Juhend

Peod ja nurki peetakse põhielementideks a. Kolmnurk on täielikult määratletud mis tahes järgmiste põhielementidega: kas kolm külge või üks külg ja kaks nurka või kaks külge ja nendevaheline nurk. Olemasolu eest kolmnurk defineeritud kolme küljega a, b, c, on vajalik ja piisav, et ebavõrdsused, mida nimetatakse ebavõrdsusteks kolmnurk:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Ehitamiseks kolmnurk kolmel küljel a, b, c on vaja lõigu CB=a punktist C, kuidas tõmmata kompassiga ring raadiusega b. Seejärel tõmmake samamoodi punktist B ring, mille raadius on võrdne küljega c. Nende lõikepunkt A on soovitud kolmas tipp kolmnurk ABC, kus AB=c, CB=a, CA=b - küljed kolmnurk. Ülesanne on , kui küljed a, b, c rahuldavad ebavõrdsust kolmnurk 1. sammus määratletud.

Sel viisil konstrueeritud S-ala kolmnurk ABC teadaolevate külgedega a, b, c arvutatakse Heroni valemiga:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kus a, b, c on küljed kolmnurk, p on poolperimeeter.
p = (a+b+c)/2

Kui kolmnurk on võrdkülgne, st kõik selle küljed on võrdsed (a=b=c). Pindala kolmnurk arvutatakse valemiga:
S=(a^2 v3)/4

Kui kolmnurk on täisnurkne, st üks selle nurkadest on 90 ° ja selle moodustavad küljed on jalad, on kolmas külg hüpotenuus. Sel juhul ruut võrdub jalgade korrutisega, mis on jagatud kahega.
S=ab/2

Leidma ruut kolmnurk, võite kasutada ühte paljudest valemistest. Valige valem sõltuvalt sellest, millised andmed on juba teada.

Sa vajad

• kolmnurga pindala leidmise valemite tundmine

Juhend

Kui teate ühe külje väärtust ja vastasnurgast sellele küljele langetatud kõrguse väärtust, saate selle ala leida järgmiselt: S = a*h/2, kus S on ​Kolmnurk, a on kolmnurga üks külgedest ja h - kõrgus külje a juures.

On teada viis kolmnurga pindala määramiseks, kui selle kolm külge on teada. Ta on Heroni valem. Selle salvestamise lihtsustamiseks võetakse kasutusele vaheväärtus - poolperimeeter: p \u003d (a + b + c) / 2, kus a, b, c - . Siis on Heroni valem järgmine: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ astendamine.

Oletame, et tead kolmnurga ühte külge ja kolme nurka. Siis on lihtne leida kolmnurga pindala: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kus β on külje a vastasnurk ning α ja γ on küljega külgnevad nurgad.

Seotud videod

Märge

Kõige üldisem valem, mis sobib kõikidel juhtudel, on Heroni valem.

Allikad:

Vihje 3: kuidas leida kolmnurga pindala, millel on kolm külge

Kolmnurga pindala leidmine on kooliplanimeetrias üks levinumaid ülesandeid. Mis tahes kolmnurga pindala määramiseks piisab kolmnurga kolme külje teadmisest. Erijuhtudel ja võrdkülgsete kolmnurkade puhul piisab vastavalt kahe ja ühe külje pikkuse teadmisest.

Sa vajad

• kolmnurkade küljepikkused, Heroni valem, koosinusteoreem

Juhend

Heroni valem kolmnurga pindala jaoks on järgmine: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Kui värvite poolperimeetri p, saate: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Samuti saate kaalutluste põhjal tuletada kolmnurga pindala valemi, rakendades näiteks koosinusteoreemi.

Koosinuste seaduse järgi AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Kasutades sissejuhatavat tähistust, võivad need olla ka kujul: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Seega cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Kolmnurga pindala leitakse ka valemiga S = a*c*sin(ABC)/2 läbi kahe külje ja nendevahelise nurga. Nurga ABC siinust saab väljendada selle kaudu, kasutades põhilist trigonomeetrilist identiteeti: sin (ABC) = sqrt (1- ((cos (ABC)) ^ 2) Asendades siinuse pindala valemisse ja maalides selle, saate jõuda kolmnurga ABC pindala valemini.

Seotud videod

Remondiks võib osutuda vajalikuks mõõta ruut seinad. Vajalikku värvi- või tapeedikogust on lihtsam välja arvutada. Mõõtmiseks on kõige parem kasutada mõõdulinti või sentimeetrit. Mõõtmised tuleks teha pärast seinad on joondatud.

Sa vajad

• -rulett;
• -redel.

Juhend

Loendama ruut seinad, peate teadma lagede täpset kõrgust, samuti mõõtma pikkust mööda põrandat. Seda tehakse järgmiselt: võtke sentimeeter, asetage see sokli kohale. Tavaliselt ei piisa kogu pikkuse jaoks sentimeetrist, nii et kinnitage see nurka, seejärel kerige see maksimaalse pikkuseni lahti. Siinkohal pange pliiatsiga märk, kirjutage tulemus üles ja teostage edasine mõõtmine samamoodi, alustades viimasest mõõtmispunktist.

Tüüpilised standardlaed - 2 meetrit 80 sentimeetrit, 3 meetrit ja 3 meetrit 20 sentimeetrit, olenevalt majast. Kui maja on ehitatud enne 50ndaid, siis suure tõenäosusega on tegelik kõrgus näidatust veidi väiksem. Kui te arvutate ruut remonditöödeks, siis väike varu ei tee paha - kaaluge standardi alusel. Kui teil on siiski vaja teada tegelikku pikkust - võtke mõõtmised. Põhimõte on sarnane pikkuse mõõtmisega, kuid selleks on vaja astmeredelit.

Korrutage saadud arvud - see on ruut sinu seinad. Tõsi, värvimistöödeks või selleks on vaja lahutada ruut ukse- ja aknaavad. Selleks asetage piki ava sentimeetrit. Kui me räägime uksest, mida kavatsete hiljem vahetada, siis tehke seda eemaldatud ukseraamiga, võttes arvesse ainult ruut ava ise. Akna pindala arvutatakse piki selle raami perimeetrit. Pärast ruut arvutatud aken ja ukseava, lahutage tulemus saadud ruumi kogupindalast.

Pange tähele, et ruumi pikkuse ja laiuse mõõtmised tehakse koos, sentimeetrit või mõõdulint on lihtsam fikseerida ja vastavalt saada täpsem tulemus. Mõõtke sama mõõtmist mitu korda, et veenduda saadud numbrite täpsuses.

Seotud videod

Kolmnurga ruumala leidmine on tõepoolest mittetriviaalne ülesanne. Fakt on see, et kolmnurk on kahemõõtmeline kujund, st. see asub täielikult ühel tasapinnal, mis tähendab, et sellel lihtsalt pole helitugevust. Muidugi ei leia midagi, mida poleks olemas. Kuid ärgem andkem alla! Võime teha järgmise oletuse - kahemõõtmelise kujundi ruumala, see on selle pindala. Otsime kolmnurga pindala.

Sa vajad

• paberileht, pliiats, joonlaud, kalkulaator

Juhend

Joonistage joonlaua ja pliiatsiga paberilehele. Kolmnurka hoolikalt uurides saate veenduda, et sellel tõesti pole, kuna see on joonistatud tasapinnale. Märgistage kolmnurga küljed: olgu üks külg külg "a", teine ​​külg "b" ja kolmas külg "c". Märgistage kolmnurga tipud tähtedega "A", "B" ja "C".

Mõõtke joonlauaga kolmnurga mis tahes külg ja kirjutage tulemus üles. Pärast seda taastage rist mõõdetud küljega vastastipust, selline rist on kolmnurga kõrgus. Joonisel kujutatud juhul taastatakse risti "h" tipust "A" olevale küljele "c". Mõõtke saadud kõrgus joonlauaga ja fikseerige mõõtmise tulemus.

Võib juhtuda, et täpset risti taastada on raske. Sel juhul peaksite kasutama teist valemit. Mõõtke joonlauaga kolmnurga kõik küljed. Pärast seda arvutage kolmnurga "p" poolperimeeter, lisades saadud külgede pikkused ja jagades nende summa pooleks. Kui teie käsutuses on poolperimeetri väärtus, saate kasutada Heroni valemit. Selleks tuleb võtta ruutjuur järgmisest: p(p-a)(p-b)(p-c).

Olete saanud kolmnurga soovitud pindala. Kolmnurga ruumala leidmise probleem ei ole lahendatud, kuid nagu eespool mainitud, ei ole ruumala . Võite leida helitugevust, mis on 3D-maailmas sisuliselt kolmnurk. Kui kujutame ette, et meie algsest kolmnurgast on saanud kolmemõõtmeline püramiid, siis on sellise püramiidi ruumala selle aluse pikkuse ja saadud kolmnurga pindala korrutis.

Märge

Arvutused on seda täpsemad, mida hoolikamalt mõõdate.

Allikad:

• Kõik-kõik-kalkulaator – teabeportaal
• kolmnurga maht 2019. aastal

Kolm punkti, mis üheselt määratlevad kolmnurga Descartes'i koordinaatsüsteemis, on selle tipud. Teades nende asukohta iga koordinaattelje suhtes, saate arvutada selle lameda kujundi mis tahes parameetrid, sealhulgas selle perimeetriga piiratud parameetrid. ruut. Seda saab teha mitmel viisil.

Juhend

Kasutage pindala arvutamiseks Heroni valemit kolmnurk. See hõlmab joonise kolme külje mõõtmeid, nii et alustage arvutusi. Iga külje pikkus peab olema võrdne selle projektsioonide pikkuste ruutude summa juurega koordinaattelgedel. Kui tähistada koordinaate A(X1,Y₁,Z1), B(X2,Y2,Z2) ja C(X3,Y3,Z3), saab nende külgede pikkused väljendada järgmiselt: AB = √((X₁- X₂)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

Arvutuste lihtsustamiseks sisestage abimuutuja - poolperimeeter (P). Sellest on see pool kõigi külgede pikkuste summast: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X1-X₂)² + (Y1-Y₂)² + (Z1- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Kolmnurk on lihtsaim geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest küljest ja kolmest tipust. Tänu oma lihtsusele on kolmnurka kasutatud juba iidsetest aegadest erinevate mõõtmiste tegemiseks ning tänapäeval võib kujund olla kasulik praktiliste ja igapäevaste probleemide lahendamisel.

Kolmnurga omadused

Joonist on arvutusteks kasutatud juba iidsetest aegadest, näiteks maamõõtjad ja astronoomid opereerivad pindalade ja kauguste arvutamiseks kolmnurkade omadusi. Selle joonise pindala kaudu on lihtne väljendada mis tahes n-nurga pindala ja seda omadust kasutasid iidsed teadlased hulknurkade pindalade valemite tuletamiseks. Pidev töö kolmnurkadega, eriti täisnurkse kolmnurgaga, on saanud aluseks tervele matemaatika lõigule - trigonomeetriale.

kolmnurga geomeetria

Geomeetrilise kujundi omadusi on uuritud juba iidsetest aegadest: varaseimad andmed kolmnurga kohta leiti Egiptuse papüürustest, mis on 4000 aastat vanad. Seejärel uuriti figuuri Vana-Kreekas ja suurima panuse kolmnurga geomeetriasse andsid Eukleides, Pythagoras ja Heron. Kolmnurga uurimine ei lõppenud kunagi ning Leonhard Euler võttis 18. sajandil kasutusele kujundi ortotsentri ja Euleri ringi mõiste. 19. ja 20. sajandi vahetusel, kui tundus, et kolmnurgast teatakse absoluutselt kõike, sõnastas Frank Morley teoreemi nurga kolmnurga kohta ning Vaclav Sierpinski pakkus välja fraktaalkolmnurga.

Meile on kooli geomeetria kursusest tuttavad mitut tüüpi lamedaid kolmnurki:

• teravnurkne - kõik figuuri nurgad on teravad;
• nüri - figuuril on üks nürinurk (üle 90 kraadi);
• ristkülikukujuline - joonisel on üks täisnurk, mis on võrdne 90 kraadiga;
• võrdhaarne – kahe võrdse küljega kolmnurk;
• võrdkülgne - kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed.
• Reaalses elus on igasuguseid kolmnurki ja mõnel juhul võib tekkida vajadus arvutada geomeetrilise kujundi pindala.

Kolmnurga pindala

Pindala on hinnang selle kohta, kui suurt osa tasapinnast joonis piirab. Kolmnurga pindala saab leida kuuel viisil, kasutades külgi, kõrgust, nurki, sissekirjutatud või piiritletud ringi raadiust, samuti kasutades Heroni valemit või arvutades topeltintegraali üle tasapinda piiravate joonte. Lihtsaim valem kolmnurga pindala arvutamiseks on järgmine:

kus a on kolmnurga külg, h on selle kõrgus.

Kuid praktikas ei ole meil alati mugav geomeetrilise kujundi kõrgust leida. Meie kalkulaatori algoritm võimaldab teil pindala arvutada, teades:

• kolm külge;
• kaks külge ja nendevaheline nurk;
• üks külg ja kaks nurka.

Pindala määramiseks kolme külje järgi kasutame Heroni valemit:

S = ruut (p × (p-a) × (p–b) × (p–c)),

kus p on kolmnurga poolperimeeter.

Kahe külje pindala ja nurk arvutatakse klassikalise valemi järgi:

S = a × b × sin(alfa),

kus alfa on külgede a ja b vaheline nurk.

Ühe külje ja kahe nurga läbiva ala määramiseks kasutame seost:

a / sin(alfa) = b / sin(beeta) = c / sin(gamma)

Lihtsa proportsiooni abil määrame teise külje pikkuse, mille järel arvutame pindala valemiga S = a × b × sin(alfa). See algoritm on täielikult automatiseeritud ja teil on vaja ainult sisestada etteantud muutujad ja saada tulemus. Vaatame paari näidet.

Näited elust

sillutusplaadid

Oletame, et soovite põrandat sillutada kolmnurksete plaatidega ning vajaliku materjali koguse määramiseks peaksite välja selgitama ühe plaadi pindala ja põrandapinna. Oletame, et peate töötlema 6 ruutmeetrit pinda, kasutades plaate, mille mõõtmed on \u003d 20 cm, b \u003d 21 cm, c \u003d 29 cm. Ilmselgelt tuleb kolmnurga pindala arvutamiseks kasutada kalkulaator kasutab Heroni valemit ja annab tulemuse:

Seega on ühe plaadielemendi pindala 0,021 ruutmeetrit ja põranda parandamiseks vajate 6 / 0,021 \u003d 285 kolmnurka. Arvud 20, 21 ja 29 moodustavad Pythagorase kolmikarvud, mis rahuldavad . Ja see on õige, meie kalkulaator arvutas ka kõik kolmnurga nurgad ja gamma nurk on täpselt 90 kraadi.

kooli ülesanne

Kooliülesandes peate leidma kolmnurga pindala, teades, et haava külg a \u003d 5 cm ning nurgad alfa ja beeta on vastavalt 30 ja 50 kraadi. Selle ülesande käsitsi lahendamiseks leiame esmalt külje b väärtuse, kasutades vastasnurkade külgede ja siinuste suhet ning seejärel pindala, kasutades lihtsat valemit S = a × b × sin(alfa). Hoiame aega kokku, sisestame andmed kalkulaatori vormi ja saame kohe vastuse

Kalkulaatori kasutamisel on oluline nurgad ja küljed õigesti määrata, vastasel juhul jääb tulemus vale.

Järeldus

Kolmnurk on ainulaadne kujund, mis esineb nii päriselus kui ka abstraktsetes arvutustes. Kasutage meie veebikalkulaatorit mis tahes tüüpi kolmnurkade pindala leidmiseks.

Kolmnurga pindala - ülesannete lahendamise valemid ja näited

Allpool on valemid suvalise kolmnurga pindala leidmiseks mis sobivad iga kolmnurga pindala leidmiseks, olenemata selle omadustest, nurkadest või mõõtmetest. Valemid on toodud pildi kujul, siin on selgitused nende rakendamiseks või nende õigsuse põhjendus. Samuti on eraldi joonisel näidatud valemite tähemärkide ja joonisel olevate graafiliste sümbolite vastavus.

Märge . Kui kolmnurgal on eriomadused (võrdhaarne, ristkülikukujuline, võrdkülgne), võite kasutada allolevaid valemeid ja lisaks spetsiaalseid valemeid, mis kehtivad ainult nende omadustega kolmnurkade puhul:

• "Võrdkülgse kolmnurga pindala valemid"

Kolmnurga pindala valemid

Valemite selgitused:
a, b, c- kolmnurga külgede pikkused, mille pindala tahame leida
r- kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius
R- kolmnurga ümber oleva ringjoone raadius
h- kolmnurga kõrgus, langetatud küljele
lk- kolmnurga poolperimeeter, 1/2 selle külgede summast (ümbermõõt)
α - kolmnurga a vastaskülje nurk
β - kolmnurga vastaskülje b nurk
γ - kolmnurga vastaskülje c nurk
h a, h b , h c- kolmnurga kõrgus, langetatud küljele a, b, c

Pange tähele, et antud märge vastab ülaltoodud joonisele, nii et geomeetria reaalse probleemi lahendamisel oleks teil lihtsam valemis õigeid väärtusi visuaalselt õigetesse kohtadesse asendada.

• Kolmnurga pindala on pool kolmnurga kõrguse ja selle külje pikkuse korrutisest, millele see kõrgus on langetatud(Vormel 1). Selle valemi õigsust saab mõista loogiliselt. Aluseni langetatud kõrgus jagab suvalise kolmnurga kaheks ristkülikukujuliseks. Kui täiendame neist igaüks ristkülikuks mõõtmetega b ja h, siis ilmselgelt võrdub nende kolmnurkade pindala täpselt poolega ristküliku pindalast (Spr = bh)
• Kolmnurga pindala on pool selle kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest(Valem 2) (vt näidet ülesande lahendamisest selle valemi abil allpool). Hoolimata asjaolust, et see tundub eelmisest erinev, saab seda hõlpsasti muuta. Kui alandame kõrgust nurgast B küljele b, siis selgub, et külje a ja nurga γ siinuse korrutis võrdub siinuse omaduste järgi täisnurkses kolmnurgas joonestatud kolmnurga kõrgusega. meile, mis annab meile eelmise valemi
• Suvalise kolmnurga pindala on võimalik leida läbi tööd pool ringi raadiusest, mis on sellesse kantud kõigi selle külgede pikkuste summaga(valem 3), teisisõnu, peate korrutama kolmnurga poolperimeetri sisse kirjutatud ringi raadiusega (nii on lihtsam meeles pidada)
• Suvalise kolmnurga pindala saab leida, jagades selle kõigi külgede korrutise selle ümber oleva ringi 4 raadiusega (valem 4)
• Valem 5 on kolmnurga pindala leidmine selle külgede pikkuste ja poolperimeetri järgi (pool kõigi külgede summast)
• Heroni valem(6) on sama valemi esitus ilma poolperimeetri mõistet kasutamata, ainult läbi külgede pikkuste
• Suvalise kolmnurga pindala võrdub kolmnurga külje ruudu ja selle küljega külgnevate nurkade siinuste korrutisega, mis on jagatud selle külje vastasnurga topeltsiinusega (valem 7)
• Suvalise kolmnurga pindala võib leida selle ümber piiritletud ringi kahe ruudu ja selle iga nurga siinuste korrutisena. (Vormel 8)
• Kui ühe külje pikkus ja kahe sellega külgneva nurga suurus on teada, siis võib kolmnurga pindala leida selle külje ruuduna, mis on jagatud nende kootangentide topeltsummaga. nurgad (vormel 9)
• Kui on teada ainult kolmnurga iga kõrguse pikkus (valem 10), siis on sellise kolmnurga pindala pöördvõrdeline nende kõrguste pikkustega, nagu Heroni valemi järgi
• Valem 11 võimaldab arvutada kolmnurga pindala vastavalt selle tippude koordinaatidele, mis on antud (x;y) väärtustena iga tipu jaoks. Pange tähele, et saadud väärtus tuleb võtta modulo, kuna üksikute (või isegi kõigi) tippude koordinaadid võivad olla negatiivsete väärtuste piirkonnas

Märge. Järgnevalt on toodud näited geomeetria probleemide lahendamisest kolmnurga pindala leidmiseks. Kui teil on vaja lahendada geomeetria probleem, mille sarnast siin pole - kirjutage sellest foorumisse. Lahendustes saab "ruutjuure" sümboli asemel kasutada funktsiooni sqrt(), milles sqrt on ruutjuure sümbol ja radikaalavaldis on märgitud sulgudes.Mõnikord saab sümbolit kasutada lihtsate radikaalsete väljendite jaoks √

Ülesanne. Leidke kahe külje ala ja nendevaheline nurk

Kolmnurga küljed on 5 ja 6 cm Nende vaheline nurk on 60 kraadi. Leidke kolmnurga pindala.

Lahendus.

Selle ülesande lahendamiseks kasutame tunni teoreetilisest osast valemit number kaks.
Kolmnurga pindala on võimalik leida läbi kahe külje pikkuse ja nendevahelise nurga siinuse ning see on võrdne
S=1/2 ab sin γ

Kuna meil on kõik lahenduseks vajalikud andmed olemas (vastavalt valemile), saame valemiga asendada vaid ülesandepüstituse väärtused:
S=1/2*5*6*sin60

Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelist leiame ja asendame avaldises siinuse väärtuse 60 kraadi. See võrdub kolme kahega juurega.
S = 15 √3/2

Vastus: 7,5 √3 (olenevalt õpetaja nõudmistest on ilmselt võimalik jätta 15 √3/2)

Ülesanne. Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala

Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala, mille külg on 3 cm.

Lahendus.

Kolmnurga pindala saab leida Heroni valemi abil:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Kuna a \u003d b \u003d c, on võrdkülgse kolmnurga pindala valem järgmine:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Vastus: 9 √3 / 4.

Ülesanne. Pindala muutus külgede pikkuse muutmisel

Mitu korda suureneb kolmnurga pindala, kui küljed neljakordistada?

Lahendus.

Kuna kolmnurga külgede mõõtmed on meile teadmata, siis ülesande lahendamiseks eeldame, et külgede pikkused on vastavalt võrdsed suvaliste arvudega a, b, c. Seejärel leiame ülesande küsimusele vastamiseks selle kolmnurga pindala ja seejärel kolmnurga pindala, mille küljed on neli korda suuremad. Nende kolmnurkade pindalade suhe annab meile vastuse probleemile.

Järgmisena anname ülesande lahenduse tekstilise selgituse sammude kaupa. Päris lõpus esitatakse aga sama lahendus graafilisel kujul, mis on tajumiseks mugavam. Soovijad saavad lahenduse kohe alla panna.

Lahendamiseks kasutame Heroni valemit (vt ülalt tunni teoreetilises osas). See näeb välja selline:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt allpool oleva pildi esimest rida)

Suvalise kolmnurga külgede pikkused on antud muutujatega a, b, c.
Kui külgi suurendada 4 korda, on uue kolmnurga c pindala:

S 2 = 1/4 ruutmeetrit((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(vt teist rida alloleval pildil)

Nagu näete, on 4 tavaline tegur, mille saab matemaatika üldiste reeglite kohaselt kõigist neljast avaldisest sulgudesse lisada.
Siis

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - pildi kolmandal real
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - neljas rida

Numbrist 256 on ruutjuur suurepäraselt välja võetud, nii et võtame selle juure alt välja
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt alloleva joonise viiendat rida)

Ülesandes püstitatud küsimusele vastamiseks piisab, kui jagame saadud kolmnurga pindala esialgse kolmnurga pindalaga.
Pindala suhted määrame, jagades avaldised üksteiseks ja vähendades saadud murdosa.

Kolmnurga pindala määramiseks võite kasutada erinevaid valemeid. Kõigist meetoditest on kõige lihtsam ja sagedamini kasutatav kõrguse korrutamine aluse pikkusega ja seejärel tulemuse jagamine kahega. See meetod pole aga kaugeltki ainus. Altpoolt saate lugeda, kuidas leida kolmnurga pindala erinevate valemite abil.

Eraldi käsitleme konkreetset tüüpi kolmnurga pindala arvutamise meetodeid - ristkülikukujuline, võrdhaarne ja võrdkülgne. Iga valemiga on kaasas lühike selgitus, mis aitab teil mõista selle olemust.

Universaalsed viisid kolmnurga pindala leidmiseks

Alltoodud valemid kasutavad spetsiaalset tähistust. Me dešifreerime neist igaüks:

• a, b, c on vaadeldava joonise kolme külje pikkused;
• r on ringjoone raadius, mida saab kanda meie kolmnurka;
• R on selle ümber kirjeldatava ringi raadius;
• α - külgede b ja c moodustatud nurga väärtus;
• β on nurk a ja c vahel;
• γ - külgede a ja b moodustatud nurga väärtus;
• h on meie kolmnurga kõrgus, langetatud nurgast α küljele a;
• p on pool külgede a, b ja c summast.

On loogiliselt selge, miks saate sel viisil kolmnurga pindala leida. Kolmnurga saab hõlpsasti täiendada rööpkülikuks, milles kolmnurga üks külg toimib diagonaalina. Rööpküliku pindala leitakse, korrutades selle ühe külje pikkust sellele tõmmatud kõrguse väärtusega. Diagonaal jagab selle tingimusliku rööpküliku kaheks identseks kolmnurgaks. Seetõttu on üsna ilmne, et meie algse kolmnurga pindala peaks olema võrdne poolega selle abi rööpküliku pindalast.

S=½ a b sin γ

Selle valemi kohaselt leitakse kolmnurga pindala, korrutades selle kahe külje, st a ja b, pikkused nende moodustatud nurga siinusega. See valem on loogiliselt tuletatud eelmisest. Kui alandame kõrgust nurgast β küljele b, siis vastavalt täisnurkse kolmnurga omadustele saame külje a pikkuse korrutamisel nurga γ siinusega kolmnurga kõrguseks, s.o h.

Vaadeldava joonise pindala leitakse, korrutades poole ringi raadiusest, mille saab sellesse kirjutada, selle ümbermõõduga. Teisisõnu leiame mainitud ringi poolperimeetri ja raadiuse korrutise.

S = a b c/4R

Selle valemi järgi saab meile vajaliku väärtuse leida, jagades kujundi külgede korrutise selle ümber oleva ringi 4 raadiusega.

Need valemid on universaalsed, kuna need võimaldavad määrata mis tahes kolmnurga pindala (skaala, võrdhaarne, võrdkülgne, täisnurkne). Seda saab teha keerukamate arvutuste abil, millel me täpsemalt ei peatu.

Konkreetsete omadustega kolmnurkade alad

Kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala? Selle figuuri eripäraks on see, et selle kaks külge on samaaegselt selle kõrgused. Kui a ja b on jalad ja c muutub hüpotenuusiks, leitakse ala järgmiselt:

Kuidas leida võrdhaarse kolmnurga pindala? Sellel on kaks külge pikkusega a ja üks külg pikkusega b. Seetõttu saab selle pindala määrata, jagades külje a ruudu korrutise nurga γ siinusega 2-ga.

Kuidas leida võrdkülgse kolmnurga pindala? Selles on kõigi külgede pikkus a ja kõigi nurkade väärtus α. Selle kõrgus on pool külje pikkuse korrutisest ruutjuurega 3. Tavalise kolmnurga pindala leidmiseks vajate külje a ruutu, mis on korrutatud ruutjuurega 3 ja jagatud 4-ga.

Mõnikord tuleb elus ette olukordi, kus ammu unustatud kooliteadmiste otsimisel tuleb süveneda oma mällu. Näiteks peate määrama kolmnurkse maatüki pindala või korteris või eramajas on saabunud järgmise remondi käik ja peate arvutama, kui palju materjali kulub. kolmnurkse kujuga pinna jaoks. Oli aeg, mil saite sellise probleemi mõne minutiga lahendada ja nüüd proovite meeleheitlikult meeles pidada, kuidas kolmnurga pindala määrata?

Sa ei pea selle pärast muretsema! On ju täiesti normaalne, kui inimaju otsustab pikalt kasutamata teadmised kuhugi kaugemasse nurka nihutada, millest vahel polegi nii lihtne ammutada. Et te ei peaks sellise probleemi lahendamiseks unustatud kooliteadmiste otsimisega kannatama, sisaldab see artikkel erinevaid meetodeid, mis muudavad kolmnurga vajaliku ala leidmise lihtsaks.

On hästi teada, et kolmnurk on teatud tüüpi hulknurk, mis on piiratud minimaalse võimaliku külgede arvuga. Põhimõtteliselt saab iga hulknurga jagada mitmeks kolmnurgaks, ühendades selle tipud segmentidega, mis ei ristu selle külgi. Seetõttu saate kolmnurka teades arvutada peaaegu iga kujundi pindala.

Kõigi võimalike elus esinevate kolmnurkade hulgast saab eristada järgmisi konkreetseid tüüpe: ja ristkülikukujulised.

Lihtsaim viis kolmnurga pindala arvutamiseks on siis, kui selle üks nurk on õige, st täisnurkse kolmnurga puhul. On lihtne näha, et see on pool ristkülikut. Seetõttu on selle pindala võrdne poolega nende külgede korrutisest, mis moodustavad nende vahel täisnurga.

Kui me teame kolmnurga kõrgust, mis on langetatud selle ühest tipust vastasküljele, ja selle külje pikkust, mida nimetatakse aluseks, siis arvutatakse pindala poolena kõrguse ja aluse korrutisest. See on kirjutatud järgmise valemi abil:

S = 1/2*b*h, milles

S on kolmnurga soovitud pindala;

b, h - vastavalt kolmnurga kõrgus ja alus.

Võrdhaarse kolmnurga pindala on nii lihtne arvutada, kuna kõrgus poolitab vastaskülje ja seda saab hõlpsasti mõõta. Kui pindala on määratud, siis on mugav võtta kõrguseks ühe täisnurga moodustava külje pikkus.

See kõik on kindlasti hea, aga kuidas teha kindlaks, kas kolmnurga üks nurkadest on õige või mitte? Kui meie figuuri suurus on väike, võite kasutada ehitusnurka, joonistuskolmnurka, postkaarti või muud ristkülikukujulist eset.

Aga mis siis, kui meil on kolmnurkne maatükk? Sel juhul toimige järgmiselt: ühelt poolt väidetava täisnurga ülaosast mõõdetakse kauguse kordne 3 (30 cm, 90 cm, 3 m) ja teiselt poolt kauguse kordne 4 (40). cm, 160 cm, 4 m). Nüüd peate mõõtma nende kahe segmendi lõpp-punktide vahelist kaugust. Kui väärtus on 5-kordne (50 cm, 250 cm, 5 m), siis võib väita, et nurk on õige.

Kui meie joonise iga kolme külje pikkuse väärtus on teada, saab kolmnurga pindala määrata Heroni valemi abil. Et sellel oleks lihtsam vorm, kasutatakse uut väärtust, mida nimetatakse poolperimeetriks. See on meie kolmnurga kõigi külgede summa, jagatud pooleks. Pärast poolperimeetri arvutamist saate ala määrata järgmise valemi abil:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), kus

sqrt - ruutjuur;

p on poolperimeetri väärtus (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - kolmnurga servad (küljed).

Aga mis siis, kui kolmnurgal on ebakorrapärane kuju? Siin on kaks võimalikku viisi. Esimene neist on püüda selline kujund jagada kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, mille pindalade summa arvutatakse eraldi välja ja seejärel liidetakse. Või kui kahe külje vaheline nurk ja nende külgede suurus on teada, rakendage valemit:

S = 0,5 * ab * sinC, kus

a,b - kolmnurga küljed;

c on nende külgede vaheline nurk.

Viimane juhtum on praktikas haruldane, kuid sellegipoolest on elus kõik võimalik, nii et ülaltoodud valem ei ole üleliigne. Edu teile arvutustes!