Õpik:
- Makarychev Yu. N., Mindyuk N. R. Matemaatika. 7. klass
Eesmärgid:
I. Õpilaste küsitlus
- Mida nimetatakse funktsiooniks?
- Mis on funktsiooni valdkond?
- Mis on funktsiooni vahemik?
- Milliseid funktsioone me tundma õppisime?
- Mis on lineaarfunktsiooni graafik? ( sirge). Mitu punkti on selle graafiku koostamiseks vaja?
(Funktsioon on ühe muutuja sõltuvus teisest, milles sõltumatu muutuja iga väärtus vastab sõltuva muutuja ühele väärtusele)
(Kõik väärtused, mille sõltumatu muutuja (argument) võtab, moodustavad funktsiooni domeeni.)
(Kõiki väärtusi, mille sõltuv muutuja võtab, nimetatakse funktsiooniväärtusteks)
a) vormi lineaarfunktsiooniga y = kx + b,
vormi otsene proportsionaalsus y = kx
b) vormi funktsioonidega y = x 2, y = x 3
Konstrueerimist tegemata määrake järgmiste valemitega antud funktsioonide graafikute suhteline asukoht:
A ) y = 3x + 2; y = 1,2x + 5;
b) y = 1,5x + 4; y = -0,2x + 4; y = x + 4;
koos) y = 2x + 5; y = 2x - 7; y = 2x
1. pilt
Joonisel on lineaarsete funktsioonide graafikud ( Igale õpilasele antakse laua taga paberileht graafikutega.). Kirjutage iga graafiku jaoks valem
Millised funktsioonigraafikud on meile veel tuttavad? ( y = x 2; y = x 3 )
- Mis on funktsiooni graafik y = x 2 (parabool).
- Mitu punkti peame parabooli kujutamiseks konstrueerima? ( 7, millest üks on parabooli tipp).
Koostame valemiga antud parabooli y = x 2
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y = x 2 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| y = x 2 + 2 | 11 | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 | 11 |
Joonis 2
Millised omadused on funktsiooni graafikul? y = x 3 ?
- Kui x = 0 , See y = 0 - parabooli tipp (0; 0)
- Domeen: X - suvaline number, D (y) = (- ?; ?) D (y) = R
- Väärtuste vahemik juures ? 0
- E (y) =
- Funktsioon suureneb intervalliga
Funktsioon suureneb intervalliga - nende x väärtuste juures, liikudes piki parabooli vasakult paremale, "läheme mäest alla" (vt joonis 55). Funktsioon y = x 2 kasvab piki kiirt;
b) lõigul [- 3, - 1,5];
c) lõigul [- 3, 2].Lahendus,
a) Koostame parabooli y = x 2 ja valime lõigust selle osa, mis vastab muutuja x väärtustele (joonis 56). Graafiku valitud osa leiame nime juurest. = 1 (x = 1), y max. = 9 (x = 3).
b) Koostame parabooli y = x 2 ja valime lõigust [-3, -1,5] selle osa, mis vastab muutuja x väärtustele (joonis 57). Graafiku valitud osa jaoks leiame y nime. = 2,25 (x = - 1,5), y max. = 9 (x = -3).
c) Koostame parabooli y = x 2 ja valime lõigust [-3, 2] selle osa, mis vastab muutuja x väärtustele (joonis 58). Graafiku valitud osa jaoks leiame y max = 0 (at x = 0), y max. = 9 (x = -3).
Nõuanne. Funktsiooni y - x 2 punktide kaupa joonistamise vältimiseks lõigake paksust paberist välja parabooli mall. Selle abiga joonistate väga kiiresti parabooli.
Kommenteeri. Kutsudes teid koostama parabooli malli, näib, et me võrdsustame funktsiooni y = x 2 õigused ja lineaarne funktsioon y = kx + m. Lineaarfunktsiooni graafik on ju sirge ja sirge kujutamiseks kasutatakse tavalist joonlauda - see on funktsiooni y = kx + m graafiku mall. Olgu teil siis funktsiooni y = x 2 graafiku mall.
Näide 2. Leidke parabooli y = x 2 ja sirge y - x + 2 lõikepunktid.
Lahendus. Ehitame ühes koordinaatsüsteemis parabooli y = x 2 ja sirge y = x + 2 (joonis 59). Need ristuvad punktides A ja B ning jooniselt pole keeruline leida nende punktide A ja B koordinaate: punkti A jaoks on meil: x = - 1, y = 1 ja punkti B jaoks: x - 2, y = 4.
Vastus: parabool y = x 2 ja sirge y = x + 2 ristuvad kahes punktis: A (-1; 1) ja B (2; 4).
Oluline märkus. Siiani oleme joonist kasutades olnud üsna julged järeldusi tegema. Matemaatikud joonistusi aga liiga ei usalda. Olles avastanud joonisel 59 kaks parabooli ja sirge lõikepunkti ning määranud joonise abil nende punktide koordinaadid, kontrollib matemaatik tavaliselt ise: kas punkt (-1; 1) asub tegelikult mõlemal sirgel. ja parabool; kas punkt (2; 4) asub tõesti nii sirgel kui ka paraboolil?
Selleks tuleb asendada punktide A ja B koordinaadid sirgjoone võrrandisse ja parabooli võrrandisse ning seejärel veenduda, et mõlemal juhul saadakse õige võrdsus. Näites 2 on mõlemal juhul võrdsused tõesed. Seda kontrolli tehakse eriti sageli siis, kui joonise täpsuses on kahtlusi.
Kokkuvõtteks märgime ühe huvitava parabooli omaduse, mille avastasid ja tõestasid ühiselt füüsikud ja matemaatikud.
Kui vaadelda parabooli y = x 2 ekraanina, peegeldava pinnana ja asetada sellesse punkti valgusallikas, siis ekraani paraboolilt peegelduvad kiired moodustavad paralleelse valgusvihu (joonis 60). . Punkti nimetatakse parabooli fookuseks. Seda ideed kasutatakse autodes: esitule peegeldav pind on paraboolse kujuga ja lambipirn asetatakse fookuspunkti - siis levib esitule valgus piisavalt kaugele.
Kalendri-temaatiline planeerimine matemaatikas, video matemaatikas võrgus, Matemaatika koolis allalaadimine
A. V. Pogorelov, Geomeetria 7.-11. klassile, Õpik haridusasutustele
Tunni sisu tunnimärkmed toetavad raamtunni esitluskiirendusmeetodid interaktiivseid tehnoloogiaid Harjuta ülesanded ja harjutused enesetesti töötoad, koolitused, juhtumid, ülesanded kodutöö arutelu küsimused retoorilised küsimused õpilastelt Illustratsioonid heli, videoklipid ja multimeedium fotod, pildid, graafika, tabelid, diagrammid, huumor, anekdoodid, naljad, koomiksid, tähendamissõnad, ütlused, ristsõnad, tsitaadid Lisandmoodulid kokkuvõtteid artiklid nipid uudishimulikele hällid õpikud põhi- ja lisaterminite sõnastik muu Õpikute ja tundide täiustaminevigade parandamine õpikusõpiku fragmendi uuendamine, innovatsioonielemendid tunnis, vananenud teadmiste asendamine uutega Ainult õpetajatele täiuslikud õppetunnid aasta kalenderplaan, metoodilised soovitused, aruteluprogramm Integreeritud õppetunnidMatemaatilised avaldised (valemid) lühendatud korrutis(summa ja vahe ruut, summa ja vahe kuup, ruutude vahe, kuubikute summa ja vahe) on paljudes täppisteaduste valdkondades äärmiselt asendamatud. Need 7 sümboolset tähistust on hindamatud avaldiste lihtsustamiseks, võrrandite lahendamiseks, polünoomide korrutamiseks, murdude vähendamiseks, integraalide lahendamiseks ja paljuks muuks. See tähendab, et on väga kasulik mõista, kuidas neid saadakse, miks neid vaja on ja mis kõige tähtsam, kuidas neid meeles pidada ja seejärel rakendada. Seejärel kandideerimine lühendatud korrutusvalemid praktikas on kõige keerulisem näha, mis on X ja mis sul on. Ilmselgelt pole piiranguid a Ja b ei, mis tähendab, et see võib olla mis tahes numbriline või tähestikuline avaldis.
Ja siin nad on:
Esiteks x 2 - kell 2 = (x - y) (x+y).Arvutada ruutude erinevus kaks avaldist, peate korrutama nende avaldiste erinevused nende summadega.
Teiseks (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Leidma summa ruut kaks avaldist, peate esimese avaldise ruudule lisama esimese avaldise topeltkorrutise ja teise pluss teise avaldise ruudu.
Kolmandaks (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Arvutada ruudus vahe kaks avaldist, peate esimese avaldise ruudust lahutama kahekordse esimese avaldise korrutise teise ja teise avaldise ruuduga.
Neljandaks (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 a + 3xy 2 + kell 3. Arvutada summa kuup kaks avaldist, tuleb esimese avaldise kuubile lisada esimese avaldise ruudu kolmikkorrutis teisega pluss esimese avaldise kolmikkorrutis teise avaldise ruuduga pluss teise avaldise kuubik.
Viiendaks (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 a + 3xy 2 - kell 3. Arvutada erinevuse kuubik kahe avaldise korral on vaja esimese avaldise kuubist lahutada esimese avaldise ruudu kolmikkorrutis teisega pluss esimese avaldise kolmikkorrutis teise avaldise ruuduga miinus teise avaldise kuubik.
Kuues x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Arvutada kuubikute summa kaks avaldist, peate korrutama esimese ja teise avaldise summad nende avaldiste erinevuse mittetäieliku ruuduga.
Seitsmes x 3 - kell 3 = (x - y) (x 2 + xy + y 2) Arvutuse tegemiseks kuubikute erinevused kaks avaldist, peate korrutama esimese ja teise avaldise erinevuse nende avaldiste summa mittetäieliku ruuduga.
Pole raske meeles pidada, et kõiki valemeid kasutatakse arvutuste tegemiseks vastupidises suunas (paremalt vasakule).
Nende mustrite olemasolu oli teada umbes 4 tuhat aastat tagasi. Neid kasutasid laialdaselt Vana-Babüloni ja Egiptuse elanikud. Kuid neil ajastutel väljendati neid verbaalselt või geomeetriliselt ega kasutanud arvutustes tähti.
Teeme asja korda ruutsumma tõend(a + b) 2 = a 2 +2ab +b 2.
Esiteks see matemaatiline muster Vana-Kreeka teadlane Euclid, kes töötas 3. sajandil eKr Aleksandrias, tõestas, et ta kasutas valemi tõestamiseks geomeetrilist meetodit, kuna iidse Hellase teadlased ei kasutanud tähti numbrite tähistamiseks. Nad ei kasutanud kõikjal mitte "a 2", vaid "ruut lõigul a", mitte "ab", vaid "lõikude a ja b vahele jäävat ristkülikut".
Juhised
Asendusmeetod Avaldage üks muutuja ja asendage see teise võrrandiga. Saate väljendada mis tahes muutujat oma äranägemise järgi. Näiteks väljendage y teisest võrrandist:
x-y=2 => y=x-2Seejärel asendage kõik esimese võrrandiga:
2x+(x-2)=10 Liigutage kõik ilma "x"ta paremale poole ja arvutage:
2x+x=10+2
3x=12 Järgmiseks, et saada x, jagage võrrandi mõlemad pooled 3-ga:
x=4. Niisiis, leidsite "x. Leidke "y. Selleks asendage "x" võrrandis, millest väljendasite "y":
y=x-2=4-2=2
y = 2.Tehke kontroll. Selleks asendage saadud väärtused võrranditesse:
2*4+2=10
4-2=2
Tundmatud on õigesti leitud!Võimalus võrrandite liitmiseks või lahutamiseks Vabanege kohe igast muutujast. Meie puhul on seda lihtsam teha y-ga.
Kuna võrrandis on “y” märk “+” ja teises “-”, siis saab teha liitmistoimingu, s.o. murra vasak külg vasakuga ja parem parempoolsega kokku:
2x+y+(x-y)=10+2Teisenda:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Asendage mis tahes võrrandis "x" ja leidke "y":
2*4+y=10
8+y=10
y = 10-8
y=2 Kasutades 1. meetodit, saate kontrollida, kas juured on õigesti leitud.Kui selgelt määratletud muutujaid pole, siis on vaja võrrandeid veidi teisendada.
Esimeses võrrandis on meil "2x" ja teises on meil lihtsalt "x". X-i vähendamiseks liitmisel või lahutamisel korrutage teine võrrand 2-ga:
x-y=2
2x-2y=4 Seejärel lahutage esimesest võrrandist teine:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Pane tähele, et kui sulu ees on miinus, siis pärast avamist muuda märgid vastupidiseks:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
leida y=2x, väljendades mis tahes võrrandist, st.
x=4Video teemal
Diferentsiaalvõrrandite lahendamisel pole argument x (või füüsikalistes ülesannetes aeg t) alati selgesõnaliselt kättesaadav. Sellegipoolest on tegemist diferentsiaalvõrrandi täpsustamise lihtsustatud erijuhtumiga, mis sageli aitab lihtsustada selle integraali otsimist.
Juhised
Vaatleme füüsikaülesannet, mille tulemuseks on diferentsiaalvõrrand, milles argument t puudub. See on probleem massiga m võnkumiste kohta, mis ripuvad vertikaaltasandil paiknevale keermele pikkusega r. Pendli liikumisvõrrand on vajalik, kui see oli algselt liikumatu ja kallutatud tasakaaluolekust nurga α võrra. Jõud tuleb tähelepanuta jätta (vt joonis 1a).
Lahendus. Matemaatiline pendel on materiaalne punkt, mis ripub kaalutu ja venimatu keerme küljes punktis O. Punktile mõjuvad kaks jõudu: raskusjõud G=mg ja keerme tõmbejõud N. Mõlemad jõud asuvad vertikaaltasandil. . Seetõttu saate ülesande lahendamiseks rakendada punkti pöörlemisliikumise võrrandit ümber horisontaaltelje, mis läbib punkti O. Keha pöörleva liikumise võrrand on joonisel fig. 1b. Sel juhul on I materiaalse punkti inertsimoment; j on keerme pöördenurk koos punktiga, mõõdetuna vertikaalteljelt vastupäeva; M on materiaalsele punktile rakendatavate jõudude moment.
Arvutage need väärtused. I = mr^2, M = M(G)+M(N). Kuid M(N)=0, kuna jõu toimejoon läbib punkti O. M(G)=-mgrsinj. Märk “-” tähendab, et jõumoment on suunatud liikumisele vastupidises suunas. Asendage liikumisvõrrandiga inertsimoment ja jõumoment ning saage joonisel fig. 1s. Massi vähendamisel tekib seos (vt joonis 1d). Siin pole argumenti.
