ከማትሪክስ ደረጃ ጽንሰ-ሀሳብ ጋር ለመስራት, ከርዕሱ መረጃ እንፈልጋለን "አልጀብራ ማሟያዎች እና ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች. ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች እና አልጀብራ ማሟያዎች." በመጀመሪያ ደረጃ, ይህ "ማትሪክስ ጥቃቅን" የሚለውን ቃል ይመለከታል, ምክንያቱም የማትሪክስ ደረጃን በትክክል የምንወስነው በትናንሽ ልጆች ነው.

ማትሪክስ ደረጃለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ከፍተኛው ቅደም ተከተል ነው, ከእነዚህም መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ.

ተመጣጣኝ ማትሪክስ- ደረጃቸው እርስ በርስ እኩል የሆነ ማትሪክስ.

የበለጠ በዝርዝር እናብራራ። ከሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ የተለየ አለ እንበል. እና ቅደም ተከተላቸው ከሁለት በላይ የሆኑ ሁሉም ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው. ማጠቃለያ-የማትሪክስ ደረጃ 2 ነው ። ወይም ለምሳሌ ፣ በአሥረኛው ቅደም ተከተል ውስጥ ካሉት ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ። እና ከ 10 በላይ የሆነ ቅደም ተከተል ያላቸው ሁሉም ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው. ማጠቃለያ: የማትሪክስ ደረጃ 10 ነው.

የማትሪክስ $A$ ደረጃ እንደሚከተለው ተጠቁሟል፡ $\rang A$ ወይም $r(A)$። የዜሮ ማትሪክስ $O$ ደረጃ ዜሮ ነው ተብሎ ይታሰባል፣ $\rang O=0$። ትንሽ ማትሪክስ ለመፍጠር ረድፎችን እና ዓምዶችን ማቋረጥ እንደሚያስፈልግ ላስታውስዎት ፣ ግን ማትሪክስ ራሱ ከያዘው በላይ ብዙ ረድፎችን እና አምዶችን ማቋረጥ አይቻልም። ለምሳሌ፣ ማትሪክስ $F$ መጠኑ $5 ጊዜ 4$ ከሆነ (ማለትም 5 ረድፎችን እና 4 አምዶችን ከያዘ)፣ ከዚያም የአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ከፍተኛው ቅደም ተከተል አራት ነው። 5 አምዶች ስለሚያስፈልጋቸው (እና እኛ 4 ብቻ) ስለ አምስተኛው ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን መፍጠር አይቻልም. ይህ ማለት የማትሪክስ $F$ ደረጃ ከአራት በላይ መሆን አይችልም, ማለትም. $\rang F≤4$።

በጥቅሉ ሲታይ፣ ከላይ ያለው ማለት ማትሪክስ $m$ ረድፎችን እና $n$ አምዶችን ከያዘ፣ ደረጃው ከ$m$ እና $n$ ትንሹን መብለጥ አይችልም፣ ማለትም። $\rang A≤\min(m,n)$.

በመርህ ደረጃ, ከደረጃው ፍቺው የማግኘት ዘዴን ይከተላል. የማትሪክስ ደረጃን የማግኘት ሂደት ፣ በትርጉሙ ፣ በስእላዊ መልኩ እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል ።

ይህን ሥዕላዊ መግለጫ በበለጠ ዝርዝር ላብራራ። ከመጀመሪያው ጀምሮ ማመዛዘን እንጀምር, ማለትም. ከአንዳንድ ማትሪክስ $A$ የመጀመሪያ ትዕዛዝ ታዳጊዎች።

1. ሁሉም የመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎች (ማለትም፣ የማትሪክስ $A$ አባሎች) ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ፣ $\rang A=0$። ከመጀመሪያዎቹ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ፣ $\rang A≥ 1$። ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ወደ መፈተሽ እንሂድ።
2. ሁሉም ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ $\rang A=1$ ማለት ነው። ከሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ፣ $\rang A≥ 2$። የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ወደ ማረጋገጥ እንሂድ።
3. ሁሉም የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ $\rang A=2$ ማለት ነው። ከሦስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ፣ $\rang A≥ 3$። ወደ አራተኛ ደረጃ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ወደ መመርመር እንሂድ።
4. ሁሉም የአራተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ $\rang A=3$ ማለት ነው። ከአራተኛ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ፣ $\rang A≥ 4$። ወደ አምስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች እና የመሳሰሉትን ወደ መፈተሽ እንቀጥላለን.

በዚህ አሰራር መጨረሻ ላይ ምን ይጠብቀናል? በ kth ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ቢያንስ አንድ ከዜሮ የተለየ ሊሆን ይችላል, እና ሁሉም (k+1) ትንንሽ ልጆች ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናሉ. ይህ ማለት k ከፍተኛው ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ነው, ከነዚህም መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ, ማለትም. ደረጃው ከ k ጋር እኩል ይሆናል. የተለየ ሁኔታ ሊኖር ይችላል፡ በ kth ትዕዛዝ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ነገር ይኖራል፣ ነገር ግን ከአሁን በኋላ (k+1) ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ማዘዝ አይቻልም። በዚህ ሁኔታ ፣ የማትሪክስ ደረጃ ከ k ጋር እኩል ነው። በአጭሩ, የመጨረሻው የተቀናበረ ዜሮ ያልሆነ ጥቃቅን ቅደም ተከተል ከማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ይሆናል.

የማትሪክስ ደረጃን የማግኘት ሂደት በትርጉም ወደሚገለጽባቸው ምሳሌዎች እንሂድ። በዚህ ርዕስ ምሳሌዎች ውስጥ የደረጃን ትርጉም ብቻ በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን እንደምናገኝ ደግሜ አጽንኦት ልስጥ። ሌሎች ዘዴዎች (አካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ድንበር በማስላት የማትሪክስ ደረጃን በማስላት የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን በማስላት) በሚቀጥሉት ርዕሶች ውስጥ ተብራርተዋል ።

በነገራችን ላይ በምሳሌ ቁጥር 1 እና ቁጥር 2 ላይ እንደተደረገው ከትንሽ ቅደም ተከተል ታዳጊዎች ጋር ደረጃውን የማግኘት ሂደቱን መጀመር አስፈላጊ አይደለም. ወዲያውኑ ወደ ከፍተኛ ትዕዛዞች ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች መሄድ ይችላሉ (ምሳሌ ቁጥር 3 ይመልከቱ).

ምሳሌ ቁጥር 1

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ $A=\ግራ(\ጀምር(ድርድር)(ccccc) 5 እና 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ)$.

ይህ ማትሪክስ መጠን $3 ጊዜ 5$ አለው፣ i.e. ሶስት ረድፎችን እና አምስት አምዶችን ይዟል. ከቁጥር 3 እና 5, ዝቅተኛው 3 ነው, ስለዚህ የማትሪክስ $ A $ ደረጃ ከ 3 አይበልጥም, ማለትም. $\rang A≤ 3$ እና ይህ እኩልነት ግልፅ ነው ፣ ምክንያቱም ከአሁን በኋላ የአራተኛ ደረጃ ትናንሽ ልጆችን መፍጠር ስለማንችል - 4 ረድፎችን ይፈልጋሉ ፣ እና እኛ 3 ብቻ አለን ። የተሰጠውን ማትሪክስ ደረጃ ወደማግኘት ሂደት በቀጥታ እንሂድ ።

ከመጀመሪያዎቹ ትንንሽ ልጆች (ማለትም ከማትሪክስ $ A$ አካላት መካከል) ዜሮ ያልሆኑ አሉ። ለምሳሌ, 5, -3, 2, 7. በአጠቃላይ, በአጠቃላይ ዜሮ ያልሆኑ ንጥረ ነገሮች ብዛት ላይ ፍላጎት የለንም. ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አካል አለ - እና ያ በቂ ነው። ከመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ ስላለ፣ $\ተደወለ A≥ 1$ ብለን ደመደምን እና ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን መፈተሽ እንቀጥላለን።

ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ማሰስ እንጀምር። ለምሳሌ፣ የረድፎች ቁጥር 1፣ ቁጥር 2 እና አምዶች ቁጥር 1፣ ቁጥር 4 መገናኛ ላይ የሚከተሉት ጥቃቅን ክፍሎች አሉ፡-$\ግራ|\ጀማሪ(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ|$. ለዚህ መወሰኛ, የሁለተኛው ዓምድ ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው, ስለዚህ ወሳኙ እራሱ ከዜሮ ጋር እኩል ነው, ማለትም. $\ግራ|\ጀማሪ(አደራደር)(cc) 5 እና 0 \\ 7 & 0 \ end(array) \right|=0$ (ንብረት ቁጥር 3ን በመወሰን ንብረቶቹ ላይ ይመልከቱ)። ወይም ይህን መወሰኛ በቀላሉ ሁለተኛ እና ሶስተኛ ደረጃ መለኪያዎችን በማስላት ላይ ካለው ክፍል ቁጥር 1 በመጠቀም ማስላት ይችላሉ።

$$ \ግራ|\ጀማሪ(ድርድር)(cc) 5 እና 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right=5\cdot 0-0\cdot 7=0። $$

እኛ የሞከርነው የመጀመሪያው ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊ ከዜሮ ጋር እኩል ሆኗል። ይህ ምን ማለት ነው? ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን የበለጠ ማረጋገጥ ስለሚያስፈልገው። ወይም ሁሉም ወደ ዜሮነት ይለወጣሉ (ከዚያም ደረጃው ከ 1 ጋር እኩል ይሆናል) ወይም ከነሱ መካከል ቢያንስ አንድ ትንሽ ከዜሮ የተለየ ይሆናል. ሁለተኛ ደረጃ ትንሽ በመጻፍ የተሻለ ምርጫ ለማድረግ እንሞክር, ክፍሎቹ በረድፎች ቁጥር 1, ቁጥር 2 እና በአምዶች ቁጥር 1 እና ቁጥር 5: $\ግራ|\ጀምር (() ድርድር)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \ end(array) \right|$. የዚህን ሁለተኛ ደረጃ ትንሽ ዋጋ እንፈልግ፡-

$$ \ግራ|\ጀማሪ(አደራደር)(cc) 5 እና 2 \\ 7 & 3 \መጨረሻ(ድርድር) \right=5\cdot 3-2\cdot 7=1። $$

ይህ ትንሽ ልጅ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. ማጠቃለያ፡ ከሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አለ። ስለዚህ $\u003e A≥ 2$ ደውሏል። የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ወደ ማጥናት መሄድ አለብን.

የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ለመመስረት አምድ ቁጥር 2ን ወይም አምድ ቁጥር 4ን ከመረጥን እንደነዚህ ያሉት ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናሉ (ምክንያቱም ዜሮ አምድ ስለሚይዙ)። አንድ የሶስተኛ ደረጃ ጥቃቅን ብቻ ለማጣራት ይቀራል, እነዚህ ንጥረ ነገሮች በአምዶች ቁጥር 1, ቁጥር 3, ቁጥር 5 እና ረድፎች ቁጥር 1, ቁጥር 2, ቁጥር 3 መገናኛ ላይ ይገኛሉ. ይህንን ትንሽ እንፃፍ እና ዋጋውን እናገኝ፡-

$$ \ግራ|\ጀማሪ(ድርድር)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \ end(array) \ right|=-20-18-14 +16+21+15=0። $$

ስለዚህ፣ ሁሉም የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው። እኛ ያጠናቅነው የመጨረሻው ዜሮ ያልሆነ ሁለተኛ ደረጃ ነው። ማጠቃለያ፡ ከፍተኛው የአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች፣ ከእነዚህም መካከል ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነው 2. ስለዚህ፣ $\rang A=2$ ነው።

መልስ: $\rang A=2$

ምሳሌ ቁጥር 2

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ $A=\ግራ(\ጀምር(array)(cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 እና 7 & 8 & -7 \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ)$.

የአራተኛው ቅደም ተከተል ካሬ ማትሪክስ አለን። ወዲያውኑ የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ከ 4 አይበልጥም, ማለትም. $\rang A≤ 4$ የማትሪክስ ደረጃን መፈለግ እንጀምር.

ከመጀመሪያዎቹ ታዳጊዎች መካከል (ማለትም ከማትሪክስ $A$ አካላት መካከል) ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ነው፣ ስለዚህም $\rang A≥ 1$። ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ወደ መፈተሽ እንሂድ። ለምሳሌ በረድፎች ቁጥር 2፣ ቁጥር 3 እና አምዶች ቁጥር 1 እና ቁጥር 2 መገናኛ ላይ የሚከተለውን ሁለተኛ ደረጃ ትንሽ እናገኛለን፡ $\ግራ| \\ጀማሪ(ድርድር) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. እናሰላው፡-

$$\ግራ| \ጀማሪ (ድርድር) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ|=0-10=-10። $$

ከሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ አለ፣ ስለዚህ $\rang A≥ 2$።

ወደ ሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች እንሂድ። ለምሳሌ ፣ ንጥረ ነገሮቹ በረድፍ ቁጥር 1 ፣ ቁጥር 3 ፣ ቁጥር 4 እና አምዶች ቁጥር 1 ፣ ቁጥር 2 ፣ ቁጥር 4 ላይ የሚገኙትን ለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅን እናገኝ።

$$\ግራ | \ጀማሪ(ድርድር) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0። $$

ይህ የሶስተኛ ደረጃ ትንሽ ልጅ ከዜሮ ጋር እኩል ሆኖ ስለተገኘ፣ ሌላ ሶስተኛ ደረጃ ያልደረሰውን አካል መመርመር አስፈላጊ ነው። ወይም ሁሉም ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናሉ (ከዚያ ደረጃው ከ 2 ጋር እኩል ይሆናል), ወይም ከነሱ መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ (ከዚያም አራተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ማጥናት እንጀምራለን). የሦስተኛ ደረጃ አካለ መጠን ያልደረሰን እንይ፡ ክፍሎቹም ረድፎች ቁጥር 2፣ ቁጥር 3፣ ቁጥር 4 እና አምዶች ቁጥር 2፣ ቁጥር 3፣ ቁጥር 4 መገናኛ ላይ ይገኛሉ።

$$\ግራ| \ጀማሪ(ድርድር) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

ከሦስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አለ፣ ስለዚህ $\rang A≥ 3$። ወደ አራተኛ ደረጃ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ወደ መመርመር እንሂድ።

ማንኛውም የአራተኛ ደረጃ ታዳጊ በአራት ረድፎች እና በአራት አምዶች የማትሪክስ $A$ መገናኛ ላይ ይገኛል። በሌላ አነጋገር፣ አራተኛው-ትዕዛዝ አናሳ የማትሪክስ $A$ን የሚወስን ነው፣ ምክንያቱም ይህ ማትሪክስ 4 ረድፎችን እና 4 አምዶችን ይይዛል። የዚህ ማትሪክስ መወሰኛ በርዕሱ ምሳሌ ቁጥር 2 ላይ ተሰልቷል "የመወሰንን ቅደም ተከተል መቀነስ. ወሳኙን በአንድ ረድፍ (አምድ) መበስበስ", ስለዚህ የተጠናቀቀውን ውጤት ብቻ እንውሰድ.

$$\ግራ| \ጀማሪ(ድርድር) (cccc) -1 እና 3 እና 2 እና -3\\ 4 & -2 እና 5 እና 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \ መጨረሻ (ድርድር)\ቀኝ|=86። $$

ስለዚህ አራተኛው ቅደም ተከተል አነስተኛ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. ከአሁን በኋላ የአምስተኛው ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን መፍጠር አንችልም። ማጠቃለያ፡ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ከፍተኛው ቅደም ተከተል፣ ከነዚህም መካከል ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ 4. ውጤት፡ $\rang A=4$ ነው።

መልስ: $\rang A=4$

ምሳሌ ቁጥር 3

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ $A=\ግራ(\ጀምር(array)(cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \መጨረሻ(ድርድር) \ቀኝ)$.

ይህ ማትሪክስ 3 ረድፎችን እና 4 አምዶችን እንደያዘ ወዲያውኑ እናስተውል፣ ስለዚህ $\ደወል A≤ 3$። በቀደሙት ምሳሌዎች ውስጥ ትንሹን (የመጀመሪያውን) ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ግምት ውስጥ በማስገባት ደረጃውን የማግኘት ሂደት ጀመርን. እዚህ በተቻለ መጠን ከፍተኛውን ትዕዛዝ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ወዲያውኑ ለመመርመር እንሞክራለን. ለማትሪክስ $A$ እነዚህ የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ናቸው። የሦስተኛ ደረጃ አካለ መጠን ያልደረሰን ሰው እንይ፡ ክፍሎቹም ረድፎች ቁጥር 1፣ ቁጥር 2፣ ቁጥር 3 እና ዓምዶች ቁጥር 2፣ ቁጥር 3፣ ቁ. 4 መገናኛ ላይ ይተኛሉ።

$$\ግራ| \ጀማሪ(ድርድር) (ccc) 0 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88። $$

ስለዚህ, ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ከፍተኛው ቅደም ተከተል, ከነዚህም መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ, 3. ስለዚህ, የማትሪክስ ደረጃ 3 ነው, ማለትም. $\rang A=3$

መልስ: $\rang A=3$

በአጠቃላይ፣ የማትሪክስ ደረጃን በትርጉም ማግኘት፣ በጥቅሉ ሲታይ፣ ይልቁንም ጉልበትን የሚጠይቅ ተግባር ነው። ለምሳሌ፣ $5\times 4$ መጠን ያለው በአንጻራዊ ሁኔታ አነስተኛ ማትሪክስ 60 ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች አሉት። እና ምንም እንኳን 59 ቱ ከዜሮ ጋር እኩል ቢሆኑም ፣ 60 ኛው ትንሽ ልጅ ዜሮ ያልሆነ ሊሆን ይችላል። ከዚያ የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ማጥናት አለብዎት, ከእነዚህ ውስጥ ይህ ማትሪክስ 40 ቁርጥራጮች አሉት. አብዛኛውን ጊዜ አነስተኛ አስቸጋሪ ዘዴዎችን ለመጠቀም ይሞክራሉ, ለምሳሌ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ድንበር ወይም ተመጣጣኝ የለውጥ ዘዴ.

የመጀመሪያ ደረጃየሚከተሉት የማትሪክስ ለውጦች ይባላሉ፡-

1) የማንኛቸውም ሁለት ረድፎች (ወይም ዓምዶች) መተላለፍ ፣

2) ረድፍ (ወይም አምድ) በዜሮ ባልሆነ ቁጥር ማባዛት ፣

3) ወደ አንድ ረድፍ (ወይም አምድ) ሌላ ረድፍ (ወይም አምድ) መጨመር, በተወሰነ ቁጥር ተባዝቷል.

ሁለቱ ማትሪክስ ተጠርተዋል ተመጣጣኝ, ከመካከላቸው አንዱ ከሌላው የተገኘ የመጨረሻ የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ከሆነ.

ተመጣጣኝ ማትሪክስ በአጠቃላይ አነጋገር እኩል አይደሉም ነገር ግን ደረጃቸው እኩል ነው። ማትሪክስ ሀ እና ቢ እኩል ከሆኑ እንደሚከተለው ተጽፏል፡- A ~ B.

ቀኖናዊማትሪክስ በዋናው ዲያግኖል መጀመሪያ ላይ ብዙ በረድፍ ውስጥ ያሉበት ማትሪክስ ነው (ቁጥራቸው ዜሮ ሊሆን ይችላል) እና ሁሉም ሌሎች አካላት ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው ፣ ለምሳሌ ፣

የረድፎች እና የአምዶች የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ማንኛውም ማትሪክስ ወደ ቀኖናዊ ሊቀንስ ይችላል። የቀኖናዊ ማትሪክስ ደረጃ በዋናው ሰያፍ ላይ ካሉት ቁጥር ጋር እኩል ነው።

ምሳሌ 2የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

ሀ=

እና ወደ ቀኖናዊ መልክ አምጣው.

መፍትሄ።ከሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን ቀንስ እና እነዚህን መስመሮች እንደገና አስተካክል፡-

.

አሁን ከሁለተኛው እና ከሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን እንቀንሳለን ፣ በ 2 እና 5 ተባዝተናል ፣

;

ከሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መቀነስ; ማትሪክስ እናገኛለን

ለ = ,

ከማትሪክስ A ጋር እኩል ነው, ምክንያቱም ከእሱ የተገኘ ውስን የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ነው. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የማትሪክስ B ደረጃ 2 ነው, እና ስለዚህ r (A) = 2. ማትሪክስ B በቀላሉ ወደ ቀኖናዊነት ሊቀንስ ይችላል. የመጀመሪያውን አምድ በመቀነስ, ተስማሚ በሆኑ ቁጥሮች ተባዝቶ, ከቀጣዮቹ ሁሉ, ከመጀመሪያው ረድፍ በስተቀር ሁሉንም ንጥረ ነገሮች ወደ ዜሮ እንቀይራለን, እና የቀሩት ረድፎች ንጥረ ነገሮች አይለወጡም. ከዚያ ሁለተኛውን አምድ በተገቢው ቁጥሮች ተባዝተን ፣ ከተከታዮቹ ሁሉ ፣ ከሁለተኛው ረድፍ በስተቀር ሁሉንም ንጥረ ነገሮች ወደ ዜሮ እንለውጣለን እና ቀኖናዊውን ማትሪክስ እናገኛለን ።

.

Kronecker - Capelli ቲዮረም- የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት የተኳሃኝነት መስፈርት፡

መስመራዊ ሥርዓት ወጥነት ያለው እንዲሆን የዚህ ሥርዓት የተራዘመ ማትሪክስ ደረጃ ከዋናው ማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል መሆን አስፈላጊ እና በቂ ነው።

ማረጋገጫ (የስርዓት ተኳሃኝነት ሁኔታዎች)

አስፈላጊነት

ፍቀድ ስርዓትመገጣጠሚያ ከዚያ እንደዚህ ያሉ ቁጥሮች አሉ. ስለዚህ, ዓምዱ የማትሪክስ ዓምዶች ቀጥተኛ ጥምረት ነው. አንድ ረድፍ (አምድ) ከተሰረዘ ወይም ከተጨመረው የማትሪክስ ደረጃ አይለወጥም ከሚለው እውነታ በመነሳት ከሌሎች ረድፎች (አምዶች) መስመራዊ ጥምረት ነው.

በቂነት

ፍቀድ። በማትሪክስ ውስጥ አንዳንድ መሰረታዊ ጥቃቅን እንውሰድ. ጀምሮ, ከዚያም ደግሞ ማትሪክስ መሠረት አናሳ ይሆናል. ከዚያም በመሠረታዊ ንድፈ ሐሳብ መሠረት ጥቃቅን, የማትሪክስ የመጨረሻው ዓምድ የመሠረት ዓምዶች ቀጥተኛ ጥምረት ይሆናል, ማለትም, የማትሪክስ ዓምዶች. ስለዚህ የስርዓቱ የነፃ ቃላቶች አምድ የማትሪክስ አምዶች መስመራዊ ጥምረት ነው።

ውጤቶቹ

ዋና ተለዋዋጮች ብዛት ስርዓቶችከስርዓቱ ደረጃ ጋር እኩል ነው.

መገጣጠሚያ ስርዓትየስርዓቱ ደረጃ ከሁሉም ተለዋዋጮች ቁጥር ጋር እኩል ከሆነ ይገለጻል (መፍትሄው ልዩ ነው)።

ተመሳሳይነት ያለው የእኩልታዎች ስርዓት

አቅርቡ15 . 2 ተመሳሳይነት ያለው የእኩልታዎች ስርዓት

ሁልጊዜ የጋራ ነው.

ማረጋገጫ. ለዚህ ስርዓት, የቁጥሮች ስብስብ,,, መፍትሄ ነው.

በዚህ ክፍል ውስጥ የስርዓቱን ማትሪክስ ማስታወሻ እንጠቀማለን:.

አቅርቡ15 . 3 ለተመሳሳዩ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት የመፍትሄ ድምር የዚህ ስርዓት መፍትሄ ነው። በቁጥር የተባዛ መፍትሄም መፍትሄ ነው።

ማረጋገጫ. ለስርዓቱ መፍትሄ ሆነው እንዲያገለግሉ ያድርጉ። ከዚያ እና. ፍቀድ። ከዚያም

ጀምሮ, ከዚያም - መፍትሔ.

የዘፈቀደ ቁጥር ይሁን፣ . ከዚያም

ጀምሮ, ከዚያም - መፍትሔ.

መዘዝ15 . 1 አንድ ወጥ የሆነ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ዜሮ ያልሆነ መፍትሄ ካለው ፣እንግዲህ ማለቂያ የሌለው ብዙ የተለያዩ መፍትሄዎች አሉት።

በእርግጥ ዜሮ ያልሆነን መፍትሄ በተለያዩ ቁጥሮች ማባዛት የተለያዩ መፍትሄዎችን እናገኛለን።

ፍቺ15 . 5 መፍትሄዎችን እንናገራለን ስርዓቶች ቅፅ መሠረታዊ የመፍትሄዎች ስርዓት, አምዶች ከሆነ ቀጥተኛ ገለልተኛ ስርዓት ይመሰርታሉ እና ማንኛውም የስርዓቱ መፍትሄ የእነዚህ አምዶች መስመራዊ ጥምረት ነው።

ማንኛውም ማትሪክስ ሀማዘዝ m×nእንደ ስብስብ ሊቆጠር ይችላል ኤም string vectors ወይም nአምድ ቬክተሮች.

ደረጃማትሪክስ ሀማዘዝ m×nከፍተኛው የመስመር ላይ ገለልተኛ የአምድ ቬክተሮች ወይም የረድፍ ቬክተሮች ብዛት ነው።

ማትሪክስ ደረጃ ከሆነ ሀእኩል ነው። አርከዚያም እንዲህ ተብሎ ተጽፏል።

የማትሪክስ ደረጃን ማግኘት

ፍቀድ ሀየዘፈቀደ ትዕዛዝ ማትሪክስ ኤም× n. የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት ሀየ Gaussian ማስወገጃ ዘዴን በእሱ ላይ እንተገብራለን.

በተወሰነ የማስወገጃ ደረጃ ላይ መሪው ኤለመንት ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ይህን መስመር ከዜሮ በሚለይበት መስመር እንቀይራለን። እንደዚህ አይነት መስመር እንደሌለ ከታወቀ ወደ ቀጣዩ አምድ ወዘተ ይሂዱ.

ከወደ ፊት የጋውስያን የማስወገድ ሂደት በኋላ በዋናው ዲያግናል ስር ያሉት ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል የሆነ ማትሪክስ እናገኛለን። በተጨማሪም, ዜሮ ረድፍ ቬክተሮች ሊኖሩ ይችላሉ.

የዜሮ ረድፍ ቬክተሮች ብዛት የማትሪክስ ደረጃ ይሆናል ሀ.

ይህን ሁሉ በቀላል ምሳሌዎች እንመልከተው።

ምሳሌ 1.

የመጀመሪያውን መስመር በ 4 በማባዛት እና በሁለተኛው መስመር ላይ በመጨመር የመጀመሪያውን መስመር በ 2 በማባዛት እና በሶስተኛው መስመር ላይ መጨመር አለን.

ሁለተኛውን መስመር በ -1 በማባዛት ወደ ሶስተኛው መስመር ጨምሩት።

ሁለት ዜሮ ያልሆኑ ረድፎችን ተቀብለናል, እና ስለዚህ, የማትሪክስ ደረጃ 2 ነው.

ምሳሌ 2.

የሚከተለውን ማትሪክስ ደረጃ እንፈልግ፡-

የመጀመሪያውን መስመር በ -2 በማባዛት ወደ ሁለተኛው መስመር ይጨምሩ. በተመሳሳይ ፣ የመጀመሪያውን አምድ የሶስተኛው እና አራተኛ ረድፎችን አካላት እንደገና እናስጀምራለን-

ተጓዳኝ ረድፎችን ወደ ሁለተኛው ረድፍ በቁጥር -1 በማባዛት የሁለተኛው ዓምድ ሶስተኛ እና አራተኛ ረድፎችን ንጥረ ነገሮች እንደገና እናስጀምር።

የማትሪክስ ደረጃ አስፈላጊ የቁጥር ባህሪ ነው። የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት የሚያስፈልገው በጣም የተለመደው ችግር የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ወጥነት ያለው መሆኑን ማረጋገጥ ነው። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የማትሪክስ ደረጃን ፅንሰ-ሀሳብ እንሰጣለን እና እሱን ለማግኘት ዘዴዎችን እንመረምራለን ። ትምህርቱን የበለጠ ለመረዳት ለብዙ ምሳሌዎች መፍትሄዎችን በዝርዝር እንመረምራለን ።

የገጽ አሰሳ።

የማትሪክስ ደረጃን መወሰን እና አስፈላጊ ተጨማሪ ጽንሰ-ሐሳቦች.

የማትሪክስ ደረጃን ትርጉም ከመግለጽዎ በፊት ለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ ጽንሰ-ሀሳብ ጥሩ ግንዛቤ ሊኖርዎት ይገባል እና የማትሪክስ አካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ማግኘት ወሳኙን የመቁጠር ችሎታን ያሳያል። ስለዚህ, አስፈላጊ ከሆነ, የአንቀጹን ንድፈ ሃሳብ, የማትሪክስ መፈለጊያ ዘዴዎችን እና የመወሰን ባህሪያትን እንዲያስታውሱ እንመክራለን.

የትእዛዝ ማትሪክስ A እንውሰድ። k አንዳንድ የተፈጥሮ ቁጥሮች ከ m እና n ቁጥሮች ትንሹ የማይበልጥ ይሁን፣ ማለትም፣ .

ፍቺ

አነስተኛ kth ትዕዛዝማትሪክስ A የማትሪክስ ኤ አባሎችን ያቀፈ የካሬ ማትሪክስ ቅደም ተከተልን የሚወስን ሲሆን ይህም አስቀድሞ በተመረጡት k ረድፎች እና k አምዶች ውስጥ የሚገኙ እና የማትሪክስ ኤ ንጥረ ነገሮች ዝግጅት ተጠብቆ ይቆያል።

በሌላ አነጋገር በማትሪክስ ሀ ውስጥ (p-k) ረድፎችን እና (n-k) አምዶችን ከሰረዝን እና ከቀሪዎቹ ንጥረ ነገሮች ማትሪክስ እንፈጥራለን ፣ የማትሪክስ A አካላትን ዝግጅት እንጠብቃለን ፣ ከዚያ የሚወስነው የተገኘው ማትሪክስ የማትሪክስ A አነስተኛ ቅደም ተከተል k ነው።

ምሳሌን በመጠቀም የማትሪክስ አናሳ ፍቺን እንመልከት።

ማትሪክስ አስቡበት .

የዚህን ማትሪክስ የመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎችን እንፃፍ። ለምሳሌ የማትሪክስ A ሶስተኛውን ረድፍ እና ሁለተኛ አምድ ከመረጥን ምርጫችን ከአንደኛ ደረጃ ትንሽ ልጅ ጋር ይዛመዳል። . በሌላ አነጋገር, ይህንን ትንሽ ለማግኘት, የመጀመሪያውን እና ሁለተኛ ረድፎችን, እንዲሁም የመጀመሪያውን, ሶስተኛውን እና አራተኛውን አምዶች ከማትሪክስ A, እና ከቀሪው ኤለመንቱ ውስጥ ወሳኙን አደረግን. የማትሪክስ A የመጀመሪያውን ረድፍ እና ሶስተኛውን ዓምድ ከመረጥን, ከዚያም ትንሽ እናገኛለን .

ከግምት ውስጥ የገቡትን የመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎችን የማግኘት ሂደቱን በምሳሌ እናሳይ
እና .

ስለዚህ የማትሪክስ የመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎች የማትሪክስ አካላት እራሳቸው ናቸው።

በርካታ ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን እናሳይ። ሁለት ረድፎችን እና ሁለት አምዶችን ይምረጡ. ለምሳሌ, የመጀመሪያውን እና ሁለተኛ ረድፎችን እና ሶስተኛውን እና አራተኛውን አምዶች ይውሰዱ. በዚህ ምርጫ ሁለተኛ ደረጃ ትንሽ ልጅ አለን . ይህ አናሳ የሶስተኛውን ረድፍ፣ የመጀመሪያ እና ሁለተኛ አምዶችን ከማትሪክስ A በመሰረዝ ሊጣመር ይችላል።

ሌላው የማትሪክስ A ሁለተኛ ደረጃ አነስተኛ ነው።

የእነዚህን ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ግንባታ በምሳሌ እናሳይ
እና .

በተመሳሳይም የማትሪክስ A ሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ሊገኙ ይችላሉ. በማትሪክስ A ውስጥ ሶስት ረድፎች ብቻ ስለሆኑ ሁሉንም እንመርጣለን. የእነዚህን ረድፎች የመጀመሪያዎቹን ሶስት አምዶች ከመረጥን, የሶስተኛ ደረጃ ጥቃቅን እናገኛለን

እንዲሁም የማትሪክስ A የመጨረሻውን አምድ በማቋረጥ መገንባት ይቻላል.

ሌላው ሦስተኛው ትዕዛዝ አነስተኛ ነው

የማትሪክስ A ሶስተኛውን አምድ በመሰረዝ የተገኘ።

የእነዚህ የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ግንባታ የሚያሳይ ምስል እዚህ አለ
እና .

ለተሰጠው ማትሪክስ ሀ ከሶስተኛ በላይ የሆኑ ጥቃቅን ቅደም ተከተሎች የሉም፣ ምክንያቱም .

ስንት የ kth ቅደም ተከተል ታዳጊዎች የማትሪክስ A ቅደም ተከተል አላቸው?

የትዕዛዝ k ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች እንደ, የት ሊሰላ ይችላል እና - ከ p እስከ k እና ከ n እስከ k የጥምረቶች ብዛት.

ሁሉንም ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች እንዴት ማትሪክስ A of order p by n መገንባት እንችላለን?

ብዙ የማትሪክስ ረድፍ ቁጥሮች እና ብዙ የአምድ ቁጥሮች ያስፈልጉናል. ሁሉንም ነገር እንጽፋለን የ p ንጥረ ነገሮች ጥምረት በ k(ትንንሽ ቅደም ተከተል k ሲገነቡ ከተመረጡት የማትሪክስ ረድፎች ጋር ይዛመዳሉ)። ለእያንዳንዱ የረድፍ ቁጥሮች ጥምረት ሁሉንም የ k አምድ ቁጥሮች n ንጥረ ነገሮች በቅደም ተከተል እንጨምራለን ። እነዚህ የረድፍ ቁጥሮች ጥምረት እና የማትሪክስ A አምድ ቁጥሮች ሁሉንም ጥቃቅን ቅደም ተከተሎች ለመጻፍ ይረዳሉ.

በምሳሌ እንየው።

ለምሳሌ.

ሁሉንም የማትሪክስ ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ያግኙ።

መፍትሄ።

የዋናው ማትሪክስ ቅደም ተከተል 3 በ 3 ስለሆነ ፣ አጠቃላይ የሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ይሆናሉ .

ሁሉንም ከ 3 እስከ 2 የረድፍ ቁጥሮች ማትሪክስ A ውህዶችን እንፃፍ 1, 2; 1፣ 3 እና 2፣ 3። ሁሉም ከ 3 እስከ 2 የአምድ ቁጥሮች ጥምረት 1, 2; 1፣ 3 እና 2፣ 3።

የማትሪክስ A የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ረድፎችን እንውሰድ. ለእነዚህ ረድፎች የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ዓምዶችን ፣ የመጀመሪያ እና ሦስተኛ ዓምዶችን ፣ ሁለተኛውን እና ሦስተኛውን አምዶችን በመምረጥ አናሳዎቹን በቅደም ተከተል እናገኛለን ።

ለመጀመሪያዎቹ እና ለሦስተኛው ረድፎች, ተመሳሳይ የአምዶች ምርጫ, እኛ አለን

የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን ፣ አንደኛ እና ሶስተኛውን ፣ ሁለተኛ እና ሶስተኛውን አምዶች ወደ ሁለተኛው እና ሦስተኛው ረድፎች ለመጨመር ይቀራል ።

ስለዚህ፣ ሁሉም ዘጠኝ ሁለተኛ ደረጃ የማትሪክስ A ጥቃቅን ልጆች ተገኝተዋል።

አሁን የማትሪክስ ደረጃን ለመወሰን መቀጠል እንችላለን.

ፍቺ

ማትሪክስ ደረጃየማትሪክስ ዜሮ ያልሆኑ ጥቃቅን ከፍተኛው ቅደም ተከተል ነው።

የማትሪክስ ደረጃ A ደረጃ (A) ተብሎ ይገለጻል። እንዲሁም Rg(A) ወይም Rang(A) ስያሜዎችን ማግኘት ይችላሉ።

ከማትሪክስ ደረጃ እና አነስተኛ ማትሪክስ ትርጓሜዎች ፣ የዜሮ ማትሪክስ ደረጃ ከዜሮ ጋር እኩል ነው ፣ እና ዜሮ ያልሆነ ማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ያነሰ አይደለም ብለን መደምደም እንችላለን።

የማትሪክስ ደረጃን በፍቺ መፈለግ።

ስለዚህ, የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት የመጀመሪያው ዘዴ ነው ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን የመቁጠር ዘዴ. ይህ ዘዴ የማትሪክስ ደረጃን በመወሰን ላይ የተመሰረተ ነው.

የማትሪክስ A ቅደም ተከተል ደረጃ ማግኘት ያስፈልገናል.

ባጭሩ እንግለጽ አልጎሪዝምለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በመቁጠር ይህንን ችግር መፍታት.

የማትሪክስ ቢያንስ አንድ አካል ከዜሮ የተለየ ከሆነ ፣የማትሪክስ ደረጃ ቢያንስ ከአንድ ጋር እኩል ነው (ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ የመጀመሪያ ደረጃ ትንሽ ልጅ ስላለ)።

በመቀጠል ሁለተኛውን ቅደም ተከተል አናሳዎችን እንመለከታለን. ሁሉም ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ የማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው. የሁለተኛው ቅደም ተከተል ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ ትንሽ ከሆነ ፣ የሶስተኛውን ቅደም ተከተል አናሳዎችን መዘርዘር እንቀጥላለን ፣ እና የማትሪክስ ደረጃ ቢያንስ ከሁለት ጋር እኩል ነው።

በተመሳሳይ ፣ ሁሉም የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ዜሮ ከሆኑ ፣ ከዚያ የማትሪክስ ደረጃ ሁለት ነው። ከዜሮ ሌላ ቢያንስ አንድ የሶስተኛ ቅደም ተከተል አነስተኛ ከሆነ የማትሪክስ ደረጃ ቢያንስ ሶስት ነው እና ወደ አራተኛ ደረጃ ያልደረሱትን ወደ መቁጠር እንቀጥላለን።

የማትሪክስ ደረጃ ከፒ እና n ቁጥሮች ትንሹን መብለጥ እንደማይችል ልብ ይበሉ።

ለምሳሌ.

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ .

መፍትሄ።

ማትሪክስ ዜሮ ያልሆነ ስለሆነ, ደረጃው ከአንድ ያነሰ አይደለም.

የሁለተኛው ትዕዛዝ አነስተኛ ከዜሮ የተለየ ነው, ስለዚህ, የማትሪክስ A ደረጃ ቢያንስ ሁለት ነው. የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎችን ወደ መቁጠር እንሸጋገራለን. በጠቅላላው ነገሮች.

ሁሉም የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው። ስለዚህ, የማትሪክስ ደረጃ ሁለት ነው.

መልስ፡-

ደረጃ (A) = 2.

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ሕፃናትን ድንበር ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ማግኘት።

በአነስተኛ ስሌት ስራ ውጤቱን እንዲያገኙ የሚያስችልዎ የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት ሌሎች ዘዴዎች አሉ.

አንዱ እንደዚህ ዓይነት ዘዴ ነው የጠርዝ ጥቃቅን ዘዴ.

እንቋቋማለን። የጠርዝ ጥቃቅን ጽንሰ-ሀሳብ.

ከማትሪክስ ሀ (k+1) ኛ ቅደም ተከተል አንድ ትንሽ M ok ከማትሪክስ A አነስተኛ M ትእዛዝ k ጋር ይዋሰናል ተብሏል። ኤም.

በሌላ አገላለጽ ፣ ከድንበሩ ትንሽ M ጋር የሚዛመደው ማትሪክስ የሚገኘው ከአንድ ረድፍ እና ከአንድ አምድ ያሉትን ንጥረ ነገሮች በመሰረዝ ከድንበሩ ትንሽ M ok ጋር ከሚዛመደው ማትሪክስ ነው።

ለምሳሌ, ማትሪክስን አስቡበት እና ሁለተኛ ደረጃ ትንሽ ይውሰዱ. ሁሉንም አዋሳኝ ታዳጊዎችን እንፃፍ፡-

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን የመገደብ ዘዴው በሚከተለው ንድፈ ሃሳብ ይጸድቃል (አጻጻፉን ያለማስረጃ እናቀርባለን)።

ቲዎረም.

ከ kth ቅደም ተከተል አናሳ የማትሪክስ A of order p by n የሚዋሰኑ ሁሉም ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ፣ ሁሉም ያልደረሱ የትእዛዝ (k+1) ማትሪክስ A ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው።

ስለዚህ የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት በበቂ ሁኔታ ድንበር የሆኑትን ሁሉንም ታዳጊዎች ማለፍ አስፈላጊ አይደለም. የማትሪክስ A ማትሪክስ የ kth ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ቁጥር በቀመር ይገኛል . ከማትሪክስ A (k + 1) የትእዛዝ ታዳጊዎች ካሉት የ k-th ቅደም ተከተል አናሳ የሆኑ ታዳጊዎች እንደሌሉ ልብ ይበሉ። ስለዚህ, በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች, ለአካለ መጠን ያልደረሱ ሕፃናትን የመገደብ ዘዴን መጠቀም ሁሉንም ታዳጊዎችን ብቻ ከመቁጠር የበለጠ ትርፋማ ነው.

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ሕፃናትን ድንበር የማገናኘት ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ወደ መፈለግ እንሂድ። ባጭሩ እንግለጽ አልጎሪዝምይህ ዘዴ.

ማትሪክስ A ዜሮ ከሆነ፣ እንደ መጀመሪያ-ትዕዛዝ አናሳ እንደመሆናችን መጠን ከዜሮ የተለየ ማንኛውንም የማትሪክስ A አካል እንወስዳለን። አዋሳኝ የሆኑትን ታዳጊዎችን እንይ። ሁሉም ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ የማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው. ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አዋሳኝ አካለ መጠን ካለ (ትዕዛዙ ሁለት ነው)፣ ከዚያም የድንበሩን ታዳጊዎችን ግምት ውስጥ ማስገባት እንቀጥላለን። ሁሉም ዜሮ ከሆኑ ደረጃ(A) = 2። ቢያንስ አንድ አዋሳኝ አካለ መጠን ዜሮ ካልሆነ (ትዕዛዙ ሦስት ነው)፣ ከዚያም የድንበሩን ታዳጊዎችን እንመለከታለን። እናም ይቀጥላል. በውጤቱም፣ ደረጃ(A) = k ሁሉም የማትሪክስ (k + 1) ኛ ቅደም ተከተል ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ፣ ወይም ደረጃ(A) = ደቂቃ(p፣ n) ያልሆነ ካለ - ለአካለ መጠን ያልደረሰ የትዕዛዝ ድንበር ዜሮ አናሳ (ደቂቃ(p፣ n) – 1)

ምሳሌን ተጠቅመን የማትሪክስ ደረጃ ለማግኘት ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን የማዋረድ ዘዴን እንመልከት።

ለምሳሌ.

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በድንበር ዘዴ.

መፍትሄ።

የ1 1 ማትሪክስ ኤ ኤለመንት ዜሮ ያልሆነ ስለሆነ፣ እንደ መጀመሪያ-ትዕዛዝ አናሳ እንወስደዋለን። ከአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ ከዜሮ የተለየን መፈለግ እንጀምር፡-

የሁለተኛው ቅደም ተከተል ጠርዝ ትንሽ, ከዜሮ የተለየ, ተገኝቷል. ድንበሯን ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን እንይ (የእነሱ ነገሮች፡-

ከሁለተኛ ደረጃ ትንሽ ልጅ ጋር የሚገናኙ ሁሉም ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው, ስለዚህ, የማትሪክስ A ደረጃ ከሁለት ጋር እኩል ነው.

መልስ፡-

ደረጃ (A) = 2.

ለምሳሌ.

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ የድንበር ታዳጊዎችን በመጠቀም.

መፍትሄ።

እንደ መጀመሪያው ቅደም ተከተል ዜሮ ያልሆነ አናሳ፣ የማትሪክስ A ን 1 1 = 1 እንወስዳለን። የሁለተኛው ትእዛዝ አከባቢ ትንሽ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. ይህ ለአካለ መጠን ያልደረሰው በሦስተኛ ደረጃ ለአካለ መጠን ያልደረሰ ሰው ይዋሰናል።
. ከዜሮ ጋር እኩል ስላልሆነ እና ለእሱ አንድ ነጠላ ድንበር ትንሽ ስለሌለ, የማትሪክስ A ደረጃ ከሶስት እኩል ነው.

መልስ፡-

ደረጃ (A) = 3.

የአንደኛ ደረጃ ማትሪክስ ትራንስፎርሜሽን (የጋውስ ዘዴ) በመጠቀም ደረጃውን ማግኘት.

የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት ሌላ መንገድ እናስብ።

የሚከተሉት የማትሪክስ ለውጦች አንደኛ ደረጃ ይባላሉ፡-

• የማትሪክስ ረድፎችን (ወይም አምዶችን) እንደገና ማስተካከል;
• የማንኛውንም ረድፍ (አምድ) ማትሪክስ ንጥረ ነገሮች በዘፈቀደ ቁጥር k ከዜሮ የተለየ ማባዛት;
• በአንድ ረድፍ (አምድ) ላይ በማትሪክስ የሌላ ረድፍ (አምድ) ተጓዳኝ አካላት ላይ መጨመር በዘፈቀደ ቁጥር ተባዝቷል.

ማትሪክስ B ከማትሪክስ A ጋር እኩል ይባላል, B ከኤ የተገኘ ከሆነ የተወሰነ ቁጥር ያለው የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን በመጠቀም. የማትሪክስ እኩልነት “~” በሚለው ምልክት ይገለጻል፣ ማለትም፣ A ~ B የተጻፈ።

የአንደኛ ደረጃ ማትሪክስ ትራንስፎርሜሽን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ማግኘት በአረፍተ ነገሩ ላይ የተመሰረተ ነው፡- ማትሪክስ B ከማትሪክስ ሀ የተወሰነ ቁጥር ያላቸውን የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን በመጠቀም የተገኘ ከሆነ ደረጃ(A) = ደረጃ(B)።

የዚህ መግለጫ ትክክለኛነት ከማትሪክስ ወሳኙ ባህሪያት ይከተላል፡

• የማትሪክስ ረድፎችን (ወይም ዓምዶችን) እንደገና ሲያደራጁ የሚወስነው ምልክት ይለወጣል። ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ, ከዚያም ረድፎች (አምዶች) እንደገና ሲደራጁ, ከዜሮ ጋር እኩል ሆኖ ይቆያል.
• የማንኛውንም ረድፍ (አምድ) ማትሪክስ ንጥረ ነገሮች በዘፈቀደ ቁጥር k ከዜሮ ሌላ ሲያባዙ፣ የውጤቱ ማትሪክስ ወሳኙ ከዋናው ማትሪክስ መወሰኛ ጋር እኩል ነው። የዋናው ማትሪክስ መወሰኛ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ፣ ሁሉንም የረድፎች ወይም አምዶች አካላት በቁጥር k ካባዙ በኋላ የውጤቱ ማትሪክስ ወሰን ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል።
• በማትሪክስ የተወሰነ ረድፍ (አምድ) አካላት ላይ የሌላ ረድፍ (አምድ) ማትሪክስ ተጓዳኝ አካላትን ማከል በተወሰነ ቁጥር k ተባዝቷል ፣ የሚወስነውን አይለውጠውም።

የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ዘዴ ዋናው ነገርየመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ደረጃውን ወደ ትራፔዞይድ (በተለየ ሁኔታ ወደ ላይኛው ባለ ሶስት ማዕዘን) ማግኘት ያለብን ማትሪክስ መቀነስን ያካትታል።

ለምንድነው ይህ የሚደረገው? የዚህ አይነት ማትሪክስ ደረጃ ለማግኘት በጣም ቀላል ነው. ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አካል ከያዙ የመስመሮች ብዛት ጋር እኩል ነው። እና የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በሚያከናውንበት ጊዜ የማትሪክስ ደረጃ አይለወጥም, የተገኘው እሴት የዋናው ማትሪክስ ደረጃ ይሆናል.

የማትሪክስ ምሳሌዎችን እንሰጣለን, ከነዚህም አንዱ ከተቀየረ በኋላ ሊገኝ ይገባል. የእነሱ ገጽታ በማትሪክስ ቅደም ተከተል ይወሰናል.

እነዚህ ምሳሌዎች ማትሪክስ ሀ የምንለውጥባቸው አብነቶች ናቸው።

እንግለጽ ዘዴ ስልተ ቀመር.

ዜሮ ያልሆነ ማትሪክስ የትእዛዝ ደረጃን መፈለግ አለብን (p ከ n ጋር እኩል ሊሆን ይችላል)።

ስለዚህ,. የማትሪክስ A የመጀመሪያ ረድፍ ሁሉንም አካላት በ . በዚህ አጋጣሚ፣ A (1)ን የሚያመለክት ተመጣጣኝ ማትሪክስ እናገኛለን።

የውጤቱ ማትሪክስ A (1) በሁለተኛው ረድፍ አካላት ላይ የመጀመሪያውን ረድፍ ተጓዳኝ አካላትን እንጨምራለን ፣ ተባዝተናል። በሶስተኛው መስመር አካላት ላይ የመጀመሪያውን መስመር ተጓዳኝ አካላትን እንጨምራለን, ተባዝተናል. እና ስለዚህ እስከ p-th መስመር ድረስ. ተመሳሳዩን ማትሪክስ እናግኝ፣ A (2)ን አመልክት፦

ከሁለተኛው እስከ p-th ባሉት ረድፎች ውስጥ የሚገኙት ሁሉም የውጤት ማትሪክስ አካላት ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ ፣ የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው ፣ እና በዚህ ምክንያት የዋናው ማትሪክስ ደረጃ እኩል ነው። ወደ አንዱ።

ከሁለተኛው እስከ p-th ባሉት መስመሮች ውስጥ ቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አካል ካለ, ለውጦችን ማካሄድ እንቀጥላለን. በተጨማሪም ፣ እኛ በትክክል በተመሳሳይ መንገድ እንሰራለን ፣ ግን በስዕሉ ላይ ምልክት በተደረገበት የማትሪክስ A (2) ክፍል ብቻ።

ከሆነ፣ ረድፎቹን እና (ወይም) አምዶችን የማትሪክስ A (2) እናስተካክላለን ስለዚህም “አዲሱ” ንጥረ ነገር ዜሮ ያልሆነ ይሆናል።

ቲዎረም (ደረጃዎችን ስለመወሰን ትክክለኛነት).የማትሪክስ ታዳጊዎች ሁሉ ይፍቀዱ A m × n (\ displaystyle A_(m\times n))ማዘዝ k (\ displaystyle k)ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው ( M k = 0 (\ displaystyle M_(k)=0)). ከዚያም ∀ M k + 1 = 0 (\ displaystyle \ forall M_(k+1)=0)፣ እነሱ ካሉ። ስርዓተ-ጥለት: / ፍሬም

ተዛማጅ ትርጓሜዎች

ንብረቶች

• ቲዎረም (ስለ መሰረታዊ ጥቃቅን)ፍቀድ r = ደወል ⁡ A፣ M r (\ displaystyle r=\ኦፕሬተር ስም (ደወል) A፣M_(r))- የማትሪክስ መሠረት አነስተኛ ሀ (\ማሳያ ዘይቤ ሀ), ከዚያም:
• ውጤቶቹ፡-
• ቲዎረም (በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ውስጥ ስላለው የደረጃ ልዩነት)በአንደኛ ደረጃ ለውጦች እርስ በርስ ለተገኙ ማትሪክስ ማስታወሻ እናስተዋውቅ። ከዚያም የሚከተለው አባባል እውነት ነው፡ ከሆነ A ~ B (\ displaystyle A \ sim B ), ከዚያም ደረጃቸው እኩል ነው.
• ክሮኔከር-ካፔሊ ቲዎረም፡-የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት የዋናው ማትሪክስ ደረጃ ከተራዘመው ማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ከሆነ እና ወጥነት ያለው ነው። በተለየ ሁኔታ:
  • የስርዓቱ ዋና ተለዋዋጮች ቁጥር ከስርዓቱ ደረጃ ጋር እኩል ነው.
  • የስርዓቱ ደረጃ ከሁሉም ተለዋዋጮች ቁጥር ጋር እኩል ከሆነ ወጥነት ያለው ስርዓት ይገለጻል (መፍትሄው ልዩ ነው)።
• የሲልቬስተር አለመመጣጠን;ከሆነ ሀእና ለመጠን ማትሪክስ m x nእና n x k፣ ያ

r a n k A B ≥ r a n k A + r a n k B - n (\ displaystyle rankAB\geq rankA+rankB-n)

ይህ የሚከተለው ልዩነት ልዩ ሁኔታ ነው.

• የፍሮቤኒየስ አለመመጣጠን; AB፣ BC፣ ABC በትክክል ከተገለጹ፣ እንግዲያውስ

r a n k A B C ≥ r a n k A B + r a n k B C - r a n k B (\ displaystyle rankABC\geq rankAB+rankBC-rankB)

መስመራዊ ለውጥ እና ማትሪክስ ደረጃ

ፍቀድ ሀ (\ማሳያ ዘይቤ ሀ)- መጠን ማትሪክስ m × n (\ displaystyle m \ times n)በመስክ ላይ ሐ (\ማሳያ ዘይቤ ሐ)(ወይም አር (\ displaystyle R)). ፍቀድ ቲ (\ማሳያ ዘይቤ ቲ)- የመስመር ለውጥ ተዛማጅ ሀ (\ማሳያ ዘይቤ ሀ)በመደበኛ መሠረት; ማለት ነው። ቲ (x) = ሀ x (\ displaystyle T(x)=አክስ). ማትሪክስ ደረጃ ሀ (\ማሳያ ዘይቤ ሀ) የለውጥ ክልል ልኬት ነው። ቲ (\ማሳያ ዘይቤ ቲ).

ዘዴዎች

የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት ብዙ ዘዴዎች አሉ-

• የመጀመሪያ ደረጃ የለውጥ ዘዴ

የማትሪክስ ደረጃ በማትሪክስ ውስጥ ካሉት ዜሮ ያልሆኑ ረድፎች ብዛት ጋር እኩል ነው።

• የድንበር ጥቃቅን ዘዴ

ወደ ማትሪክስ ውስጥ ይግቡ ሀ (\ማሳያ ዘይቤ ሀ)ዜሮ ያልሆነ ትንሽ ተገኝቷል k (\ displaystyle k)- ትዕዛዝ M (\ displaystyle M). ሁሉንም ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን እናስብ (k + 1) (\ displaystyle (k+1))- ኛ ቅደም ተከተል ፣ (ጠርዝ) ጥቃቅንን ጨምሮ M (\ displaystyle M); ሁሉም ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ የማትሪክስ ደረጃው እኩል ነው k (\ displaystyle k). አለበለዚያ, ከድንበር ህጻናት መካከል ዜሮ ያልሆነ ዜሮ አለ, እና አጠቃላይ ሂደቱ ይደገማል.