Analüüsime konkreetsete näidete abil, kuidas püramiidi lõiku ehitada. Kuna püramiidis puuduvad paralleelsed tasapinnad, hõlmab külgtasandi ja näo tasapinna lõikejoone (jälje) konstrueerimine enamasti sirgjoone tõmbamist läbi kahe selle tahu tasapinnas asuva punkti.

Lihtsamate ülesannete puhul on vaja konstrueerida püramiidi lõik tasapinna järgi, mis läbib antud punkte, mis on juba ühes näos.

Näide.

Konstrueeri tasapinnaline osa (MNP)

Kolmnurk MNP - püramiidi sektsioon

Punktid M ja N asuvad samal tasapinnal ABS, nii et saame tõmmata joone läbi nende. Selle sirge jälg on lõik MN. See on nähtav, seega ühendame M ja N pideva joonega.

Punktid M ja P asuvad samal ACS-tasandil, seega tõmbame nende kaudu sirge. Jälg on segment MP. Me ei näe seda, seetõttu joonistame lõigu MP joonega. Konstrueerime jälje PN sarnasel viisil.

Kolmnurk MNP on vajalik osa.

Kui punkt, mille kaudu on vaja lõik joonistada, ei asu mitte serval, vaid näol, siis ei ole see jäljelõigu lõpp.

Näide. Koostage püramiidi lõige punkte B, M ja N läbiva tasapinnaga, kus punktid M ja N kuuluvad vastavalt tahkudele ABS ja BCS.

Siin asuvad punktid B ja M ABS-i samal pinnal, nii et saame tõmmata joone läbi nende.

Samamoodi tõmbame sirge läbi punktide B ja P. Saime vastavalt BK ja BL jäljed.

Punktid K ja L asuvad ACS-i samal pinnal, nii et saame tõmmata joone läbi nende. Selle jälg on segment KL.

Kolmnurk BKL on vajalik osa.

Siiski ei ole alati võimalik punktitingimuses olevate andmete kaudu sirgjoont tõmmata. Sel juhul peate leidma punkti, mis asub tahkusid sisaldavate tasapindade lõikejoonel.

Näide. Koostage püramiidi lõik punkte M, N, P läbiva tasapinnaga.

Punktid M ja N asuvad samal tasapinnal ABS, nii et läbi nende saab tõmmata sirge. Me saame jälje MN. Samamoodi - NP. Mõlemad jäljed on nähtavad, nii et ühendame need pideva joonega.

Punktid M ja P asuvad erinevatel tasapindadel. Seetõttu ei saa me neid otse ühendada.

Jätkame rida NP.

See asub BCS näo tasapinnal. NP lõikub ainult sirgetega, mis asuvad samas tasapinnas. Meil on kolm sellist rida: BS, CS ja BC. Juba on olemas ristumispunktid sirgetega BS ja CS – need on vaid N ja P. Seega otsime NP ristumiskohta sirgega BC.

Lõikepunkt (nimetagem seda H-ks) saadakse sirgeid NP ja BC jätkates kuni lõikepunktini.

See punkt H kuulub nii tasapinnale (BCS), kuna see asub sirgel NP, kui ka tasapinnale (ABC), kuna see asub sirgel BC.

Seega oleme saanud veel ühe punkti tasandis lebavast külgtasandist (ABC).

Läbi H ja samas tasapinnas asuva punkti M saame tõmmata sirge.

Saame jälje MT.

T on sirgete MH ja AC lõikepunkt.

Kuna T kuulub sirgele AC, saame tõmmata sirge läbi selle ja punkti P, kuna mõlemad asuvad samal tasapinnal (ACS).

Nelik MNPT on püramiidi nõutav läbilõige antud punkte M,N,P läbiva tasapinna poolt.

Oleme töötanud sirgega NP, laiendades seda, et leida lõiketasandi ja tasapinna lõikepunkti (ABC). Kui töötame sirgjoonega MN, saame sama tulemuse.

Me vaidleme järgmiselt: sirge MN asub tasapinnal (ABS), seega saab see ristuda ainult samal tasapinnal asuvate sirgetega. Meil on kolm sellist liini: AB, BS ja AS. Kuid sirgetel AB ja BS on juba lõikepunktid: M ja N.

Seega, pikendades MN-i, otsime selle ristumispunkti sirgjoonega AS. Nimetagem seda punkti R-ks.

Punkt R asub sirgel AS, seega asub see ka tasapinnal (ACS), millele sirge AS kuulub.

Kuna punkt P asub tasapinnal (ACS), saame tõmmata joone läbi R ja P. Leiame PT jälje.

Punkt T asub tasapinnal (ABC), nii et saame tõmmata joone läbi selle ja punkti M.

Seega saime sama MNPT ristlõike.

Vaatleme teist sellist näidet.

Koostage püramiidi lõik punkte M, N, P läbiva tasapinnaga.

Joonistage sirgjoon läbi punktide M ja N, mis asuvad samal tasapinnal (BCS). Saame jälje MN (nähtav).

Joonistage sirgjoon läbi punktide N ja P, mis asuvad samal tasapinnal (ACS). Saame jälje PN (nähtamatu).

Me ei saa tõmmata sirgjoont läbi punktide M ja P.

1) Sirge MN asub tasapinnal (BCS), kus on veel kolm sirget: BC, SC ja SB. Juba on olemas lõikumispunktid sirgetega SB ja SC: M ja N. Seetõttu otsime MN ja BC lõikepunkti. Neid ridu jätkates saame punkti L.

Punkt L kuulub sirgele BC, mis tähendab, et see asub tasapinnal (ABC). Seetõttu saame läbi L ja P, mis asuvad samuti tasapinnas (ABC), tõmmata sirge. Tema jalajälg on PF.

F asub sirgel AB ja seega tasapinnal (ABS). Seetõttu tõmbame läbi F ja punkti M, mis asub samuti tasapinnal (ABS), sirge. Tema lugu on FM. Nelinurk MNPF on vajalik lõik.

2) Teine võimalus on jätkata sirget PN-i. See asub tasapinnal (ACS) ja lõikab sellel tasapinnal asuvaid sirgeid AC ja CS punktides P ja N.

Niisiis, me otsime PN lõikepunkti selle tasandi kolmanda sirgega - AS-ga. Jätkame AS ja PN, ristumiskohas saame punkti E. Kuna punkt E asub tasapinnale (ABS) kuuluval sirgel AS, siis läbi E ja punkti M, mis asub samuti (ABS), saame tõmmata joone. Tema lugu on FM. Punktid P ja F asuvad veetasandil (ABC), tõmbame nende kaudu sirge ja saame jälje PF (nähtamatu).

Kogu geomeetria ja mõnede teiste matemaatikaharude ajalugu on tihedalt seotud geomeetriliste konstruktsioonide teooria arenguga. Geomeetria olulisemad aksioomid, mille Euclid sõnastas umbes 300 eKr, näitavad selgelt geomeetriliste konstruktsioonide rolli geomeetria kujunemisel.

Kooligeomeetrias on eriteemad, mida ootate, oodates kohtumist uskumatult kauni materjaliga. Selliste teemade hulka kuuluvad "Polüeedrid ja nende sektsioonide ehitus". Siin ei avane mitte ainult ainulaadsete omadustega geomeetriliste kehade hämmastav maailm, vaid ka huvitavad teaduslikud hüpoteesid. Ja siis saab geomeetriatunnist omamoodi uurimus inimese ootamatutest aspektidest. tuttav kooliaine.

Selle aasta geomeetriatundides läbisime teema “Polüheedri lõikude konstrueerimine”. Programmi raames õppisime üht lõikude konstrueerimise meetodit, kuid mind hakkas huvitama, millised meetodid veel eksisteerivad.

Minu töö eesmärk: õppige kõiki polühedra lõikude konstrueerimise meetodeid.

Ühelgi geomeetrilisel kehal pole sellist täiuslikkust ja ilu kui polüeedritel. "Polüheedreid on väljakutsuvalt vähe," kirjutas kord L. Carroll, "kuid sellel väga tagasihoidlikul arvul irdumisel õnnestus pääseda erinevate teaduste sügavustesse."

Praegu on geomeetriliste konstruktsioonide teooria ulatuslik ja sügavalt arenenud matemaatika valdkond, mis on seotud erinevate põhiküsimuste lahendamisega, mis lähevad teistesse matemaatika harudesse.

1. Kirjeldava geomeetria ajalugu

Juba iidsetel aegadel joonistas ja maalis inimene kividele, kividele, seintele ja majapidamistarvetele asjade, puude, loomade ja inimeste kujutisi. Ta tegi seda oma vajaduste, sealhulgas esteetiliste vajaduste rahuldamiseks. Samas oli selliste kujutiste puhul põhinõue, et kujutis kutsuks esile kujutatava objekti kuju õige visuaalse esituse.

Kujutiste praktiliste ja tehniliste rakenduste kasvuga (hoonete ja muude tsiviil- ja sõjaliste ehitiste ehitamisel jne) hakati neile esitama selliseid nõudeid, mis tagavad üksikute elementide geomeetrilised omadused, suurused ja suhtelised asukohad. konkreetset objekti saab pildi järgi otsustada. Selliseid nõudeid saab hinnata paljude tänapäevani säilinud muinasmälestiste järgi. Kuid kunstnikud, arhitektid ja skulptorid hakkasid süstemaatiliselt välja töötama rangeid geomeetriliselt põhjendatud reegleid ja meetodeid ruumikujude kujutamiseks (perspektiivi suhtes) alles renessansiajal: Leonardo da Vinci, Dürer, Raphael, Michelangelo, Tizian jne.

Kirjeldava geomeetria kui teaduse lõi 18. sajandi lõpus suur prantsuse geomeetria ja insener Gaspard Monge (1746-1818). 1637. aastal lõi prantsuse geomeeter ja filosoof René Descartes (1596 - 1650) koordinaatide meetodi ja pani aluse analüütilisele geomeetriale ning tema kaasmaalane, insener ja matemaatik Girard Desag (1593 - 1662) kasutas seda perspektiivprojekti koordinaatide meetodit. ja põhjendas teooriat aksonomeetrilisi projektsioone.

17. sajandil töötati Venemaal edukalt välja tehnilised joonised, mis tehti plaanide ja profiilide kujul vastavalt mõõtkavale. Siin tuleks kõigepealt nimetada silmapaistva vene mehaaniku ja leiutaja I.P. Kulibin (1735 - 1818). Tema puidust kaarsilla projektis kasutati esmakordselt ortogonaalseid projektsioone (1773). (Tasapinna ortogonaalne projektsioon sellel asuvale sirgele või ruumi projektsioon tasapinnale on paralleelprojektsiooni erijuhtum, mille korral projektsiooni suund on risti projitseeritava sirge või tasandiga.)

Suure panuse ortogonaalprojektsioonide arendamisse andis prantsuse insener A. Frezier (1682–1773), kes võttis esimesena arvesse objekti projektsiooni kahele tasapinnale - horisontaalsele ja frontaaltasandile.

G. Monge’i suurimaks teeneks oli kõigi tema eelkäijate teaduslike tööde üldistamine, kogu ruumikujude kujutamise meetodite teooria ja ühtse ortogonaalprojektsiooni matemaatilise teaduse – kirjeldava geomeetria – loomine.

Selle uue teaduse sünd langes peaaegu kokku Venemaa esimese kõrgema transpordiõppeasutuse – Raudteeinseneride Korpuse Instituudi – asutamisega Peterburis (2. detsember 1809)

Selle instituudi lõpetajad, selle professorid ja teadlased on andnud olulise panuse geomeetriliste kujutamismeetodite arendamisse, kirjeldava geomeetria teooriasse ja praktikasse.

1. Polüheedri mõisted

Stereomeetrias uuritakse kujundeid ruumis, nn kehad . Visuaalselt tuleb (geomeetrilist) keha ette kujutada kui ruumiosa, mille hõivab füüsiline keha ja mida piirab pind.

Polüheder - see on keha, mille pind koosneb mitmest lamedast hulknurgast. Hulktahukaks nimetatakse kumer , kui see asub oma pinnal oleva iga tasapinnalise hulknurga tasapinna ühel küljel. Sellise tasandi ja kumera hulktahuka pinna ühisosa nimetatakse serv . Kumera polütoobi tahud on lamedad kumerad hulknurgad. Nägude külgi nimetataksehulktahuka servad, ja tipud hulktahuka tipud.

Ristlõige hulktahukas, tasapind on geomeetriline kujund, mis on kõigi ruumipunktide kogum, mis üheaegselt kuuluvad antud hulktahukasse ja tasandisse; tasapinda nimetatakse sekanttasandiks.

Hulktahuka pind koosneb lamedate hulknurkade servadest, segmentidest ja tahkudest. Kuna joon ja tasapind ristuvad punktis ning kaks tasapinda ristuvad piki sirget, on hulktahuka läbilõige tasapinnagatasane hulknurk; selle hulknurga tipud on lõiketasandi lõikepunktid hulktahuka servadega ja küljed on segmendid, mida mööda lõiketasapind lõikub oma tahkudega. See tähendab, et tasandi α järgi antud hulktahuka soovitud lõike konstrueerimiseks piisab, kui konstrueerida selle lõikepunktid hulktahuka servadega. Seejärel ühendage need punktid järjestikku segmentidega, tõstes samal ajal pidevate joontega esile lõigu saadud hulknurga nähtavad ja katkendlikud nähtamatud küljed.

III. Mitmetahuliste lõikude konstrueerimise meetodid

Ehitusprobleemides kasutatakse polüeedrilõike meetodit stereomeetrias. See põhineb võimel ehitada hulktahuka ristlõige ja määrata sektsiooni tüüp.

Seda materjali iseloomustavad järgmised omadused:

• Lõikemeetodit kasutatakse ainult hulktahukate puhul, kuna gümnaasiumi õppekavas ei sisaldu mitmesuguseid keerulisi (kaldus) tüüpi pöördekehade lõike.
• Ülesannetes kasutatakse peamiselt lihtsamaid hulktahukaid.
• Ülesanded esitatakse valdavalt ilma numbriliste andmeteta, et luua võimalus nende mitmekordseks kasutamiseks.

Hulktahuka lõigu konstrueerimise ülesande lahendamiseks peab õpilane teadma:

• Mida tähendab hulktahuka lõigu konstrueerimine tasapinna järgi;
• Kuidas saab hulktahukas ja tasapind teineteise suhtes paikneda;
• Kuidas lennuk on seatud;
• Kui hulktahuka lõigu tasapinna järgi konstrueerimise ülesanne loetakse lahendatuks.

Kuna tasapind on määratletud:

• kolm punkti;
• Sirge ja täpp;
• kaks paralleelset joont;
• kaks ristuvat joont,

Lõiketasandi ehitamine toimub sõltuvalt selle tasandi määramisest. Seetõttu võib kõik polühedra lõikude konstrueerimise meetodid jagada meetoditeks.

3.1 Mitmetahuliste lõikude konstrueerimine stereomeetria aksioomide süsteemi alusel

1. ülesanne . Koostage püramiidi RABC lõige tasapinnaga α = (MKH), kus M, K ja H on vastavalt ribide PC, RV ja AB sisepunktid (joonis 1, a).

Lahendus.

1. samm . Punktid M ja K asuvad mõlemal tasapinnal α ja PBC. Seetõttu lõikub tasapind α kahe tasandi lõikepunkti aksioomi järgi tasandiga RVS piki sirget MK. Järelikult on segment MK soovitud sektsiooni üks külgedest (joonis 1, b).

2. samm . Samamoodi on KN-segment soovitud sektsiooni teine ​​pool (joonis 1, c).

3. samm . Punktid M ja H ei asu samaaegselt püramiidi RABC üheski küljes, mistõttu segment MH ei ole selle püramiidi lõigu külg. Sirged jooned KH ja RA asuvad ABP näo tasapinnal ja ristuvad. Konstrueerime punkti T= KN ∩AR (joonis 1d).

Kuna sirge KN asub tasapinnal α, asub ka punkt T tasapinnal α. Nüüd näeme, et tasapindadel α ja APC on ühised punktid M ja T. Seetõttu ristuvad kahe tasandi lõikepunkti aksioomi järgi tasapind α ja tasand APC piki sirget MT, mis omakorda lõikub serv AC punktis R (joon. 1, e).

4. samm . Nüüd, täpselt nagu punktis 1, tuvastame, et tasapind α lõikab tahke ACP ja ABC piki vastavalt segmente MR ja HR. Seetõttu on soovitud sektsioon nelinurk MKHR (joonis 1, f).

Riis. 2

2. ülesanne. Koostage püramiidi MABCD lõik tasapinnaga α = (PRC), kus K, H ja P on vastavalt servade MA, MB ja MD sisepunktid (joonis 2, a).

Lahendus. Esimesed kaks sammu on samad, mis eelmise ülesande sammud 1 ja 2. Selle tulemusena saame soovitud sektsiooni küljed KR ja KH (joonis 2, b). Ehitame hulknurga ülejäänud tipud ja küljed – lõigud.

3. samm . Jätkame lõiku KR, kuni see lõikub sirgega AD punktis F (joonis 2, c). Kuna sirge KP asub lõiketasandil α, on punkt F= KP ∩ AD = KP ∩ (ABC) tasandite α ja ABC ühine.

4. samm . Jätkame lõiku KH, kuni see lõikub sirgjoonega AB punktis L (joonis 2, d). Kuna sirge KN asub lõiketasandil α, siis punkt L = KN ∩ AB = KN ∩ (ABC) on tasandite α ja ABC jaoks ühine.

Sellel viisil , punktid F ja L on tasandite α ja ABC jaoks ühised. See tähendab, et tasapind α lõikab püramiidi aluse tasandit ABC piki sirget FL.

5. samm . Joonistame sirge FL. See joon lõikab vastavalt servi BC ja DC punktides R ja T (joonis 2e), mis toimivad vajaliku lõigu tippudena. See tähendab, et tasapind α lõikab aluse ABCD tahku piki segmenti RT – soovitud lõigu külge.

6. samm . Nüüd joonistame segmendid RH ja PT (joonis 2, f), mida mööda tasapind α lõikub selle püramiidi BMC ja MCD tahkudega. Saame viisnurga PKHRT - püramiidi MABCD soovitud lõigu (joonis 2, f).

Vaatleme keerulisemat probleemi.

3. ülesanne . Koostage viisnurkse püramiidi PABCDE lõik tasapinnaga α = (KQR), kus K, Q on vastavalt servade PA ja PC sisemised punktid ning punkt R asub pinna DPE sees (joonis 3, a) .

Lahendus . Sirged (QK ja AC asuvad samal tasapinnal ASR (vastavalt sirge ja tasandi aksioomile) ja ristuvad mingis punktis T1, (joon. 3 b), samas kui T1 є α, kuna QК є α.

Sirge PR lõikub punktiga DE mingis punktis F (joonis 3, c), mis on tasapinna AR ja püramiidi aluse külje DE lõikepunkt. Siis asuvad sirged KR ja AF samal tasapinnal AR ja lõikuvad mingis punktis T2 (joonis 3, d), samas kui T2 є α sirge KR є α punktina (vastavalt sirge ja joone aksioomile lennuk).

Saadud: sirge T1 T2 asub lõiketasandil α ja püramiidi aluse tasapinnal (vastavalt sirge ja tasandi aksioomile), samal ajal kui joon lõikab vastavalt püramiidi aluse ABCDE külgi DE ja AE , punktides M ja N (joonis 3, e), mis on püramiidi servadega DE ja AE tasandite α lõikepunktid ning toimivad soovitud lõigu tippudena.

Edasi , sirge MR asetseb näo DPE tasapinnal ja lõiketasandil α (vastavalt sirge ja tasandi aksioomile), lõikates servaga PD mingis punktis H - soovitud lõigu teine ​​tipp (joonis 1). 3, f).

Edasi, konstrueerime punkti Т3 - Т1Т2 ∩ AB (joonis 3, g), mis nagu sirge punkt Т1Т2 є α asub tasapinnal a (vastavalt sirge ja tasandi aksioomile). Nüüd sisaldab näo RAB tasapind kahte lõiketasandi α punkti T3 ja K, mis tähendab, et sirge T3K on nende tasandite lõikejoon. Sirge Т3К lõikub servaga РВ punktis L (joonis 3, h), mis toimib vajaliku lõigu järgmise tipuna.

Riis. 3

Seega on soovitud sektsiooni koostamise järjestuse "ahel" järgmine:

üks . Т1 = QK ∩AC;

2. F = PR ∩ DE;

3. Т2 = KR ∩ AF;

4 . M = T1T2 ∩ DE;

5 . N = T1T2 ∩ AE;

6. H = MR ∩ PD;

7. T3 = T1T2 ∩ AB;

kaheksa . L = T3K ∩ PB.

Kuusnurk MNKLQH - soovitud sektsioon.

Püramiidi lõige joonisel fig. 1 ja kuubi osa joonisel fig. 2 on üles ehitatud ainult stereomeetria aksioomide alusel.

Samal ajal saab paralleelsete tasandite omadusi kasutades konstrueerida paralleelsete tahkudega (prisma, rööptahu, kuup) osa polüeedrist.

3.2 Jäljemeetod hulktahukate tasapindade konstrueerimisel

Sirget, mida mööda lõiketasand α lõikub hulktahuka aluse tasandiga, nimetatakse tasandi α jäljeks selle aluse tasapinnal.

Jälje definitsioonist saame: igas selle punktis lõikuvad sirged, millest üks asub risttasapinnal, teine ​​aluse tasapinnal. Just seda jälje omadust kasutatakse polüeedri tasapinnaliste lõikude ehitamisel jäljemeetodil. Pealegi on lõiketasandil mugav kasutada selliseid sirgeid jooni, mis ristuvad hulktahuka servadega.

Esmalt määratleme lõiketasandi selle jälje järgi prisma aluse (püramiidi) ja prisma pinna (püramiidi) pinnale kuuluva punkti tasandis.

1. ülesanne . Konstrueerida prisma ABCBEA1B1C1D1E1 lõige tasapinnaga α, mille annab prisma aluse tasapinnal ABC olev jälg l ja servale DD1 kuuluv punkt M.

Lahendus. Analüüs . Oletame, et viisnurk MNPQR on soovitud lõige (joonis 4). Selle tasapinnalise viisnurga konstrueerimiseks piisab, kui konstrueerida selle tipud N, P, Q, R (punkt M on antud) - lõiketasandi α lõikepunktid antud prisma servadega CC1, BB1, AA1, EE1. , vastavalt.

E1 D1

Punkti N =α ∩ CC1 konstrueerimiseks piisab, kui konstrueerida lõiketasandi α lõikejoon külje CDD1C1 tasapinnaga. Selleks omakorda piisab, kui konstrueerida selle tahu tasapinnale veel üks lõiketasandisse α kuuluv punkt. Kuidas sellist punkti ehitada?

Kuna sirge l asub prisma aluse tasapinnal, saab ta ristuda CDD1C1 tahu tasapinnaga ainult punktis, mis kuulub sirgele CD = (CDD1) ∩ (ABC), s.o. punkt X = l ∩ CD = l ∩ (CDD1) kuulub lõiketasandile α. Seega, punkti N = α ∩ CC1 konstrueerimiseks piisab punkti X = l ∩ CD konstrueerimisest.

Samamoodi, et konstrueerida punktid P= α ∩ BB1, Q = α ∩ AA1 ja R = α ∩ EE1, piisab punktide Y = l ∩ BC, Z = 1 ∩ AB ja T = 1 ∩ AE konstrueerimisest, vastavalt.

Hoone . Ehitame (joon. 5):

1. X = l ∩ CD (joonis 5b);

2. N = МХ ∩ СС1 (joon. 5, c);

3. Y = l ∩ BC (joonis 5d);

4. P = NY ∩ BB1 (joonis 5e);

5. Z = 1 ∩ AB (joon. 5, f);

6. Q= PZ ∩ AA1 (joon. 5, g);

7. T= l ∩ AE (joon. 5, h);

8. R= QT ∩ EE1 (joonis 5i).

Viisnurk MNPQR on soovitud lõige (joonis 5, j).

Tõestus. Kuna sirge l on lõiketasandi α jälg, siis punktid X = l ∩ CD, Y = l ∩ BC, Z = 1 ∩ AB ja T= l ∩ AE kuuluvad sellele tasapinnale.

Seetõttu on meil:

M Є α, X Є α => МХ є α, siis МХ ∩ СС1 = N є α, seega N = α ∩ СС1;

N Є α, Y Є α => NY Є α, siis NY ∩ BB1= P Є α, seega P = α ∩ BB1;

Р Є α, Z Є α => РZ Є α, siis PZ ∩ AA1 = Q Є α, seega Q = α ∩ AA1;

Q Є α, T Є α => QТ Є α, siis QТ ∩ EE1 =R Є α, seega R = α ∩ EE1.

Seetõttu on MNPQR vajalik jaotis.

Uuring. Lõiketasandi α jälg l ei ristu prisma alusega ning pöördetasandi punkt M kuulub prisma külgserva DD1. Seetõttu ei ole lõiketasand α paralleelne külgmiste servadega. Seetõttu on selle tasandi ja prisma külgservade (või nende servade pikenduste) lõikepunktid N, P, Q ja R alati olemas. Ja kuna lisaks ei kuulu punkt M jälge l, siis on nende poolt defineeritud tasand α kordumatu. See tähendab, et probleemil on (alati) ainulaadne lahendus.

3.3 Sisemine projekteerimismeetod hulktahukate tasapinnaliste lõikude konstrueerimisel

Mõnes õpikus nimetatakse polühedra lõikude konstrueerimise meetodit, mida me nüüd käsitleme, sisekujundusmeetodiks või vastavuse meetodiks või diagonaallõigete meetodiks.

1. ülesanne . Koostage püramiidi PABCDE lõik tasapinnaga α = (MFR), kui punktid M, F ja R on vastavalt servade PA, PC ja PE sisepunktid. (Joonis 6)

Lahendus . Püramiidi aluse tasandit tähistame tähega β. Soovitud lõigu konstrueerimiseks konstrueerime lõiketasandi α lõikepunktid püramiidi servadega.

Konstrueerime lõiketasandi lõikepunkti antud püramiidi servaga РD.

Tasapinnad APD ja CPE lõikuvad tasapinnaga β vastavalt sirgeid AD ja CE, mis lõikuvad mingis punktis K. Sirge PK = (APD) ∩ (CPE) lõikub sirgega FR є α mingis punktis K1: K1 = PK ∩ FR, selle K1 є α. Siis: M є α, K1 є α => sirge MK є a. Seetõttu on punkt Q = MK1 ∩ PD serva PD ja lõiketasandi lõikepunkt: Q = α ∩ PD. Punkt Q on soovitud lõigu tipp. Samamoodi konstrueerime tasandi α ja serva РВ lõikepunkti. Tasapinnad BPE ja APD lõikuvad tasapinnaga β vastavalt sirgetel BE ja AD, mis lõikuvad punktis H. Sirge PH = (BPE) ∩ (APD) lõikub sirgega MQ punktis H1 Siis ristub sirge RN1 serv PB punktis N = α ∩ PB - lõigu ülaosa.

Sellel viisil , on soovitud jaotise koostamise sammude jada järgmine:

üks . K = AD ∩ EC; 2. K1 = RK ∩ RF;

3. Q = MK1 ∩ PD; 4. H = BE ∩ AD;

5 . H1 = PH ∩ MQ; 6. N = RН1 ∩ РВ.

Viisnurk MNFQR on nõutav lõik.

3.4 Kombineeritud meetod hulktahukate tasapindade konstrueerimisel

Mitmetahuliste lõikude koostamise kombineeritud meetodi olemus on järgmine. Lõigu koostamise mõnes etapis kasutatakse kas jälgede või sisekujunduse meetodit ning sama lõigu koostamise teistes etappides uuritud teoreeme paralleelsuse, sirgete ja tasandite perpendikulaarsuse kohta.

Selle meetodi rakendamise illustreerimiseks kaaluge järgmist probleemi.

Ülesanne1.

Koostage rööptahuka ABCDА1В1С1D1 lõik punktide P, Q ja R antud tasapinnaga α, kui punkt P asub diagonaalil A1C1, punkt Q asub serval BB1 ja punkt R serval DD1. (Joonis 7)

Lahendus

Selle ülesande lahendame jälgimismeetodi ning sirgete ja tasandite paralleelsuse teoreemide abil.

Kõigepealt konstrueerime tasapinnal ABC lõiketasandi α = (PQR) jälje, selleks konstrueerime punktid T1 = PQ ∩ P1B (kus PP1 ║AA1,P1є AC) ja T2 = RQ ∩ BD . Olles koostanud jälje T1T2, märkame, et punkt P asub tasapinnal A1B1C1, mis on paralleelne tasapinnaga ABC. See tähendab, et tasapind α lõikub tasapinnaga A1B1C1 mööda sirget, mis läbib punkti P ja on paralleelne sirgjoonega T1T2. Joonistage see sirge ja tähistage M ja E selle lõikepunktid servadega A1B1 ja A1D1. Saame: M = α ∩ A1B1, E = α ∩ A1D1. Siis on segmendid ER ja QM vajaliku sektsiooni küljed.

Lisaks, kuna tasand BCC1 on paralleelne näo ADD1A1 tasapinnaga, lõikub tasand α tahkuga BCC1B1 piki joont QF (F= α ∩ CC1), mis on paralleelne sirgega ER. Seega on viisnurk ERFQM vajalik osa. (Punkti F saab RF║ MQ abil)

Lahendame selle ülesande sisekujundusmeetodi ning sirgete ja tasandite paralleelsuse teoreemide abil.(Joonis 8)

Riis. kaheksa

Olgu H=AC ∩ BD. Tõmmates sirge HH1 paralleelselt servaga BB1 (H1 є RQ), konstrueerime punkti F: F=РН1 ∩ CC1. Punkt F on tasandi α lõikepunkt servaga CC1, kuna РН1 є α . Siis on segmendid RF ja QF, mida mööda tasapind α lõikub, selle rööptahuka tahkudega CC1D1D ja BCC1B1, selle vajaliku lõigu külgedeks.

Kuna tasand ABB1 on paralleelne tasapinnaga CDD1, on tasandi α ja näo ABB1A1 lõikepunkt lõiguga FR paralleelne lõik QM (M Є A1B1); segment QM - sektsiooni pool. Lisaks on punkt E = MP ∩ A1D1 tasandi α ja serva A1D1 lõikepunkt, kuna MP є α. Seetõttu on punkt E soovitud lõigu teine ​​tipp. Seega on viisnurk ERFQM vajalik osa. (Punkti E saab konstrueerida, tõmmates joone RE ║ FQ. Siis M = PE ∩ A1B1).

IV. Järeldus

Tänu sellele tööle võtsin kokku ja süstematiseerisin tänavusel geomeetriakursusel saadud teadmised, tutvusin loovtöö tegemise reeglitega, sain uusi teadmisi ja rakendasin neid praktikas.

Sooviksin oma äsja omandatud teadmisi sagedamini praktikas kasutada.

Kahjuks ei ole ma kaalunud kõiki hulktahukate lõikude konstrueerimise meetodeid. Erijuhtumeid on palju rohkem:

• hulktahuka lõigu konstrueerimine antud punkti läbiva tasapinnaga paralleelselt antud tasandiga;
• antud sirget läbiva lõigu ehitamine paralleelselt teise etteantud sirgega;
• etteantud punkti läbiva lõigu ehitamine paralleelselt kahe etteantud ristuva sirgega;
• hulktahuka lõigu ehitamine tasapinnaga, mis läbib antud sirget, mis on antud tasandiga risti;
• hulktahuka lõigu ehitamine antud punkti läbiva tasapinna järgi, mis on risti antud sirgega jne.

Tulevikus kavatsen oma uurimistööd laiendada ja täiendada oma tööd eelnimetatud konkreetsete juhtumite analüüsiga.

Usun, et minu töö on asjakohane, kuna seda saavad kasutada kesk- ja gümnaasiumiõpilased matemaatika eksamiks valmistumisel, valikmaterjali süvendatud õppimisel ja noorte õpetajate eneseharimisel. Keskkoolilõpetajad ei peaks mitte ainult valdama kooliprogrammide materjali, vaid oskama seda ka loovalt rakendada, leidma lahenduse mis tahes probleemile.

V. Kirjandus

1. Potoskuev E.V., Zvavich L.I. Geomeetria. 10. klass: matemaatika süva- ja profiiliõppega õpik üldharidusasutustele. - M.: Bustard, 2008.
2. Potoskuev E.V., Zvavich L.I. Geomeetria. 10. klass: matemaatika süva- ja profiiliõppega ülesanderaamat õppeasutustele. - M.: Bustard, 2008.
3. Potoskuev E.V. Ruumikujude kujutis tasapinnal. Polüheedri sektsioonide ehitamine. Õpik Pedagoogikaülikooli füüsika-matemaatikateaduskonna üliõpilastele. - Toljatti: TSU, 2004.
4. Teaduslik ja praktiline ajakiri gümnasistidele "Matemaatika koolilastele", 2009, nr 2 / nr 3,1-64.
5. Geomeetria tabelites - Õpik gümnaasiumiõpilastele - Nelin E.P.
6. Geomeetria, klass 7-11, Teatmematerjalid, Bezrukova G.K., Litvinenko V.N., 2008.
7. Matemaatika, teatmik, keskkooliõpilastele ja ülikoolidesse astujatele, Ryvkin A.A., Ryvkin A.Z., 2003.
8. Algebra ja geomeetria tabelites ja diagrammides, Roganin A.N., Dergachev V.A., 2006.

Selle meetodi puhul on esimene samm (pärast nende punktide sekundaarsete projektsioonide leidmist) lõiketasandi jälje loomine prisma või tüvipüramiidi ülemise või alumise aluse tasapinnale või püramiidi alusele.

Tagakülg 2. Antud on kolmnurkse prisma kujutis ABCA 1 B 1 C 1 ja kolm punktiM, N, P, mis asuvad vastavalt serval CC 1 ja näod ABB 1 A 1 , BCC 1 B 1 . Prisma lõigu konstrueerimine tasapinna järgi, läbib M, N, P.

Lahendus. Meil on juba üks punkt prisma ülemisel alusel, seega rajame jälje ülemisele alusele. Ehitame punktide teisesed projektsioonid N ja P ülemisele alusele. Seejärel: 1 .NPN 3 P 3 =X; 2 .MX=lk-rada; 3 .lkB 1 C 1 =D.

Edasised sammud on juba ülaltoodud joonisel näidatud.

Tagakülg 3. dets. Prisma alumisele alusele ehitame lõiketasapinna jälje.

Hoone:1. MNED=X, MPEP 3 =Y;

2. lk=XY- jälg; 3. lkBC=G, lkDC=H.

Peame leidma serval punkti BB 1 või serval AA 1 .

V tahke ABB 1 A 1 meil on juba üks punkt P. Seetõttu on selle näo alumine serv, s.o. AB, jätkame kuni ristumiskohani jäljega.

4. ABlk=Z.

5. PZAA 1 =F; PZBB 1 =K.Edasised toimingud on juba näidatud ülal.

Kui selgub, et joon AB ei ristu jäljega, siis soovitud FK on ka paralleelne. Tagakülg 4. dets. 1. PNP o N o= X;

2. MNCN o= Y;3. lk=XY- jälg;

3. CBlk=Z;4. ZMSB=E;

5. ENSA=G 6. GEMF- sektsiooni nõue.

17. Silindri sektsiooni ehitus.

Kui lõiketasand on antud kolme punktiga, siis leiame selle jälje alati silindri või koonuse aluse tasapinnalt ja punkti ( P, O) oma teljel. Seetõttu arvame, et lõiketasapinna annavad need elemendid.

KOOS võistluse algus on juhtum, kui tasapind lõikub ainult silindri külgpinnaga. Siis on silindri lõik ellipsiks (;¯ ja selle kujutis on samuti ellips. Teame, kuidas ellipsi konstrueerida, kui on teada selle kaks konjugeeritud diameetrit. Nüüd näitame, kuidas leida põhiläbimõõtude kujutist ellipsist (;¯.

Olgu  ja  1 ellipsid, mis tähistavad silindri alumist ja ülemist põhja, O ja O 1 - nende keskused. Joonistame läbimõõdu A 3 B 3 alumine alus, paralleelne jälje ja selle konjugaadi läbimõõduga C 3 D 3. Ehitamiseks C 3 D 3 kasutame akordi K 3 L 3 , mille üks ots kuulub kontuurigeneraatorisse. Tuletage seda meelde A 3 B 3 ja C 3 D 3 kujutavad risti läbimõõtu. Jätkame C 3 D 3 ristmikuni jäljega. Saagem asjast aru X. Otse PX nimetage seda lõigu teljeks.

Tõstame punkte C 3 ja D 3 lõigu teljele. Hangi C ja D. jaotis CD on suure läbimõõduga sektsiooni pilt. Tõstame segmenti A 3 B 3 kõrgusele OP. Saame segmendi AB, mis on väikese läbimõõduga sektsiooni kujutis. Negatiivne AB ja CD – paaritusdia. ellips .

H leida rohkem punkte, kus ellips läheb silindri nähtavalt küljelt nähtamatuks, mis tähendab, et pidev joon muutub punktiirjooneks. Need on lõiketasandi ja kontuurigeneraatorite lõikepunktid. Lase Y 3 =K 3 L 3 C 3 D 3. Tõstame Y 3 lõigu teljele. Teeme punkti Y. Tõstame akordi K 3 L 3 kõrgusele YY 3. Saame segmendi KL. Leidsime vajaliku punkti K, ja teel veel üks lisapunkt L. Punkt M, mis kujutab lõiketasandi ja teise kontuuri generaatori lõikepunkti, on punkti suhtes sümmeetriline K punkti suhtes P.Lisaks konstrueerime punkti N, sümmeetriline L seos-punktid P

Näitame viisi, kuidas leiate lõigul suvalise arvu punkte ilma neid diameetreid kasutamata.

vali ükskõik milline. punkt V 3 ellipsil . Me kanname läbimõõtu V 3 T 3 ja jätkake seda kuni ristumiskohani jäljega Saame punkti U. Tõstame punkte V 3 ja T 3 sirgeks U.P.. Saame kaks punkti V ja T lõigul. Selle asemel valides V 3 punkti, saame iga lõigu kohta veel 2 punkti. Kui valite punkti K 3 lamades kontuuri generatrix, leiame punktid K ja M, milles lõigul olev pidev joon peaks muutuma katkendlikuks.

Sektsioonide lõikamine

Sektsioon - kujund kujundist, mis saadakse objekti vaimsel lahkamisel tasapinnaga. Lõik näitab ainult seda, mis asub otse lõiketasandil.

Sektsioonid, mis ei ole sektsiooni osad, jagunevad: renderdatud (joonis 27) ja üksteise peale asetatud (joonis 28).

Eelistatakse kaugeid sektsioone ja neid saab asetada sama tüüpi osade vahele (joonis 29).

Eemaldatud lõigu kontuur ja ka osa, mis on osa osa, on kujutatud pidevate põhijoontena ja üksteise peale asetatud lõigu kontuur on kujutatud pidevate õhukeste joontena ja kujutise kontuur katva asukohas. sektsioon ei katke (joonis 28).

Laiendatud või üksteise peale asetatud lõigu sümmeetriatelg (joonis 28) on tähistatud õhukese kriipsjoonega ilma tähtede ja noolteta.

ja lõikejoont ei joonista.

V juhtudel, nagu on näidatud joonisel fig. 29, sümmeetrilise lõikejoonise korral lõikejoont ei tõmmata.

Kõigil muudel juhtudel kasutatakse lõikerea jaoks avatud joont nooltega, mis näitavad vaate suunda ja tähistavad seda samade vene tähestiku suurtähtedega. Jaotisele on lisatud tüüp "A - A" (joonis 27).

Asümmeetriliste lõikude puhul, mis asuvad pilus või üksteise peal (joonis 30), on lõikejoon tõmmatud nooltega, kuid seda ei tähistata tähtedega. Kui lõiketasand läbib auku või süvendit piirava pöördepinna telge, siis on lõikes oleva ava või süvendi kontuur näidatud täismahus (joonis 31).

Tähelepanulaiendid

Viiktekst- täiendav eraldi pilt (tavaliselt suurendatud) mis tahes objekti osast, mis vajab graafilisi ja muid selgitusi kuju, suuruse ja muude andmete kohta.

Vaade võib sisaldada detaile, mida vastaval pildil ei kuvata, ja võib sellest sisult erineda (näiteks pilt võib olla vaade, vaade aga lõige).

Kaugelemendi kasutamisel märgitakse vastav koht vaatele, lõikele või lõigule kinnise pideva peenikese joonega - ring, ovaal vms. välise elemendi tähistusega vene tähestiku suurtähtedega juhtrea riiulil. Kaugelemendi kujutise kohal märkige tähistus ja skaala, milles see on tehtud

Kaugelement asetatakse joonisele võimalikult lähedale vastavale kohale objekti kujutisel.

Aksonomeetrilise projektsiooni koostamine

Aksonomeetrias tehakse tavaliselt ¼ osa osast lõige, samas kui lõige ei korda alati ortogonaalsel kujutisel tehtud lõiget. Lõiketasapindade poolt moodustatud nurk tuleb avada.

Joonisel fig. 34 - 37 on näidatud detaili isomeetrilise faasi etapiviisiline rakendamine

¼ osa väljalõige. Konstruktsioonide mugavuse huvides eeldame, et detaili alumine tasapind langeb kokku projektsioonide horisontaaltasandiga ja z-telg langeb kokku kooniliste ja silindriliste pindade teljega.

Riis. 34 Joon. 35

Riis. 36 Joon. 37

Ülesannet alustame aksonomeetriliste telgede konstrueerimisega ja detaili lõikamisel saadud lamedate kujundite kontuuriga detaili sümmeetriatelgedele tõmmatud vertikaaltasapindadega (joonis 34).

Märgistame kärbikoonuse ja silindrite ringide keskpunktid - punktid O1, O2, O3, O4 ja koostame isomeetrilised projektsioonid nendest ringide osadest, mis jäid peale lõike tegemist (joonis 35). Lõpetame detaili ristkülikukujuliste piirjoonte ehitust (joon. 36). Pärast detaili vertikaaltasapindade lõikes tekkivate lamedate kujundite viirutamist (joonistades viirutusjooned paralleelselt joonisel näidatud suundadega), joonistame detaili kontuuri (joonis 37).

Kaldlõike ehitus

Kaldlõige saadakse objekti lõikumisest tasapinnaga, mis moodustab horisontaalse projektsioonitasandiga erineva nurga kui täisnurga.

Joonisel tehakse kaldlõiked vastavalt pikendatud sektsioonide tüübile ja vastavalt lõikejoonel nooltega näidatud suunale. Lõigu ehitamisel ei ole vaja rangelt jälgida projektsiooniühendust kujutise, kus on antud lõiketasandi jälg, ja lõigu figuuri vahel. Lõikekuju saab paigutada joonistusväljal mis tahes sobivasse kohta, joon. 38, b, c. Sellisel juhul, kui lõigu suund joonisel ei vasta lõikejoone joontel olevate nooltega näidatud vaatesuunale, tuleb lõigu tähistusele lisada pööratud märk, joon. 38, c.

Eelmistes ülesannetes osutus teooria tundmine meile lõigu koostamiseks piisavaks. Mõelgem veel ühele probleemile. Ülesanne 1. Koostage punkti M läbiv tetraeedri lõik, mis on paralleelne tasapinnaga ABD. M Üks punkt ei aita meid kuidagi, kuid probleemis on lisatingimus: lõik peab olema paralleelne ABD tasapinnaga. Mida see meile annab? 1. Tasapinnad ADB ja DBC lõikuvad piki sirget DB, mistõttu ADB-ga paralleelne lõik lõikub DBC-ga piki (Kui kaks DB-ga paralleelse sirgega paralleelset tasapinda lõikub kolmandikuga, siis lõikejooned on paralleelsed) M Punkt M kuulub näo DBC-sse. Tõmbame läbi selle N sirge MK paralleelselt DB-ga. 2. Sarnaselt: (ADB) (ABC)=AB, K seega lõik lõikub (ABC) sirgjoonega, mis on paralleelne AB-ga. K (ABC). Tasapinnal ABC asuva punkti K kaudu tõmmatakse AB-ga paralleelne sirge KN. M N K N (ADC), M (ADC), seega MN (ADC) (ja lõiketasandid). Teeme NM. MKN on vajalik jaotis. Niisiis: MN 1. Konstruktsioon: 1. Tasapinnas (DBC) MK // DB, MK BC = K. 2. Tasapinnas (ABC) KN // AB, KN AC = N. 3. MN Tõestame, et MKN on soovitud lõik K 2. Tõestus. 1. Lõige läbib punkti M 2. N (ADC), M (ADC) => NM (ADC) 3. MK // DB, NK // AB konstruktsiooni järgi, seega (NMK) // (ABD) poolt tunnusjoon. Seetõttu on MKN must-valge soovitud ristlõige. Ülesanne 2. Koostage rööptahuka ABCDA1B1C1D1 lõik, mis läbib serva D1C1 keskpunkti ja punkti D, paralleelne sirgega a. B1 C1 Arutluskäik. M A1 D1 B A C D M on D1C1 keskmine. 2. Punktid M ja D asuvad B1 C1 M A1 A, nii et neid saab ühendada. D1 B C D samas tasapinnas DD1C1, Rohkem pole midagi ühendada. 3. Kasutame lisatingimust: lõiketasand peab olema paralleelne sirgjoonega a. B1 C1 M A1 B C S A Selleks peab see sisaldama sirgega a paralleelset sirget. Lihtsaim viis on tõmmata selline sirge tasapinnas ABC, sest see sisaldab lõiku kuuluvat sirget a ja punkti D. D Joonestage tasapinnal ABC läbi punkti D paralleelselt sirgega a sirge DS. DS AB = S. 4. Sest (ABC) // (A1B1C1), joonistage tasapinnale (A1B1C1), läbi punkti M, sirge MP // SD. MP B1C1 = P 5. (DD1C1) // (AA1B1), siis tasandi (AA1B1) P B C-s saab läbi punkti S tõmmata sirge M N A D SN paralleelselt DM-ga. SN BB1 = N 1 1 1 1 B C S A D 6. Punktid N ja P asuvad tasapinnal (A1B1C1). Ühendame need. SNPMD - soovitud jaotis. Niisiis: 1. Ehitus. 1. MD B1 A1 N P C1 S A M 3. In (A1B1C1), läbi punkti M, MP // DS, MP B1C1 = P C 4. Tasapinnal (AA1B1), läbi punkti S, SN // DM, SN BB1 = N 5. NP D1 BD 2. In (ABC), läbi punkti D, DS // a, DS AB = S Tõestame et SNPMD on nõutav jaotis. 2. Tõestus. B1 A1 N 1. Lõige läbib punkti D ja serva D1C1 keskpunkti - konstruktsiooni järgi punkti M. P C1 M C S A 3. PM // SD, P B1C1 ehituse järgi D1 B D 2. DS // a, (S AB) ehituse järgi, seega (KNP) // a tunnuse järgi. 4. SN // DM, N BB1 ehituse järgi 5. P (BB1C1), N (BB1C1) => PN (BB1C1). Seetõttu on SNPMD musta kasti soovitud ristlõige. Ülesanne 3. Koostage rööptahuka lõik, mis on paralleelne punktiga B1A ja läbib punkte M ja N. Põhjendus. 1. Ühendage M ja N (need asuvad tasapinnal (C1A1B1)). B1 N M A1 D1 B A C1 C D Midagi muud pole ühendada. Kasutame lisatingimust: lõiketasand peab olema paralleelne sirgega B1A 2. Selleks, et lõiketasand oleks paralleelne joonega AB1, peab see sisaldama joont, mis on paralleelne AB1-ga (või DC1-ga, kuna DC // AB1 omadusega rööptahukas). Sellist sirgjoont on kõige mugavam kujutada näos DD1C1C, kuna (DD1C1) // (AA1B1) ja AB1 (AA1B1). Joonistage tasapinnale (DD1C1) sirge NK // AB1, NK DD1 = K. B1 N M A1 D1 B 3. Nüüd on tasapinnal AA1D1 kaks punkti M ja K, mis kuuluvad lõiku. Ühendame need. C K A C1 D MNK on vajalik lõik. Niisiis: 1. Ehitus. 1. MN 2. Tasapinnas (DD1C1) NK // AB1, NK DD1 = K. . B1 N A1 A M D1 C1 3. MK Tõesta, et MNK on soovitud lõik 2. Tõestus. B C 1. Lõik läbib punkte M ja N. K 2. M (A1B1C1), N (A1B1C1) => D MN (A1B1C1). 3. M (ADD1), K (ADD1) => MK (ADD1). 4. Sest NK // AB1 konstruktsiooni järgi, siis (MNK) // AB1 sirge ja tasandi paralleelsuse kriteeriumi järgi. Seetõttu on MNK musta kasti soovitud ristlõige. Ülesanne 3. 1. Koostage tetraeedris DABC lõik tasapinnaga, mis läbib serva DC keskpunkti, tippu B ja paralleelselt sirgega AC. 2. Koostage rööptahuka lõik tasapinnaga, mis läbib serva B1C1 keskpunkti ja serval CD paiknevat punkti K, paralleelselt sirgega BD, kui DK: KC = 1: 3. M 3. Konstrueerige lõik. tetraeedri tasandiga, mis läbib punkte M ja C paralleelset sirget a (joonis 1). Joon.1 4. Rööptahukas ABCDA1B1C1D1 kuulub punkt E servale CD. Koostage rööptahuka lõik seda punkti läbiva ja tasandiga BC1D paralleelse tasapinnaga. 5. Koostage rööptahuka lõik AA1 läbiva tasapinnaga, mis on paralleelne MN-ga, kus M on AB keskpunkt, N on BC keskpunkt. 6. Koostage rööptahuka lõik tasapinnaga AA1C1 paralleelse serva B1C1 keskpunkti läbiva tasapinnaga.