naturaallogaritm

Naturaallogaritmfunktsiooni graafik. Funktsioon läheneb aeglaselt positiivsele lõpmatusele as x ja läheneb kiiresti negatiivsele lõpmatusele, kui x kipub olema 0 ("aeglaselt" ja "kiire" võrreldes mis tahes võimsusfunktsiooniga x).

naturaallogaritm on baaslogaritm , kus e on irratsionaalne konstant, mis on võrdne ligikaudu 2,718281 828 . Naturaallogaritmi tähistatakse tavaliselt kui ln( x), logi e (x) või mõnikord lihtsalt logige ( x), kui alus e kaudne.

Arvu naturaallogaritm x(kirjutatud kui log(x)) on astendaja, milleni soovite arvu tõsta e, Et saada x. Näiteks, ln(7389...) võrdub 2-ga, sest e 2 =7,389... . Arvu enda naturaallogaritm e (ln(e)) on võrdne 1-ga, sest e 1 = e ja naturaallogaritm 1 ( logi (1)) on 0, sest e 0 = 1.

Naturaallogaritmi saab defineerida mis tahes positiivse reaalarvu jaoks a kui kõvera alune ala y = 1/x 1-st kuni a. Selle määratluse lihtsus, mis on kooskõlas paljude teiste naturaallogaritmi kasutavate valemitega, on viinud nimetuseni "looduslik". Seda määratlust saab laiendada kompleksarvudele, mida arutatakse allpool.

Kui vaadelda naturaalset logaritmi reaalmuutuja reaalfunktsioonina, siis on see eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon, mis viib identiteetideni:

Nagu kõik logaritmid, kaardistab naturaallogaritm korrutamise liitmiseks:

Seega on logaritmiline funktsioon positiivsete reaalarvude rühma isomorfism reaalarvude rühmaga liitmise teel korrutamise suhtes, mida saab esitada funktsioonina:

Logaritmi saab määrata mis tahes muu positiivse baasi jaoks peale 1, mitte ainult e, kuid teiste aluste logaritmid erinevad naturaallogaritmist ainult konstantse teguri poolest ja on tavaliselt defineeritud naturaallogaritmi järgi. Logaritmid on kasulikud võrrandite lahendamiseks, milles tundmatud esinevad eksponendina. Näiteks kasutatakse logaritme teadaoleva poolestusaja lagunemiskonstandi leidmiseks või radioaktiivsuse probleemide lahendamisel lagunemisaja leidmiseks. Need mängivad olulist rolli paljudes matemaatika ja rakendusteaduste valdkondades, neid kasutatakse finantsvaldkonnas paljude probleemide lahendamiseks, sealhulgas liitintressi leidmiseks.

Lugu

Esimest korda mainis naturaallogaritmi oma töös Nicholas Mercator Logaritmotehnika, avaldati 1668. aastal, kuigi matemaatikaõpetaja John Spydell koostas naturaallogaritmide tabeli juba 1619. aastal. Varem nimetati seda hüperboollogaritmiks, kuna see vastab hüperbooli all olevale alale. Mõnikord nimetatakse seda Napieri logaritmiks, kuigi selle termini algne tähendus oli mõnevõrra erinev.

Märkimiskonventsioonid

Naturaallogaritmi tähistatakse tavaliselt tähega "ln( x)”, 10-ne logaritm kuni “lg( x)" ja muid põhjuseid on kombeks selgesõnaliselt näidata tähisega "log".

Paljudes diskreetse matemaatika, küberneetika, informaatika töödes kasutavad autorid tähistust "log( x)" logaritmide puhul 2. aluseni, kuid see konventsioon ei ole üldiselt aktsepteeritud ja vajab selgitamist kas kasutatud tähistuste loendis või (kui sellist loendit pole) joonealuse märkuse või kommentaariga esmakordsel kasutamisel.

Tavaliselt jäetakse logaritmi argumendi ümber olevad sulud (kui see ei too kaasa valemi ekslikku lugemist) välja ja logaritmi astmeks tõstmisel omistatakse eksponent otse logaritmi märgile: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Angloameerika süsteem

Matemaatikud, statistikud ja mõned insenerid kasutavad tavaliselt kas "log( x)" või "ln( x)" ja logaritmi tähistamiseks alusega 10 - "log 10 ( x)».

Mõned insenerid, bioloogid ja teised spetsialistid kirjutavad alati "ln( x)" (või aeg-ajalt "log e ( x)"), kui need tähendavad naturaallogaritmi ja tähist "log( x)" tähendab log 10 ( x).

logi e on "loomulik" logaritm, kuna see esineb automaatselt ja esineb matemaatikas väga sageli. Näiteks kaaluge logaritmilise funktsiooni tuletise probleemi:

Kui alus b võrdub e, siis tuletis on lihtsalt 1/ x, ja millal x= 1 see tuletis on võrdne 1-ga. Teine põhjendus, mille aluseks e logaritm on kõige loomulikum, on see, et seda saab üsna lihtsalt defineerida lihtsa integraali või Taylori seeriana, mida ei saa öelda teiste logaritmide kohta.

Loomulikkuse edasised põhjendused pole arvuga seotud. Nii on näiteks mitu lihtsat naturaallogaritmiga seeriat. Pietro Mengoli ja Nicholas Mercator kutsusid neid loomulik logaritm mitu aastakümmet, kuni Newton ja Leibniz töötasid välja diferentsiaal- ja integraalarvutuse.

Definitsioon

Formaalselt ln( a) saab defineerida kui graafiku kõvera alune pindala 1/ x 1-st kuni a, st integraalina:

See on tõepoolest logaritm, kuna see vastab logaritmi põhiomadusele:

Seda saab näidata, eeldades järgmist:

Numbriline väärtus

Arvu naturaallogaritmi arvväärtuse arvutamiseks saate kasutada selle laiendust Taylori seerias järgmisel kujul:

Parima lähenemise määra saavutamiseks võite kasutada järgmist identiteeti.

tingimusel, et y = (x−1)/(x+1) ja x > 0.

ln( x), kus x> 1, seda lähemal on väärtus x 1-ni, seda kiirem on lähenemismäär. Eesmärgi saavutamiseks saab kasutada logaritmiga seotud identiteete:

Neid meetodeid kasutati juba enne kalkulaatorite tulekut, mille jaoks kasutati numbrilisi tabeleid ja tehti ülalkirjeldatutele sarnaseid manipulatsioone.

Kõrge täpsus

Naturaallogaritmi arvutamiseks paljude numbrite täpsusega ei ole Taylori seeria tõhus, kuna selle konvergents on aeglane. Alternatiiviks on kasutada Newtoni meetodit, et inverteerida eksponentsiaalfunktsiooni, mille jada koondub kiiremini.

Väga suure arvutustäpsuse alternatiiviks on valem:

kus M tähistab aritmeetilist-geomeetrilist keskmist 1 ja 4/s ning

m valitud nii lk saavutatakse täpsusmärgid. (Enamasti piisab m väärtusest 8.) Tõepoolest, kui seda meetodit kasutatakse, saab eksponentsiaalfunktsiooni tõhusaks arvutamiseks rakendada naturaallogaritmi Newtoni inversiooni. (Konstandid ln 2 ja pi saab soovitud täpsusega eelnevalt välja arvutada, kasutades mis tahes teadaolevat kiiresti koonduvat seeriat.)

Arvutuslik keerukus

Naturaallogaritmide arvutuslik keerukus (kasutades aritmeetilist-geomeetrilist keskmist) on O( M(n)ln n). Siin n on täpsusnumbrite arv, mille puhul naturaallogaritmi tuleb hinnata, ja M(n) on kahe korrutamise arvutuslik keerukus n-kohalised numbrid.

Jätkuvad murded

Kuigi logaritmi esitamiseks pole lihtsaid jätkuvaid murde, võib kasutada mitmeid üldistatud jätkuvaid murde, sealhulgas:

Komplekssed logaritmid

Eksponentfunktsiooni saab laiendada funktsioonile, mis annab vormi kompleksarvu e x mis tahes suvalise kompleksarvu jaoks x, kasutades samas kompleksiga lõpmatut seeriat x. Seda eksponentsiaalfunktsiooni saab ümber pöörata, et moodustada keeruline logaritm, millel on enamik tavaliste logaritmide omadustest. Siiski on kaks raskust: ei ole x, milleks e x= 0 ja selgub, et e 2pi = 1 = e 0 . Kuna korduvusomadus kehtib keerulise eksponentsiaalfunktsiooni korral, siis e z = e z+2npi kõigile kompleksidele z ja terve n.

Logaritmi ei saa defineerida kogu komplekstasandil ja isegi nii on see mitme väärtusega – iga kompleksse logaritmi saab asendada "ekvivalentse" logaritmiga, lisades 2-le mis tahes täisarvulise kordse. pi. Komplekslogaritmi saab ühe väärtusega määrata ainult komplekstasandi lõigul. Näiteks ln i = 1/2 pi või 5/2 pi või −3/2 pi jne, ja kuigi i 4 = 1,4 log i saab määratleda kui 2 pi või 10 pi või -6 pi, ja nii edasi.

Vaata ka

• John Napier - logaritmide leiutaja

Märkmed

1. Matemaatika füüsikalise keemia jaoks. - 3. - Academic Press, 2005. - Lk 9. - ISBN 0-125-08347-5, Väljavõte leheküljest 9
2. JJ O "Connor ja E. F. Robertson Arv e . MacTutori matemaatika ajaloo arhiiv (september 2001). Arhiveeritud
3. Cajori Florian A History of Mathematics, 5. väljaanne. - AMS raamatupood, 1991. - Lk 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Integraalide hindamine polünoomide abil . Arhiveeritud originaalist 12. veebruaril 2012.

Päris hea, eks? Samal ajal kui matemaatikud otsivad sõnu, et anda teile pikk ja keerukas määratlus, vaatame seda lihtsat ja selget definitsiooni lähemalt.

Number e tähendab kasvu

Arv e tähendab pidevat kasvu. Nagu nägime eelmises näites, võimaldab näide meil intressi ja aja siduda: 3 aastat 100% kasvuga on sama, mis 1 aasta 300% juures, tingimusel et "liitintress".

Saate asendada mis tahes protsendi- ja ajaväärtused (50% 4 aasta jooksul), kuid mugavuse huvides on parem määrata protsendiks 100% (selgub, et 2 aasta jooksul on see 100%). 100% juurde liikudes saame keskenduda ainult ajakomponendile:

e x = e protsent * aeg = e 1,0 * aeg = e aeg

Ilmselt tähendab e x:

• kui palju kasvab minu panus x ajaühikuga (eeldades 100% pidevat kasvu).
• näiteks 3 ajaintervalli järel saan e 3 = 20,08 korda rohkem "asju".

e x on skaleerimistegur, mis näitab, millisele tasemele me x ajaperioodi jooksul kasvame.

Naturaalne logaritm tähendab aega

Naturaalne logaritm on e pöördväärtus, selline väljamõeldud termin vastupidise kohta. veidrustest rääkides; ladina keeles nimetatakse seda logarithmus naturali, sellest ka lühend ln.

Ja mida see inversioon või vastupidine tähendab?

• e x võimaldab meil aja sisse lülitada ja kasvu saada.
• Ln(x) võimaldab meil võtta kasvu või sissetuleku ja välja selgitada selle saamiseks kuluva aja.

Näiteks:

• e 3 võrdub 20,08. Kolme aja jooksul on meil 20,08 korda rohkem, kui alustasime.
• ln(20.08) on umbes 3. Kui olete huvitatud 20,08-kordsest kasvust, vajate 3 korda (taaskord, eeldades 100% pidevat kasvu).

Kas sa ikka loed? Naturaallogaritm näitab aega, mis kulub soovitud taseme saavutamiseks.

See mittestandardne logaritmiline loendus

Läbisite logaritmid – need on kummalised olendid. Kuidas neil õnnestus korrutamine liitmiseks muuta? Aga lahutamiseks jagamine? Vaatame.

Millega on ln(1) võrdne? Intuitiivselt on küsimus: kui kaua ma pean ootama, et saada 1 korda rohkem, kui mul on?

Null. Null. Üldse mitte. Sul on see üks kord juba olemas. 1. tasemelt 1. tasemele kasvamine ei võta aega.

• log(1) = 0

Okei, aga murdosa väärtus? Kui kaua läheb aega, et meil oleks 1/2 sellest, mis meil alles on? Teame, et 100% pideva kasvu korral tähendab ln(2) aega, mis kulub kahekordistumiseks. Kui me aega tagasi keerama(st ootame negatiivselt aega), siis saame poole sellest, mis meil on.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Loogiline, eks? Kui läheme tagasi (aega tagasi) 0,693 sekundi võrra, leiame poole olemasolevast summast. Üldiselt võite murdosa ümber pöörata ja võtta negatiivse väärtuse: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. See tähendab, et kui minna ajas tagasi 1,09 korda, siis leiame vaid kolmandiku praegusest arvust.

Okei, aga negatiivse arvu logaritm? Kui kaua kulub bakterikoloonia "kasvatamiseks" 1 kuni -3?

See on võimatu! Te ei saa negatiivset bakterite arvu, eks? Võite saada maksimaalse (ah... miinimumi) nulli, kuid te ei saa kuidagi saada negatiivset arvu nendest väikestest olenditest. Negatiivne bakterite arv pole lihtsalt mõttekas.

• ln(negatiivne arv) = määramata

"Määratlemata" tähendab, et negatiivse väärtuse saamiseks ei pea kaua ootama.

Logaritmiline korrutamine on lihtsalt naljakas

Kui kaua kulub kasvu neljakordistumiseks? Muidugi võite lihtsalt võtta ln(4). Aga see on liiga lihtne, me läheme teist teed.

Võite mõelda neljakordistamisele kui kahekordistamisele (nõuab ln(2) ajaühikut) ja seejärel uuesti kahekordistamist (vaja on veel ln(2) ajaühikut):

• Aeg 4x kasvuni = ln(4) = aeg kahekordistada ja siis uuesti kahekordistada = ln(2) + ln(2)

Huvitav. Mis tahes kasvumäära, näiteks 20, võib kohe pärast 10-kordset suurenemist kahekordistada. Või kasv 4 korda ja siis 5 korda. Või kolmekordistamine ja seejärel 6,666-kordne tõus. Kas näete mustrit?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A korda B logaritm on log(A) + log(B). See suhe on kohe mõttekas, kui tegutsete kasvu mõttes.

Kui olete huvitatud 30-kordsest kasvust, võite oodata ln(30) ühe korraga või oodata, kuni ln(3) kolmekordistub, ja siis veel üks ln(10), mis korrutab kümnega. Lõpptulemus on sama, nii et loomulikult peab aeg jääma konstantseks (ja jääb).

Aga jagunemine? Täpsemalt tähendab ln(5/3): kui kaua võtab aega, et kasvada 5 korda ja siis saada 1/3 sellest?

Suurepärane, tegur 5 on ln(5). 1/3 korda kasvatamiseks kulub -ln(3) ajaühikut. Niisiis,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

See tähendab: lase tal kasvada 5 korda ja siis "mine ajas tagasi" sinnamaani, kus sellest kogusest jääb alles vaid kolmandik, nii saad 5/3 kasvu. Üldiselt selgub

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Loodan, et logaritmide veider aritmeetika hakkab teile aru saama: kasvumäärade korrutamine muutub kasvuajaühikute liitmiseks ja jagamine ajaühikute lahutamiseks. Ärge jätke reegleid pähe, proovige neid mõista.

Loodusliku logaritmi kasutamine meelevaldseks kasvuks

Noh, muidugi, – ütlete – on kõik hea, kui kasv on 100%, aga kuidas on lood selle 5%-ga, mille ma saan?

Pole probleemi. "Aeg", mille me ln() abil arvutame, on tegelikult intressimäära ja aja kombinatsioon, sama X võrrandist e x. Otsustasime lihtsalt lihtsuse huvides protsendimäära 100%, kuid võime vabalt kasutada mis tahes arvu.

Oletame, et tahame saavutada 30-kordset kasvu: võtame ln(30) ja saame 3,4 See tähendab:

• e x = kõrgus
• e 3,4 = 30

Ilmselt tähendab see võrrand "100% tulu 3,4 aasta jooksul annab 30 korda." Selle võrrandi saame kirjutada järgmiselt:

• e x = e kiirus*aeg
• e 100% * 3,4 aastat = 30

Saame muuta "kiiruse" ja "aja" väärtusi seni, kuni kiirus * aeg jääb 3,4. Näiteks kui oleme huvitatud 30-kordsest kasvust, siis kui kaua peame ootama 5% intressimääraga?

• log(30) = 3,4
• määr * aeg = 3,4
• 0,05 * aeg = 3,4
• aeg = 3,4 / 0,05 = 68 aastat

Ma arvan järgmiselt: "ln(30) = 3,4, nii et 100% kasvu korral kulub selleks 3,4 aastat. Kui ma kahekordistan kasvu, väheneb kuluv aeg poole võrra."

• 100% 3,4 aastaga = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% 1,7 aastaga = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50% 6,8 aastaga = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5% üle 68 aasta = 0,05 * 68 = 3,4 .

See on suurepärane, eks? Naturaallogaritmi saab kasutada mis tahes intressimäära ja ajaga, kui nende korrutis jääb konstantseks. Muutujate väärtusi saate liigutada nii palju kui soovite.

Halb näide: seitsmekümne kahe reegel

Seitsmekümne kahe reegel on matemaatiline tehnika, mis võimaldab teil hinnata, kui kaua kulub teie raha kahekordistumiseks. Nüüd tuletame selle (jah!) Ja pealegi püüame mõista selle olemust.

Kui kaua kulub oma raha kahekordistumiseks 100% intressimääraga, mis kasvab igal aastal?

Op-pa. Pideva kasvu korral kasutasime naturaallogaritmi ja nüüd räägite iga-aastasest kogumisest? Kas see valem ei muutuks selliseks juhtumiks sobimatuks? Jah, see on nii, kuid reaalsete intressimäärade puhul, nagu 5%, 6% või isegi 15%, on erinevus iga-aastase intressimäära ja pidevalt kasvava vahel väike. Nii et umbkaudne hinnang töötab, uh, umbkaudu, nii et me teeskleme, et meil on täiesti pidev kogunemine.

Nüüd on küsimus lihtne: kui kiiresti saate 100% kasvuga kahekordistada? ln(2) = 0,693. Koguse kahekordistamiseks jätkuva 100% kasvuga kulub 0,693 ajaühikut (meie puhul aastaid).

Mis siis, kui intressimäär ei ole 100%, vaid oletame, et 5% või 10%?

Lihtsalt! Kuna määr * aeg = 0,693, kahekordistame summa:

• määr * aeg = 0,693
• aeg = 0,693 / määr

Nii et kui kasv on 10%, kulub kahekordistumiseks 0,693 / 0,10 = 6,93 aastat.

Arvutuste lihtsustamiseks korrutame mõlemad osad 100-ga, siis saame öelda "10", mitte "0,10":

• kahekordistamise aeg = 69,3 / panus, kus panust väljendatakse protsentides.

Nüüd on aeg kahekordistada 5%, 69,3 / 5 = 13,86 aastat. 69,3 pole aga just kõige mugavam dividend. Valime lähiarvu 72, mis jagub mugavalt 2, 3, 4, 6, 8 ja teiste arvudega.

• kahekordistamise aeg = 72 / panus

mis on seitsmekümne kahe reegel. Kõik on varjatud.

Kui teil on vaja leida aega kolmekordistamiseks, võite kasutada ln(3) ~ 109.8 ja saada

• kolmekordne aeg = 110 / panus

Mis on veel üks kasulik reegel. "72. reegel" kehtib intressimäärade kasvu, rahvastiku kasvu, bakterikultuuride ja kõige eksponentsiaalselt kasvava kohta.

Mis järgmiseks?

Loodan, et naturaallogaritm on nüüd teie jaoks mõistlik – see näitab aega, mis kulub mis tahes arvu eksponentsiaalseks kasvamiseks. Ma arvan, et seda nimetatakse loomulikuks, kuna e on universaalne kasvumõõt, nii et seda võib pidada universaalseks viisiks, kuidas määrata, kui kaua kulub kasvamiseks.

Iga kord, kui näete ln(x), pidage meeles "aeg, mis kulub x-kordseks kasvamiseks". Tulevas artiklis kirjeldan e-d ja ln-i koosmõjus, et õhku täidaks värske matemaatika aroom.

Komplement: e naturaalne logaritm

Kiire viktoriin: kui palju on ln(e)?

• matemaatikarobot ütleb: kuna need on defineeritud üksteise pöördväärtustena, on ilmne, et ln(e) = 1.
• mõistev inimene: ln(e) on e-kordseks kasvamise arv (umbes 2,718). Arv e ise on aga kasvu mõõt teguriga 1, seega ln(e) = 1.

Mõelge selgelt.

9. september 2013

Teatavasti liidetakse avaldiste astmetega korrutamisel alati nende eksponendid (a b * a c = a b + c). Selle matemaatilise seaduse tuletas Archimedes ja hiljem, 8. sajandil, lõi matemaatik Virasen täisarvunäitajate tabeli. Just nemad teenisid logaritmide edasist avastamist. Selle funktsiooni kasutamise näiteid võib leida peaaegu kõikjalt, kus on vaja kohmakas korrutamine lihtsaks liitmiseks lihtsustada. Kui kulutate selle artikli lugemisele 10 minutit, selgitame teile, mis on logaritmid ja kuidas nendega töötada. Lihtne ja juurdepääsetav keel.

Definitsioon matemaatikas

Logaritm on järgmise kujuga avaldis: log a b=c, st mis tahes mittenegatiivse arvu (st iga positiivse) "b" logaritmi vastavalt selle alusele "a" peetakse "c" astmeks. ", millele on vaja tõsta alus "a", et lõpuks saada väärtus "b". Analüüsime logaritmi näidete abil, oletame, et on olemas avaldis log 2 8. Kuidas vastust leida? See on väga lihtne, tuleb leida selline kraad, et 2-st kuni vajaliku kraadini saad 8. Mõttes arvutusi tehes saame numbri 3! Ja õigustatult, sest 2 astmel 3 annab vastuses arvu 8.

Logaritmide sordid

Paljude õpilaste ja üliõpilaste jaoks tundub see teema keeruline ja arusaamatu, kuid tegelikult pole logaritmid nii hirmutavad, peamine on mõista nende üldist tähendust ja meeles pidada nende omadusi ja mõningaid reegleid. Logaritmilisi avaldisi on kolme erinevat tüüpi:

1. Naturaallogaritm ln a, kus aluseks on Euleri arv (e = 2,7).
2. Kümnend a, kus alus on 10.
3. Mis tahes arvu b logaritm baasile a>1.

Igaüks neist on lahendatud standardsel viisil, sealhulgas lihtsustamine, taandamine ja sellele järgnev taandamine ühele logaritmile, kasutades logaritmilisi teoreeme. Logaritmide õigete väärtuste saamiseks tuleks otsuste tegemisel meeles pidada nende omadusi ja toimingute järjekorda.

Reeglid ja mõned piirangud

Matemaatikas on mitmeid reegleid-piiranguid, mida aktsepteeritakse aksioomina, see tähendab, et need ei kuulu arutelule ja on tõesed. Näiteks on võimatu jagada numbreid nulliga, samuti on võimatu eraldada negatiivsetest arvudest paarisastme juurt. Logaritmidel on ka oma reeglid, mida järgides saate hõlpsalt õppida, kuidas töötada isegi pikkade ja mahukate logaritmiliste avaldistega:

• alus "a" peab alati olema suurem kui null ja samal ajal ei tohi olla võrdne 1-ga, vastasel juhul kaotab avaldis oma tähenduse, kuna "1" ja "0" on mis tahes määral alati võrdsed nende väärtustega;
• kui a > 0, siis a b > 0, selgub, et "c" peab olema suurem kui null.

Kuidas logaritme lahendada?

Näiteks anti ülesanne leida vastus võrrandile 10 x \u003d 100. See on väga lihtne, peate valima sellise astme, tõstes arvu kümme, milleni saame 100. See on loomulikult 10 2 \u003d 100.

Nüüd esitame selle avaldise logaritmilise avaldisena. Saame log 10 100 = 2. Logaritmide lahendamisel koonduvad kõik toimingud praktiliselt sellele, et leida, mil määral tuleb antud arvu saamiseks sisestada logaritmi alus.

Tundmatu kraadi väärtuse täpseks määramiseks peate õppima kraaditabeliga töötamist. See näeb välja selline:

Nagu näete, saab mõningaid eksponente intuitiivselt ära arvata, kui teil on tehniline mõtteviis ja teadmised korrutustabelist. Suuremate väärtuste jaoks on aga vaja toitetabelit. Seda saavad kasutada ka need, kes keerulistes matemaatilistes teemades üldse millestki aru ei saa. Vasakpoolses veerus on arvud (alus a), ülemine arvude rida on astme c väärtus, millele tõstetakse arv a. Lahtrite ristumiskohas määratakse numbrite väärtused, mis on vastus (a c = b). Võtame näiteks kõige esimese lahtri numbriga 10 ja paneme selle ruudu ruutu, saame väärtuse 100, mis on näidatud meie kahe lahtri ristumiskohas. Kõik on nii lihtne ja kerge, et isegi kõige tõelisem humanist mõistab!

Võrrandid ja võrratused

Selgub, et teatud tingimustel on eksponendiks logaritm. Seetõttu saab logaritmilise võrrandina kirjutada mis tahes matemaatilisi arvavaldisi. Näiteks 3 4 =81 saab kirjutada logaritmina 81 alusele 3, mis on neli (log 3 81 = 4). Negatiivsete astmete puhul on reeglid samad: 2 -5 = 1/32 kirjutame logaritmina, saame log 2 (1/32) = -5. Matemaatika üks põnevamaid osi on "logaritmide" teema. Vaatleme võrrandite näiteid ja lahendusi veidi madalamal, kohe pärast nende omaduste uurimist. Nüüd vaatame, kuidas ebavõrdsused välja näevad ja kuidas neid võrranditest eristada.

Antakse järgmise kujuga avaldis: log 2 (x-1) > 3 - see on logaritmiline võrratus, kuna tundmatu väärtus "x" on logaritmi märgi all. Ja ka avaldises võrreldakse kahte suurust: soovitud arvu logaritm aluses kahes on suurem kui arv kolm.

Kõige olulisem erinevus logaritmiliste võrrandite ja võrratuste vahel on see, et logaritmidega võrrandid (näiteks logaritm 2 x = √9) viitavad vastuses ühele või mitmele konkreetsele arvväärtusele, samas kui ebavõrdsuse lahendamisel on nii vahemik vastuvõetavad väärtused ja punktid, mis seda funktsiooni rikuvad. Sellest tulenevalt ei ole vastuseks lihtne üksikute arvude komplekt, nagu võrrandi vastuses, vaid pidev arvude jada või komplekt.

Põhiteoreemid logaritmide kohta

Primitiivsete ülesannete lahendamisel logaritmi väärtuste leidmisel ei pruugi selle omadused olla teada. Kui aga rääkida logaritmilistest võrranditest või võrratustest, siis ennekõike on vaja selgelt mõista ja praktikas rakendada logaritmide kõiki põhiomadusi. Tutvume võrrandite näidetega hiljem, analüüsime esmalt iga omadust üksikasjalikumalt.

1. Põhiidentiteet näeb välja selline: a logaB =B. See kehtib ainult siis, kui a on suurem kui 0, mitte võrdne ühega ja B on suurem kui null.
2. Korrutise logaritmi saab esitada järgmise valemiga: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sel juhul on eelduseks: d, s 1 ja s 2 > 0; a≠1. Selle logaritmi valemi kohta saate esitada tõestuse näidete ja lahendusega. Olgu log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, siis a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saame, et s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (kraadiomadused ), ja edasi definitsiooni järgi: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mida tuli tõestada.
3. Jagatise logaritm näeb välja selline: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Valemi kujul olev teoreem on järgmisel kujul: log a q b n = n/q log a b.

Seda valemit nimetatakse "logaritmi astme omaduseks". See meenutab tavaliste kraadide omadusi ja see pole üllatav, sest kogu matemaatika toetub tavalistele postulaatidele. Vaatame tõestust.

Logige logima a b \u003d t, selgub a t \u003d b. Kui tõstad mõlemad osad astmeni m: a tn = b n ;

aga kuna a tn = (a q) nt/q = b n, siis log a q b n = (n*t)/t, siis log a q b n = n/q log a b. Teoreem on tõestatud.

Näited probleemidest ja ebavõrdsusest

Kõige tavalisemad logaritmiülesannete tüübid on võrrandite ja võrratuste näited. Neid leidub peaaegu kõigis probleemraamatutes ja need sisalduvad ka matemaatika eksamite kohustuslikes osades. Ülikooli astumiseks või matemaatika sisseastumiskatsete sooritamiseks peate teadma, kuidas selliseid ülesandeid õigesti lahendada.

Kahjuks pole logaritmi tundmatu väärtuse lahendamiseks ja määramiseks ühtset plaani või skeemi, kuid iga matemaatilise võrratuse või logaritmilise võrrandi puhul saab rakendada teatud reegleid. Kõigepealt tuleks välja selgitada, kas väljendit saab lihtsustada või taandada üldisele kujule. Kui kasutate nende omadusi õigesti, saate pikki logaritmilisi avaldisi lihtsustada. Saame nendega varsti tuttavaks.

Logaritmvõrrandite lahendamisel tuleb kindlaks teha, milline logaritm meil ees on: avaldise näide võib sisaldada naturaallogaritmi või kümnendlogaritmi.

Siin on näited ln100, ln1026. Nende lahendus taandub asjaolule, et peate määrama, mil määral on baas 10 võrdne vastavalt 100 ja 1026-ga. Naturaallogaritmide lahenduste puhul tuleb rakendada logaritmilisi identiteete või nende omadusi. Vaatame näiteid erinevat tüüpi logaritmiliste ülesannete lahendamisest.

Logaritmi valemite kasutamine: näidete ja lahendustega

Niisiis, vaatame näiteid peamiste teoreemide kasutamisest logaritmidel.

1. Korrutise logaritmi omadust saab kasutada ülesannetes, kus on vaja arvu b suur väärtus lagundada lihtsamateks teguriteks. Näiteks log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastus on 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - nagu näha, õnnestus meil logaritmi astme neljandat omadust kasutades lahendada esmapilgul keeruline ja lahendamatu avaldis. On vaja ainult baas faktoriseerida ja seejärel võtta eksponendi väärtused logaritmi märgist välja.

Ülesanded eksamilt

Sisseastumiseksamitel leidub sageli logaritme, eriti palju logaritmilisi ülesandeid ühtse riigieksami puhul (riigieksam kõigile koolilõpetajatele). Tavaliselt on need ülesanded olemas mitte ainult A-osas (eksami kõige lihtsam testiosa), vaid ka C-osas (kõige raskemad ja mahukamad ülesanded). Eksam eeldab teema "Looduslikud logaritmid" täpset ja täiuslikku tundmist.

Näited ja probleemide lahendamine on võetud eksami ametlikest versioonidest. Vaatame, kuidas selliseid ülesandeid lahendatakse.

Antud log 2 (2x-1) = 4. Lahendus:
kirjutame avaldise ümber, lihtsustades seda veidi log 2 (2x-1) = 2 2 , logaritmi definitsiooniga saame, et 2x-1 = 2 4 , seega 2x = 17; x = 8,5.

• Kõik logaritmid on kõige parem taandada samale alusele, et lahendus ei oleks tülikas ja segane.
• Kõik logaritmi märgi all olevad avaldised on märgitud positiivsetena, seetõttu, võttes välja avaldise eksponendi, mis on logaritmi märgi all ja selle alusena, peab logaritmi alla jääv avaldis olema positiivne.

Antakse naturaallogaritmi, graafiku, definitsioonipiirkonna, väärtuste hulga, põhivalemite, tuletise, integraali, astmereas laienduse ja funktsiooni ln x esituse põhiomadused kompleksarvude abil.

Definitsioon

naturaallogaritm on funktsioon y = ln x, pöördvõrdeline astendajaga x \u003d e y ja mis on arvu e aluse logaritm: ln x = log e x.

Naturaallogaritmi kasutatakse matemaatikas laialdaselt, kuna selle tuletisel on kõige lihtsam vorm: (ln x)′ = 1/x.

Põhineb määratlused, naturaallogaritmi baas on arv e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funktsiooni y = graafik ln x.

Naturaallogaritmi graafik (funktsioonid y = ln x) saadakse astendaja graafikult peegelpeegelduse teel sirgjoonelt y = x .

Naturaalne logaritm määratakse x positiivsete väärtuste jaoks. See suureneb monotoonselt oma määratlusvaldkonnas.

Nagu x → 0 naturaallogaritmi piir on miinus lõpmatus ( - ∞ ).

Nagu x → + ∞, on naturaallogaritmi piir pluss lõpmatus ( + ∞ ). Suure x korral suureneb logaritm üsna aeglaselt. Iga võimsusfunktsioon x a, millel on positiivne astendaja a, kasvab kiiremini kui logaritm.

Naturaallogaritmi omadused

Määratluspiirkond, väärtuste kogum, äärmused, suurenemine, vähenemine

Naturaallogaritm on monotoonselt kasvav funktsioon, mistõttu sellel pole äärmusi. Naturaallogaritmi peamised omadused on toodud tabelis.

ln x väärtused

log 1 = 0

Naturaallogaritmide põhivalemid

Pöördfunktsiooni definitsioonist tulenevad valemid:

Logaritmide põhiomadus ja selle tagajärjed

Aluse asendamise valem

Mis tahes logaritmi saab väljendada naturaallogaritmides, kasutades baasmuutuse valemit:

Nende valemite tõendid on esitatud jaotises "Logaritm".

Pöördfunktsioon

Naturaallogaritmi pöördväärtus on eksponent.

Kui siis

Kui siis .

Tuletis ln x

Naturaallogaritmi tuletis:
.
Mooduli x naturaallogaritmi tuletis:
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>

Integraalne

Integraal arvutatakse osade kaupa integreerimise teel:
.
Niisiis,

Avaldised kompleksarvude kujul

Vaatleme kompleksmuutuja z funktsiooni:
.
Avaldame kompleksmuutujat z mooduli kaudu r ja argument φ :
.
Kasutades logaritmi omadusi, saame:
.
Või
.
Argument φ ei ​​ole üheselt määratletud. Kui paneme
, kus n on täisarv,
siis on see erinevate n-de jaoks sama arv.

Seetõttu ei ole naturaallogaritm kompleksmuutuja funktsioonina ühe väärtusega funktsioon.

Jõuseeria laiendamine

Laiendus toimub:

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.

Niisiis, meil on kaks jõudu. Kui võtate numbri alumiselt realt, saate hõlpsalt leida võimsuse, milleni peate selle numbri saamiseks kahe tõstma. Näiteks 16 saamiseks peate kahe tõstma neljanda astmeni. Ja 64 saamiseks peate tõstma kaks kuuenda astmeni. Seda on tabelist näha.

Ja nüüd - tegelikult logaritmi määratlus:

Argumendi x aluse a logaritm on aste, milleni tuleb arv a tõsta, et saada arv x.

Tähistus: logi a x \u003d b, kus a on alus, x on argument, b on tegelikult see, millega logaritm võrdub.

Näiteks 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (aluse 2 logaritm 8-st on kolm, sest 2 3 = 8). Sama hästi võiks logida 2 64 = 6 , sest 2 6 = 64 .

Arvu antud baasi logaritmi leidmise operatsiooni nimetatakse logaritmiks. Nii et lisame oma tabelisse uue rea:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Kahjuks kõiki logaritme nii lihtsalt ei käsitleta. Näiteks proovige leida logi 2 5 . Arv 5 pole tabelis, kuid loogika näeb ette, et logaritm asub kuskil segmendis. Sest 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Selliseid numbreid nimetatakse irratsionaalseteks: koma järel olevaid numbreid saab kirjutada lõputult ja need ei kordu kunagi. Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on parem jätta see nii: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Oluline on mõista, et logaritm on kahe muutujaga avaldis (alus ja argument). Alguses ajavad paljud segadusse, kus on alus ja kus on argument. Ärritavate arusaamatuste vältimiseks vaadake lihtsalt pilti:

Meie ees pole midagi muud kui logaritmi määratlus. Pidage meeles: logaritm on võimsus, millele argumendi saamiseks peate aluse tõstma. See on alus, mis tõstetakse võimsusele - pildil on see punasega esile tõstetud. Selgub, et alus on alati põhjas! Räägin seda imelist reeglit oma õpilastele juba esimeses tunnis – ja seal pole segadust.

Mõistsime definitsiooni välja – jääb üle õppida logaritme lugema, s.t. "logi" märgist lahti saada. Alustuseks märgime, et määratlusest tuleneb kaks olulist fakti:

1. Argument ja alus peavad alati olema suuremad kui null. See tuleneb astme määratlusest ratsionaalse astendajaga, millele logaritmi definitsioon taandatakse.
2. Alus peab erinema ühtsusest, kuna ühik mis tahes võimsusele on ikkagi üksus. Seetõttu on mõttetu küsimus “millisele võimule tuleb tõsta, et saada kaks”. Sellist kraadi pole olemas!

Selliseid piiranguid nimetatakse kehtiv vahemik(ODZ). Selgub, et logaritmi ODZ näeb välja selline: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Pange tähele, et arvule b (logaritmi väärtus) ei ole piiranguid. Näiteks võib logaritm olla negatiivne: log 2 0,5 \u003d -1, sest 0,5 = 2-1.

Kuid nüüd käsitleme ainult arvulisi avaldisi, kus pole vaja teada logaritmi ODZ-d. Kõiki piiranguid on probleemide koostajad juba arvesse võtnud. Kui aga mängu tulevad logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused, muutuvad DHS-i nõuded kohustuslikuks. Tõepoolest, aluses ja argumendis võivad olla väga tugevad konstruktsioonid, mis ei pruugi ülaltoodud piirangutele vastata.

Nüüd kaaluge logaritmide arvutamise üldist skeemi. See koosneb kolmest etapist:

1. Väljendage alust a ja argumenti x astmena, mille väikseim võimalik alus on suurem kui üks. Teel on parem kümnendmurdudest lahti saada;
2. Lahenda muutuja b võrrand: x = a b ;
3. Saadud arv b on vastuseks.

See on kõik! Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on seda näha juba esimesel sammul. Nõue, et baas peab olema suurem kui üks, on väga asjakohane: see vähendab vea tõenäosust ja lihtsustab oluliselt arvutusi. Samamoodi kümnendmurdudega: kui need kohe tavalisteks teisendada, siis on vigu kordades vähem.

Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas see skeem töötab:

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 5 25

1. Esitame alust ja argumenti viie astmena: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Koostame ja lahendame võrrandi:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Sai vastuse: 2.

Ülesanne. Arvutage logaritm:

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 4 64

1. Esitame alust ja argumenti kahe astmena: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Koostame ja lahendame võrrandi:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Sai vastuse: 3.

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 16 1

1. Esitame alust ja argumenti kahe astmena: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Koostame ja lahendame võrrandi:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Sai vastuse: 0.

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 7 14

1. Esitame alust ja argumenti seitsme astmena: 7 = 7 1 ; 14 ei ole esitatud seitsme astmena, sest 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Eelmisest lõigust järeldub, et logaritmi ei arvestata;
3. Vastus ei muutu: logi 7 14.

Väike märkus viimase näite kohta. Kuidas teha kindlaks, et arv ei oleks teise arvu täpne aste? Väga lihtne – lihtsalt jagage see algteguriteks. Kui laienemisel on vähemalt kaks erinevat tegurit, ei ole see arv täpne võimsus.

Ülesanne. Uurige, kas arvu täpsed astmed on: 8; 48; 81; 35; neliteist .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - täpne kraad, sest on ainult üks kordaja;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ei ole täpne võimsus, sest tegureid on kaks: 3 ja 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - täpne kraad;
35 = 7 5 - jällegi mitte täpne kraad;
14 \u003d 7 2 - jällegi mitte täpne kraad;

Pange tähele ka seda, et algarvud ise on alati iseenda täpsed astmed.

Kümnendlogaritm

Mõned logaritmid on nii levinud, et neil on eriline nimi ja tähistus.

Argumendi x kümnendlogaritm on 10 baaslogaritm, st. võimsus, milleni peate suurendama arvu 10, et saada arv x. Nimetus: lg x .

Näiteks log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - jne.

Nüüdsest, kui õpikusse ilmub fraas nagu “Leia lg 0,01”, teadke, et see pole kirjaviga. See on kümnendlogaritm. Kui te pole aga sellise nimetusega harjunud, saate selle alati ümber kirjutada:
log x = log 10 x

Kõik, mis kehtib tavaliste logaritmide puhul, kehtib ka kümnendkohtade puhul.

naturaallogaritm

On veel üks logaritm, millel on oma tähistus. Mõnes mõttes on see isegi olulisem kui kümnend. See on loomulik logaritm.

X naturaallogaritm on e baaslogaritm, st. aste, milleni tuleb arvu e tõsta, et saada arv x. Nimetus: ln x .

Paljud küsivad: mis veel on number e? See on irratsionaalne arv, selle täpset väärtust pole võimalik leida ja üles kirjutada. Siin on vaid esimesed numbrid:
e = 2,718281828459...

Me ei hakka süvenema sellesse, mis see number on ja milleks seda vaja on. Pidage meeles, et e on naturaallogaritmi alus:
ln x = log e x

Seega ln e = 1 ; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - jne. Teisest küljest on ln 2 irratsionaalne arv. Üldiselt on mis tahes ratsionaalarvu naturaallogaritm irratsionaalne. Välja arvatud muidugi ühtsus: ln 1 = 0.

Naturaallogaritmide puhul kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad tavaliste logaritmide puhul.