9 korrapärast kolmnurkset püramiidi kujutavad kõrgust. Geomeetrilised kujundid. Püramiid

Sissejuhatus

Kui hakkasime stereomeetrilisi kujundeid uurima, puudutasime teemat "Püramiid". Meile meeldis see teema, sest püramiidi kasutatakse arhitektuuris väga sageli. Ja kuna meie tulevane arhitekti elukutse on sellest kujust inspireeritud, arvame, et ta suudab meid suurepäraste projektide juurde tõugata.

Arhitektuuristruktuuride tugevus, nende kõige olulisem kvaliteet. Seoses tugevuse esiteks materjalidega, millest need on loodud, ja teiseks disainilahenduste omadustega, selgub, et konstruktsiooni tugevus on otseselt seotud selle jaoks põhilise geomeetrilise kujuga.

Teisisõnu räägime geomeetrilisest kujundist, mida võib pidada vastava arhitektuurse vormi mudeliks. Selgub, et geomeetriline kuju määrab ka arhitektuurse struktuuri tugevuse.

Egiptuse püramiide on pikka aega peetud kõige vastupidavamaks arhitektuuriliseks ehitiseks. Nagu teate, on neil korrapäraste nelinurksete püramiidide kuju.

Just see geomeetriline kuju annab tänu suurele aluspinnale suurima stabiilsuse. Teisest küljest tagab püramiidi kuju selle massi vähenemise, kui kõrgus maapinnast tõuseb. Just need kaks omadust muudavad püramiidi raskusjõu tingimustes stabiilseks ja seetõttu tugevaks.

Projekti eesmärk: õppida midagi uut püramiidide kohta, süvendada teadmisi ja leida praktilisi rakendusi.

Selle eesmärgi saavutamiseks oli vaja lahendada järgmised ülesanded:

Õppige ajaloolist teavet püramiidi kohta

Vaatleme püramiidi kui geomeetrilist kujundit

Leia rakendust elus ja arhitektuuris

Leidke maailma eri paigus asuvate püramiidide sarnasusi ja erinevusi

Teoreetiline osa

Ajalooline teave

Püramiidi geomeetria algus pandi Vana-Egiptuses ja Babüloonias, kuid aktiivselt arendati seda Vana-Kreekas. Esimene, kes tegi kindlaks, millega püramiidi ruumala on võrdne, oli Demokritos ja Eudoxus of Cnidus tõestas seda. Vana-Kreeka matemaatik Euclid süstematiseeris teadmised püramiidi kohta oma "Alguste" XII köites ning tõi välja ka püramiidi esimese definitsiooni: kehakuju, mida piiravad tasapinnad, mis ühes punktis koonduvad ühest tasapinnast.

Egiptuse vaaraode hauad. Suurimat neist - Cheopsi, Khafre ja Mikerini püramiide El Gizas peeti iidsetel aegadel üheks seitsmest maailmaimest. Püramiidi püstitamine, milles kreeklased ja roomlased nägid juba monumenti kuningate enneolematule uhkusele ja julmusele, mis määras kogu Egiptuse rahva mõttetule ehitusele, oli kõige olulisem kultuseakt ja see pidi ilmselt väljendama riigi ja selle valitseja müstiline identiteet. Maa elanikkond tegeles haua ehitamisega põllutööst vabal osal aastast. Mitmed tekstid annavad tunnistust tähelepanust ja hoolitsusest, mida kuningad ise (ehkki hilisemast ajast) oma haua ehitamisele ja selle ehitajatele osutasid. Samuti on teada erilised kultusautasud, milleks osutus püramiid ise.

Põhimõisted

Püramiid Nimetatakse hulktahukat, mille alus on hulknurk ja ülejäänud tahud on kolmnurgad, millel on ühine tipp.

Apoteem- tavalise püramiidi külgpinna kõrgus, tõmmatud selle tipust;

Külgmised näod- ülaosas koonduvad kolmnurgad;

Külgmised ribid- külgpindade ühised küljed;

püramiidi tipp- külgservi ühendav punkt, mis ei asu aluse tasapinnas;

Kõrgus- risti lõik, mis on tõmmatud läbi püramiidi tipu selle aluse tasapinnani (selle lõigu otsad on püramiidi tipp ja risti alus);

Püramiidi diagonaallõige- püramiidi lõik, mis läbib aluse tippu ja diagonaali;

Alus- hulknurk, mis ei kuulu püramiidi tippu.

Õige püramiidi peamised omadused

Külgmised servad, külgpinnad ja apoteemid on vastavalt võrdsed.

Alusel olevad kahetahulised nurgad on võrdsed.

Külgservade kahetahulised nurgad on võrdsed.

Iga kõrguspunkt on kõigist põhitippudest võrdsel kaugusel.

Iga kõrguspunkt on kõigist külgpindadest võrdsel kaugusel.

Püramiidi põhivalemid

Püramiidi külg- ja täispinna pindala.

Püramiidi (täis- ja kärbitud) külgpinna pindala on selle kõigi külgpindade pindalade summa, kogupindala on kõigi selle külgpindade pindalade summa.

Teoreem: Tavalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne poolega püramiidi aluse perimeetri ja apoteemi korrutisest.

lk- aluse ümbermõõt;

h- apoteem.

Tüvipüramiidi külg- ja täispindade pindala.

p1, lk 2 - baasi perimeetrid;

h- apoteem.

R- tavalise kärbitud püramiidi kogupindala;

S pool- tavalise kärbitud püramiidi külgpinna pindala;

S1 + S2- baaspindala

Püramiidi maht

Vorm Mahu skaalat kasutatakse igasuguste püramiidide jaoks.

H on püramiidi kõrgus.

Püramiidi nurgad

Nurki, mille moodustavad püramiidi külgpind ja alus, nimetatakse kahetahulisteks nurkadeks püramiidi põhjas.

Kahe nurga moodustavad kaks risti.

Selle nurga määramiseks peate sageli kasutama kolme risti teoreemi.

Nimetatakse nurki, mille moodustab külgserv ja selle projektsioon aluse tasapinnale nurgad külgserva ja aluse tasapinna vahel.

Nurka, mille moodustavad kaks külgpinda, nimetatakse kahetahuline nurk püramiidi külgservas.

Nurka, mille moodustavad püramiidi ühe külje kaks külgserva, nimetatakse nurgas püramiidi tipus.

Püramiidi lõigud

Püramiidi pind on hulktahuka pind. Iga selle tahk on tasapind, seega on püramiidi lõik, mis on antud lõiketasandiga, katkendlik joon, mis koosneb eraldi sirgetest.

Diagonaalne lõige

Püramiidi lõiku tasapinnast, mis läbib kahte külgserva, mis ei asu samal pinnal, nimetatakse diagonaalne lõik püramiidid.

Paralleelsed lõigud

Teoreem:

Kui püramiidi läbib alusega paralleelne tasapind, siis jagatakse selle tasandiga püramiidi külgservad ja kõrgused proportsionaalseteks osadeks;

Selle tasapinna lõik on põhjaga sarnane hulknurk;

Lõigu ja aluse pindalad on omavahel seotud nende kauguste ruutudena tipust.

Püramiidi tüübid

Õige püramiid- püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk ja püramiidi tipp on projitseeritud aluse keskele.

Õige püramiidi juures:

1. külgmised ribid on võrdsed

2. külgpinnad on võrdsed

3. apoteemid on võrdsed

4. kahetahulised nurgad põhjas on võrdsed

5. külgservade kahetahulised nurgad on võrdsed

6. iga kõrguspunkt on kõigist alustippudest võrdsel kaugusel

7. iga kõrguspunkt on kõigist külgpindadest võrdsel kaugusel

Kärbitud püramiid- püramiidi osa, mis jääb selle aluse ja alusega paralleelse lõiketasandi vahele.

Nimetatakse kärbitud püramiidi alust ja vastavat lõiku kärbitud püramiidi alused.

Nimetatakse risti, mis on tõmmatud ühe aluse mis tahes punktist teise aluse tasapinnaga kärbitud püramiidi kõrgus.

Ülesanded

nr 1. Tavalises nelinurkses püramiidis on punkt O aluse keskpunkt, SO=8 cm, BD=30 cm. Leidke külgserv SA.

Probleemi lahendamine

nr 1. Tavalises püramiidis on kõik tahud ja servad võrdsed.

Vaatleme OSB-d: OSB-ristkülikukujuline ristkülik, sest.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Püramiid arhitektuuris

Püramiid - monumentaalne struktuur tavalise korrapärase geomeetrilise püramiidi kujul, mille küljed koonduvad ühes punktis. Funktsionaalse otstarbe järgi olid püramiidid iidsetel aegadel matmis- või kultuspaigad. Püramiidi alus võib olla kolmnurkne, nelinurkne või hulknurkne suvalise arvu tippudega, kuid levinuim versioon on nelinurkne alus.

Teada on arvestatav hulk püramiide, mis on ehitatud muinasmaailma erinevate kultuuride poolt, peamiselt templite või monumentidena. Suurimad püramiidid on Egiptuse püramiidid.

Üle kogu Maa võib näha püramiidide kujulisi arhitektuurseid struktuure. Püramiidhooned meenutavad iidseid aegu ja näevad väga kaunid välja.

Egiptuse püramiidid on Vana-Egiptuse suurimad arhitektuurimälestised, millest üks "maailma seitsmest imest" on Cheopsi püramiid. Jalamilt tipuni ulatub see 137,3 meetrini ja enne tipu kaotamist oli selle kõrgus 146,7 m.

Raadiojaama ümberpööratud püramiidi meenutav hoone Slovakkia pealinnas on ehitatud 1983. aastal. Lisaks kontoritele ja teeninduspindadele on mahu sees üsna avar kontserdisaal, kus on üks Slovakkia suurimaid oreleid. .

Louvre, mis "on vaikne ja majesteetlik nagu püramiid", on sajandite jooksul läbi teinud palju muutusi, enne kui sellest sai maailma suurim muuseum. See sündis kindlusena, mille püstitas Philip Augustus 1190. aastal ja mis peagi muutus kuninglikuks residentsiks. 1793. aastal sai paleest muuseum. Kogud rikastatakse pärandamise või ostude kaudu.

Õpilased puutuvad püramiidi kontseptsiooniga kokku ammu enne geomeetria õppimist. Süüdistada kuulsaid suuri Egiptuse maailmaimesid. Seetõttu kujutab enamik õpilasi selle imelise hulktahuka uurimist alustades seda juba selgelt ette. Kõik ülaltoodud sihikud on õiges vormis. Mida parempoolne püramiid, ja millised omadused sellel on ning sellest räägitakse edaspidi.

Kokkupuutel

Definitsioon

Püramiidi määratlusi on palju. Alates iidsetest aegadest on see olnud väga populaarne.

Näiteks defineeris Euclid seda kui tahket kujundit, mis koosneb tasapindadest, mis ühest alustades koonduvad teatud punktis.

Heron esitas täpsema sõnastuse. Ta väitis, et see oli kujund sellel on alus ja tasapinnad kolmnurkade kujul, koonduvad ühel hetkel.

Kaasaegse tõlgenduse põhjal on püramiid esitatud ruumilise hulktahukana, mis koosneb teatud k-nurgast ja k lamedast kolmnurksest kujundist, millel on üks ühine punkt.

Vaatame lähemalt, Millistest elementidest see koosneb?

k-gon loetakse joonise aluseks;
3-nurksed figuurid ulatuvad küljeosa külgedena välja;
ülemist osa, millest külgmised elemendid pärinevad, nimetatakse ülaosaks;
kõiki tippu ühendavaid segmente nimetatakse servadeks;
kui sirgjoon on ülaosast joonise tasapinnale langetatud 90 kraadise nurga all, siis on selle siseruumis olev osa püramiidi kõrgus;
mis tahes külgelemendis meie hulktahuka küljes saate joonistada risti, mida nimetatakse apoteemiks.

Servade arv arvutatakse valemiga 2*k, kus k on k-nurga külgede arv. Kui palju tahkusid on püramiidi sarnasel hulktahukal, saab määrata avaldise k + 1 abil.

Tähtis! Korrapärase kujuga püramiid on stereomeetriline kujund, mille alustasand on võrdsete külgedega k-gon.

Põhiomadused

Õige püramiid on palju omadusi mis on talle ainulaadsed. Loetleme need:

Alus on õige kujuga kujund.
Püramiidi servad, mis piiravad külgelemente, on võrdsete arvväärtustega.
Külgelemendid on võrdhaarsed kolmnurgad.
Figuuri kõrguse alus langeb hulknurga keskele, samal ajal kui see on sisse kirjutatud ja kirjeldatava keskpunkt.
Kõik külgmised ribid on kallutatud aluspinna suhtes sama nurga all.
Kõigil külgpindadel on aluse suhtes sama kaldenurk.

Tänu kõigile loetletud omadustele on elementide arvutuste tegemine oluliselt lihtsustatud. Ülaltoodud omaduste põhjal pöörame tähelepanu kaks märki:

Kui hulknurk mahub ringi, on külgpinnad alusega võrdsed nurgad.
Hulknurga ümber oleva ringi kirjeldamisel on kõik tipust lähtuvad püramiidi servad ühepikkused ja võrdsed nurgad alusega.

Väljak põhineb

Regulaarne nelinurkne püramiid - ruudul põhinev hulktahukas.

Sellel on neli külgpinda, mis on välimuselt võrdhaarsed.

Tasapinnal on kujutatud ruut, kuid need põhinevad kõigil korrapärase nelinurga omadustel.

Näiteks kui on vaja ühendada ruudu külg selle diagonaaliga, siis kasutatakse järgmist valemit: diagonaal võrdub ruudu külje ja kahe ruutjuure korrutisega.

Põhineb tavalisel kolmnurgal

Korrapärane kolmnurkne püramiid on hulktahukas, mille alus on korrapärane 3-nurkne.

Kui alus on tavaline kolmnurk ja külgservad on võrdsed aluse servadega, siis selline joonis nimetatakse tetraeedriks.

Kõik tetraeedri tahud on võrdkülgsed 3-nurksed. Sel juhul peate teadma mõnda punkti ja mitte raiskama nende arvutamisel aega:

ribide kaldenurk mis tahes aluse suhtes on 60 kraadi;
kõigi sisepindade väärtus on samuti 60 kraadi;
mis tahes nägu võib toimida alusena;
joonise sees on võrdsed elemendid.

Hulktahuka lõiked

Igas hulktahukas on mitut tüüpi sektsioone lennuk. Sageli töötavad nad kooli geomeetria kursusel kahega:

aksiaalne;
paralleelselt.

Telglõik saadakse polüeedri lõikumisel tasandiga, mis läbib tippu, külgservi ja telge. Sel juhul on teljeks tipust tõmmatud kõrgus. Lõiketasapind on piiratud kõikide tahkudega lõikejoontega, mille tulemuseks on kolmnurk.

Tähelepanu! Tavalises püramiidis on telglõikeks võrdhaarne kolmnurk.

Kui lõiketasand jookseb alusega paralleelselt, siis on tulemuseks teine variant. Sel juhul on meil taustaga sarnane joonis.

Näiteks kui alus on ruut, siis on ka alusega paralleelne lõik ruut, ainult väiksema suurusega.

Selle tingimuse probleemide lahendamisel kasutatakse jooniste sarnasuse märke ja omadusi, põhineb Thalese teoreemil. Kõigepealt on vaja kindlaks määrata sarnasuse koefitsient.

Kui tasapind tõmmatakse paralleelselt alusega ja see lõikab ära hulktahuka ülemise osa, siis saadakse alumisse ossa korrapärane kärbitud püramiid. Siis öeldakse, et kärbitud hulktahuka alused on sarnased hulknurgad. Sel juhul on külgpinnad võrdhaarsed trapetsid. Telglõik on samuti võrdhaarne.

Kärbitud hulktahuka kõrguse määramiseks on vaja kõrgus joonestada telglõikes ehk trapetsis.

Pinnaalad

Peamised geomeetriaülesanded, mida tuleb kooli geomeetria kursusel lahendada, on püramiidi pindala ja ruumala leidmine.

Pindala on kahte tüüpi:

külgmiste elementide pindala;
kogu pinna pindala.

Pealkirjast endast on aru saada, millega tegu. Külgpind sisaldab ainult külgmisi elemente. Sellest järeldub, et selle leidmiseks tuleb lihtsalt liita külgtasandite pindalad, st võrdhaarsete 3-nurksete pindalad. Proovime tuletada külgelementide pindala valemit:

Võrdhaarse 3-nurga pindala on Str=1/2(aL), kus a on aluse külg, L on apoteem.
Külgtasapindade arv sõltub aluses oleva k-goni tüübist. Näiteks tavalisel nelinurksel püramiidil on neli külgtasapinda. Seetõttu on vaja liita nelja numbri pindalad Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Avaldist on sel viisil lihtsustatud, kuna väärtus 4a=POS, kus POS on aluse ümbermõõt. Ja avaldis 1/2 * Rosn on selle poolperimeeter.
Seega järeldame, et tavalise püramiidi külgelementide pindala on võrdne aluse poolperimeetri ja apoteemi korrutisega: Sside = Rosn * L.

Püramiidi täispinna pindala koosneb külgtasandite ja aluse pindalade summast: Sp.p. = Sside + Sbase.

Mis puutub aluse pindala, siis siin kasutatakse valemit vastavalt hulknurga tüübile.

Tavalise püramiidi ruumala on võrdne põhitasandi pindala ja kõrguse korrutisega jagatuna kolmega: V=1/3*Sbase*H, kus H on hulktahuka kõrgus.

Mis on geomeetrias tavaline püramiid

Korrapärase nelinurkse püramiidi omadused

2. videotund: Püramiidi väljakutse. Püramiidi maht

3. videotund: Püramiidi väljakutse. Õige püramiid

Loeng: Püramiid, selle alus, külgservad, kõrgus, külgpind; kolmnurkne püramiid; parempoolne püramiid

Püramiid, selle omadused

Püramiid- See on kolmemõõtmeline keha, mille põhjas on hulknurk ja mille kõik tahud koosnevad kolmnurkadest.

Püramiidi erijuhtum on koonus, mille põhjas asub ring.

Mõelge püramiidi põhielementidele:

Apoteem on segment, mis ühendab püramiidi ülaosa külgpinna alumise serva keskosaga. Teisisõnu, see on püramiidi esikülje kõrgus.

Joonisel on näha kolmnurgad ADS, ABS, BCS, CDS. Kui vaatate nimesid tähelepanelikult, näete, et iga kolmnurga nimes on üks ühine täht - S. See tähendab, et kõik külgpinnad (kolmnurgad) koonduvad ühte punkti, mida nimetatakse püramiidi tipuks.

Lõike OS, mis ühendab tipu aluse diagonaalide lõikepunktiga (kolmnurkade puhul kõrguste lõikepunktis), nimetatakse nn. püramiidi kõrgus.

Diagonaallõik on tasapind, mis läbib püramiidi ülaosa, samuti üht aluse diagonaali.

Kuna püramiidi külgpind koosneb kolmnurkadest, on külgpinna kogupindala leidmiseks vaja leida iga tahu pindalad ja need lisada. Tahkude arv ja kuju sõltuvad põhjas asuva hulknurga külgede kujust ja suurusest.

Ainsat püramiidi tasapinda, millel pole tippu, nimetatakse alus püramiidid.

Joonisel näeme, et alus on rööpkülik, kuid seal võib olla mis tahes suvaline hulknurk.

Omadused:

Mõelge püramiidi esimesele juhtumile, kus selle servad on sama pikkusega:

Sellise püramiidi aluse ümber võib kirjeldada ringi. Kui projitseerite sellise püramiidi tipu, asub selle projektsioon ringi keskel.
Püramiidi aluse nurgad on iga tahu jaoks samad.
Samas võib piisavaks tingimuseks, et ümber püramiidi aluse saab kirjeldada ringjoont ja et kõik servad on erineva pikkusega, võib pidada ühesuguseid nurki aluse ja tahkude iga serva vahel. .

Kui puutute kokku püramiidiga, mille külgpindade ja aluse vahelised nurgad on võrdsed, kehtivad järgmised omadused:

Saate kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse, mille tipp on projitseeritud täpselt keskele.
Kui joonistate kõrguse mõlemale küljele aluse külge, on need võrdse pikkusega.
Sellise püramiidi külgpinna leidmiseks piisab, kui leida aluse ümbermõõt ja korrutada see poole kõrguse pikkusega.
Sbp \u003d 0,5P oc H.
Püramiidi tüübid.
Sõltuvalt sellest, milline hulknurk asub püramiidi põhjas, võivad need olla kolmnurksed, nelinurksed jne. Kui püramiidi põhjas asub korrapärane hulknurk (võrdsete külgedega), nimetatakse sellist püramiidi korrapäraseks.

Regulaarne kolmnurkne püramiid

Definitsioon. Külg nägu- see on kolmnurk, mille üks nurk asub püramiidi tipus ja selle vastaskülg langeb kokku aluse (hulknurga) küljega.

Definitsioon. Külgmised ribid on külgpindade ühised küljed. Püramiidil on nii palju servi kui hulknurki.

Definitsioon. püramiidi kõrgus on püramiidi tipust põhja langenud risti.

Definitsioon. Apoteem- see on püramiidi külgpinna risti, mis on langetatud püramiidi tipust aluse küljele.

Definitsioon. Diagonaalne lõige- see on püramiidi läbilõige tasapinnast, mis läbib püramiidi tippu ja aluse diagonaali.

Definitsioon. Õige püramiid- See on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk ja kõrgus langeb aluse keskele.

Püramiidi ruumala ja pindala

Valem. püramiidi maht läbi aluse pindala ja kõrgus:

püramiidi omadused

Kui kõik külgservad on võrdsed, saab püramiidi aluse ümber piirata ringi ja aluse keskpunkt ühtib ringi keskpunktiga. Samuti läbib ülevalt alla lastud risti aluse (ringi) keskpunkti.

Kui kõik külgmised ribid on võrdsed, on need alustasandi suhtes samade nurkade all.

Külgmised ribid on võrdsed, kui nad moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes ühe nurga all kallutatud, saab püramiidi põhja kirjutada ringi ja püramiidi tipp projitseeritakse selle keskmesse.

Kui külgpinnad on alustasapinna suhtes ühe nurga all kaldu, siis on külgpindade apoteemid võrdsed.

Tavalise püramiidi omadused

1. Püramiidi tipp on aluse kõigist nurkadest võrdsel kaugusel.

2. Kõik külgmised servad on võrdsed.

3. Kõik külgmised ribid on aluse suhtes sama nurga all.

4. Kõikide külgpindade apoteemid on võrdsed.

5. Kõikide külgpindade pindalad on võrdsed.

6. Kõigil tahkudel on samad kahetahulised (tasapinnalised) nurgad.

7. Püramiidi ümber saab kirjeldada kera. Kirjeldatud sfääri keskpunkt on servade keskosa läbivate perpendikulaaride lõikepunkt.

8. Püramiidi saab sisse kirjutada kera. Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on serva ja aluse vahelisest nurgast lähtuvate poolitajate lõikepunkt.

9. Kui sissekirjutatud sfääri keskpunkt ühtib piiritletud sfääri keskpunktiga, siis on tipu tasanurkade summa π või vastupidi, üks nurk on võrdne π / n, kus n on arv nurgad püramiidi põhjas.

Püramiidi seos sfääriga

Püramiidi ümber olevat kera saab kirjeldada siis, kui püramiidi põhjas asub hulktahukas, mille ümber saab kirjeldada ringi (vajalik ja piisav tingimus). Kera keskpunkt on püramiidi külgmiste servade keskpunkte risti läbivate tasapindade lõikepunkt.

Sfääri saab alati kirjeldada mis tahes kolmnurkse või korrapärase püramiidi ümber.

Kera saab püramiidi sisse kirjutada, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad ühes punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Püramiidi ühendus koonusega

Koonust nimetatakse püramiidi sissekirjutatuks, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on kantud püramiidi põhja.

Püramiidi saab kirjutada koonuse, kui püramiidi apoteemid on võrdsed.

Koonust nimetatakse ümber püramiidi, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on ümbritsetud ümber püramiidi aluse.

Püramiidi ümber olevat koonust saab kirjeldada, kui kõik püramiidi külgservad on üksteisega võrdsed.

Püramiidi ühendus silindriga

Püramiidi kohta öeldakse, et see on silindrisse kantud, kui püramiidi tipp asub silindri ühel alusel ja püramiidi põhi on kantud silindri teisele alusele.

Silindri saab püramiidi ümber piirata, kui püramiidi aluse ümber saab piirata ringi.

Definitsioon. Kärbitud püramiid (püramiidprisma)- See on hulktahukas, mis asub püramiidi aluse ja alusega paralleelse lõiketasandi vahel. Seega on püramiidil suur alus ja väiksem alus, mis sarnaneb suuremaga. Külgpinnad on trapetsikujulised.

Definitsioon. Kolmnurkne püramiid (tetraeeder)- see on püramiid, mille kolm tahku ja alus on suvalised kolmnurgad.

Tetraeedril on neli tahku ja neli tippu ja kuus serva, kus kahel serval pole ühiseid tippe, kuid need ei puutu kokku.

Iga tipp koosneb kolmest tahust ja servast, mis moodustavad kolmnurkne nurk.

Nimetatakse lõiku, mis ühendab tetraeedri tippu vastaskülje keskpunktiga tetraeedri mediaan(GM).

Bimediaan nimetatakse lõiguks, mis ühendab vastasservade keskpunkte, mis ei puutu kokku (KL).

Kõik tetraeedri bimediaanid ja mediaanid lõikuvad ühes punktis (S). Sel juhul jagatakse bimediaanid pooleks ja mediaanid suhtega 3:1, alustades ülalt.

Definitsioon. kaldus püramiid on püramiid, mille üks servadest moodustab põhjaga nürinurga (β).

Definitsioon. Ristkülikukujuline püramiid on püramiid, mille üks külgpindadest on aluse suhtes risti.

Definitsioon. Terava nurgaga püramiid on püramiid, mille apoteem on üle poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. nüri püramiid on püramiid, mille apoteem on alla poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. korrapärane tetraeeder Tetraeeder, mille neli tahku on võrdkülgsed kolmnurgad. See on üks viiest korrapärasest hulknurgast. Tavalises tetraeedris on kõik kahetahulised nurgad (tahkude vahel) ja kolmnurksed nurgad (tipu juures) võrdsed.

Definitsioon. Ristkülikukujuline tetraeeder nimetatakse tetraeedrit, mille tipus on kolme serva vahel täisnurk (servad on risti). Moodustuvad kolm nägu ristkülikukujuline kolmnurkne nurk ja tahud on täisnurksed kolmnurgad ja alus on suvaline kolmnurk. Mis tahes näo apoteem on võrdne poole aluse küljega, millele apoteem langeb.

Definitsioon. Isoeedriline tetraeeder Nimetatakse tetraeedrit, mille külgpinnad on üksteisega võrdsed ja alus on korrapärane kolmnurk. Sellise tetraeedri tahud on võrdhaarsed kolmnurgad.

Definitsioon. Ortotsentriline tetraeeder nimetatakse tetraeedrit, milles kõik kõrgused (perpendikulaarid), mis on langetatud ülalt vastasküljele, ristuvad ühes punktis.

Definitsioon. tähe püramiid Nimetatakse hulktahukat, mille alus on täht.

Definitsioon. Bipüramiid- hulktahukas, mis koosneb kahest erinevast püramiidist (püramiide saab ka ära lõigata), millel on ühine alus ja mille tipud asuvad põhitasandi vastaskülgedel.

Definitsioon

Püramiid on hulktahukas, mis koosneb hulknurgast \(A_1A_2...A_n\) ja \(n\) kolmnurgast, millel on ühine tipp \(P\) (mis ei asu hulknurga tasapinnal) ja mille vastasküljed langevad kokku hulknurk.
Nimetus: \(PA_1A_2...A_n\) .
Näide: viisnurkne püramiid \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Kolmnurgad \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) jne. helistas külgmised näod püramiidid, segmendid \(PA_1, PA_2\) jne. - külgmised ribid, hulknurk \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – alus, punkt \(P\) – tippkohtumisel.

Kõrgus Püramiidid on risti, mis on langetatud püramiidi tipust aluse tasapinnale.

Püramiidi, mille põhjas on kolmnurk, nimetatakse tetraeeder.

Püramiidi nimetatakse õige, kui selle alus on tavaline hulknurk ja üks järgmistest tingimustest on täidetud:

\((a)\) püramiidi külgservad on võrdsed;

\(b)\) püramiidi kõrgus läbib aluse lähedal asuva ümberpiiratud ringi keskpunkti;

\((c)\) külgmised ribid on kallutatud põhitasandi suhtes sama nurga all.

\(d)\) külgpinnad on põhitasandi suhtes sama nurga all.

korrapärane tetraeeder on kolmnurkne püramiid, mille kõik tahud on võrdsed võrdkülgsed kolmnurgad.

Teoreem

Tingimused \((a), (b), (c), (d)\) on samaväärsed.

Tõestus

Joonistage püramiidi kõrgus \(PH\) . Olgu \(\alpha\) püramiidi aluse tasapind.

1) Tõestame, et \((a)\) tähendab \((b)\) . Olgu \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Sest \(PH\perp \alpha\) , siis \(PH\) on risti mis tahes sellel tasapinnal asuva sirgega, seega on kolmnurgad täisnurksed. Seega on need kolmnurgad võrdsed ühises jaos \(PH\) ja hüpotenuusis \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Seega \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . See tähendab, et punktid \(A_1, A_2, ..., A_n\) on punktist \(H\) samal kaugusel, seega asuvad nad samal ringil raadiusega \(A_1H\) . See ring on definitsiooni järgi piiritletud hulknurga \(A_1A_2...A_n\) ümber.

2) Tõestame, et \((b)\) tähendab \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) ristkülikukujuline ja võrdne kahe jalaga. Seega on ka nende nurgad võrdsed, seega \(\nurk PA_1H=\nurk PA_2H=...=\nurk PA_nH\).

3) Tõestame, et \((c)\) tähendab \((a)\) .

Sarnaselt esimese punktiga kolmnurgad \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) ristkülikukujuline ja piki jalga ja teravnurk. See tähendab, et ka nende hüpotenuusid on võrdsed, st \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Tõestame, et \((b)\) tähendab \((d)\) .

Sest korrapärases hulknurgas langevad piiritletud ja sisse kirjutatud ringide keskpunktid kokku (üldiselt nimetatakse seda punkti korrapärase hulknurga keskpunktiks), siis \(H\) on sisse kirjutatud ringi keskpunkt. Joonistame punktist \(H\) aluse külgedele ristid: \(HK_1, HK_2\) jne. Need on sisse kirjutatud ringi raadiused (definitsiooni järgi). Siis on TTP järgi (\(PH\) tasapinnaga risti, \(HK_1, HK_2\) jne on külgedega risti olevad projektsioonid) kaldus \(PK_1, PK_2\) jne. risti külgedega \(A_1A_2, A_2A_3\) jne. vastavalt. Niisiis, definitsiooni järgi \(\nurk PK_1H, \nurk PK_2H\) võrdne külgpindade ja aluse vaheliste nurkadega. Sest kolmnurgad \(PK_1H, PK_2H, ...\) on võrdsed (täisnurgana kahel jalal), siis nurgad \(\nurk PK_1H, \nurk PK_2H, ...\) on võrdsed.

5) Tõestame, et \((d)\) tähendab \((b)\) .

Sarnaselt neljanda punktiga on kolmnurgad \(PK_1H, PK_2H, ...\) võrdsed (ristkülikukujulistena piki jalga ja teravnurka), mis tähendab, et lõigud \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) on võrdsed. Seega on \(H\) definitsiooni järgi alusesse kantud ringi keskpunkt. Aga kuna korrapäraste hulknurkade korral langevad sissekirjutatud ja piiritletud ringide keskpunktid kokku, siis \(H\) on piiritletud ringi keskpunkt. Chtd.

Tagajärg

Tavalise püramiidi külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad.

Definitsioon

Tavalise püramiidi külgpinna kõrgust, mis on tõmmatud selle tipust, nimetatakse apoteem.
Korrapärase püramiidi kõigi külgpindade apoteemid on üksteisega võrdsed ning on ühtlasi ka mediaanid ja poolitajad.

Olulised märkused

1. Korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus langeb aluse kõrguste (ehk poolitajate ehk mediaanide) lõikepunkti (alus on korrapärane kolmnurk).

2. Korrapärase nelinurkse püramiidi kõrgus langeb aluse diagonaalide lõikepunktini (alus on ruut).

3. Korrapärase kuusnurkse püramiidi kõrgus langeb aluse diagonaalide lõikepunktini (alus on korrapärane kuusnurk).

4. Püramiidi kõrgus on risti mis tahes aluses asuva sirge suhtes.

Definitsioon

Püramiidi nimetatakse ristkülikukujuline kui selle üks külgserv on risti aluse tasapinnaga.

Olulised märkused

1. Ristkülikukujulise püramiidi puhul on põhjaga risti olev serv püramiidi kõrgus. See tähendab, et \(SR\) on kõrgus.

2. Sest \(SR\) risti mis tahes joonega alusest, siis \(\triangle SRM, \triangle SRP\) on täisnurksed kolmnurgad.

3. Kolmnurgad \(\kolmnurk SRN, \kolmnurk SRK\) on ka ristkülikukujulised.
See tähendab, et iga kolmnurk, mille moodustab see serv ja selle serva tipust väljuv diagonaal, mis asub aluses, on täisnurkne.

\[(\Large(\text(Püramiidi maht ja pindala)))\]

Teoreem

Püramiidi ruumala on võrdne ühe kolmandikuga püramiidi aluse pindala ja kõrguse korrutisest: \

Tagajärjed

Olgu \(a\) aluse külg, \(h\) püramiidi kõrgus.

1. Korrapärase kolmnurkse püramiidi ruumala on \(V_(\text(parem kolmnurk pür.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Korrapärase nelinurkse püramiidi ruumala on \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Korrapärase kuusnurkse püramiidi ruumala on \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Korrapärase tetraeedri ruumala on \(V_(\text(parem tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teoreem

Tavalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne poolega aluse perimeetri ja apoteemi korrutisest.

\[(\Large(\text(Truncated püramiid)))\]

Definitsioon

Vaatleme suvalist püramiidi \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Joonistame püramiidi põhjaga paralleelse tasapinna läbi teatud punkti, mis asub püramiidi külgserval. See tasapind jagab püramiidi kaheks polüheedriks, millest üks on püramiid (\(PB_1B_2...B_n\) ) ja teine on nn. kärbitud püramiid(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).