Kiwango cha matrix ni sifa muhimu ya nambari. Shida ya kawaida ambayo inahitaji kupata kiwango cha matrix ni kuangalia uthabiti wa mfumo wa milinganyo ya algebraic ya mstari. Katika nakala hii tutatoa wazo la kiwango cha matrix na fikiria njia za kuipata. Ili kuelewa vyema nyenzo, tutachambua kwa undani ufumbuzi wa mifano kadhaa.

Urambazaji wa ukurasa.

Uamuzi wa kiwango cha matrix na dhana muhimu za ziada.

Kabla ya kutamka ufafanuzi wa kiwango cha matrix, unapaswa kuwa na uelewa mzuri wa dhana ya mtoto, na kupata watoto wa matrix kunamaanisha uwezo wa kuhesabu kibainishi. Kwa hivyo, ikiwa ni lazima, tunapendekeza kwamba ukumbuke nadharia ya kifungu, njia za kupata kibainishi cha matrix, na sifa za kiambishi.

Wacha tuchukue matrix A ya mpangilio. Wacha k iwe nambari asilia isiyozidi nambari ndogo zaidi ya m na n, ambayo ni, .

Ufafanuzi.

Mpangilio mdogo wa kth matriki A ni kibainishi cha matrix ya mraba ya mpangilio, inayojumuisha vipengele vya matrix A, ambavyo viko katika safu mlalo za k zilizochaguliwa awali na safuwima k, na mpangilio wa vipengele vya matrix A huhifadhiwa.

Kwa maneno mengine, ikiwa katika tumbo A tunafuta safu (p-k) na safu (n-k), na kutoka kwa vipengele vilivyobaki tunaunda matrix, kuhifadhi mpangilio wa vipengele vya matrix A, kisha kiashiria cha matrix inayosababisha ni ndogo ya mpangilio k wa matrix A.

Wacha tuangalie ufafanuzi wa mtoto wa matrix kwa kutumia mfano.

Fikiria tumbo .

Wacha tuandike watoto kadhaa wa mpangilio wa kwanza wa tumbo hili. Kwa mfano, ikiwa tutachagua safu ya tatu na safu ya pili ya matrix A, basi chaguo letu linalingana na mpangilio mdogo wa mpangilio wa kwanza. . Kwa maneno mengine, ili kupata hii ndogo, tulivuka safu ya kwanza na ya pili, pamoja na safu wima ya kwanza, ya tatu na ya nne kutoka kwa matrix A, na tukaunda kiashiria kutoka kwa kipengele kilichobaki. Ikiwa tunachagua safu ya kwanza na safu ya tatu ya matrix A, basi tunapata ndogo .

Hebu tuonyeshe utaratibu wa kupata watoto wanaozingatiwa wa kwanza
Na .

Kwa hivyo, watoto wa utaratibu wa kwanza wa matrix ni vipengele vya tumbo wenyewe.

Wacha tuonyeshe watoto kadhaa wa mpangilio wa pili. Chagua safu mbili na safu mbili. Kwa mfano, chukua safu ya kwanza na ya pili na safu ya tatu na ya nne. Kwa chaguo hili tunayo mtoto wa pili . Kidogo hiki kinaweza pia kutungwa kwa kufuta safu mlalo ya tatu, safu wima ya kwanza na ya pili kutoka kwa matrix A.

Mdogo mwingine wa mpangilio wa pili wa matrix A ni .

Hebu tuonyeshe ujenzi wa hawa wadogo wa daraja la pili
Na .

Vile vile, watoto wa daraja la tatu la matrix A wanaweza kupatikana. Kwa kuwa kuna safu tatu tu kwenye tumbo A, tunachagua zote. Ikiwa tunachagua safu tatu za kwanza za safu hizi, tunapata ndogo ya utaratibu wa tatu

Inaweza pia kujengwa kwa kuvuka safu ya mwisho ya matrix A.

Mpangilio mwingine wa tatu mdogo ni

iliyopatikana kwa kufuta safu wima ya tatu ya matrix A.

Hapa kuna picha inayoonyesha ujenzi wa watoto hawa wa daraja la tatu
Na .

Kwa matrix A iliyotolewa hakuna watoto wa mpangilio wa juu kuliko wa tatu, kwani.

Je, kuna watoto wangapi wa mpangilio wa kth wa matrix A ya mpangilio?

Idadi ya watoto wa mpangilio k inaweza kuhesabiwa kama , wapi Na - idadi ya mchanganyiko kutoka p hadi k na kutoka n hadi k, kwa mtiririko huo.

Tunawezaje kuunda watoto wote wa mpangilio k wa matrix A ya mpangilio p kwa n?

Tutahitaji nambari nyingi za safu mlalo na nambari nyingi za safu wima. Tunaandika kila kitu mchanganyiko wa vipengele vya p kwa k(zitalingana na safu zilizochaguliwa za matrix A wakati wa kuunda mpangilio mdogo k). Kwa kila mchanganyiko wa nambari za safu, tunaongeza kwa mpangilio mchanganyiko wote wa vitu vya n vya nambari za safu k. Seti hizi za michanganyiko ya nambari za safu mlalo na nambari za safu wima za matrix A zitasaidia kutunga watoto wote wa mpangilio k.

Hebu tuitazame kwa mfano.

Mfano.

Pata watoto wote wa mpangilio wa pili wa matrix.

Suluhisho.

Kwa kuwa mpangilio wa matrix ya asili ni 3 kwa 3, jumla ya watoto wa mpangilio wa pili watakuwa .

Wacha tuandike michanganyiko yote ya nambari za safu 3 hadi 2 za matrix A: 1, 2; 1, 3 na 2, 3. Mchanganyiko wote wa nambari za safu 3 hadi 2 ni 1, 2; 1, 3 na 2, 3.

Wacha tuchukue safu ya kwanza na ya pili ya matrix A. Kwa kuchagua safu ya kwanza na ya pili, safu ya kwanza na ya tatu, safu ya pili na ya tatu kwa safu hizi, tunapata watoto, kwa mtiririko huo.

Kwa safu ya kwanza na ya tatu, na chaguo sawa la safu, tunayo

Inabakia kuongeza safu ya kwanza na ya pili, ya kwanza na ya tatu, ya pili na ya tatu kwa safu ya pili na ya tatu:

Kwa hivyo, watoto wote tisa wa mpangilio wa pili wa matrix A wamepatikana.

Sasa tunaweza kuendelea na kuamua kiwango cha matrix.

Ufafanuzi.

Kiwango cha Matrix ndio mpangilio wa juu zaidi wa mdogo usio na sifuri wa matrix.

Kiwango cha matrix A kinaonyeshwa kama Cheo(A) . Unaweza pia kupata majina Rg(A) au Rang(A) .

Kutoka kwa ufafanuzi wa kiwango cha matrix na matrix madogo, tunaweza kuhitimisha kuwa kiwango cha matrix ya sifuri ni sawa na sifuri, na kiwango cha matrix ya nonzero sio chini ya moja.

Kupata kiwango cha matrix kwa ufafanuzi.

Kwa hivyo, njia ya kwanza ya kupata kiwango cha matrix ni njia ya kuhesabu watoto. Njia hii inategemea kuamua kiwango cha matrix.

Hebu tunahitaji kupata cheo cha matrix A ya utaratibu.

Hebu tueleze kwa ufupi algorithm kutatua tatizo hili kwa kuhesabu watoto.

Ikiwa kuna angalau kipengele kimoja cha matrix ambacho ni tofauti na sifuri, basi kiwango cha matrix ni angalau sawa na moja (kwani kuna mdogo wa utaratibu wa kwanza ambao si sawa na sifuri).

Ifuatayo tunaangalia watoto wa utaratibu wa pili. Ikiwa watoto wote wa mpangilio wa pili ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na moja. Ikiwa kuna angalau moja isiyo ya sifuri ya utaratibu wa pili, basi tunaendelea kuhesabu watoto wa utaratibu wa tatu, na kiwango cha matrix ni angalau sawa na mbili.

Vile vile, ikiwa watoto wote wa daraja la tatu ni sifuri, basi kiwango cha matrix ni mbili. Ikiwa kuna angalau mtoto mmoja wa mpangilio wa tatu isipokuwa sifuri, basi kiwango cha matrix ni angalau tatu, na tunaendelea na kuhesabu watoto wa daraja la nne.

Kumbuka kuwa kiwango cha matrix hakiwezi kuzidi nambari ndogo zaidi ya p na n.

Mfano.

Tafuta kiwango cha matrix .

Suluhisho.

Kwa kuwa matrix sio sifuri, kiwango chake sio chini ya moja.

Ndogo ya utaratibu wa pili ni tofauti na sifuri, kwa hivyo, kiwango cha matrix A ni angalau mbili. Tunaendelea na kuhesabu watoto wa daraja la tatu. Jumla yao mambo.

Watoto wote wa mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, kiwango cha matrix ni mbili.

Jibu:

Cheo(A) = 2 .

Kupata kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya kupakana na watoto.

Kuna njia zingine za kupata kiwango cha matrix ambayo hukuruhusu kupata matokeo na kazi ndogo ya hesabu.

Njia moja kama hiyo ni njia ndogo ya makali.

Hebu tushughulikie dhana ya makali madogo.

Inasemekana kuwa M ok ndogo ya mpangilio wa (k+1) wa matrix A inapakana na M ndogo ya mpangilio k wa matrix A ikiwa matriki inayolingana na M ok ndogo "ina" tumbo inayolingana na ndogo. M.

Kwa maneno mengine, matrix inayolingana na M mdogo anayepakana hupatikana kutoka kwa tumbo inayolingana na ndogo inayopakana ya M ok kwa kufuta vipengele vya safu moja na safu moja.

Kwa mfano, fikiria matrix na kuchukua utaratibu wa pili mdogo. Wacha tuandike watoto wote wanaopakana:

Njia ya watoto wa mpaka inahesabiwa haki na theorem ifuatayo (tunawasilisha uundaji wake bila uthibitisho).

Nadharia.

Ikiwa watoto wote wanaopakana na mpangilio wa kth mdogo wa matrix A ya mpangilio p kwa n ni sawa na sifuri, basi watoto wote wa mpangilio (k+1) wa matrix A ni sawa na sifuri.

Kwa hivyo, ili kupata kiwango cha matrix sio lazima kupitia watoto wote ambao wanapakana vya kutosha. Idadi ya watoto wanaopakana na ndogo ya mpangilio wa kth wa matrix A ya mpangilio, hupatikana kwa fomula. . Kumbuka kwamba hakuna watoto zaidi wanaopakana na mpangilio mdogo wa k-th wa matrix A kuliko kuna (k + 1) watoto wa mpangilio wa matrix A. Kwa hiyo, katika hali nyingi, kutumia njia ya mpaka watoto ni faida zaidi kuliko tu kuhesabu watoto wote.

Wacha tuendelee kutafuta kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya kupakana na watoto. Hebu tueleze kwa ufupi algorithm njia hii.

Ikiwa matrix A ni nonzero, basi kama mtoto wa mpangilio wa kwanza tunachukua kipengele chochote cha matrix A ambacho ni tofauti na sifuri. Wacha tuangalie watoto wake wanaopakana. Ikiwa zote ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na moja. Ikiwa kuna angalau mdogo asiye na sifuri anayepakana (agizo lake ni mbili), basi tunaendelea kuzingatia watoto wake wa mpaka. Ikiwa zote ni sifuri, basi Cheo(A) = 2. Ikiwa angalau mdogo anayepakana sio sifuri (agizo lake ni tatu), basi tunazingatia watoto wake wanaopakana. Nakadhalika. Kama matokeo, Cheo(A) = k ikiwa watoto wote wanaopakana na mpangilio wa (k + 1) wa matriki A ni sawa na sifuri, au Cheo(A) = min(p, n) ikiwa hakuna- sifuri ndogo inayopakana na ndogo ya mpangilio (min( p, n) - 1) .

Wacha tuangalie njia ya kupakana na watoto kupata kiwango cha matrix kwa kutumia mfano.

Mfano.

Tafuta kiwango cha matrix kwa njia ya mpaka watoto.

Suluhisho.

Kwa kuwa kipengee cha 1 1 cha matrix A ni nonzero, tunakichukulia kama kitu kidogo cha mpangilio wa kwanza. Wacha tuanze kutafuta mtoto anayepakana ambaye ni tofauti na sifuri:

Makali madogo ya mpangilio wa pili, tofauti na sifuri, hupatikana. Wacha tuangalie watoto wake wanaopakana (wao mambo):

Watoto wote wanaopakana na mdogo wa mpangilio wa pili ni sawa na sifuri, kwa hiyo, cheo cha matrix A ni sawa na mbili.

Jibu:

Cheo(A) = 2 .

Mfano.

Tafuta kiwango cha matrix kutumia watoto wanaopakana.

Suluhisho.

Kama mtu ambaye sio sifuri mdogo wa agizo la kwanza, tunachukua kipengee 1 1 = 1 cha matrix A. Kidogo kinachozunguka cha agizo la pili si sawa na sifuri. Mtoto huyu mdogo amepakana na mtoto wa daraja la tatu
. Kwa kuwa si sawa na sifuri na hakuna hata mdogo anayepakana nayo, kiwango cha matrix A ni sawa na tatu.

Jibu:

Cheo(A) = 3 .

Kupata kiwango kwa kutumia mabadiliko ya msingi ya matrix (Njia ya Gauss).

Wacha tuangalie njia nyingine ya kupata kiwango cha matrix.

Mabadiliko yafuatayo ya matrix yanaitwa msingi:

• kupanga upya safu (au nguzo) za matrix;
• kuzidisha vipengele vyote vya safu yoyote (safu) ya matrix kwa nambari ya kiholela k, tofauti na sifuri;
• kuongeza kwa vipengele vya safu (safu) vipengele vinavyolingana vya safu nyingine (safu) ya matrix, ikizidishwa na nambari ya kiholela k.

Matrix B inaitwa sawa na matrix A, ikiwa B inapatikana kutoka kwa A kwa kutumia idadi maalum ya mabadiliko ya kimsingi. Usawa wa matrices unaonyeshwa na ishara "~", ambayo ni, iliyoandikwa A ~ B.

Kupata kiwango cha matriki kwa kutumia mabadiliko ya msingi ya matriki kunatokana na taarifa: ikiwa matriki B hupatikana kutoka kwa matriki A kwa kutumia idadi maalum ya mabadiliko ya kimsingi, basi Cheo(A) = Cheo(B) .

Uhalali wa taarifa hii unafuata kutokana na sifa za kibainishi cha matrix:

• Wakati wa kupanga upya safu (au safu wima) za matrix, kiashiria chake hubadilisha ishara. Ikiwa ni sawa na sifuri, basi wakati safu (safu) zimepangwa upya, inabaki sawa na sifuri.
• Wakati wa kuzidisha vipengee vyote vya safu mlalo yoyote (safu wima) ya matrix kwa nambari ya kiholela k isipokuwa sifuri, kibainishi cha matrix inayotokana ni sawa na kiambishi cha matrix ya asili iliyozidishwa na k. Ikiwa kiamua cha matrix ya asili ni sawa na sifuri, basi baada ya kuzidisha vitu vyote vya safu au safu yoyote kwa nambari k, kiamua cha matrix inayosababisha pia itakuwa sawa na sifuri.
• Kuongeza kwa vipengele vya safu fulani (safu) ya matrix vipengele vinavyolingana vya safu nyingine (safu) ya matrix, iliyozidishwa na nambari fulani k, haibadilishi kiashiria chake.

Kiini cha njia ya mabadiliko ya kimsingi inajumuisha kupunguza matrix ambayo kiwango chake tunahitaji kupata kwa trapezoidal (katika kesi fulani, hadi ya pembetatu ya juu) kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi.

Kwa nini hili linafanywa? Kiwango cha matrices ya aina hii ni rahisi sana kupata. Ni sawa na idadi ya mistari iliyo na angalau kipengele kimoja kisicho sifuri. Na kwa kuwa kiwango cha matrix haibadilika wakati wa kufanya mabadiliko ya kimsingi, thamani inayotokana itakuwa kiwango cha matrix ya asili.

Tunatoa vielelezo vya matrices, moja ambayo inapaswa kupatikana baada ya mabadiliko. Muonekano wao unategemea utaratibu wa matrix.

Vielelezo hivi ni violezo ambavyo tutabadilisha matrix A.

Hebu tueleze algorithm ya njia.

Hebu tunahitaji kupata cheo cha matrix isiyo ya sifuri A ya utaratibu (p inaweza kuwa sawa na n).

Kwa hiyo,. Wacha tuzidishe vitu vyote vya safu ya kwanza ya matrix A kwa . Katika kesi hii, tunapata matrix sawa, inayoashiria A (1):

Kwa vipengele vya safu ya pili ya matrix A (1) tunaongeza vipengele vinavyolingana vya mstari wa kwanza, kuzidishwa na . Kwa vipengele vya mstari wa tatu tunaongeza vipengele vinavyolingana vya mstari wa kwanza, kuzidishwa na. Na kadhalika hadi mstari wa p-th. Wacha tupate matrix sawa, iashiria A (2):

Ikiwa vitu vyote vya matrix inayosababishwa iko kwenye safu kutoka kwa pili hadi p-th ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix hii ni sawa na moja, na, kwa hivyo, kiwango cha matrix ya asili ni sawa. kwa moja.

Ikiwa katika mistari kutoka kwa pili hadi p-th kuna angalau kipengele kimoja kisicho na sifuri, basi tunaendelea kufanya mabadiliko. Zaidi ya hayo, tunatenda kwa njia sawa, lakini tu na sehemu ya tumbo A (2) iliyowekwa kwenye takwimu.

Ikiwa , basi tunapanga upya safu na (au) safu wima za matrix A (2) ili kipengele "kipya" kiwe kisicho sifuri.

Ili kufanya kazi na dhana ya cheo cha matrix, tutahitaji taarifa kutoka kwa mada "Algebraic inayosaidia na watoto. Aina za watoto na za algebraic." Kwanza kabisa, hii inahusu neno "matrix madogo", ​​kwa kuwa tutaamua kiwango cha matrix kwa usahihi kupitia watoto.

Kiwango cha Matrix ni utaratibu wa juu wa watoto wake, kati ya ambayo kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri.

Matrices sawa- matrices ambao safu zao ni sawa na kila mmoja.

Hebu tueleze kwa undani zaidi. Tuseme kwamba kati ya watoto wa daraja la pili kuna angalau moja ambayo ni tofauti na sifuri. Na watoto wote ambao utaratibu wao ni wa juu kuliko wawili ni sawa na sifuri. Hitimisho: kiwango cha matrix ni 2 au, kwa mfano, kati ya watoto wa agizo la kumi kuna angalau moja ambayo sio sawa na sifuri. Na watoto wote ambao utaratibu wao ni wa juu kuliko 10 ni sawa na sifuri. Hitimisho: kiwango cha matrix ni 10.

Kiwango cha matrix $A$ kinaonyeshwa kama ifuatavyo: $\rang A$ au $r(A)$. Kiwango cha matrix ya sifuri $O$ inachukuliwa kuwa sifuri, $\rang O=0$. Acha nikukumbushe kwamba kuunda matrix madogo unahitaji kuvuka safu na safu, lakini haiwezekani kuvuka safu na safu zaidi kuliko matrix yenyewe inayo. Kwa mfano, ikiwa matrix $F$ ina ukubwa $5\mara 4$ (yaani ina safu mlalo 5 na safu wima 4), basi mpangilio wa juu wa watoto wake ni nne. Haitawezekana tena kuunda watoto wa utaratibu wa tano, kwa kuwa watahitaji safu 5 (na tuna 4 tu). Hii ina maana kwamba cheo cha matrix $ F $ haiwezi kuwa zaidi ya nne, i.e. $\rang F≤4$.

Katika hali ya jumla zaidi, hapo juu ina maana kwamba ikiwa matrix ina safu $m$ na $n$ safuwima, basi cheo chake hakiwezi kuzidi ndogo zaidi ya $m$ na $n$, i.e. $\rang A≤\min(m,n)$.

Kimsingi, kutoka kwa ufafanuzi wa kiwango hufuata njia ya kuipata. Mchakato wa kupata kiwango cha matrix, kwa ufafanuzi, unaweza kuwakilishwa kimkakati kama ifuatavyo:

Acha nieleze mchoro huu kwa undani zaidi. Hebu tuanze hoja tangu mwanzo, i.e. kutoka kwa agizo la kwanza la watoto wa matrix $A$.

1. Ikiwa watoto wote wa mpangilio wa kwanza (yaani, vipengele vya matrix $A$) ni sawa na sifuri, basi $\rang A=0$. Ikiwa kati ya watoto wa kwanza kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, basi $\rang A≥ 1$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa mpangilio wa pili.
2. Ikiwa watoto wote wa mpangilio wa pili ni sawa na sifuri, basi $\rang A=1$. Ikiwa kati ya watoto wa pili kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, basi $\rang A≥ 2$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa mpangilio wa tatu.
3. Ikiwa watoto wote wa mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri, basi $\rang A=2$. Ikiwa kati ya watoto wa daraja la tatu kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, basi $\rang A≥ 3$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa daraja la nne.
4. Ikiwa watoto wote wa daraja la nne ni sawa na sifuri, basi $\rang A=3$. Ikiwa kati ya watoto wa daraja la nne kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, basi $\rang A≥ 4$. Tunaendelea na kuangalia watoto wa daraja la tano na kadhalika.

Nini kinatungoja mwishoni mwa utaratibu huu? Inawezekana kwamba kati ya watoto wa utaratibu wa kth kutakuwa na angalau moja ambayo ni tofauti na sifuri, na watoto wote (k +1) wa utaratibu watakuwa sawa na sifuri. Hii ina maana kwamba k ni utaratibu wa juu wa watoto, kati ya ambayo kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, i.e. cheo kitakuwa sawa na k. Kunaweza kuwa na hali tofauti: kati ya watoto wa utaratibu wa kth kutakuwa na angalau moja ambayo si sawa na sifuri, lakini haitawezekana tena kuunda (k + 1) kuagiza watoto. Katika kesi hii, kiwango cha matrix pia ni sawa na k. Kwa kifupi, mpangilio wa nambari ya mwisho isiyo ya sifuri iliyotungwa itakuwa sawa na kiwango cha matrix.

Wacha tuendelee kwenye mifano ambayo mchakato wa kupata kiwango cha matrix, kwa ufafanuzi, utaonyeshwa wazi. Nisisitize tena kwamba katika mifano ya mada hii tutakuta cheo cha matrices kwa kutumia ufafanuzi wa cheo tu. Njia zingine (kuhesabu kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya kupakana na watoto, kuhesabu kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi) zinajadiliwa katika mada zifuatazo.

Kwa njia, si lazima hata kidogo kuanza utaratibu wa kupata cheo na watoto wa utaratibu mdogo, kama ilivyofanywa katika mifano Nambari 1 na No. Unaweza kwenda mara moja kwa watoto wa maagizo ya juu (angalia mfano No. 3).

Mfano Nambari 1

Pata kiwango cha matrix $A=\left(\anza(safu)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \mwisho(safu) \kulia)$.

Matrix hii ina ukubwa wa $3\mara 5$, i.e. ina safu tatu na safu wima tano. Kati ya nambari 3 na 5, kiwango cha chini ni 3, kwa hivyo kiwango cha matrix $ A $ sio zaidi ya 3, i.e. $\rang A≤ 3$. Na usawa huu ni dhahiri, kwa kuwa hatutaweza tena kuunda watoto wa nne - wanahitaji safu 4, na tuna 3 tu. Hebu tuendelee moja kwa moja kwenye mchakato wa kutafuta cheo cha matrix iliyotolewa.

Miongoni mwa watoto wa utaratibu wa kwanza (yaani kati ya vipengele vya matrix $ A $) kuna zisizo za sifuri. Kwa mfano, 5, -3, 2, 7. Kwa ujumla, hatuna nia ya jumla ya mambo yasiyo ya sifuri. Kuna angalau kipengele kimoja kisicho sifuri - na hiyo inatosha. Kwa kuwa kati ya watoto wa kwanza kuna angalau moja isiyo ya sifuri, tunahitimisha kuwa $\rang A≥ 1$ na kuendelea na kuangalia watoto wa pili.

Wacha tuanze kuchunguza watoto wa mpangilio wa pili. Kwa mfano, katika makutano ya safu 1, Nambari ya 2 na safu wima 1, Nambari 4 kuna vipengele vya vidogo vifuatavyo: $\left|\anza(safu)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \mwisho(safu) \kulia|. Kwa kiashiria hiki, vipengele vyote vya safu ya pili ni sawa na sifuri, kwa hiyo kiashiria yenyewe ni sawa na sifuri, i.e. $\left|\anza(safu)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(safu) \right|=0$ (angalia sifa Na. 3 katika mada ya sifa za vibainishi). Au unaweza kukokotoa kibainishi hiki kwa kutumia fomula Nambari 1 kutoka kwa sehemu ya kukokotoa vibainishi vya mpangilio wa pili na wa tatu:

$$ \kushoto|\anza(safu)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \mwisho(safu) \kulia|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Mtoto wa kwanza wa daraja la pili tuliyemjaribu aligeuka kuwa sawa na sifuri. Hii ina maana gani? Kuhusu hitaji la kuangalia zaidi watoto wa mpangilio wa pili. Aidha wote watageuka kuwa sifuri (na kisha cheo kitakuwa sawa na 1), au kati yao kutakuwa na angalau mdogo mmoja ambaye ni tofauti na sifuri. Hebu jaribu kufanya chaguo bora zaidi kwa kuandika mdogo wa pili, vipengele ambavyo viko kwenye makutano ya safu Nambari 1, Nambari ya 2 na safu No. safu)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \mwisho(safu) \kulia|$. Wacha tupate dhamana ya mtoto huyu wa mpangilio wa pili:

$$ \left|\anza(safu)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \mwisho(safu) \kulia|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Mtoto huyu si sawa na sifuri. Hitimisho: kati ya watoto wa pili kuna angalau moja isiyo ya sifuri. Kwa hivyo $\rang A≥ 2$. Tunahitaji kuendelea na masomo ya watoto wa daraja la tatu.

Ikiwa tutachagua safu nambari 2 au safu nambari 4 kuunda watoto wa mpangilio wa tatu, basi watoto kama hao watakuwa sawa na sifuri (kwani watakuwa na safu wima sifuri). Inabakia kuangalia moja tu ndogo ya tatu, vipengele ambavyo viko kwenye makutano ya nguzo No 1, No. 3, No. 5 na safu No. Wacha tuandike hii ndogo na tupate thamani yake:

$$ \kushoto|\anza(safu)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \mwisho(safu) \kulia|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Kwa hivyo, watoto wote wa utaratibu wa tatu ni sawa na sifuri. Kidogo cha mwisho kisicho sifuri tulichokusanya kilikuwa cha mpangilio wa pili. Hitimisho: utaratibu wa juu wa watoto, kati ya ambayo kuna angalau moja isiyo ya sifuri, ni 2. Kwa hiyo, $\rang A=2$.

Jibu: $\rang A=2$.

Mfano Nambari 2

Pata safu ya matrix $A=\left(\anza(safu) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \mwisho(safu) \kulia)$.

Tunayo tumbo la mraba la mpangilio wa nne. Hebu tuangalie mara moja kwamba cheo cha matrix hii haizidi 4, i.e. $\rang A≤ 4$. Wacha tuanze kutafuta kiwango cha matrix.

Miongoni mwa watoto wa utaratibu wa kwanza (yaani, kati ya vipengele vya matrix $ A $) kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, kwa hiyo $\rang A≥ 1$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa mpangilio wa pili. Kwa mfano, katika makutano ya safu nambari 2, Nambari 3 na safu nambari 1 na nambari 2, tunapata ndogo ya mpangilio wa pili: $\left| \anza(safu) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \mwisho(safu) \kulia|$. Wacha tuihesabu:

$$\kushoto| \anza(safu) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \mwisho(safu) \kulia|=0-10=-10. $$

Miongoni mwa watoto wa daraja la pili kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, hivyo $\rang A≥ 2$.

Wacha tuendelee kwa watoto wa mpangilio wa tatu. Hebu tupate, kwa mfano, mdogo ambaye vipengele vyake viko kwenye makutano ya safu No. 1, No. 3, No.

$$\kushoto | \anza(safu) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \mwisho(safu) \kulia|=105-105=0. $$

Kwa kuwa mdogo huyu wa tatu aligeuka kuwa sawa na sifuri, ni muhimu kuchunguza mdogo mwingine wa tatu. Ama zote zitakuwa sawa na sifuri (basi cheo kitakuwa sawa na 2), au kati yao kutakuwa na angalau moja ambayo si sawa na sifuri (kisha tutaanza kusoma watoto wa daraja la nne). Wacha tuchunguze mtoto wa mpangilio wa tatu, vitu ambavyo viko kwenye makutano ya safu nambari 2, nambari 3, nambari 4 na safu 2, nambari 3, nambari 4:

$$\kushoto| \anza(safu) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \mwisho(safu) \kulia|=-28. $$

Miongoni mwa watoto wa daraja la tatu kuna angalau moja isiyo ya sifuri, hivyo $\rang A≥ 3$. Wacha tuendelee kuangalia watoto wa daraja la nne.

Mtoto yeyote wa mpangilio wa nne yuko kwenye makutano ya safu mlalo nne na safu wima nne za matrix $A$. Kwa maneno mengine, mtoto wa mpangilio wa nne ndiye kiamuaji cha matrix $A$, kwani matrix hii ina safu 4 na safu wima 4. Kiamuzi cha matrix hii kilihesabiwa kwa mfano Nambari 2 ya mada "Kupunguza mpangilio wa kibainishi katika safu (safu)", kwa hivyo hebu tuchukue matokeo yaliyokamilishwa.

$$\kushoto| \anza(safu) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \mwisho (safu)\kulia|=86. $$

Kwa hivyo mpangilio mdogo wa nne sio sawa na sifuri. Hatuwezi tena kuunda watoto wa mpangilio wa tano. Hitimisho: utaratibu wa juu wa watoto, kati ya ambayo kuna angalau moja isiyo ya sifuri, ni 4. Matokeo: $\rang A=4$.

Jibu: $\rang A=4$.

Mfano Nambari 3

Tafuta kiwango cha matrix $A=\left(\anza(safu) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \mwisho(safu) \kulia)$.

Hebu tukumbuke mara moja kwamba matrix hii ina safu 3 na safu wima 4, kwa hivyo $\rang A≤ 3$. Katika mifano iliyopita, tulianza mchakato wa kutafuta cheo kwa kuzingatia watoto wa utaratibu mdogo (wa kwanza). Hapa tutajaribu mara moja kuangalia watoto wa utaratibu wa juu zaidi. Kwa matrix $A$ hawa ni watoto wa mpangilio wa tatu. Wacha tuchunguze mtoto wa mpangilio wa tatu, vitu ambavyo viko kwenye makutano ya safu nambari 1, nambari 2, nambari 3 na safu nambari 2, nambari 3, nambari 4:

$$\kushoto| \anza(safu) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \mwisho(safu) \kulia|=-8-60-20=-88. $$

Kwa hiyo, utaratibu wa juu wa watoto, kati ya ambayo kuna angalau moja ambayo si sawa na sifuri, ni 3. Kwa hiyo, cheo cha matrix ni 3, i.e. $\rang A=3$.

Jibu: $\rang A=3$.

Kwa ujumla, kupata kiwango cha tumbo kwa ufafanuzi ni, kwa ujumla, kazi kubwa ya kazi. Kwa mfano, matrix ndogo kiasi ya ukubwa $5\mara 4$ ina watoto 60 wa mpangilio wa pili. Na hata ikiwa 59 kati yao ni sawa na sifuri, basi mtoto wa 60 anaweza kugeuka kuwa sio sifuri. Kisha itabidi usome watoto wa mpangilio wa tatu, ambayo tumbo hili lina vipande 40. Kawaida wao hujaribu kutumia njia zisizo ngumu, kama vile njia ya kupakana na watoto au njia ya mabadiliko sawa.

Pia tutazingatia matumizi muhimu ya vitendo ya mada: utafiti wa mfumo wa milinganyo ya mstari kwa uthabiti.

Je! ni daraja gani la matrix?

Epigraph ya ucheshi ya kifungu hicho ina ukweli mwingi. Kawaida tunahusisha neno "cheo" na aina fulani ya uongozi, mara nyingi na ngazi ya kazi. Maarifa zaidi, uzoefu, uwezo, uhusiano, nk mtu anayo. - nafasi yake ya juu na anuwai ya fursa. Katika maneno ya vijana, cheo kinarejelea kiwango cha jumla cha "mwinuko."

Na ndugu zetu wa hisabati wanaishi kwa kanuni sawa. Hebu tuchukue wachache nasibu kwa matembezi matrices sifuri:

Hebu fikiria juu yake, ikiwa katika matrix sufuri zote, basi tunaweza kuzungumzia cheo gani? Kila mtu anafahamu usemi usio rasmi "sufuri kamili". Katika jamii ya matrices kila kitu ni sawa:

Cheo cha matrix ya sifurisaizi yoyote ni sawa na sifuri.

Kumbuka : Matrix ya sifuri inaonyeshwa na herufi ya Kigiriki "theta"

Ili kuelewa vizuri kiwango cha matrix, hapa nitatumia vifaa kusaidia jiometri ya uchambuzi. Fikiria sifuri vekta nafasi yetu ya tatu-dimensional, ambayo haina kuweka mwelekeo maalum na haina maana kwa ajili ya kujenga msingi wa ushirika. Kutoka kwa mtazamo wa algebraic, kuratibu za vekta hii zimeandikwa ndani tumbo"moja kwa tatu" na mantiki (kwa maana ya kijiometri iliyoonyeshwa) kudhani kuwa kiwango cha matrix hii ni sifuri.

Sasa tuangalie machache isiyo ya sifuri vekta za safu Na vekta za safu:


Kila mfano una angalau kipengele kimoja kisicho sifuri, na hiyo ni kitu!

Cheo cha vekta yoyote ya safu mlalo isiyo sifuri (vekta ya safu wima) ni sawa na moja

Na kwa ujumla - ikiwa kwenye tumbo saizi za kiholela kuna angalau kipengele kimoja kisicho na sifuri, basi cheo chake si kidogo vitengo.

Vekta za safu mlalo za aljebra na vekta za safu wima ni dhahania kwa kiwango fulani, kwa hivyo hebu tugeukie tena uhusiano wa kijiometri. Isiyo ya sifuri vekta huweka mwelekeo wa uhakika katika nafasi na inafaa kwa ajili ya kujenga msingi, kwa hivyo kiwango cha matrix kitazingatiwa sawa na moja.

Taarifa za kinadharia : katika algebra ya mstari, vekta ni kipengele cha nafasi ya vekta (iliyofafanuliwa kupitia axioms 8), ambayo, hasa, inaweza kuwakilisha safu iliyopangwa (au safu) ya nambari halisi na uendeshaji wa kuongeza na kuzidisha kwa nambari halisi iliyofafanuliwa. kwa ajili yao. Maelezo zaidi kuhusu vector yanaweza kupatikana katika makala Mabadiliko ya mstari.

tegemezi kwa mstari(iliyoonyeshwa kupitia kila mmoja). Kutoka kwa mtazamo wa kijiometri, mstari wa pili una kuratibu za vector ya collinear , ambayo haikuendeleza jambo hata kidogo katika ujenzi msingi wa pande tatu, kuwa katika maana hii superfluous. Kwa hivyo, kiwango cha matrix hii pia ni sawa na moja.

Wacha tuandike tena kuratibu za veta kwenye safu wima ( transpose matrix):

Nini kimebadilika katika suala la cheo? Hakuna kitu. Safu ni sawia, ambayo ina maana kwamba cheo ni sawa na moja. Kwa njia, kumbuka kuwa mistari yote mitatu pia ni sawia. Wanaweza kutambuliwa na kuratibu tatu veta za collinear za ndege, ambayo kimoja tu muhimu kwa ajili ya kujenga msingi "gorofa". Na hii inaendana kabisa na maana yetu ya kijiometri ya cheo.

Taarifa muhimu inafuata kutoka kwa mfano hapo juu:

Kiwango cha matrix katika safu ni sawa na kiwango cha matrix katika safu wima. Tayari nilitaja hili kidogo katika somo kuhusu ufanisi njia za kuhesabu kiashiria.

Kumbuka : utegemezi wa mstari wa safu unamaanisha utegemezi wa safu wima (na kinyume chake). Lakini ili kuokoa wakati, na nje ya mazoea, karibu kila wakati nitazungumza juu ya utegemezi wa mstari wa kamba.

Wacha tuendelee kumfundisha mnyama wetu mpendwa. Wacha tuongeze kuratibu za vekta nyingine ya collinear kwenye tumbo kwenye safu ya tatu :

Je, alitusaidia katika kujenga msingi wa pande tatu? Bila shaka hapana. Vekta zote tatu hutembea na kurudi kwenye njia ile ile, na kiwango cha matrix ni sawa na moja. Unaweza kuchukua veta nyingi za collinear kama unavyopenda, sema, 100, weka kuratibu zao kwenye tumbo la "mia moja kwa tatu", na kiwango cha skyscraper kama hiyo bado kitabaki moja.

Wacha tufahamiane na matrix, safu ambazo kujitegemea linearly. Jozi ya vectors zisizo za collinear zinafaa kwa ajili ya kujenga msingi wa tatu-dimensional. Kiwango cha matrix hii ni mbili.

Je! ni daraja gani la matrix? Mistari haionekani kuwa sawia ... kwa hiyo, kwa nadharia, ni tatu. Walakini, kiwango cha matrix hii pia ni mbili. Niliongeza mistari miwili ya kwanza na kuandika matokeo chini, i.e. walionyesha linearly mstari wa tatu kupitia mbili za kwanza. Kijiometri, safu za matrix zinahusiana na kuratibu za tatu vekta za coplanar, na kati ya hizi tatu kuna jozi ya wandugu wasio wa collinear.

Kama unavyoona, utegemezi wa mstari katika matrix inayozingatiwa sio dhahiri, na leo tutajifunza jinsi ya kuileta wazi.

Nadhani watu wengi wanaweza kukisia kiwango cha matrix ni nini!

Fikiria matrix ambayo safu zake kujitegemea linearly. Fomu ya Vectors msingi wa ushirika, na kiwango cha matrix hii ni tatu.

Kama unavyojua, vekta yoyote ya nne, ya tano, ya kumi ya nafasi ya tatu-dimensional itaonyeshwa kwa mstari kulingana na vekta za msingi. Kwa hivyo, ikiwa unaongeza idadi yoyote ya safu kwenye tumbo, basi kiwango chake bado itakuwa sawa na tatu.

Hoja kama hiyo inaweza kufanywa kwa matrices ya saizi kubwa (bila shaka, bila maana yoyote ya kijiometri).

Ufafanuzi : Kiwango cha matrix ni idadi ya juu zaidi ya safu mlalo zinazojitegemea. Au: Kiwango cha matrix ni idadi ya juu zaidi ya safu wima zinazojitegemea. Ndiyo, idadi yao daima ni sawa.

Mwongozo muhimu wa vitendo pia unafuata kutoka hapo juu: cheo cha matrix haizidi kipimo chake cha chini. Kwa mfano, katika tumbo safu nne na nguzo tano. Kipimo cha chini ni nne, kwa hivyo, kiwango cha matrix hii hakika haitazidi 4.

Uteuzi: katika nadharia na mazoezi ya ulimwengu hakuna kiwango kinachokubalika kwa ujumla cha kuteua kiwango cha matrix mara nyingi unaweza kupata: - kama wanasema, Mwingereza anaandika jambo moja, Mjerumani lingine. Kwa hivyo, kwa kuzingatia utani maarufu juu ya kuzimu ya Amerika na Urusi, wacha tuonyeshe kiwango cha matrix na neno la asili. Kwa mfano: . Na ikiwa matrix "haina jina", ambayo kuna mengi, basi unaweza kuandika tu.

Jinsi ya kupata kiwango cha matrix kwa kutumia watoto?

Ikiwa bibi yangu alikuwa na safu ya tano kwenye tumbo lake, basi angepaswa kuhesabu mwingine mdogo wa utaratibu wa 4 ("bluu", "raspberry" + safu ya 5).

Hitimisho: mpangilio wa juu wa mtoto asiye na sifuri ni tatu, ambayo inamaanisha.

Labda sio kila mtu ameelewa kikamilifu kifungu hiki: mdogo wa agizo la 4 ni sawa na sifuri, lakini kati ya watoto wa agizo la 3 kulikuwa na isiyo ya sifuri - kwa hivyo agizo la juu. isiyo ya sifuri ndogo na sawa na tatu.

Swali linatokea, kwa nini usihesabu mara moja kiashiria? Kweli, kwanza, katika kazi nyingi matrix sio mraba, na pili, hata ikiwa utapata dhamana isiyo ya sifuri, kazi hiyo itakataliwa, kwani kawaida inajumuisha suluhisho la "chini-juu". Na katika mfano unaozingatiwa, kiashiria cha sifuri cha agizo la 4 kinaturuhusu kusema kwamba kiwango cha matrix ni chini ya nne tu.

Lazima nikiri, nilikuja na tatizo nililolichambua mwenyewe ili kueleza vizuri mbinu ya kuwapakana watoto wadogo. Katika mazoezi halisi, kila kitu ni rahisi zaidi:

Mfano 2

Tafuta kiwango cha matrix kwa kutumia mbinu ya watoto wadogo

Suluhu na jibu ni mwisho wa somo.

Je, algorithm inafanya kazi kwa kasi lini? Wacha turudi kwenye tumbo lile lile la nne kwa nne. . Kwa wazi, suluhisho litakuwa fupi zaidi katika kesi ya "nzuri" watoto wa kona:

Na, ikiwa , basi , vinginevyo -.

Kufikiri sio dhahania kabisa - kuna mifano mingi ambapo jambo zima ni mdogo tu kwa watoto wa angular.

Walakini, katika hali zingine njia nyingine ni nzuri zaidi na bora:

Jinsi ya kupata kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya Gaussian?

Aya imekusudiwa kwa wasomaji ambao tayari wanaifahamu Njia ya Gaussian na zaidi au chini ya got mikono yao juu yake.

Kwa mtazamo wa kiufundi, njia sio riwaya:

1) kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tunapunguza matrix kwa fomu ya hatua kwa hatua;

2) kiwango cha matrix ni sawa na idadi ya safu.

Ni wazi kabisa kwamba kutumia njia ya Gaussian haibadilishi kiwango cha matrix, na kiini hapa ni rahisi sana: kulingana na algorithm, wakati wa mabadiliko ya kimsingi, safu zote zisizo za lazima za sawia (tegemezi za mstari) zinatambuliwa na kuondolewa, na kusababisha "mabaki kavu" - idadi kubwa ya safu zinazojitegemea.

Wacha tubadilishe matrix ya zamani inayojulikana na kuratibu za veta tatu za collinear:

(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa tatu.

(2) Mistari sifuri huondolewa.

Kwa hivyo, kuna mstari mmoja uliobaki, kwa hivyo. Bila kusema, hii ni haraka sana kuliko kuhesabu watoto sifuri tisa wa agizo la 2 na kisha tu kutoa hitimisho.

Nakukumbusha hilo lenyewe matrix ya algebraic hakuna kinachoweza kubadilishwa, na mabadiliko yanafanywa tu kwa madhumuni ya kuamua cheo! Kwa njia, hebu tukae tena juu ya swali, kwa nini sivyo? Matrix ya chanzo hubeba taarifa ambazo kimsingi ni tofauti na taarifa za matriki na safu mlalo. Katika baadhi ya mifano ya hisabati (hakuna kuzidisha), tofauti katika nambari moja inaweza kuwa suala la maisha na kifo. ...Niliwakumbuka walimu wa hisabati wa shule za msingi na upili ambao walipunguza alama bila huruma kwa pointi 1-2 kwa kukosa usahihi au kupotoka kutoka kwa algoriti. Na ilikuwa ya kukatisha tamaa sana wakati, badala ya "A" inayoonekana kuhakikishiwa, ikawa "nzuri" au mbaya zaidi. Uelewa ulikuja baadaye - jinsi nyingine ya kukabidhi satelaiti, vichwa vya nyuklia na mimea ya nguvu kwa mtu? Lakini usijali, sifanyi kazi katika maeneo haya =)

Wacha tuendelee kwenye kazi zenye maana zaidi, ambapo, kati ya mambo mengine, tutafahamiana na mbinu muhimu za hesabu. Njia ya Gauss:

Mfano 3

Pata kiwango cha matrix kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi

Suluhisho: matrix ya "nne kwa tano" imetolewa, ambayo ina maana kwamba cheo chake hakika si zaidi ya 4.

Katika safu ya kwanza, hakuna 1 au -1, kwa hiyo, vitendo vya ziada vinahitajika ili kupata angalau kitengo kimoja. Wakati wote wa uwepo wa wavuti, nimeulizwa swali mara kwa mara: "Inawezekana kupanga upya safu wakati wa mabadiliko ya kimsingi?" Hapa, tulipanga upya safu ya kwanza na ya pili, na kila kitu ni sawa! Katika kazi nyingi ambapo hutumiwa Njia ya Gaussian, safu wima zinaweza kupangwa upya. LAKINI SI HITAJIKA. Na uhakika sio hata katika machafuko iwezekanavyo na vigezo, uhakika ni kwamba katika kozi ya classical ya hisabati ya juu hatua hii haizingatiwi kwa jadi, kwa hivyo nod kama hiyo itaangaliwa kwa upotovu sana (au hata kulazimishwa kufanya upya kila kitu).

Jambo la pili linahusu idadi. Unapofanya uamuzi wako, ni muhimu kutumia kanuni ifuatayo ya kidole gumba: mabadiliko ya kimsingi yanapaswa, ikiwezekana, kupunguza nambari za matrix. Baada ya yote, ni rahisi zaidi kufanya kazi na moja, mbili, tatu kuliko, kwa mfano, na 23, 45 na 97. Na hatua ya kwanza inalenga si tu kupata moja katika safu ya kwanza, lakini pia katika kuondoa namba. 7 na 11.

Kwanza suluhisho kamili, kisha maoni:

(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -3. Na kwa lundo: mstari wa 1 uliongezwa kwenye mstari wa 4, ukizidishwa na -1.

(2) Mistari mitatu ya mwisho ni sawia. Mstari wa 3 na wa 4 uliondolewa, mstari wa pili ulihamishwa hadi nafasi ya kwanza.

(3) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -3.

Matrix iliyopunguzwa kwa fomu ya echelon ina safu mbili.

Jibu:

Sasa ni zamu yako kutesa tumbo la nne kwa nne:

Mfano 4

Tafuta kiwango cha matrix kwa kutumia mbinu ya Gaussian

Nakukumbusha hilo Njia ya Gaussian haimaanishi ugumu usio na utata, na uamuzi wako utatofautiana na uamuzi wangu. Mfano mfupi wa kazi mwishoni mwa somo.

Nitumie njia gani kupata kiwango cha matrix?

Katika mazoezi, mara nyingi haijaelezwa kabisa ni njia gani inapaswa kutumika kupata cheo. Katika hali kama hiyo, hali inapaswa kuchambuliwa - kwa matiti fulani ni busara zaidi kusuluhisha kupitia watoto, wakati kwa wengine ni faida zaidi kutumia mabadiliko ya kimsingi:

Mfano 5

Tafuta kiwango cha matrix

Suluhisho: njia ya kwanza kwa namna fulani hupotea mara moja =)

Juu kidogo, nilishauri nisiguse nguzo za matrix, lakini kunapokuwa na safu ya sifuri, au safu wima sawia/sanjari, basi inafaa kukatwa:

(1) Safu ya tano ni sifuri, iondoe kwenye tumbo. Kwa hivyo, kiwango cha matrix sio zaidi ya nne. Mstari wa kwanza ulizidishwa na -1. Hii ni sehemu nyingine ya saini ya njia ya Gauss, ambayo inabadilisha hatua ifuatayo kuwa matembezi ya kupendeza:

(2) Kwa mistari yote, kuanzia ya pili, mstari wa kwanza uliongezwa.

(3) Mstari wa kwanza ulizidishwa na -1, mstari wa tatu uligawanywa na 2, mstari wa nne uligawanywa na 3. Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa tano, ulizidishwa na -1.

(4) Mstari wa tatu uliongezwa kwenye mstari wa tano, ukizidishwa na -2.

(5) Mistari miwili ya mwisho ni sawia, ya tano inafutwa.

Matokeo yake ni mistari 4.

Jibu:

Jengo la kawaida la orofa tano kwa masomo ya kujitegemea:

Mfano 6

Tafuta kiwango cha matrix

Suluhu fupi na jibu mwishoni mwa somo.

Ikumbukwe kwamba maneno "cheo cha tumbo" haionekani mara nyingi katika mazoezi, na katika matatizo mengi unaweza kufanya bila hiyo kabisa. Lakini kuna kazi moja ambapo wazo linalohusika ni mhusika mkuu, na tutahitimisha kifungu hicho na matumizi haya ya vitendo:

Jinsi ya kusoma mfumo wa hesabu za mstari kwa uthabiti?

Mara nyingi, pamoja na suluhisho mifumo ya milinganyo ya mstari kwa mujibu wa hali hiyo, kwanza inahitajika kuchunguza kwa utangamano, yaani, kuthibitisha kwamba suluhisho lolote lipo kabisa. Jukumu muhimu katika uthibitishaji kama huo linachezwa na Nadharia ya Kronecker-Capelli, ambayo nitaunda kwa fomu inayofaa:

Kama cheo matrices ya mfumo sawa na cheo mfumo wa matrix uliopanuliwa, basi mfumo ni thabiti, na ikiwa nambari hii inafanana na idadi ya haijulikani, basi suluhisho ni la pekee.

Kwa hivyo, kusoma mfumo kwa utangamano ni muhimu kuangalia usawa , wapi - matrix ya mfumo(kumbuka istilahi kutoka kwa somo Njia ya Gauss), A- matrix ya mfumo uliopanuliwa(yaani matrix yenye coefficients ya vigezo + safu ya maneno huru).

Msingi Mabadiliko yafuatayo ya matrix yanaitwa:

1) ruhusa ya safu mbili (au safu wima),

2) kuzidisha safu (au safu) kwa nambari isiyo ya sifuri,

3) kuongeza safu moja (au safu) safu nyingine (au safu), ikizidishwa na nambari fulani.

Matrices mawili yanaitwa sawa, ikiwa mmoja wao anapatikana kutoka kwa mwingine kwa kutumia seti ya mwisho ya mabadiliko ya kimsingi.

Matrices sawa sio, kwa ujumla, sawa, lakini safu zao ni sawa. Ikiwa matrices A na B ni sawa, basi imeandikwa kama ifuatavyo: A ~ B.

Ya kisheria Matrix ni matrix ambayo mwanzoni mwa diagonal kuu kuna kadhaa mfululizo (idadi ambayo inaweza kuwa sifuri), na vitu vingine vyote ni sawa na sifuri, kwa mfano,

Kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi ya safu mlalo na safu wima, matriki yoyote yanaweza kupunguzwa hadi ya kisheria. Kiwango cha matrix ya kisheria ni sawa na idadi ya zile kwenye diagonal yake kuu.

Mfano 2 Tafuta kiwango cha matrix

A=

na kuileta katika mfumo wa kisheria.

Suluhisho. Kutoka kwa mstari wa pili, toa ya kwanza na upange upya mistari hii:

.

Sasa kutoka kwa safu ya pili na ya tatu tunatoa ya kwanza, iliyozidishwa na 2 na 5, mtawaliwa:

;

toa kwanza kutoka mstari wa tatu; tunapata matrix

B = ,

ambayo ni sawa na matrix A, kwani hupatikana kutoka kwayo kwa kutumia seti ya ukomo wa mabadiliko ya kimsingi. Ni wazi, kiwango cha matrix B ni 2, na kwa hivyo r(A)=2. Matrix B inaweza kupunguzwa kwa urahisi hadi ya kisheria. Kwa kuondoa safu ya kwanza, iliyozidishwa na nambari zinazofaa, kutoka kwa zote zinazofuata, tunageuka hadi sifuri vipengele vyote vya mstari wa kwanza, isipokuwa ya kwanza, na vipengele vya safu zilizobaki hazibadilika. Kisha, tukiondoa safu ya pili, iliyozidishwa na nambari zinazofaa, kutoka kwa zote zinazofuata, tunageuka hadi sifuri vipengele vyote vya safu ya pili, isipokuwa ya pili, na kupata matrix ya kisheria:

.

Kronecker - nadharia ya Capelli- kigezo cha uoanifu cha mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari:

Ili mfumo wa mstari uwe thabiti, ni muhimu na ya kutosha kwamba kiwango cha matrix iliyopanuliwa ya mfumo huu iwe sawa na kiwango cha matrix yake kuu.

Uthibitisho (masharti ya utangamano ya mfumo)

Umuhimu

Hebu mfumo pamoja Kisha kuna nambari kama hizo. Kwa hiyo, safu ni mchanganyiko wa mstari wa safu za matrix. Kutokana na ukweli kwamba cheo cha matrix haitabadilika ikiwa safu (safu) imefutwa au kuongezwa kutoka kwa mfumo wa safu zake (safu), ambayo ni mchanganyiko wa mstari wa safu nyingine (safu), inafuata kwamba .

Utoshelevu

Hebu . Wacha tuchukue madogo madogo kwenye tumbo. Kwa kuwa, basi itakuwa pia msingi mdogo wa matrix. Kisha, kulingana na nadharia ya msingi mdogo, safu wima ya mwisho ya matrix itakuwa mchanganyiko wa mstari wa safu wima za msingi, ambayo ni, safu wima za matrix. Kwa hiyo, safu ya masharti ya bure ya mfumo ni mchanganyiko wa mstari wa safu za matrix.

Matokeo

Idadi ya vigezo kuu mifumo sawa na kiwango cha mfumo.

Pamoja mfumo itafafanuliwa (suluhisho lake ni la kipekee) ikiwa kiwango cha mfumo ni sawa na idadi ya vigezo vyake vyote.

Mfumo wa usawa wa equations

Toa15 . 2 Mfumo wa usawa wa equations

daima ni pamoja.

Ushahidi. Kwa mfumo huu, seti ya nambari ,,, ni suluhisho.

Katika sehemu hii tutatumia nukuu ya matrix ya mfumo:.

Toa15 . 3 Jumla ya suluhu kwa mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari ni suluhisho kwa mfumo huu. Suluhisho lililozidishwa na nambari pia ni suluhisho.

Ushahidi. Wacha wawe suluhisho la mfumo. Kisha na. Hebu . Kisha

Kwa kuwa, basi - suluhisho.

Hebu iwe nambari ya kiholela,. Kisha

Kwa kuwa, basi - suluhisho.

Matokeo15 . 1 Ikiwa mfumo wa homogeneous wa equations za mstari una suluhisho la nonzero, basi ina suluhisho nyingi tofauti.

Hakika, kuzidisha ufumbuzi usio na sifuri kwa idadi mbalimbali, tutapata ufumbuzi tofauti.

Ufafanuzi15 . 5 Tutasema kwamba ufumbuzi fomu ya mifumo mfumo wa msingi wa suluhisho, ikiwa nguzo kuunda mfumo wa kujitegemea wa mstari na suluhisho lolote kwa mfumo ni mchanganyiko wa mstari wa safu hizi.

Nakala hii itajadili dhana kama vile kiwango cha matrix na dhana muhimu za ziada. Tutatoa mifano na uthibitisho wa kupata kiwango cha matrix, na pia kukuambia ni nini mtoto mdogo wa tumbo na kwa nini ni muhimu sana.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Matrix ndogo

Ili kuelewa kiwango cha matrix ni nini, unahitaji kuelewa dhana ya matrix ndogo.

Ufafanuzi 1

Ndogokutaratibu wa matrix ndicho kibainishaji cha matrix ya mraba ya mpangilio k×k, ambayo inaundwa na vipengele vya matrix A vilivyo katika safu mlalo za k zilizochaguliwa awali na safuwima za k, huku kikidumisha nafasi ya vipengele vya matrix A.

Kwa ufupi, ikiwa kwenye matrix A unafuta (p-k) safu na (n-k) safuwima, na kutoka kwa vitu hivyo vilivyobaki, tengeneza matrix, kuhifadhi mpangilio wa vitu vya matrix A, basi kiamua cha matrix inayosababishwa ni mpangilio k mdogo wa matrix A.

Inafuata kutoka kwa mfano kwamba watoto wa mpangilio wa kwanza wa matrix A ndio vitu vya matrix wenyewe.

Tunaweza kutoa mifano kadhaa ya watoto wa utaratibu wa 2. Hebu tuchague safu mbili na safu mbili. Kwa mfano, safu ya 1 na ya 2, safu ya 3 na ya 4.

Kwa chaguo hili la vipengele, utaratibu wa pili mdogo utakuwa - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Mpangilio mwingine mdogo wa 2 wa matrix A ni 0 0 1 1 = 0

Wacha tutoe vielelezo vya ujenzi wa watoto wa mpangilio wa pili wa matrix A:

Mpangilio mdogo wa 3 hupatikana kwa kuvuka safu ya tatu ya matrix A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Mchoro wa jinsi mpangilio mdogo wa 3 wa matrix A unapatikana:

Kwa matrix iliyotolewa, hakuna watoto wa juu kuliko utaratibu wa 3, kwa sababu

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Je, kuna watoto wangapi wa mpangilio k kwa matrix A ya mpangilio p×n?

Idadi ya watoto huhesabiwa kwa kutumia fomula ifuatayo:

C p k × C n k, ambapo e C p k = p! k! (p-k)! na C n k = n ! k! (n-k)! - idadi ya mchanganyiko kutoka p hadi k, kutoka n hadi k, kwa mtiririko huo.

Baada ya kuamua watoto wa matrix A ni nini, tunaweza kuendelea na kuamua kiwango cha matrix A.

Kiwango cha matrix: njia za kupata

Ufafanuzi 2

Kiwango cha Matrix - mpangilio wa juu zaidi wa matrix isipokuwa sifuri.

Uteuzi 1

Cheo (A), Rg (A), Rang (A).

Kutoka kwa ufafanuzi wa kiwango cha matrix na mdogo wa tumbo, inakuwa wazi kuwa kiwango cha matrix ya sifuri ni sawa na sifuri, na kiwango cha matrix ya nonzero ni tofauti na sifuri.

Kupata kiwango cha matrix kwa ufafanuzi

Ufafanuzi 3

Njia ya kuhesabu watoto - njia kulingana na kuamua kiwango cha matrix.

Algorithm ya vitendo kwa kutumia njia ya kuhesabu watoto :

Inahitajika kupata kiwango cha matrix A ya utaratibu uk× n. Ikiwa kuna angalau kipengele kimoja ambacho sio sifuri, basi kiwango cha matrix ni angalau sawa na moja ( kwa sababu kuna mpangilio mdogo wa 1 ambao si sawa na sifuri).

Inayofuata inakuja kuhesabiwa kwa watoto wa daraja la 2. Ikiwa watoto wote wa utaratibu wa 2 ni sawa na sifuri, basi cheo ni sawa na moja. Ikiwa kuna angalau moja isiyo ya sifuri ya utaratibu wa 2, ni muhimu kuendelea na kuhesabu watoto wa utaratibu wa 3, na cheo cha matrix, katika kesi hii, itakuwa sawa na angalau mbili.

Tutafanya vivyo hivyo na safu ya agizo la 3: ikiwa watoto wote wa matrix ni sawa na sifuri, basi kiwango kitakuwa sawa na mbili. Ikiwa kuna angalau moja isiyo ya sifuri ya agizo la 3, basi kiwango cha tumbo ni angalau tatu. Na kadhalika, kwa mlinganisho.

Mfano 2

Tafuta kiwango cha matrix:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Kwa kuwa matrix sio sifuri, kiwango chake cha chini ni moja.

Agizo la 2 ndogo - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 sio sifuri. Inafuata kwamba kiwango cha matrix A ni angalau mbili.

Tunapanga watoto wa utaratibu wa 3: C 3 3 × C 5 3 = 1 5! 3! (5-3)! = vipande 10.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Watoto wa mpangilio wa 3 ni sawa na sifuri, kwa hivyo kiwango cha matrix ni mbili.

Jibu : Cheo (A) = 2.

Kupata kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya watoto wanaopakana

Ufafanuzi 3

Njia ndogo ya mipaka - njia ambayo inakuwezesha kupata matokeo na kazi ndogo ya computational.

Ukingo mdogo - ndogo M o k (k + 1) ya mpangilio wa th wa matrix A, ambayo inapakana na M ndogo ya mpangilio k wa matrix A, ikiwa matrix inayolingana na M o k ndogo "ina" tumbo inayolingana na mdogo M.

Kwa ufupi, matrix ambayo inalingana na M mdogo anayepakana hupatikana kutoka kwa tumbo inayolingana na ndogo inayopakana ya M o k kwa kufuta vipengele vya safu moja na safu moja.

Mfano 3

Tafuta kiwango cha matrix:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Ili kupata daraja tunachukua agizo la 2 M = 2 - 1 4 1

Tunaandika watoto wote wa mpaka:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Ili kuhalalisha njia ya watoto wanaopakana, tunawasilisha theorem, uundaji ambao hauhitaji uthibitisho.

Nadharia 1

Ikiwa watoto wote wanaopakana na mpangilio wa kth mdogo wa matrix A ya mpangilio p kwa n ni sawa na sifuri, basi watoto wote wa mpangilio (k+1) wa matrix A ni sawa na sifuri.

Algorithm ya vitendo :

Ili kupata kiwango cha matrix, si lazima kupitia watoto wote, angalia tu wale wanaopakana.

Ikiwa watoto wa mpaka ni sawa na sifuri, basi kiwango cha tumbo ni sifuri. Ikiwa kuna angalau mtoto mmoja ambaye si sawa na sifuri, basi tunazingatia watoto wanaopakana.

Ikiwa zote ni sifuri, basi Cheo(A) ni mbili. Ikiwa kuna angalau mdogo asiye na sifuri anayepakana, basi tunaendelea kuzingatia watoto wake wa mpaka. Na kadhalika, kwa njia ile ile.

Mfano 4

Tafuta kiwango cha matrix kwa kutumia mbinu ya watoto wadogo

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Jinsi ya kutatua?

Kwa kuwa kipengele cha 11 cha matrix A si sawa na sifuri, tunachukua ndogo ya mpangilio wa 1. Wacha tuanze kutafuta mtoto anayepakana ambaye ni tofauti na sifuri:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Tulipata mdogo anayepakana wa mpangilio wa 2 si sawa na sifuri 2 0 4 1 .

Hebu tuhesabu watoto wa mpaka - (kuna (4 - 2) × (5 - 2) = vipande 6).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Jibu : Cheo(A) = 2.

Kupata kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya Gaussian (kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi)

Wacha tukumbuke mabadiliko ya kimsingi ni nini.

Mabadiliko ya msingi:

• kwa kupanga upya safu (safu) za matrix;
• kwa kuzidisha vipengele vyote vya safu yoyote (safu) ya matrix kwa nambari ya kiholela isiyo ya sifuri k;

kwa kuongeza vipengele vya safu mlalo (safu) vipengele vyovyote vinavyowiana na safu mlalo (safu) nyingine ya matrix, ambayo huzidishwa na nambari ya kiholela k.

Ufafanuzi wa 5

Kupata kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya Gaussian - njia ambayo inategemea nadharia ya usawa wa matriki: ikiwa matrix B inapatikana kutoka kwa matriki A kwa kutumia idadi maalum ya mabadiliko ya kimsingi, basi Cheo(A) = Cheo(B).

Uhalali wa taarifa hii unafuata kutoka kwa ufafanuzi wa matrix:

• Ikiwa safu mlalo au safu wima za matriki zimepangwa upya, kiashiria chake cha mabadiliko huashiria. Ikiwa ni sawa na sifuri, basi wakati wa kupanga upya safu au safu inabaki sawa na sifuri;
• katika kesi ya kuzidisha vipengele vyote vya safu yoyote (safu) ya matrix kwa nambari ya kiholela k ambayo si sawa na sifuri, kiamua cha matrix inayosababisha ni sawa na kiamua cha matrix ya asili, ambayo huzidishwa na k;

katika kesi ya kuongeza kwa vipengele vya safu fulani au safu ya matrix vipengele vinavyolingana vya safu nyingine au safu, ambayo huzidishwa na nambari k, haibadilishi kiashiria chake.

Kiini cha njia ya mabadiliko ya kimsingi : punguza matrix ambayo kiwango chake kinahitaji kupatikana kwa trapezoidal kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi.

Kwa ajili ya nini?

Kiwango cha matrices ya aina hii ni rahisi kupata. Ni sawa na idadi ya mistari ambayo ina angalau kipengele kimoja kisicho sifuri. Na kwa kuwa kiwango haibadilika wakati wa kufanya mabadiliko ya kimsingi, hii itakuwa kiwango cha matrix.

Wacha tuonyeshe mchakato huu:

• kwa matrices ya mstatili A ya mpangilio p kwa n, idadi ya safu ambayo ni kubwa kuliko idadi ya safuwima:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

• kwa matrices ya mstatili A ya utaratibu p kwa n, idadi ya safu ambayo ni chini ya idadi ya safu:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 p +0 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• kwa matrices ya mraba A ya mpangilio n kwa n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k< n

Mfano 5

Pata kiwango cha matrix A kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Jinsi ya kutatua?

Kwa kuwa kipengele cha 11 ni tofauti na sifuri, ni muhimu kuzidisha vipengele vya safu ya kwanza ya matrix A na 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Tunaongeza kwa vipengele vya mstari wa 2 vipengele vinavyolingana vya mstari wa 1, ambavyo vinazidishwa na (-3). Kwa vipengele vya mstari wa 3 tunaongeza vipengele vya mstari wa 1, ambao huzidishwa na (-1):

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Kipengele cha 22 (2) si sifuri, kwa hivyo tunazidisha vipengele vya safu mlalo ya 2 ya matrix A kwa A (2) na 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Kwa vipengele vya safu ya 3 ya matrix inayosababisha tunaongeza vipengele vinavyolingana vya mstari wa 2, ambao huongezeka kwa 3 2;
• kwa vipengele vya mstari wa 4 - vipengele vya mstari wa 2, ambavyo vinazidishwa na 9 2;
• kwa vitu vya safu ya 5 - vitu vya safu ya 2, ambavyo vinazidishwa na 3 2.

Vipengele vyote vya safu ni sifuri. Kwa hivyo, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulileta matrix kwa fomu ya trapezoidal, ambayo inaweza kuonekana kuwa R an k (A (4)) = 2. Inafuata kwamba kiwango cha matrix ya asili pia ni sawa na mbili.

Maoni

Ikiwa utafanya mabadiliko ya kimsingi, basi maadili ya takriban hayaruhusiwi!

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter