Ili kufanya kazi na dhana ya cheo cha matrix, tutahitaji taarifa kutoka kwa mada "Algebraic inayosaidia na watoto. Aina za watoto na za algebraic." Kwanza kabisa, hii inahusu neno "matrix madogo", ​​kwa kuwa tutaamua kiwango cha matrix kwa usahihi kupitia watoto.

Kiwango cha Matrix ni utaratibu wa juu wa watoto wake, kati ya ambayo kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri.

Matrices sawa- matrices ambao safu zao ni sawa na kila mmoja.

Hebu tueleze kwa undani zaidi. Tuseme kwamba kati ya watoto wa daraja la pili kuna angalau moja ambayo ni tofauti na sifuri. Na watoto wote ambao utaratibu wao ni wa juu kuliko wawili ni sawa na sifuri. Hitimisho: kiwango cha matrix ni 2 au, kwa mfano, kati ya watoto wa agizo la kumi kuna angalau moja ambayo sio sawa na sifuri. Na watoto wote ambao utaratibu wao ni wa juu kuliko 10 ni sawa na sifuri. Hitimisho: kiwango cha matrix ni 10.

Kiwango cha matrix $A$ kinaonyeshwa kama ifuatavyo: $\rang A$ au $r(A)$. Kiwango cha matrix ya sifuri $O$ inachukuliwa kuwa sifuri, $\rang O=0$. Acha nikukumbushe kwamba kuunda matrix madogo unahitaji kuvuka safu na safu, lakini haiwezekani kuvuka safu na safu zaidi kuliko matrix yenyewe inayo. Kwa mfano, ikiwa matrix $F$ ina ukubwa $5\mara 4$ (yaani ina safu mlalo 5 na safu wima 4), basi mpangilio wa juu wa watoto wake ni nne. Haitawezekana tena kuunda watoto wa utaratibu wa tano, kwa kuwa watahitaji safu 5 (na tuna 4 tu). Hii ina maana kwamba cheo cha matrix $ F $ haiwezi kuwa zaidi ya nne, i.e. $\rang F≤4$.

Katika hali ya jumla zaidi, hapo juu ina maana kwamba ikiwa matrix ina safu $m$ na $n$ safuwima, basi cheo chake hakiwezi kuzidi ndogo zaidi ya $m$ na $n$, i.e. $\rang A≤\min(m,n)$.

Kimsingi, kutoka kwa ufafanuzi wa kiwango hufuata njia ya kuipata. Mchakato wa kupata kiwango cha matrix, kwa ufafanuzi, unaweza kuwakilishwa kimkakati kama ifuatavyo:

Acha nieleze mchoro huu kwa undani zaidi. Hebu tuanze hoja tangu mwanzo, i.e. kutoka kwa agizo la kwanza la watoto wa matrix $A$.

1. Ikiwa watoto wote wa mpangilio wa kwanza (yaani, vipengele vya matrix $A$) ni sawa na sifuri, basi $\rang A=0$. Ikiwa kati ya watoto wa kwanza kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, basi $\rang A≥ 1$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa mpangilio wa pili.
2. Ikiwa watoto wote wa mpangilio wa pili ni sawa na sifuri, basi $\rang A=1$. Ikiwa kati ya watoto wa pili kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, basi $\rang A≥ 2$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa mpangilio wa tatu.
3. Ikiwa watoto wote wa mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri, basi $\rang A=2$. Ikiwa kati ya watoto wa daraja la tatu kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, basi $\rang A≥ 3$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa daraja la nne.
4. Ikiwa watoto wote wa daraja la nne ni sawa na sifuri, basi $\rang A=3$. Ikiwa kati ya watoto wa daraja la nne kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, basi $\rang A≥ 4$. Tunaendelea na kuangalia watoto wa daraja la tano na kadhalika.

Nini kinatungoja mwishoni mwa utaratibu huu? Inawezekana kwamba kati ya watoto wa utaratibu wa kth kutakuwa na angalau moja ambayo ni tofauti na sifuri, na watoto wote (k +1) wa utaratibu watakuwa sawa na sifuri. Hii ina maana kwamba k ni utaratibu wa juu wa watoto, kati ya ambayo kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, i.e. cheo kitakuwa sawa na k. Kunaweza kuwa na hali tofauti: kati ya watoto wa utaratibu wa kth kutakuwa na angalau moja ambayo si sawa na sifuri, lakini haitawezekana tena kuunda (k + 1) kuagiza watoto. Katika kesi hii, kiwango cha matrix pia ni sawa na k. Kwa kifupi, mpangilio wa nambari ya mwisho isiyo ya sifuri iliyotungwa itakuwa sawa na kiwango cha matrix.

Wacha tuendelee kwenye mifano ambayo mchakato wa kupata kiwango cha matrix, kwa ufafanuzi, utaonyeshwa wazi. Nisisitize tena kwamba katika mifano ya mada hii tutaanza kupata daraja la matrices kwa kutumia ufafanuzi wa cheo tu. Njia zingine (kuhesabu kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya kupakana na watoto, kuhesabu kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi) zinajadiliwa katika mada zifuatazo.

Kwa njia, si lazima hata kidogo kuanza utaratibu wa kupata cheo na watoto wa utaratibu mdogo, kama ilivyofanywa katika mifano Nambari 1 na No. Unaweza kwenda mara moja kwa watoto wa maagizo ya juu (angalia mfano No. 3).

Mfano Nambari 1

Pata kiwango cha matrix $A=\left(\anza(safu)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \mwisho(safu) \kulia)$.

Matrix hii ina ukubwa wa $3\mara 5$, i.e. ina safu tatu na safu wima tano. Kati ya nambari 3 na 5, kiwango cha chini ni 3, kwa hivyo kiwango cha matrix $ A $ sio zaidi ya 3, i.e. $\rang A≤ 3$. Na usawa huu ni dhahiri, kwa kuwa hatutaweza tena kuunda watoto wa nne - wanahitaji safu 4, na tuna 3 tu. Hebu tuendelee moja kwa moja kwenye mchakato wa kutafuta cheo cha matrix iliyotolewa.

Miongoni mwa watoto wa utaratibu wa kwanza (yaani kati ya vipengele vya matrix $ A $) kuna zisizo za sifuri. Kwa mfano, 5, -3, 2, 7. Kwa ujumla, hatuna nia ya jumla ya mambo yasiyo ya sifuri. Kuna angalau kipengele kimoja kisicho sifuri - na hiyo inatosha. Kwa kuwa kati ya watoto wa kwanza kuna angalau moja isiyo ya sifuri, tunahitimisha kuwa $\rang A≥ 1$ na kuendelea na kuangalia watoto wa pili.

Wacha tuanze kuchunguza watoto wa mpangilio wa pili. Kwa mfano, katika makutano ya safu 1, Nambari ya 2 na safu wima 1, Nambari 4 kuna vipengele vya vidogo vifuatavyo: $\left|\anza(safu)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \mwisho(safu) \kulia|. Kwa kiashiria hiki, vipengele vyote vya safu ya pili ni sawa na sifuri, kwa hiyo kiashiria yenyewe ni sawa na sifuri, i.e. $\left|\anza(safu)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(safu) \right|=0$ (angalia sifa Na. 3 katika mada ya sifa za vibainishi). Au unaweza kukokotoa kibainishi hiki kwa kutumia fomula Nambari 1 kutoka kwa sehemu ya kukokotoa vibainishi vya mpangilio wa pili na wa tatu:

$$ \kushoto|\anza(safu)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \mwisho(safu) \kulia|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Mtoto wa kwanza wa daraja la pili tuliyemjaribu aligeuka kuwa sawa na sifuri. Hii ina maana gani? Kuhusu hitaji la kuangalia zaidi watoto wa mpangilio wa pili. Aidha wote watageuka kuwa sifuri (na kisha cheo kitakuwa sawa na 1), au kati yao kutakuwa na angalau mdogo mmoja ambaye ni tofauti na sifuri. Hebu jaribu kufanya chaguo bora zaidi kwa kuandika mdogo wa pili, vipengele ambavyo viko kwenye makutano ya safu Nambari 1, Nambari ya 2 na safu No. safu)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \mwisho(safu) \kulia|$. Wacha tupate dhamana ya mtoto huyu wa mpangilio wa pili:

$$ \left|\anza(safu)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \mwisho(safu) \kulia|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Mtoto huyu si sawa na sifuri. Hitimisho: kati ya watoto wa pili kuna angalau moja isiyo ya sifuri. Kwa hivyo $\rang A≥ 2$. Tunahitaji kuendelea na masomo ya watoto wa daraja la tatu.

Ikiwa tutachagua safu nambari 2 au safu nambari 4 kuunda watoto wa mpangilio wa tatu, basi watoto kama hao watakuwa sawa na sifuri (kwani watakuwa na safu wima sifuri). Inabakia kuangalia moja tu ndogo ya tatu, vipengele ambavyo viko kwenye makutano ya nguzo No 1, No. 3, No. 5 na safu No. Wacha tuandike hii ndogo na tupate thamani yake:

$$ \kushoto|\anza(safu)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \mwisho(safu) \kulia|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Kwa hivyo, watoto wote wa utaratibu wa tatu ni sawa na sifuri. Kidogo cha mwisho kisicho sifuri tulichokusanya kilikuwa cha mpangilio wa pili. Hitimisho: utaratibu wa juu wa watoto, kati ya ambayo kuna angalau moja isiyo ya sifuri, ni 2. Kwa hiyo, $\rang A=2$.

Jibu: $\rang A=2$.

Mfano Nambari 2

Pata safu ya matrix $A=\left(\anza(safu) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \mwisho(safu) \kulia)$.

Tunayo tumbo la mraba la mpangilio wa nne. Hebu tuangalie mara moja kwamba cheo cha matrix hii haizidi 4, i.e. $\rang A≤ 4$. Wacha tuanze kutafuta kiwango cha matrix.

Miongoni mwa watoto wa utaratibu wa kwanza (yaani, kati ya vipengele vya matrix $ A $) kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, kwa hiyo $\rang A≥ 1$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa mpangilio wa pili. Kwa mfano, katika makutano ya safu nambari 2, Nambari 3 na safu nambari 1 na nambari 2, tunapata ndogo ya mpangilio wa pili: $\left| \anza(safu) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \mwisho(safu) \kulia|$. Hebu tuhesabu:

$$\kushoto| \anza(safu) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \mwisho(safu) \kulia|=0-10=-10. $$

Miongoni mwa watoto wa daraja la pili kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, hivyo $\rang A≥ 2$.

Wacha tuendelee kwa watoto wa mpangilio wa tatu. Hebu tupate, kwa mfano, mdogo ambaye vipengele vyake viko kwenye makutano ya safu No. 1, No. 3, No.

$$\kushoto | \anza(safu) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \mwisho(safu) \kulia|=105-105=0. $$

Kwa kuwa mdogo huyu wa tatu aligeuka kuwa sawa na sifuri, ni muhimu kuchunguza mdogo mwingine wa tatu. Ama zote zitakuwa sawa na sifuri (basi cheo kitakuwa sawa na 2), au kati yao kutakuwa na angalau moja ambayo si sawa na sifuri (kisha tutaanza kusoma watoto wa daraja la nne). Wacha tuchunguze mtoto wa mpangilio wa tatu, vitu ambavyo viko kwenye makutano ya safu nambari 2, nambari 3, nambari 4 na safu 2, nambari 3, nambari 4:

$$\kushoto| \anza(safu) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \mwisho(safu) \kulia|=-28. $$

Miongoni mwa watoto wa daraja la tatu kuna angalau moja isiyo ya sifuri, hivyo $\rang A≥ 3$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa daraja la nne.

Mtoto yeyote wa mpangilio wa nne yuko kwenye makutano ya safu mlalo nne na safu wima nne za matrix $A$. Kwa maneno mengine, mtoto wa mpangilio wa nne ndiye kiamuaji cha matrix $A$, kwani matrix hii ina safu 4 na safu wima 4. Kiamuzi cha matrix hii kilihesabiwa kwa mfano Nambari 2 ya mada "Kupunguza mpangilio wa kibainishi katika safu (safu)", kwa hivyo hebu tuchukue matokeo yaliyokamilishwa.

$$\kushoto| \anza(safu) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \mwisho (safu)\kulia|=86. $$

Kwa hivyo mpangilio mdogo wa nne sio sawa na sifuri. Hatuwezi tena kuunda watoto wa mpangilio wa tano. Hitimisho: utaratibu wa juu wa watoto, kati ya ambayo kuna angalau moja isiyo ya sifuri, ni 4. Matokeo: $\rang A=4$.

Jibu: $\rang A=4$.

Mfano Nambari 3

Tafuta kiwango cha matrix $A=\left(\anza(safu) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \mwisho(safu) \kulia)$.

Hebu tukumbuke mara moja kwamba matrix hii ina safu 3 na safu wima 4, kwa hivyo $\rang A≤ 3$. Katika mifano iliyopita, tulianza mchakato wa kutafuta cheo kwa kuzingatia watoto wa utaratibu mdogo (wa kwanza). Hapa tutajaribu mara moja kuangalia watoto wa utaratibu wa juu zaidi. Kwa matrix $A$ hawa ni watoto wa mpangilio wa tatu. Wacha tuchunguze mtoto wa mpangilio wa tatu, vitu ambavyo viko kwenye makutano ya safu nambari 1, nambari 2, nambari 3 na safu nambari 2, nambari 3, nambari 4:

$$\kushoto| \anza(safu) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \mwisho(safu) \kulia|=-8-60-20=-88. $$

Kwa hiyo, utaratibu wa juu wa watoto, kati ya ambayo kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, ni 3. Kwa hiyo, cheo cha matrix ni 3, i.e. $\rang A=3$.

Jibu: $\rang A=3$.

Kwa ujumla, kupata kiwango cha tumbo kwa ufafanuzi ni, kwa ujumla, kazi kubwa ya kazi. Kwa mfano, matrix ndogo kiasi ya ukubwa $5\mara 4$ ina watoto 60 wa mpangilio wa pili. Na hata ikiwa 59 kati yao ni sawa na sifuri, basi mtoto wa 60 anaweza kugeuka kuwa sio sifuri. Kisha itabidi usome watoto wa mpangilio wa tatu, ambayo tumbo hili lina vipande 40. Kawaida wao hujaribu kutumia njia zisizo ngumu, kama vile njia ya kupakana na watoto au njia ya mabadiliko sawa.

Msingi Mabadiliko yafuatayo ya matrix yanaitwa:

1) ruhusa ya safu mbili (au safu wima),

2) kuzidisha safu (au safu) kwa nambari isiyo ya sifuri,

3) kuongeza safu moja (au safu) safu nyingine (au safu), ikizidishwa na nambari fulani.

Matrices mbili zinaitwa sawa, ikiwa mmoja wao anapatikana kutoka kwa mwingine kwa kutumia seti ya mwisho ya mabadiliko ya kimsingi.

Matrices sawa sio, kwa ujumla, sawa, lakini safu zao ni sawa. Ikiwa matrices A na B ni sawa, basi imeandikwa kama ifuatavyo: A ~ B.

Ya kisheria Matrix ni matrix ambayo mwanzoni mwa diagonal kuu kuna kadhaa mfululizo (idadi ambayo inaweza kuwa sifuri), na vitu vingine vyote ni sawa na sifuri, kwa mfano,

Kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi ya safu mlalo na safu wima, matriki yoyote yanaweza kupunguzwa hadi ya kisheria. Kiwango cha matrix ya kisheria ni sawa na idadi ya zile kwenye diagonal yake kuu.

Mfano 2 Tafuta kiwango cha matrix

A=

na kuileta katika mfumo wa kisheria.

Suluhisho. Kutoka kwa mstari wa pili, toa ya kwanza na upange upya mistari hii:

.

Sasa kutoka kwa safu ya pili na ya tatu tunatoa ya kwanza, iliyozidishwa na 2 na 5, mtawaliwa:

;

toa kwanza kutoka mstari wa tatu; tunapata matrix

B = ,

ambayo ni sawa na matrix A, kwani hupatikana kutoka kwayo kwa kutumia seti ya ukomo wa mabadiliko ya kimsingi. Ni wazi, kiwango cha matrix B ni 2, na kwa hivyo r(A)=2. Matrix B inaweza kupunguzwa kwa urahisi hadi ya kisheria. Kwa kuondoa safu ya kwanza, iliyozidishwa na nambari zinazofaa, kutoka kwa zote zinazofuata, tunageuka hadi sifuri vipengele vyote vya mstari wa kwanza, isipokuwa ya kwanza, na vipengele vya safu zilizobaki hazibadilika. Kisha, tukiondoa safu ya pili, iliyozidishwa na nambari zinazofaa, kutoka kwa zote zinazofuata, tunageuka hadi sifuri vipengele vyote vya safu ya pili, isipokuwa ya pili, na kupata matrix ya kisheria:

.

Kronecker - nadharia ya Capelli- kigezo cha uoanifu cha mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari:

Ili mfumo wa mstari uwe thabiti, ni muhimu na ya kutosha kwamba kiwango cha matrix iliyopanuliwa ya mfumo huu iwe sawa na kiwango cha matrix yake kuu.

Uthibitisho (masharti ya utangamano ya mfumo)

Umuhimu

Hebu mfumo pamoja Kisha kuna nambari kama hizo. Kwa hiyo, safu ni mchanganyiko wa mstari wa safu za matrix. Kutokana na ukweli kwamba cheo cha matrix haitabadilika ikiwa safu (safu) imefutwa au kuongezwa kutoka kwa mfumo wa safu zake (safu), ambayo ni mchanganyiko wa mstari wa safu nyingine (safu), inafuata kwamba .

Utoshelevu

Hebu . Wacha tuchukue madogo madogo kwenye tumbo. Kwa kuwa, basi itakuwa pia msingi mdogo wa matrix. Kisha, kulingana na nadharia ya msingi mdogo, safu wima ya mwisho ya matrix itakuwa mchanganyiko wa mstari wa safu wima za msingi, ambayo ni, safu wima za matrix. Kwa hiyo, safu ya masharti ya bure ya mfumo ni mchanganyiko wa mstari wa safu za matrix.

Matokeo

Idadi ya vigezo kuu mifumo sawa na kiwango cha mfumo.

Pamoja mfumo itafafanuliwa (suluhisho lake ni la kipekee) ikiwa kiwango cha mfumo ni sawa na idadi ya vigezo vyake vyote.

Mfumo wa usawa wa equations

Toa15 . 2 Mfumo wa usawa wa equations

daima ni pamoja.

Ushahidi. Kwa mfumo huu, seti ya nambari ,,, ni suluhisho.

Katika sehemu hii tutatumia nukuu ya matrix ya mfumo:.

Toa15 . 3 Jumla ya suluhu kwa mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari ni suluhisho kwa mfumo huu. Suluhisho lililozidishwa na nambari pia ni suluhisho.

Ushahidi. Wacha wawe suluhisho la mfumo. Kisha na. Hebu . Kisha

Kwa kuwa, basi - suluhisho.

Hebu iwe nambari ya kiholela,. Kisha

Kwa kuwa, basi - suluhisho.

Matokeo15 . 1 Ikiwa mfumo wa homogeneous wa equations za mstari una suluhisho la nonzero, basi ina suluhisho nyingi tofauti.

Hakika, kuzidisha ufumbuzi usio na sifuri kwa idadi mbalimbali, tutapata ufumbuzi tofauti.

Ufafanuzi15 . 5 Tutasema kwamba ufumbuzi fomu ya mifumo mfumo wa msingi wa suluhisho, ikiwa nguzo kuunda mfumo wa kujitegemea wa mstari na suluhisho lolote kwa mfumo ni mchanganyiko wa mstari wa safu hizi.

Matrix yoyote A agizo m×n inaweza kuzingatiwa kama mkusanyiko m vekta za kamba au n vekta za safu.

Cheo matrices A agizo m×n ni idadi ya juu zaidi ya vekta za safu wima zinazojitegemea kimstari au vekta za safu mlalo.

Ikiwa kiwango cha matrix A sawa r, basi imeandikwa:

Kutafuta kiwango cha matrix

Hebu A matrix ya utaratibu wa kiholela m× n. Ili kupata kiwango cha matrix A Tunatumia njia ya kuondoa Gaussian kwake.

Kumbuka kwamba ikiwa katika hatua fulani ya kuondoa kipengele kinachoongoza ni sawa na sifuri, basi tunabadilisha mstari huu na mstari ambao kipengele kinachoongoza ni tofauti na sifuri. Ikiwa inageuka kuwa hakuna mstari huo, kisha uendelee kwenye safu inayofuata, nk.

Baada ya mchakato wa uondoaji wa mbele wa Gaussian, tunapata matrix ambayo vipengele vyake chini ya diagonal kuu ni sawa na sifuri. Kwa kuongeza, kunaweza kuwa na vectors za safu ya sifuri.

Idadi ya vekta za safu mlalo zisizo sifuri itakuwa daraja la matrix A.

Wacha tuangalie haya yote kwa mifano rahisi.

Mfano 1.

Kuzidisha mstari wa kwanza na 4 na kuongeza kwa mstari wa pili na kuzidisha mstari wa kwanza na 2 na kuongeza mstari wa tatu tunayo:

Zidisha mstari wa pili kwa -1 na uiongeze kwenye mstari wa tatu:

Tulipokea safu mbili zisizo za sifuri na, kwa hivyo, kiwango cha matrix ni 2.

Mfano 2.

Wacha tupate safu ya matrix ifuatayo:

Zidisha mstari wa kwanza kwa -2 na uongeze kwenye mstari wa pili. Vile vile, tunaweka upya vipengele vya safu ya tatu na ya nne ya safu ya kwanza:

Wacha tuweke upya vipengee vya safu ya tatu na ya nne ya safu ya pili kwa kuongeza safu zinazolingana kwenye safu ya pili iliyozidishwa na nambari -1.

Kiwango cha matrix ni sifa muhimu ya nambari. Shida ya kawaida ambayo inahitaji kupata kiwango cha matrix ni kuangalia uthabiti wa mfumo wa milinganyo ya algebraic ya mstari. Katika nakala hii tutatoa wazo la kiwango cha matrix na fikiria njia za kuipata. Ili kuelewa vyema nyenzo, tutachambua kwa undani ufumbuzi wa mifano kadhaa.

Urambazaji wa ukurasa.

Uamuzi wa kiwango cha matrix na dhana muhimu za ziada.

Kabla ya kutamka ufafanuzi wa kiwango cha matrix, unapaswa kuwa na uelewa mzuri wa dhana ya mtoto, na kupata watoto wa matrix kunamaanisha uwezo wa kuhesabu kibainishi. Kwa hivyo, ikiwa ni lazima, tunapendekeza kwamba ukumbuke nadharia ya kifungu, njia za kupata kibainishi cha matrix, na sifa za kiambishi.

Hebu tuchukue matrix A ya utaratibu. Wacha k iwe nambari asilia isiyozidi nambari ndogo zaidi ya m na n, ambayo ni, .

Ufafanuzi.

Mpangilio mdogo wa kth matriki A ni kibainishi cha matrix ya mraba ya mpangilio, inayojumuisha vipengele vya matrix A, ambavyo viko katika safu mlalo za k zilizochaguliwa awali na safuwima k, na mpangilio wa vipengele vya matrix A huhifadhiwa.

Kwa maneno mengine, ikiwa katika tumbo A tunafuta safu (p-k) na safu (n-k), na kutoka kwa vipengele vilivyobaki tunaunda matrix, kuhifadhi mpangilio wa vipengele vya matrix A, kisha kiashiria cha matrix inayosababisha ni ndogo ya mpangilio k wa matrix A.

Wacha tuangalie ufafanuzi wa mtoto wa matrix kwa kutumia mfano.

Fikiria tumbo .

Wacha tuandike watoto kadhaa wa mpangilio wa kwanza wa tumbo hili. Kwa mfano, ikiwa tutachagua safu ya tatu na safu ya pili ya matrix A, basi chaguo letu linalingana na mpangilio mdogo wa mpangilio wa kwanza. . Kwa maneno mengine, ili kupata hii ndogo, tulivuka safu ya kwanza na ya pili, pamoja na safu wima ya kwanza, ya tatu na ya nne kutoka kwa matrix A, na tukaunda kiashiria kutoka kwa kipengele kilichobaki. Ikiwa tunachagua safu ya kwanza na safu ya tatu ya matrix A, basi tunapata ndogo .

Hebu tuonyeshe utaratibu wa kupata watoto wanaozingatiwa wa kwanza
Na .

Kwa hivyo, watoto wa utaratibu wa kwanza wa matrix ni vipengele vya tumbo wenyewe.

Wacha tuonyeshe watoto kadhaa wa mpangilio wa pili. Chagua safu mbili na safu mbili. Kwa mfano, chukua safu ya kwanza na ya pili na safu ya tatu na ya nne. Kwa chaguo hili tunayo mtoto wa pili . Kidogo hiki kinaweza pia kutungwa kwa kufuta safu mlalo ya tatu, safu wima ya kwanza na ya pili kutoka kwa matrix A.

Mdogo mwingine wa mpangilio wa pili wa matrix A ni .

Hebu tuonyeshe ujenzi wa hawa wadogo wa daraja la pili
Na .

Vile vile, watoto wa daraja la tatu la matrix A wanaweza kupatikana. Kwa kuwa kuna safu tatu tu kwenye tumbo A, tunachagua zote. Ikiwa tunachagua safu tatu za kwanza za safu hizi, tunapata ndogo ya utaratibu wa tatu

Inaweza pia kujengwa kwa kuvuka safu ya mwisho ya matrix A.

Mpangilio mwingine wa tatu mdogo ni

iliyopatikana kwa kufuta safu wima ya tatu ya matrix A.

Hapa kuna picha inayoonyesha ujenzi wa watoto hawa wa daraja la tatu
Na .

Kwa matrix A iliyotolewa hakuna watoto wa mpangilio wa juu kuliko wa tatu, kwani.

Je, kuna watoto wangapi wa mpangilio wa kth wa matrix A ya mpangilio?

Idadi ya watoto wa mpangilio k inaweza kuhesabiwa kama , wapi Na - idadi ya mchanganyiko kutoka p hadi k na kutoka n hadi k, kwa mtiririko huo.

Tunawezaje kuunda watoto wote wa mpangilio k wa matrix A ya mpangilio p kwa n?

Tutahitaji nambari nyingi za safu mlalo na nambari nyingi za safu wima. Tunaandika kila kitu mchanganyiko wa vipengele vya p kwa k(zitalingana na safu zilizochaguliwa za matrix A wakati wa kuunda mpangilio mdogo k). Kwa kila mchanganyiko wa nambari za safu, tunaongeza kwa mpangilio mchanganyiko wote wa vitu vya n vya nambari za safu k. Seti hizi za michanganyiko ya nambari za safu mlalo na nambari za safu wima za matrix A zitasaidia kutunga watoto wote wa mpangilio k.

Hebu tuitazame kwa mfano.

Mfano.

Pata watoto wote wa mpangilio wa pili wa tumbo.

Suluhisho.

Kwa kuwa mpangilio wa matrix ya asili ni 3 kwa 3, jumla ya watoto wa mpangilio wa pili watakuwa .

Wacha tuandike michanganyiko yote ya nambari za safu 3 hadi 2 za matrix A: 1, 2; 1, 3 na 2, 3. Mchanganyiko wote wa nambari za safu 3 hadi 2 ni 1, 2; 1, 3 na 2, 3.

Wacha tuchukue safu ya kwanza na ya pili ya matrix A. Kwa kuchagua safu ya kwanza na ya pili, safu ya kwanza na ya tatu, safu ya pili na ya tatu kwa safu hizi, tunapata watoto, kwa mtiririko huo.

Kwa safu ya kwanza na ya tatu, na chaguo sawa la safu, tunayo

Inabakia kuongeza safu ya kwanza na ya pili, ya kwanza na ya tatu, ya pili na ya tatu kwa safu ya pili na ya tatu:

Kwa hivyo, watoto wote tisa wa mpangilio wa pili wa matrix A wamepatikana.

Sasa tunaweza kuendelea na kuamua kiwango cha matrix.

Ufafanuzi.

Kiwango cha Matrix ndio mpangilio wa juu zaidi wa mdogo usio na sifuri wa matrix.

Kiwango cha matrix A kinaonyeshwa kama Cheo(A) . Unaweza pia kupata majina Rg(A) au Rang(A) .

Kutoka kwa ufafanuzi wa kiwango cha matrix na matrix madogo, tunaweza kuhitimisha kuwa kiwango cha matrix ya sifuri ni sawa na sifuri, na kiwango cha matrix ya nonzero sio chini ya moja.

Kupata kiwango cha matrix kwa ufafanuzi.

Kwa hivyo, njia ya kwanza ya kupata kiwango cha matrix ni njia ya kuhesabu watoto. Njia hii inategemea kuamua kiwango cha matrix.

Hebu tunahitaji kupata cheo cha matrix A ya utaratibu.

Hebu tueleze kwa ufupi algorithm kutatua tatizo hili kwa kuhesabu watoto.

Ikiwa kuna angalau kipengele kimoja cha matrix ambacho ni tofauti na sifuri, basi kiwango cha matrix ni angalau sawa na moja (kwani kuna mdogo wa utaratibu wa kwanza ambao si sawa na sifuri).

Ifuatayo tunaangalia watoto wa utaratibu wa pili. Ikiwa watoto wote wa mpangilio wa pili ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na moja. Ikiwa kuna angalau moja isiyo ya sifuri ya utaratibu wa pili, basi tunaendelea kuhesabu watoto wa utaratibu wa tatu, na kiwango cha matrix ni angalau sawa na mbili.

Vile vile, ikiwa watoto wote wa daraja la tatu ni sifuri, basi kiwango cha matrix ni mbili. Ikiwa kuna angalau mtoto mmoja wa mpangilio wa tatu isipokuwa sifuri, basi kiwango cha matrix ni angalau tatu, na tunaendelea na kuhesabu watoto wa daraja la nne.

Kumbuka kuwa kiwango cha matrix hakiwezi kuzidi nambari ndogo zaidi ya p na n.

Mfano.

Tafuta kiwango cha matrix .

Suluhisho.

Kwa kuwa matrix sio sifuri, kiwango chake sio chini ya moja.

Ndogo ya utaratibu wa pili ni tofauti na sifuri, kwa hivyo, kiwango cha matrix A ni angalau mbili. Tunaendelea na kuhesabu watoto wa daraja la tatu. Jumla yao mambo.

Watoto wote wa mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, kiwango cha matrix ni mbili.

Jibu:

Cheo(A) = 2 .

Kupata kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya kupakana na watoto.

Kuna njia zingine za kupata kiwango cha matrix ambayo hukuruhusu kupata matokeo na kazi ndogo ya hesabu.

Njia moja kama hiyo ni njia ndogo ya makali.

Hebu tushughulikie dhana ya makali madogo.

Inasemekana kuwa M ok ndogo ya mpangilio wa (k+1) wa matrix A inapakana na M ndogo ya mpangilio k wa matrix A ikiwa matriki inayolingana na M ok ndogo "ina" tumbo inayolingana na ndogo. M.

Kwa maneno mengine, matrix inayolingana na M mdogo anayepakana hupatikana kutoka kwa tumbo inayolingana na ndogo inayopakana ya M ok kwa kufuta vipengele vya safu moja na safu moja.

Kwa mfano, fikiria matrix na kuchukua utaratibu wa pili mdogo. Wacha tuandike watoto wote wanaopakana:

Njia ya mipaka ya watoto inahesabiwa haki na theorem ifuatayo (tunawasilisha uundaji wake bila uthibitisho).

Nadharia.

Ikiwa watoto wote wanaopakana na mpangilio wa kth mdogo wa matrix A ya mpangilio p kwa n ni sawa na sifuri, basi watoto wote wa mpangilio (k+1) wa matrix A ni sawa na sifuri.

Kwa hivyo, ili kupata kiwango cha matrix sio lazima kupitia watoto wote ambao wamepakana vya kutosha. Idadi ya watoto wanaopakana na ndogo ya mpangilio wa kth wa matrix A ya mpangilio, hupatikana kwa fomula. . Kumbuka kuwa hakuna watoto zaidi wanaopakana na mpangilio wa kth mdogo wa matrix A kuliko kuna (k + 1) watoto wa mpangilio wa matrix A. Kwa hiyo, katika hali nyingi, kutumia njia ya mpaka watoto ni faida zaidi kuliko tu kuhesabu watoto wote.

Wacha tuendelee kutafuta kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya kupakana na watoto. Hebu tueleze kwa ufupi algorithm njia hii.

Ikiwa matrix A ni nonzero, basi kama mtoto wa mpangilio wa kwanza tunachukua kipengele chochote cha matrix A ambacho ni tofauti na sifuri. Wacha tuangalie watoto wake wanaopakana. Ikiwa zote ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na moja. Ikiwa kuna angalau mdogo asiye na sifuri anayepakana (agizo lake ni mbili), basi tunaendelea kuzingatia watoto wake wa mpaka. Ikiwa zote ni sifuri, basi Cheo(A) = 2. Ikiwa angalau mdogo anayepakana sio sifuri (agizo lake ni tatu), basi tunazingatia watoto wake wanaopakana. Nakadhalika. Kama matokeo, Cheo(A) = k ikiwa watoto wote wanaopakana na mpangilio wa (k + 1) wa matriki A ni sawa na sifuri, au Cheo(A) = min(p, n) ikiwa hakuna- sifuri ndogo inayopakana na ndogo ya mpangilio (min( p, n) - 1) .

Wacha tuangalie njia ya kupakana na watoto kupata kiwango cha matrix kwa kutumia mfano.

Mfano.

Tafuta kiwango cha matrix kwa njia ya mpaka watoto.

Suluhisho.

Kwa kuwa kipengee cha 1 1 cha matrix A ni nonzero, tunakichukulia kama kitu kidogo cha mpangilio wa kwanza. Wacha tuanze kutafuta mtoto anayepakana ambaye ni tofauti na sifuri:

Makali madogo ya mpangilio wa pili, tofauti na sifuri, hupatikana. Wacha tuangalie watoto wake wanaopakana (wao mambo):

Watoto wote wanaopakana na mdogo wa mpangilio wa pili ni sawa na sifuri, kwa hiyo, cheo cha matrix A ni sawa na mbili.

Jibu:

Cheo(A) = 2 .

Mfano.

Tafuta kiwango cha matrix kutumia watoto wanaopakana.

Suluhisho.

Kama mtu ambaye sio sifuri mdogo wa agizo la kwanza, tunachukua kipengee 1 1 = 1 cha matrix A. Kidogo kinachozunguka cha agizo la pili si sawa na sifuri. Mtoto huyu mdogo amepakana na mtoto wa daraja la tatu
. Kwa kuwa si sawa na sifuri na hakuna hata mdogo anayepakana nayo, kiwango cha matrix A ni sawa na tatu.

Jibu:

Cheo(A) = 3 .

Kupata kiwango kwa kutumia mabadiliko ya msingi ya matrix (Njia ya Gauss).

Wacha tuangalie njia nyingine ya kupata kiwango cha matrix.

Mabadiliko yafuatayo ya matrix yanaitwa msingi:

• kupanga upya safu (au nguzo) za matrix;
• kuzidisha vipengele vyote vya safu yoyote (safu) ya matrix kwa nambari ya kiholela k, tofauti na sifuri;
• kuongeza kwa vipengele vya safu (safu) vipengele vinavyolingana vya safu nyingine (safu) ya matrix, ikizidishwa na nambari ya kiholela k.

Matrix B inaitwa sawa na matrix A, ikiwa B inapatikana kutoka kwa A kwa kutumia idadi maalum ya mabadiliko ya kimsingi. Usawa wa matrices unaonyeshwa na ishara "~", ambayo ni, iliyoandikwa A ~ B.

Kupata kiwango cha matriki kwa kutumia mabadiliko ya msingi ya matriki kunatokana na taarifa: ikiwa matriki B hupatikana kutoka kwa matriki A kwa kutumia idadi maalum ya mabadiliko ya kimsingi, basi Cheo(A) = Cheo(B) .

Uhalali wa taarifa hii unafuata kutokana na sifa za kibainishi cha matrix:

• Wakati wa kupanga upya safu (au safu wima) za matrix, kiashiria chake hubadilisha ishara. Ikiwa ni sawa na sifuri, basi wakati safu (safu) zimepangwa upya, inabaki sawa na sifuri.
• Wakati wa kuzidisha vipengee vyote vya safu mlalo yoyote (safu wima) ya matrix kwa nambari ya kiholela k isipokuwa sifuri, kibainishi cha matrix inayotokana ni sawa na kiambishi cha matrix ya asili iliyozidishwa na k. Ikiwa kiamua cha matrix ya asili ni sawa na sifuri, basi baada ya kuzidisha vitu vyote vya safu au safu yoyote kwa nambari k, kiamua cha matrix inayosababisha pia itakuwa sawa na sifuri.
• Kuongeza kwa vipengele vya safu fulani (safu) ya matrix vipengele vinavyolingana vya safu nyingine (safu) ya matrix, iliyozidishwa na nambari fulani k, haibadilishi kiashiria chake.

Kiini cha njia ya mabadiliko ya kimsingi inajumuisha kupunguza matrix ambayo kiwango chake tunahitaji kupata kwa trapezoidal (katika kesi fulani, hadi ya pembetatu ya juu) kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi.

Kwa nini hili linafanywa? Kiwango cha matrices ya aina hii ni rahisi sana kupata. Ni sawa na idadi ya mistari iliyo na angalau kipengele kimoja kisicho sifuri. Na kwa kuwa kiwango cha matrix haibadilika wakati wa kufanya mabadiliko ya kimsingi, thamani inayotokana itakuwa kiwango cha matrix ya asili.

Tunatoa vielelezo vya matrices, moja ambayo inapaswa kupatikana baada ya mabadiliko. Muonekano wao unategemea utaratibu wa matrix.

Vielelezo hivi ni violezo ambavyo tutabadilisha matrix A.

Hebu tueleze algorithm ya njia.

Hebu tunahitaji kupata cheo cha matrix isiyo ya sifuri A ya utaratibu (p inaweza kuwa sawa na n).

Kwa hiyo,. Wacha tuzidishe vitu vyote vya safu ya kwanza ya matrix A kwa . Katika kesi hii, tunapata matrix sawa, inayoashiria A (1):

Kwa vipengele vya safu ya pili ya matrix A (1) tunaongeza vipengele vinavyolingana vya mstari wa kwanza, kuzidishwa na . Kwa vipengele vya mstari wa tatu tunaongeza vipengele vinavyolingana vya mstari wa kwanza, kuzidishwa na. Na kadhalika hadi mstari wa p-th. Wacha tupate matrix sawa, iashiria A (2):

Ikiwa vitu vyote vya matrix inayosababishwa iko kwenye safu kutoka kwa pili hadi p-th ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix hii ni sawa na moja, na, kwa hivyo, kiwango cha matrix ya asili ni sawa. kwa moja.

Ikiwa katika mistari kutoka kwa pili hadi p-th kuna angalau kipengele kimoja kisicho na sifuri, basi tunaendelea kufanya mabadiliko. Zaidi ya hayo, tunatenda kwa njia sawa, lakini tu na sehemu ya tumbo A (2) iliyowekwa kwenye takwimu.

Ikiwa , basi tunapanga upya safu na (au) safu wima za matrix A (2) ili kipengele "kipya" kiwe kisicho sifuri.

Theorem (kuhusu usahihi wa kuamua safu). Wacha watoto wote wa tumbo A m × n (\mtindo wa kuonyesha A_(m\mara n)) agizo k (\mtindo wa maonyesho k) ni sawa na sifuri ( M k = 0 (\mtindo wa kuonyesha M_(k)=0)) Kisha ∀ M k + 1 = 0 (\mtindo wa kuonyesha \forall M_(k+1)=0), ikiwa zipo. Muundo:/frame

Ufafanuzi unaohusiana

Mali

• Theorem (kuhusu msingi mdogo): Hebu r = rang ⁡ A , M r (\displaystyle r=\jina la opereta (rang) A,M_(r))- msingi mdogo wa matrix A (\mtindo wa kuonyesha A), Kisha:
• Matokeo:
• Theorem (kuhusu kutofautiana kwa kiwango chini ya mabadiliko ya kimsingi): Wacha tuanzishe nukuu ya matiti zilizopatikana kutoka kwa kila mmoja kwa mabadiliko ya kimsingi. Kisha kauli ifuatayo ni kweli: Ikiwa A ∼ B (\mtindo wa kuonyesha A\sim B), basi safu zao ni sawa.
• Nadharia ya Kronecker-Capelli: Mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari ni sawa ikiwa na tu ikiwa kiwango cha matriki yake kuu ni sawa na kiwango cha matrix yake iliyopanuliwa. Hasa:
  • Idadi ya vigezo kuu vya mfumo ni sawa na kiwango cha mfumo.
  • Mfumo thabiti utafafanuliwa (suluhisho lake ni la kipekee) ikiwa kiwango cha mfumo ni sawa na idadi ya vigezo vyake vyote.
• Ukosefu wa usawa wa Sylvester: Kama A Na B matrices ya ukubwa m x n Na n x k, Hiyo

r a n k A B ≥ r a n k A + r a n k B − n (\displaystyle rankAB\geq cheoA+rankB-n)

Hii ni kesi maalum ya ukosefu wa usawa ufuatao.

• Ukosefu wa usawa wa Frobenius: Ikiwa AB, BC, ABC zimefafanuliwa kwa usahihi, basi

r a n k A B C ≥ r a n k A B + r a n k B C − r a n k B (\displaystyle rankABC\geq cheoAB+cheoBC-cheoB)

Mabadiliko ya mstari na kiwango cha matrix

Hebu A (\mtindo wa kuonyesha A)- ukubwa wa tumbo m × n (\mtindo wa kuonyesha m\ nyakati n) juu ya uwanja C (\mtindo wa kuonyesha C)(au R (\mtindo wa kuonyesha R)) Hebu T (\mtindo wa kuonyesha T)- mabadiliko ya mstari sambamba A (\mtindo wa kuonyesha A) kwa msingi wa kawaida; ina maana kwamba T (x) = A x (\mtindo wa kuonyesha T(x)=Ax). Kiwango cha Matrix A (\mtindo wa kuonyesha A) ni kipimo cha safu ya ubadilishaji T (\mtindo wa kuonyesha T).

Mbinu

Kuna njia kadhaa za kupata kiwango cha matrix:

• Mbinu ya mabadiliko ya msingi

Kiwango cha matrix ni sawa na idadi ya safu mlalo zisizo sifuri kwenye matrix baada ya kuipunguza hadi umbo la echelon kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi kwenye safu mlalo za matrix.

• Njia ndogo ya mipaka

Hebu ndani ya tumbo A (\mtindo wa kuonyesha A) yasiyo ya sifuri madogo yamepatikana k (\mtindo wa maonyesho k)- utaratibu M (\mtindo wa kuonyesha M). Wacha tuzingatie watoto wote (k + 1) (\mtindo wa kuonyesha (k+1))-th ili, ikiwa ni pamoja na (edging) madogo M (\mtindo wa kuonyesha M); ikiwa zote ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na k (\mtindo wa maonyesho k). Vinginevyo, kati ya watoto wa mpaka kuna moja isiyo ya sifuri, na utaratibu wote unarudiwa.