Oleme juba kokku puutunud probleemiga, kui funktsiooni f ja selle argumendi etteantud väärtuse korral oli vaja arvutada funktsiooni väärtus selles punktis. Kuid mõnikord tuleb silmitsi seista pöördprobleemiga: teadaoleva funktsiooni f ja selle kindla väärtuse y juures leida argumendi väärtus, milles funktsioon saab antud väärtuse y.

Funktsiooni, mis võtab kõik väärtused oma määratluspiirkonna ühes punktis, nimetatakse inverteeritavaks funktsiooniks. Näiteks lineaarne funktsioon oleks pöörduv funktsioon. Ruutfunktsioon või siinusfunktsioon ei ole inverteeritavad funktsioonid. Kuna funktsioon võib erinevate argumentidega võtta sama väärtuse.

Pöördfunktsioon

Oletame, et f on mingi suvaline pööratav funktsioon. Iga arv oma vahemikust y0 vastab ainult ühele numbrile domeenist x0, nii et f(x0) = y0.

Kui nüüd omistame igale x0 väärtusele väärtuse y0, siis saame uue funktsiooni. Näiteks lineaarse funktsiooni f(x) = k * x + b korral on funktsioon g(x) = (x - b)/k pöördvõrdeline.

Kui mõni funktsioon g igas punktis X inverteeritava funktsiooni f vahemik võtab väärtuse y nii, et f(y) = x, siis ütleme, et funktsioon g- f-le on pöördfunktsioon.

Kui meil on mõne pööratava funktsiooni f graafik, siis pöördfunktsiooni graafiku joonistamiseks saame kasutada järgmist väidet: funktsiooni f graafik ja sellele pöördfunktsiooni g on sümmeetrilised funktsiooni f suhtes. võrrandiga y = x antud sirge.

Kui funktsioon g on funktsiooni f pöördfunktsioon, on funktsioon g inverteeritav funktsioon. Ja funktsioon f on pöördvõrdeline funktsiooniga g. Tavaliselt öeldakse, et kaks funktsiooni f ja g on üksteise suhtes pöördvõrdelised.

Järgmisel joonisel on üksteisega pöördväärtuste funktsioonide f ja g graafikud.

Tuletame järgmise teoreemi: kui funktsioon f suureneb (või väheneb) mingil intervallil A, siis on see inverteeritav. Funktsiooni f vahemikus defineeritud a-ga pöördfunktsioon g on samuti kasvav (või vastavalt kahanev) funktsioon. Seda teoreemi nimetatakse pöördfunktsiooni teoreem.

Valmis tööd

NEED TÖÖD

Palju on juba seljataga ja nüüd oled sa lõpetaja, kui muidugi kirjutad lõputöö õigel ajal. Aga elu on selline, et alles nüüd saab sulle selgeks, et olles lõpetanud tudeng olemise, kaotad sa kõik tudengirõõmud, millest paljusid sa pole proovinud, lükates kõik edasi ja lükates selle hilisemaks. Ja nüüd, selle asemel, et järele jõuda, nokitsete oma lõputöö kallal? On suurepärane väljapääs: laadige meie veebisaidilt alla vajalik lõputöö - ja teil on koheselt palju vaba aega!
Diplomitöid on edukalt kaitstud Kasahstani Vabariigi juhtivates ülikoolides.
Tööde maksumus alates 20 000 tenge

KURSUSE TÖÖD

Kursuseprojekt on esimene tõsine praktiline töö. Just kursusetöö kirjutamisega algab ettevalmistus lõputööde väljatöötamiseks. Kui üliõpilane õpib kursusetöös teema sisu õigesti sõnastama ja seda õigesti koostama, siis edaspidi ei teki tal probleeme ei aruannete kirjutamise ega lõputööde koostamise ega muude praktiliste ülesannete täitmisega. Selleks, et aidata õpilasi seda tüüpi õpilastööde kirjutamisel ja selgitada selle koostamise käigus tekkivaid küsimusi, saigi see teabejaotis tegelikult loodud.
Tööde maksumus alates 2500 tenge

MAGISTRITÖÖD

Praegu on Kasahstani ja SRÜ riikide kõrgkoolides väga levinud erialase kõrghariduse etapp, mis järgneb bakalaureusekraadile - magistrikraad. Magistraadis õpivad üliõpilased eesmärgiga omandada magistrikraadi, mida tunnustatakse enamikus maailma riikides rohkem kui bakalaureusekraadi ning mida tunnustavad ka välismaised tööandjad. Magistriõppe tulemuseks on magistritöö kaitsmine.
Anname Sulle kaasa ajakohase analüütilise ja tekstilise materjali, hind sisaldab 2 teadusartiklit ja referaadi.
Tööde maksumus alates 35 000 tenge

PRAKTIKAARUANDED

Pärast mis tahes tüüpi üliõpilaspraktika (haridus-, tööstus-, bakalaureuseõppe) läbimist on nõutav aruanne. See dokument on üliõpilase praktilise töö kinnituseks ja praktikale hinnangu kujunemise aluseks. Tavaliselt tuleb praktikaaruande koostamiseks koguda ja analüüsida ettevõtte kohta käivat infot, arvestada praktika toimumise organisatsiooni struktuuri ja töögraafikuga, koostada kalenderplaan ning kirjeldada oma praktilisi tegevusi.
Aitame koostada praktika kohta aruande, arvestades konkreetse ettevõtte tegevuse spetsiifikat.

Oletame, et meil on mingi funktsioon y = f (x), mis on rangelt monotoonne (kahanev või kasvav) ja pidev domeenil x ∈ a ; b; selle väärtuste vahemik on y ∈ c ; d ja intervallil c ; d samal ajal on meil funktsioon x = g (y) väärtusvahemikuga a ; b. Teine funktsioon on samuti pidev ja rangelt monotoonne. Seoses y = f (x) on see pöördfunktsioon. See tähendab, et saame rääkida pöördfunktsioonist x = g (y), kui y = f (x) antud intervallil kas väheneb või suureneb.

Need kaks funktsiooni f ja g on vastastikku pöördvõrdelised.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Milleks meil pöördfunktsioonide mõistet üldse vaja on?

Seda vajame võrrandite y = f (x) lahendamiseks, mis on kirjutatud just neid avaldisi kasutades.

Oletame, et peame leidma lahenduse võrrandile cos (x) = 1 3 . Selle lahendid on kahepunktilised: x = ± a r c o c s 1 3 + 2 π k , k ∈ Z

Üksteise suhtes pöördvõrdelised on näiteks arkosinus- ja koosinusfunktsioonid.

Analüüsime mitmeid ülesandeid antud funktsioonidega pöördfunktsioonide leidmiseks.

Näide 1

Seisukord: mis on pöördfunktsioon y = 3 x + 2 jaoks?

Lahendus

Tingimuses määratud funktsiooni definitsioonide domeen ja väärtuste domeen on kõigi reaalarvude hulk. Proovime seda võrrandit lahendada x kaudu, st väljendades x läbi y.

Saame x = 1 3 y - 2 3 . See on pöördfunktsioon, mida me vajame, kuid siin on y argument ja x on funktsioon. Korraldame need ümber, et saada tuttavam märge:

Vastus: funktsioon y = 1 3 x - 2 3 on pöördväärtus y = 3 x + 2 korral.

Mõlemat vastastikku pöördfunktsiooni saab joonistada järgmiselt:

Näeme mõlema graafiku sümmeetriat y = x suhtes. See joon on esimese ja kolmanda kvadrandi poolitaja. Oleme saanud tõestuse vastastikku pöördfunktsioonide ühe omaduse kohta, mida käsitleme hiljem.

Võtame näite, milles peate leidma logaritmifunktsiooni, antud eksponentsiaali pöördväärtuse.

Näide 2

Seisukord: määrake, milline funktsioon on pöördväärtus y = 2 x korral.

Lahendus

Antud funktsiooni puhul on definitsioonipiirkonnaks kõik reaalarvud. Väärtuste vahemik asub vahemikus 0 ; +∞ . Nüüd peame väljendama x läbi y, st lahendama näidatud võrrandi läbi x. Saame x = log 2 y . Järjesta muutujad ümber ja saad y = log 2 x .

Selle tulemusena oleme saanud eksponentsiaalsed ja logaritmilised funktsioonid, mis on kogu definitsioonipiirkonnas üksteise suhtes pöördvõrdelised.

Vastus: y = log 2 x .

Graafikul näevad mõlemad funktsioonid välja järgmised:

Vastastikku pöördfunktsioonide põhiomadused

Selles alajaotuses loetleme funktsioonide y = f (x) ja x = g (y) peamised omadused, mis on vastastikku pöördvõrdelised.

Definitsioon 1

1. Esimese omaduse tuletasime juba varem: y = f (g (y)) ja x = g (f (x)) .
2. Teine omadus tuleneb esimesest: definitsioonipiirkond y = f (x) langeb kokku pöördfunktsiooni domeeniga x = g (y) ja vastupidi.
3. Pöördfunktsioonide graafikud on sümmeetrilised y = x suhtes.
4. Kui y = f (x) kasvab, siis suureneb ka x = g (y) ja kui y = f (x) väheneb, siis ka x = g (y) väheneb.

Soovitame teil hoolikalt kaaluda definitsioonivaldkonna ja funktsioonide ulatuse mõisteid ning mitte kunagi neid segi ajada. Oletame, et meil on kaks vastastikku pöördfunktsiooni y = f (x) = a x ja x = g (y) = log a y . Esimese omaduse järgi y = f (g (y)) = a log a y . See võrdsus kehtib ainult y positiivsete väärtuste korral ja negatiivsete väärtuste puhul pole logaritmi määratletud, seega ärge kiirustage üles kirjutama, et log a y = y . Kontrollige kindlasti ja lisage, et see kehtib ainult positiivse y puhul.

Kuid võrdsus x \u003d f (g (x)) \u003d log a a x \u003d x kehtib kõigi x reaalväärtuste korral.

Ärge unustage seda punkti, eriti kui peate töötama trigonomeetriliste ja pöördtrigonomeetriliste funktsioonidega. Niisiis, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, sest arsiini vahemik on π 2 ; π 2 ja 7 π 3 ei sisaldu selles. Õige sissekanne saab olema

a r c sin sin 7 π 3 \u003d a r c sin sin 2 π + π 3 \u003d \u003d \u003d kujul a s u l p r i o n i o n \u003d a r c sin \ π03d \u003d

Kuid sin a r c sin 1 3 \u003d 1 3 on õige võrdsus, st. sin (a r c sin x) = x x ∈ - 1 korral; 1 ja a r c sin (sin x) = x x ∈ - π 2 korral; π 2 . Olge pöördfunktsioonide ulatuse ja ulatusega alati ettevaatlik!

• Põhilised vastastikku pöördfunktsioonid: võimsus

Kui meil on astmefunktsioon y = x a , siis x > 0 korral on ka astmefunktsioon x = y 1 a sellele pöördvõrdeline. Asendame tähed ja saame vastavalt y = x a ja x = y 1 a.

Diagrammil näevad need välja järgmised (juhtumid positiivse ja negatiivse koefitsiendiga a):

• Põhilised vastastikku pöördfunktsioonid: eksponentsiaalne ja logaritm

Võtame a, mis on positiivne arv, mis ei ole võrdne 1-ga.

Funktsioonide graafikud, mille a > 1 ja a< 1 будут выглядеть так:

• Põhilised vastastikku pöördfunktsioonid: trigonomeetrilised ja pöördtrigonomeetrilised

Kui meil on vaja joonistada siinuse ja arcsinuse põhiharu, näeb see välja selline (näidatud esiletõstetud valgusalas).

Tunni eesmärgid:

Hariduslik:

• kujundada teadmisi uuel teemal vastavalt programmi materjalile;
• uurida funktsiooni inverteeritavuse omadust ja õpetada leidma antud funktsiooniga pöördfunktsiooni;

Arendamine:

• arendada enesekontrollioskusi, ainekõnet;
• valdama pöördfunktsiooni mõistet ja õppima pöördfunktsiooni leidmise meetodeid;

Hariduslik: kujundada suhtluspädevust.

Varustus: arvuti, projektor, ekraan, SMART Board interaktiivne tahvel, jaotusmaterjal (iseseisev töö) rühmatööks.

Tundide ajal.

1. Organisatsioonimoment.

Sihtmärk – õpilaste ettevalmistamine tööks klassiruumis:

Puudumise määratlus,

Õpilaste suhtumine töösse, tähelepanu organiseerimine;

Sõnum tunni teema ja eesmärgi kohta.

2. Õpilaste algteadmiste uuendamine. esiküsitlus.

Sihtmärk - tuvastada uuritud teoreetilise materjali õigsust ja teadlikkust, käsitletava materjali kordamist.<Приложение 1 >

Funktsiooni graafik on õpilaste jaoks näidatud interaktiivsel tahvlil. Õpetaja sõnastab ülesande - vaadelda funktsiooni graafikut ja loetleda funktsiooni uuritud omadused. Õpilased loetlevad funktsiooni omadused vastavalt uurimistöö kavandile. Funktsiooni graafikust paremal olev õpetaja kirjutab nimelised omadused markeriga interaktiivsele tahvlile üles.

Funktsiooni omadused:

Õppetöö lõpus teatab õpetaja, et tänases tunnis tutvutakse veel ühe funktsiooni omadusega - pööratavusega. Uue materjali sisukaks õppimiseks kutsub õpetaja lapsi tutvuma peamiste küsimustega, millele õpilased peavad tunni lõpus vastama. Küsimused kirjutatakse tavalisele tahvlile ja igal õpilasel on jaotusmaterjal (jagatakse enne tundi)

1. Mis on pöörduv funktsioon?
2. Kas iga funktsioon on pööratav?
3. Mis on antud pöördfunktsioon?
4. Kuidas on seotud funktsiooni määratluspiirkond ja väärtuste hulk ning selle pöördfunktsioon?
5. Kui funktsioon on antud analüütiliselt, kuidas defineerida pöördfunktsioon valemiga?
6. Kui funktsioon on antud graafiliselt, kuidas joonistada selle pöördfunktsioon?

3. Uue materjali selgitus.

Sihtmärk - kujundada teadmisi uuel teemal vastavalt programmi materjalile; uurida funktsiooni inverteeritavuse omadust ja õpetada leidma antud funktsiooniga pöördfunktsiooni; teemat arendada.

Õpetaja viib läbi materjali esitluse vastavalt lõigu materjalile. Interaktiivsel tahvlil võrdleb õpetaja kahe funktsiooni graafikuid, mille definitsioonipiirkonnad ja väärtushulgad on samad, kuid üks funktsioonidest on monotoonne ja teine ​​mitte, tuues sellega õpilased ümberpööratava funktsiooni mõiste alla. .

Seejärel sõnastab õpetaja inverteeritava funktsiooni definitsiooni ja viib läbi pöördfunktsiooni teoreemi tõestuse, kasutades interaktiivsel tahvlil oleva monotoonse funktsiooni graafikut.

Definitsioon 1: kutsutakse välja funktsioon y=f(x), x X pööratav, kui see võtab mõne oma väärtustest ainult komplekti X ühes punktis.

Teoreem: Kui funktsioon y=f(x) on hulgal X monotoonne, siis on see inverteeritav.

Tõestus:

1. Laske funktsioonil y=f(x) võrra suureneb X lase sel minna x 1 ≠ x 2- komplekti kaks punkti X.
2. Kindluse mõttes las x 1< x 2.
   Millest siis x 1< x 2 järgib seda f(x 1) < f(x 2).
3. Seega vastavad argumendi erinevad väärtused funktsiooni erinevatele väärtustele, st. funktsioon on pöörduv.

(Teoreemi tõestamise käigus teeb õpetaja kõik vajalikud selgitused markeriga joonisele)

Enne pöördfunktsiooni definitsiooni sõnastamist palub õpetaja õpilastel kindlaks teha, milline pakutud funktsioonidest on pöörduv? Interaktiivsel tahvlil on funktsioonide graafikud ja mitu analüütiliselt määratletud funktsiooni on kirjutatud:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Õpetaja tutvustab pöördfunktsiooni definitsiooni.

Definitsioon 2: Olgu pöördfunktsioon y=f(x) komplektis määratletud X ja E(f)=Y. Sobitagem igaüks y alates Y siis ainus tähendus X, mille juures f(x)=y. Seejärel saame funktsiooni, mis on defineeritud Y, a X on funktsiooni vahemik

See funktsioon on tähistatud x=f -1 (y) ja seda nimetatakse funktsiooni pöördväärtuseks y=f(x).

Õpilasi kutsutakse üles tegema järeldusi määratlusvaldkonna ja pöördfunktsioonide väärtuste kogumi vahelise seose kohta.

Kaaluda küsimust, kuidas leida antud pöördfunktsiooni, kaasas õpetaja kaks õpilast. Päev varem said lapsed õpetajalt ülesande iseseisvalt analüüsida analüütilisi ja graafilisi meetodeid antud pöördfunktsiooni leidmiseks. Õpetaja tegutses õpilaste tunniks ettevalmistamisel konsultandina.

Sõnum esimeselt õpilaselt.

Märkus: funktsiooni monotoonsus on piisav pöördfunktsiooni olemasolu tingimus. Kuid see ei ole vajalik tingimus.

Õpilane tõi näiteid erinevatest olukordadest, mil funktsioon ei ole monotoonne, vaid pöörduv, kui funktsioon ei ole monotoonne ega pöörduv, kui see on monotoonne ja pöörduv.

Seejärel tutvustab õpilane õpilastele analüütiliselt antud pöördfunktsiooni leidmise meetodit.

Algoritmi leidmine

1. Veenduge, et funktsioon oleks monotoonne.
2. Väljendage x y-ga.
3. Muutujate ümbernimetamine. X \u003d f -1 (y) asemel kirjutavad nad y \u003d f -1 (x)

Seejärel lahendab kaks näidet, et leida antud pöördfunktsiooni funktsioon.

Näide 1: Näidake, et funktsioonile y=5x-3 on pöördfunktsioon ja leidke selle analüütiline avaldis.

Lahendus. Lineaarfunktsioon y=5x-3 on defineeritud väärtusel R, suureneb R-ga ja selle vahemik on R. Seega on pöördfunktsioon R-l olemas. Selle analüütilise avaldise leidmiseks lahendame võrrandi y=5x-3 x; saame See on soovitud pöördfunktsioon. Seda määratleb ja suurendab R.

Näide 2: Näidake, et funktsioonile y=x 2 , x≤0 on pöördfunktsioon ja leidke selle analüütiline avaldis.

Funktsioon on pidev, oma määratluspiirkonnas monotoonne, seega on see pööratav. Pärast funktsiooni definitsioonivaldkondade ja väärtuste komplekti analüüsimist tehakse vastav järeldus pöördfunktsiooni analüütilise avaldise kohta.

Teine õpilane teeb ettekande teemal graafiline kuidas leida pöördfunktsiooni. Oma selgitustöö käigus kasutab õpilane interaktiivse tahvli võimalusi.

Funktsiooni y=f -1 (x) graafiku saamiseks, mis on pöördvõrdeline funktsiooniga y=f(x), on vaja funktsiooni y=f(x) graafik sirgjoone suhtes sümmeetriliselt teisendada y=x.

Interaktiivsel tahvlil selgitamise ajal sooritatakse järgmine ülesanne:

Koostage funktsiooni graafik ja selle pöördfunktsiooni graafik samas koordinaatsüsteemis. Kirjutage üles pöördfunktsiooni analüütiline avaldis.

4. Uue materjali esmane fikseerimine.

Sihtmärk - tuvastada õpitava materjali mõistmise õigsus ja teadlikkus, tuvastada lüngad materjali esmases arusaamises, neid parandada.

Õpilased jagatakse paaridesse. Neile antakse lehed ülesannetega, milles nad töötavad paaris. Aeg töö tegemiseks on piiratud (5-7 minutit). Üks õpilaspaar töötab arvutis, projektor on selleks ajaks välja lülitatud ja ülejäänud lapsed ei näe, kuidas õpilased arvutiga töötavad.

Aja lõppedes (eeldatakse, et enamus õpilastest tegi töö ära) näitab interaktiivne tahvel (projektor lülitub uuesti sisse) õpilaste tööd, kus testi käigus selgub, et ülesanne on täidetud aastal. paarid. Vajadusel viib õpetaja läbi korrigeerivat, selgitavat tööd.

Iseseisev töö paaristööna<2. lisa >

5. Tunni tulemus. Küsimuste kohta, mida enne loengut küsiti. Tunni hinnete väljakuulutamine.

Kodutöö §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra ja analüüsi algus. 10. klass 2 osas haridusasutustele (profiilitase) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova jt; toim. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Vastavad väljendid, mis muutuvad üksteiseks. Et mõista, mida see tähendab, tasub kaaluda konkreetset näidet. Oletame, et meil on y = cos(x). Kui võtta argumendist koosinus, siis leiame y väärtuse. Ilmselgelt on selleks vaja x. Aga mis siis, kui mängijale esialgu antakse? Siin jõuabki asja tuumani. Probleemi lahendamiseks on vaja kasutada pöördfunktsiooni. Meie puhul on see arkosiin.

Pärast kõiki teisendusi saame: x = arccos(y).

See tähendab, et antud funktsiooniga pöördfunktsiooni leidmiseks piisab selle argumendi väljendamisest. Kuid see toimib ainult siis, kui tulemusel on üks väärtus (sellest lähemalt hiljem).

Üldjoontes võib selle fakti kirjutada järgmiselt: f(x) = y, g(y) = x.

Definitsioon

Olgu f funktsioon, mille domeen on seatud X ja mille domeen on seatud Y. Kui siis on olemas g, mille domeenid täidavad vastandlikke ülesandeid, siis f on pöörduv.

Lisaks on antud juhul g ainulaadne, mis tähendab, et on täpselt üks funktsioon, mis seda omadust rahuldab (ei rohkem ega vähem). Siis nimetatakse seda pöördfunktsiooniks ja kirjalikult tähistatakse seda järgmiselt: g (x) \u003d f -1 (x).

Teisisõnu võib neid vaadelda binaarsete seostena. Pöörduvus toimub ainult siis, kui komplekti üks element vastab ühele teise väärtusele.

Alati ei ole pöördfunktsiooni. Selleks peab iga element y є Y vastama maksimaalselt ühele x є X. Siis nimetatakse f-i üks-ühele või süstimiseks. Kui f -1 kuulub Y-le, peab selle hulga iga element vastama mingile x ∈ X-le. Selle omadusega funktsioone nimetatakse sürjektideks. See kehtib definitsiooni järgi, kui Y on kujutis f, kuid see ei ole alati nii. Pöördvõrdeliseks muutmiseks peab funktsioon olema nii süstimine kui ka väljaütlemine. Selliseid väljendeid nimetatakse bijektideks.

Näide: ruut- ja juurfunktsioonid

Funktsioon on määratletud )