Veebikalkulaator võimaldab teil kiiresti leida kahe või mõne muu arvu arvu suurima ühisjagaja ja vähima ühiskordse kordse.
Kalkulaator GCD ja LCM leidmiseks
Leidke GCD ja LCM
Leitud GCD ja NOC: 5806
Kuidas kalkulaatorit kasutada
- Sisestage sisestusväljale numbrid
- Kui sisestate valesid tähemärke, tõstetakse sisestusväli punaselt esile
- klõpsake nuppu "Leia GCD ja LCM"
Kuidas numbreid sisestada
- Numbrid sisestatakse eraldatuna tühiku, punkti või komaga
- Sisestatud numbrite pikkus ei ole piiratud, nii et pikkade arvude GCD ja LCM-i leidmine pole keeruline
Mis on GCD ja NOC?
Suurim ühine jagaja mitu arvu – see on suurim loomulik täisarv, millega kõik algsed arvud jaguvad ilma jäägita. Suurim ühine tegur on lühendatud kui Gcd.
Vähim ühine kordne mitmekordne arv on väikseim arv, mis jagub iga algarvuga ilma jäägita. Vähim ühiskordne on lühendatud kui NOC.
Kuidas kontrollida, kas arv jagub teise arvuga ilma jäägita?
Et teada saada, kas üks arv jagub teisega ilma jäägita, võite kasutada mõningaid arvude jaguvusomadusi. Seejärel saab neid kombineerides kontrollida jagatavust mõneks neist ja nende kombinatsioonidest.
Mõned arvude jaguvuse märgid
1. Arvu 2-ga jaguvuse kriteerium
Et teha kindlaks, kas arv jagub kahega (kas see on paaris), piisab, kui vaadata selle arvu viimast numbrit: kui see on 0, 2, 4, 6 või 8, siis on arv paaris, mis tähendab see jagub 2-ga.
Näide: määrake, kas 34938 jagub 2-ga.
Lahendus: vaadake viimast numbrit: 8 - nii et arv jagub kahega.
2. Arvu jaguvuse märk 3-ga
Arv jagub 3-ga, kui selle numbrite summa jagub kolmega. Seega, et teha kindlaks, kas arv jagub 3-ga, peate arvutama numbrite summa ja kontrollima, kas see jagub 3-ga. Isegi kui numbrite summa on väga suur, saate sama protsessi korrata uuesti.
Näide: määrake, kas 34938 jagub 3-ga.
Lahendus: loeme numbrite summa: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27,27 jagub 3-ga, mis tähendab, et arv jagub kolmega.
3. Arvu jaguvuse märk 5-ga
Arv jagub 5-ga, kui selle viimane number on null või viis.
Näide: määrake, kas 34938 jagub 5-ga.
Lahendus: vaata viimast numbrit: 8 tähendab, et arv EI jagu viiega.
4. Arvu jaguvuse märk 9-ga
See omadus on väga sarnane kolmega jagamisele: arv jagub 9-ga, kui selle numbrite summa jagub 9-ga.
Näide: määrake, kas 34938 jagub 9-ga.
Lahendus: loeme numbrite summa: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27,27 jagub 9-ga, mis tähendab, et arv jagub üheksaga.
Kuidas leida kahe numbri gcd ja LCM
Kuidas leida kahe numbri gcd
Lihtsaim viis kahe arvu suurima ühisjagaja arvutamiseks on leida nende arvude kõik võimalikud jagajad ja valida neist suurim.
Vaatleme seda meetodit GCD leidmise näitel (28, 36):
- Korrigeerige mõlemad arvud: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
- Leiame ühised tegurid, st need, mis on mõlemal arvul: 1, 2 ja 2.
- Arvutame nende tegurite korrutise: 1 · 2 · 2 = 4 - see on arvude 28 ja 36 suurim ühisjagaja.
Kuidas leida kahe numbri LCM-i
Kahe arvu vähima kordse leidmiseks on kaks levinumat viisi. Esimene võimalus on see, et saate välja kirjutada kahe arvu esimesed kordsed ja seejärel valida nende hulgast sellise arvu, mis on mõlemale arvule ühine ja samal ajal väikseim. Ja teine on nende numbrite GCD leidmine. Mõelgem ainult sellele.
LCM-i arvutamiseks peate arvutama algarvude korrutise ja seejärel jagama selle varem leitud GCD-ga. Leiame samade numbrite 28 ja 36 jaoks LCM-i:
- Leidke arvude 28 ja 36 korrutis: 28 36 = 1008
- GCD (28, 36), nagu juba teada, on võrdne 4-ga
- LCM (28, 36) = 1008/4 = 252.
GCD ja LCM-i leidmine mitme numbri jaoks
Suurima ühise teguri võib leida mitme arvu, mitte ainult kahe arvu kohta. Selleks jaotatakse otsitavad arvud suurimaks ühisteguriks algteguriteks, seejärel leitakse nende arvude ühiste algtegurite korrutis. Samuti võite mitme numbri GCD leidmiseks kasutada järgmist seost: Gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b), c).
Sarnane seos kehtib vähima ühise kordse kohta: LCM (a, b, c) = LCM (LCM (a, b), c)
Näide: leidke GCD ja LCM numbrite 12, 32 ja 36 jaoks.
- Esiteks korrutage arvud: 12 = 1 2 2 3, 32 = 1 2 2 2 2 2 2, 36 = 1 2 2 3 3 3.
- Leiame ühised tegurid: 1, 2 ja 2.
- Nende toode annab GCD: 1 2 2 = 4
- Leiame nüüd LCM-i: selleks leiame esmalt LCM-i (12, 32): 12 · 32/4 = 96.
- Kõigi kolme numbri LCM-i leidmiseks peate leidma GCD (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2 2 3 = 12.
- LCM (12, 32, 36) = 96 36/12 = 288.
Jätkame rääkimist vähimühiskordsest, millega alustasime rubriigis "LCM - Least Common Multiple, Definition, Näited". Selles teemas vaatleme võimalusi leida kolme või enama arvu LCM-i, analüüsime küsimust, kuidas leida negatiivse arvu LCM-i.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vähima ühiskordse (LCM) arvutamine gcd järgi
Oleme juba loonud seose vähima ühiskordse ja suurima ühisjagaja vahel. Nüüd õpime, kuidas määrata LCM-i GCD järgi. Mõelgem esmalt välja, kuidas seda positiivsete arvude puhul teha.
Definitsioon 1
Väikseima ühiskordse suurima ühisjagaja järgi leiate valemiga LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).
Näide 1
Leidke numbrite 126 ja 70 LCM.
Lahendus
Võtame a = 126, b = 70. Asendage väärtused valemis väikseima ühiskordaja arvutamiseks suurima ühisjagaja kaudu LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).
Leiab arvude 70 ja 126 gcd. Selleks vajame Eukleidese algoritmi: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, seega GCD (126 , 70) = 14 .
Arvutame LCM-i: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Vastus: LCM (126, 70) = 630.
Näide 2
Leidke numbrite 68 ja 34 koputus.
Lahendus
GCD pole sel juhul keeruline, kuna 68 jagub 34-ga. Arvutame väikseima ühiskordse valemi abil: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Vastus: LCM (68, 34) = 68.
Selles näites kasutasime positiivsete täisarvude a ja b vähima ühiskordse leidmise reeglit: kui esimene arv jagub teisega, on nende arvude LCM võrdne esimese arvuga.
LCM-i leidmine algfaktorisatsiooni abil
Nüüd vaatame viisi, kuidas leida LCM-i, mis põhineb arvude algteguriteks arvutamisel.
Definitsioon 2
Vähima ühiskordaja leidmiseks peame tegema mitmeid lihtsaid samme:
- koostada kõigi nende arvude algtegurite korrutis, mille jaoks peame leidma LCM-i;
- välistame saadud toodetest kõik põhitegurid;
- pärast tavaliste algtegurite kõrvaldamist saadud korrutis on võrdne nende arvude LCM-iga.
See vähima ühiskordaja leidmise meetod põhineb võrdusel LCM (a, b) = a b: GCD (a, b). Kui vaatate valemit, selgub: arvude a ja b korrutis võrdub kõigi nende kahe arvu lagunemisel osalevate tegurite korrutisega. Sel juhul on kahe arvu GCD võrdne kõigi nende kahe arvu faktorites samaaegselt esinevate algtegurite korrutisega.
Näide 3
Meil on kaks numbrit, 75 ja 210. Saame neid arvutada järgmiselt: 75 = 3 5 5 ja 210 = 2 3 5 7... Kui moodustate kahe algarvu kõigi tegurite korrutise, saate: 2 3 3 5 5 5 7.
Kui välistada mõlema arvu jaoks ühised tegurid 3 ja 5, saame järgmise kujuga korrutise: 2 3 5 5 7 = 1050... See toode on meie LCM numbrite 75 ja 210 jaoks.
Näide 4
Leidke numbrite LCM 441 ja 700 laiendades mõlemad arvud algteguriteks.
Lahendus
Leiame kõik tingimuses antud arvude algtegurid:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Saame kaks arvuahelat: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 ja 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7.
Kõigi nende arvude lagunemises osalenud tegurite korrutis on järgmine: 2 2 3 3 5 5 7 7 7... Leidke ühised tegurid. See arv on 7. Jätame selle üldisest tööst välja: 2 2 3 3 5 5 7 7... Selgub, et NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Vastus: LCM (441 700) = 44 100.
Anname veel ühe meetodi sõnastus LCM-i leidmiseks, jagades arvud algteguriteks.
3. määratlus
Varem jätsime mõlemale arvule ühiste tegurite koguarvust välja. Nüüd teeme seda teisiti:
- Jagame mõlemad arvud algteguriteks:
- liita teise arvu puuduvad tegurid esimese arvu algtegurite korrutisele;
- saame toote, mis on soovitud kahe numbri LCM.
Näide 5
Läheme tagasi numbrite 75 ja 210 juurde, mille jaoks otsisime juba ühest eelmisest näitest LCM-i. Jaotame need põhiteguriteks: 75 = 3 5 5 ja 210 = 2 3 5 7... Koefitsientide 3, 5 ja korrutisesse 5 number 75 lisab puuduvad tegurid 2 ja 7 number 210. Saame: 2 · 3 · 5 · 5 · 7. See on numbrite 75 ja 210 LCM.
Näide 6
Arvutage arvude 84 ja 648 LCM.
Lahendus
Jagame tingimusest saadud arvud algteguriteks: 84 = 2 2 3 7 ja 648 = 2 2 2 3 3 3 3... Lisage tootele tegurid 2, 2, 3 ja 7
number 84 puuduvad tegurid 2, 3, 3 ja
3
number 648. Saame töö kätte 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. See on 84 ja 648 vähim ühiskordne.
Vastus: LCM (84 648) = 4536.
Kolme või enama numbri LCM-i leidmine
Sõltumata sellest, kui paljude arvudega me tegeleme, on meie toimingute algoritm alati sama: leiame järjestikku kahe arvu LCM-i. Selle juhtumi jaoks on olemas teoreem.
1. teoreem
Oletame, et meil on täisarvud a 1, a 2,…, a k... NOC m k nendest arvudest leitakse, arvutades järjestikku m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3),…, m k = LCM (m k - 1, a k).
Nüüd vaatame, kuidas saate teoreemi konkreetsete probleemide lahendamiseks rakendada.
Näide 7
Arvutage nelja arvu 140, 9, 54 ja vähim ühiskordne 250 .
Lahendus
Tutvustame tähistust: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Alustuseks arvutame m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Arvude 140 ja 9 GCD arvutamiseks kasutame Eukleidese algoritmi: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Saame: GCD (140, 9) = 1, LCM (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Seetõttu m 2 = 1260.
Nüüd arvutame sama algoritmi järgi m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Arvutuste käigus saame m 3 = 3 780.
Meil jääb üle arvutada m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Me järgime sama algoritmi. Saame m 4 = 94 500.
Näidistingimuse nelja numbri LCM on 94500.
Vastus: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Nagu näete, on arvutused lihtsad, kuid üsna töömahukad. Aja säästmiseks võite minna teist teed.
4. definitsioon
Pakume teile järgmist toimingute algoritmi:
- lagundada kõik arvud algteguriteks;
- esimese arvu tegurite korrutisele liida puuduvad tegurid teise arvu korrutisest;
- lisage eelmises etapis saadud tootele kolmanda numbri puuduvad tegurid jne;
- saadud korrutis on tingimuse kõigi arvude vähim ühiskordne.
Näide 8
On vaja leida viie numbri 84, 6, 48, 7, 143 LCM.
Lahendus
Jagame kõik viis arvu algteguriteks: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Algarve, mis on arv 7, ei saa algteguriteks lagundada. Sellised arvud langevad kokku nende algfaktorisatsiooniga.
Nüüd võta 84 algtegurite 2, 2, 3 ja 7 korrutis ja lisa neile teise arvu puuduvad tegurid. Jagame arvu 6 kaheks ja kolmeks. Need tegurid on juba esimese numbri korrutises. Seetõttu jätame need välja.
Jätkame puuduvate tegurite lisamist. Liigume arvule 48, mille algtegurite korrutisest võtame 2 ja 2. Seejärel lisage neljanda arvu algtegur 7 ning viienda arvu tegurid 11 ja 13. Saame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. See on algse viie arvu väikseim ühiskordne.
Vastus: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Negatiivsete arvude vähima levinuima kordse leidmine
Negatiivsete arvude vähima ühiskordse leidmiseks tuleb need arvud esmalt asendada vastupidise märgiga arvudega ning seejärel sooritada arvutused ülaltoodud algoritmide abil.
Näide 9
LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) ja LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Sellised toimingud on lubatavad, kuna sellega nõustume a ja - a- vastandarvud,
siis kordajate hulk a sobib kordajate hulgaga - a.
Näide 10
On vaja arvutada negatiivsete arvude LCM − 145 ja − 45 .
Lahendus
Asendame numbrid − 145 ja − 45 vastupidistel numbritel 145 ja 45 ... Nüüd arvutame vastavalt algoritmile LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, olles eelnevalt määranud GCD vastavalt Eukleidilise algoritmile.
Saame, et arvude LCM on 145 ja − 45 võrdub 1 305 .
Vastus: LCM (- 145, - 45) = 1305.
Kui märkate tekstis viga, valige see ja vajutage Ctrl + Enter
Kuid paljud naturaalarvud jaguvad teiste naturaalarvudega võrdselt.
näiteks:
Arv 12 jagatakse 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga;
Arv 36 jagub 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36-ga.
Arvu, millega arv jagub võrdselt (12 puhul on see 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), nimetatakse jagajad... Naturaalarvu jagaja a on naturaalarv, mis jagab antud arvu a ilma jäägita. Nimetatakse naturaalarvu, millel on rohkem kui kaks jagajat komposiit .
Pange tähele, et numbritel 12 ja 36 on ühised tegurid. Need on arvud: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Nende arvude suurim jagaja on 12. Kahe etteantud arvu ühisjagaja a ja b- see on arv, millega mõlemad antud arvud jaguvad ilma jäägita a ja b.
Ühine mitmik mitu numbrit on arv, mis jagub kõigi nende arvudega. näiteks, on arvude 9, 18 ja 45 ühiskordne 180. Kuid 90 ja 360 on ka nende ühiskordsed. Kõigi j summaarsete kordajate hulgas on alati väikseim, antud juhul on see 90. Seda arvu nimetatakse kõige väiksemühiskordne (LCM).
LCM on alati naturaalarv, mis peab olema suurem kui suurim arv, mille jaoks see on määratud.
Least Common Multiple (LCM). Omadused.
Vahetatavus:
Assotsiatiivsus:
Eelkõige, kui ja on koalgarvud, siis:
Kahe täisarvu vähim ühiskordne m ja n on kõigi teiste ühiste kordajate jagaja m ja n... Veelgi enam, ühiste korduste hulk m, n langeb kokku LCM-i kordajate hulgaga ( m, n).
Asümptootikat saab väljendada mõne arvuteoreetilise funktsioonina.
Niisiis, Tšebõševi funktsioon... Sama hästi kui:
See tuleneb Landau funktsiooni definitsioonist ja omadustest g (n).
Mis tuleneb algarvude jaotamise seadusest.
Vähima ühiskordse (LCM) leidmine.
LCM ( a, b) saab arvutada mitmel viisil:
1. Kui suurim ühisjagaja on teada, saate kasutada selle seost LCM-iga:
2. Olgu teada mõlema arvu kanooniline lagunemine algteguriteks:
kus p 1, ..., p k- erinevad algarvud ja d 1, ..., d k ja e 1, ..., e k- mittenegatiivsed täisarvud (need võivad olla nullid, kui dekompositsioonis puudub vastav algarvu).
Seejärel LCM ( a,b) arvutatakse järgmise valemiga:
Teisisõnu sisaldab LCM-i dekompositsioon kõiki algtegureid, mis sisalduvad vähemalt ühes arvulaiendis a, b, ja võetakse selle teguri kahest eksponendist suurim.
Näide:
Mitme arvu vähima ühiskordse arvutamise saab taandada kahe arvu LCM-i mitmeks järjestikuseks arvutuseks:
Reegel. Numbriseeria LCM-i leidmiseks vajate:
- lagundada arve algteguriteks;
- kanda suurim laienemine soovitud korrutise tegurite hulka (antud suurima arvu tegurite korrutis) ja seejärel lisada tegurid teiste arvude laienemisest, mis ei esine esimeses numbris või on seda vähem kordi;
- algtegurite tulemus on antud arvude LCM.
Igal kahel või enamal naturaalarvul on oma LCM. Kui arvud ei ole üksteise kordsed või neil ei ole laiendusel samu tegureid, siis on nende LCM võrdne nende arvude korrutisega.
Arvu 28 algtegureid (2, 2, 7) täiendati koefitsiendiga 3 (arv 21), saadud korrutis (84) on väikseim arv, mis jagub 21 ja 28-ga.
Suurima arvu 30 algtegureid täiendati arvu 25 koefitsiendiga 5, saadud korrutis 150 on suurem kui suurim arv 30 ja jagatakse kõigi antud arvudega ilma jäägita. See on väikseim võimalik korrutis (150, 250, 300 ...), mis on kõigi antud arvude kordne.
Arvud 2,3,11,37 on lihtsad, seega on nende LCM võrdne antud arvude korrutisega.
Reegel... Algarvude LCM-i arvutamiseks peate kõik need arvud omavahel korrutama.
Teine võimalus:
Mitme arvu vähima ühiskordse (LCM) leidmiseks vajate:
1) esitage iga arv selle algtegurite korrutisena, näiteks:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) kirjutage üles kõigi algtegurite astmed:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) pane kirja kõigi nende arvude kõik algjagajad (tegurid);
4) vali neist igaühe kõrgeim aste, mida leidub nende arvude kõigis laiendustes;
5) korrutage need kraadid.
Näide... Leidke arvude LCM: 168, 180 ja 3024.
Lahendus... 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Kirjutame välja kõigi algtegurite suurimad võimsused ja korrutame need:
LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.
Alustame kahe või enama arvu vähima ühiskordse uurimisega. Selles osas anname mõiste definitsiooni, vaatleme teoreemi, mis loob seose vähima ühiskordse ja suurima ühisjagaja vahel ning toome näiteid probleemide lahendamisest.
Ühiskordsed – määratlus, näited
Selles teemas huvitavad meid ainult nullist erinevate täisarvude ühiskordsed.
Definitsioon 1
Täisarvude ühiskordne on täisarv, mis on kõigi antud arvude kordne. Tegelikult on see mis tahes täisarv, mida saab jagada mis tahes antud arvuga.
Ühiskordaja määratlus viitab kahele, kolmele või enamale täisarvule.
Näide 1
Vastavalt ülaltoodud arvu 12 määratlusele on ühiskordsed 3 ja 2. Samuti on 12 2, 3 ja 4 ühiskordne. Arvud 12 ja -12 on ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12 ühiskordsed.
Samal ajal on arvude 2 ja 3 ühiskordne arv 12, 6, - 24, 72, 468, - 100 010 004 ja terve rida teisi.
Kui võtta arvud, mis jaguvad paari esimese arvuga ja ei jagu teisega, siis sellised arvud ei ole ühiskordsed. Seega ei ole numbrite 2 ja 3 puhul arvud 16, - 27, 5 009, 27 001 ühiskordsed.
0 on mis tahes nullist erineva täisarvu kogumi ühiskordne.
Kui meenutada jaguvuse omadust vastandarvude suhtes, siis selgub, et mõni täisarv k on nende arvude ühiskordne, nagu ka arv - k. See tähendab, et ühised tegurid võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed.
Kas LCM-i saab leida kõigi numbrite jaoks?
Ühiskordse võib leida mis tahes täisarvu jaoks.
Näide 2
Oletame, et meile antakse k täisarvud a 1, a 2,…, a k... Arv, mille saame arvude korrutamise käigus a 1 · a 2 ·… · a k jagatavusomaduse järgi jagatakse kõigi algses tootes sisalduvate teguritega. See tähendab, et arvude korrutis a 1, a 2,…, a k on nende arvude vähim ühiskordne.
Mitu ühiskorda võib antud täisarvudel olla?
Täisarvude rühmal võib olla palju ühiseid kordusi. Tegelikult on nende arv lõpmatu.
Näide 3
Oletame, et meil on mingi arv k. Siis on arvude k · z korrutis, kus z on täisarv, arvude k ja z ühiskordne. Arvestades, et arvude arv on lõpmatu, siis ühiskordajate arv on lõpmatu.
Least common multiple (LCM) – määratlus, tähistus ja näited
Meenutagem etteantud arvude hulgast väikseima arvu mõistet, mida käsitlesime jaotises "Täisarvude võrdlus". Arvestades seda mõistet, sõnastagem vähima ühiskordse definitsioon, millel on kõigist ühiskordadest suurim praktiline väärtus.
Definitsioon 2
Täisarvude andmete vähim ühiskordne Kas nende arvude vähim positiivne ühiskordne.
Vähim ühiskordne on olemas mis tahes arvu arvude jaoks. Lühend NOC on teatmekirjanduses mõiste tähistamiseks kõige sagedamini kasutatav. Kõige vähem levinud arvude arv a 1, a 2,…, a k näeb välja nagu NOC (a 1, a 2,…, a k).
Näide 4
6 ja 7 vähim ühiskordne on 42. Need. LCM (6, 7) = 42. Nelja arvu 2, 12, 15 ja 3 väikseim ühiskordne on 60. Lühike sisestus on LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.
Vähim ühiskordaja ei ole kõigi antud arvude rühmade puhul ilmne. Seda tuleb sageli arvutada.
NOC-de ja GCD-de vaheline seos
Väikseim ühiskordne ja suurim ühisjagaja on omavahel seotud. Mõistete vahelise seose paneb paika teoreem.
1. teoreem
Kahe positiivse täisarvu a ja b vähim ühiskordne on võrdne a ja b korrutisega, mis on jagatud arvu a ja b suurima ühisjagajaga, st LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).
Tõestus 1
Oletame, et meil on mingi arv M, mis on arvu a ja b kordne. Kui arv M jagub a-ga, on olemas ka mõni täisarv z , mille alusel võrdsus M = a k... Jaguvuse definitsiooni järgi, kui M jagub b, siis a k jagatuna b.
Kui võtame kasutusele uue tähise gcd (a, b) jaoks as d, siis saame kasutada võrdusi a = a 1 d ja b = b 1 d. Pealegi on mõlemad võrdsused vastastikku algarvud.
Oleme selle juba kindlaks teinud a k jagatuna b... Nüüd saab selle tingimuse kirjutada järgmiselt:
a 1 d k jagatuna b 1 d, mis on samaväärne tingimusega a 1 k jagatuna b 1 jaguvuse omaduste järgi.
Koalgarvude omaduse järgi, kui a 1 ja b 1- koaprarvud, a 1 ei jagatav b 1 vaatamata asjaolule, et a 1 k jagatuna b 1, siis b 1 peaks jagama k.
Sel juhul oleks kohane eeldada, et arv on olemas t, milleks k = b 1 t ja sellest ajast peale b1 = b: d, siis k = b: d t.
Nüüd selle asemel k asendaja võrdsuses M = a k väljend nagu b: d t... See võimaldab meil jõuda võrdsuseni M = a b: d t... Kell t = 1 saame a ja b vähima positiivse ühiskordse , võrdne a b: d tingimusel, et numbrid a ja b positiivne.
Nii tõestasime, et LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).
LCM-i ja GCD vahelise ühenduse loomine võimaldab leida kahe või enama arvu suurima ühisjagaja kaudu vähima ühiskordse.
3. määratlus
Teoreemil on kaks olulist tagajärge:
- kahe arvu vähima ühiskordaja kordsed langevad kokku nende kahe arvu ühiskordadega;
- positiivsete koaprimarvude a ja b vähim ühiskordne on võrdne nende korrutisega.
Neid kahte fakti pole raske põhjendada. Arvude a ja b mis tahes ühiskordne M määratakse võrrandiga M = LCM (a, b) t mõne t täisarvu korral. Kuna a ja b on kaasalgarvud, siis GCD (a, b) = 1, seega LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) = a b: 1 = a b.
Kolme või enama arvu vähim ühiskordne
Mitme arvu vähima ühiskordse leidmiseks on vaja järjestikku leida kahe arvu LCM.
2. teoreem
Teeskleme seda a 1, a 2,…, a k Kas mõned positiivsed täisarvud. LCM-i arvutamiseks m k nendest numbritest peame järjestikku arvutama m2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = NOC(m 2, a 3), ..., m k = NOC(m k - 1, a k).
Tõestus 2
Käesolevas teemas käsitletud esimese teoreemi esimene järeldus aitab meil tõestada teise teoreemi paikapidavust. Arutluskäik põhineb järgmisel algoritmil:
- ühiskordsed a 1 ja a 2 langevad kokku nende LCM-i kordsetega, tegelikult langevad nad kokku nende kordsetega m 2;
- ühiskordsed a 1, a 2 ja a 3 m 2 ja a 3 m 3;
- ühiskordsed a 1, a 2,…, a k sobitada ühiskordajaid m k - 1 ja a k, langevad seega kokku kordsetega m k;
- tingitud asjaolust, et arvu väikseim positiivne kordne m k on number ise m k, siis arvude vähim ühised kordsed a 1, a 2,…, a k on an m k.
Nii tõestasime teoreemi.
Kui märkate tekstis viga, valige see ja vajutage Ctrl + Enter
Matemaatilised avaldised ja ülesanded nõuavad palju lisateadmisi. NOC on üks peamisi, eriti sageli kasutatav teemat õpitakse keskkoolis, kusjuures materjalist aru saada pole eriti raske, kraadide ja korrutustabeliga kursis oleval inimesel ei ole vajaliku välja valida. numbrid ja leidke tulemus.
Definitsioon
Ühiskordne on arv, mille saab korraga täielikult jagada kaheks arvuks (a ja b). Kõige sagedamini saadakse see arv algsete arvude a ja b korrutamisel. Arv peab olema jaguv mõlema arvuga korraga, ilma kõrvalekalleteta.
NOC on tähistamiseks vastu võetud lühike nimi, mis on kokku pandud esimestest tähtedest.
Numbri saamise viisid
LCM-i leidmiseks ei ole arvude korrutamise meetod alati sobiv, see sobib palju paremini lihtsate ühe- või kahekohaliste arvude jaoks. on tavaks jagada teguritega, mida suurem arv, seda rohkem tegureid tuleb.
Näide nr 1
Kõige lihtsama näite puhul kasutavad koolid tavaliselt lihtsaid, ühe- või kahekohalisi numbreid. Näiteks peate lahendama järgmise ülesande, leidma arvude 7 ja 3 vähim ühiskordne, lahendus on üsna lihtne, lihtsalt korrutage need. Tulemuseks on number 21, väiksemat numbrit lihtsalt pole.
Näide nr 2
Ülesande teine variant on palju keerulisem. Arvestades numbreid 300 ja 1260, on LCM-i leidmine kohustuslik. Ülesande lahendamiseks eeldatakse järgmisi toiminguid:
Esimese ja teise arvu lagunemine kõige lihtsamateks teguriteks. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Esimene etapp on lõppenud.
Teine etapp hõlmab tööd juba saadud andmetega. Iga saadud arv peab osalema lõpptulemuse arvutamises. Iga teguri puhul võetakse algarvudest suurim arv esinemisi. LCM on koguarv, nii et arvude tegureid tuleb selles korrata üheks, isegi need, mis on ühes eksemplaris. Mõlema algarvu koosseisus on arvud 2, 3 ja 5, erineval määral, ühel juhul on ainult 7.
Lõpptulemuse arvutamiseks peate võtma iga arvu võrrandis esitatud astmetest suurimas. Jääb üle vaid korrutada ja saada vastus, õige täitmise korral mahub ülesanne ilma selgitusteta kahte etappi:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) LCM = 6300.
See on kogu probleem, kui proovite arvutada vajaliku arvu korrutamisega, pole vastus kindlasti õige, kuna 300 * 1260 = 378 000.
Eksam:
6300/300 = 21 - tõsi;
6300/1260 = 5 - õige.
Saadud tulemuse õigsus määratakse kontrollimise teel - jagades LCM mõlema algarvuga, kui arv on mõlemal juhul täisarv, siis on vastus õige.
Mida tähendab LCM matemaatikas
Nagu teate, pole matemaatikas ühtegi kasutu funktsiooni, see pole erand. Selle arvu kõige levinum kasutusviis on murdude viimine ühise nimetajani. Mida tavaliselt õpitakse gümnaasiumi 5.-6. See on lisaks ka kõigi kordiste ühine jagaja, kui sellised tingimused on probleemis. Sarnane avaldis võib leida mitte ainult kahe arvu kordse, vaid ka palju suurema arvu - kolm, viis jne. Mida rohkem numbreid - seda rohkem toiminguid ülesandes, kuid keerukus sellest ei suurene.
Näiteks, võttes arvesse numbreid 250, 600 ja 1500, peate leidma nende kogu LCM-i:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - see näide kirjeldab faktoriseerimist üksikasjalikult, ilma tühistamiseta.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Avaldise koostamiseks on vaja nimetada kõik tegurid, antud juhul on antud 2, 5, 3, - kõigi nende arvude puhul on vaja määrata maksimaalne aste.
Tähelepanu: kõik kordajad tuleb viia täieliku lihtsustamiseni, võimalusel laiendada üheväärtuslike tasemele.
Eksam:
1) 3000/250 = 12 – tõsi;
2) 3000/600 = 5 – tõene;
3) 3000/1500 = 2 – tõsi.
See meetod ei nõua mingeid trikke ega geniaalsel tasemel võimeid, kõik on lihtne ja arusaadav.
Teine tee
Matemaatikas on palju seotud, palju saab lahendada kahel või enamal viisil, sama kehtib ka vähima ühiskordse LCM leidmise kohta. Lihtsate kahe- ja ühekohaliste numbrite puhul saab kasutada järgmist meetodit. Koostatakse tabel, kuhu kordaja sisestatakse vertikaalselt, kordaja horisontaalselt ja korrutis näidatakse veeru ristuvates lahtrites. Tabelit saab kajastada rea abil, võetakse arv ja selle arvu täisarvudega korrutamise tulemused 1-st lõpmatuseni kirjutatakse järjest, mõnikord piisab 3-5 punktist, teine ja järgnevad numbrid on allutatud samale arvutusprotsessile. Kõik juhtub seni, kuni ühiskordaja on leitud.
Arvestades numbreid 30, 35, 42, peate leidma LCM-i, mis ühendab kõiki numbreid:
1) 30-kordsed: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 jne.
2) 35-kordsed: 70, 105, 140, 175, 210, 245 jne.
3) 42-kordsed: 84, 126, 168, 210, 252 jne.
On märgata, et kõik numbrid on üsna erinevad, ainus ühine number nende hulgas on 210, nii et see on LCM. Selle arvutusega seotud protsesside hulgas on ka suurim ühisjagaja, mis arvutatakse sarnaste põhimõtete järgi ja mida sageli kohtab naaberprobleemides. Erinevus on väike, kuid piisavalt märkimisväärne, LCM eeldab arvu arvutamist, mis jagatakse kõigi antud algväärtustega, ja GCD eeldab suurima väärtuse arvutamist, millega algsed arvud jagatakse.
