Ili kuelewa jinsi ya kuhesabu LCM, lazima kwanza uamua maana ya neno "nyingi".
Kizidishio cha A ni nambari asilia ambayo inaweza kugawanywa na A bila salio. Kwa hivyo, nambari ambazo ni zidishi za 5 zinaweza kuzingatiwa 15, 20, 25, na kadhalika.
Kunaweza kuwa na idadi ndogo ya vigawanyiko vya nambari fulani, lakini kuna idadi isiyo na kikomo ya vizidishi.
Nambari ya kawaida ya nambari asilia ni nambari ambayo inaweza kugawanywa nao bila kuacha salio.
Jinsi ya kupata idadi isiyo ya kawaida ya nambari
Nambari isiyo ya kawaida (LCM) ya nambari (mbili, tatu au zaidi) ni nambari asilia ndogo ambayo inaweza kugawanywa kwa nambari hizi zote.
Ili kupata LOC, unaweza kutumia njia kadhaa.
Kwa nambari ndogo, ni rahisi kuandika safu zote za nambari hizi kwenye mstari hadi utapata kitu cha kawaida kati yao. Nyingi zinaonyeshwa na herufi kubwa K.
Kwa mfano, mafungu ya 4 yanaweza kuandikwa kama hii:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Kwa hivyo, unaweza kuona kwamba kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari 4 na 6 ni nambari 24. Nukuu hii inafanywa kama ifuatavyo:
LCM(4, 6) = 24
Sasa andika sababu za kawaida za nambari zote mbili. Katika toleo letu ni mbili na tano. Hata hivyo, katika hali nyingine nambari hii inaweza kuwa tarakimu moja, mbili au tatu au hata zaidi. Ifuatayo, unahitaji kufanya kazi na digrii. Chagua nguvu ndogo zaidi kwa kila kipengele. Katika mfano ni nguvu mbili hadi ya pili na tano kwa ya kwanza.
Hatimaye, unahitaji tu kuzidisha nambari zinazosababisha. Kwa upande wetu, kila kitu ni rahisi sana: mbili za mraba zikizidishwa na tano ni sawa na 20. Kwa hivyo, nambari 20 inaweza kuitwa kigawanyiko kikubwa zaidi cha 60 na 80.
Video kwenye mada
Kumbuka
Kumbuka kwamba jambo kuu ni nambari ambayo ina vigawanyiko 2 tu: moja na nambari yenyewe.
Ushauri wa manufaa
Mbali na njia hii, unaweza pia kutumia algorithm ya Euclidean. Maelezo yake kamili, yaliyowasilishwa kwa fomu ya kijiometri, yanaweza kupatikana katika kitabu cha Euclid "Elements".
Makala inayohusiana
Kuongeza na kutoa sehemu za asili kunawezekana tu ikiwa wana dhehebu sawa. Ili usiwe na ugumu wa mahesabu wakati wa kuwaleta kwa dhehebu moja, pata mgawanyiko wa kawaida wa madhehebu na ufanyie hesabu.
Utahitaji
- - uwezo wa kuhesabu nambari kuwa sababu kuu;
- - uwezo wa kufanya shughuli na sehemu.
Maagizo
Andika nyongeza ya sehemu. Kisha, pata nyingi zao zisizo za kawaida. Ili kufanya hivyo, fanya mlolongo wa vitendo vifuatavyo: 1. Fikiria kila moja ya madhehebu katika nambari kuu (nambari kuu, nambari ambayo inaweza kugawanywa tu na 1 na yenyewe bila salio, kwa mfano 2, 3, 5, 7; nk).2. Panga zote rahisi ambazo zimeandikwa, zinaonyesha digrii zao. 3. Chagua mamlaka makubwa zaidi ya kila mojawapo ya vipengele hivi muhimu vinavyoonekana katika nambari hizi. 4. Zidisha nguvu zilizoandikwa.
Kwa mfano, dhehebu la kawaida la sehemu zilizo na denomineta 15, 24 na 36 itakuwa nambari inayoweza kuhesabiwa kama ifuatavyo: 15=3 5; 24=2^3 3;36=2^3 3^2. Andika mamlaka kuu zaidi ya vigawanyaji wakuu wa nambari hizi: 2^3 3^2 5=360.
Gawanya dhehebu la kawaida kwa kila moja na madhehebu ya sehemu zinazoongezwa. Zidisha nambari zao kwa nambari inayotokana. Chini ya mstari wa kawaida wa sehemu, andika mgao wa kawaida zaidi, ambao pia ni dhehebu la chini kabisa. Katika nambari, ongeza nambari zinazotokana na kuzidisha kila nambari kwa mgawo wa kipengele cha kawaida kidogo kilichogawanywa na denominator ya sehemu. Jumla ya nambari zote na kugawanywa na denominator ya chini kabisa itakuwa nambari inayotakiwa.
Kwa mfano, kwa 4/15, 7/24 na 11/36 fanya hivi. Pata dhehebu la chini kabisa, ambalo ni 360. Kisha ugawanye 360/15=24, 360/24=15, 360/36=10. Zidisha nambari 4, ambayo ni nambari ya sehemu ya kwanza, na 24 (4 24=96), nambari 7 kwa 15 (7 15=105), nambari 11 kwa 10 (11 10=110). Kisha ongeza nambari hizi (96+105+110=301). Tunapata matokeo 4/15+7/24+11/36=301/360.
Vyanzo:
- jinsi ya kupata nambari ndogo zaidi
Nambari kamili ni anuwai ya nambari za kihesabu ambazo zina matumizi mengi katika maisha ya kila siku. Nambari zisizo hasi hutumiwa wakati wa kuonyesha idadi ya vitu vyovyote, nambari hasi - katika ujumbe kuhusu utabiri wa hali ya hewa, nk GCD na LCM ni sifa za asili za nambari zinazohusiana na shughuli za mgawanyiko.
Maagizo
GCD ni rahisi kukokotoa kwa kutumia algoriti ya Euclidean au njia ya binary. Kulingana na algoriti ya Euclid ya kuamua gcd ya nambari a na b, moja ambayo si sifuri, kuna mlolongo wa nambari r_1 > r_2 > r_3 > ... > r_n, ambapo r_1 ni sawa na salio la kugawanya. nambari ya kwanza kwa ya pili. Na washiriki wengine wa mlolongo huo ni sawa na mabaki kutokana na kugawanya mshiriki aliyetangulia na aliyetangulia, na kipengele cha mwisho kinagawanywa na cha mwisho bila salio.
Kihisabati, mlolongo unaweza kuwakilishwa kama:
a = b*k_0 + r_1
b = r_1*k_1 + r_2
r_1 = r_2*k_2 + r_3
…
r_(n - 1) = r_n*k_n,
ambapo k_i ni kipengele kamili.
GCD (a, b) = r_n.
Mfano.
Pata GCD (36, 120). Kwa mujibu wa algorithm ya Euclidean, toa kutoka 120 nambari ambayo ni nyingi ya 36, katika kesi hii ni 120 - 36 * 3 = 12. Sasa ondoa nambari ambayo ni nyingi ya 12 kutoka 120, unapata 120 - 12 * 10 = 0. Kwa hiyo, GCD (36, 120) = 12.
Algorithm ya binary ya kutafuta GCD inategemea nadharia ya mabadiliko. Kulingana na njia hii, gcd ya nambari mbili ina mali zifuatazo:
GCD (a, b) = 2*GCD (a/2, b/2) kwa hata a na b
GCD (a, b) = GCD (a/2, b) kwa hata a na isiyo ya kawaida b (kinyume chake ni kweli kwa GCD (a, b) = GCD (a, b/2))
GCD (a, b) = GCD ((a - b)/2, b) kwa isiyo ya kawaida a > b
GCD (a, b) = GCD ((b - a)/2, a) kwa isiyo ya kawaida b > a
Hivyo, gcd (36, 120) = 2*gcd (18, 60) = 4*gcd (9, 30) = 4* gcd (9, 15) = 4*gcd ((15 - 9)/2=3 , 9) = 4*3 = 12.
Kizidishio cha chini kabisa cha kawaida (LCM) cha nambari mbili kamili ni nambari ndogo kabisa ambayo inaweza kugawanywa kwa nambari asilia bila kuacha salio.
LCM inaweza kuhesabiwa kwa kutumia GCD: LCM (a, b) = |a*b|/GCD (a, b).
Njia ya pili ya kuhesabu LCM ni uainishaji wa kanuni za nambari kuwa sababu kuu:
a = r_1^k_1*…*r_n^k_n
b = r_1^m_1*…*r_n^m_n,
ambapo r_i ni nambari kuu, na k_i na m_i ni nambari kamili ≥0.
LCM inawakilishwa katika mfumo wa mambo makuu sawa, ambapo upeo wa nambari mbili huchukuliwa kama mamlaka.
Mfano.
Tafuta LCM (16, 20):
16 = 2^4*3^0*5^0
20 = 2^2*3^0*5^1
LCM (16, 20) = 2^4*3^0*5^1 = 16*5 = 80.
LCM - angalau nyingi za kawaida. Nambari ambayo itagawanya nambari zote zilizopewa bila salio.
Kwa mfano, ikiwa nambari zilizotolewa ni 2, 3, 5, basi LCM=2*3*5=30
Na ikiwa nambari zilizopewa ni 2,4,8, basi LCM =8
GCD ni nini?
GCD ndio mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida. Nambari ambayo inaweza kutumika kugawanya kila moja ya nambari zilizotolewa bila kuacha salio.
Ni busara kwamba ikiwa nambari zilizopewa ni kuu, basi gcd ni sawa na moja.
Na ikiwa nambari zilizopewa ni 2, 4, 8, basi GCD ni sawa na 2.
Hatutaelezea kwa maneno ya jumla, lakini tutaonyesha tu suluhisho kwa mfano.
Imepewa nambari mbili 126 na 44. Pata GCD.
Kisha ikiwa tunapewa namba mbili za fomu
Kisha GCD imehesabiwa kama
ambapo min ni thamani ya chini ya nguvu zote za nambari pn
na NOC kama
ambapo max ndio thamani ya juu zaidi ya nguvu zote za nambari pn
Kuangalia fomula hapo juu, unaweza kudhibitisha kwa urahisi kuwa gcd ya nambari mbili au zaidi itakuwa sawa na moja, wakati kati ya angalau jozi moja ya maadili yaliyopeanwa kuna nambari kuu.
Kwa hivyo, ni rahisi kujibu swali la nini gcd ya nambari kama 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 ni sawa bila kuhesabu chochote.
nambari 3 na 7 ni coprime, na kwa hivyo gcd = 1
Hebu tuangalie mfano.
Imepewa nambari tatu 24654, 25473 na 954
Kila nambari imegawanywa katika mambo yafuatayo
Au, ikiwa tutaiandika kwa njia mbadala
Hiyo ni, gcd ya nambari hizi tatu ni sawa na tatu
Kweli, tunaweza kuhesabu LCM kwa njia sawa, na ni sawa na
Bot yetu itakusaidia kuhesabu GCD na LCM ya nambari kamili, mbili, tatu au kumi.
Nyenzo iliyowasilishwa hapa chini ni mwendelezo wa kimantiki wa nadharia kutoka kwa kifungu kinachoitwa LCM - anuwai ya kawaida, ufafanuzi, mifano, uhusiano kati ya LCM na GCD. Hapa tutazungumzia kupata nyingi zaidi ya kawaida (LCM), na tutalipa kipaumbele maalum kwa kutatua mifano. Kwanza, tutaonyesha jinsi LCM ya nambari mbili inavyohesabiwa kwa kutumia GCD ya nambari hizi. Ifuatayo, tutaangalia kupata kizidishio kisicho cha kawaida zaidi kwa kuweka nambari kuwa sababu kuu. Baada ya hayo, tutazingatia kutafuta LCM ya namba tatu au zaidi, na pia makini na kuhesabu LCM ya namba hasi.
Urambazaji wa ukurasa.
Kukokotoa Angalau Nyingi Za Kawaida (LCM) kupitia GCD
Njia moja ya kupata kizidishio kisicho kawaida ni msingi wa uhusiano kati ya LCM na GCD. Muunganisho uliopo kati ya LCM na GCD huturuhusu kukokotoa kizidishio kisicho cha kawaida kati ya nambari mbili kamili chanya kupitia kigawanyo kikuu kinachojulikana zaidi. Fomula inayolingana ni LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Wacha tuangalie mifano ya kupata LCM kwa kutumia fomula uliyopewa.
Mfano.
Pata kizidishio cha kawaida zaidi kati ya nambari mbili 126 na 70.
Suluhisho.
Katika mfano huu a=126 , b=70 . Wacha tutumie unganisho kati ya LCM na GCD, iliyoonyeshwa na fomula LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Hiyo ni, kwanza tunapaswa kupata mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari 70 na 126, baada ya hapo tunaweza kuhesabu LCM ya nambari hizi kwa kutumia fomula iliyoandikwa.
Wacha tupate GCD(126, 70) kwa kutumia algoriti ya Euclidean: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, kwa hivyo, GCD(126, 70)=14.
Sasa tunapata nyingi zinazohitajika angalau za kawaida: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Jibu:
LCM(126, 70)=630 .
Mfano.
LCM(68, 34) ni sawa na nini?
Suluhisho.
Kwa sababu 68 inaweza kugawanywa na 34, kisha GCD(68, 34)=34. Sasa tunahesabu idadi ndogo ya kawaida: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Jibu:
LCM(68, 34)=68 .
Kumbuka kuwa mfano uliopita unalingana na kanuni ifuatayo ya kutafuta LCM kwa nambari kamili a na b: ikiwa nambari a inaweza kugawanywa kwa b, basi kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari hizi ni a.
Kupata LCM kwa kuweka nambari kuwa sababu kuu
Njia nyingine ya kupata nyingi zaidi ya kawaida ni kwa msingi wa nambari za uainishaji kuwa sababu kuu. Ikiwa utatunga bidhaa kutoka kwa vipengele vyote kuu vya nambari zilizopewa, na kisha uondoe kutoka kwa bidhaa hii mambo yote kuu ya kawaida yaliyopo katika mtengano wa nambari zilizotolewa, basi bidhaa inayotokana itakuwa sawa na idadi ndogo ya kawaida ya nambari zilizotolewa. .
Sheria iliyotajwa ya kutafuta LCM inafuata kutoka kwa usawa LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Hakika, bidhaa ya nambari a na b ni sawa na bidhaa ya mambo yote yanayohusika katika upanuzi wa nambari a na b. Kwa upande wake, GCD(a, b) ni sawa na bidhaa ya mambo yote kuu yaliyopo wakati huo huo katika upanuzi wa nambari a na b (kama ilivyoelezewa katika sehemu ya kutafuta GCD kwa kutumia upanuzi wa nambari kuwa sababu kuu).
Hebu tutoe mfano. Tujue kuwa 75=3 · 5 · 5 na 210=2 · 3 · 5 · 7. Hebu tutengeneze bidhaa kutoka kwa mambo yote ya upanuzi huu: 2·3·3·5·5·5·7 . Sasa kutoka kwa bidhaa hii tunaondoa mambo yote yaliyopo katika upanuzi wa nambari 75 na upanuzi wa nambari 210 (mambo haya ni 3 na 5), basi bidhaa itachukua fomu 2 · 3 · 5 · 5 · 7. . Thamani ya bidhaa hii ni sawa na kizidishio kidogo cha kawaida cha 75 na 210, yaani, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Mfano.
Weka nambari 441 na 700 kuwa sababu kuu na upate kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari hizi.
Suluhisho.
Wacha tuzingatie nambari 441 na 700 kwa sababu kuu:
Tunapata 441=3 · 3 · 7 · 7 na 700=2 · 2 · 5 · 5 · 7.
Sasa hebu tutengeneze bidhaa kutoka kwa vipengele vyote vinavyohusika katika upanuzi wa nambari hizi: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Hebu tuondoe kutoka kwa bidhaa hii mambo yote ambayo yanapo wakati huo huo katika upanuzi wote (kuna sababu moja tu - hii ni nambari 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Hivyo, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Jibu:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Sheria ya kupata LCM kwa kutumia uainishaji wa nambari kuwa sababu kuu inaweza kutengenezwa kwa njia tofauti kidogo. Ikiwa sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari b zinaongezwa kwa sababu kutoka kwa upanuzi wa nambari a, basi thamani ya bidhaa inayotokana itakuwa sawa na idadi ndogo ya kawaida ya nambari a na b..
Kwa mfano, hebu tuchukue nambari sawa 75 na 210, mtengano wao kuwa sababu kuu ni kama ifuatavyo: 75 = 3 · 5 · 5 na 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Kwa sababu 3, 5 na 5 kutoka kwa upanuzi wa nambari 75 tunaongeza sababu zinazokosekana 2 na 7 kutoka kwa upanuzi wa nambari 210, tunapata bidhaa 2 · 3 · 5 · 5 · 7, thamani yake ni. sawa na LCM(75, 210).
Mfano.
Pata kizidishio kidogo cha kawaida cha 84 na 648.
Suluhisho.
Kwanza tunapata mtengano wa nambari 84 na 648 kuwa sababu kuu. Wanafanana na 84=2·2·3·7 na 648=2·2·2·3·3·3·3. Kwa sababu 2, 2, 3 na 7 kutoka kwa upanuzi wa nambari 84 tunaongeza sababu zinazokosekana 2, 3, 3 na 3 kutoka kwa upanuzi wa nambari 648, tunapata bidhaa 2 2 2 3 3 3 3 7, ambayo ni sawa na 4 536 . Kwa hivyo, kizidishio cha kawaida kinachotakikana cha 84 na 648 ni 4,536.
Jibu:
LCM(84, 648)=4,536 .
Kupata LCM ya nambari tatu au zaidi
Kizidishio cha chini kabisa cha nambari tatu au zaidi kinaweza kupatikana kwa kutafuta LCM ya nambari mbili kwa mpangilio. Wacha tukumbuke nadharia inayolingana, ambayo inatoa njia ya kupata LCM ya nambari tatu au zaidi.
Nadharia.
Acha nambari kamili chanya a 1 , a 2 , ..., a k itolewe, m k nyingi ya kawaida kati ya nambari hizi hupatikana kwa kukokotoa kwa mpangilio m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , ... , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Wacha tuzingatie utumiaji wa nadharia hii kwa kutumia mfano wa kupata nambari ya kawaida zaidi ya nambari nne.
Mfano.
Pata LCM ya nambari nne 140, 9, 54 na 250.
Suluhisho.
Katika mfano huu, 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Kwanza tunapata m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Ili kufanya hivyo, kwa kutumia algoriti ya Euclidean, tunaamua GCD(140, 9), tuna 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, kwa hivyo, GCD(140, 9)=1 , kutoka wapi GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Hiyo ni, m 2 =1 260.
Sasa tunapata m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Wacha tuihesabu kupitia GCD(1 260, 54), ambayo pia tunaamua kwa kutumia algoriti ya Euclidean: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Kisha gcd(1,260, 54)=18, ambayo gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Hiyo ni, m 3 =3 780.
Kilichobaki ni kupata m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Ili kufanya hivyo, tunapata GCD(3,780, 250) kwa kutumia algoriti ya Euclidean: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Kwa hivyo, GCM(3,780, 250)=10, inatoka wapi GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Hiyo ni, m 4 = 94,500.
Kwa hivyo idadi ndogo zaidi ya nambari nne asili ni 94,500.
Jibu:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
Katika hali nyingi, ni rahisi kupata kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari tatu au zaidi kwa kutumia sababu kuu za nambari ulizopewa. Katika kesi hii, unapaswa kufuata sheria zifuatazo. Idadi ndogo ya kawaida ya nambari kadhaa ni sawa na bidhaa, ambayo imeundwa kama ifuatavyo: sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari ya pili huongezwa kwa mambo yote kutoka kwa upanuzi wa nambari ya kwanza, sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari. nambari ya tatu huongezwa kwa sababu zinazosababisha, na kadhalika.
Wacha tuangalie mfano wa kupata nyingi zaidi ya kawaida kwa kutumia factorization kuu.
Mfano.
Tafuta idadi ndogo zaidi ya nambari tano 84, 6, 48, 7, 143.
Suluhisho.
Kwanza, tunapata mtengano wa nambari hizi kuwa sababu kuu: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 ni nambari kuu, inalingana. na mtengano wake katika mambo makuu) na 143=11 · 13.
Ili kupata LCM ya nambari hizi, kwa sababu za nambari ya kwanza 84 (ni 2, 2, 3 na 7), unahitaji kuongeza sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari ya pili 6. Mtengano wa nambari 6 hauna sababu zinazokosekana, kwani 2 na 3 tayari zipo katika mtengano wa nambari ya kwanza 84. Ifuatayo, kwa sababu 2, 2, 3 na 7 tunaongeza sababu zinazokosekana 2 na 2 kutoka kwa upanuzi wa nambari ya tatu 48, tunapata seti ya mambo 2, 2, 2, 2, 3 na 7. Hakutakuwa na haja ya kuongeza vizidishi kwenye seti hii katika hatua inayofuata, kwani 7 tayari iko ndani yake. Mwishowe, kwa sababu 2, 2, 2, 2, 3 na 7 tunaongeza sababu zinazokosekana 11 na 13 kutoka kwa upanuzi wa nambari 143. Tunapata bidhaa 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13, ambayo ni sawa na 48,048.
Hebu tuangalie njia tatu za kupata nyingi zisizo za kawaida.
Kupata kwa factorization
Njia ya kwanza ni kupata kizidishio kisicho cha kawaida zaidi kwa kuweka nambari zilizopewa kuwa sababu kuu.
Wacha tuseme tunahitaji kupata LCM ya nambari: 99, 30 na 28. Ili kufanya hivyo, hebu tuangazie kila moja ya nambari hizi kwa sababu kuu:
Ili nambari inayotakiwa iweze kugawanywa na 99, 30 na 28, ni muhimu na ya kutosha kwamba inajumuisha mambo yote kuu ya wagawanyiko hawa. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kuchukua sababu zote kuu za nambari hizi kwa nguvu kubwa iwezekanavyo na kuzizidisha pamoja:
2 2 3 2 5 7 11 = 13,860
Kwa hivyo, LCM (99, 30, 28) = 13,860. Hakuna nambari nyingine chini ya 13,860 inayoweza kugawanywa na 99, 30, au 28.
Ili kupata kizidishio cha kawaida kabisa cha nambari ulizopewa, unaziweka katika vipengele vyake kuu, kisha uchukue kila kipengele kikuu chenye kipeo kikubwa zaidi kinachoonekana, na kuzidisha vipengele hivyo pamoja.
Kwa kuwa nambari kuu kiasi hazina sababu kuu za kawaida, idadi yao isiyo ya kawaida ni sawa na bidhaa ya nambari hizi. Kwa mfano, nambari tatu: 20, 49 na 33 ni za msingi. Ndiyo maana
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.
Vile vile lazima ifanyike wakati wa kupata kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari kuu kadhaa. Kwa mfano, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Tafuta kwa uteuzi
Njia ya pili ni kupata idadi ndogo ya kawaida kwa uteuzi.
Mfano 1. Wakati nambari kubwa zaidi ya nambari iliyotolewa imegawanywa na nambari nyingine iliyotolewa, basi LCM ya nambari hizi ni sawa na kubwa zaidi kati yao. Kwa mfano, kwa kupewa nambari nne: 60, 30, 10 na 6. Kila moja yao inaweza kugawanywa na 60, kwa hivyo:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
Katika hali nyingine, ili kupata nyingi zisizo za kawaida, utaratibu ufuatao hutumiwa:
- Amua nambari kubwa zaidi kutoka kwa nambari ulizopewa.
- Ifuatayo, tunapata nambari ambazo ni zidishi za nambari kubwa zaidi kwa kuizidisha kwa nambari asilia kwa mpangilio unaoongezeka na kuangalia ikiwa bidhaa inayotokana inaweza kugawanywa kwa nambari zilizosalia.
Mfano 2. Kwa kuzingatia nambari tatu 24, 3 na 18. Tunaamua kubwa zaidi - hii ndio nambari 24. Ifuatayo, tunapata nambari ambazo ni nyingi za 24, tukiangalia ikiwa kila moja yao inaweza kugawanywa na 18 na 3:
24 · 1 = 24 - inaweza kugawanywa na 3, lakini haiwezi kugawanywa na 18.
24 · 2 = 48 - inaweza kugawanywa na 3, lakini haiwezi kugawanywa na 18.
24 · 3 = 72 - inaweza kugawanywa na 3 na 18.
Kwa hivyo, LCM (24, 3, 18) = 72.
Tafuta kwa kutafuta LCM kwa mpangilio
Njia ya tatu ni kupata nyingi zaidi ya kawaida kwa kupata LCM mtawalia.
LCM ya nambari mbili zilizopewa ni sawa na bidhaa ya nambari hizi zilizogawanywa na kigawanyiko chao kikubwa zaidi.
Mfano 1. Tafuta LCM ya nambari mbili ulizopewa: 12 na 8. Bainisha kigawanyaji chao kikubwa zaidi: GCD (12, 8) = 4. Zidisha nambari hizi:
Tunagawanya bidhaa kwa gcd yao:
Kwa hivyo, LCM (12, 8) = 24.
Ili kupata LCM ya nambari tatu au zaidi, tumia utaratibu ufuatao:
- Kwanza, pata LCM ya nambari zozote mbili kati ya hizi.
- Kisha, LCM ya nambari inayopatikana isiyo ya kawaida zaidi na nambari ya tatu iliyotolewa.
- Halafu, LCM ya nambari inayosababisha angalau ya kawaida na nambari ya nne, nk.
- Kwa hivyo, utaftaji wa LCM unaendelea mradi tu kuna nambari.
Mfano 2. Wacha tupate LCM ya nambari tatu zilizopewa: 12, 8 na 9. Tayari tumepata LCM ya nambari 12 na 8 katika mfano uliopita (hii ndio nambari 24). Inabakia kupata kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari 24 na nambari ya tatu iliyotolewa - 9. Amua kigawanyaji chao kikuu zaidi: GCD (24, 9) = 3. Zidisha LCM kwa nambari 9:
Tunagawanya bidhaa kwa gcd yao:
Kwa hivyo, LCM (12, 8, 9) = 72.
Wacha tuendelee na mazungumzo juu ya anuwai ya kawaida zaidi, ambayo tulianza katika sehemu ya "LCM - nyingi za kawaida, ufafanuzi, mifano." Katika mada hii, tutaangalia njia za kupata LCM kwa nambari tatu au zaidi, na tutaangalia swali la jinsi ya kupata LCM ya nambari hasi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kukokotoa Angalau Nyingi Za Kawaida (LCM) kupitia GCD
Tayari tumeanzisha uhusiano kati ya kigawanyo cha kawaida zaidi na kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida. Sasa hebu tujifunze jinsi ya kuamua LCM kupitia GCD. Kwanza, hebu tuone jinsi ya kufanya hivyo kwa nambari chanya.
Ufafanuzi 1
Unaweza kupata kizidishio cha kawaida zaidi kupitia kigawanyaji kikubwa zaidi cha kawaida kwa kutumia fomula LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
Mfano 1
Unahitaji kupata LCM ya nambari 126 na 70.
Suluhisho
Wacha tuchukue = 126, b = 70. Wacha tubadilishe thamani katika fomula ya kukokotoa kizidishio kidogo cha kawaida kupitia kigawanyiko kikuu cha kawaida cha LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Hupata gcd ya nambari 70 na 126. Kwa hili tunahitaji algorithm ya Euclidean: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, kwa hiyo GCD (126 , 70) = 14 .
Wacha tuhesabu LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Jibu: LCM(126, 70) = 630.
Mfano 2
Tafuta nambari 68 na 34.
Suluhisho
GCD katika kesi hii sio ngumu kupata, kwani 68 inaweza kugawanywa na 34. Wacha tuhesabu idadi isiyo ya kawaida zaidi kwa kutumia fomula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Jibu: LCM(68, 34) = 68.
Katika mfano huu, tulitumia kanuni ya kutafuta kizidishio kisicho cha kawaida zaidi cha nambari kamili chanya a na b: ikiwa nambari ya kwanza inaweza kugawanywa na ya pili, LCM ya nambari hizo itakuwa sawa na nambari ya kwanza.
Kupata LCM kwa kuweka nambari kuwa sababu kuu
Sasa hebu tuangalie njia ya kupata LCM, ambayo inategemea nambari za uainishaji katika mambo kuu.
Ufafanuzi 2
Ili kupata idadi ndogo zaidi ya kawaida, tunahitaji kufanya idadi ya hatua rahisi:
- tunaunda bidhaa ya sababu zote kuu za nambari ambazo tunahitaji kupata LCM;
- tunaondoa sababu zote kuu kutoka kwa bidhaa zinazotokana;
- bidhaa iliyopatikana baada ya kuondoa sababu kuu za kawaida itakuwa sawa na LCM ya nambari zilizopewa.
Njia hii ya kupata kizidishio kisicho cha kawaida zaidi inategemea usawa wa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ikiwa utaangalia formula, itakuwa wazi: bidhaa ya nambari a na b ni sawa na bidhaa ya mambo yote ambayo yanashiriki katika mtengano wa nambari hizi mbili. Katika kesi hii, gcd ya nambari mbili ni sawa na bidhaa ya sababu zote kuu ambazo zipo wakati huo huo katika uainishaji wa nambari hizi mbili.
Mfano 3
Tunayo nambari mbili 75 na 210. Tunaweza kuziainisha kama ifuatavyo: 75 = 3 5 5 Na 210 = 2 3 5 7. Ikiwa utaunda bidhaa ya mambo yote ya nambari mbili za asili, unapata: 2 3 3 5 5 5 7.
Ikiwa tutatenga sababu za kawaida kwa nambari zote 3 na 5, tunapata bidhaa ya fomu ifuatayo: 2 3 5 5 7 = 1050. Bidhaa hii itakuwa LCM yetu kwa nambari 75 na 210.
Mfano 4
Pata LCM ya nambari 441 Na 700 , ikijumuisha nambari zote mbili kuwa sababu kuu.
Suluhisho
Wacha tupate sababu zote kuu za nambari zilizopewa katika hali:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Tunapata minyororo miwili ya nambari: 441 = 3 3 7 7 na 700 = 2 2 5 5 7.
Bidhaa ya mambo yote ambayo yalishiriki katika mtengano wa nambari hizi itakuwa na fomu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Wacha tupate sababu za kawaida. Hii ndio nambari 7. Wacha tuiondoe kutoka kwa jumla ya bidhaa: 2 2 3 3 5 5 7 7. Inageuka kuwa NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Jibu: LOC(441, 700) = 44,100.
Wacha tutoe uundaji mwingine wa njia ya kupata LCM kwa kutenganisha nambari kuwa sababu kuu.
Ufafanuzi 3
Hapo awali, tulitenga kutoka kwa jumla ya idadi ya sababu zinazojulikana kwa nambari zote mbili. Sasa tutafanya tofauti:
- Wacha tuzingatie nambari zote mbili kwa sababu kuu:
- ongeza kwa bidhaa ya sababu kuu za nambari ya kwanza sababu zinazokosekana za nambari ya pili;
- tunapata bidhaa, ambayo itakuwa LCM inayotaka ya nambari mbili.
Mfano 5
Wacha turudi kwa nambari 75 na 210, ambazo tayari tulitafuta LCM katika moja ya mifano iliyopita. Wacha tuyagawanye kwa sababu rahisi: 75 = 3 5 5 Na 210 = 2 3 5 7. Kwa bidhaa ya mambo 3, 5 na 5 nambari 75 huongeza sababu zinazokosekana 2 Na 7 nambari 210. Tunapata: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Hii ndio LCM ya nambari 75 na 210.
Mfano 6
Inahitajika kuhesabu LCM ya nambari 84 na 648.
Suluhisho
Wacha tuzingatie nambari kutoka kwa hali hiyo kuwa sababu rahisi: 84 = 2 2 3 7 Na 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Wacha tuongeze kwenye bidhaa sababu 2, 2, 3 na 7
namba 84 kukosa mambo 2, 3, 3 na
3
nambari 648. Tunapata bidhaa 2 2 2 3 3 3 7 = 4536. Hiki ndicho kizidishio cha kawaida zaidi cha 84 na 648.
Jibu: LCM(84, 648) = 4,536.
Kupata LCM ya nambari tatu au zaidi
Bila kujali nambari ngapi tunazoshughulikia, algorithm ya vitendo vyetu itakuwa sawa kila wakati: tutapata LCM ya nambari mbili mfululizo. Kuna nadharia ya kesi hii.
Nadharia 1
Wacha tuchukue tunayo nambari kamili a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k nambari hizi zinapatikana kwa kuhesabu kwa mpangilio m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k - 1, a k).
Sasa hebu tuangalie jinsi theorem inaweza kutumika kutatua matatizo maalum.
Mfano 7
Unahitaji kuhesabu idadi ndogo ya kawaida ya nambari nne 140, 9, 54 na 250 .
Suluhisho
Wacha tuanzishe nukuu: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Hebu tuanze kwa kuhesabu m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Wacha tutumie algorithm ya Euclidean kuhesabu GCD ya nambari 140 na 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Tunapata: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Kwa hiyo, m 2 = 1,260.
Sasa hebu tuhesabu kwa kutumia algorithm sawa m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Wakati wa mahesabu tunapata m 3 = 3 780.
Tunapaswa tu kuhesabu m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Tunafuata algorithm sawa. Tunapata m 4 = 94 500.
LCM ya nambari nne kutoka kwa hali ya mfano ni 94500.
Jibu: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.
Kama unaweza kuona, mahesabu ni rahisi, lakini ni kazi kubwa sana. Ili kuokoa muda, unaweza kwenda kwa njia nyingine.
Ufafanuzi 4
Tunakupa algorithm ifuatayo ya vitendo:
- tunatenganisha nambari zote kuwa sababu kuu;
- kwa bidhaa ya sababu za nambari ya kwanza tunaongeza sababu zinazokosekana kutoka kwa bidhaa ya nambari ya pili;
- kwa bidhaa iliyopatikana katika hatua ya awali tunaongeza mambo ya kukosa ya nambari ya tatu, nk;
- bidhaa inayotokana itakuwa idadi ndogo ya kawaida ya nambari zote kutoka kwa hali hiyo.
Mfano 8
Unahitaji kupata LCM ya nambari tano 84, 6, 48, 7, 143.
Suluhisho
Wacha tuzingatie nambari zote tano katika sababu kuu: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Nambari kuu, ambayo ni nambari 7, haiwezi kujumuishwa katika sababu kuu. Nambari kama hizo zinaambatana na mtengano wao kuwa sababu kuu.
Sasa hebu tuchukue bidhaa ya sababu kuu 2, 2, 3 na 7 ya nambari 84 na tuongeze kwao sababu zinazokosekana za nambari ya pili. Tulitenganisha nambari 6 kuwa 2 na 3. Sababu hizi tayari ziko katika bidhaa ya nambari ya kwanza. Kwa hiyo, tunaziacha.
Tunaendelea kuongeza vizidishi vilivyokosekana. Wacha tuendelee kwenye nambari ya 48, kutoka kwa bidhaa ambayo sababu kuu tunachukua 2 na 2. Kisha tunaongeza sababu kuu ya 7 kutoka kwa nambari ya nne na mambo ya 11 na 13 ya tano. Tunapata: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Hiki ndicho kizidishio cha kawaida zaidi kati ya nambari tano asilia.
Jibu: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
Kutafuta idadi isiyo ya kawaida zaidi ya nambari hasi
Ili kupata idadi ndogo zaidi ya nambari hasi, nambari hizi lazima kwanza zibadilishwe na nambari zilizo na ishara tofauti, na kisha mahesabu lazima yafanyike kwa kutumia algoriti zilizo hapo juu.
Mfano 9
LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) na LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Vitendo hivyo vinajuzu kutokana na ukweli kwamba tukikubali hilo a Na − a- nambari tofauti,
kisha seti ya mawimbi ya nambari a inalingana na seti ya mawimbi ya nambari − a.
Mfano 10
Inahitajika kuhesabu LCM ya nambari hasi − 145 Na − 45 .
Suluhisho
Wacha tubadilishe nambari − 145 Na − 45 kwa idadi yao kinyume 145 Na 45 . Sasa, kwa kutumia algorithm, tunahesabu LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, baada ya kuamua hapo awali GCD kwa kutumia algorithm ya Euclidean.
Tunapata kwamba LCM ya nambari ni - 145 na − 45 sawa 1 305 .
Jibu: LCM (- 145, - 45) = 1,305.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
