Sinus pembe ya papo hapo α ya pembetatu ya kulia ni uwiano kinyume catheter kwa hypotenuse.
Inaonyeshwa kama ifuatavyo: dhambi α.

Cosine pembe ya papo hapo α ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.
Inaonyeshwa kama ifuatavyo: cos α.

Tanji angle ya papo hapo α ni uwiano wa mguu kinyume na mguu wa karibu.
Inaonyeshwa kama ifuatavyo: tg α.

Cotangent angle ya papo hapo α ni uwiano wa mguu wa karibu na kinyume chake.
Imeteuliwa kama ifuatavyo: ctg α.

Sine, kosine, tanjiti na cotangent ya pembe hutegemea tu ukubwa wa pembe.

Kanuni:

Vitambulisho vya msingi vya trigonometric katika pembetatu ya kulia:

(α - pembe ya papo hapo kinyume na mguu b na karibu na mguu a . Upande Na - hypotenuse. β - pembe ya pili ya papo hapo).

Kadiri pembe ya papo hapo inavyoongezekadhambi natg α kuongezeka, nacos α inapungua.

Kwa pembe yoyote ya papo hapo α:

dhambi (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = dhambi α

Mfano wa ufafanuzi:

Weka pembetatu ya kulia ABC
AB = 6,
BC = 3,
pembe A = 30º.

Tafuta sine ya pembe A na kosine ya pembe B.

Suluhisho .

1) Kwanza, tunapata thamani ya pembe B. Kila kitu ni rahisi hapa: kwa kuwa katika pembetatu ya kulia jumla ya pembe za papo hapo ni 90º, kisha angle B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Kokotoa dhambi A. Tunajua kwamba sine ni sawa na uwiano wa mguu kinyume na hypotenuse. Kwa pembe A, mguu wa kinyume ni upande wa BC. Kwa hivyo:

KK 3 1
dhambi A = -- = - = -
AB 6 2

3) Sasa tunahesabu cos B. Tunajua kwamba cosine ni sawa na uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse. Kwa pembe B, mguu wa karibu ni upande sawa wa BC. Hii inamaanisha kuwa tunahitaji tena kugawanya BC kuwa AB - ambayo ni, kufanya vitendo sawa na wakati wa kuhesabu sine ya pembe A:

KK 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Matokeo yake ni:
dhambi A = cos B = 1/2.

dhambi 30º = cos 60º = 1/2.

Kutoka kwa hii inafuata kwamba katika pembetatu ya kulia sine ya pembe moja ya papo hapo ni sawa na cosine ya pembe nyingine ya papo hapo - na kinyume chake. Hivi ndivyo kanuni zetu mbili zinamaanisha:
dhambi (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = dhambi α

Hebu tuangalie tena:

1) Acha α = 60º. Kubadilisha thamani ya α kwenye fomula ya sine, tunapata:
dhambi (90º - 60º) = cos 60º.
dhambi 30º = cos 60º.

2) Acha α = 30º. Kubadilisha thamani ya α kwenye formula ya cosine, tunapata:
cos (90° - 30º) = dhambi 30º.
cos 60° = dhambi 30º.

(Kwa zaidi juu ya trigonometry, angalia sehemu ya Aljebra)

Katika makala hii, tutaonyesha jinsi gani ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na cotangent ya pembe na nambari katika trigonometria. Hapa tutazungumza juu ya nukuu, kutoa mifano ya rekodi, kutoa vielelezo vya picha. Kwa kumalizia, tunatoa usawa kati ya ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent katika trigonometry na jiometri.

Urambazaji wa ukurasa.

Ufafanuzi wa sine, kosine, tangent na cotangent

Wacha tufuate jinsi dhana ya sine, cosine, tangent na cotangent inavyoundwa katika kozi ya hisabati ya shule. Katika masomo ya jiometri, ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ya papo hapo katika pembetatu ya kulia hutolewa. Na baadaye trigonometry inasomwa, ambayo inahusu sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ya mzunguko na namba. Tunatoa ufafanuzi huu wote, kutoa mifano na kutoa maoni muhimu.

Pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia

Kutoka kwa mwendo wa jiometri, ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ya papo hapo katika pembetatu ya kulia hujulikana. Zinatolewa kama uwiano wa pande za pembetatu ya kulia. Tunatoa uundaji wao.

Ufafanuzi.

Sine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu kinyume na hypotenuse.

Ufafanuzi.

Cosine ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.

Ufafanuzi.

Tangenti ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu kinyume na mguu wa karibu.

Ufafanuzi.

Cotangent ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu wa karibu na mguu wa kinyume.

Ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent pia huletwa pale - sin, cos, tg na ctg, kwa mtiririko huo.

Kwa mfano, ikiwa ABC ni pembetatu ya kulia yenye pembe C ya kulia, basi sine ya pembe ya papo hapo A ni sawa na uwiano wa mguu ulio kinyume BC na hypotenuse AB, yaani, sin∠A=BC/AB.

Ufafanuzi huu hukuruhusu kuhesabu maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe ya papo hapo kutoka kwa urefu unaojulikana wa pande za pembetatu ya kulia, na pia kutoka kwa maadili yanayojulikana ya sine, cosine, tangent, cotangent na urefu wa moja ya pande, pata urefu wa pande zingine. Kwa mfano, ikiwa tulijua kuwa katika pembetatu ya kulia mguu AC ni 3 na hypotenuse AB ni 7 , basi tunaweza kuhesabu cosine ya pembe ya papo hapo A kwa ufafanuzi: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Angle ya mzunguko

Katika trigonometry, wanaanza kuangalia pembe kwa upana zaidi - wanaanzisha dhana ya angle ya mzunguko. Pembe ya kuzunguka, tofauti na pembe ya papo hapo, sio tu kwa fremu kutoka digrii 0 hadi 90, pembe ya kuzunguka kwa digrii (na kwa radians) inaweza kuonyeshwa na nambari yoyote halisi kutoka -∞ hadi +∞.

Kwa mwanga huu, ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent sio tena angle ya papo hapo, lakini angle ya ukubwa wa kiholela - angle ya mzunguko. Zinatolewa kupitia viwianishi vya x na y vya hatua A 1 , ambayo kinachojulikana kama hatua ya awali A(1, 0) hupita baada ya kuzunguka kupitia pembe α karibu na hatua O - mwanzo wa mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili. na katikati ya mzunguko wa kitengo.

Ufafanuzi.

Sine ya pembe ya mzungukoα ndio mratibu wa nukta A 1 , yaani, sinα=y .

Ufafanuzi.

cosine ya pembe ya mzungukoα inaitwa abscissa ya uhakika A 1 , yaani, cosα=x .

Ufafanuzi.

Tangenti ya pembe ya mzungukoα ni uwiano wa uwiano wa nukta A 1 kwa abscissa yake, yaani, tgα=y/x .

Ufafanuzi.

Kotanjiti ya pembe ya mzungukoα ni uwiano wa abscissa ya uhakika A 1 kwa kuratibu yake, yaani, ctgα=x/y .

Sine na cosine hufafanuliwa kwa pembe yoyote α , kwa kuwa tunaweza daima kuamua abscissa na kuratibu ya uhakika, ambayo hupatikana kwa kuzunguka hatua ya kuanzia kupitia angle α . Na tangent na cotangent haijafafanuliwa kwa pembe yoyote. Tangenti haijafafanuliwa kwa pembe kama hizo α ambapo hatua ya awali huenda hadi hatua yenye sifuri abscissa (0, 1) au (0, -1) , na hii hufanyika kwa pembe 90°+180° k , k∈Z. (π /2+π k rad). Hakika, katika pembe kama hizo za mzunguko, usemi tgα=y/x hauna maana, kwani una mgawanyiko na sifuri. Kama ilivyo kwa kotanjiti, haijafafanuliwa kwa pembe kama hizo α ambapo mahali pa kuanzia huenda hadi hatua iliyo na kuratibu sifuri (1, 0) au (−1, 0) , na hii ndio kesi ya pembe 180 ° k , k ∈Z (π k rad).

Kwa hivyo, sine na kosine hufafanuliwa kwa pembe zozote za mzunguko, tanjiti imefafanuliwa kwa pembe zote isipokuwa 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), na kotangent ni kwa pembe zote isipokuwa 180. ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Maandishi ambayo tayari tunayajua yanaonekana katika ufafanuzi sin, cos, tg na ctg, pia hutumika kuashiria sine, kosine, tangent na cotangent ya pembe ya mzunguko (wakati mwingine unaweza kupata nukuu tan na cot sambamba na tangent na cotangent). Kwa hivyo sine ya pembe ya mzunguko ya digrii 30 inaweza kuandikwa kama sin30°, rekodi tg(−24°17′) na ctgα zinalingana na tanjiti ya pembe ya mzunguko −24 digrii dakika 17 na cotangent ya pembe ya mzunguko α. . Kumbuka kwamba wakati wa kuandika kipimo cha radian cha pembe, nukuu "rad" mara nyingi huachwa. Kwa mfano, kosine ya pembe ya mzunguko ya pi radi tatu kwa kawaida huashiria cos3 π .

Kwa kumalizia aya hii, ni muhimu kuzingatia kwamba katika kuzungumza juu ya sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ya mzunguko, maneno "angle ya mzunguko" au neno "mzunguko" mara nyingi huachwa. Hiyo ni, badala ya maneno "sine ya angle ya mzunguko wa alpha", maneno "sine ya angle ya alpha" hutumiwa kwa kawaida, au hata mfupi zaidi - "sine ya alpha". Vile vile hutumika kwa cosine, na tangent, na cotangent.

Hebu pia tuseme kwamba ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti, na kotangent ya pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia yanapatana na ufafanuzi ambao umetolewa hivi punde kwa sine, kosine, tanjiti na kotanji ya pembe ya mzunguko kuanzia 0 hadi 90. digrii. Tutathibitisha hili.

Nambari

Ufafanuzi.

Sine, kosine, tanjiti na cotangent ya nambari t ni nambari sawa na sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya pembe ya mzunguko katika vipenyo vya t, mtawalia.

Kwa mfano, kosine ya 8 π ni, kwa ufafanuzi, nambari sawa na kosine ya pembe ya 8 π rad. Na cosine ya pembe katika 8 π rad ni sawa na moja, kwa hivyo, cosine ya nambari 8 π ni sawa na 1.

Kuna mkabala mwingine wa ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya nambari. Inajumuisha ukweli kwamba kila nambari halisi t imepewa hatua ya mduara wa kitengo unaozingatia asili ya mfumo wa kuratibu wa mstatili, na sine, cosine, tangent na cotangent imedhamiriwa kupitia kuratibu za hatua hii. Wacha tukae juu ya hili kwa undani zaidi.

Wacha tuonyeshe jinsi mawasiliano kati ya nambari halisi na vidokezo vya duara inavyoanzishwa:

• nambari 0 imepewa mahali pa kuanzia A(1, 0);
• nambari nzuri t inahusishwa na hatua kwenye mduara wa kitengo, ambayo tutapata ikiwa tunazunguka mduara kutoka kwa kuanzia kwa mwelekeo wa kinyume na kupitia njia ya urefu t;
• nambari hasi T inahusishwa na nukta kwenye mduara wa kitengo, ambayo tutapata ikiwa tutazunguka mduara kutoka mahali pa kuanzia kwa mwelekeo wa saa na kupitia njia ya urefu |t| .

Sasa hebu tuendelee kwenye ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na cotangent ya nambari t. Wacha tuchukue kuwa nambari t inalingana na hatua ya duara A 1 (x, y) (kwa mfano, nambari &pi/2; inalingana na nukta A 1 (0, 1) ).

Ufafanuzi.

Sinifu ya nambari t ni mratibu wa nukta ya duara ya kitengo inayolingana na nambari t , yaani, sint=y .

Ufafanuzi.

Kosini ya nambari t inaitwa abscissa ya hatua ya mduara wa kitengo sambamba na nambari t , yaani, cost=x .

Ufafanuzi.

Tanji ya nambari t ni uwiano wa kuratibu kwa abscissa ya hatua ya mzunguko wa kitengo sambamba na namba t, yaani, tgt=y/x. Katika uundaji mwingine sawa, tangent ya nambari t ni uwiano wa sine ya nambari hii kwa kosine, yaani, tgt=sint/cost .

Ufafanuzi.

Cotangent ya nambari t ni uwiano wa abscissa kwa kuratibu ya hatua ya mzunguko wa kitengo sambamba na namba t, yaani, ctgt=x/y. Uundaji mwingine ni kama ifuatavyo: tanjenti ya nambari t ni uwiano wa kosine ya nambari t hadi sine ya nambari t : ctgt=cost/sint .

Hapa tunaona kuwa fasili zilizotolewa hivi punde zinakubaliana na ufafanuzi uliotolewa mwanzoni mwa kifungu hiki. Hakika, hatua ya mduara wa kitengo sambamba na nambari t inafanana na hatua iliyopatikana kwa kuzunguka hatua ya kuanzia kupitia pembe ya t radians.

Inafaa pia kufafanua jambo hili. Wacha tuseme tuna kiingilio cha sin3. Jinsi ya kuelewa ikiwa sine ya nambari 3 au sine ya pembe ya mzunguko ya radians 3 inahusika? Hii kawaida ni wazi kutoka kwa muktadha, vinginevyo haijalishi.

Utendakazi wa trigonometriki za hoja ya angular na nambari

Kulingana na ufafanuzi uliotolewa katika aya iliyotangulia, kila pembe ya mzunguko α inalingana na thamani iliyofafanuliwa vyema sin α , pamoja na thamani cos α . Kwa kuongeza, pembe zote za mzunguko zaidi ya 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) zinalingana na thamani tgα , na nyingine zaidi ya 180° k , k∈Z (π k rad) ni maadili ya ctgα . Kwa hiyo sinα, cosα, tgα na ctgα ni kazi za pembe α. Kwa maneno mengine, hizi ni kazi za hoja ya angular.

Vile vile, tunaweza kuzungumza kuhusu sifa za sine, kosine, tanjiti na cotangent za hoja ya nambari. Hakika, kila nambari halisi t inalingana na thamani iliyofafanuliwa vizuri ya sint , pamoja na gharama . Kwa kuongeza, nambari zote isipokuwa π/2+π·k , kZ zinalingana na thamani tgt , na nambari π·k , k∈Z zinalingana na maadili ctgt .

Kazi za sine, kosine, tangent na cotangent zinaitwa kazi za msingi za trigonometric.

Kwa kawaida ni wazi kutokana na muktadha kwamba tunashughulikia utendaji wa trigonometriki za hoja ya angular au hoja ya nambari. Vinginevyo, tunaweza kuzingatia kigezo huru kama kipimo cha pembe (hoja ya pembe) na hoja ya nambari.

Walakini, shule husoma kazi za nambari, ambayo ni, kazi ambazo hoja zao, na vile vile maadili yao ya kazi yanayolingana, ni nambari. Kwa hivyo, ikiwa tunazungumza juu ya kazi, basi inashauriwa kuzingatia kazi za trigonometric kama kazi za hoja za nambari.

Uunganisho wa ufafanuzi kutoka kwa jiometri na trigonometry

Ikiwa tutazingatia pembe ya mzunguko α kutoka digrii 0 hadi 90, basi data katika muktadha wa trigonometry ya ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe ya mzunguko inalingana kikamilifu na ufafanuzi wa sine, cosine. , tangent na cotangent ya angle ya papo hapo katika pembetatu ya kulia, ambayo hutolewa katika kozi ya jiometri. Hebu thibitisha hili.

Chora mduara wa kitengo katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili wa Oxy. Kumbuka mahali pa kuanzia A(1, 0) . Hebu tuizungushe kwa pembe α kuanzia digrii 0 hadi 90, tunapata uhakika A 1 (x, y) . Wacha tushushe kipenyo A 1 H kutoka kwa uhakika A 1 hadi mhimili wa Ox.

Ni rahisi kuona kwamba katika pembetatu ya kulia pembe A 1 OH ni sawa na angle ya mzunguko α, urefu wa mguu OH karibu na pembe hii ni sawa na abscissa ya uhakika A 1, yaani, |OH. |=x, urefu wa mguu A 1 H mkabala na pembe ni sawa na mratibu wa nukta A 1 , yaani, |A 1 H|=y , na urefu wa hypotenuse OA 1 ni sawa na moja. , kwa kuwa ni radius ya mduara wa kitengo. Kisha, kwa ufafanuzi kutoka kwa jiometri, sine ya pembe ya papo hapo α katika pembetatu ya kulia A 1 OH ni sawa na uwiano wa mguu kinyume na hypotenuse, yaani, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Na kwa ufafanuzi kutoka kwa trigonometria, sine ya pembe ya mzunguko α ni sawa na mratibu wa nukta A 1, yaani, sinα=y. Hii inaonyesha kwamba ufafanuzi wa sine wa pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia ni sawa na ufafanuzi wa sine ya pembe ya mzunguko α kwa α kutoka 0 hadi 90 digrii.

Vile vile, inaweza kuonyeshwa kuwa ufafanuzi wa kosine, tangent, na cotangent ya pembe ya papo hapo α inalingana na ufafanuzi wa kosine, tanjiti na kotangent ya pembe ya mzunguko α.

Bibliografia.

1. Jiometri. 7-9 darasa: masomo. kwa elimu ya jumla taasisi / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev na wengine]. - toleo la 20. M.: Elimu, 2010. - 384 p.: mgonjwa. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Jiometri: Proc. kwa seli 7-9. elimu ya jumla taasisi / A. V. Pogorelov. - Toleo la 2 - M.: Mwangaza, 2001. - 224 p.: mgonjwa. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra na kazi za msingi: Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa darasa la 9 la shule ya sekondari / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Imehaririwa na Daktari wa Sayansi ya Kimwili na Hisabati O. N. Golovin. - 4th ed. Moscow: Elimu, 1969.
4. Aljebra: Proc. kwa seli 9. wastani. shule / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Mh. S. A. Telyakovsky.- M.: Mwangaza, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Aljebra na mwanzo wa uchambuzi: Proc. kwa seli 10-11. elimu ya jumla taasisi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn na wengine; Mh. A. N. Kolmogorova.- 14 ed.- M .: Mwangaza, 2004.- 384 p.: Ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Algebra na mwanzo wa uchambuzi. Daraja la 10. Saa 2:00 Sehemu ya 1: kitabu cha kiada kwa taasisi za elimu (kiwango cha wasifu) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Toleo la 4, ongeza. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Aljebra na mwanzo wa uchambuzi wa hisabati. Daraja la 10: kitabu cha maandishi. kwa elimu ya jumla taasisi: msingi na wasifu. viwango /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; mh. A. B. Zhizhchenko. - Toleo la 3. - I .: Elimu, 2010. - 368 p.: Mgonjwa - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Proc. kwa seli 10-11. wastani. shule - Toleo la 3. - M.: Mwangaza, 1993. - 351 p.: mgonjwa. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Hisabati (mwongozo kwa waombaji kwa shule za ufundi): Proc. posho.- M.; Juu zaidi shule, 1984.-351 p., mgonjwa.

Uwiano wa mguu kinyume na hypotenuse inaitwa sine ya pembe ya papo hapo pembetatu ya kulia.

\sin \ alpha = \frac(a)(c)

Cosine ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia

Uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse inaitwa cosine ya pembe ya papo hapo pembetatu ya kulia.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenti ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia

Uwiano wa mguu wa kinyume na mguu wa karibu unaitwa tangent ya papo hapo pembetatu ya kulia.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Cotangent ya pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia

Uwiano wa mguu wa karibu na mguu wa kinyume unaitwa cotangent ya pembe ya papo hapo pembetatu ya kulia.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sine ya pembe ya kiholela

Mpangilio wa hatua kwenye mduara wa kitengo ambacho pembe \ alpha inalingana inaitwa sine ya pembe ya kiholela mzunguko \alpha .

\dhambi \alpha=y

Cosine ya pembe ya kiholela

Abscissa ya hatua kwenye mduara wa kitengo ambayo angle \ alpha inalingana inaitwa cosine ya pembe ya kiholela mzunguko \alpha .

\cos \alpha=x

Tanji ya pembe ya kiholela

Uwiano wa sine wa pembe ya mzunguko wa kiholela \alpha kwa kosini yake inaitwa tangent ya pembe ya kiholela mzunguko \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Cotangent ya pembe ya kiholela

Uwiano wa cosine wa pembe ya mzunguko wa kiholela \alpha kwa sine yake inaitwa cotangent ya pembe ya kiholela mzunguko \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Mfano wa kutafuta angle ya kiholela

Ikiwa \alpha ni pembe fulani AOM , ambapo M ni sehemu kwenye duara la kitengo, basi

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Kwa mfano, ikiwa \pembe AOM = -\frac(\pi)(4), basi: mpangilio wa uhakika M ni -\frac(\sqrt(2))(2), abscissa ni \frac(\sqrt(2))(2) na ndiyo maana

\dhambi \kushoto (-\frac(\pi)(4) \kulia)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \kushoto (\frac(\pi)(4) \kulia)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \kushoto (-\frac(\pi)(4) \kulia)=-1.

Jedwali la maadili ya sines ya cosines ya tangents ya cotangents

Thamani za pembe kuu zinazokutana mara nyingi hupewa kwenye jedwali:

Trigonometry ni tawi la hisabati ambalo husoma kazi za trigonometric na matumizi yao katika jiometri. Ukuaji wa trigonometry ulianza katika siku za Ugiriki ya kale. Katika Zama za Kati, wanasayansi kutoka Mashariki ya Kati na India walitoa mchango muhimu katika maendeleo ya sayansi hii.

Nakala hii imejitolea kwa dhana za msingi na ufafanuzi wa trigonometry. Inajadili ufafanuzi wa kazi kuu za trigonometric: sine, cosine, tangent na cotangent. Maana yao katika muktadha wa jiometri inaelezewa na kuonyeshwa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hapo awali, ufafanuzi wa kazi za trigonometric, ambao hoja yao ni pembe, ilionyeshwa kupitia uwiano wa pande za pembetatu ya kulia.

Ufafanuzi wa kazi za trigonometric

Sini ya pembe (sin α) ni uwiano wa mguu kinyume na pembe hii kwa hypotenuse.

Cosine ya pembe (cos α) ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.

Tangent ya pembe (t g α) ni uwiano wa mguu wa kinyume na ule ulio karibu.

Cotangent ya pembe (c t g α) ni uwiano wa mguu wa karibu na kinyume chake.

Ufafanuzi huu hutolewa kwa pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia!

Hebu tutoe kielelezo.

Katika pembetatu ABC yenye pembe ya kulia C, sine ya pembe A ni sawa na uwiano wa mguu BC na hypotenuse AB.

Ufafanuzi wa sine, kosine, tangent na cotangent hufanya iwezekane kukokotoa thamani za kazi hizi kutoka kwa urefu unaojulikana wa pande za pembetatu.

Muhimu kukumbuka!

Aina mbalimbali za thamani za sine na kosine: kutoka -1 hadi 1. Kwa maneno mengine, sine na cosine huchukua maadili kutoka -1 hadi 1. Aina mbalimbali za maadili ya tanjiti na cotangent ni mstari mzima wa nambari, yaani, hizi. kazi zinaweza kuchukua thamani yoyote.

Ufafanuzi uliotolewa hapo juu unarejelea pembe kali. Katika trigonometry, dhana ya angle ya mzunguko imeanzishwa, thamani ambayo, tofauti na angle ya papo hapo, haipatikani na muafaka kutoka kwa digrii 0 hadi 90. Pembe ya mzunguko katika digrii au radians inaonyeshwa na nambari yoyote halisi kutoka - ∞ hadi + ∞.

Katika muktadha huu, mtu anaweza kufafanua sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ya ukubwa wa kiholela. Hebu fikiria mduara wa kitengo unaozingatia asili ya mfumo wa kuratibu wa Cartesian.

Sehemu ya kuanzia A iliyo na viwianishi (1 , 0) huzunguka katikati ya duara la kitengo kwa pembe fulani α na kwenda hadi A1 . Ufafanuzi hutolewa kupitia kuratibu za uhakika A 1 (x, y).

Sine (dhambi) ya pembe ya mzunguko

Sini ya pembe ya kuzunguka α ni mratibu wa hatua A 1 (x, y). sinα = y

Cosine (cos) ya pembe ya mzunguko

Cosine ya angle ya mzunguko α ni abscissa ya uhakika A 1 (x, y). maana α = x

Tangenti (tg) ya pembe ya mzunguko

Tangent ya angle ya mzunguko α ni uwiano wa mratibu wa hatua A 1 (x, y) kwa abscissa yake. t g α = y x

Kotanjiti (ctg) ya pembe ya mzunguko

Cotangent ya angle ya mzunguko α ni uwiano wa abscissa ya uhakika A 1 (x, y) kwa kuratibu kwake. c t g α = x y

Sine na cosine hufafanuliwa kwa pembe yoyote ya mzunguko. Hii ni mantiki, kwa sababu abscissa na kuratibu ya hatua baada ya mzunguko inaweza kuamua kwa pembe yoyote. Hali ni tofauti na tangent na cotangent. Tangent haijafafanuliwa wakati hatua baada ya kuzunguka inakwenda kwa uhakika na sifuri abscissa (0 , 1) na (0 , - 1). Katika hali kama hizi, usemi wa tangent t g α = y x hauna maana, kwani ina mgawanyiko na sifuri. Hali ni sawa na cotangent. Tofauti ni kwamba kotanjiti haijafafanuliwa katika hali ambapo uratibu wa uhakika hutoweka.

Muhimu kukumbuka!

Sine na kosine hufafanuliwa kwa pembe zozote α.

Tangenti imefafanuliwa kwa pembe zote isipokuwa α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotanjiti imefafanuliwa kwa pembe zote isipokuwa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Wakati wa kutatua mifano ya vitendo, usiseme "sine ya angle ya mzunguko α". Maneno "pembe ya mzunguko" yameachwa kwa urahisi, ikimaanisha kuwa kutoka kwa muktadha tayari ni wazi ni nini kiko hatarini.

Nambari

Vipi kuhusu ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya nambari, na si pembe ya mzunguko?

Sine, kosine, tanjiti, cotangent ya nambari

Sine, kosine, tanjiti na cotangent ya nambari t nambari inaitwa, ambayo kwa mtiririko huo ni sawa na sine, kosine, tanjiti na cotangent ndani t radian.

Kwa mfano, sine ya 10 π ni sawa na sine ya pembe ya mzunguko ya 10 π rad.

Kuna mkabala mwingine wa ufafanuzi wa sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya nambari. Hebu tuzingatie kwa undani zaidi.

Nambari yoyote halisi t hatua kwenye mduara wa kitengo imewekwa kwa mawasiliano na kituo kwenye asili ya mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili. Sine, cosine, tangent na cotangent hufafanuliwa kwa mujibu wa kuratibu za hatua hii.

Hatua ya kuanzia kwenye mduara ni hatua A na kuratibu ( 1 , 0 ).

nambari chanya t

Nambari hasi t inalingana na hatua ambayo hatua ya kuanzia itasonga ikiwa inakwenda kinyume na mzunguko wa mzunguko na kupitisha njia t .

Sasa kwa kuwa uhusiano kati ya nambari na hatua kwenye mduara umeanzishwa, tunaendelea kwa ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent.

Sine (dhambi) ya nambari t

Sine ya nambari t- mratibu wa hatua ya duara ya kitengo inayolingana na nambari t. dhambi t = y

Cosine (cos) ya t

Cosine ya nambari t- abscissa ya hatua ya mzunguko wa kitengo sambamba na nambari t. gharama t = x

Tangenti (tg) ya t

Tanji ya nambari t- uwiano wa kuratibu kwa abscissa ya hatua ya mzunguko wa kitengo sambamba na nambari t. t g t = y x = dhambi t cos t

Ufafanuzi wa mwisho unalingana na haupingani na ufafanuzi uliotolewa mwanzoni mwa sehemu hii. Elekeza kwenye mduara unaolingana na nambari t, inafanana na hatua ambayo hatua ya kuanzia inapita baada ya kugeuka kupitia pembe t radian.

Utendakazi wa trigonometriki za hoja ya angular na nambari

Kila thamani ya pembe α inalingana na thamani fulani ya sine na kosini ya pembe hii. Kama vile pembe zote α zaidi ya α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) inalingana na thamani fulani ya tanjenti. Kotanjiti, kama ilivyotajwa hapo juu, imefafanuliwa kwa α zote, isipokuwa α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Tunaweza kusema kwamba sin α , cos α , t g α , c t g α ni kazi za alfa ya pembe, au kazi za hoja ya angular.

Vile vile, mtu anaweza kuzungumza juu ya sine, kosine, tanjiti na kotanji kama kazi za hoja ya nambari. Kila nambari halisi t inalingana na thamani maalum ya sine au kosine ya nambari t. Nambari zote isipokuwa π 2 + π · k , k ∈ Z, zinalingana na thamani ya tanjiti. Kotanjiti imefafanuliwa vile vile kwa nambari zote isipokuwa π · k , k ∈ Z.

Kazi za msingi za trigonometry

Sine, kosine, tangent na cotangent ni kazi za msingi za trigonometric.

Kwa kawaida huwa wazi kutokana na muktadha ni hoja gani ya chaguo za kukokotoa za trigonometriki (hoja ya angular au hoja ya nambari) tunayoshughulikia.

Wacha turudi kwenye data mwanzoni mwa ufafanuzi na alfa ya pembe, ambayo iko katika safu kutoka digrii 0 hadi 90. Ufafanuzi wa trigonometriki wa sine, kosine, tanjiti na kotanjenti unakubaliana kikamilifu na ufafanuzi wa kijiometri unaotolewa kwa kutumia uwiano wa pande za pembetatu ya kulia. Hebu tuonyeshe.

Chukua mduara wa kitengo unaozingatia mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili. Hebu tuzungushe hatua ya kuanzia A (1, 0) kwa pembe ya hadi digrii 90 na kuteka kutoka kwa hatua ya kusababisha A 1 (x, y) perpendicular kwa mhimili wa x. Katika pembetatu ya kulia inayosababisha, angle A 1 O H ni sawa na angle ya mzunguko α, urefu wa mguu O H ni sawa na abscissa ya uhakika A 1 (x, y) . Urefu wa mguu kinyume na kona ni sawa na uratibu wa hatua A 1 (x, y), na urefu wa hypotenuse ni sawa na moja, kwa kuwa ni radius ya mzunguko wa kitengo.

Kwa mujibu wa ufafanuzi kutoka kwa jiometri, sine ya angle α ni sawa na uwiano wa mguu kinyume na hypotenuse.

dhambi α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Hii ina maana kwamba ufafanuzi wa sine wa pembe ya papo hapo katika pembetatu ya kulia kupitia uwiano wa kipengele ni sawa na ufafanuzi wa sine ya pembe ya mzunguko α, huku alfa ikiwa katika safu kutoka digrii 0 hadi 90.

Vile vile, mawasiliano ya ufafanuzi yanaweza kuonyeshwa kwa cosine, tangent na cotangent.

Ukiona kosa katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Walimu wanaamini kuwa kila mwanafunzi anapaswa kuwa na uwezo wa kufanya mahesabu, kujua fomula za trigonometric, lakini sio kila mwalimu anaelezea sine na cosine ni nini. Nini maana yao, zinatumika wapi? Kwa nini tunazungumza juu ya pembetatu, lakini mduara hutolewa kwenye kitabu cha maandishi? Hebu jaribu kuunganisha ukweli wote pamoja.

Somo la shule

Utafiti wa trigonometry kawaida huanza katika darasa la 7 au 8 la shule ya upili. Kwa wakati huu, wanafunzi wanaelezwa nini sine na cosine ni, hutolewa kutatua matatizo ya kijiometri kwa kutumia kazi hizi. Baadaye, fomula na misemo ngumu zaidi zinaonekana ambazo zinahitaji kubadilishwa kwa njia ya algebraic (fomula za pembe mbili na nusu, kazi za nguvu), kazi inafanywa na mduara wa trigonometric.

Hata hivyo, walimu si mara zote wanaweza kueleza kwa uwazi maana ya dhana zilizotumiwa na ufaafu wa fomula. Kwa hiyo, mara nyingi mwanafunzi haoni uhakika katika somo hili, na habari iliyokaririwa husahaulika haraka. Walakini, inafaa kuelezea mara moja kwa mwanafunzi wa shule ya upili, kwa mfano, uhusiano kati ya kazi na harakati ya oscillatory, na unganisho la kimantiki litakumbukwa kwa miaka mingi, na utani juu ya kutokuwa na maana kwa somo hilo litakuwa jambo la kawaida. yaliyopita.

Matumizi

Kwa ajili ya udadisi, hebu tuangalie katika matawi mbalimbali ya fizikia. Je, ungependa kubaini aina mbalimbali za projectile? Au unahesabu nguvu ya msuguano kati ya kitu na uso fulani? Kuzungusha pendulum, kutazama miale inayopita kwenye glasi, kuhesabu induction? Dhana za trigonometric zinaonekana karibu na fomula yoyote. Kwa hivyo sine na cosine ni nini?

Ufafanuzi

Sine ya pembe ni uwiano wa mguu kinyume na hypotenuse, cosine ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse sawa. Hakuna kitu ngumu kabisa hapa. Labda wanafunzi kawaida huchanganyikiwa na maadili ambayo wanaona kwenye jedwali la trigonometric, kwa sababu mizizi ya mraba inaonekana hapo. Ndio, kupata sehemu za decimal kutoka kwao sio rahisi sana, lakini ni nani alisema kwamba nambari zote katika hisabati zinapaswa kuwa sawa?

Kwa kweli, unaweza kupata maoni ya kuchekesha katika vitabu vya shida vya trigonometry: majibu mengi hapa ni hata na, katika hali mbaya zaidi, yana mzizi wa mbili au tatu. Hitimisho ni rahisi: ikiwa umepata sehemu ya "hadithi nyingi" katika jibu lako, angalia mara mbili suluhisho la makosa katika hesabu au hoja. Na uwezekano mkubwa utawapata.

Nini cha kukumbuka

Kama ilivyo katika sayansi yoyote, katika trigonometry kuna data ambayo lazima ijifunze.

Kwanza, unapaswa kukumbuka maadili ya nambari kwa sines, cosines ya pembetatu ya kulia 0 na 90, pamoja na digrii 30, 45 na 60. Viashiria hivi vinapatikana katika kazi tisa kati ya kumi za shule. Kuangalia maadili haya kwenye kitabu cha maandishi, utapoteza muda mwingi, na hakutakuwa na mahali pa kuangalia udhibiti au mtihani.

Ni lazima ikumbukwe kwamba thamani ya kazi zote mbili haiwezi kuzidi moja. Ikiwa popote katika hesabu unapata thamani nje ya safu ya 0-1, sitisha na usuluhishe tatizo tena.

Jumla ya miraba ya sine na kosine ni sawa na moja. Ikiwa tayari umepata mojawapo ya thamani, tumia fomula hii kupata nyingine.

Nadharia

Kuna nadharia mbili kuu katika trigonometry ya msingi: sines na cosines.

Wa kwanza anasema kwamba uwiano wa kila upande wa pembetatu kwa sine ya pembe kinyume ni sawa. Ya pili ni kwamba mraba wa upande wowote unaweza kupatikana kwa kuongeza mraba wa pande mbili zilizobaki na kupunguza mara mbili ya bidhaa zao, kuzidishwa na cosine ya pembe iliyo kati yao.

Kwa hivyo, ikiwa tunabadilisha thamani ya pembe ya digrii 90 kwenye theorem ya cosine, tunapata ... theorem ya Pythagorean. Sasa, ikiwa unahitaji kuhesabu eneo la takwimu ambayo sio pembetatu sahihi, huwezi kuwa na wasiwasi tena - nadharia mbili zinazozingatiwa zitarahisisha sana suluhisho la shida.

Malengo na malengo

Kujifunza trigonometry itakuwa rahisi zaidi unapotambua ukweli mmoja rahisi: vitendo vyote unavyofanya vinalenga kufikia lengo moja. Vigezo vyovyote vya pembetatu vinaweza kupatikana ikiwa unajua kiwango cha chini sana cha habari juu yake - inaweza kuwa thamani ya pembe moja na urefu wa pande mbili au, kwa mfano, pande tatu.

Kuamua sine, cosine, tangent ya pembe yoyote, data hizi zinatosha; kwa msaada wao, unaweza kuhesabu kwa urahisi eneo la takwimu. Karibu kila wakati, moja ya maadili yaliyotajwa inahitajika kama jibu, na unaweza kupata yao kwa kutumia fomula sawa.

Kutokubaliana katika utafiti wa trigonometry

Mojawapo ya maswali yasiyoeleweka ambayo wanafunzi wanapendelea kuepuka ni kugundua uhusiano kati ya dhana tofauti katika trigonometria. Inaweza kuonekana kuwa pembetatu hutumiwa kusoma sines na cosines za pembe, lakini kwa sababu fulani alama mara nyingi hupatikana kwenye takwimu na duara. Kwa kuongeza, kuna grafu isiyoeleweka kabisa inayofanana na wimbi inayoitwa sinusoid, ambayo haina kufanana kwa nje na mduara au pembetatu.

Kwa kuongezea, pembe hupimwa kwa digrii au kwa radians, na nambari ya Pi, iliyoandikwa tu kama 3.14 (bila vitengo), kwa sababu fulani inaonekana katika fomula, inayolingana na digrii 180. Yote yanaunganishwaje?

Vitengo

Kwa nini pi hasa 3.14? Je, unakumbuka thamani hii ni nini? Hii ni idadi ya radii ambayo inafaa kwenye safu kwenye nusu ya duara. Ikiwa kipenyo cha mduara ni sentimita 2, mzunguko utakuwa 3.14 * 2, au 6.28.

Jambo la pili: unaweza kuwa umeona kufanana kwa maneno "radian" na "radius". Ukweli ni kwamba radian moja ni nambari sawa na thamani ya pembe iliyowekwa kutoka katikati ya duara hadi arc yenye urefu wa radius moja.

Sasa tunachanganya ujuzi uliopatikana na kuelewa kwa nini "Pi katika nusu" imeandikwa juu ya mhimili wa kuratibu katika trigonometry, na "Pi" imeandikwa upande wa kushoto. Hii ni thamani ya angular inayopimwa katika radiani, kwa sababu nusu duara ni digrii 180, au radiani 3.14. Na pale ambapo kuna digrii, kuna sines na cosines. Pembetatu ni rahisi kuteka kutoka kwa hatua inayotakiwa, kuahirisha makundi katikati na kwa mhimili wa kuratibu.

Hebu tuangalie katika siku zijazo

Trigonometry, iliyosoma shuleni, inahusika na mfumo wa kuratibu wa rectilinear, ambapo, bila kujali jinsi ya ajabu inaweza kuonekana, mstari ni mstari.

Lakini kuna njia ngumu zaidi za kufanya kazi na nafasi: jumla ya pembe za pembetatu hapa itakuwa zaidi ya digrii 180, na mstari wa moja kwa moja katika mtazamo wetu utaonekana kama arc halisi.

Wacha tuondoke kutoka kwa maneno kwenda kwa vitendo! Chukua tufaha. Fanya kupunguzwa tatu kwa kisu ili unapotazamwa kutoka juu upate pembetatu. Toa kipande cha apple na uangalie "mbavu" ambapo peel inaisha. Hazijanyooka hata kidogo. Matunda mikononi mwako yanaweza kuitwa pande zote, na sasa fikiria jinsi fomula lazima ziwe ngumu, kwa msaada ambao unaweza kupata eneo la kipande kilichokatwa. Lakini wataalam wengine hutatua shida kama hizo kila siku.

Kazi za Trigonometric katika maisha halisi

Umeona kuwa njia fupi zaidi ya ndege kutoka kwa uhakika A hadi B kwenye uso wa sayari yetu ina umbo la arc iliyotamkwa? Sababu ni rahisi: Dunia ni spherical, ambayo ina maana kwamba huwezi kuhesabu mengi kwa kutumia pembetatu - hapa unapaswa kutumia fomula ngumu zaidi.

Hauwezi kufanya bila sine / cosine ya pembe ya papo hapo katika suala lolote linalohusiana na nafasi. Inashangaza kwamba mambo kadhaa yanaungana hapa: kazi za trigonometric zinahitajika wakati wa kuhesabu mwendo wa sayari katika miduara, ellipses na trajectories mbalimbali za maumbo magumu zaidi; mchakato wa kurusha roketi, satelaiti, shuttles, undocking magari ya utafiti; kutazama nyota za mbali na kusoma galaksi ambazo wanadamu hawataweza kuzifikia wakati ujao unaoonekana.

Kwa ujumla, uwanja wa shughuli ya mtu ambaye anamiliki trigonometry ni pana sana na, inaonekana, itapanua tu kwa wakati.

Hitimisho

Leo tumejifunza au, kwa hali yoyote, tulirudia nini sine na cosine ni. Hizi ni dhana ambazo huna haja ya kuogopa - unataka tu, na utaelewa maana yao. Kumbuka kwamba trigonometry sio lengo, lakini ni chombo tu ambacho kinaweza kutumika kukidhi mahitaji halisi ya kibinadamu: kujenga nyumba, kuhakikisha usalama wa trafiki, hata ujuzi wa expanses wa ulimwengu.

Hakika, sayansi yenyewe inaweza kuonekana kuwa ya kuchosha, lakini mara tu unapopata ndani yake njia ya kufikia malengo yako mwenyewe, kujitambua, mchakato wa kujifunza utavutia, na motisha yako ya kibinafsi itaongezeka.

Kwa kazi ya nyumbani, jaribu kutafuta njia za kutumia vipengele vya trigonometric kwenye sehemu ambayo inakuvutia wewe binafsi. Ndoto juu, washa mawazo yako, na basi hakika itageuka kuwa maarifa mapya yatakuwa na msaada kwako katika siku zijazo. Na zaidi ya hayo, hisabati ni muhimu kwa maendeleo ya jumla ya kufikiri.