonekana kuwa katika equation ya pili kuna kutofautiana x na mgawo wa 1, kwa hiyo inageuka kuwa ni rahisi zaidi kueleza variable x kutoka kwa equation ya pili.
x=3+10y
2. Baada ya kueleza, tunabadilisha 3 + 10y katika mlinganyo wa kwanza badala ya kigezo cha x.
2(3+10y)+5y=1
3. Sisi kutatua equation kusababisha na variable moja.
2(3+10y)+5y=1 (mabano wazi)
6+20y+5y=1
Miaka 25=1-6
Miaka 25=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2
Suluhisho la mfumo wa milinganyo ni sehemu za makutano ya grafu, kwa hivyo tunahitaji kupata x na y, kwa sababu sehemu ya makutano inajumuisha x na y. Wacha tupate x, katika aya ya kwanza ambapo tulielezea tunabadilisha y hapo.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
Ni desturi ya kuandika pointi katika nafasi ya kwanza, tunaandika variable x, na katika nafasi ya pili variable y.
Jibu: (1; -0.2)
Mfano #2:
Wacha tusuluhishe kwa kuongeza kwa muhula (kutoa).
Kutatua mfumo wa milinganyo kwa njia ya kuongeza3x-2y=1 (mlinganyo 1)
2x-3y=-10 (mlinganyo wa 2)
1. Chagua kigezo, tuseme tunachagua x. Katika equation ya kwanza, variable x ina mgawo wa 3, kwa pili - 2. Tunahitaji kufanya coefficients sawa, kwa hili tuna haki ya kuzidisha equations au kugawanya kwa nambari yoyote. Tunazidisha mlinganyo wa kwanza kwa 2, na wa pili kwa 3 na kupata mgawo wa jumla wa 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Kutoka kwa equation ya kwanza, toa ya pili ili kuondokana na kutofautiana x. Tunatatua equation ya mstari.
__6x-4y=2
Miaka 5=32 | :tano
y=6.4
3. Tafuta x. Tunabadilisha kupatikana y katika milinganyo yoyote, tuseme katika mlinganyo wa kwanza.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6
Sehemu ya makutano itakuwa x=4.6; y=6.4
Jibu: (4.6; 6.4)
Je, ungependa kujiandaa kwa ajili ya mitihani bila malipo? Mkufunzi mtandaoni ni bure. Hakuna mzaha.
Hebu kwanza tuzingatie kesi wakati idadi ya equations ni sawa na idadi ya vigezo, i.e. m = n. Kisha tumbo la mfumo ni mraba, na kiashiria chake kinaitwa kiamua cha mfumo.
Mbinu ya matrix kinyume
Fikiria kwa jumla mfumo wa milinganyo AX = B na matrix ya mraba isiyo ya umoja A. Katika kesi hii, kuna matrix inverse A -1 . Wacha tuzidishe pande zote mbili kwa A -1 upande wa kushoto. Tunapata AX -1 \u003d A -1 B. Kutoka hapa EX \u003d A -1 B na
Usawa wa mwisho ni fomula ya matrix ya kutafuta suluhisho kwa mifumo kama hii ya milinganyo. Matumizi ya fomula hii inaitwa njia ya matrix inverse
Kwa mfano, hebu tumia njia hii kutatua mfumo ufuatao:
;
Mwishoni mwa suluhisho la mfumo, ukaguzi unaweza kufanywa kwa kubadilisha maadili yaliyopatikana kwenye hesabu za mfumo. Katika kesi hii, wanapaswa kugeuka kuwa usawa wa kweli.
Kwa mfano huu, wacha tuangalie:
Mbinu ya kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari na matrix ya mraba kwa kutumia fomula za Cramer
Acha n=2:
Ikiwa sehemu zote mbili za equation ya kwanza zimezidishwa na 22, na sehemu zote mbili za pili na (-a 12), na kisha equations zinazosababishwa zinaongezwa, basi tutaondoa kutofautiana x 2 kutoka kwa mfumo. Vile vile, unaweza kuondokana na kutofautiana x 1 (kwa kuzidisha pande zote mbili za equation ya kwanza na (-a 21) na pande zote mbili za pili na 11). Kama matokeo, tunapata mfumo:
Usemi katika mabano ndio kibainishi cha mfumo
Taja
Kisha mfumo utachukua fomu:
Inafuata kutoka kwa mfumo unaotokana kwamba ikiwa kibainishi cha mfumo ni 0, basi mfumo utakuwa thabiti na wa uhakika. Suluhisho lake la kipekee linaweza kuhesabiwa na fomula:
Ikiwa = 0, a 1 0 na/au 2 0, basi milinganyo ya mfumo itachukua fomu 0*х 1 = 2 na/au 0*х 1 =2. Katika kesi hii, mfumo hautakuwa sawa.
Katika kesi wakati = 1 = 2 = 0, mfumo utakuwa thabiti na usio na kipimo (utakuwa na idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi), kwani itachukua fomu:
Nadharia ya Cramer(tunaacha uthibitisho). Ikiwa kiamua cha matrix ya mfumo n ya equations si sawa na sifuri, basi mfumo una suluhisho la kipekee, lililowekwa na fomula:
,
ambapo j ni kibainishi cha matriki iliyopatikana kutoka kwa matrix A kwa kubadilisha safu wima ya j-th na safu ya washiriki huru.
Fomula hapo juu zinaitwa Fomula za Cramer.
Kama mfano, wacha tutumie njia hii kutatua mfumo ambao ulitatuliwa hapo awali kwa kutumia njia ya matrix inverse:
Ubaya wa njia zinazozingatiwa:
1) utata mkubwa (hesabu ya viashiria na kupata matrix inverse);
2) upeo mdogo (kwa mifumo yenye matrix ya mraba).
Hali halisi za kiuchumi mara nyingi huigwa na mifumo ambayo idadi ya milinganyo na viambajengo ni muhimu sana, na kuna milinganyo zaidi kuliko vigezo.Kwa hiyo, njia ifuatayo ni ya kawaida zaidi katika mazoezi.
Njia ya Gauss (njia ya uondoaji mfululizo wa vigeu)
Njia hii hutumiwa kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari na vigeu vya n kwa njia ya jumla. Kiini chake kiko katika kutumia mfumo wa mabadiliko sawa kwa matrix iliyopanuliwa, kwa msaada ambao mfumo wa equations hubadilishwa kuwa fomu wakati ufumbuzi wake unakuwa rahisi kupata (ikiwa ni).
Huu ni mwonekano ambao sehemu ya juu kushoto ya matrix ya mfumo itakuwa matrix iliyopitiwa. Hii inafanikiwa kwa kutumia mbinu zile zile ambazo zilitumika kupata matrix iliyopitiwa ili kuamua kiwango. Katika kesi hii, mabadiliko ya kimsingi yanatumika kwa matrix iliyopanuliwa, ambayo itawawezesha mtu kupata mfumo sawa wa equations. Baada ya hayo, matrix iliyoongezwa itachukua fomu:
Kupata matrix kama hiyo inaitwa katika mstari ulionyooka Njia ya Gauss.
Kupata maadili ya anuwai kutoka kwa mfumo unaolingana wa equations inaitwa nyuma Njia ya Gauss. Hebu tuzingatie.
Kumbuka kwamba milinganyo ya mwisho (m – r) itachukua fomu:
Ikiwa angalau moja ya nambari 
si sawa na sifuri, basi usawa unaofanana utakuwa wa uongo, na mfumo wote hautakuwa sawa.
Kwa hiyo, kwa mfumo wowote wa pamoja 
. Katika kesi hii, equations za mwisho (m - r) za maadili yoyote ya vigezo zitakuwa vitambulisho 0 = 0, na zinaweza kupuuzwa wakati wa kutatua mfumo (tupwa tu safu zinazofanana).
Baada ya hayo, mfumo utaonekana kama hii:
Fikiria kwanza kesi wakati r=n. Kisha mfumo utachukua fomu:
Kutoka kwa equation ya mwisho ya mfumo mtu anaweza kupata kipekee x r .
Kujua x r , mtu anaweza kueleza kipekee x r -1 kutoka kwayo. Kisha kutoka kwa equation ya awali, kujua x r na x r -1 , tunaweza kueleza x r -2 na kadhalika. hadi x 1 .
Kwa hiyo, katika kesi hii, mfumo utakuwa wa ushirikiano na wa uhakika.
Sasa fikiria kesi wakati r
Kutoka kwa equation hii, tunaweza kuelezea kutofautisha kwa msingi kwa x r kulingana na zisizo za msingi:
Equation ya mwisho itaonekana kama hii:
Kubadilisha usemi unaotokana badala ya x r, itawezekana kuelezea tofauti ya msingi x r -1 kupitia zisizo za msingi. Na kadhalika. kutofautisha x 1 . Ili kupata suluhisho kwa mfumo, unaweza kusawazisha vigeu visivyo vya msingi na maadili ya kiholela na kisha uhesabu vigeu vya msingi kwa kutumia fomula zilizopatikana. Kwa hivyo, katika kesi hii, mfumo utakuwa thabiti na usio na kipimo (kuwa na idadi isiyo na kipimo ya suluhisho).
Kwa mfano, hebu tutatue mfumo wa equations:
Seti ya vigezo vya msingi itaitwa msingi mifumo. Seti ya nguzo za coefficients kwao pia itaitwa msingi(safu za msingi), au msingi mdogo matrices ya mfumo. Suluhisho hilo la mfumo, ambalo vigezo vyote visivyo vya msingi ni sawa na sifuri, vitaitwa suluhisho la msingi.
Katika mfano uliopita, suluhisho la msingi litakuwa (4/5; -17/5; 0; 0) (vigezo x 3 na x 4 (c 1 na c 2) vimewekwa kwa sifuri, na vigezo vya msingi x 1 na x 2 huhesabiwa kupitia kwao) . Ili kutoa mfano wa suluhisho lisilo la msingi, ni muhimu kulinganisha x 3 na x 4 (c 1 na c 2) na nambari za kiholela ambazo si sawa na sifuri kwa wakati mmoja, na kuhesabu vigezo vingine kupitia. wao. Kwa mfano, na c 1 = 1 na c 2 = 0, tunapata suluhisho lisilo la msingi - (4/5; -12/5; 1; 0). Kwa kubadilisha, ni rahisi kuthibitisha kuwa masuluhisho yote mawili ni sahihi.
Kwa wazi, katika mfumo usio na ukomo wa ufumbuzi usio wa msingi, kunaweza kuwa na idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi. Kuna masuluhisho ngapi ya kimsingi? Kila safu mlalo ya matrix iliyobadilishwa lazima ilingane na kigezo kimoja cha msingi. Kwa jumla, kuna vigezo n katika tatizo, na r safu za msingi. Kwa hiyo, idadi ya seti zinazowezekana za vigezo vya msingi haziwezi kuzidi idadi ya mchanganyiko kutoka n hadi 2 . Inaweza kuwa chini ya 
, kwa sababu si mara zote inawezekana kubadilisha mfumo kwa namna ambayo seti hii ya vigezo ni msingi.
Hii ni aina gani? Hii ni fomu kama hiyo wakati tumbo linaloundwa kutoka kwa safu wima za vigezo hivi itakuwa hatua kwa hatua na, katika kesi hii, itakuwa na mishale. Wale. cheo cha matrix ya coefficients kwa vigezo hivi lazima iwe sawa na r. Haiwezi kuwa kubwa zaidi, kwa kuwa idadi ya safu ni sawa na r. Ikiwa inageuka kuwa chini ya r, basi hii inaonyesha utegemezi wa mstari wa safu zilizo na vigezo. Safu kama hizo haziwezi kuunda msingi.
Wacha tuchunguze ni suluhisho gani zingine za kimsingi zinaweza kupatikana katika mfano hapo juu. Ili kufanya hivyo, fikiria mchanganyiko wote unaowezekana wa vigezo vinne na mbili za msingi. Mchanganyiko kama huo utafanya 
, na mmoja wao (x 1 na x 2) tayari amezingatiwa.
Hebu tuchukue vigezo x 1 na x 3 . Pata kiwango cha matrix ya coefficients kwao:
Kwa kuwa ni sawa na mbili, zinaweza kuwa msingi. Tunalinganisha vigezo visivyo vya msingi x 2 na x 4 hadi sifuri: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Kisha kutoka kwa formula x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 inafuata kwamba x 1 \u003d 4/5, na kutoka kwa formula x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 inafuata kwamba x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Kwa hivyo, tunapata suluhisho la msingi (4/5; 0; 17/5; 0).
Vile vile, unaweza kupata ufumbuzi wa msingi kwa vigezo vya msingi x 1 na x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 na x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 na x 4 - (0; 0; 9; 4).
Vigezo x 2 na x 3 katika mfano huu haziwezi kuchukuliwa kama za msingi, kwani kiwango cha matrix inayolingana ni sawa na moja, i.e. chini ya mbili:
.
Njia nyingine inawezekana kuamua ikiwa inawezekana kuunda msingi kutoka kwa anuwai fulani. Wakati wa kutatua mfano, kama matokeo ya kubadilisha matrix ya mfumo kuwa fomu iliyopigwa, ilichukua fomu:
Kwa kuchagua jozi za vigezo, iliwezekana kuhesabu watoto wanaofanana wa matrix hii. Ni rahisi kuona kwamba kwa jozi zote, isipokuwa kwa x 2 na x 3, si sawa na sifuri, i.e. nguzo zinajitegemea kimstari. Na kwa safu wima zilizo na anuwai x 2 na x 3 pekee 
, ambayo inaonyesha utegemezi wao wa mstari.
Hebu tuchunguze mfano mmoja zaidi. Wacha tusuluhishe mfumo wa milinganyo
Kwa hivyo, equation inayolingana na safu ya tatu ya matrix ya mwisho haiendani - ilisababisha usawa mbaya 0 = -1, kwa hivyo, mfumo huu hauendani.
Njia ya Jordan-Gauss 3 ni maendeleo ya njia ya Gaussian. Kiini chake ni kwamba matrix iliyopanuliwa ya mfumo inabadilishwa kuwa fomu wakati coefficients ya vigezo huunda matrix ya utambulisho hadi kuruhusu safu au safu wima 4 (ambapo ni cheo cha matrix ya mfumo).
Wacha tusuluhishe mfumo kwa kutumia njia hii:
Fikiria matrix iliyoimarishwa ya mfumo:
Katika tumbo hili, tunachagua kipengele cha utambulisho. Kwa mfano, mgawo katika x 2 katika kizuizi cha tatu ni 5. Hebu tuhakikishe kwamba katika safu zilizobaki katika safu hii kuna zero, i.e. fanya safu kuwa moja. Katika mchakato wa mabadiliko, tutaita hii safuruhusu(kuongoza, ufunguo). Kizuizi cha tatu (ya tatu kamba) pia itaitwa ruhusu. Mimi mwenyewe kipengele, ambayo inasimama kwenye makutano ya safu na safu inayoruhusu (hapa ni kitengo), pia inaitwa. ruhusu.
Mstari wa kwanza sasa una mgawo (-1). Ili kupata sifuri mahali pake, zidisha safu ya tatu na (-1) na uondoe matokeo kutoka safu ya kwanza (yaani, ongeza safu ya kwanza hadi ya tatu).
Mstari wa pili una mgawo wa 2. Ili kupata sifuri mahali pake, zidisha mstari wa tatu na 2 na uondoe matokeo kutoka kwa mstari wa kwanza.
Matokeo ya mabadiliko yataonekana kama hii:
Matrix hii inaonyesha wazi kwamba moja ya vikwazo viwili vya kwanza vinaweza kufutwa (safu sambamba ni sawia, i.e. equations hizi hufuata kutoka kwa kila mmoja). Wacha tuangalie ya pili:
Kwa hivyo, kuna milinganyo miwili katika mfumo mpya. Safu moja (ya pili) inapokelewa, na kitengo hapa kiko kwenye safu ya pili. Hebu tukumbuke kwamba kutofautiana kwa msingi x 2 itafanana na equation ya pili ya mfumo mpya.
Wacha tuchague kigezo cha msingi kwa safu ya kwanza. Inaweza kuwa tofauti yoyote isipokuwa x 3 (kwa sababu kwa x 3 kizuizi cha kwanza kina mgawo wa sifuri, i.e. seti ya anuwai x 2 na x 3 haiwezi kuwa ya msingi hapa). Unaweza kuchukua tofauti ya kwanza au ya nne.
Wacha tuchague x 1. Kisha kipengele cha kutatua kitakuwa 5, na sehemu zote mbili za equation ya kutatua itabidi zigawanywe na tano ili kupata moja kwenye safu ya kwanza ya safu ya kwanza.
Hebu tuhakikishe kwamba safu zilizobaki (yaani, safu ya pili) zina zero kwenye safu ya kwanza. Kwa kuwa sasa mstari wa pili sio sifuri, lakini 3, ni muhimu kuondoa kutoka kwa mstari wa pili vipengele vya mstari wa kwanza uliobadilishwa, unaozidishwa na 3:
Suluhisho moja la msingi linaweza kutolewa moja kwa moja kutoka kwa tumbo linalotokana kwa kusawazisha vigeu visivyo vya msingi hadi sifuri, na viambishi vya msingi kwa istilahi huria katika milinganyo inayolingana: (0.8; -3.4; 0; 0). Unaweza pia kupata fomula za jumla zinazoonyesha anuwai za kimsingi kupitia zile zisizo za msingi: x 1 \u003d 0.8 - 1.2 x 4; x 2 \u003d -3.4 + x 3 + 1.6x 4. Fomula hizi zinaelezea seti nzima isiyo na kikomo ya suluhisho kwa mfumo (kwa kulinganisha x 3 na x 4 kwa nambari za kiholela, unaweza kuhesabu x 1 na x 2).
Kumbuka kuwa kiini cha mabadiliko katika kila hatua ya njia ya Jordan-Gauss kilikuwa kama ifuatavyo.
1) kamba ya kuruhusu iligawanywa na kipengele cha kuruhusu kupata kitengo mahali pake,
2) kutoka kwa safu mlalo nyingine zote, nguvu ya usuluhishi iliyobadilishwa iliyozidishwa na kipengele kilichokuwa kwenye mstari uliopeanwa kwenye safu wima ya utatuzi ilitolewa ili kupata sifuri badala ya kipengele hiki.
Fikiria tena matrix iliyobadilishwa ya mfumo:
Inaweza kuonekana kutoka kwa kiingilio hiki kwamba kiwango cha matrix ya mfumo A ni r.
Katika mwendo wa hoja zilizo hapo juu, tumegundua kuwa mfumo huo ni thabiti ikiwa na tu ikiwa 
. Hii inamaanisha kuwa matrix iliyoongezwa ya mfumo itaonekana kama:
Kutupa safu za sifuri, tunapata kwamba kiwango cha matrix iliyopanuliwa ya mfumo pia ni sawa na r.
Nadharia ya Kronecker-Capelli. Mfumo wa milinganyo ya mstari ni thabiti ikiwa na tu ikiwa kiwango cha matriki ya mfumo ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa ya mfumo huu.
Kumbuka kwamba kiwango cha matrix ni sawa na idadi ya juu ya safu zake zinazojitegemea. Inafuata kutoka kwa hili kwamba ikiwa kiwango cha matrix iliyopanuliwa ni chini ya idadi ya equations, basi hesabu za mfumo zinategemea mstari, na moja au zaidi yao inaweza kutengwa na mfumo (kwa sababu ni mstari. mchanganyiko wa wengine). Mfumo wa milinganyo utakuwa huru tu ikiwa kiwango cha matrix iliyopanuliwa ni sawa na idadi ya milinganyo.
Kwa kuongezea, kwa mifumo thabiti ya hesabu za mstari, inaweza kusemwa kwamba ikiwa kiwango cha matrix ni sawa na idadi ya vijiti, basi mfumo una suluhisho la kipekee, na ikiwa ni chini ya idadi ya vigeu, basi. mfumo hauna kikomo na una suluhisho nyingi sana.
1Kwa mfano, tuseme kuna safu mlalo tano kwenye matrix (mpangilio wa safu mlalo ya mwanzo ni 12345). Tunahitaji kubadilisha mstari wa pili na wa tano. Ili mstari wa pili uchukue nafasi ya tano, "kusonga" chini, tunabadilisha mistari ya karibu mara tatu: ya pili na ya tatu (13245), ya pili na ya nne (13425) na ya pili na ya tano ( 13452). Halafu, ili safu ya tano ichukue nafasi ya pili kwenye tumbo la asili, inahitajika "kubadilisha" safu ya tano juu na mabadiliko mawili tu mfululizo: safu ya tano na ya nne (13542) na ya tano na ya tatu. (15342).
2Idadi ya mchanganyiko kutoka n hadi r 
piga nambari ya sehemu ndogo zote za kipengele cha n-seti (seti tofauti ni zile ambazo zina muundo tofauti wa vipengele, mpangilio wa uteuzi sio muhimu). Imehesabiwa na formula: 
. Kumbuka maana ya ishara "!" (kipengele): 
0!=1.)
3Kwa kuwa njia hii ni ya kawaida zaidi kuliko njia ya Gaussia iliyojadiliwa hapo awali, na kimsingi ni mchanganyiko wa njia ya mbele na ya nyuma ya Gaussia, pia wakati mwingine huitwa njia ya Gaussian, ikiacha sehemu ya kwanza ya jina.
4 Kwa mfano, 
.
5Iwapo hapakuwa na vitengo katika tumbo la mfumo, basi ingewezekana, kwa mfano, kugawanya sehemu zote mbili za equation ya kwanza na mbili, na kisha mgawo wa kwanza ungekuwa umoja; au kadhalika.
Kwa programu hii ya hisabati, unaweza kutatua mfumo wa milinganyo miwili ya mstari na vigezo viwili kwa kutumia njia ya uingizwaji na njia ya kuongeza.
Mpango huo sio tu hutoa jibu la tatizo, lakini pia hutoa ufumbuzi wa kina na maelezo ya hatua za ufumbuzi kwa njia mbili: njia ya uingizwaji na njia ya kuongeza.
Mpango huu unaweza kuwa na manufaa kwa wanafunzi wa shule ya sekondari katika maandalizi ya vipimo na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kufanya kazi yako ya nyumbani ya hesabu au aljebra ifanyike haraka iwezekanavyo? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.
Kwa njia hii, unaweza kuendesha mafunzo yako mwenyewe na/au mafunzo ya kaka au dada zako wadogo, huku kiwango cha elimu katika uwanja wa kazi zinazopaswa kutatuliwa kikiongezeka.
Kanuni za Kuingiza Milinganyo
Herufi yoyote ya Kilatini inaweza kutenda kama kigezo.
Kwa mfano: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) nk.
Wakati wa kuingiza equations unaweza kutumia mabano. Katika kesi hii, equations hurahisishwa kwanza. Equations baada ya kurahisisha lazima iwe mstari, i.e. ya umbo shoka+kwa+c=0 kwa usahihi wa mpangilio wa vipengele.
Kwa mfano: 6x+1 = 5(x+y)+2
Katika equations, unaweza kutumia sio nambari tu, lakini pia nambari za sehemu katika mfumo wa decimal na sehemu za kawaida.
Sheria za kuingiza sehemu za desimali.
Sehemu kamili na sehemu katika sehemu za desimali zinaweza kutengwa kwa nukta au koma.
Kwa mfano: 2.1n + 3.5m = 55
Sheria za kuingiza sehemu za kawaida.
Nambari nzima pekee ndiyo inayoweza kutenda kama sehemu ya nambari, denomineta na kamili ya sehemu.
Denominator haiwezi kuwa hasi.
Wakati wa kuingiza sehemu ya nambari, nambari hutenganishwa na dhehebu na ishara ya mgawanyiko: /
Sehemu kamili imetenganishwa na sehemu na ampersand: &
Mifano.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)
Tatua mfumo wa milinganyo
Ilibainika kuwa baadhi ya maandiko yanayohitajika kutatua kazi hii hayakupakia, na programu inaweza kufanya kazi.
Huenda umewasha AdBlock.
Katika kesi hii, izima na uonyeshe upya ukurasa.
JavaScript lazima iwashwe ili suluhu ionekane.
Haya hapa ni maagizo ya jinsi ya kuwezesha JavaScript kwenye kivinjari chako.
Kwa sababu Kuna watu wengi ambao wanataka kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni.
Baada ya sekunde chache, suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri sekunde...
Kama wewe niligundua kosa katika suluhisho, kisha unaweza kuandika kuihusu katika Fomu ya Maoni.
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua nini ingia mashambani.
Michezo yetu, puzzles, emulators:
Nadharia kidogo.
Mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari. Mbinu ya uingizwaji
Mlolongo wa vitendo wakati wa kusuluhisha mfumo wa milinganyo ya mstari kwa njia mbadala:
1) kuelezea tofauti moja kutoka kwa equation fulani ya mfumo kwa suala la mwingine;
2) badilisha usemi unaotokana na mlingano mwingine wa mfumo badala ya tofauti hii;
$$ \kushoto\( \anza(safu)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \mwisho(safu) \kulia. $$
Wacha tuonyeshe kutoka kwa mlingano wa kwanza y hadi x: y = 7-3x. Kubadilisha usemi 7-3x badala ya y kwenye equation ya pili, tunapata mfumo:
$$ \kushoto\( \anza(safu)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \mwisho(safu) \kulia. $$
Ni rahisi kuonyesha kwamba mifumo ya kwanza na ya pili ina ufumbuzi sawa. Katika mfumo wa pili, equation ya pili ina tofauti moja tu. Wacha tusuluhishe equation hii:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Mshale wa Kulia -5x+14-6x=3 \Mshale wa Kulia -11x=-11 \Mshale wa Kulia x=1 $$
Kubadilisha nambari 1 badala ya x kwenye equation y=7-3x, tunapata thamani inayolingana ya y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Mshale wa kulia y=4 $$
Jozi (1;4) - suluhisho la mfumo
Mifumo ya equations katika vigezo viwili ambavyo vina ufumbuzi sawa huitwa sawa. Mifumo ambayo haina suluhisho pia inachukuliwa kuwa sawa.
Kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kuongeza
Fikiria njia nyingine ya kutatua mifumo ya equations linear - njia ya kuongeza. Wakati wa kutatua mifumo kwa njia hii, na vile vile wakati wa kusuluhisha kwa njia ya uingizwaji, tunapita kutoka kwa mfumo uliopeanwa hadi mfumo mwingine sawa na hiyo, ambayo moja ya equations ina tofauti moja tu.
Mlolongo wa vitendo wakati wa kutatua mfumo wa hesabu za mstari kwa njia ya kuongeza:
1) kuzidisha equations ya muda wa mfumo kwa muda, kuchagua mambo ili coefficients kwa moja ya vigezo kuwa idadi kinyume;
2) kuongeza muda kwa muda sehemu za kushoto na kulia za equations za mfumo;
3) kutatua equation kusababisha na variable moja;
4) pata thamani inayolingana ya tofauti ya pili.
Mfano. Wacha tusuluhishe mfumo wa equations:
$$ \kushoto\( \anza(safu)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \mwisho(safu) \kulia. $$
Katika milinganyo ya mfumo huu, mgawo wa y ni nambari tofauti. Kuongeza neno kwa neno sehemu za kushoto na kulia za milinganyo, tunapata mlinganyo wenye kigezo kimoja 3x=33. Wacha tubadilishe moja ya milinganyo ya mfumo, kwa mfano ya kwanza, na equation 3x=33. Wacha tupate mfumo
$$ \kushoto\( \anza(safu)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \mwisho(safu) \kulia. $$
Kutoka kwa equation 3x=33 tunapata kwamba x=11. Kubadilisha thamani hii ya x kwenye mlinganyo \(x-3y=38 \) tunapata mlinganyo na kigezo y: \(11-3y=38 \). Wacha tusuluhishe equation hii:
\(-3y=27 \Mshale wa kulia y=-9 \)
Kwa hivyo, tulipata suluhisho la mfumo wa milinganyo kwa kuongeza: \(x=11; y=-9 \) au \(11; -9) \)
Kwa kuchukua faida ya ukweli kwamba katika milinganyo ya mfumo mgawo wa y ni nambari tofauti, tulipunguza suluhisho lake kwa suluhisho la mfumo sawa (kwa muhtasari wa sehemu zote mbili za kila milinganyo ya ulinganifu wa asili), ambayo moja. ya equations ina tofauti moja tu.
Vitabu (vitabu) Muhtasari wa Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa na vipimo vya OGE mtandaoni Michezo, mafumbo Uchoraji wa kazi Kamusi ya tahajia ya lugha ya Kirusi Kamusi ya misimu ya vijana Katalogi ya shule za Kirusi Katalogi ya shule za sekondari nchini Urusi Catalogue ya Vyuo Vikuu vya Urusi Orodha ya kazi
