Kirje, mis koosneb numbritest, märkidest ja sulgudest ning on samuti mõttekas, nimetatakse arvväljendiks.

Näiteks järgmised kirjed:

(100-32)/17,
2*4+7,
4*0.7 -3/5,
1/3 +5/7

saab olema numbriline. Tuleb mõista, et üks arv on ka numbriline avaldis. Meie näites on see arv 13.

Näiteks järgmised sissekanded

100 - *9,
/32)343

ei ole numbrilised avaldised, sest need on mõttetud ja on vaid arvude ja märkide kogum.

Numbriavaldise väärtus

Kuna aritmeetiliste tehete märgid on arvulistes avaldistes märkidena kaasatud, siis saame arvutada arvavaldise väärtuse. Selleks toimige järgmiselt.

Näiteks,

(100-32)/17 = 4, st avaldise (100-32)/17 puhul on selle arvavaldise väärtuseks arv 4.

2*4+7=15, on number 15 arvavaldise 2*4+7 väärtus.

Sageli ei kirjutata kirjetesse lühiduse huvides arvavaldise täisväärtust, vaid lihtsalt "avaldise väärtus", jättes sõna "numbriline".

Numbriline võrdsus

Kui kaks arvavaldist on kirjutatud võrdusmärgiga, siis need avaldised moodustavad arvulise võrdsuse. Näiteks avaldis 2*4+7=15 on arvuline võrdus.

Nagu ülalpool märgitud, saab numbrilistes avaldistes kasutada sulgusid. Nagu te juba teate, mõjutavad sulud toimingute järjekorda.

Üldiselt on kõik toimingud jagatud mitmeks etapiks.

Esimese sammu toimingud: liitmine ja lahutamine.
Teise etapi toimingud: korrutamine ja jagamine.
Kolmanda sammu toimingud – ruutudeks jagamine ja kuubikuks tõstmine.

Numbriavaldiste väärtuste arvutamise reeglid

Numbriavaldiste väärtuste arvutamisel tuleks järgida järgmisi reegleid.

1. Kui avaldises ei ole sulgusid, siis on vaja sooritada toiminguid alustades kõrgeimatest astmetest: kolmas samm, teine samm ja esimene samm. Kui samas etapis on mitu toimingut, tehakse need nende kirjutamise järjekorras, see tähendab vasakult paremale.
2. Kui avaldises on sulud, siis sooritatakse esmalt sulgudes olevad toimingud ja alles siis sooritatakse kõik terastoimingud tavapärases järjekorras. Sulgudes olevate toimingute tegemisel, kui neid on mitu, peaksite kasutama lõikes 1 kirjeldatud järjekorda.
3. Kui avaldis on murdosa, arvutatakse esmalt lugejas ja nimetajas olevad väärtused ning seejärel jagatakse lugeja nimetajaga.
4. Kui avaldis sisaldab pesastatud sulgusid, tuleb toimingud sooritada sisemistest sulgudest.

Numbrilised ja algebralised avaldised. Avaldise teisendamine.

Mis on avaldis matemaatikas? Miks on avaldiste teisendused vajalikud?

Küsimus, nagu öeldakse, on huvitav... Fakt on see, et need mõisted on kogu matemaatika aluseks. Kogu matemaatika koosneb avaldistest ja nende teisendustest. Pole väga selge? Las ma seletan.

Oletame, et teil on kuri näide. Väga suur ja väga keeruline. Oletame, et oled matemaatikas hea ja sa ei karda midagi! Kas saate kohe vastata?

Sa pead otsustama see näide. Järjestikku, samm-sammult, see näide lihtsustama. Teatud reeglite järgi muidugi. Need. tegema väljenduse teisendamine. Kui edukalt te neid teisendusi läbi viite, nii et olete matemaatikas tugev. Kui sa ei tea, kuidas õigeid teisendusi teha, siis matemaatikas sa ei oska mitte midagi...

Sellise ebamugava tuleviku (või oleviku ...) vältimiseks ei tee sellest teemast arugi.)

Alustuseks uurime välja mis on avaldis matemaatikas. Mida numbriline avaldis ja mis on algebraline avaldis.

Mis on avaldis matemaatikas?

Väljend matemaatikas on väga lai mõiste. Peaaegu kõik, millega me matemaatikas tegeleme, on matemaatiliste avaldiste kogum. Kõik näited, valemid, murrud, võrrandid ja nii edasi – see kõik koosneb matemaatilised avaldised.

3+2 on matemaatiline avaldis. c 2 - d 2 on ka matemaatiline avaldis. Ja terve murd ja isegi üks arv - need on kõik matemaatilised avaldised. Võrrand on näiteks:

5x + 2 = 12

koosneb kahest võrdusmärgiga ühendatud matemaatilisest avaldisest. Üks väljend on vasakul, teine on paremal.

Üldiselt termin matemaatiline avaldis" kasutatakse kõige sagedamini selleks, et mitte pomiseda. Nad küsivad, mis on näiteks tavaline murd? Ja kuidas vastata ?!

Vastus 1: "See on... m-m-m-m... selline asi ... milles ... kas ma saan murdosa paremini kirjutada? Kumba sa tahad?"

Teine vastusevariant: "Tavaline murd on (rõõmsalt ja rõõmsalt!) matemaatiline avaldis , mis koosneb lugejast ja nimetajast!"

Teine variant on kuidagi muljetavaldavam, eks?)

Sel eesmärgil kasutatakse fraasi " matemaatiline avaldis "väga hea. Nii korrektne kui soliidne. Kuid praktiliseks rakendamiseks peate olema hästi kursis matemaatika spetsiifilised väljenditüübid .

Konkreetne tüüp on teine asi. See on hoopis teine asi! Igal matemaatilise avaldise tüübil on minu oma reeglite ja võtete kogum, mida tuleb otsuse tegemisel kasutada. Murdudega töötamiseks - üks komplekt. Trigonomeetriliste avaldistega töötamiseks - teine. Logaritmidega töötamiseks - kolmas. Jne. Kusagil langevad need reeglid kokku, kuskil erinevad järsult. Kuid ärge kartke neid kohutavaid sõnu. Logaritme, trigonomeetriat ja muid salapäraseid asju õpime vastavates jaotistes.

Siin õpime (või kordame, nagu soovite ...) kahte peamist tüüpi matemaatilisi avaldisi. Arvulised avaldised ja algebraavaldised.

Numbrilised avaldised.

Mida numbriline avaldis? See on väga lihtne kontseptsioon. Nimi ise viitab sellele, et see on numbritega väljend. Nii see on. Arvudest, sulgudest ja aritmeetiliste tehtemärkidest koosnevat matemaatilist avaldist nimetatakse numbriliseks avaldiseks.

7-3 on numbriline avaldis.

(8+3,2) 5,4 on samuti arvuline avaldis.

Ja see koletis:

ka numbriline avaldis, jah...

Tavaline arv, murd, mis tahes arvutusnäide ilma x-i ja muude tähtedeta – kõik need on arvavaldised.

peamine omadus numbriline väljendeid selles kirju pole. Mitte ühtegi. Ainult numbrid ja matemaatilised ikoonid (vajadusel). See on lihtne, eks?

Ja mida saab teha numbriliste avaldistega? Arvulisi avaldisi saab tavaliselt üles lugeda. Selleks tuleb vahel avada sulgusid, märke vahetada, lühendada, termineid vahetada – st. tegema väljendite teisendused. Aga sellest lähemalt allpool.

Siin käsitleme sellist naljakat juhtumit, kui numbrilise avaldisega sa ei pea midagi tegema. No mitte midagi! See tore operatsioon mitte midagi teha)- täidetakse, kui avaldis pole mõtet.

Millal pole numbrilisel avaldisel mõtet?

Muidugi, kui näeme enda ees mingit abrakadabrat, nagu nt

siis me ei tee midagi. Kuna pole selge, mida sellega peale hakata. Mingi jama. Kui just plusside arvu kokku lugeda ...

Kuid on väliselt üsna korralikke väljendeid. Näiteks see:

(2+3): (16–2 8)

Kuid see väljend on ka pole mõtet! Sel lihtsal põhjusel, et teistes sulgudes – kui arvestada – saad nulli. Nulliga jagada ei saa! See on matemaatikas keelatud tehte. Seetõttu pole ka selle väljendiga vaja midagi peale hakata. Iga sellise väljendiga ülesande puhul on vastus alati sama: "Väljendil pole mõtet!"

Sellise vastuse andmiseks pidin loomulikult arvutama, mis sulgudes on. Ja vahel sulgudes selline väänamine... No pole midagi teha.

Matemaatikas pole nii palju keelatud tehteid. Selles lõimes on ainult üks. Nulliga jagamine. Juurtes ja logaritmis tekkivaid lisakeeldusid käsitletakse vastavates teemades.

Niisiis, ettekujutus sellest, mis on numbriline avaldis- sain. kontseptsioon numbrilisel avaldisel pole mõtet- taipas. Lähme edasi.

Algebralised avaldised.

Kui numbrilises avaldises esinevad tähed, muutub see avaldis... Avaldis muutub... Jah! See muutub algebraline avaldis. Näiteks:

5a 2; 3x-2a; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Selliseid väljendeid nimetatakse ka sõnasõnalised väljendid. Või muutujatega avaldised. See on praktiliselt sama asi. Väljendus 5a +c, näiteks - nii literaal- kui algebraline ning muutujatega avaldis.

kontseptsioon algebraline avaldis - laiem kui numbriline. See sisaldab ja kõik numbrilised avaldised. Need. numbriline avaldis on ka algebraline avaldis, ainult ilma tähtedeta. Iga heeringas on kala, aga mitte iga kala pole heeringas...)

Miks sõnasõnaline- See on selge. Noh, kuna seal on tähed ... Fraas avaldis muutujatega ka mitte väga segadust tekitav. Kui saate aru, et numbrid on tähtede all peidus. Tähtede alla saab peita igasuguseid numbreid ... Ja 5, ja -18 ja mis iganes meeldib. See tähendab, et kiri saab asendada erinevatele numbritele. Sellepärast tähti kutsutaksegi muutujad.

Väljendis y+5, Näiteks, juures- muutuv. Või lihtsalt ütle " muutuja", ilma sõna "väärtus". Erinevalt viiest, mis on püsiv väärtus. Või lihtsalt - konstantne.

Tähtaeg algebraline avaldis tähendab, et selle väljendiga töötamiseks peate kasutama seadusi ja reegleid algebra. Kui a aritmeetika töötab siis konkreetsete numbritega algebra- kõigi numbritega korraga. Lihtne näide selgituseks.

Aritmeetikas võib seda kirjutada

Aga kui kirjutame sarnase võrdsuse algebraliste avaldiste kaudu:

a + b = b + a

otsustame kohe kõik küsimused. Sest kõik numbrid insult. Lõpmatu hulga asjade jaoks. Sest kirjade all a ja b kaudne kõik numbrid. Ja mitte ainult numbreid, vaid isegi muid matemaatilisi avaldisi. Nii töötab algebra.

Millal pole algebralisel avaldisel mõtet?

Arvulise avaldise osas on kõik selge. Nulliga jagada ei saa. Ja kas tähtedega on võimalik teada saada, millega me jagame ?!

Võtame näitena järgmise muutujaavaldise:

2: (a - 5)

Kas see on arusaadav? Aga kes teda tunneb? a- suvaline number...

Ükskõik milline... Kuid sellel on üks tähendus a, mille puhul see väljend täpselt pole mõtet! Ja mis see number on? Jah! See on 5! Kui muutuja a asendage (nad ütlevad - "asenda") numbriga 5, sulgudes osutub null. mida ei saa jagada. Nii selgub, et meie väljend pole mõtet, kui a = 5. Aga muude väärtuste pärast a Kas see on arusaadav? Kas saate asendada muid numbreid?

Kindlasti. Sellistel juhtudel öeldakse lihtsalt, et väljend

2: (a - 5)

on iga väärtuse jaoks mõistlik a, välja arvatud a = 5 .

Kogu numbrite komplekt saab nimetatakse antud avaldisesse asendust kehtiv vahemik see väljend.

Nagu näete, pole midagi keerulist. Vaatame muutujatega avaldist ja mõtleme: millise muutuja väärtusega saadakse keelatud tehe (nulliga jagamine)?

Ja siis vaadake kindlasti ülesande küsimust. Mida nad küsivad?

pole mõtet, on vastuseks meie keelatud väärtus.

Kui nad küsivad, millise muutuja väärtusega avaldis omab tähendust(tunda erinevust!), on vastus kõik muud numbrid välja arvatud keelatud.

Miks me vajame väljendi tähendust? Ta on seal, teda pole... Mis vahet seal on?! Fakt on see, et see kontseptsioon muutub keskkoolis väga oluliseks. Ülimalt oluline! See on selliste kindlate mõistete aluseks nagu kehtivate väärtuste vahemik või funktsiooni ulatus. Ilma selleta ei saa te üldse lahendada tõsiseid võrrandeid ega ebavõrdsust. Nagu nii.

Avaldise teisendamine. Identiteedi transformatsioonid.

Tutvusime arv- ja algebraavaldistega. Saage aru, mida tähendab väljend "väljendil pole mõtet". Nüüd peame välja mõtlema, mida väljenduse teisendamine. Vastus on lihtne, ennekuulmatu.) See on igasugune väljendiga toiming. Ja see ongi kõik. Olete neid teisendusi teinud esimesest klassist saati.

Võtke lahe numbriline avaldis 3+5. Kuidas seda teisendada? Jah, väga lihtne! Arvutama:

See arvutus on avaldise teisendus. Saate kirjutada sama avaldise erineval viisil:

Me ei lugenud siin midagi. Lihtsalt kirjutage väljend üles erineval kujul. See on ka väljendi teisendus. Selle võib kirjutada nii:

Ja seegi on väljendi teisendus. Saate teha nii palju neid teisendusi, kui soovite.

Ükskõik milline tegevus väljendile ükskõik milline selle teistsugusel kujul kirjutamist nimetatakse avaldise teisenduseks. Ja kõik asjad. Kõik on väga lihtne. Kuid siin on üks asi väga oluline reegel. Nii oluline, et seda saab julgelt nimetada peamine reegel kogu matemaatika. Selle reegli rikkumine paratamatult viib vigadeni. Kas me saame aru?)

Oletame, et muutsime oma väljendit meelevaldselt järgmiselt:

Muutumine? Kindlasti. Kirjutasime väljendi teistsugusel kujul, mis siin valesti on?

See pole nii.) Fakt on see, et teisendused "mida iganes" matemaatika ei huvita üldse.) Kogu matemaatika on üles ehitatud teisendustele, milles välimus muutub, kuid väljendi olemus ei muutu. Kolm pluss viis võib kirjutada mis tahes kujul, kuid see peab olema kaheksa.

transformatsioonid, väljendid, mis ei muuda olemust helistas identsed.

Täpselt nii identsed teisendused ja võimaldavad meil samm-sammult muuta keerulise näite lihtsaks väljendiks, hoides näite olemus. Kui teeme teisenduste ahelas vea, teeme MITTE identse teisenduse, siis otsustame teine näide. Teiste vastustega, mis pole õigete vastustega seotud.)

Siin on mis tahes ülesannete lahendamise peamine reegel: teisenduste identiteedi järgimine.

Selguse mõttes tõin näite numbrilise avaldisega 3 + 5. Algebraavaldistes on valemite ja reeglitega antud identsed teisendused. Oletame, et algebras on valem:

a(b+c) = ab + ac

Nii et igas näites saame väljendi asemel a(b+c) kirjuta julgelt väljend ab+ac. Ja vastupidi. See on identne teisendus. Matemaatika annab meile võimaluse valida nende kahe väljendi vahel. Ja kumba kirjutada, sõltub konkreetsest näitest.

Veel üks näide. Üks olulisemaid ja vajalikumaid teisendusi on murdosa põhiomadus. Täpsemalt näete lingil, kuid siin tuletan lihtsalt meelde reeglit: kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada (jagada) sama arvuga või avaldisega, mis ei võrdu nulliga, siis murd ei muutu. Siin on näide selle atribuudi identsetest teisendustest:

Nagu arvatavasti arvasite, võib seda ahelat jätkata lõputult...) Väga oluline omadus. Just see võimaldab teil muuta kõikvõimalikud näidiskoletised valgeks ja kohevaks.)

On palju valemeid, mis defineerivad identseid teisendusi. Aga mis kõige tähtsam – üsna mõistlik summa. Üks põhilisi teisendusi on faktoriseerimine. Seda kasutatakse kogu matemaatikas – algtasemest edasijõudnuni. Alustame temast. järgmises õppetükis.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Numbriliste, sõnasõnaliste avaldiste ja muutujatega avaldiste teema uurimisel tuleb tähelepanu pöörata mõistele väljendi väärtus. Selles artiklis vastame küsimusele, mis on arvavaldise väärtus ja mida nimetatakse sõnasõnalise avaldise ja muutujate valitud väärtustega muutujatega avaldise väärtuseks. Nende määratluste selgitamiseks toome näiteid.

Leheküljel navigeerimine.

Mis on arvavaldise väärtus?

Tutvumine numbriliste avaldistega algab peaaegu kooli esimestest matemaatikatundidest. Peaaegu kohe võetakse kasutusele mõiste "arvulise avaldise väärtus". See viitab avaldistele, mis koosnevad aritmeetiliste märkidega (+, −, ·, :) ühendatud numbritest. Anname sobiva määratluse.

Definitsioon.

Numbriavaldise väärtus- see on arv, mis saadakse pärast kõigi toimingute sooritamist algses arvavaldises.

Mõelge näiteks numbrilisele avaldisele 1+2 . Pärast täitmist saame arvu 3, see on arvavaldise 1+2 väärtus.

Sageli jäetakse fraasis "numbrilise avaldise väärtus" sõna "numbriline" välja ja öeldakse lihtsalt "avaldise väärtus", kuna ikkagi on selge, millist avaldist silmas peetakse.

Ülaltoodud väljendi tähenduse määratlus kehtib ka keerukama vormiga arvväljendite kohta, mida õpitakse gümnaasiumis. Siinkohal tuleb märkida, et võib kohata arvulisi avaldisi, mille väärtusi ei saa täpsustada. See on tingitud asjaolust, et mõnes väljendis pole salvestatud toiminguid võimalik sooritada. Seetõttu ei saa me näiteks määrata avaldise 3:(2−2) väärtust. Selliseid arvulisi avaldisi nimetatakse väljendid, millel pole mõtet.

Sageli ei paku praktikas huvi mitte niivõrd numbriline avaldis, kuivõrd selle väärtus. See tähendab, et tekib ülesanne, mis seisneb selle avaldise väärtuse määramises. Sel juhul öeldakse tavaliselt, et peate leidma avaldise väärtuse. Käesolevas artiklis analüüsitakse üksikasjalikult erinevat tüüpi arvavaldiste väärtuse leidmise protsessi ja käsitletakse palju näiteid koos üksikasjalike lahenduste kirjeldustega.

Sõnasõnaliste ja muutuvate väljendite tähendus

Lisaks numbrilistele avaldistele uurivad nad ka sõnasõnalisi avaldisi, st väljendeid, milles koos numbritega on üks või mitu tähte. Literaalses avaldises olevad tähed võivad tähistada erinevaid numbreid ja kui tähed asendada nende numbritega, muutub sõnasõnaline avaldis numbriliseks.

Definitsioon.

Nimetatakse numbreid, mis asendavad tähti sõnasõnalises avaldises nende tähtede tähendused, ja kutsutakse välja saadud arvavaldise väärtus sõnasõnalise avaldise väärtus, võttes arvesse tähtede väärtusi.

Niisiis, sõnasõnaliste väljendite puhul ei räägita mitte ainult sõnasõnalise väljendi tähendusest, vaid ka sõnasõnalise väljendi tähendusest tähtede antud (antud, näidatud jne) väärtuste jaoks.

Võtame näite. Võtame sõnasõnalise avaldise 2·a+b . Olgu tähtede a ja b väärtused antud, näiteks a=1 ja b=6 . Asendades algses avaldises olevad tähed nende väärtustega, saame arvavaldise kujul 2 1+6 , selle väärtus on 8 . Seega on arv 8 sõnasõnalise avaldise 2·a+b väärtus, arvestades tähtede a=1 ja b=6 väärtusi. Kui antaks muud täheväärtused, saaksime nende täheväärtuste jaoks kirjasõnalise avaldise väärtuse. Näiteks, kui a=5 ja b=1 on meil väärtus 2 5+1=11 .

Gümnaasiumis algebrat õppides lastakse sõnasõnalistes avaldistes tähtedel omandada erinevaid tähendusi, selliseid tähti nimetatakse muutujateks ja literaalseid avaldisi muutujatega avaldisteks. Nende avaldiste jaoks võetakse muutujate valitud väärtuste jaoks kasutusele muutujatega avaldise väärtuse mõiste. Mõtleme välja, mis see on.

Definitsioon.

Avaldise väärtus muutujatega valitud muutujate väärtuste jaoks kutsutakse numbrilise avaldise väärtus, mis saadakse pärast muutujate valitud väärtuste asendamist algsesse avaldisesse.

Selgitagem kõlavat määratlust näitega. Vaatleme avaldist muutujatega x ja y kujul 3·x·y+y . Võtame x=2 ja y=4 , asendame need muutujate väärtused algsesse avaldisesse, saame arvavaldise 3 2 4+4 . Arvutame selle avaldise väärtuse: 3 2 4+4=24+4=28 . Leitud väärtus 28 on algse avaldise väärtus muutujatega 3·x·y+y koos muutujate x=2 ja y=4 valitud väärtustega.

Kui valite muud muutujate väärtused, näiteks x=5 ja y=0 , vastavad need valitud muutujate väärtused avaldise väärtusele muutujatega 3 5 0+0=0 .

Võib märkida, et mõnikord võib muutujate erinevate valitud väärtuste jaoks saada avaldise võrdsed väärtused. Näiteks x=9 ja y=1 korral on avaldise 3 x y+y väärtus 28 (kuna 3 9 1+1=27+1=28 ) ja eespool näitasime, et sama väärtus on avaldis muutujatel on x=2 ja y=4 .

Muutuvaid väärtusi saab valida nende vastavate hulgast vastuvõetavate väärtuste vahemikud. Vastasel juhul annab nende muutujate väärtuste asendamine algsesse avaldisesse numbrilise avaldise, millel pole mõtet. Näiteks kui valite x=0 ja asendate selle väärtuse avaldisega 1/x, saate arvulise avaldise 1/0, millel pole mõtet, kuna nulliga jagamine on määratlemata.

Jääb vaid lisada, et on muutujatega avaldisi, mille väärtused ei sõltu neis sisalduvate muutujate väärtustest. Näiteks avaldise väärtus muutujaga x kujul 2+x−x ei sõltu selle muutuja väärtusest, see on võrdne 2-ga muutuja x mis tahes valitud väärtuse jaoks selle kehtivate väärtuste vahemikust, mis antud juhul on kõigi reaalarvude hulk.

Bibliograafia.

Matemaatika: õpingud. 5 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lk.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Algebra:õpik 7 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 17. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 240 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.

ma Avaldisi, milles saab koos tähtedega kasutada ka numbreid, aritmeetiliste tehtemärke ja sulgusid, nimetatakse algebralisteks avaldisteks.

Algebraavaldiste näited:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Kuna algebralises avaldises võib tähte asendada mõne erineva numbriga, siis nimetatakse tähte muutujaks ja algebralist avaldist ennast muutujaga avaldiseks.

II. Kui algebralises avaldises asendatakse tähed (muutujad) nende väärtustega ja sooritatakse määratud toimingud, nimetatakse saadud arvu algebralise avaldise väärtuseks.

Näited. Leidke avaldise väärtus:

1) a + 2b -c, kui a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8; y = -5; z = 6.

Otsus.

1) a + 2b -c, kui a = -2; b = 10; c = -3,5. Muutujate asemel asendame nende väärtused. Saame:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8; y = -5; z = 6. Asendame määratud väärtused. Pidage meeles, et negatiivse arvu moodul on võrdne selle vastandarvuga ja positiivse arvu moodul on võrdne selle arvu endaga. Saame:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Tähe (muutuja) väärtusi, mille jaoks algebraline avaldis on mõttekas, nimetatakse tähe (muutuja) kehtivateks väärtusteks.

Näited. Milliste muutuja väärtuste korral pole avaldisel mõtet?

Otsus. Teame, et nulliga jagada on võimatu, seetõttu pole kõigil nendel avaldistel mõtet selle tähe (muutuja) väärtusega, mis muudab murdosa nimetaja nulliks!

Näites 1) on see väärtus a = 0. Tõepoolest, kui me asendame 0 asemel, siis tuleb arv 6 jagada 0-ga, kuid seda ei saa teha. Vastus: avaldis 1) pole mõtet, kui a = 0.

Näites 2) nimetaja x - 4 = 0 x = 4, seega seda väärtust x = 4 ja seda ei saa võtta. Vastus: avaldis 2) ei ole x = 4 jaoks mõttekas.

Näites 3) on nimetaja x + 2 = 0, kui x = -2. Vastus: avaldis 3) ei ole x = -2 juures mõtet.

Näites 4) on nimetaja 5 -|x| = 0 |x| jaoks = 5. Ja kuna |5| = 5 ja |-5| \u003d 5, siis ei saa te võtta x \u003d 5 ja x \u003d -5. Vastus: avaldis 4) pole mõtet x = -5 ja x = 5 korral.
IV. Kaht avaldist peetakse identselt võrdseks, kui muutujate mis tahes lubatud väärtuste korral on nende avaldiste vastavad väärtused võrdsed.

Näide: 5 (a - b) ja 5a - 5b on identsed, kuna võrdsus 5 (a - b) = 5a - 5b kehtib a ja b mis tahes väärtuste korral. Võrdsus 5 (a - b) = 5a - 5b on identiteet.

Identiteet on võrdus, mis kehtib selles sisalduvate muutujate kõigi lubatud väärtuste kohta. Näited teile juba teadaolevatest identiteetidest on näiteks liitmise ja korrutamise omadused, jaotusomadus.

Ühe avaldise asendamist teisega, sellega identselt võrdsega, nimetatakse identseks teisenduseks või lihtsalt avaldise teisendamiseks. Muutujatega avaldiste identsed teisendused tehakse arvudega tehtavate tehtete omaduste põhjal.

Näited.

a) teisenda avaldis identselt võrdseks, kasutades korrutamise jaotusomadust:

1) 10 (1,2x + 2,3 a); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Otsus. Tuletage meelde korrutamise jaotusomadust (seadust):

(a+b) c=a c+b c(korrutamise jaotusseadus liitmise suhtes: kahe arvu summa korrutamiseks kolmanda arvuga saab iga liikme selle arvuga korrutada ja tulemused liita).
(a-b) c=a c-b c(korrutamise jaotusseadus lahutamise suhtes: kahe arvu erinevuse korrutamiseks kolmanda arvuga saate korrutada selle arvuga, mida on vähendatud ja lahutatud, ning lahutada esimesest tulemusest teine).

1) 10 (1,2x + 2,3 a) \u003d 10 1,2x + 10 2,3 a = 12x + 23 a.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) teisenda avaldis identselt võrdseks, kasutades liitmise kommutatiivseid ja assotsiatiivseid omadusi (seadusi):

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Otsus. Rakendame liitmise seadusi (omadusi):

a+b=b+a(nihe: summa ei muutu tingimuste ümberpaigutamisel).
(a+b)+c=a+(b+c)(assotsiatiivne: kahe liikme summale kolmanda arvu lisamiseks saate esimesele numbrile lisada teise ja kolmanda summa).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

sisse) teisenda avaldis identselt võrdseks, kasutades korrutamise kommutatiivseid ja assotsiatiivseid omadusi (seadusi):

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2a · (-üks); 9) 3a · (-3) · 2s.

Otsus. Rakendame korrutamise seadusi (omadusi):

a b=b a(nihe: tegurite permutatsioon ei muuda korrutist).
(a b) c=a (b c)(kombinatiiv: kahe arvu korrutise korrutamiseks kolmanda arvuga saate esimese arvu korrutada teise ja kolmanda korrutisega).

Ülesande sõnastus: Leia avaldise väärtus (tegevused murdarvudega).

Ülesanne on osa matemaatika KASUTAMISE algtasemest 11. klassile numbriga 1 (Murdudega toimingud).

Vaatame, kuidas selliseid probleeme näidete abil lahendatakse.

Ülesande 1 näide:

Leidke avaldise väärtus 5/4 + 7/6: 2/3.

Arvutame avaldise väärtuse. Selleks määratleme tehte järjekorra: kõigepealt korrutamine ja jagamine, seejärel liitmine ja lahutamine. Ja me teostame vajalikud toimingud õiges järjekorras:

Vastus: 3

Ülesande 2 näide:

Leia avaldise väärtus (3,9 - 2,4) ∙ 8,2

Vastus: 12.3

Ülesande 3 näide:

Leidke avaldise väärtus 27 ∙ (1/3 - 4/9 - 5/27).

Arvutame avaldise väärtuse. Selleks määratleme tehte järjekorra: kõigepealt korrutamine ja jagamine, seejärel liitmine ja lahutamine. Sel juhul tehakse sulgudes olevad toimingud enne sulgude väliseid toiminguid. Ja me teostame vajalikud toimingud õiges järjekorras:

Vastus: -8

Ülesande 4 näide:

Leidke avaldise väärtus 2,7 / (1,4 + 0,1)