የተራዘመ ማትሪክስ ምሳሌን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል። የማትሪክስ ደረጃን ማግኘት. የማትሪክስ ደረጃን በፍቺ መፈለግ

የማትሪክስ ደረጃ አስፈላጊ የቁጥር ባህሪ ነው። የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት የሚያስፈልገው በጣም የተለመደው ችግር የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ወጥነት ያለው መሆኑን ማረጋገጥ ነው። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የማትሪክስ ደረጃን ፅንሰ-ሀሳብ እንሰጣለን እና እሱን ለማግኘት ዘዴዎችን እንመረምራለን ። ትምህርቱን የበለጠ ለመረዳት ለብዙ ምሳሌዎች መፍትሄዎችን በዝርዝር እንመረምራለን ።

የገጽ አሰሳ።

የማትሪክስ ደረጃን መወሰን እና አስፈላጊ ተጨማሪ ጽንሰ-ሐሳቦች.

የማትሪክስ ደረጃን ትርጉም ከመግለጽዎ በፊት ለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ ጽንሰ-ሀሳብ ጥሩ ግንዛቤ ሊኖርዎት ይገባል ፣ እና የማትሪክስ አካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ማግኘት ወሳኙን የመቁጠር ችሎታን ያሳያል። ስለዚህ, አስፈላጊ ከሆነ, የአንቀጹን ንድፈ ሃሳብ, የማትሪክስ መፈለጊያ ዘዴዎችን እና የመወሰን ባህሪያትን እንዲያስታውሱ እንመክራለን.

የትእዛዝ ማትሪክስ A እንውሰድ። k አንዳንድ የተፈጥሮ ቁጥሮች ከ m እና n ቁጥሮች ትንሹ የማይበልጥ ይሁን፣ ማለትም፣ .

ፍቺ

አነስተኛ kth ትዕዛዝማትሪክስ A የማትሪክስ ኤ አባሎችን ያቀፈ የካሬ ማትሪክስ ቅደም ተከተልን የሚወስን ነው ፣ እሱም አስቀድሞ በተመረጡት k ረድፎች እና k አምዶች ውስጥ የሚገኝ እና የማትሪክስ ኤ አካላት ዝግጅት ተጠብቆ ይቆያል።

በሌላ አነጋገር በማትሪክስ A ውስጥ (p-k) ረድፎችን እና (n-k) አምዶችን ከሰረዝን እና ከቀሪዎቹ ንጥረ ነገሮች ማትሪክስ እንፈጥራለን ፣ የማትሪክስ A አካላትን ዝግጅት እንጠብቃለን ፣ ከዚያ የሚወስነው የተገኘው ማትሪክስ የማትሪክስ A አነስተኛ ቅደም ተከተል k ነው።

ምሳሌን በመጠቀም የማትሪክስ አናሳ ፍቺን እንመልከት።

ማትሪክስ አስቡበት .

የዚህን ማትሪክስ የመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎችን እንፃፍ። ለምሳሌ የማትሪክስ A ሶስተኛውን ረድፍ እና ሁለተኛ አምድ ከመረጥን ምርጫችን ከአንደኛ ደረጃ ትንሽ ልጅ ጋር ይዛመዳል። . በሌላ አነጋገር, ይህንን ትንሽ ለማግኘት, የመጀመሪያውን እና ሁለተኛ ረድፎችን, እንዲሁም የመጀመሪያውን, ሶስተኛውን እና አራተኛውን አምዶች ከማትሪክስ A, እና ከቀሪው ኤለመንቱ ውስጥ ወሳኙን አደረግን. የማትሪክስ A የመጀመሪያውን ረድፍ እና ሶስተኛውን ዓምድ ከመረጥን, ከዚያም ትንሽ እናገኛለን .

ከግምት ውስጥ የገቡትን የመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎችን የማግኘት ሂደቱን በምሳሌ እናሳይ
እና .

ስለዚህ የማትሪክስ የመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎች የማትሪክስ አካላት እራሳቸው ናቸው።

በርካታ ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን እናሳይ። ሁለት ረድፎችን እና ሁለት አምዶችን ይምረጡ. ለምሳሌ, የመጀመሪያውን እና ሁለተኛ ረድፎችን እና ሶስተኛውን እና አራተኛውን አምዶች ይውሰዱ. በዚህ ምርጫ ሁለተኛ ደረጃ ትንሽ ልጅ አለን . ይህ አናሳ የሶስተኛውን ረድፍ፣ የመጀመሪያ እና ሁለተኛ አምዶችን ከማትሪክስ A በመሰረዝ ሊጣመር ይችላል።

ሌላው የማትሪክስ A ሁለተኛ ደረጃ አነስተኛ ነው።

የእነዚህን ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ግንባታ በምሳሌ እናሳይ
እና .

በተመሳሳይም የማትሪክስ A ሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ሊገኙ ይችላሉ. በማትሪክስ A ውስጥ ሶስት ረድፎች ብቻ ስለሆኑ ሁሉንም እንመርጣለን. የእነዚህን ረድፎች የመጀመሪያዎቹን ሶስት አምዶች ከመረጥን, የሶስተኛ ደረጃ ጥቃቅን እናገኛለን

እንዲሁም የማትሪክስ A የመጨረሻውን አምድ በማቋረጥ መገንባት ይቻላል.

ሌላው ሦስተኛው ትዕዛዝ አነስተኛ ነው

የማትሪክስ A ሶስተኛውን አምድ በመሰረዝ የተገኘ።

የእነዚህ የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ግንባታ የሚያሳይ ምስል እዚህ አለ
እና .

ለተሰጠው ማትሪክስ ሀ ከሶስተኛ በላይ የሆኑ ጥቃቅን ቅደም ተከተሎች የሉም፣ ምክንያቱም .

ስንት የ kth ቅደም ተከተል ታዳጊዎች የማትሪክስ A ቅደም ተከተል አላቸው?

የትዕዛዝ k ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች እንደ, የት ሊሰላ ይችላል እና - ከ p እስከ k እና ከ n እስከ k የጥምረቶች ብዛት.

ሁሉንም ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች እንዴት ማትሪክስ A of order p by n መገንባት እንችላለን?

ብዙ የማትሪክስ ረድፍ ቁጥሮች እና ብዙ የአምድ ቁጥሮች ያስፈልጉናል. ሁሉንም ነገር እንጽፋለን የ p ንጥረ ነገሮች ጥምረት በ k(ትንንሽ ቅደም ተከተል k ሲገነቡ ከተመረጡት የማትሪክስ ረድፎች ጋር ይዛመዳሉ)። ለእያንዳንዱ የረድፍ ቁጥሮች ጥምረት ሁሉንም የ k አምድ ቁጥሮች n ንጥረ ነገሮች በቅደም ተከተል እንጨምራለን ። እነዚህ የረድፍ ቁጥሮች ጥምረት እና የማትሪክስ A አምድ ቁጥሮች ሁሉንም ጥቃቅን ቅደም ተከተሎች ለመጻፍ ይረዳሉ.

በምሳሌ እንየው።

ለምሳሌ.

ሁሉንም የማትሪክስ ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ያግኙ።

መፍትሄ።

የዋናው ማትሪክስ ቅደም ተከተል 3 በ 3 ስለሆነ ፣ አጠቃላይ የሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ይሆናሉ .

ሁሉንም ከ 3 እስከ 2 የረድፍ ቁጥሮች ማትሪክስ A ውህዶችን እንፃፍ 1, 2; 1፣ 3 እና 2፣ 3። ሁሉም ከ 3 እስከ 2 የአምድ ቁጥሮች ጥምረት 1, 2; 1፣ 3 እና 2፣ 3።

የማትሪክስ A የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ረድፎችን እንውሰድ. ለእነዚህ ረድፎች የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ዓምዶችን ፣ የመጀመሪያ እና ሦስተኛ ዓምዶችን ፣ ሁለተኛውን እና ሦስተኛውን አምዶችን በመምረጥ አናሳዎቹን በቅደም ተከተል እናገኛለን ።

ለመጀመሪያዎቹ እና ለሦስተኛው ረድፎች, ተመሳሳይ የአምዶች ምርጫ, እኛ አለን

የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን ፣ አንደኛ እና ሶስተኛውን ፣ ሁለተኛ እና ሶስተኛውን አምዶች ወደ ሁለተኛው እና ሦስተኛው ረድፎች ለመጨመር ይቀራል ።

ስለዚህ፣ ሁሉም ዘጠኝ ሁለተኛ ደረጃ የማትሪክስ A ጥቃቅን ልጆች ተገኝተዋል።

አሁን የማትሪክስ ደረጃን ለመወሰን መቀጠል እንችላለን.

ፍቺ

ማትሪክስ ደረጃየማትሪክስ ዜሮ ያልሆኑ ጥቃቅን ከፍተኛው ቅደም ተከተል ነው።

የማትሪክስ ደረጃ A ደረጃ (A) ተብሎ ይገለጻል። እንዲሁም Rg(A) ወይም Rang(A) ስያሜዎችን ማግኘት ይችላሉ።

ከማትሪክስ ደረጃ እና አነስተኛ ማትሪክስ ትርጓሜዎች ፣ የዜሮ ማትሪክስ ደረጃ ከዜሮ ጋር እኩል ነው ፣ እና ዜሮ ያልሆነ ማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ያነሰ አይደለም ብለን መደምደም እንችላለን።

የማትሪክስ ደረጃን በፍቺ መፈለግ።

ስለዚህ, የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት የመጀመሪያው ዘዴ ነው ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን የመቁጠር ዘዴ. ይህ ዘዴ የማትሪክስ ደረጃን በመወሰን ላይ የተመሰረተ ነው.

የማትሪክስ A ቅደም ተከተል ደረጃ ማግኘት ያስፈልገናል.

ባጭሩ እንግለጽ አልጎሪዝምለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በመቁጠር ይህንን ችግር መፍታት.

የማትሪክስ ቢያንስ አንድ አካል ከዜሮ የተለየ ከሆነ ፣የማትሪክስ ደረጃ ቢያንስ ከአንድ ጋር እኩል ነው (ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ የመጀመሪያ ደረጃ ትንሽ ልጅ ስላለ)።

በመቀጠል ሁለተኛውን ቅደም ተከተል አናሳዎችን እንመለከታለን. ሁሉም ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ የማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው. የሁለተኛው ቅደም ተከተል ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ ትንሽ ከሆነ ፣ የሶስተኛውን ቅደም ተከተል አናሳዎችን መዘርዘር እንቀጥላለን ፣ እና የማትሪክስ ደረጃ ቢያንስ ከሁለት ጋር እኩል ነው።

በተመሳሳይ ፣ ሁሉም የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ዜሮ ከሆኑ ፣ ከዚያ የማትሪክስ ደረጃ ሁለት ነው። ከዜሮ ሌላ ቢያንስ አንድ የሶስተኛ ቅደም ተከተል አነስተኛ ከሆነ የማትሪክስ ደረጃ ቢያንስ ሶስት ነው እና ወደ አራተኛ ደረጃ ያልደረሱትን ወደ መቁጠር እንቀጥላለን።

የማትሪክስ ደረጃ ከፒ እና n ቁጥሮች ትንሹን መብለጥ እንደማይችል ልብ ይበሉ።

ለምሳሌ.

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ .

መፍትሄ።

ማትሪክስ ዜሮ ያልሆነ ስለሆነ, ደረጃው ከአንድ ያነሰ አይደለም.

የሁለተኛው ትዕዛዝ አነስተኛ ከዜሮ የተለየ ነው, ስለዚህ, የማትሪክስ A ደረጃ ቢያንስ ሁለት ነው. የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ወደ መቁጠር እንሸጋገራለን. በጠቅላላው ነገሮች.

ሁሉም የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው። ስለዚህ, የማትሪክስ ደረጃ ሁለት ነው.

መልስ፡-

ደረጃ (A) = 2.

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ሕፃናትን ድንበር ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ማግኘት።

በአነስተኛ ስሌት ስራ ውጤቱን እንዲያገኙ የሚያስችልዎ የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት ሌሎች ዘዴዎች አሉ.

አንዱ እንደዚህ ዓይነት ዘዴ ነው የጠርዝ ጥቃቅን ዘዴ.

እንቋቋማለን። የጠርዝ ጥቃቅን ጽንሰ-ሀሳብ.

ከማትሪክስ ሀ (k+1) ኛ ቅደም ተከተል አንድ ትንሽ M ok ከማትሪክስ A አነስተኛ M ትእዛዝ k ጋር ይዋሰናል ተብሏል። ኤም.

በሌላ አገላለጽ ፣ ከድንበሩ ትንሽ M ጋር የሚዛመደው ማትሪክስ የሚገኘው ከአንድ ረድፍ እና ከአንድ አምድ ያሉትን ንጥረ ነገሮች በመሰረዝ ከድንበሩ ትንሽ M ok ጋር ከሚዛመደው ማትሪክስ ነው።

ለምሳሌ, ማትሪክስን አስቡበት እና ሁለተኛ ደረጃ ትንሽ ይውሰዱ. ሁሉንም አዋሳኝ ታዳጊዎችን እንፃፍ፡-

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን የመገደብ ዘዴው በሚከተለው ንድፈ ሃሳብ ይጸድቃል (አጻጻፉን ያለማስረጃ እናቀርባለን)።

ቲዎረም.

ከ kth ቅደም ተከተል አናሳ የማትሪክስ A of order p by n የሚዋሰኑ ሁሉም ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ፣ ሁሉም ያልደረሱ የትእዛዝ (k+1) ማትሪክስ A ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው።

ስለዚህ የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት በበቂ ሁኔታ ድንበር የሆኑትን ሁሉንም ታዳጊዎች ማለፍ አስፈላጊ አይደለም. የማትሪክስ A ማትሪክስ የ kth ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ቁጥር በቀመር ይገኛል . ከማትሪክስ A (k + 1) የትእዛዝ ታዳጊዎች ካሉት የ k-th ቅደም ተከተል አናሳ የሆኑ ታዳጊዎች እንደሌሉ ልብ ይበሉ። ስለዚህ, በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች, ለአካለ መጠን ያልደረሱ ሕፃናትን የመገደብ ዘዴን መጠቀም ሁሉንም ታዳጊዎችን ብቻ ከመቁጠር የበለጠ ትርፋማ ነው.

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ሕፃናትን ድንበር የማገናኘት ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ወደ መፈለግ እንሂድ። ባጭሩ እንግለጽ አልጎሪዝምይህ ዘዴ.

ማትሪክስ A ዜሮ ከሆነ፣ እንደ መጀመሪያ-ትዕዛዝ አናሳ እንደመሆናችን መጠን ከዜሮ የተለየ ማንኛውንም የማትሪክስ A አካል እንወስዳለን። አዋሳኝ የሆኑትን ታዳጊዎችን እንይ። ሁሉም ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ የማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው. ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አዋሳኝ አካለ መጠን ካለ (ትዕዛዙ ሁለት ነው)፣ ከዚያም የድንበሩን ታዳጊዎችን ግምት ውስጥ ማስገባት እንቀጥላለን። ሁሉም ዜሮ ከሆኑ ደረጃ(A) = 2። ቢያንስ አንድ አዋሳኝ አካለ መጠን ዜሮ ካልሆነ (ትዕዛዙ ሦስት ነው)፣ ከዚያም የድንበሩን ታዳጊዎችን እንመለከታለን። እናም ይቀጥላል. በውጤቱም፣ ደረጃ(A) = k ሁሉም የማትሪክስ (k + 1) ኛ ቅደም ተከተል ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ፣ ወይም ደረጃ(A) = ደቂቃ(p፣n) ያልሆነ ካለ - ለአካለ መጠን ያልደረሰ የትዕዛዝ ድንበር ዜሮ አናሳ (ደቂቃ(p፣ n) – 1)

ምሳሌን ተጠቅመን የማትሪክስ ደረጃ ለማግኘት ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን የማዋረድ ዘዴን እንመልከት።

ለምሳሌ.

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በድንበር ዘዴ.

መፍትሄ።

የ1 1 ማትሪክስ ኤ ኤለመንት ዜሮ ያልሆነ ስለሆነ፣ እንደ መጀመሪያ-ትዕዛዝ አናሳ እንወስደዋለን። ከአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ ከዜሮ የተለየን መፈለግ እንጀምር፡-

የሁለተኛው ቅደም ተከተል ጠርዝ ትንሽ, ከዜሮ የተለየ, ተገኝቷል. ድንበሯን ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን እንይ (የእነሱ ነገሮች፡-

ከሁለተኛ ደረጃ ትንሽ ልጅ ጋር የሚገናኙ ሁሉም ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው, ስለዚህ, የማትሪክስ A ደረጃ ከሁለት ጋር እኩል ነው.

መልስ፡-

ደረጃ (A) = 2.

ለምሳሌ.

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ የድንበር ታዳጊዎችን በመጠቀም.

መፍትሄ።

እንደ መጀመሪያው ቅደም ተከተል ዜሮ ያልሆነ አናሳ፣ የማትሪክስ A ን 1 1 = 1 እንወስዳለን። የሁለተኛው ትእዛዝ አከባቢ ትንሽ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. ይህ ለአካለ መጠን ያልደረሰው በሦስተኛ ደረጃ ለአካለ መጠን ያልደረሰ ሰው ይዋሰናል።
. ከዜሮ ጋር እኩል ስላልሆነ እና ለእሱ አንድ ነጠላ ድንበር ትንሽ ስለሌለ, የማትሪክስ A ደረጃ ከሶስት እኩል ነው.

መልስ፡-

ደረጃ (A) = 3.

የአንደኛ ደረጃ ማትሪክስ ለውጦችን (የጋውስ ዘዴ) በመጠቀም ደረጃውን ማግኘት.

የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት ሌላ መንገድ እናስብ።

የሚከተሉት የማትሪክስ ለውጦች አንደኛ ደረጃ ይባላሉ፡-

የማትሪክስ ረድፎችን (ወይም ዓምዶችን) እንደገና ማስተካከል;
የማንኛውንም ረድፍ (አምድ) ማትሪክስ ንጥረ ነገሮች በዘፈቀደ ቁጥር k ከዜሮ የተለየ ማባዛት;
በአንድ ረድፍ (አምድ) ላይ በማትሪክስ የሌላ ረድፍ (አምድ) ተጓዳኝ ንጥረ ነገሮች ላይ መጨመር በዘፈቀደ ቁጥር ተባዝቷል.

ማትሪክስ B ከማትሪክስ A ጋር እኩል ይባላል, B ከኤ የተገኘ ከሆነ የተወሰነ ቁጥር ያለው የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን በመጠቀም. የማትሪክስ እኩልነት “~” በሚለው ምልክት ይገለጻል፣ ማለትም፣ A ~ B የተጻፈ።

የአንደኛ ደረጃ ማትሪክስ ትራንስፎርሜሽን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ማግኘት በአረፍተ ነገሩ ላይ የተመሰረተ ነው፡- ማትሪክስ B ከማትሪክስ A የተወሰነ ቁጥር ያለው የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን በመጠቀም የተገኘ ከሆነ፣ ደረጃ(A) = ደረጃ(B)።

የዚህ መግለጫ ትክክለኛነት ከማትሪክስ ወሳኙ ባህሪያት ይከተላል፡

የማትሪክስ ረድፎችን (ወይም ዓምዶችን) እንደገና ሲያደራጁ የሚወስነው ምልክት ይለወጣል። ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ, ከዚያም ረድፎች (አምዶች) እንደገና ሲደራጁ, ከዜሮ ጋር እኩል ሆኖ ይቆያል.
የማንኛውንም ረድፍ (አምድ) ማትሪክስ ንጥረ ነገሮች በዘፈቀደ ቁጥር k ከዜሮ ሌላ ሲያባዙ፣ የውጤቱ ማትሪክስ ወሳኙ ከዋናው ማትሪክስ መወሰኛ ጋር እኩል ነው። የዋናው ማትሪክስ መወሰኛ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ፣ ከዚያ ሁሉንም የረድፎች ወይም አምዶች ንጥረ ነገሮች በቁጥር k ካባዙ በኋላ የውጤቱ ማትሪክስ ወሰን ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል።
በማትሪክስ የተወሰነ ረድፍ (አምድ) አካላት ላይ የሌላ ረድፍ (አምድ) ማትሪክስ ተጓዳኝ አካላትን መጨመር በተወሰነ ቁጥር k ተባዝቷል ፣ የሚወስነውን አይለውጠውም።

የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ዘዴ ዋናው ነገርየአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ደረጃውን ወደ ትራፔዞይድ (በተለየ ሁኔታ ወደ ላይኛው ባለ ሶስት ማዕዘን) ማግኘት ያለብን ማትሪክስ መቀነስን ያካትታል።

ለምንድነው ይህ የሚደረገው? የዚህ አይነት ማትሪክስ ደረጃ ለማግኘት በጣም ቀላል ነው. ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አካል ከያዙ የመስመሮች ብዛት ጋር እኩል ነው። እና የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በሚያከናውንበት ጊዜ የማትሪክስ ደረጃ አይለወጥም, የተገኘው እሴት የዋናው ማትሪክስ ደረጃ ይሆናል.

የማትሪክስ ምሳሌዎችን እንሰጣለን, ከነዚህም አንዱ ከተቀየረ በኋላ ሊገኝ ይገባል. የእነሱ ገጽታ በማትሪክስ ቅደም ተከተል ይወሰናል.

እነዚህ ምሳሌዎች ማትሪክስ ሀ የምንለውጥባቸው አብነቶች ናቸው።

እንግለጽ ዘዴ ስልተ ቀመር.

ዜሮ ያልሆነ ማትሪክስ የትእዛዝ ደረጃን መፈለግ አለብን (p ከ n ጋር እኩል ሊሆን ይችላል)።

ስለዚህ,. የማትሪክስ A የመጀመሪያ ረድፍ ሁሉንም አካላት በ . በዚህ አጋጣሚ፣ A (1)ን የሚያመለክት ተመጣጣኝ ማትሪክስ እናገኛለን።

የውጤቱ ማትሪክስ A (1) በሁለተኛው ረድፍ አካላት ላይ የመጀመሪያውን ረድፍ ተጓዳኝ አካላትን እንጨምራለን ፣ ተባዝተናል። በሶስተኛው መስመር አካላት ላይ የመጀመሪያውን መስመር ተጓዳኝ አካላትን እንጨምራለን, ተባዝተናል. እና ስለዚህ እስከ p-th መስመር ድረስ. ተመጣጣኝ ማትሪክስ እናግኝ፣ A (2)ን አመልክት፦

ከሁለተኛው እስከ p-th ባሉት ረድፎች ውስጥ የሚገኙት ሁሉም የውጤት ማትሪክስ አካላት ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው ፣ እና በዚህ ምክንያት የዋናው ማትሪክስ ደረጃ እኩል ነው። ወደ አንዱ።

ከሁለተኛው እስከ p-th ባሉት መስመሮች ውስጥ ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አካል ካለ, ለውጦችን ማካሄድ እንቀጥላለን. በተጨማሪም ፣ እኛ በትክክል በተመሳሳይ መንገድ እንሰራለን ፣ ግን በስዕሉ ላይ ምልክት በተደረገበት የማትሪክስ A (2) ክፍል ብቻ።

ከሆነ፣ ረድፎቹን እና (ወይም) አምዶችን የማትሪክስ A (2) እናስተካክላለን ስለዚህም “አዲሱ” ንጥረ ነገር ዜሮ ያልሆነ ይሆናል።

ከማትሪክስ ደረጃ ጽንሰ-ሀሳብ ጋር ለመስራት, ከርዕሱ መረጃ እንፈልጋለን "አልጀብራ ማሟያዎች እና ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች. ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች እና አልጀብራ ማሟያዎች." በመጀመሪያ ደረጃ, ይህ "ማትሪክስ ጥቃቅን" የሚለውን ቃል ይመለከታል, ምክንያቱም የማትሪክስ ደረጃን በትክክል የምንወስነው በትናንሽ ልጆች ነው.

ማትሪክስ ደረጃለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ከፍተኛው ቅደም ተከተል ነው, ከእነዚህም መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ.

ተመጣጣኝ ማትሪክስ- ደረጃቸው እርስ በርስ እኩል የሆነ ማትሪክስ.

የበለጠ በዝርዝር እናብራራ። ከሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ የተለየ አለ እንበል. እና ቅደም ተከተላቸው ከሁለት በላይ የሆኑ ሁሉም ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው. ማጠቃለያ-የማትሪክስ ደረጃ 2 ነው ወይም ለምሳሌ ፣ በአሥረኛው ቅደም ተከተል ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ። እና ከ 10 በላይ የሆነ ቅደም ተከተል ያላቸው ሁሉም ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው. ማጠቃለያ: የማትሪክስ ደረጃ 10 ነው.

የማትሪክስ $A$ ደረጃ እንደሚከተለው ተጠቁሟል፡ $\rang A$ ወይም $r(A)$። የዜሮ ማትሪክስ $O$ ደረጃ ዜሮ ነው ተብሎ ይታሰባል፣ $\rang O=0$። ትንሽ ማትሪክስ ለመፍጠር ረድፎችን እና ዓምዶችን ማቋረጥ እንደሚያስፈልግ ላስታውስዎት ፣ ግን ማትሪክስ ራሱ ከያዘው በላይ ብዙ ረድፎችን እና አምዶችን ማቋረጥ አይቻልም። ለምሳሌ፣ ማትሪክስ $F$ መጠኑ $5 ጊዜ 4$ ከሆነ (ማለትም 5 ረድፎችን እና 4 አምዶችን ከያዘ)፣ ከዚያም የአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ከፍተኛው ቅደም ተከተል አራት ነው። 5 አምዶች ስለሚያስፈልጋቸው (እና እኛ 4 ብቻ) ስለ አምስተኛው ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን መፍጠር አይቻልም. ይህ ማለት የማትሪክስ $F$ ደረጃ ከአራት በላይ መሆን አይችልም, ማለትም. $\rang F≤4$።

በጥቅሉ ሲታይ፣ ከላይ ያለው ማለት ማትሪክስ $m$ ረድፎችን እና $n$ አምዶችን ከያዘ፣ ደረጃው ከ$m$ እና $n$ ትንሹን መብለጥ አይችልም፣ ማለትም። $\rang A≤\min(m,n)$.

በመርህ ደረጃ, ከደረጃው ፍቺው የማግኘት ዘዴን ይከተላል. የማትሪክስ ደረጃን የማግኘት ሂደት ፣ በትርጉሙ ፣ በስእላዊ መልኩ እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል ።

ይህን ሥዕላዊ መግለጫ በበለጠ ዝርዝር ላብራራ። ከመጀመሪያው ጀምሮ ማመዛዘን እንጀምር, ማለትም. ከአንዳንድ ማትሪክስ $A$ የመጀመሪያ ትዕዛዝ ታዳጊዎች።

ሁሉም የመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎች (ማለትም፣ የማትሪክስ $A$ አባሎች) ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ፣ $\rang A=0$። ከመጀመሪያዎቹ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ፣ $\rang A≥ 1$። ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ወደ መፈተሽ እንሂድ።
ሁሉም ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ $\rang A=1$ ማለት ነው። ከሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ፣ $\rang A≥ 2$። የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ወደ ማረጋገጥ እንሂድ።
ሁሉም የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ $\rang A=2$ ማለት ነው። ከሦስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ፣ $\rang A≥ 3$። ወደ አራተኛ ደረጃ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ወደ መመርመር እንሂድ።
ሁሉም የአራተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ $\rang A=3$ ማለት ነው። ከአራተኛ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ፣ $\rang A≥ 4$። ወደ አምስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች እና የመሳሰሉትን ወደ መፈተሽ እንቀጥላለን.

በዚህ አሰራር መጨረሻ ላይ ምን ይጠብቀናል? በ kth ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ቢያንስ አንድ ከዜሮ የተለየ ሊሆን ይችላል, እና ሁሉም (k+1) ትንንሽ ልጆች ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናሉ. ይህ ማለት k ከፍተኛው ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ነው, ከነዚህም መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ, ማለትም. ደረጃው ከ k ጋር እኩል ይሆናል. የተለየ ሁኔታ ሊኖር ይችላል፡ በ kth ትዕዛዝ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ነገር ይኖራል፣ ነገር ግን ከአሁን በኋላ (k+1) ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ማዘዝ አይቻልም። በዚህ ሁኔታ ፣ የማትሪክስ ደረጃ ከ k ጋር እኩል ነው። በአጭሩ, የመጨረሻው የተቀናበረ ዜሮ ያልሆነ ጥቃቅን ቅደም ተከተል ከማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ይሆናል.

የማትሪክስ ደረጃን የማግኘት ሂደት በትርጉም ወደሚገለጽባቸው ምሳሌዎች እንሂድ። በዚህ ርዕስ ምሳሌዎች ውስጥ የደረጃን ትርጉም ብቻ በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን እንደምናገኝ ደግሜ አጽንኦት ልስጥ። ሌሎች ዘዴዎች (አካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ድንበር በማስላት የማትሪክስ ደረጃን በማስላት የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን በማስላት) በሚቀጥሉት ርዕሶች ውስጥ ተብራርተዋል ።

በነገራችን ላይ በምሳሌ ቁጥር 1 እና ቁጥር 2 ላይ እንደተደረገው ከትንሽ ቅደም ተከተል ታዳጊዎች ጋር ደረጃውን የማግኘት ሂደቱን መጀመር አስፈላጊ አይደለም. ወዲያውኑ ወደ ከፍተኛ ትዕዛዞች ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች መሄድ ይችላሉ (ምሳሌ ቁጥር 3 ይመልከቱ).

ምሳሌ ቁጥር 1

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ $A=\ግራ(\ጀምር(ድርድር)(ccccc) 5 እና 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ)$.

ይህ ማትሪክስ መጠን $3 ጊዜ 5$ አለው፣ i.e. ሶስት ረድፎችን እና አምስት አምዶችን ይዟል. ከቁጥሮች 3 እና 5, ዝቅተኛው 3 ነው, ስለዚህ የማትሪክስ $ A $ ደረጃ ከ 3 አይበልጥም, ማለትም. $\rang A≤ 3$ እና ይህ እኩልነት ግልፅ ነው ፣ ምክንያቱም ከአሁን በኋላ የአራተኛ ደረጃ ትናንሽ ልጆችን መፍጠር ስለማንችል - 4 ረድፎችን ይፈልጋሉ ፣ እና እኛ 3 ብቻ አለን ። የተሰጠውን ማትሪክስ ደረጃ ወደማግኘት ሂደት በቀጥታ እንሂድ ።

ከመጀመሪያዎቹ ትንንሽ ልጆች (ማለትም ከማትሪክስ $ A$ አካላት መካከል) ዜሮ ያልሆኑ አሉ። ለምሳሌ, 5, -3, 2, 7. በአጠቃላይ, በአጠቃላይ ዜሮ ያልሆኑ ንጥረ ነገሮች ብዛት ላይ ፍላጎት የለንም. ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አካል አለ - እና ያ በቂ ነው። ከመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ ስላለ፣ $\ተደወለ A≥ 1$ ብለን ደመደምን እና ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን መፈተሽ እንቀጥላለን።

ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ማሰስ እንጀምር። ለምሳሌ፣ የረድፎች ቁጥር 1፣ ቁጥር 2 እና አምዶች ቁጥር 1፣ ቁጥር 4 መገናኛ ላይ የሚከተሉት ጥቃቅን ክፍሎች አሉ፡-$\ግራ|\ጀማሪ(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ|$. ለዚህ መወሰኛ, የሁለተኛው ዓምድ ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው, ስለዚህ ወሳኙ እራሱ ከዜሮ ጋር እኩል ነው, ማለትም. $\ግራ|\ጀማሪ(አደራደር)(cc) 5 እና 0 \\ 7 & 0 \ end(array) \right|=0$ (ንብረት ቁጥር 3ን በመወሰን ንብረቶቹ ላይ ይመልከቱ)። ወይም ይህን መወሰኛ በቀላሉ ሁለተኛ እና ሶስተኛ ደረጃ መለኪያዎችን በማስላት ላይ ካለው ክፍል ቁጥር 1 በመጠቀም ማስላት ይችላሉ።

$$ \ግራ|\ጀማሪ(ድርድር)(cc) 5 እና 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right=5\cdot 0-0\cdot 7=0። $$

እኛ የሞከርነው የመጀመሪያው ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊ ከዜሮ ጋር እኩል ሆኗል። ይህ ምን ማለት ነው? ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን የበለጠ ማረጋገጥ ስለሚያስፈልገው። ወይም ሁሉም ወደ ዜሮነት ይለወጣሉ (ከዚያም ደረጃው ከ 1 ጋር እኩል ይሆናል) ወይም ከነሱ መካከል ቢያንስ አንድ ትንሽ ከዜሮ የተለየ ይሆናል. ሁለተኛ ደረጃ ትንሽ በመጻፍ የተሻለ ምርጫ ለማድረግ እንሞክር, ክፍሎቹ በረድፎች ቁጥር 1, ቁጥር 2 እና በአምዶች ቁጥር 1 እና ቁጥር 5: $\ግራ|\ጀምር (() ድርድር)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ end(array) \right|$. የዚህን ሁለተኛ ደረጃ ትንሽ ዋጋ እንፈልግ፡-

$$ \ግራ|\ጀማሪ(አደራደር)(cc) 5 እና 2 \\ 7 & 3 \መጨረሻ(ድርድር) \right=5\cdot 3-2\cdot 7=1። $$

ይህ ትንሽ ልጅ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. ማጠቃለያ፡ ከሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አለ። ስለዚህ $\u003e A≥ 2$ ደውሏል። የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ወደ ማጥናት መሄድ አለብን.

የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ለመመስረት አምድ ቁጥር 2ን ወይም አምድ ቁጥር 4ን ከመረጥን እንደነዚህ ያሉት ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናሉ (ምክንያቱም ዜሮ አምድ ስለሚይዙ)። አንድ የሶስተኛ ደረጃ ጥቃቅን ብቻ ለማጣራት ይቀራል, እነዚህ ንጥረ ነገሮች በአምዶች ቁጥር 1, ቁጥር 3, ቁጥር 5 እና ረድፎች ቁጥር 1, ቁጥር 2, ቁጥር 3 መገናኛ ላይ ይገኛሉ. ይህንን ትንሽ እንፃፍ እና ዋጋውን እናገኝ፡-

$$ \ግራ|\ጀማሪ(ድርድር)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \ end(array) \ right|=-20-18-14 +16+21+15=0። $$

ስለዚህ፣ ሁሉም የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው። እኛ ያጠናቅነው የመጨረሻው ዜሮ ያልሆነ ሁለተኛ ደረጃ ነው። ማጠቃለያ፡ ከፍተኛው የአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች፣ ከእነዚህም መካከል ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነው 2. ስለዚህ፣ $\rang A=2$ ነው።

መልስ: $\rang A=2$

ምሳሌ ቁጥር 2

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ $A=\ግራ(\ጀምር(array)(cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 እና 7 & 8 & -7 \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ)$.

የአራተኛው ቅደም ተከተል ካሬ ማትሪክስ አለን። ወዲያውኑ የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ከ 4 አይበልጥም, ማለትም. $\rang A≤ 4$ የማትሪክስ ደረጃን መፈለግ እንጀምር.

ከመጀመሪያዎቹ ታዳጊዎች መካከል (ማለትም ከማትሪክስ $A$ አካላት መካከል) ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ነው፣ ስለዚህም $\rang A≥ 1$። ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ወደ መፈተሽ እንሂድ። ለምሳሌ በረድፎች ቁጥር 2፣ ቁጥር 3 እና አምዶች ቁጥር 1 እና ቁጥር 2 መገናኛ ላይ የሚከተለውን ሁለተኛ ደረጃ ትንሽ እናገኛለን፡ $\ግራ| \\ጀማሪ(ድርድር) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. እናሰላው፡-

$$\ግራ| \ጀማሪ (ድርድር) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ|=0-10=-10። $$

ከሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ አለ፣ ስለዚህ $\rang A≥ 2$።

ወደ ሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች እንሂድ። ለምሳሌ ፣ ንጥረ ነገሮቹ በረድፍ ቁጥር 1 ፣ ቁጥር 3 ፣ ቁጥር 4 እና አምዶች ቁጥር 1 ፣ ቁጥር 2 ፣ ቁጥር 4 ላይ የሚገኙትን ለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅን እናገኝ።

$$\ግራ | \ጀማሪ(ድርድር) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0። $$

ይህ የሶስተኛ ደረጃ ትንሽ ልጅ ከዜሮ ጋር እኩል ሆኖ ስለተገኘ፣ ሌላ ሶስተኛ ደረጃ ያልደረሰውን አካል መመርመር አስፈላጊ ነው። ወይም ሁሉም ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናሉ (ከዚያ ደረጃው ከ 2 ጋር እኩል ይሆናል), ወይም ከነሱ መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ (ከዚያም አራተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ማጥናት እንጀምራለን). የሦስተኛ ደረጃ አካለ መጠን ያልደረሰን እንይ፡ ክፍሎቹም ረድፎች ቁጥር 2፣ ቁጥር 3፣ ቁጥር 4 እና አምዶች ቁጥር 2፣ ቁጥር 3፣ ቁጥር 4 መገናኛ ላይ ይገኛሉ።

$$\ግራ| \ጀማሪ(ድርድር) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

ከሦስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አለ፣ ስለዚህ $\rang A≥ 3$። ወደ አራተኛ ደረጃ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ወደ መመርመር እንሂድ።

ማንኛውም የአራተኛ ደረጃ ታዳጊ በአራት ረድፎች እና በአራት አምዶች የማትሪክስ $A$ መገናኛ ላይ ይገኛል። በሌላ አነጋገር፣ አራተኛው-ትዕዛዝ አናሳ የማትሪክስ $A$ን የሚወስን ነው፣ ምክንያቱም ይህ ማትሪክስ 4 ረድፎችን እና 4 አምዶችን ይይዛል። የዚህ ማትሪክስ መወሰኛ በርዕሱ ምሳሌ ቁጥር 2 የተሰላ ነበር "የመወሰንን ቅደም ተከተል በመቀነስ (አምድ) ውስጥ መበስበስ", ስለዚህ የተጠናቀቀውን ውጤት ብቻ እንውሰድ.

$$\ግራ| \ጀማሪ(ድርድር) (cccc) -1 እና 3 እና 2 እና -3\\ 4 & -2 እና 5 እና 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \ መጨረሻ (ድርድር)\ቀኝ|=86። $$

ስለዚህ አራተኛው ቅደም ተከተል አነስተኛ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. ከአሁን በኋላ የአምስተኛው ትዕዛዝ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን መፍጠር አንችልም። ማጠቃለያ፡ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ከፍተኛው ቅደም ተከተል፣ ከነዚህም መካከል ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ 4. ውጤት፡ $\rang A=4$ ነው።

መልስ: $\rang A=4$

ምሳሌ ቁጥር 3

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ $A=\ግራ(\ጀምር(array)(cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ)$.

ይህ ማትሪክስ 3 ረድፎችን እና 4 አምዶችን እንደያዘ ወዲያውኑ እናስተውል፣ ስለዚህ $\ደወል A≤ 3$። በቀደሙት ምሳሌዎች ውስጥ ትንሹን (የመጀመሪያውን) ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ግምት ውስጥ በማስገባት ደረጃውን የማግኘት ሂደት ጀመርን. እዚህ በተቻለ መጠን ከፍተኛውን ትዕዛዝ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ወዲያውኑ ለመመርመር እንሞክራለን. ለማትሪክስ $A$ እነዚህ የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ናቸው። የሦስተኛ ደረጃ አካለ መጠን ያልደረሰን ሰው እንይ፡ ክፍሎቹም ረድፎች ቁጥር 1፣ ቁጥር 2፣ ቁጥር 3 እና ዓምዶች ቁጥር 2፣ ቁጥር 3፣ ቁ. 4 መገናኛ ላይ ይተኛሉ።

$$\ግራ| \ጀማሪ(ድርድር) (ccc) 0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88። $$

ስለዚህ, ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ከፍተኛው ቅደም ተከተል, ከነዚህም መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ, 3. ስለዚህ, የማትሪክስ ደረጃ 3 ነው, ማለትም. $\rang A=3$

መልስ: $\rang A=3$

በአጠቃላይ፣ የማትሪክስ ደረጃን በትርጉም ማግኘት፣ በጥቅሉ ሲታይ፣ ይልቁንም ጉልበትን የሚጠይቅ ተግባር ነው። ለምሳሌ፣ $5\times 4$ መጠን ያለው በአንጻራዊ ሁኔታ አነስተኛ ማትሪክስ 60 ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች አሉት። እና ምንም እንኳን 59 ቱ ከዜሮ ጋር እኩል ቢሆኑም ፣ 60 ኛው ትንሽ ልጅ ዜሮ ያልሆነ ሊሆን ይችላል። ከዚያ የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ማጥናት አለብዎት, ከእነዚህ ውስጥ ይህ ማትሪክስ 40 ቁርጥራጮች አሉት. አብዛኛውን ጊዜ አነስተኛ አስቸጋሪ ዘዴዎችን ለመጠቀም ይሞክራሉ, ለምሳሌ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ድንበር ወይም ተመጣጣኝ የለውጥ ዘዴ.

እንዲሁም የርዕሱን ጠቃሚ ተግባራዊ አተገባበር እንመለከታለን፡- ለ ወጥነት የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ጥናት.

የማትሪክስ ደረጃ ስንት ነው?

የአንቀጹ አስቂኝ ኤፒግራፍ ብዙ እውነትን ይዟል። እኛ ብዙውን ጊዜ “ደረጃ” የሚለውን ቃል ከአንድ ዓይነት ተዋረድ ጋር እናያይዘዋለን፣ ብዙ ጊዜ ከሙያ መሰላል ጋር። አንድ ሰው የበለጠ እውቀት, ልምድ, ችሎታዎች, ግንኙነቶች, ወዘተ. - ከፍ ያለ ቦታ እና የእድሎች ክልል። በወጣትነት ደረጃ፣ ደረጃ የሚያመለክተው አጠቃላይ የ"ቁልቁለት" ደረጃ ነው።

እና የሂሳብ ወንድሞቻችን የሚኖሩት በተመሳሳይ መርሆች ነው። ለእግር ጉዞ ጥቂት በዘፈቀደ እንውሰድ ዜሮ ማትሪክስ:

በማትሪክስ ውስጥ ከሆነ, እናስብበት ሁሉም ዜሮዎች፣ እንግዲያውስ ስለየትኛው ደረጃ መነጋገር እንችላለን? ሁሉም ሰው "ጠቅላላ ዜሮ" የሚለውን መደበኛ ያልሆነ አገላለጽ ያውቃል. በማትሪክስ ማህበረሰብ ውስጥ ሁሉም ነገር ተመሳሳይ ነው-

የዜሮ ማትሪክስ ደረጃማንኛውም መጠን ከዜሮ ጋር እኩል ነው።.

ማስታወሻ ዜሮ ማትሪክስ በግሪክ ፊደል "ቴታ" ይገለጻል

የማትሪክስ ደረጃን በተሻለ ለመረዳት, ከዚህ በኋላ ለማገዝ ቁሳቁሶችን እጠቀማለሁ የትንታኔ ጂኦሜትሪ. ዜሮን አስቡ ቬክተርየእኛ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ, የተለየ አቅጣጫ የማያስቀምጥ እና ለግንባታ የማይጠቅም ነው አፊን መሠረት. ከአልጀብራ እይታ አንጻር የዚህ ቬክተር መጋጠሚያዎች ተጽፈዋል ማትሪክስ"አንድ በሦስት" እና ምክንያታዊ (በተጠቀሰው ጂኦሜትሪክ ስሜት)የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ዜሮ ነው ብለው ያስቡ።

አሁን ጥቂቶቹን እንመልከት ዜሮ ያልሆነ አምድ ቬክተሮችእና ረድፍ ቬክተሮች:

እያንዳንዱ ምሳሌ ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አካል አለው፣ እና ያ የሆነ ነገር ነው!

የማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ረድፍ ቬክተር (የአምድ ቬክተር) ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው።

እና በአጠቃላይ - በማትሪክስ ውስጥ ከሆነ የዘፈቀደ መጠኖችቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አካል አለ፣ ከዚያ የእሱ ደረጃ ያነሰ አይደለምክፍሎች.

የአልጀብራ ረድፎች ቬክተሮች እና አምድ ቬክተሮች በተወሰነ ደረጃ ረቂቅ ናቸው፣ስለዚህ እንደገና ወደ ጂኦሜትሪክ ማህበር እንሸጋገር። ዜሮ ያልሆነ ቬክተርበጠፈር ውስጥ በጣም የተወሰነ አቅጣጫ ያስቀምጣል እና ለመገንባት ተስማሚ ነው መሠረት, ስለዚህ የማትሪክስ ደረጃ ከአንድ እኩል ይቆጠራል.

የንድፈ ሐሳብ መረጃ : በመስመራዊ አልጀብራ ቬክተር የቬክተር ቦታ አካል ነው (በ 8 axioms በኩል ይገለጻል) ይህ በተለይ የታዘዘ ረድፍ (ወይም አምድ) እውነተኛ ቁጥሮችን በመደመር እና በማባዛት ስራዎች በእውነተኛ ቁጥር ሊወክል ይችላል ለእነርሱ. ስለ ቬክተሮች የበለጠ ዝርዝር መረጃ በጽሁፉ ውስጥ ሊገኝ ይችላል የመስመር ለውጦች.

በመስመር ላይ ጥገኛ(እርስ በርስ ይገለጻል). ከጂኦሜትሪክ እይታ አንጻር, ሁለተኛው መስመር የኮሊንየር ቬክተር መጋጠሚያዎችን ይዟል , ይህም በግንባታው ውስጥ ጉዳዩን ጨርሶ አላራመደም ባለ ሶስት አቅጣጫዊ መሰረትበዚህ መልኩ ከመጠን በላይ መሆን። ስለዚህ ፣ የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው።

የቬክተሮችን መጋጠሚያዎች ወደ ዓምዶች እንጽፋቸው ( ማትሪክስ ያስተላልፉ):

ከደረጃው አንፃር ምን ተቀየረ? መነም. ዓምዶቹ ተመጣጣኝ ናቸው, ይህም ማለት ደረጃው ከአንድ ጋር እኩል ነው. በነገራችን ላይ ሦስቱም መስመሮች እንዲሁ ተመጣጣኝ መሆናቸውን ልብ ይበሉ. በመጋጠሚያዎች ሊታወቁ ይችላሉ ሶስትየአውሮፕላኑ collinear vectors, ከእነዚህ ውስጥ አንድ ብቻ"ጠፍጣፋ" መሰረትን ለመገንባት ጠቃሚ ነው. እና ይህ ከጂኦሜትሪክ የደረጃ ስሜታችን ጋር ሙሉ በሙሉ የሚስማማ ነው።

አንድ ጠቃሚ መግለጫ ከላይ ካለው ምሳሌ ይከተላል።

በረድፎች ውስጥ ያለው የማትሪክስ ደረጃ በአምዶች ውስጥ ካለው ማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ነው።. ስለ ውጤታማነቱ በትምህርቱ ውስጥ ይህንን በጥቂቱ ተናግሬዋለሁ ወሳኙን ለማስላት ዘዴዎች.

ማስታወሻ የረድፎች መስመራዊ ጥገኝነት የአምዶች መስመራዊ ጥገኛን ያመለክታል (እና በተቃራኒው)። ግን ጊዜን ለመቆጠብ እና ከልምምድ ውጭ ሁል ጊዜ ስለ ሕብረቁምፊዎች ቀጥተኛ ጥገኛነት እናገራለሁ ።

ተወዳጅ የቤት እንስሳችንን ማሰልጠን እንቀጥል። በሦስተኛው ረድፍ ላይ የሌላ ኮሊነር ቬክተር መጋጠሚያዎችን ወደ ማትሪክስ እንጨምር :

ባለ ሶስት አቅጣጫዊ መሰረትን በመገንባት ረገድ ረድቶናል? በጭራሽ. ሦስቱም ቬክተሮች በተመሳሳይ መንገድ ወደ ፊት እና ወደ ፊት ይሄዳሉ ፣ እና የማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው። የፈለከውን ያህል ኮሊነር ቬክተሮችን መውሰድ ትችላለህ፣ 100፣ መጋጠሚያዎቻቸውን ወደ "አንድ መቶ በሦስት" ማትሪክስ ውስጥ አስገባ፣ እና የእንደዚህ አይነት ሰማይ ጠቀስ ህንጻዎች ደረጃ አሁንም አንድ ሆኖ ይቀራል።

ከማትሪክስ ጋር እንተዋወቃለን, ረድፎቹን በመስመር ገለልተኛ. ባለ ሶስት አቅጣጫዊ መሰረትን ለመገንባት ጥንድ ያልሆኑ ኮሊነር ቬክተሮች ተስማሚ ናቸው. የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ሁለት ነው.

የማትሪክስ ደረጃ ምን ያህል ነው? መስመሮቹ ተመጣጣኝ አይመስሉም ... ስለዚህ, በንድፈ ሀሳብ, ሶስት ናቸው. ሆኖም ፣ የዚህ ማትሪክስ ደረጃ እንዲሁ ሁለት ነው። የመጀመሪያዎቹን ሁለት መስመሮች ጨምሬ ውጤቱን ከታች ጻፍኩ, ማለትም. በመስመር የተገለጸሦስተኛው መስመር በመጀመሪያዎቹ ሁለት. በጂኦሜትሪ ፣ የማትሪክስ ረድፎች ከሶስት መጋጠሚያዎች ጋር ይዛመዳሉ ኮፕላላር ቬክተሮች, እና ከእነዚህ ሶስት መካከል ጥንድ ያልሆኑ ኮሊነር ያልሆኑ ጓዶች አሉ.

እንደሚያዩት, መስመራዊ ጥገኛበታሰበው ማትሪክስ ውስጥ ግልፅ አይደለም ፣ እና ዛሬ እንዴት ወደ ክፍት እንደምናወጣው እንማራለን ።

ብዙ ሰዎች የማትሪክስ ደረጃ ምን እንደሆነ መገመት የሚችሉ ይመስለኛል!

የማን ረድፎችን ማትሪክስ አስቡበት በመስመር ገለልተኛ. የቬክተሮች ቅርጽ አፊን መሠረት, እና የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ሦስት ነው.

እንደሚታወቀው፣ ማንኛውም አራተኛ፣ አምስተኛ፣ አስረኛው ቬክተር ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ከመሠረታዊ ቬክተር አንፃር በቀጥታ ይገለጻል። ስለዚህ ፣ ማንኛውንም የረድፎች ብዛት ወደ ማትሪክስ ካከሉ ፣ ከዚያ የእሱ ደረጃ አሁንም ከሦስት ጋር እኩል ይሆናል.

ለትላልቅ መጠኖች (በእርግጥ ፣ ያለ ምንም የጂኦሜትሪክ ትርጉም) ተመሳሳይ አመክንዮ ማትሪክስ ሊከናወን ይችላል።

ፍቺ : የማትሪክስ ደረጃ ከፍተኛው በመስመር ገለልተኛ የረድፎች ብዛት ነው።. ወይም፡- የማትሪክስ ደረጃ ከፍተኛው በመስመር ገለልተኛ የሆኑ አምዶች ብዛት ነው።. አዎን, ቁጥራቸው ሁልጊዜ ተመሳሳይ ነው.

አንድ ጠቃሚ ተግባራዊ መመሪያም ከላይ ካለው ይከተላል፡- የማትሪክስ ደረጃ ከዝቅተኛው ልኬት አይበልጥም. ለምሳሌ, በማትሪክስ ውስጥ አራት ረድፎች እና አምስት አምዶች. ዝቅተኛው ልኬት አራት ነው, ስለዚህ, የዚህ ማትሪክስ ደረጃ በእርግጠኝነት ከ 4 አይበልጥም.

ስያሜዎችበአለም ፅንሰ-ሀሳብ እና ልምምድ ውስጥ የማትሪክስ ደረጃን ለመሰየም በአጠቃላይ ተቀባይነት ያለው መስፈርት የለም; ስለዚህ, ስለ አሜሪካዊ እና ሩሲያ ሲኦል በሚታወቀው ቀልድ ላይ በመመስረት, የማትሪክስ ደረጃን በአፍ መፍቻ ቃል እንጠቁም. ለምሳሌ: . እና ማትሪክስ “ስም ያልተሰየመ” ከሆነ ፣ ከእነዚህም ውስጥ ብዙዎች አሉ ፣ ከዚያ በቀላሉ መጻፍ ይችላሉ።

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን እንዴት ማግኘት ይቻላል?

አያቴ በማትሪክስዋ ውስጥ አምስተኛ አምድ ካላት ሌላ ትንሽ የ 4 ኛ ቅደም ተከተል ("ሰማያዊ", "ራስበሪ" + 5 ኛ አምድ) ማስላት አለባት.

መደምደሚያለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ ከፍተኛው ቅደም ተከተል ሦስት ነው, ይህም ማለት ነው.

ምናልባት ሁሉም ሰው ይህንን ሐረግ ሙሉ በሙሉ አልተረዳውም-የ 4 ኛ ቅደም ተከተል ትንሽ ልጅ ከዜሮ ጋር እኩል ነው ፣ ግን በ 3 ኛ ቅደም ተከተል ታዳጊዎች መካከል ዜሮ ያልሆነ አንድ ነበር - ስለሆነም ከፍተኛው ቅደም ተከተል። ዜሮ ያልሆነጥቃቅን እና ሦስት እኩል ናቸው.

ጥያቄው የሚነሳው, ለምን ወዲያውኑ ቆራጩን አታሰላም? ደህና ፣ በመጀመሪያ ፣ በአብዛኛዎቹ ተግባራት ማትሪክስ ካሬ አይደለም ፣ እና ሁለተኛ ፣ ምንም እንኳን ዜሮ ያልሆነ እሴት ቢያገኙ ፣ ብዙውን ጊዜ መደበኛ “ከታች ወደ ላይ” መፍትሄ ስለሚያካትት ተግባሩ ውድቅ ይሆናል። እና በተጠቀሰው ምሳሌ ፣ የ 4 ኛ ቅደም ተከተል ዜሮ መወሰኛ የማትሪክስ ደረጃ ከአራት በታች ብቻ መሆኑን እንድንገልጽ ያስችለናል ።

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ሕፃናትን ድንበር የማገናኘት ዘዴን በተሻለ ለማብራራት ራሴን የተተነተነውን ችግር አመጣሁ። በእውነቱ ፣ ሁሉም ነገር ቀላል ነው-

ምሳሌ 2

የጠርዝ ጥቃቅን ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

መፍትሄው እና መልሱ በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ነው.

አልጎሪዝም በፍጥነት የሚሰራው መቼ ነው? ወደ ተመሳሳይ አራት በአራት ማትሪክስ እንመለስ። . በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው መፍትሔው "ጥሩ" በሚለው ጉዳይ ላይ በጣም አጭር ይሆናል. የማዕዘን ታዳጊዎች:

እና ፣ ከሆነ ፣ ከዚያ ፣ ካልሆነ - .

አስተሳሰቡ በጭራሽ መላምት አይደለም - ጉዳዩ ሁሉ በማዕዘን ላሉ ታዳጊዎች ብቻ የተገደበባቸው ብዙ ምሳሌዎች አሉ።

ሆኖም ፣ በአንዳንድ ሁኔታዎች ሌላ ዘዴ የበለጠ ውጤታማ እና ተመራጭ ነው-

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን እንዴት ማግኘት ይቻላል?

አንቀጹ አስቀድሞ ለሚያውቁ አንባቢዎች የታሰበ ነው። Gaussian ዘዴእና ብዙ ወይም ያነሰ እጃቸውን በእሱ ላይ አግኝተዋል.

ከቴክኒካዊ እይታ አንጻር, ዘዴው አዲስ አይደለም.

1) የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ማትሪክስ ወደ ደረጃ አቅጣጫ እንቀንሳለን;

2) የማትሪክስ ደረጃ ከረድፎች ብዛት ጋር እኩል ነው።

መሆኑ ፍፁም ግልፅ ነው። የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን አይለውጥም, እና እዚህ ያለው ይዘት እጅግ በጣም ቀላል ነው-በአልጎሪዝም መሰረት, በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ወቅት, ሁሉም አላስፈላጊ ተመጣጣኝ (መስመራዊ ጥገኛ) ረድፎች ተለይተው ይታወቃሉ እና ይወገዳሉ, በዚህም ምክንያት "ደረቅ ቅሪት" - ከፍተኛው የመስመር ላይ ገለልተኛ ረድፎች ብዛት.

የድሮውን የሚታወቅ ማትሪክስ ከሶስት ኮላይነር ቬክተሮች መጋጠሚያዎች ጋር እንለውጠው፡-

(1) የመጀመሪያው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል.

(2) ዜሮ መስመሮች ተወግደዋል.

ስለዚህ, አንድ መስመር ይቀራል, ስለዚህም . ይህ የ 2 ኛ ቅደም ተከተል ዘጠኝ ዜሮ ታዳጊዎችን በማስላት እና መደምደሚያ ላይ ከመድረስ የበለጠ ፈጣን ነው ማለት አያስፈልግም።

ያንን በራሱ አስታውሳችኋለሁ አልጀብራ ማትሪክስምንም ሊለወጥ አይችልም, እና ለውጦች የሚከናወኑት ደረጃውን ለመወሰን ዓላማ ብቻ ነው! በነገራችን ላይ ለምን በጥያቄው ላይ እንደገና እንቆይ, ለምን አይሆንም? ምንጭ ማትሪክስ ከማትሪክስ እና ረድፉ መረጃ በመሠረቱ የተለየ መረጃ ይይዛል። በአንዳንድ የሂሳብ ሞዴሎች (ምንም ማጋነን የለም), የአንድ ቁጥር ልዩነት የህይወት እና የሞት ጉዳይ ሊሆን ይችላል. ... የአንደኛና ሁለተኛ ደረጃ የሂሳብ መምህራን ያለ ርህራሄ ከ1-2 ነጥብ በጥቂቱ ስህተት ወይም ከአልጎሪዝም ማፈንገጣቸውን አስታወስኩ። እና ዋስትና ያለው ከሚመስለው "ሀ" ይልቅ "ጥሩ" ወይም እንዲያውም የከፋ ሆኖ ሲገኝ በጣም አሳዛኝ ነበር። መረዳት ብዙ በኋላ መጣ - ሳተላይቶችን ፣ ኑክሌር ጦርነቶችን እና የኃይል ማመንጫዎችን ለአንድ ሰው እንዴት ማመን ይቻላል? ግን አይጨነቁ ፣ በእነዚህ አካባቢዎች አልሰራም =)

ወደ ይበልጥ ትርጉም ያላቸው ተግባራት እንሂድ, ከሌሎች ነገሮች በተጨማሪ, አስፈላጊ ከሆኑ የስሌት ቴክኒኮች ጋር መተዋወቅ እንችላለን. Gauss ዘዴ:

ምሳሌ 3

የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

መፍትሄ"አራት በአምስት" ማትሪክስ ተሰጥቷል, ይህም ማለት የእሱ ደረጃ በእርግጠኝነት ከ 4 አይበልጥም.

በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ 1 ወይም -1 የለም, ስለዚህ, ቢያንስ አንድ ክፍል ለማግኘት ተጨማሪ ድርጊቶች ያስፈልጋሉ. ጣቢያው በነበረበት ጊዜ ሁሉ፣ “በአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ወቅት ዓምዶችን ማስተካከል ይቻል ይሆን?” የሚል ጥያቄ በተደጋጋሚ ተጠየቅኩ። እዚህ, የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን አምዶች እንደገና አስተካክለናል, እና ሁሉም ነገር ደህና ነው! ጥቅም ላይ በሚውልባቸው አብዛኞቹ ተግባራት ውስጥ Gaussian ዘዴ, አምዶች በእርግጥ እንደገና ሊደረደሩ ይችላሉ. ግን አያስፈልግም. እና ነጥቡ ከተለዋዋጮች ጋር በሚፈጠር ግራ መጋባት ውስጥ እንኳን አይደለም ፣ ነጥቡ በጥንታዊው የሒሳብ ትምህርት ይህ ተግባር በተለምዶ አይታሰብም ፣ ስለሆነም እንዲህ ዓይነቱ ነቀፋ በጣም ጠማማ ሆኖ ይታያል (ወይም ሁሉንም ነገር ለመድገም ይገደዳል)።

ሁለተኛው ነጥብ ቁጥሮችን ይመለከታል. ውሳኔዎን በሚወስኑበት ጊዜ የሚከተለውን የአውራ ጣት ህግ መጠቀም ጠቃሚ ነው፡- የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ከተቻለ የማትሪክስ ቁጥሮችን መቀነስ አለባቸው. ከሁሉም በላይ ከአንድ, ከሁለት, ከሶስት ጋር አብሮ መስራት በጣም ቀላል ነው, ለምሳሌ ከ 23, 45 እና 97 ጋር. እና የመጀመሪያው እርምጃ በአንደኛው አምድ ውስጥ አንዱን ለማግኘት ብቻ ሳይሆን ቁጥሮቹን ለማስወገድ ጭምር ነው. 7 እና 11.

በመጀመሪያ የተሟላ መፍትሄ እና አስተያየት ይስጡ-

(1) የመጀመሪያው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል, በ -3 ተባዝቷል. እና ወደ ክምር: 1 ኛ መስመር በ 4 ኛ መስመር ላይ ተጨምሯል, ተባዝቷል -1.

(2) የመጨረሻዎቹ ሦስት መስመሮች ተመጣጣኝ ናቸው. 3 ኛ እና 4 ኛ መስመሮች ተወግደዋል, ሁለተኛው መስመር ወደ መጀመሪያው ቦታ ተወስዷል.

(3) የመጀመሪያው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -3 ተባዝቷል.

ወደ ኢቼሎን ቅርፅ የተቀነሰው ማትሪክስ ሁለት ረድፎች አሉት።

መልስ:

አሁን አራት በአራት ማትሪክስ ማሰቃየት የእርስዎ ተራ ነው።

ምሳሌ 4

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

ያንን አስታውሳችኋለሁ Gaussian ዘዴየማያሻማ ግትርነትን አያመለክትም፣ እና የእርስዎ ውሳኔ ምናልባት ከውሳኔዬ ሊለያይ ይችላል። በትምህርቱ መጨረሻ ላይ የአንድ ተግባር አጭር ምሳሌ።

የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት የትኛውን ዘዴ መጠቀም አለብኝ?

በተግባር ብዙውን ጊዜ ደረጃውን ለማግኘት የትኛውን ዘዴ መጠቀም እንዳለበት በጭራሽ አልተገለጸም. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታ ውስጥ, ሁኔታው መተንተን አለበት - ለአንዳንድ ማትሪክቶች ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን መፍታት የበለጠ ምክንያታዊ ነው, ለሌሎች ደግሞ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን መተግበር የበለጠ ትርፋማ ነው.

ምሳሌ 5

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

መፍትሄ: የመጀመሪያው ዘዴ በሆነ መንገድ ወዲያውኑ ይጠፋል =)

ትንሽ ከፍ ያለ ፣ የማትሪክስ አምዶችን ላለመንካት እመክራለሁ ፣ ግን ዜሮ አምድ ፣ ወይም ተመጣጣኝ / የተገጣጠሙ አምዶች ሲኖሩ ፣ አሁንም መቁረጥ ጠቃሚ ነው-

(1) አምስተኛው ዓምድ ዜሮ ነው, ከማትሪክስ ያስወግዱት. ስለዚህ የማትሪክስ ደረጃ ከአራት አይበልጥም. የመጀመሪያው መስመር በ -1 ተባዝቷል። ይህ የ Gauss ዘዴ ሌላ ፊርማ ባህሪ ነው ፣ እሱም የሚከተለውን እርምጃ ወደ አስደሳች የእግር ጉዞ ይለውጣል።

(2) ለሁሉም መስመሮች, ከሁለተኛው ጀምሮ, የመጀመሪያው መስመር ተጨምሯል.

(3) የመጀመሪያው መስመር በ -1 ተባዝቷል ፣ ሦስተኛው መስመር በ 2 ፣ አራተኛው መስመር በ 3 ተከፍሏል ። ሁለተኛው መስመር ወደ አምስተኛው መስመር ተጨምሯል ፣ ተባዝቷል -1።

(4) ሦስተኛው መስመር ወደ አምስተኛው መስመር ተጨምሯል ፣ ተባዝቷል -2።

(5) የመጨረሻዎቹ ሁለት መስመሮች ተመጣጣኝ ናቸው, አምስተኛው ተሰርዟል.

ውጤቱ 4 መስመሮች ነው.

መልስ:

ለገለልተኛ ጥናት መደበኛ ባለ አምስት ፎቅ ሕንፃ፡-

ምሳሌ 6

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ አጭር መፍትሄ እና መልስ.

"ማትሪክስ ደረጃ" የሚለው ሐረግ በተግባር ብዙ ጊዜ እንደማይታይ ልብ ሊባል የሚገባው ነው, እና በአብዛኛዎቹ ችግሮች ውስጥ ሙሉ በሙሉ ያለሱ ማድረግ ይችላሉ. ግን በጥያቄ ውስጥ ያለው ፅንሰ-ሀሳብ ዋና ገጸ-ባህሪ የሆነበት አንድ ተግባር አለ ፣ እና ጽሑፉን በዚህ ተግባራዊ መተግበሪያ እንጨርሳለን-

ለ ወጥነት የመስመር እኩልታዎች ስርዓት እንዴት ማጥናት ይቻላል?

ብዙውን ጊዜ, ከመፍትሔው በተጨማሪ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችእንደ ሁኔታው, በመጀመሪያ ለተኳሃኝነት መመርመር, ማለትም, ማንኛውም መፍትሄ ጨርሶ መኖሩን ማረጋገጥ ያስፈልጋል. በእንደዚህ ዓይነት ማረጋገጫ ውስጥ ቁልፍ ሚና የሚጫወተው በ Kronecker-Capelli ቲዎረምአስፈላጊ በሆነው ቅጽ እቀርጻለሁ

ደረጃ ከሆነ የስርዓት ማትሪክስከደረጃ ጋር እኩል ነው። የተራዘመ ማትሪክስ ስርዓት, ከዚያም ስርዓቱ ወጥነት ያለው ነው, እና ይህ ቁጥር ከማይታወቁ ሰዎች ቁጥር ጋር የሚጣጣም ከሆነ, መፍትሄው ልዩ ነው.

ስለዚህ, የተኳሃኝነት ስርዓቱን ለማጥናት እኩልነትን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው የት - የስርዓት ማትሪክስ(ከትምህርቱ ውስጥ የቃላቶቹን ቃላት አስታውስ Gauss ዘዴ), ሀ - የተራዘመ የስርዓት ማትሪክስ(ማለትም ተለዋዋጮች + የነጻ ቃላት አምድ ያለው ማትሪክስ)።

የመጀመሪያ ደረጃየሚከተሉት የማትሪክስ ለውጦች ይባላሉ፡-

1) የማንኛቸውም ሁለት ረድፎች (ወይም ዓምዶች) መተላለፍ ፣

2) ረድፍ (ወይም አምድ) በዜሮ ባልሆነ ቁጥር ማባዛት ፣

3) ወደ አንድ ረድፍ (ወይም አምድ) ሌላ ረድፍ (ወይም አምድ) መጨመር, በተወሰነ ቁጥር ተባዝቷል.

ሁለቱ ማትሪክስ ተጠርተዋል ተመጣጣኝ, ከመካከላቸው አንዱ ከሌላው የተገኘ የመጨረሻ የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ከሆነ.

ተመጣጣኝ ማትሪክስ በአጠቃላይ አነጋገር እኩል አይደሉም ነገር ግን ደረጃቸው እኩል ነው። ማትሪክስ ሀ እና ቢ እኩል ከሆኑ እንደሚከተለው ተጽፏል፡- A ~ B.

ቀኖናዊማትሪክስ ማትሪክስ በዋናው ዲያግናል መጀመሪያ ላይ በተከታታይ ብዙ (ቁጥራቸው ዜሮ ሊሆን ይችላል) እና ሁሉም ሌሎች አካላት ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው ፣ ለምሳሌ ፣

የረድፎች እና የአምዶች የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ማንኛውም ማትሪክስ ወደ ቀኖናዊ ሊቀንስ ይችላል። የቀኖናዊ ማትሪክስ ደረጃ በዋናው ሰያፍ ላይ ካሉት ቁጥር ጋር እኩል ነው።

ምሳሌ 2የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

ሀ=

እና ወደ ቀኖናዊ መልክ አምጣው.

መፍትሄ።ከሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን ቀንስ እና እነዚህን መስመሮች እንደገና አስተካክል፡-

አሁን ከሁለተኛው እና ከሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን እንቀንሳለን ፣ በ 2 እና 5 ተባዝተናል ፣

;

ከሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መቀነስ; ማትሪክስ እናገኛለን

ለ = ,

ከኤሌሜንታሪ ትራንስፎርሜሽን ውሱን ስብስብ በመጠቀም ከእሱ የተገኘ ስለሆነ ከማትሪክስ A ጋር እኩል ነው. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የማትሪክስ B ደረጃ 2 ነው, እና ስለዚህ r (A) = 2. ማትሪክስ B በቀላሉ ወደ ቀኖናዊነት ሊቀንስ ይችላል. የመጀመሪያውን አምድ በመቀነስ, ተስማሚ በሆኑ ቁጥሮች ተባዝቶ, ከቀጣዮቹ ሁሉ, ከመጀመሪያው ረድፍ በስተቀር ሁሉንም ንጥረ ነገሮች ወደ ዜሮ እንቀይራለን, እና የቀሩት ረድፎች ንጥረ ነገሮች አይለወጡም. ከዚያ ሁለተኛውን አምድ በተገቢው ቁጥሮች ተባዝተን ፣ ከተከታዮቹ ሁሉ ፣ ከሁለተኛው ረድፍ በስተቀር ሁሉንም ንጥረ ነገሮች ወደ ዜሮ እንለውጣለን እና ቀኖናዊውን ማትሪክስ እናገኛለን ።

Kronecker - Capelli ቲዮረም- የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት የተኳሃኝነት መስፈርት፡

መስመራዊ ሥርዓት ወጥነት ያለው እንዲሆን የዚህ ሥርዓት የተራዘመ ማትሪክስ ደረጃ ከዋናው ማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል መሆን አስፈላጊ እና በቂ ነው።

ማረጋገጫ (የስርዓት ተኳሃኝነት ሁኔታዎች)

አስፈላጊነት

ፍቀድ ስርዓትመገጣጠሚያ ከዚያ እንደዚህ ያሉ ቁጥሮች አሉ. ስለዚህ, ዓምዱ የማትሪክስ ዓምዶች ቀጥተኛ ጥምረት ነው. አንድ ረድፍ (አምድ) ከተሰረዘ ወይም ከተጨመረው የማትሪክስ ደረጃ አይለወጥም ከሚለው እውነታ በመነሳት ከሌሎች ረድፎች (አምዶች) መስመራዊ ጥምረት ነው.

በቂነት

ፍቀድ። በማትሪክስ ውስጥ አንዳንድ መሰረታዊ ጥቃቅን እንውሰድ. ጀምሮ, ከዚያም ደግሞ ማትሪክስ መሠረት አናሳ ይሆናል. ከዚያም በመሠረታዊ ንድፈ ሐሳብ መሠረት ጥቃቅን, የማትሪክስ የመጨረሻው ዓምድ የመሠረት ዓምዶች ቀጥተኛ ጥምረት ይሆናል, ማለትም, የማትሪክስ ዓምዶች. ስለዚህ የስርዓቱ የነፃ ቃላቶች አምድ የማትሪክስ አምዶች መስመራዊ ጥምረት ነው።

ውጤቶቹ

ዋና ተለዋዋጮች ብዛት ስርዓቶችከስርዓቱ ደረጃ ጋር እኩል ነው.

መገጣጠሚያ ስርዓትየስርዓቱ ደረጃ ከሁሉም ተለዋዋጮች ቁጥር ጋር እኩል ከሆነ ይገለጻል (መፍትሄው ልዩ ነው)።

ተመሳሳይነት ያለው የእኩልታዎች ስርዓት

አቅርቡ15 . 2 ተመሳሳይነት ያለው የእኩልታዎች ስርዓት

ሁልጊዜ የጋራ ነው.

ማረጋገጫ. ለዚህ ስርዓት, የቁጥሮች ስብስብ,,, መፍትሄ ነው.

በዚህ ክፍል ውስጥ የስርዓቱን ማትሪክስ ማስታወሻ እንጠቀማለን:.

አቅርቡ15 . 3 ለተመሳሳዩ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት የመፍትሄ ድምር የዚህ ስርዓት መፍትሄ ነው። በቁጥር የተባዛ መፍትሄም መፍትሄ ነው።

ማረጋገጫ. ለስርዓቱ መፍትሄ ሆነው እንዲያገለግሉ ያድርጉ። ከዚያ እና. ፍቀድ። ከዚያም

ጀምሮ, ከዚያም - መፍትሔ.

የዘፈቀደ ቁጥር ይሁን፣ . ከዚያም

ጀምሮ, ከዚያም - መፍትሔ.

መዘዝ15 . 1 አንድ ወጥ የሆነ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ዜሮ ያልሆነ መፍትሄ ካለው ፣እንግዲህ ማለቂያ የሌለው ብዙ የተለያዩ መፍትሄዎች አሉት።

በእርግጥ ዜሮ ያልሆነን መፍትሄ በተለያዩ ቁጥሮች ማባዛት የተለያዩ መፍትሄዎችን እናገኛለን።

ፍቺ15 . 5 መፍትሄዎችን እንናገራለን ስርዓቶች ቅፅ መሠረታዊ የመፍትሄዎች ስርዓት, አምዶች ከሆነ ቀጥተኛ ገለልተኛ ስርዓት ይመሰርታሉ እና ማንኛውም የስርዓቱ መፍትሄ የእነዚህ አምዶች መስመራዊ ጥምረት ነው።

ይህ ጽሑፍ እንደ ማትሪክስ ደረጃ እና አስፈላጊ ተጨማሪ ፅንሰ ሀሳቦችን ያብራራል። የማትሪክስ ደረጃን ለመፈለግ ምሳሌዎችን እና ማረጋገጫዎችን እንሰጣለን እና እንዲሁም ትንሽ ማትሪክስ ምን እንደሆነ እና ለምን በጣም አስፈላጊ እንደሆነ እንነግርዎታለን።

Yandex.RTB R-A-339285-1

ማትሪክስ ጥቃቅን

የማትሪክስ ደረጃ ምን እንደሆነ ለመረዳት የማትሪክስ ጥቃቅን ፅንሰ-ሀሳብን መረዳት ያስፈልግዎታል።

ፍቺ 1

አናሳክየማትሪክስ ቅደም ተከተል የትእዛዝ k ×k የካሬ ማትሪክስ የሚወስን ነው፣ እሱም አስቀድሞ በተመረጡት k-ረድፎች እና k-አምዶች ውስጥ የሚገኘውን የማትሪክስ ሀ አባሎችን ያቀፈ፣ የማትሪክስ ሀ አካላትን አቀማመጥ እየጠበቀ ነው።

በቀላል አነጋገር ፣ በማትሪክስ A ውስጥ (p-k) ረድፎችን እና (n-k) አምዶችን ከሰረዙ እና ከተቀሩት ንጥረ ነገሮች ውስጥ ማትሪክስ ይፍጠሩ ፣ የማትሪክስ A ንጥረ ነገሮችን አቀማመጥ ይጠብቃሉ ፣ ከዚያ የውጤቱ ማትሪክስ የሚወስነው ነው ። የማትሪክስ A አነስተኛ ቅደም ተከተል k.

ከምሳሌው በመነሳት የማትሪክስ A የመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎች እራሳቸው የማትሪክስ አካላት ናቸው.

ለሁለተኛ ደረጃ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች በርካታ ምሳሌዎችን ልንሰጥ እንችላለን። ሁለት ረድፎችን እና ሁለት አምዶችን እንመርጥ. ለምሳሌ, 1 ኛ እና 2 ኛ ረድፍ, 3 ኛ እና 4 ኛ አምድ.

በዚህ የንጥረ ነገሮች ምርጫ, ሁለተኛው ቅደም ተከተል አነስተኛ ይሆናል - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

ሌላው የማትሪክስ A 2ኛ ቅደም ተከተል 0 0 1 1 = 0 ነው።

የማትሪክስ A ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ግንባታ ምሳሌዎችን እናቅርብ፡-

የ 3 ኛ ቅደም ተከተል አነስተኛ የሚገኘው የማትሪክስ A ሶስተኛውን አምድ በማቋረጥ ነው፡-

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

የማትሪክስ A 3ኛ ቅደም ተከተል አናሳ እንዴት እንደሚገኝ የሚያሳይ ምሳሌ፡-

ለተሰጠው ማትሪክስ, ከ 3 ኛ ቅደም ተከተል በላይ ታዳጊዎች የሉም, ምክንያቱም

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3, 4) = 3

ለማትሪክስ የትእዛዝ p×n ስንት ያልደረሱ ልጆች አሉ?

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ቁጥር በሚከተለው ቀመር ይሰላል:

C p k × C n k, የት e C p k = p! k! (p-k)! እና C n k = n! k! (n-k)! - የጥምረቶች ብዛት ከ p እስከ k ፣ ከ n እስከ k ፣ በቅደም ተከተል።

የማትሪክስ A ታዳጊዎች ምን እንደሆኑ ከወሰንን በኋላ፣ የማትሪክስ A ደረጃን ለመወሰን መቀጠል እንችላለን።

የማትሪክስ ደረጃ: የማግኘት ዘዴዎች

ፍቺ 2

ማትሪክስ ደረጃ - ከዜሮ ሌላ የማትሪክስ ከፍተኛው ቅደም ተከተል።

ስያሜ 1

ደረጃ (ሀ)፣ Rg (A)፣ Rang (A)።

ከማትሪክስ ደረጃ እና ከማትሪክስ ትንሹ ትርጓሜ ፣ የዜሮ ማትሪክስ ደረጃ ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ እና የዜሮ ማትሪክስ ደረጃ ከዜሮ የተለየ እንደሆነ ግልፅ ይሆናል።

የማትሪክስ ደረጃን በፍቺ መፈለግ

ፍቺ 3

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን የመቁጠር ዘዴ - የማትሪክስ ደረጃን በመወሰን ላይ የተመሰረተ ዘዴ.

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን የመቁጠር ዘዴን በመጠቀም የእርምጃዎች ስልተ-ቀመር :

የማትሪክስ A ቅደም ተከተል ደረጃን ማግኘት ያስፈልጋል ገጽ× n. ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አካል ካለ የማትሪክስ ደረጃ ቢያንስ ከአንድ ጋር እኩል ነው ( ምክንያቱም ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ 1ኛ ትእዛዝ ትንሽ አለ።).

ቀጥሎ የ 2 ኛ ትዕዛዝ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች መቁጠር ይመጣል. ሁሉም የ 2 ኛ ቅደም ተከተል ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ, ደረጃው ከአንድ እኩል ነው. በ 2 ኛ ቅደም ተከተል ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ ትንሽ ከሆነ, የ 3 ኛ ቅደም ተከተል ታዳጊዎችን ለመቁጠር መቀጠል አስፈላጊ ነው, እና የማትሪክስ ደረጃ, በዚህ ሁኔታ, ቢያንስ ከሁለት ጋር እኩል ይሆናል.

በ 3 ኛ ቅደም ተከተል ደረጃ ተመሳሳይ ነገር እናደርጋለን-ሁሉም የማትሪክስ ትናንሽ ልጆች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ, ደረጃው ከሁለት ጋር እኩል ይሆናል. ከ 3 ኛ ቅደም ተከተል ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አነስተኛ ከሆነ ፣ የማትሪክስ ደረጃ ቢያንስ ሦስት ነው። እና በመሳሰሉት.

ምሳሌ 2

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

ማትሪክስ ዜሮ ስላልሆነ ዝቅተኛው ደረጃ አንድ ነው።

2ኛ ቅደም ተከተል አናሳ - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 ዜሮ ያልሆነ ነው። በመቀጠልም የማትሪክስ A ደረጃ ቢያንስ ሁለት ነው.

3 ኛ ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን እናስተካክላለን፡ C 3 3 × C 5 3 = 1 5! 3! (5-3) = 10 ቁርጥራጮች.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

የ 3 ኛ ቅደም ተከተል ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው, ስለዚህ የማትሪክስ ደረጃ ሁለት ነው.

መልስ ደረጃ (ሀ) = 2.

የድንበር ታዳጊዎችን ዘዴ በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃ ማግኘት

ፍቺ 3

የድንበር ጥቃቅን ዘዴ - በትንሽ ስሌት ስራ ውጤቶችን እንድታገኙ የሚያስችል ዘዴ.

ትንሽ ጠርዝ - አነስተኛ M o k (k + 1) የማትሪክስ A ኛ ቅደም ተከተል, ይህም አነስተኛውን M ትእዛዝ k የሚያዋስነው, ከትንሽ M o k ጋር የሚዛመደው ማትሪክስ ከ ትንሹ ኤም.

በቀላል አነጋገር ከድንበሩ ትንሽ M ጋር የሚዛመደው ማትሪክስ የሚገኘው ከአንድ ረድፍ እና ከአንድ አምድ ያሉትን ንጥረ ነገሮች በመሰረዝ ከድንበሩ ትንሽ M o k ጋር ከሚዛመደው ማትሪክስ ነው።

ምሳሌ 3

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 0 3 6 5

ደረጃውን ለማግኘት የ 2 ኛ ቅደም ተከተል አነስተኛ M = 2 - 1 4 1 እንወስዳለን

ሁሉንም አዋሳኝ ታዳጊዎችን እንጽፋለን፡-

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን የድንበር ዘዴን ለማጽደቅ, ጽንሰ-ሐሳብ እናቀርባለን, አጻጻፉ ማረጋገጫ አያስፈልገውም.

ቲዎሪ 1

የእርምጃዎች አልጎሪዝም :

የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት ሁሉንም ታዳጊዎች ማለፍ አስፈላጊ አይደለም, ድንበሩን ብቻ ይመልከቱ.

የድንበር ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ, የማትሪክስ ደረጃው ዜሮ ነው. ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ቢያንስ አንድ ለአካለ መጠን ያልደረሰ ከሆነ, ከዚያም ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ድንበር እናስባለን.

ሁሉም ዜሮ ከሆኑ ደረጃ(A) ሁለት ነው። ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አዋሳኝ አካለ መጠን ካለ፣ ድንበሩን ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆቹን ማጤን እንቀጥላለን። እና ወዘተ, በተመሳሳይ መንገድ.

ምሳሌ 4

የጠርዝ ጥቃቅን ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

ሀ = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

እንዴት መፍታት ይቻላል?

የ 11 ማትሪክስ ኤ ኤለመንት ከዜሮ ጋር እኩል ስላልሆነ ከ 1 ኛ ቅደም ተከተል ትንሽ እንወስዳለን. ከአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ ከዜሮ የሚለይ ልጅ መፈለግ እንጀምር፡-

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

ከዜሮ 2 0 4 1 ጋር እኩል ያልሆነ የ 2 ኛ ቅደም ተከተል አዋሳኝ ትንሽ ልጅ አግኝተናል።

አዋሳኝ የሆኑትን ታዳጊዎችን እንዘርዝር - ((4 - 2) × (5 - 2) = 6 ቁርጥራጮች አሉ።

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

መልስ ደረጃ (A) = 2.

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን መፈለግ (የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም)

የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ምን እንደሆኑ እናስታውስ።

የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች:

የማትሪክስ ረድፎችን (ዓምዶች) እንደገና በማስተካከል;
በማትሪክስ የማንኛውም ረድፍ (አምድ) ሁሉንም ንጥረ ነገሮች በዘፈቀደ ዜሮ ያልሆነ ቁጥር k በማባዛት;

በማትሪክስ ከሌላው ረድፍ (አምድ) ጋር የሚዛመዱትን የማንኛውም ረድፍ (አምድ) ንጥረ ነገሮች በማከል በዘፈቀደ ቁጥር ተባዝቷል ።

ፍቺ 5

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን መፈለግ - በማትሪክስ አቻነት ንድፈ ሃሳብ ላይ የተመሰረተ ዘዴ፡- ማትሪክስ B ከማትሪክስ ሀ የተወሰነ ቁጥር ያላቸውን የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን በመጠቀም ከተገኘ ደረጃ(A) = ደረጃ(B)።

የዚህ ዓረፍተ ነገር ትክክለኛነት ከማትሪክስ ትርጉም የሚከተለው ነው፡-

የማትሪክስ ረድፎች ወይም አምዶች እንደገና ከተደራጁ፣ የሚወስነው ምልክት ይለወጣል። ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ረድፎችን ወይም ዓምዶችን ሲያስተካክሉ ከዜሮ ጋር እኩል ሆኖ ይቆያል።
የማንኛውም ረድፍ (አምድ) ማትሪክስ ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል ባልሆነ በዘፈቀደ ቁጥር k ሲባዛ የውጤቱ ማትሪክስ ወሳኙ ከዋናው ማትሪክስ መለኪያ ጋር እኩል ነው፣ እሱም ተባዝቷል። k;

በማትሪክስ የተወሰነ ረድፍ ወይም አምድ አካላት ላይ የሌላ ረድፍ ወይም አምድ ተጓዳኝ አካላት በቁጥር k ተባዝተው የሚወስኑትን አይለውጡም።

የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ዘዴ ዋናው ነገር : የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ደረጃውን ወደ ትራፔዞይድል ማግኘት ያለበትን ማትሪክስ ይቀንሱ።

ለምንድነው?

የዚህ ዓይነቱ ማትሪክስ ደረጃ ለማግኘት በጣም ቀላል ነው። ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አካል ካለው የመስመሮች ብዛት ጋር እኩል ነው። እና የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን ሲያካሂዱ ደረጃው አይለወጥም, ይህ የማትሪክስ ደረጃ ይሆናል.

ይህንን ሂደት በምሳሌ እንየው፡-

ለአራት ማዕዘን ማትሪክስ A ቅደም ተከተል p በ n፣ የረድፎች ብዛት ከአምዶች ብዛት ይበልጣል።

አ ~ 1 ለ 12 ለ 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

አ ~ 1 ለ 12 ለ 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k 1 ⋯ b k n 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0፣ R a n k (A) = k

ለአራት ማዕዘን ማትሪክስ A ቅደም ተከተል p በ n፣ የረድፎች ብዛት ከአምዶች ብዛት ያነሰ ነው፡

አ ~ 1 ለ 12 ለ 13 ⋯ b 1 ገጽ ለ 1 ገጽ + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 ገጽ ለ 2 ገጽ + 1 ⋯ b 2 n ⋮ 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

አ ~ 1 ለ 12 ለ 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k 1 ⋯ b k n 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

ለካሬ ማትሪክስ A የትእዛዝ n በ n፡

አ ~ 1 ለ 12 ለ 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ , R a n k (A) = n

አ ~ 1 ለ 12 ለ 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k 1 ⋯ b k n 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0፣ R a n k (A) = k , k< n

ምሳሌ 5

የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም የማትሪክስ A ደረጃን ያግኙ፡

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

እንዴት መፍታት ይቻላል?

ኤለመንቱ 11 ከዜሮ የተለየ ስለሆነ የማትሪክስ A የመጀመሪያ ረድፍ ክፍሎችን በ 1 a 11 = 1 2 ማባዛት አስፈላጊ ነው.

ሀ = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

ወደ 2 ኛ መስመር አካላት የ 1 ኛ መስመር ተጓዳኝ አካላትን እንጨምራለን ፣ እነሱም በ (-3) ተባዝተዋል። በ 3 ኛ መስመር አካላት ላይ የ 1 ኛ መስመር አካላትን እንጨምራለን ፣ እነሱም በ (-1) ተባዝተዋል ።

~ ሀ (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

ኤለመንት ሀ 22(2) ዜሮ ያልሆነ ነው፣ ስለዚህ የ2ኛ ረድፍ ማትሪክስ ኤ ክፍሎችን በ A (2) በ 1 a 22 (2) = - 2 3 እናባዛለን።

ሀ (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000