Tunni eesmärgid

Kinnitada õpilaste teadmisi ristküliku teemal;
Jätkata õpilastele ristküliku definitsioonide ja omaduste tutvustamist;
Õpetada kooliõpilasi kasutama antud teemal omandatud teadmisi ülesannete lahendamisel;
Arendada huvi matemaatika, tähelepanu, loogilise mõtlemise vastu;
Kasvatage enesevaatluse ja distsipliini võimet.

Tunni eesmärgid

Korrata ja kinnistada kooliõpilaste teadmisi sellisest mõistest nagu ristkülik, lähtudes eelmistes tundides omandatud teadmistest;
Jätkata kooliõpilaste teadmiste täiendamist ristkülikute omaduste ja tunnuste kohta;
Jätkata oskuste arendamist ülesannete lahendamise protsessis;
Tekitada huvi matemaatikatundide vastu;
Kasvatada huvi täppisteaduste vastu ja positiivset suhtumist matemaatikatundi.

Tunniplaan

1. Teoreetiline osa, üldinfo, definitsioonid.
2. Teema "Ristkülikud" kordamine.
3. Ristküliku omadused.
4. Ristküliku märgid.
5. Huvitavaid fakte kolmnurkade elust.
6. Kuldne ristkülik, üldmõisted.
7. Küsimused ja ülesanded.

Mis on ristkülik

Eelmistes tundides oled juba õppinud ristkülikute teemasid. Nüüd värskendame oma mälu ja meenutame, mis kujuga see on, mida nimetatakse ristkülikuks.

Ristkülik on rööpkülik, mille neli nurka on täisnurksed ja võrdne 90 kraadiga.

Ristkülik on selline geomeetriline kujund, mis koosneb neljast küljest ja neljast täisnurgast.

Ristküliku vastasküljed on alati võrdsed.

Kui võtta arvesse ristküliku määratlust Eukleidilise geomeetrias, siis selleks, et nelinurka saaks pidada ristkülikuks, on vajalik, et sellel geomeetrilisel joonisel oleks vähemalt kolm nurka täisnurksed. Sellest järeldub, et ka neljas nurk on üheksakümmend kraadi.

Kuigi on selge, et kui nelinurga nurkade summal ei ole 360 ​​kraadi, pole see arv ristkülik.

Kui tavalise ristküliku kõik küljed on üksteisega võrdsed, nimetatakse sellist ristkülikut ruuduks.

Mõnel juhul võib ruut toimida rombina, kui sellisel rombil on kõik täisnurgad, välja arvatud võrdsed küljed.

Mis tahes geomeetrilise kujundi seotuse tõestamiseks ristkülikus piisab, kui see geomeetriline kujund vastab vähemalt ühele järgmistest nõuetest:

1. selle joonise diagonaali ruut peab olema võrdne kahe ühise punktiga külje ruutude summaga;
2. geomeetrilise kujundi diagonaalid peavad olema ühepikkused;
3. geomeetrilise kujundi kõik nurgad peavad olema üheksakümmend kraadi.

Kui need tingimused vastavad vähemalt ühele nõudele, on teil ristkülik.

Ristkülik geomeetrias on peamine põhikuju, millel on palju alamliike, millel on oma erilised omadused ja omadused.

Harjutus: Nimetage geomeetrilised kujundid, mis on seotud ristkülikutega.

Ristkülik ja selle omadused

Tuletagem nüüd meelde ristküliku omadusi:

Ristküliku kõik diagonaalid on võrdsed;
Ristkülik on rööpkülik, mille vastasküljed on paralleelsed;
Ristküliku küljed on samuti selle kõrgused;
Ristkülikul on võrdsed vastasküljed ja nurgad;
Ringi saab piirata mis tahes ristküliku ümber, pealegi on ristküliku diagonaal võrdne piiritletud ringi läbimõõduga.
Ristküliku diagonaalid jagavad selle 2 võrdseks kolmnurgaks;
Pythagorase teoreemi järgi on ristküliku diagonaali ruut võrdne selle 2 mittevastandliku külje ruutude summaga;

Harjutus:

1. Ristkülikul on kaks võimalust, mille puhul saab selle jagada 2 võrdseks ristkülikuks. Joonistage vihikusse kaks ristkülikut ja jagage need nii, et saaksite 2 üksteisega võrdset ristkülikut.

2. Kirjeldage ristküliku ümber ringjoont, mille läbimõõt on võrdne ristküliku diagonaaliga.

3. Kas ristkülikusse saab kirjutada ringi nii, et see puudutab kõiki selle külgi, kuid tingimusel, et see ristkülik ei ole ruut?

Ristküliku omadused

Rööpkülik on ristkülik, kui:

1. kui sellel on vähemalt üks täisnurk;
2. kui selle kõik neli nurka on õiged;
3. kui vastasküljed on võrdsed;
4. kui vähemalt kolm nurka on õiged;
5. kui selle diagonaalid on võrdsed;
6. kui diagonaali ruut on võrdne mittevastaste külgede ruutude summaga.

Huvitav on teada

Kas teadsite, et kui joonistada nurgapoolitajad ristkülikusse, mille külgnevad küljed on ebaühtlased, siis nende lõikumisel saadakse ristkülik.

Aga kui ristküliku tõmmatud poolitaja lõikab selle ühte külge, siis lõikab see sellest ristkülikust ära võrdhaarse kolmnurga.

Kas teate, et juba enne seda, kui Malevitš maalis oma silmapaistva "Musta ruudu", 1882. aastal esitleti Pariisis näitusel Paul Bilo maali, mille lõuendil oli kujutatud musta ristkülikut omapärase nimega "Musta ruudu lahing". Neegrid tunnelis”.

Selline musta ristkülikuga idee inspireeris teisi kultuuritegelasi. Prantsuse humorist Alphonse Allais avaldas terve rea oma töid ja aja jooksul tekkis radikaalpunases ristkülikukujuline maastik nimega "Tomatite korjamine Punase mere rannikul apoplektiliste kardinalide poolt", millel samuti puudus pilt.

Harjutus

1. Nimetage omadus, mis on ristkülikule ainulaadne?
2. Mis vahe on suvalise rööpküliku ja ristküliku vahel?
3. Kas vastab tõele, et rööpkülik võib olla iga ristkülik? Kui jah, siis palun tõestage, miks?
4. Nimetage nelinurgad, mis on ristkülikud.
5. Sõnasta ristküliku omadused.

ajalooline fakt

Eukleidese ristkülik

Kas teadsite, et Eukleidese ristkülik, mida nimetatakse kuldseks lõikeks, oli pikka aega mis tahes religioosse tähtsusega ehitise jaoks, tollel ajal täiuslik ja proportsionaalne ehituse alus. Tema abiga ehitati enamus Vana-Kreeka renessansi- ja klassikaliste templite hooneid.

"Kuldseks" ristkülikuks nimetatakse tavaliselt sellist geomeetrilist ristkülikut, mille suurema ja väiksema külje suhe on võrdne kuldse lõikega.

Selle ristküliku külgede suhe oli 382:618 ehk umbes 19:31. Eukleidese ristkülik oli sel ajal kõigist geomeetrilistest kujunditest kõige otstarbekam, mugavam, ohutum ja korrapärasem ristkülik. Selle tunnuse tõttu on läbivalt kasutatud Eukleidese ristkülikut või selle lähendamist. Seda kasutati majades, maalides, mööblis, akendes, ustes ja isegi raamatutes.

Navaho indiaanlaste seas võrreldi ristkülikut naise kujuga, kuna seda peeti maja tavapäraseks standardvormiks, mis sümboliseerib seda maja omavat naist.

Õppeained > Matemaatika > Matemaatika 8. klass

Geograafia, bioloogia, keemia, algebra, geomeetria... Koolinoored peavad tegelema suure hulga informatsiooniga väga erinevatest teadustest. Siiski on teadmiste valdkondi, millest on üsna lihtne aru saada, olles tutvunud nende põhiseadustega. Geomeetria on üks neist. Selle teaduse kõigi peensuste tundmiseks peate kindlasti tutvuma selle põhitõdede, aksioomidega. Lõppude lõpuks, ilma geomeetria alusteta, ei kusagil.

Ristküliku definitsioon

Ristkülik on nelja täisnurgaga geomeetriline kujund. Määratlus on üsna lihtne, kuid te ei tohiks arvata, et õpilasel ei teki sellise teema õppimisega probleeme, kuna siin on mitmeid funktsioone. Ristküliku mõõtmed sõltuvad selle külgede pikkusest, mida kõige sagedamini tähistatakse ladina tähtedega a ja b.

Ristküliku omadused

• üksteise vastas asuvad küljed on võrdsed ja paralleelsed;
• joonise diagonaalid on võrdsed;
• diagonaalide lõikepunkt poolitab need;
• ristküliku saab jagada kaheks võrdseks

Ristküliku omadused

Ristkülikul on ainult kolm funktsiooni. Siin nad on:

• võrdsete diagonaalidega rööpkülik on ristkülik;
• ühe täisnurgaga rööpkülik on ristkülik;
• kolme täisnurgaga nelinurk on ristkülik.

Natuke huvitavam

Niisiis, mis on ristkülik, on nüüd selge, kuid millist rolli see geomeetrilistes ülesannetes ja praktilistes mõõtmistes mängib, tuleb veel välja selgitada. Nii et esiteks tuleb öelda, et see on kõige mugavam geomeetriline kujund, mille abil saate ala osadeks jagada nii avatud aladel kui ka siseruumides.

Mis on ristkülik? Nagu teate, on see nelinurk. Viimaseid on palju variante, mille hulgast võib nimetada trapetsi (ainult kaks külge on võrdsed), rööpkülikut (vastasküljed on paralleelsed), ruudu (kõik nurgad ja küljed on ühesugused), rombi (rööpkülik, võrdsed pooled) ja teised. Ristküliku erijuhtum on ruut, mille kõik nurgad on täisnurgad ja küljed on võrdsed.

On võimatu rääkida sellest, mis on ristkülik, mainimata selle mõõtmete määramist. Seda ala loetakse selle laiuse ja pikkuse korrutiseks ning ümbermõõt, nagu iga kujundi oma, võrdub kõigi külgede pikkuste summaga. Sel juhul võrdub see ka kahekordse pikkuse ja laiuse summaga, kuna ristküliku vastasküljed on võrdsed. Nüüd teate, mis on ristkülik ja mida sellega teha, lahendada probleeme ja mõista sellise salapärase ja salapärase teaduse nagu geomeetria saladusi.

Definitsioon.

Ristkülik See on nelinurk, mille kaks vastaskülge on võrdsed ja kõik neli nurka on võrdsed.

Ristkülikud erinevad üksteisest ainult pika külje ja lühikese külje suhte poolest, kuid kõik neli on õiged, st igaüks 90 kraadi.

Ristküliku pikka külge nimetatakse ristküliku pikkus ja lühike ristküliku laius.

Ristküliku küljed on ka selle kõrgused.

Ristküliku põhiomadused

Ristkülik võib olla rööpkülik, ruut või romb.

1. Ristküliku vastasküljed on ühepikkused, st võrdsed:

AB = CD, BC = AD

2. Ristküliku vastasküljed on paralleelsed:

3. Ristküliku külgnevad küljed on alati risti:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Ristküliku kõik neli nurka on sirged:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Ristküliku nurkade summa on 360 kraadi:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Ristküliku diagonaalid on ühepikkused:

7. Ristküliku diagonaali ruutude summa võrdub külgede ruutude summaga:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Iga ristküliku diagonaal jagab ristküliku kaheks identseks kujundiks, nimelt täisnurkseks kolmnurgaks.

9. Ristküliku diagonaalid lõikuvad ja jagatakse lõikepunktis pooleks:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Diagonaalide lõikepunkti nimetatakse ristküliku keskpunktiks ja see on ka piiritletud ringi keskpunkt

11. Ristküliku diagonaal on piiritletud ringi läbimõõt

12. Ringi saab alati kirjeldada ümber ristküliku, kuna vastasnurkade summa on 180 kraadi:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Ringi ei saa kirjutada ristkülikusse, mille pikkus ei ole võrdne selle laiusega, kuna vastaskülgede summad ei ole üksteisega võrdsed (ringi saab kirjutada ainult ristküliku erijuhul - ruudul).

Ristküliku küljed

Definitsioon.

Ristküliku pikkus nimetage selle külgede pikema paari pikkust. Ristküliku laius nimeta selle külgede lühema paari pikkus.

Valemid ristküliku külgede pikkuste määramiseks

1. Ristküliku külje (ristküliku pikkus ja laius) diagonaali ja teise külje valem:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Ristküliku külje (ristküliku pikkus ja laius) pindala ja teise külje valem:

b = dcos	β
	2

Ristkülik diagonaal

Definitsioon.

Diagonaalne ristkülik Nimetatakse mis tahes lõiku, mis ühendab ristküliku kahte vastasnurkade tippu.

Valemid ristküliku diagonaali pikkuse määramiseks

1. Ristküliku diagonaali valem ristküliku kahe külje järgi (Pythagorase teoreemi kaudu):

d = √ a 2 + b 2

2. Ristküliku pindala ja mis tahes külje diagonaali valem:

4. Ristküliku diagonaali valem piiritletud ringi raadiuse järgi:

d=2R

5. Ristküliku diagonaali valem piiritletud ringi läbimõõdu järgi:

d = D o

6. Ristküliku diagonaali valem diagonaaliga külgneva nurga siinuse ja selle nurga vastaskülje pikkuse järgi:

8. Ristküliku diagonaali valem diagonaalide ja ristküliku pindala vahelise teravnurga siinuse järgi

d = √2S: sinβ

Ristküliku ümbermõõt

Definitsioon.

Ristküliku ümbermõõt on ristküliku kõigi külgede pikkuste summa.

Valemid ristküliku perimeetri pikkuse määramiseks

1. Ristküliku ümbermõõdu valem ristküliku kahe külje järgi:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Ristküliku ümbermõõdu valem pindala ja mis tahes külje järgi:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Ristküliku ümbermõõdu valem diagonaali ja mis tahes külje järgi:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Ristküliku ümbermõõdu valem piiritletud ringi ja mis tahes külje raadiuse järgi:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Ristküliku ümbermõõdu valem piiritletud ringi ja mis tahes külje läbimõõdu järgi:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Ristküliku ala

Definitsioon.

Ristküliku ala nimetatakse ruumiks, mis on piiratud ristküliku külgedega, see tähendab ristküliku perimeetri piires.

Valemid ristküliku pindala määramiseks

1. Ristküliku kahe külje pindala valem:

S = a b

2. Perimeetrit ja mis tahes külge läbiva ristküliku pindala valem:

5. Ristküliku pindala valem piiritletud ringi ja mis tahes külje raadiuse järgi:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Ristküliku pindala valem piiritletud ringi ja mis tahes külje läbimõõdu järgi:

S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2

Ring, mis on ümbritsetud ristküliku ümber

Definitsioon.

Ring, mis on ümbritsetud ristküliku ümber Nimetatakse ristküliku nelja tippu läbivat ringjoont, mille keskpunkt asub ristküliku diagonaalide ristumiskohas.

Valemid ristküliku ümber piiratud ringjoone raadiuse määramiseks

1. Ristküliku ümber kahe küljega ümbritsetud ringi raadiuse valem:

Ristkülik on nelinurk, mille iga nurk on täisnurk.

Tõestus

Omadust seletatakse rööpküliku tunnuse 3 toimega (st \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Vastasküljed on võrdsed.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Vastasküljed on paralleelsed.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Külgnevad küljed on üksteisega risti.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\entühik CD \perp AD,\enspace AD ​​​​\perp AB

5. Ristküliku diagonaalid on võrdsed.

AC=BD

Tõestus

Vastavalt vara 1 ristkülik on rööpkülik, mis tähendab AB = CD.

Seetõttu \kolmnurk ABD = \kolmnurk DCA piki kahte jalga (AB = CD ja AD - liigend).

Kui mõlemad figuurid - ABC ja DCA on identsed, siis on ka nende hüpotenuusid BD ja AC identsed.

Seega AC = BD.

Ainult kõigist kujunditest koosneval ristkülikul (ainult rööpkülikutest!) on võrdsed diagonaalid.

Tõestame ka seda.

ABCD on rööpkülik \Paremnool AB = CD , AC = BD tingimuse järgi. \Paremnool \kolmnurk ABD = \kolmnurk DCA juba kolmest küljest.

Selgub, et \nurk A = \nurk D (nagu rööpküliku nurgad). Ja \nurk A = \nurk C, \nurk B = \nurk D.

Me järeldame seda \nurk A = \nurk B = \nurk C = \nurk D. Kõik need on 90^(\circ) . Kokku on 360^(\circ) .

Tõestatud!

6. Diagonaali ruut võrdub selle kahe külgneva külje ruutude summaga.

See omadus kehtib Pythagorase teoreemi alusel.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Diagonaal jagab ristküliku kaheks identseks täisnurkseks kolmnurgaks.

\kolmnurk ABC = \kolmnurk ACD, \enspace \kolmnurk ABD = \kolmnurk BCD

8. Diagonaalide lõikepunkt poolitab need.

AO=BO=CO=DO

9. Diagonaalide lõikepunktiks on ristküliku ja piiritletud ringi keskpunkt.

10. Kõikide nurkade summa on 360 kraadi.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Ristküliku kõik nurgad on õiged.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Ristkülikut ümbritseva ringjoone läbimõõt on võrdne ristküliku diagonaaliga.

13. Ringi saab alati kirjeldada ristküliku ümber.

See omadus kehtib, kuna ristküliku vastasnurkade summa on 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Ristkülik võib sisaldada sissekirjutatud ringi ja ainult ühte, kui sellel on ühesugused küljepikkused (see on ruut).

Videokursus "Saada A" sisaldab kõiki matemaatika eksami edukaks sooritamiseks vajalikke teemasid 60-65 punktiga. Täielikult kõik profiili ülesanded 1-13 KASUTADA matemaatikas. Sobib ka matemaatika Basic USE läbimiseks. Kui soovid sooritada eksami 90-100 punktiga, siis tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus eksamiks 10-11 klassidele, samuti õpetajatele. Kõik vajalik matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei sajapalline tudeng ega humanist.

Kogu vajalik teooria. Eksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Analüüsitud on kõik FIPI ülesannete panga 1. osa asjakohased ülesanded. Kursus vastab täielikult USE-2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad eksamiülesanded. Tekstülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad probleemide lahendamise algoritmid. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi USE ülesannete analüüs. Stereomeetria. Kavalad nipid lahendamiseks, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist – ülesandeni 13. Tuupimise asemel mõistmine. Keeruliste mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Eksami 2. osa keeruliste ülesannete lahendamise alus.