Esitatakse võimsusfunktsiooni peamised omadused, sealhulgas juurte valemid ja omadused. Esitatakse astmefunktsiooni tuletis, integraal, astmeridade laiendus ja esitamine kompleksarvude abil.

Definitsioon

Definitsioon
Astmefunktsioon koos eksponendiga p on funktsioon f (x) = xp, mille väärtus punktis x on võrdne eksponentsiaalfunktsiooni väärtusega alusega x punktis p .
Lisaks on f (0) = 0 p = 0 p > jaoks 0 .

Eksponent naturaalväärtuste korral on astmefunktsioon n arvu korrutis, mis võrdub x-ga:
.
See on määratletud kõigi tegelike jaoks.

Eksponendi positiivsete ratsionaalsete väärtuste korral on astmefunktsioon n astme m juure korrutis arvust x:
.
Paaritu m puhul on see defineeritud kõigi reaalsete x jaoks. Isegi m puhul on võimsusfunktsioon defineeritud mittenegatiivse jaoks.

Negatiivse puhul on võimsusfunktsioon defineeritud järgmise valemiga:
.
Seetõttu ei ole seda punktis määratletud.

Eksponent p irratsionaalsete väärtuste korral määratakse eksponentsiaalfunktsioon valemiga:
,
kus a on suvaline positiivne arv, mis ei võrdu ühega: .
Sest , see on määratletud jaoks .
Võimsusfunktsioon on defineeritud jaoks .

Järjepidevus. Võimsusfunktsioon on oma määratluspiirkonnas pidev.

Positiivse funktsiooni omadused ja valemid x ≥ 0 korral

Siin käsitleme võimsusfunktsiooni omadusi argumendi x mittenegatiivsete väärtuste jaoks. Nagu eespool mainitud, on eksponendi p mõne väärtuse puhul defineeritud eksponentsiaalfunktsioon ka x negatiivsete väärtuste jaoks. Sel juhul saab selle omadused saada omadustest at , kasutades paaris või paaritu paarsust. Neid juhtumeid käsitletakse ja illustreeritakse üksikasjalikult lehel "".

Astmefunktsioonil y = x p eksponendiga p on järgmised omadused:
(1.1) võtteplatsil määratletud ja pidev
kell ,
kell ;
(1.2) on palju tähendusi
kell ,
kell ;
(1.3) suureneb rangelt ,
rangelt väheneb juures ;
(1.4) kell ;
kell ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Atribuutide tõend on toodud võimsusfunktsiooni (Järjepidevuse ja omaduste tõend) lehel.

Juured – määratlus, valemid, omadused

Definitsioon
x juur n astmeni on arv, mille tõstmine astmeni n annab x:
.
Siin n = 2, 3, 4, ... on naturaalarv, mis on suurem kui üks.

Võite ka öelda, et n-astme arvu x juur on võrrandi juur (st lahendus).
.
Pange tähele, et funktsioon on funktsiooni pöördväärtus.

x ruutjuur on 2. astme juur: .

x-i kuupjuur on 3. astme juur: .

Ühtlane kraad

Paarisastmete korral n = 2 m, on juur defineeritud x ≥ jaoks 0 . Sageli kasutatav valem kehtib nii positiivse kui ka negatiivse x jaoks:
.
Ruutjuure jaoks:
.

Siin on oluline toimingute sooritamise järjekord - see tähendab, et kõigepealt tehakse ruutu, mille tulemuseks on mittenegatiivne arv ja seejärel ekstraheeritakse sellest juur (mitte-negatiivsest arvust saate eraldada ruutjuure ). Kui muudaksime järjekorda: , siis negatiivse x puhul oleks juur määratlemata ja koos sellega oleks kogu avaldis määratlemata.

paaritu aste

Paaritute astmete korral on juur määratletud kõigi x-ide jaoks:
;
.

Juurte omadused ja valemid

X juur on võimsusfunktsioon:
.
Kui x ≥ 0 kehtivad järgmised valemid:
;
;
, ;
.

Neid valemeid saab rakendada ka muutujate negatiivsete väärtuste jaoks. Tuleb vaid jälgida, et paarisjõudude radikaalne väljendus ei oleks negatiivne.

Privaatsed väärtused

0 juur on 0: .
1 juur on 1: .
0 ruutjuur on 0: .
1 ruutjuur on 1: .

Näide. Juur juurtest

Vaatleme juurte ruutjuure näidet:
.
Teisendage sisemine ruutjuur ülaltoodud valemite abil:
.
Nüüd teisendame algset juurt:
.
Niisiis,
.

y = x p eksponendi p erinevate väärtuste jaoks.

Siin on funktsiooni graafikud argumendi x mittenegatiivsete väärtuste jaoks. x negatiivsete väärtuste jaoks defineeritud võimsusfunktsiooni graafikud on toodud lehel "Toitefunktsioon, selle omadused ja graafikud"

Pöördfunktsioon

Astendiga p astmefunktsiooni pöördväärtus on astefunktsiooniga astefunktsioon 1/p .

Kui siis .

Võimsusfunktsiooni tuletis

N-nda järgu tuletis:
;

Valemite tuletamine >>>

Toitefunktsiooni integraal

P≠- 1 ;
.

Jõuseeria laiendamine

Kell - 1 < x < 1 toimub järgmine lagunemine:

Avaldised kompleksarvude kujul

Vaatleme kompleksmuutuja z funktsiooni:
f (z) = z t.
Avaldame kompleksmuutujat z mooduli r ja argumendi φ (r = |z| ) kaudu:
z = r e i φ.
Esitame kompleksarvu t reaal- ja mõtteliste osadena:
t = p + i q.
Meil on:

Lisaks võtame arvesse, et argument φ ei ole üheselt määratletud:
,

Vaatleme juhtumit, kui q = 0 , see tähendab, et eksponendiks on reaalarv, t = p. Siis
.

Kui p on täisarv, siis on ka kp täisarv. Seejärel trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisuse tõttu:
.
See tähendab, et täisarvulise astendajaga eksponentsiaalfunktsioonil on antud z puhul ainult üks väärtus ja seetõttu on see ühe väärtusega.

Kui p on irratsionaalne, siis kp korrutised ei anna ühegi k jaoks täisarvu. Kuna k jookseb läbi lõpmatu väärtuste jada k = 0, 1, 2, 3, ..., siis funktsioonil z p on lõpmatult palju väärtusi. Kui argumenti z suurendatakse 2 π(üks pööre), liigume funktsiooni uue haru juurde.

Kui p on ratsionaalne, saab seda esitada järgmiselt:
, kus m,n on täisarvud, millel puuduvad ühised jagajad. Siis
.
Esimesed n väärtused, kui k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, anna n erinevat kp väärtust:
.
Järgmised väärtused annavad aga väärtusi, mis erinevad eelmistest täisarvu võrra. Näiteks kui k = k 0+n meil on:
.
Trigonomeetrilised funktsioonid, mille argumendid erinevad kordajate võrra 2 pi, on võrdsed väärtused. Seetõttu saame k edasise suurenemisega samad z p väärtused kui k = k korral 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Seega on ratsionaalse eksponendiga eksponentsiaalfunktsioon mitme väärtusega ja sellel on n väärtust (haru). Kui argumenti z suurendatakse 2 pi(üks pööre), liigume funktsiooni uue haru juurde. Pärast n sellist pööret pöördume tagasi esimese haru juurde, millest loendus algas.

Eelkõige on n-astme juurel n väärtust. Vaatleme näitena positiivse reaalarvu n-ndat juurt z = x. Sel juhul φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Seega ruutjuure jaoks n = 2 ,
.
Isegi k jaoks (- 1 ) k = 1. paaritu k puhul, (- 1 ) k = - 1.
See tähendab, et ruutjuurel on kaks tähendust: + ja -.

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.

Esimene tase

Kraad ja selle omadused. Põhjalik juhend (2019)

Miks on kraade vaja? Kus sa neid vajad? Miks peate nende õppimisele aega kulutama?

Sellest artiklist lugege kõike, et saada kõike teada kraadide kohta, milleks need on mõeldud ja kuidas oma teadmisi igapäevaelus kasutada.

Ja loomulikult viib kraadide teadmine teid lähemale OGE ehk ühtse riigieksami edukale sooritamisele ja unistuste ülikooli astumisele.

Lähme... (Lähme!)

Oluline märkus! Kui valemite asemel näete jaburat, tühjendage vahemälu. Selleks vajutage klahvikombinatsiooni CTRL+F5 (Windowsis) või Cmd+R (Maci puhul).

ESIMESE TASE

Astendamine on sama matemaatiline tehe nagu liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine.

Nüüd selgitan kõike inimkeeli kasutades väga lihtsaid näiteid. Ole ettevaatlik. Näited on elementaarsed, kuid selgitavad olulisi asju.

Alustame lisamisega.

Siin pole midagi seletada. Sa tead juba kõike: meid on kaheksa. Mõlemas on kaks pudelit koolat. Kui palju koolat? Täpselt nii – 16 pudelit.

Nüüd korrutamine.

Sama näite koolaga saab kirjutada erineval viisil: . Matemaatikud on kavalad ja laisad inimesed. Esmalt märkavad nad mõnda mustrit ja siis leiavad viisi, kuidas neid kiiremini "loendada". Meie puhul märkasid nad, et kõigil kaheksal inimesel oli sama palju koolapudeleid ja nad leidsid tehnika, mida nimetatakse korrutamiseks. Nõus, seda peetakse lihtsamaks ja kiiremaks kui.

Seega, et loendada kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta, peate lihtsalt meeles pidama korrutustabel. Muidugi saab kõike teha ka aeglasemalt, raskemini ja vigadega! Aga…

Siin on korrutustabel. Korda.

Ja veel üks ilusam:

Ja milliseid keerulisi loendamisnippe laisad matemaatikud veel välja mõtlesid? Õigesti - arvu tõstmine astmeni.

Arvu tõstmine astmeni

Kui peate arvu endaga viis korda korrutama, siis matemaatikud ütlevad, et peate selle arvu viienda astmeni tõstma. Näiteks, . Matemaatikud mäletavad, et kaks kuni viies aste on. Ja nad lahendavad sellised probleemid oma mõtetes – kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta.

Selleks on vaja ainult pidage meeles, mis on numbrite astmete tabelis värviliselt esile tõstetud. Uskuge mind, see muudab teie elu palju lihtsamaks.

Muide, miks nimetatakse teist kraadi ruut numbrid ja kolmas kuubik? Mida see tähendab? Väga hea küsimus. Nüüd on teil nii ruudud kui ka kuubikud.

Näide päriselust nr 1

Alustame ruudust või arvu teisest astmest.

Kujutage ette ruudukujulist basseini, mille mõõtmed on meetrit meetrit. Bassein on teie tagahoovis. On palav ja ma tahan väga ujuda. Aga ... bassein ilma põhjata! Basseini põhi on vaja katta plaatidega. Mitu plaati vajate? Selle kindlaksmääramiseks peate teadma basseini põhja pindala.

Saate lihtsalt näpuga torkades kokku lugeda, et basseini põhi koosneb meeterhaaval kuubikutest. Kui teie plaadid on meeter-meetri haaval, vajate tükke. See on lihtne... Aga kus sa sellist plaati nägid? Plaat tuleb pigem cm kaupa ja siis piinleb “näpuga lugedes”. Siis tuleb korrutada. Seega paigaldame basseini põhja ühele küljele plaadid (tükid) ja teisele ka plaadid. Korrutades saate plaadid ().

Kas märkasite, et basseini põhja pindala määramiseks korrutasime sama arvu iseendaga? Mida see tähendab? Kuna sama arv korrutatakse, saame kasutada astendamise tehnikat. (Muidugi, kui teil on ainult kaks arvu, peate need ikkagi korrutama või tõstma astmeni. Aga kui teil on neid palju, siis on astmeni tõstmine palju lihtsam ja arvutustes on ka vähem vigu . Eksami jaoks on see väga oluline).
Niisiis, kolmkümmend kuni teine aste on (). Või võite öelda, et kolmkümmend ruutu tuleb. Teisisõnu, arvu teist astet saab alati esitada ruuduna. Ja vastupidi, kui näete ruutu, on see ALATI mõne arvu teine aste. Ruut on arvu teise astme kujutis.

Näide päriselust nr 2

Siin on teile ülesanne: loendage, mitu ruutu on malelaual, kasutades numbri ruutu ... Ühel pool lahtreid ja ka teisel pool. Nende arvu kokkulugemiseks peate korrutama kaheksa kaheksaga või ... kui märkate, et malelaud on küljega ruut, siis saate kaheksa ruutu. Hangi rakud. () Nii et?

Näide päriselust nr 3

Nüüd kuup ehk arvu kolmas aste. Sama bassein. Kuid nüüd peate välja selgitama, kui palju vett tuleb sellesse basseini valada. Peate helitugevuse arvutama. (Muide, mahtusid ja vedelikke mõõdetakse kuupmeetrites. Ootamatu, eks?) Joonistage bassein: põhja ühe meetri suurune ja meetri sügavune ning proovige arvutada, mitu kuubikut meeter korda meeter siseneb teie bassein.

Näita lihtsalt näpuga ja loe! Üks, kaks, kolm, neli… kakskümmend kaks, kakskümmend kolm… Kui palju see välja tuli? Ei eksinud ära? Kas sõrmega on raske lugeda? Nii et! Võtke näide matemaatikutelt. Nad on laisad ja märkasid, et basseini mahu arvutamiseks peate selle pikkuse, laiuse ja kõrguse üksteisega korrutama. Meie puhul võrdub basseini maht kuubikutega ... Lihtsam, eks?

Kujutage nüüd ette, kui laisad ja kavalad on matemaatikud, kui nad selle liiga lihtsaks teevad. Tahandati kõik ühele toimingule. Nad märkasid, et pikkus, laius ja kõrgus on võrdsed ning sama arv korrutatakse iseenesest ... Ja mida see tähendab? See tähendab, et saate kraadi kasutada. Niisiis, see, mida te kunagi näpuga lugesite, teevad nad ühe toiminguga: kolm kuubis on võrdne. See on kirjutatud nii:

Jääb ainult kraaditabel meelde jätta. Kui te pole muidugi sama laisk ja kaval nagu matemaatikud. Kui sulle meeldib kõvasti tööd teha ja vigu teha, võid näpuga loendada.

Noh, selleks, et teid lõpuks veenda, et kraadid leiutasid pätid ja kavalad inimesed oma eluprobleemide lahendamiseks, mitte teie jaoks probleeme tekitama, on siin veel paar näidet elust.

Näide päriselust nr 4

Sul on miljon rubla. Iga aasta alguses teenite iga miljoni kohta veel ühe miljoni. See tähendab, et iga teie miljon iga aasta alguses kahekordistub. Kui palju teil aastate pärast raha on? Kui sa nüüd istud ja “näpuga loed”, siis oled väga töökas inimene ja .. loll. Aga suure tõenäosusega annad vastuse paari sekundiga, sest oled tark! Niisiis, esimesel aastal - kaks korda kaks ... teisel aastal - mis juhtus, veel kahe võrra, kolmandal aastal ... Stop! Märkasite, et arv korrutatakse iseendaga üks kord. Nii et kaks kuni viies aste on miljon! Kujutage nüüd ette, et teil on võistlus ja see, kes kiiremini arvutab, saab need miljonid ... Kas tasub meeles pidada arvude astmeid, mida arvate?

Näide päriselust nr 5

Sul on miljon. Iga aasta alguses teenite iga miljoni kohta kaks rohkem. See on suurepärane eks? Iga miljon kolmekordistub. Kui palju raha teil aasta pärast on? Loeme. Esimene aasta – korruta teisega, siis tulemus teisega... See on juba igav, sest sa oled juba kõigest aru saanud: kolm korrutatakse iseendaga kordadega. Nii et neljas aste on miljon. Peate lihtsalt meeles pidama, et kolm kuni neljas aste on või.

Nüüd teate, et tõstes arvu astmeni, muudate oma elu palju lihtsamaks. Vaatame lähemalt, mida saate kraadidega teha ja mida peate nende kohta teadma.

Mõisted ja mõisted ... et mitte segadusse sattuda

Niisiis, kõigepealt määratleme mõisted. Mida sa arvad, mis on eksponent? See on väga lihtne – see on number, mis on numbri astme "ülaosas". Mitte teaduslik, kuid selge ja kergesti meeldejääv ...

Noh, samal ajal, mida selline kraadiõppebaas? Veelgi lihtsam on number, mis asub allosas, põhjas.

Siin on teile kindel pilt.

Noh, üldiselt, et üldistada ja paremini meelde jätta ... Astmega "" ja näitajaga "" loetakse kraadi "kraadis" ja kirjutatakse järgmiselt:

Naturaalastendajaga arvu võimsus

Tõenäoliselt juba arvasite: kuna astendaja on naturaalarv. Jah, aga mis on naturaalarv? Elementaarne! Naturaalarvud on need, mida kasutatakse loendamisel üksuste loetlemisel: üks, kaks, kolm ... Üksusi loendades ei ütle me: "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse". Me ei ütle ka "üks kolmandik" või "null koma viis kümnendikku". Need ei ole naturaalarvud. Mis te arvate, millised need numbrid on?

Numbrid nagu "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse" viitavad täisarvud.Üldiselt hõlmavad täisarvud kõiki naturaalarve, naturaalarvudele vastandlikke numbreid (see tähendab, et need on võetud miinusmärgiga) ja arvu. Nulli on lihtne mõista – see on siis, kui midagi pole. Ja mida tähendavad negatiivsed ("miinus") numbrid? Kuid need leiutati peamiselt võlgade tähistamiseks: kui teie telefonis on saldo rublades, tähendab see, et olete operaatorile rublades võlgu.

Kõik murrud on ratsionaalarvud. Kuidas need tekkisid, mis sa arvad? Väga lihtne. Mitu tuhat aastat tagasi avastasid meie esivanemad, et neil pole piisavalt naturaalnumbreid pikkuse, kaalu, pindala jne mõõtmiseks. Ja nad mõtlesid välja ratsionaalsed arvud… Huvitav, kas pole?

On ka irratsionaalseid numbreid. Mis need numbrid on? Lühidalt, lõpmatu kümnendmurd. Näiteks kui jagate ringi ümbermõõdu selle läbimõõduga, saate irratsionaalarvu.

Kokkuvõte:

Defineerime astme mõiste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

Iga arv esimeses astmes võrdub iseendaga:
Arvu ruudu korrutamine tähendab selle korrutamist iseendaga:
Arvu kuubiks korrutamine tähendab selle endaga kolm korda korrutamist:

Definitsioon. Arvu tõstmine loomuliku astmeni tähendab arvu korrutamist iseendaga kordadega:
.

Kraadi omadused

Kust need omadused tulid? Ma näitan sulle nüüd.

Vaatame, mis on ja ?

Definitsiooni järgi:

Mitu kordajat on kokku?

See on väga lihtne: lisasime teguritele tegurid ja tulemuseks on tegurid.

Kuid definitsiooni järgi on see astendajaga arvu aste, st: , mida oli vaja tõestada.

Näide: avaldise lihtsustamine.

Lahendus:

Näide: Lihtsustage väljendit.

Lahendus: Oluline on märkida, et meie reeglis tingimata põhjus peab olema sama!
Seetõttu ühendame kraadid baasiga, kuid jääme eraldi teguriks:

ainult võimsustoodete jaoks!

Mitte mingil juhul ei tohiks te seda kirjutada.

2. see tähendab -arvu aste

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume astme määratluse juurde:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga üks kord, see tähendab, et definitsiooni järgi on see arvu aste:

Tegelikult võib seda nimetada "indikaatori sulgudes". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku:

Tuletame meelde lühendatud korrutamise valemeid: mitu korda tahtsime kirjutada?

Aga see pole tõsi, tõesti.

Negatiivse baasiga kraad

Siiani oleme arutanud ainult seda, milline peaks olema astendaja.

Aga mis peaks olema aluseks?

Kraadides alates loomulik näitaja aluseks võib olla suvaline number. Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvu üksteisega, olgu need positiivsed, negatiivsed või isegi.

Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? AGA? ? Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve me omavahel korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. Meenub ju 6. klassist lihtne reegel: "miinus korda miinus annab plussi." See tähendab, või. Aga kui korrutada, siis selgub.

Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Kas said hakkama?

Siin on vastused: Ma loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Näites 5) pole kõik ka nii hirmutav, kui tundub: pole vahet, millega alus on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne.

Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Põhi pole ju sama? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne!

6 praktika näidet

Lahenduse analüüs 6 näidet

Kui me ei pööra tähelepanu kaheksandale astmele, mida me siin näeme? Heidame pilgu 7. klassi programmile. Niisiis, mäletad? See on lühendatud korrutamisvalem, nimelt ruutude erinevus! Saame:

Vaatame hoolikalt nimetajat. See näeb välja nagu üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Vale terminite järjekord. Kui need vahetataks, võiks reegel kehtida.

Aga kuidas seda teha? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja paarisaste aitab meid siin.

Terminid on võluväel kohad muutnud. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlasel määral: me võime vabalt muuta sulgudes olevaid märke.

Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

terve nimetame naturaalarvud, nende vastandid (see tähendab märgiga "" võetud) ja arvu.

positiivne täisarv, ja see ei erine loomulikust, siis näeb kõik välja täpselt nagu eelmises jaotises.

Vaatame nüüd uusi juhtumeid. Alustame näitajaga, mis on võrdne.

Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega:

Nagu alati, küsime endalt: miks see nii on?

Mõelge mõnele aluse võimsusele. Võtke näiteks ja korrutage järgmisega:

Niisiis, me korrutasime arvuga ja saime sama, mis see oli -. Millise arvuga tuleb korrutada, et midagi ei muutuks? Täpselt nii, edasi. Tähendab.

Sama saame teha suvalise arvuga:

Kordame reeglit:

Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega.

Kuid paljudest reeglitest on erandeid. Ja siin on see ka seal - see on arv (alusena).

Ühest küljest peab see olema võrdne mis tahes kraadiga – ükskõik kui palju sa nulli iseendaga korrutad, saad ikkagi nulli, see on selge. Kuid teisest küljest, nagu iga null kraadini ulatuv arv, peab see olema võrdne. Mis on selle tõde? Matemaatikud otsustasid mitte sekkuda ja keeldusid nulli nullvõimsusele tõstmast. See tähendab, et nüüd saame mitte ainult nulliga jagada, vaid ka tõsta selle nullvõimsuseni.

Lähme edasi. Täisarvud sisaldavad lisaks naturaalarvudele ja arvudele ka negatiivseid arve. Et mõista, mis on negatiivne aste, teeme sama, mis eelmisel korral: korrutame mõne normaalse arvu negatiivses astmes samaga:

Siit on juba lihtne soovitud väljendada:

Nüüd laiendame saadud reeglit suvalises ulatuses:

Niisiis, sõnastame reegli:

Negatiivse astme arv on sama arvu ja positiivse astme pöördväärtus. Aga samas baas ei saa olla null:(sest jagada pole võimalik).

Teeme kokkuvõtte:

I. Väljend ei ole defineeritud. Kui siis.

II. Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega: .

III. Arv, mis ei ole võrdne nulliga negatiivse astme suhtes, on sama arvu pöördväärtus positiivse astme suhtes: .

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Noh, nagu tavaliselt, näited iseseisva lahenduse jaoks:

Iseseisva lahenduse ülesannete analüüs:

Ma tean, ma tean, numbrid on hirmutavad, aga eksamil pead olema kõigeks valmis! Lahendage need näited või analüüsige nende lahendust, kui te ei suutnud seda lahendada, ja eksamil saate teada, kuidas nendega hõlpsalt toime tulla!

Jätkame eksponendiks "sobivate" arvude vahemiku laiendamist.

Nüüd kaaluge ratsionaalsed arvud. Milliseid arve nimetatakse ratsionaalseteks?

Vastus: kõik, mida saab esitada murdarvuna, kus ja on täisarvud, pealegi.

Et mõista, mis on "murdjärguline aste" Vaatleme murdosa:

Tõstame võrrandi mõlemad pooled astmeks:

Nüüd pidage meeles reeglit "kraadist kraadini":

Millise arvu tuleb astmeni tõsta, et saada?

See sõnastus on astme juure määratlus.

Tuletan teile meelde: arvu th astme juur () on arv, mis astmeks tõsttuna on võrdne.

See tähendab, et astme juur on astendamise pöördtehte: .

Selgub, et. Ilmselgelt saab seda erijuhtumit pikendada: .

Nüüd lisage lugeja: mis see on? Vastuse on lihtne saada võimsus-võimsuse reegli abil:

Aga kas baas võib olla suvaline arv? Juurt ei saa ju kõikidest numbritest välja võtta.

Mitte ühtegi!

Pidage meeles reeglit: iga paarisastmeni tõstetud arv on positiivne. See tähendab, et negatiivsetest arvudest on võimatu eraldada paarisastme juuri!

Ja see tähendab, et selliseid numbreid ei saa tõsta paarisnimetajaga murdarvuni, st avaldisel pole mõtet.

Aga väljendus?

Siin aga tekib probleem.

Arvu võib esitada näiteks muude, vähendatud murdudena või.

Ja selgub, et see on olemas, aga ei eksisteeri ja need on vaid kaks erinevat sama numbri kirjet.

Või teine näide: üks kord, siis saate selle üles kirjutada. Kuid niipea, kui kirjutame indikaatori erineval viisil, tekib jälle probleeme: (st saime täiesti erineva tulemuse!).

Selliste paradokside vältimiseks kaaluge ainult positiivne baaseksponent koos murdosa eksponendiga.

Nii et kui:

- naturaalarv;
on täisarv;

Näited:

Ratsionaalse astendajaga astmed on väga kasulikud juurtega avaldiste teisendamiseks, näiteks:

5 praktika näidet

5 näite analüüs koolituseks

Noh, nüüd - kõige raskem. Nüüd analüüsime aste irratsionaalse astendajaga.

Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga kraadide puhul, välja arvatud

Tõepoolest, definitsiooni järgi on irratsionaalarvud arvud, mida ei saa esitada murdarvuna, kus ja on täisarvud (st irratsionaalarvud on kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).

Naturaalse, täisarvu ja ratsionaalse indikaatoriga kraade uurides koostasime iga kord kindla “pildi”, “analoogia” või tuttavama kirjelduse.

Näiteks loomulik astendaja on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda;

...nullvõimsus- see on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et seda pole veel korrutama hakatud, mis tähendab, et arv ise pole isegi veel ilmunud - seetõttu on tulemuseks ainult teatud “tühi number” , nimelt number;

...negatiivne täisarvu astendaja- justkui oleks toimunud teatud "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Muide, teaduses kasutatakse sageli kompleksi astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv.

Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi mõisteid mõista.

KUHU OLEME KINDEL, ET LÄHED! (kui õpid selliseid näiteid lahendama :))

Näiteks:

Otsustage ise:

Lahenduste analüüs:

1. Alustame juba tavapärasest kraadi tõstmise reeglist kraadini:

Vaata nüüd skoori. Kas ta meenutab sulle midagi? Tuletame meelde ruutude erinevuse lühendatud korrutamise valemit:

Sel juhul,

Selgub, et:

Vastus: .

2. Toome astendajates murrud samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks:

Vastus: 16

3. Ei midagi erilist, rakendame kraadide tavalisi omadusi:

EDASIJÕUDNUTE TASE

Kraadi määratlus

Kraad on vormi: , kus:

— kraadi alus;
- eksponent.

Kraad naturaalse astendajaga (n = 1, 2, 3,...)

Arvu suurendamine loomuliku astmeni n tähendab arvu korrutamist iseendaga:

Positsioon täisarvu eksponendiga (0, ±1, ±2,...)

Kui eksponendiks on positiivne täisarv number:

erektsioon nullvõimsusele:

Väljend on määramatu, sest ühelt poolt on see igal astmel ja teiselt poolt mis tahes arv kuni astmeni see.

Kui eksponendiks on täisarv negatiivne number:

(sest jagada pole võimalik).

Veel kord nullide kohta: avaldis pole käändes defineeritud. Kui siis.

Näited:

Kraad ratsionaalse astendajaga

- naturaalarv;
on täisarv;

Näited:

Kraadi omadused

Et probleeme oleks lihtsam lahendada, proovime mõista: kust need omadused tulid? Tõestame neid.

Vaatame: mis on ja?

Definitsiooni järgi:

Seega saadakse selle avaldise paremal küljel järgmine toode:

Kuid definitsiooni järgi on see arvu aste koos astendajaga, see tähendab:

Q.E.D.

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : .

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : Oluline on märkida, et meie reeglis tingimata peab olema samal alusel. Seetõttu ühendame kraadid baasiga, kuid jääme eraldi teguriks:

Veel üks oluline märkus: see reegel - ainult võimsuste toodete puhul!

Mitte mingil juhul ei tohiks ma seda kirjutada.

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume astme määratluse juurde:

Korraldame selle ümber nii:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga üks kord, see tähendab, et definitsiooni kohaselt on see arvu -th aste:

Tegelikult võib seda nimetada "indikaatori sulgudes". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku:!

Tuletame meelde lühendatud korrutamise valemeid: mitu korda tahtsime kirjutada? Aga see pole tõsi, tõesti.

Võim negatiivse alusega.

Siiani oleme arutanud ainult seda, mis peaks olema indeks kraadi. Aga mis peaks olema aluseks? Kraadides alates loomulik indikaator aluseks võib olla suvaline number .

Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvu üksteisega, olgu need positiivsed, negatiivsed või isegi. Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? AGA? ?

Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve me omavahel korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. Meenub ju 6. klassist lihtne reegel: "miinus korda miinus annab plussi." See tähendab, või. Kui aga korrutada (-ga), saame -.

Ja nii edasi lõpmatuseni: iga järgneva korrutamisega märk muutub. Saate sõnastada need lihtsad reeglid:

isegi aste, - arv positiivne.
Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - arv negatiivne.
Mis tahes astme positiivne arv on positiivne arv.
Null mis tahes astmeni on võrdne nulliga.

Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Kas said hakkama? Siin on vastused:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

Näites 5) pole kõik ka nii hirmutav, kui tundub: pole vahet, millega alus on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne. Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Põhi pole ju sama? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne. Siin peate välja selgitama, kumb on vähem: või? Kui seda meeles pidada, saab see selgeks, mis tähendab, et baas on väiksem kui null. See tähendab, et rakendame reeglit 2: tulemus on negatiivne.

Ja jällegi kasutame kraadi määratlust:

Kõik on nagu tavaliselt - kirjutame üles kraadide määratlused ja jagame need üksteiseks, jagame paarideks ja saame:

Enne viimase reegli analüüsimist lahendame mõned näited.

Arvutage avaldiste väärtused:

Lahendused :

Kui me ei pööra tähelepanu kaheksandale astmele, mida me siin näeme? Heidame pilgu 7. klassi programmile. Niisiis, mäletad? See on lühendatud korrutamisvalem, nimelt ruutude erinevus!

Saame:

Vaatame hoolikalt nimetajat. See näeb välja nagu üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Vale terminite järjekord. Kui need oleksid vastupidised, saaks rakendada reeglit 3. Aga kuidas seda teha? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja paarisaste aitab meid siin.

Kui see korrutada, ei muutu midagi, eks? Aga nüüd näeb see välja selline:

Terminid on võluväel kohad muutnud. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlasel määral: me võime vabalt muuta sulgudes olevaid märke. Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal! Seda ei saa asendada ainult ühe meie jaoks taunitava miinuse muutmisega!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Nüüd viimane reegel:

Kuidas me seda tõestame? Muidugi, nagu tavaliselt: laiendame kraadi mõistet ja lihtsustame:

Noh, nüüd avame sulgud. Mitu tähte tuleb? korda kordajatega – kuidas see välja näeb? See pole midagi muud kui operatsiooni määratlus korrutamine: kokku osutusid kordajad. See tähendab, et see on definitsiooni järgi astendajaga arvu aste:

Näide:

Kraad irratsionaalse astendajaga

Lisaks keskmise taseme kraadide teabele analüüsime kraadi irratsionaalse näitajaga. Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga astme puhul, erandiga - on ju definitsiooni järgi irratsionaalarvud arvud, mida ei saa murdena esitada, kus ja on täisarvud (st. , on irratsionaalarvud kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).

Naturaalse, täisarvu ja ratsionaalse indikaatoriga kraade uurides koostasime iga kord kindla “pildi”, “analoogia” või tuttavama kirjelduse. Näiteks loomulik astendaja on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda; nullkraadine arv on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et seda pole veel korrutama hakatud, mis tähendab, et arv ise pole veel ilmunudki - seega on tulemuseks ainult teatud "numbri ettevalmistamine", nimelt number; aste täisarvulise negatiivse indikaatoriga - justkui oleks toimunud teatud "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Äärmiselt raske on ette kujutada kraadi irratsionaalse eksponendiga (nagu on raske ette kujutada 4-mõõtmelist ruumi). Pigem on see puhtalt matemaatiline objekt, mille matemaatikud on loonud, et laiendada kraadi mõistet kogu arvude ruumile.

Muide, teaduses kasutatakse sageli kompleksi astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv. Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi mõisteid mõista.

Mida me siis teeme, kui näeme irratsionaalset eksponenti? Anname endast parima, et sellest lahti saada! :)

Näiteks:

Otsustage ise:

Vastused:

Pidage meeles ruutude valemi erinevust. Vastus:.
Toome murrud samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks: .
Ei midagi erilist, rakendame kraadide tavalisi omadusi:

OSA KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEMID

Kraad nimetatakse väljendiks kujul: , kus:

Kraad täisarvu eksponendiga

aste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

Kraad ratsionaalse astendajaga

aste, mille indikaatoriks on negatiivsed ja murdarvud.

Kraad irratsionaalse astendajaga

eksponent, mille astendaja on lõpmatu kümnendmurd või juur.

Kraadi omadused

Kraadide omadused.

Negatiivne arv tõsteti väärtusele isegi aste, - arv positiivne.
Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - arv negatiivne.
Mis tahes astme positiivne arv on positiivne arv.
Null on võrdne mis tahes võimsusega.
Mis tahes arv nullastmega on võrdne.

NÜÜD ON SUL SÕNA...

Kuidas teile artikkel meeldib? Andke mulle allolevates kommentaarides teada, kas teile meeldis või mitte.

Rääkige meile oma kogemustest võimsusomadustega.

Võib-olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.

Kirjutage kommentaaridesse.

Ja edu teile eksamitel!

esmane eesmärk

Tutvustada õpilasi kraadide omadustega looduslike näitajatega ja õpetada kraadidega toiminguid sooritama.

Teema "kraad ja selle omadused" sisaldab kolme küsimust:

Kraadi määramine loomuliku indikaatoriga.
Võimude korrutamine ja jagamine.
Toote ja kraadi astendamine.

testi küsimused

Sõnasta astme definitsioon, mille naturaalastendaja on suurem kui 1. Too näide.
Sõnasta kraadi definitsioon indikaatoriga 1. Too näide.
Milline on toimingute järjekord astmeid sisaldava avaldise väärtuse hindamisel?
Sõnasta kraadi põhiomadus. Too näide.
Sõnasta reegel astmete korrutamiseks sama alusega. Too näide.
Sõnastage reegel võimsuste jagamiseks samade alustega. Too näide.
Sõnastage toote astendamise reegel. Too näide. Tõesta samasust (ab) n = a n b n .
Sõnasta reegel kraadi tõstmiseks astmeni. Too näide. Tõesta identiteet (a m) n = a m n .

Kraadi määratlus.

arvu aste a loomuliku indikaatoriga n, mis on suurem kui 1, nimetatakse n teguri korrutiseks, millest igaüks on võrdne a. arvu aste a astendajaga 1 nimetatakse arvu ennast a.

Kraad koos alusega a ja indikaator n on kirjutatud nii: a n. Seal on kirjas " a ulatuses n”; “Arvu n-s aste a ”.

Kraadi määratluse järgi:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Kraadi väärtuse leidmist nimetatakse astendamine .

1. Astendamise näited:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Leidke avaldise väärtused:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

valik 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Tõsta numbrid ruutu:

3. Kuubiku numbrid:

4. Leidke avaldise väärtused:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100–5 2 4

Võimude korrutamine.

Mis tahes arvu a ja suvaliste arvude m ja n puhul kehtib järgmine:

a m a n = a m + n .

Tõestus:

reegel : Kui korrutada astmed sama alusega, jäävad alused samaks ja astendajad liidetakse.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

valik 1

1. Esitage kraadina:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 a h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Esitage kraadina ja leidke väärtus tabelist:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Kraadide jaotus.

Mis tahes arvu a0 ja suvaliste naturaalarvude m ja n puhul, mille puhul m>n, kehtib järgmine:

a m: a n = a m - n

Tõestus:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

privaatse määratluse järgi:

a m: a n \u003d a m - n.

reegel: Sama alusega astmete jagamisel jäetakse alus samaks ja jagaja astendaja lahutatakse dividendi eksponendist.

Definitsioon: Nullastendajaga nullist erineva arvu aste on võrdne ühega:

sest a n: a n = 1 a0 korral.

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7: a \u003d a 7: a 1 = 7 - 1 \u003d a 6

d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

sisse)

G)

e)

valik 1

1. Avaldage jagatis astmena:

2. Leidke avaldiste väärtused:

Toote võimsuse tõstmine.

Mis tahes a ja b ning suvalise naturaalarvu n korral:

(ab) n = a n b n

Tõestus:

Kraadi määratluse järgi

(ab) n =

Rühmitades tegurid a ja tegurid b eraldi, saame:

Korrutise astme tõestatud omadus ulatub kolme või enama teguri korrutise astmeni.

Näiteks:

(a b c) n = a n b n c n;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

reegel: Korrutise tõstmisel astmeni tõstetakse iga tegur selle astmeni ja tulemus korrutatakse.

1. Tõstke astmeni:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 a 3 = 8 x 3 a 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 a) 3 \u003d (-5) 3 a 3 \u003d -125 a 3

e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 a 2 = 0,04 x 2 a 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Leidke avaldise väärtus:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16 000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000 = 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

valik 1

1. Tõstke astmeni:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Leidke avaldise väärtus:

b) (5 7 20) 2

Astendamine.

Mis tahes arvu a ja suvaliste naturaalarvude m ja n korral:

(a m) n = a m n

Tõestus:

Kraadi määratluse järgi

(a m) n =

Reegel: Kui tõsta aste astmeks, jäetakse alus samaks ja astendajad korrutatakse.

1. Tõstke astmeni:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Lihtsustage väljendeid:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24