Aina ya somo: somo la jumla na utaratibu wa maarifa

Malengo:

kielimu- kurudia ufafanuzi wa digrii, sheria za kuzidisha na kugawanya digrii, kuinua digrii hadi digrii, kuunganisha uwezo wa kutatua mifano iliyo na digrii;
zinazoendelea- Ukuzaji wa fikra za kimantiki za wanafunzi, kupendezwa na nyenzo zinazosomwa;
kuelimisha- kukuza mtazamo wa kuwajibika kwa kujifunza, utamaduni wa mawasiliano, hisia ya umoja.

Vifaa: kompyuta, projekta ya media titika, ubao mweupe shirikishi, wasilisho la "Shahada" kwa ajili ya kuhesabu simulizi, kadi za kazi, vijitabu.

Mpango wa somo:

Wakati wa kuandaa.
Kurudiwa kwa kanuni
Kuhesabu kwa maneno.
Rejea ya historia.
Kazi ya ubao.
Fizkultminutka.
Fanya kazi kwenye ubao mweupe unaoingiliana.
Kazi ya kujitegemea.
Kazi ya nyumbani.
Kwa muhtasari wa somo.

Wakati wa madarasa

I. Wakati wa shirika

Uwasilishaji wa mada na malengo ya somo.

Katika masomo yaliyopita, uligundua ulimwengu wa ajabu wa digrii, ulijifunza jinsi ya kuzidisha na kugawanya digrii, na kuziinua kwa nguvu. Leo tunapaswa kuunganisha ujuzi uliopatikana kwa kutatua mifano.

II. Kurudiwa kwa kanuni(kwa mdomo)

Toa ufafanuzi wa shahada na kiashirio cha asili? (kwa nguvu ya nambari a yenye kipeo cha asili kikubwa kuliko 1 inaitwa bidhaa n multipliers, ambayo kila moja ni sawa na a.)
Jinsi ya kuzidisha nguvu mbili? (Ili kuzidisha nguvu kwa msingi sawa, lazima uache msingi sawa na uongeze vielelezo.)
Jinsi ya kugawanya digrii kwa digrii? (Ili kugawanya mamlaka kwa msingi sawa, lazima uache msingi sawa na uondoe vielelezo.)
Jinsi ya kuongeza bidhaa kwa nguvu? (Ili kuongeza bidhaa kwa nguvu, unahitaji kuinua kila sababu kwa nguvu hiyo)
Jinsi ya kuongeza digrii hadi digrii? (Ili kuongeza nguvu kwa mamlaka, unahitaji kuacha msingi sawa, na kuzidisha vielelezo)

III. Kuhesabu kwa maneno(kwa multimedia)

IV. Rejea ya historia

Matatizo yote yanatokana na mafunjo ya Ahmes, ambayo yaliandikwa yapata 1650 KK. e. kuhusiana na mazoezi ya ujenzi, uwekaji mipaka ya viwanja vya ardhi, nk. Kazi zimewekwa kwa mada. Kwa sehemu kubwa, hizi ni kazi za kutafuta maeneo ya pembetatu, quadrilaterals na duara, shughuli mbalimbali na integers na sehemu, mgawanyiko wa uwiano, kupata uwiano, pia kuna kuinua kwa digrii tofauti, kutatua equations ya shahada ya kwanza na ya pili. na mmoja asiyejulikana.

Hakuna maelezo wala ushahidi wowote. Matokeo yaliyohitajika hutolewa moja kwa moja, au algorithm fupi ya hesabu yake inatolewa. Njia hii ya uwasilishaji, mfano wa sayansi ya nchi za Mashariki ya Kale, inapendekeza kwamba hesabu huko ilikua kwa njia ya jumla na dhana ambazo hazikuunda nadharia yoyote ya jumla. Hata hivyo, kuna ushahidi mwingi katika mafunjo kwamba wanahisabati wa Misri waliweza kung'oa mizizi na kuongeza nguvu, kutatua milinganyo, na hata kuwa na misingi ya algebra.

V. Kazi ya ubao

Pata thamani ya usemi kwa njia ya busara:

Kuhesabu thamani ya usemi:

VI. Dakika ya elimu ya mwili

kwa macho
kwa shingo
kwa mikono
kwa torso
kwa miguu

VII. Kutatua tatizo(na onyesho la ubao mweupe unaoingiliana)

Je, mzizi wa equation ni nambari chanya?

a) 3x + (-0.1) 7 = (-0.496) 4 (x > 0)

b) (10.381) 5 = (-0.012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Kazi ya kujitegemea

IX. Kazi ya nyumbani

X. Kufanya muhtasari wa somo

Uchambuzi wa matokeo, matangazo ya darasa.

Tutatumia maarifa tuliyopata kuhusu digrii katika kutatua milinganyo, matatizo katika shule ya upili, na pia mara nyingi hupatikana katika mtihani.

Fomula za nguvu kutumika katika mchakato wa kupunguza na kurahisisha misemo changamano, katika kutatua milinganyo na kukosekana kwa usawa.

Nambari c ni n- nguvu ya nambari a lini:

Operesheni na digrii.

1. Kuzidisha digrii kwa msingi sawa, viashiria vyao huongeza:

ma n = a m + n .

2. Katika mgawanyiko wa digrii na msingi sawa, viashiria vyao vinatolewa:

3. Kiwango cha bidhaa ya mambo 2 au zaidi ni sawa na bidhaa ya digrii za mambo haya:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Kiwango cha sehemu ni sawa na uwiano wa digrii za mgao na mgawanyiko:

(a/b) n = a n / b n.

5. Kuinua nguvu kwa mamlaka, vielelezo vinazidishwa:

(am) n = a m n .

Kila fomula hapo juu ni sahihi katika mwelekeo kutoka kushoto kwenda kulia na kinyume chake.

kwa mfano. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operesheni na mizizi.

1. Mzizi wa bidhaa ya mambo kadhaa ni sawa na bidhaa ya mizizi ya mambo haya:

2. Mzizi wa uwiano ni sawa na uwiano wa mgawanyiko na mgawanyiko wa mizizi:

3. Wakati wa kuinua mzizi kwa nguvu, inatosha kuinua nambari ya mizizi kwa nguvu hii:

4. Ikiwa tunaongeza kiwango cha mzizi ndani n mara moja na wakati huo huo kuongeza kwa n th power ni nambari ya mzizi, basi thamani ya mzizi haitabadilika:

5. Ikiwa tunapunguza kiwango cha mzizi ndani n mizizi wakati huo huo n th digrii kutoka kwa nambari kali, basi thamani ya mzizi haitabadilika:

Shahada yenye kipeo hasi. Kiwango cha nambari fulani kilicho na kipeo kisicho chanya (jumla) kinafafanuliwa kuwa kile kilichogawanywa na kiwango cha nambari sawa na kipeo sawa na thamani kamili ya kipeo kikuu kisicho chanya:

Mfumo m:a n = a m - n inaweza kutumika sio tu kwa m> n, lakini pia kwa m< n.

kwa mfano. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kwa formula m:a n = a m - n ikawa haki m=n, unahitaji uwepo wa shahada ya sifuri.

Shahada yenye kipeo sifuri. Nguvu ya nambari yoyote isiyo ya sifuri yenye kipeo sifuri ni sawa na moja.

kwa mfano. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Digrii iliyo na kipeo cha sehemu. Ili kuongeza idadi halisi a kwa kiwango m/n, unahitaji kuchimba mzizi n shahada ya m nguvu ya nambari hii a.

Sehemu: Hisabati

Aina ya somo: somo la jumla na utaratibu wa maarifa

Malengo:

kielimu- kurudia ufafanuzi wa digrii, sheria za kuzidisha na kugawanya digrii, kuinua digrii hadi digrii, kuunganisha uwezo wa kutatua mifano iliyo na digrii;

zinazoendelea- Ukuzaji wa fikra za kimantiki za wanafunzi, kupendezwa na nyenzo zinazosomwa;

kuelimisha- kukuza mtazamo wa kuwajibika kwa kujifunza, utamaduni wa mawasiliano, hisia ya umoja.

Vifaa: kompyuta, projekta ya media titika, ubao mweupe shirikishi, wasilisho la "Shahada" kwa ajili ya kuhesabu simulizi, kadi za kazi, vijitabu.

Mpango wa somo:

Wakati wa kuandaa.

Kurudiwa kwa kanuni

Kuhesabu kwa maneno.

Rejea ya historia.

Kazi ya ubao.

Fizkultminutka.

Fanya kazi kwenye ubao mweupe unaoingiliana.

Kazi ya kujitegemea.

Kazi ya nyumbani.

Kwa muhtasari wa somo.

Wakati wa madarasa

I. Wakati wa shirika

Uwasilishaji wa mada na malengo ya somo.

II. Kurudiwa kwa kanuni(kwa mdomo)

Toa ufafanuzi wa shahada na kiashirio cha asili? (kwa nguvu ya nambari a yenye kipeo cha asili kikubwa kuliko 1 inaitwa bidhaa n multipliers, ambayo kila moja ni sawa na a.)
Jinsi ya kuzidisha nguvu mbili? (Ili kuzidisha nguvu kwa msingi sawa, lazima uache msingi sawa na uongeze vielelezo.)
Jinsi ya kugawanya digrii kwa digrii? (Ili kugawanya mamlaka kwa msingi sawa, lazima uache msingi sawa na uondoe vielelezo.)
Jinsi ya kuongeza bidhaa kwa nguvu? (Ili kuongeza bidhaa kwa nguvu, unahitaji kuinua kila sababu kwa nguvu hiyo)
Jinsi ya kuongeza digrii hadi digrii? (Ili kuongeza nguvu kwa mamlaka, unahitaji kuacha msingi sawa, na kuzidisha vielelezo)

III. Kuhesabu kwa maneno(kwa multimedia)

IV. Rejea ya historia

V. Kazi ya ubao

Pata thamani ya usemi kwa njia ya busara:

Kuhesabu thamani ya usemi:

VI. Dakika ya elimu ya mwili

kwa macho
kwa shingo
kwa mikono
kwa torso
kwa miguu

VII. Kutatua tatizo(na onyesho la ubao mweupe unaoingiliana)

Je, mzizi wa equation ni nambari chanya?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Fomula za nguvu na mizizi.

Fomula za nguvu kutumika katika mchakato wa kupunguza na kurahisisha misemo changamano, katika kutatua milinganyo na kukosekana kwa usawa.

Nambari c ni n- nguvu ya nambari a lini:

Operesheni na digrii.

1. Kuzidisha digrii kwa msingi sawa, viashiria vyao huongeza:

2. Katika mgawanyiko wa digrii na msingi sawa, viashiria vyao vinatolewa:

3. Kiwango cha bidhaa ya mambo 2 au zaidi ni sawa na bidhaa ya digrii za mambo haya:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Kiwango cha sehemu ni sawa na uwiano wa digrii za mgao na mgawanyiko:

5. Kuinua nguvu kwa mamlaka, vielelezo vinazidishwa:

Kila fomula hapo juu ni sahihi katika mwelekeo kutoka kushoto kwenda kulia na kinyume chake.

Operesheni na mizizi.

1. Mzizi wa bidhaa ya mambo kadhaa ni sawa na bidhaa ya mizizi ya mambo haya:

2. Mzizi wa uwiano ni sawa na uwiano wa mgawanyiko na mgawanyiko wa mizizi:

3. Wakati wa kuinua mzizi kwa nguvu, inatosha kuinua nambari ya mizizi kwa nguvu hii:

4. Ikiwa tunaongeza kiwango cha mzizi ndani n mara moja na wakati huo huo kuongeza kwa n th power ni nambari ya mzizi, basi thamani ya mzizi haitabadilika:

5. Ikiwa tunapunguza kiwango cha mzizi ndani n mizizi wakati huo huo n th digrii kutoka kwa nambari kali, basi thamani ya mzizi haitabadilika:

Kiwango cha nambari fulani kilicho na kipeo kisicho chanya (jumla) kinafafanuliwa kuwa kile kilichogawanywa na kiwango cha nambari sawa na kipeo sawa na thamani kamili ya kipeo kikuu kisicho chanya:

Mfumo m :a n \u003d a m - n inaweza kutumika sio tu kwa m > n, lakini pia kwa m 4:a 7 \u003d a 4 - 7 \u003d a -3.

Kwa formula m :a n \u003d a m - n ikawa haki m=n, unahitaji uwepo wa shahada ya sifuri.

Nguvu ya nambari yoyote isiyo ya sifuri yenye kipeo sifuri ni sawa na moja.

Ili kuongeza idadi halisi a kwa kiwango m/n, unahitaji kuchimba mzizi n- shahada kutoka m nguvu ya nambari hii a:

Fomula za digrii.

6. a — n = - mgawanyiko wa digrii;

7. - mgawanyiko wa digrii;

8. a 1/n = ;

Digrii za Utawala wa Utendaji wenye Shahada

1. Kiwango cha bidhaa ya mambo mawili au zaidi ni sawa na bidhaa ya digrii za mambo haya (yenye kiashiria sawa):

(abc…) n = a n b n c n …

Mfano 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Mfano 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a)(x - a)] 3 =( x + a) 3 (x - a) 3

Katika mazoezi, mabadiliko ya kinyume ni muhimu zaidi:

a n b n c n … = (abc …) n

hizo. bidhaa ya nguvu sawa ya kiasi kadhaa ni sawa na nguvu sawa ya bidhaa ya kiasi hiki.

Mfano 3 Mfano 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 \u003d [(a + b) (a 2 - ab + b 2)] 2 \u003d (a 3 + b 3) 2

2. Kiwango cha mgawo (sehemu) ni sawa na mgawo wa kugawanya kiwango sawa cha mgawanyiko kwa kiwango sawa cha kigawanyiko:

Mfano 5 Mfano 6

Mabadiliko ya nyuma:. Mfano 7 . Mfano 8 .

3. Wakati wa kuzidisha nguvu kwa misingi sawa, vielelezo vinaongezwa:

Mfano 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Mfano 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5 .

4. Wakati wa kugawanya mamlaka kwa msingi sawa, kipeo cha kigawanyo kinatolewa kutoka kwa kipeo cha mgao.

Mfano 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Mfano 12. (x-y) 3:(x-y) 2 = x-y.

5. Wakati wa kuinua digrii kwa nguvu, vielelezo vinazidishwa:

Mfano 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Mfano 14

www.maths.yfa1.ru

Digrii na Mizizi

Uendeshaji kwa nguvu na mizizi. Shahada yenye hasi ,

sifuri na sehemu kiashirio. Kuhusu maneno ambayo hayana maana.

Operesheni na digrii.

1. Wakati wa kuzidisha nguvu kwa msingi sawa, viashiria vyao huongezwa:

m · a n = a m + n .

2. Wakati wa kugawanya digrii na msingi sawa, viashiria vyao kupunguzwa .

3. Kiwango cha bidhaa ya mambo mawili au zaidi ni sawa na bidhaa ya digrii za mambo haya.

4. Kiwango cha uwiano (sehemu) ni sawa na uwiano wa digrii za mgao (numerator) na kigawanyiko (denominator):

(a/b) n = a n / b n.

5. Wakati wa kuongeza digrii kwa nguvu, viashiria vyao vinazidishwa:

Fomula zote zilizo hapo juu zinasomwa na kutekelezwa kwa pande zote mbili kutoka kushoto kwenda kulia na kinyume chake.

MFANO (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operesheni na mizizi. Katika fomula zote hapa chini, ishara inamaanisha mzizi wa hesabu(msemo mkali ni chanya).

1. Mzizi wa bidhaa ya mambo kadhaa ni sawa na bidhaa ya mizizi ya mambo haya:

2. Mzizi wa uwiano ni sawa na uwiano wa mizizi ya mgawanyiko na mgawanyiko:

3. Wakati wa kuinua mzizi kwa nguvu, inatosha kuinua kwa nguvu hii nambari ya mizizi:

4. Ikiwa unaongeza kiwango cha mzizi kwa mara m na wakati huo huo kuongeza nambari ya mizizi kwa digrii ya m -th, basi thamani ya mizizi haitabadilika:

5. Ikiwa unapunguza kiwango cha mzizi kwa mara m na wakati huo huo uondoe mzizi wa shahada ya mth kutoka kwa nambari ya radical, basi thamani ya mizizi haitabadilika:

Upanuzi wa dhana ya shahada. Hadi sasa, tumezingatia digrii tu na kiashiria cha asili; lakini shughuli zenye nguvu na mizizi pia zinaweza kusababisha hasi, sufuri na sehemu viashiria. Vielezi hivi vyote vinahitaji ufafanuzi wa ziada.

Shahada yenye kipeo hasi. Kiwango cha nambari fulani kilicho na kipeo hasi (jumla) kinafafanuliwa kuwa kile kilichogawanywa na kiwango cha nambari sawa na kipeo sawa na thamani kamili ya kipeo hasi:

Sasa formula m : n = m-n inaweza kutumika sio tu kwa m, zaidi ya n, lakini pia kwa m, chini ya n .

MFANO a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Ikiwa tunataka formula m : n = m — n ilikuwa ya haki m = n, tunahitaji ufafanuzi wa shahada ya sifuri.

Shahada yenye kipeo sifuri. Kiwango cha nambari yoyote isiyo ya sifuri yenye kipeo sifuri ni 1.

MIFANO. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Digrii iliyo na kipeo cha sehemu. Ili kuongeza nambari halisi a kwa nguvu m / n, unahitaji kutoa mzizi wa digrii ya nth kutoka kwa nguvu ya mth ya nambari hii a:

Kuhusu maneno ambayo hayana maana. Kuna maneno kadhaa kama haya.

wapi a ≠ 0 , haipo.

Kwa kweli, ikiwa tunafikiria hivyo x ni nambari fulani, basi, kwa mujibu wa ufafanuzi wa operesheni ya mgawanyiko, tunayo: a = 0· x, i.e. a= 0, ambayo inapingana na hali: a ≠ 0

— nambari yoyote.

Hakika, ikiwa tunadhani kwamba usemi huu ni sawa na idadi fulani x, basi kulingana na ufafanuzi wa operesheni ya mgawanyiko tunayo: 0 = 0 x. Lakini usawa huu unashikilia nambari yoyote x, ambayo ilipaswa kuthibitishwa.

0 0 — nambari yoyote.

Suluhisho. Fikiria kesi kuu tatu:

1) x = 0 – thamani hii haikidhi mlingano huu

2) lini x> 0 tunapata: x /x= 1, i.e. 1 = 1, inatoka wapi,

nini x- nambari yoyote; lakini kwa kuzingatia hilo

kesi yetu x> 0 , jibu ni x > 0 ;

sifa za shahada

Tunakukumbusha kwamba katika somo hili tunaelewa sifa za shahada na viashiria vya asili na sifuri. Digrii zilizo na viashiria vya busara na mali zao zitajadiliwa katika masomo ya daraja la 8.

Kielelezo kilicho na kielelezo cha asili kina mali kadhaa muhimu zinazokuwezesha kurahisisha mahesabu katika mifano ya kielelezo.

Mali #1
Bidhaa ya mamlaka

Wakati wa kuzidisha nguvu na msingi sawa, msingi unabaki bila kubadilika, na wafadhili huongezwa.

a m a n \u003d a m + n, ambapo "a" ni nambari yoyote, na "m", "n" ni nambari zozote za asili.

Mali hii ya mamlaka pia huathiri bidhaa ya mamlaka tatu au zaidi.

Rahisisha usemi.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
Wasilisha kama shahada.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
Wasilisha kama shahada.
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Tafadhali kumbuka kuwa katika mali iliyoonyeshwa ilikuwa tu juu ya kuzidisha nguvu na besi sawa.. Haitumiki kwa nyongeza yao.

Huwezi kubadilisha jumla (3 3 + 3 2) na 3 5 . Hii inaeleweka kama
hesabu (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 na 3 5 = 243

Mali #2
Digrii za kibinafsi

Wakati wa kugawanya mamlaka na msingi sawa, msingi unabaki bila kubadilika, na kielelezo cha kigawanyiko kinatolewa kutoka kwa kielelezo cha mgao.

Andika mgawo kama nguvu
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
Piga hesabu.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Mfano. Tatua mlinganyo. Tunatumia mali ya digrii za sehemu.
3 8: t = 3 4

Jibu: t = 3 4 = 81

Kwa kutumia sifa Nambari 1 na Nambari 2, unaweza kurahisisha misemo na kufanya mahesabu kwa urahisi.

Mfano. Rahisisha usemi.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

Mfano. Tafuta thamani ya usemi kwa kutumia sifa za digrii.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Tafadhali kumbuka kuwa mali 2 ilihusika tu na mgawanyiko wa mamlaka na misingi sawa.

Huwezi kubadilisha tofauti (4 3 -4 2) na 4 1 . Hii inaeleweka ukihesabu (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, na 4 1 = 4

Mali #3
Ufafanuzi

Wakati wa kuinua nguvu kwa nguvu, msingi wa nguvu unabaki bila kubadilika, na vielelezo vinazidishwa.

(a n) m \u003d a n m, ambapo "a" ni nambari yoyote, na "m", "n" ni nambari zozote za asili.

Mfano.
(a 4) 6 = a 4 6 = a 24

Mfano. Express 3 20 kama nguvu na msingi 3 2 .

Kwa mali ya ufafanuzi Inajulikana kuwa vielelezo huzidishwa vinapoinuliwa kwa mamlaka, ambayo inamaanisha:

Mali 4
Kiwango cha bidhaa

Wakati wa kuongeza nguvu kwa nguvu ya bidhaa, kila kipengele kinafufuliwa kwa nguvu hiyo na matokeo yanazidishwa.

(a b) n \u003d a n b n, ambapo "a", "b" ni nambari zozote za kimantiki; "n" ni nambari yoyote asilia.

Mfano 1
(6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
Mfano 2
(−x 2 y) 6 = ((-1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

Tafadhali kumbuka kuwa mali Nambari 4, kama sifa zingine za digrii, pia inatumika kwa mpangilio wa nyuma.

(a n b n)= (a b) n

Hiyo ni, kuzidisha digrii na vielelezo sawa, unaweza kuzidisha besi, na kuacha kielelezo bila kubadilika.

Mfano. Piga hesabu.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
Mfano. Piga hesabu.
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

Katika mifano changamano zaidi, kunaweza kuwa na matukio wakati kuzidisha na kugawanya lazima kufanyike kwa nguvu zilizo na misingi tofauti na vielezi tofauti. Katika kesi hii, tunakushauri kufanya zifuatazo.

Kwa mfano, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Mfano wa upanuzi wa sehemu ya desimali.

4 21 (-0.25) 20 = 4 4 20 (-0.25) 20 = 4 (4 (-0.25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

Mali 5
Nguvu ya mgawo (sehemu)

Ili kuongeza mgawo kwa nguvu, unaweza kuongeza gawio na mgawanyiko kando kwa nguvu hii, na ugawanye matokeo ya kwanza na ya pili.

(a: b) n \u003d a n: b n, ambapo "a", "b" ni nambari yoyote ya busara, b ≠ 0, n ni nambari yoyote ya asili.

Mfano. Eleza usemi kama nguvu za sehemu.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Tunakukumbusha kwamba mgawo unaweza kuwakilishwa kama sehemu. Kwa hivyo, tutakaa juu ya mada ya kuongeza sehemu kwa nguvu kwa undani zaidi kwenye ukurasa unaofuata.

Kiwango cha kwanza

Shahada na sifa zake. Mwongozo wa Kina (2019)

Kwa nini digrii zinahitajika? Unazihitaji wapi? Kwa nini unahitaji kutumia wakati kuzisoma?

Ili kujifunza kila kitu kuhusu digrii, ni nini, jinsi ya kutumia ujuzi wako katika maisha ya kila siku, soma makala hii.

Na, bila shaka, kujua digrii kutakuleta karibu na kufaulu kwa OGE au Uchunguzi wa Jimbo la Umoja na kuingia chuo kikuu cha ndoto zako.

Twende... (Twende!)

Kumbuka muhimu! Ikiwa badala ya fomula unaona ujinga, futa akiba yako. Ili kufanya hivyo, bonyeza CTRL+F5 (kwenye Windows) au Cmd+R (kwenye Mac).

NGAZI YA KWANZA

Ufafanuzi ni operesheni sawa ya hisabati kama kujumlisha, kutoa, kuzidisha au kugawanya.

Sasa nitaeleza kila kitu kwa lugha ya binadamu kwa kutumia mifano rahisi sana. Makini. Mifano ni ya msingi, lakini eleza mambo muhimu.

Wacha tuanze na kuongeza.

Hakuna cha kueleza hapa. Tayari unajua kila kitu: kuna wanane wetu. Kila mmoja ana chupa mbili za cola. Kola ngapi? Hiyo ni kweli - chupa 16.

Sasa kuzidisha.

Mfano sawa na cola unaweza kuandikwa kwa njia tofauti:. Wanahisabati ni watu wajanja na wavivu. Kwanza wanaona mifumo fulani, na kisha kuja na njia ya "kuhesabu" kwa kasi zaidi. Kwa upande wetu, waliona kwamba kila mmoja wa watu wanane alikuwa na idadi sawa ya chupa za cola na walikuja na mbinu inayoitwa kuzidisha. Kukubaliana, inachukuliwa kuwa rahisi na kwa kasi zaidi kuliko.

Kwa hiyo, kuhesabu kwa kasi, rahisi na bila makosa, unahitaji tu kukumbuka meza ya kuzidisha. Bila shaka, unaweza kufanya kila kitu polepole, ngumu na kwa makosa! Lakini…

Hapa kuna jedwali la kuzidisha. Rudia.

Na nyingine, nzuri zaidi:

Na ni mbinu gani nyingine gumu za kuhesabu ambazo wanahisabati wavivu walikuja nazo? Haki - kuinua nambari kwa nguvu.

Kuinua nambari hadi nguvu

Ikiwa unahitaji kuzidisha nambari yenyewe mara tano, basi wanahisabati wanasema kwamba unahitaji kuongeza nambari hii kwa nguvu ya tano. Kwa mfano, . Wanahisabati wanakumbuka kuwa nguvu mbili hadi tano ni. Na wanasuluhisha shida kama hizo katika akili zao - haraka, rahisi na bila makosa.

Ili kufanya hivyo, unahitaji tu kumbuka kile kilichoonyeshwa kwa rangi kwenye jedwali la nguvu za nambari. Niamini, itafanya maisha yako kuwa rahisi zaidi.

Kwa njia, kwa nini shahada ya pili inaitwa mraba nambari, na ya tatu mchemraba? Ina maana gani? Swali zuri sana. Sasa utakuwa na mraba na cubes.

Mfano wa maisha halisi #1

Wacha tuanze na mraba au nguvu ya pili ya nambari.

Hebu fikiria bwawa la mraba la kupima mita kwa mita. Bwawa liko kwenye uwanja wako wa nyuma. Kuna joto na ninataka sana kuogelea. Lakini ... bwawa bila chini! Ni muhimu kufunika chini ya bwawa na matofali. Unahitaji tiles ngapi? Ili kuamua hili, unahitaji kujua eneo la chini ya bwawa.

Unaweza kuhesabu kwa kunyoosha kidole chako kuwa chini ya bwawa kuna cubes za mita kwa mita. Ikiwa tiles zako ni mita kwa mita, utahitaji vipande. Ni rahisi ... Lakini uliona wapi tile kama hiyo? Tile itakuwa badala ya cm kwa cm.Na kisha utateswa na "kuhesabu kwa kidole chako". Kisha unapaswa kuzidisha. Kwa hiyo, kwa upande mmoja wa chini ya bwawa, tutafaa tiles (vipande) na kwa upande mwingine, pia, tiles. Kuzidisha kwa, unapata tiles ().

Je! umegundua kuwa tulizidisha nambari sawa peke yake ili kuamua eneo la chini ya bwawa? Ina maana gani? Kwa kuwa nambari sawa imezidishwa, tunaweza kutumia mbinu ya udhihirisho. (Kwa kweli, unapokuwa na nambari mbili tu, bado unahitaji kuzizidisha au kuziinua kwa nguvu. Lakini ikiwa una nyingi, basi kuinua kwa nguvu ni rahisi zaidi na pia kuna makosa machache katika mahesabu. Kwa mtihani, hii ni muhimu sana).
Kwa hiyo, thelathini hadi shahada ya pili itakuwa (). Au unaweza kusema kuwa mraba thelathini itakuwa. Kwa maneno mengine, nguvu ya pili ya nambari inaweza kuwakilishwa kama mraba kila wakati. Na kinyume chake, ukiona mraba, ni DAIMA nguvu ya pili ya nambari fulani. Mraba ni taswira ya nguvu ya pili ya nambari.

Mfano wa maisha halisi #2

Hapa kuna kazi kwako, hesabu ni miraba ngapi kwenye ubao wa chess ukitumia mraba wa nambari ... Upande mmoja wa seli na kwa upande mwingine pia. Ili kuhesabu idadi yao, unahitaji kuzidisha nane kwa nane, au ... ikiwa unaona kwamba chessboard ni mraba na upande, basi unaweza mraba nane. Pata seli. () Kwa hiyo?

Mfano wa maisha halisi #3

Sasa mchemraba au nguvu ya tatu ya nambari. Bwawa sawa. Lakini sasa unahitaji kujua ni maji ngapi yatalazimika kumwagika kwenye bwawa hili. Unahitaji kuhesabu kiasi. (Volumes na liquids, kwa njia, hupimwa kwa mita za ujazo. Haijatarajiwa, sawa?) Chora bwawa: chini ya mita kwa ukubwa na kina cha mita na jaribu kuhesabu ni mita ngapi ya cubes ya mita itaingia kwenye bwawa lako.

Ingiza tu kidole chako na uhesabu! Moja, mbili, tatu, nne…ishirini na mbili, ishirini na tatu… Ilikua kiasi gani? Je, si kupotea? Je, ni vigumu kuhesabu kwa kidole chako? Kwahivyo! Chukua mfano kutoka kwa wanahisabati. Wao ni wavivu, kwa hiyo waliona kwamba ili kuhesabu kiasi cha bwawa, unahitaji kuzidisha urefu wake, upana na urefu kwa kila mmoja. Kwa upande wetu, kiasi cha bwawa kitakuwa sawa na cubes ... Rahisi zaidi, sawa?

Sasa fikiria jinsi wanahisabati walivyo wavivu na wajanja ikiwa watafanya hivyo kuwa rahisi sana. Imepunguza kila kitu kwa hatua moja. Waliona kwamba urefu, upana na urefu ni sawa na kwamba idadi sawa ni kuongezeka kwa yenyewe ... Na hii ina maana gani? Hii ina maana kwamba unaweza kutumia shahada. Kwa hiyo, kile ulichohesabu mara moja kwa kidole, wanafanya kwa hatua moja: tatu katika mchemraba ni sawa. Imeandikwa hivi:

Inabaki tu kukariri meza ya digrii. Isipokuwa, bila shaka, wewe ni mvivu na mjanja kama wanahisabati. Ikiwa unapenda kufanya kazi kwa bidii na kufanya makosa, unaweza kuendelea kuhesabu kwa kidole chako.

Kweli, ili hatimaye kukushawishi kuwa digrii hizo ziligunduliwa na loafers na watu wenye hila kutatua shida zao za maisha, na sio kukuletea shida, hapa kuna mifano michache zaidi kutoka kwa maisha.

Mfano wa maisha halisi #4

Una rubles milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, unapata milioni nyingine kwa kila milioni. Hiyo ni, kila moja ya milioni yako mwanzoni mwa kila mwaka huongezeka maradufu. Utakuwa na pesa ngapi kwa miaka? Ikiwa sasa umekaa na "kuhesabu kwa kidole chako", basi wewe ni mtu mwenye bidii sana na .. mjinga. Lakini uwezekano mkubwa utatoa jibu katika sekunde chache, kwa sababu wewe ni smart! Kwa hiyo, katika mwaka wa kwanza - mara mbili mbili ... katika mwaka wa pili - nini kilichotokea, kwa mbili zaidi, mwaka wa tatu ... Acha! Uligundua kuwa nambari hiyo inazidishwa yenyewe mara moja. Kwa hivyo nguvu mbili hadi tano ni milioni! Sasa fikiria kwamba una ushindani na yule anayehesabu kwa kasi atapata mamilioni haya ... Je, ni thamani ya kukumbuka digrii za nambari, unafikiri nini?

Mfano wa maisha halisi #5

Una milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, unapata mbili zaidi kwa kila milioni. Ni nzuri sawa? Kila milioni ni mara tatu. Utakuwa na pesa ngapi kwa mwaka? Hebu tuhesabu. Mwaka wa kwanza - kuzidisha, kisha matokeo kwa mwingine ... Tayari ni boring, kwa sababu tayari umeelewa kila kitu: tatu huzidishwa na yenyewe mara. Kwa hivyo nguvu ya nne ni milioni. Unahitaji tu kukumbuka kuwa nguvu tatu hadi nne ni au.

Sasa unajua kuwa kwa kuongeza nambari kwa nguvu, utafanya maisha yako kuwa rahisi zaidi. Wacha tuangalie zaidi kile unachoweza kufanya na digrii na kile unachohitaji kujua kuzihusu.

Masharti na dhana ... ili usichanganyikiwe

Kwa hiyo, kwanza, hebu tufafanue dhana. Nini unadhani; unafikiria nini, kielelezo ni nini? Ni rahisi sana - hii ndiyo nambari ambayo iko "juu" ya nguvu ya nambari. Sio kisayansi, lakini wazi na rahisi kukumbuka ...

Naam, wakati huo huo, nini msingi kama huo wa digrii? Hata rahisi zaidi ni nambari iliyo chini, chini.

Hapa kuna picha ili uwe na uhakika.

Kweli, kwa ujumla, ili kujumlisha na kukumbuka bora ... Shahada iliyo na msingi "" na kiashiria "" inasomwa kama "katika digrii" na imeandikwa kama ifuatavyo.

Nguvu ya nambari iliyo na kipeo asilia

Labda tayari umekisia: kwa sababu kipeo ni nambari asilia. Ndiyo, lakini ni nini nambari ya asili? Msingi! Nambari za asili ni zile zinazotumiwa katika kuhesabu wakati wa kuorodhesha vitu: moja, mbili, tatu ... Tunapohesabu vitu, hatusemi: "minus tano", "minus sita", "minus saba". Hatusemi "theluthi moja" au "sifuri nukta tano sehemu ya kumi" pia. Hizi sio nambari za asili. Unafikiri nambari hizi ni nini?

Nambari kama "ondoa tano", "toa sita", "toa saba" hurejelea nambari nzima. Kwa ujumla, nambari kamili ni pamoja na nambari zote asilia, nambari zilizo kinyume na nambari asilia (yaani, zilizochukuliwa na ishara ya minus), na nambari. Zero ni rahisi kuelewa - hii ni wakati hakuna kitu. Na nambari hasi ("minus") inamaanisha nini? Lakini ziligunduliwa kimsingi kuashiria deni: ikiwa una usawa kwenye simu yako katika rubles, hii inamaanisha kuwa unadaiwa rubles za waendeshaji.

Sehemu zote ni nambari za busara. Walikujaje, unafikiri? Rahisi sana. Miaka elfu kadhaa iliyopita, babu zetu waligundua kwamba hawakuwa na idadi ya kutosha ya asili ya kupima urefu, uzito, eneo, nk. Na walikuja na nambari za busara… Inavutia, sivyo?

Pia kuna nambari zisizo na maana. Nambari hizi ni nini? Kwa kifupi, sehemu ya desimali isiyo na kikomo. Kwa mfano, ikiwa unagawanya mzunguko wa mduara kwa kipenyo chake, basi unapata nambari isiyo na maana.

Muhtasari:

Wacha tufafanue wazo la digrii, kielelezo chake ambacho ni nambari asilia (hiyo ni nambari kamili na chanya).

Nambari yoyote kwa nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe:
Kuweka nambari mraba ni kuzidisha peke yake:
Kuweka nambari ni kuzidisha yenyewe mara tatu:

Ufafanuzi. Kuinua nambari kwa nguvu asilia ni kuzidisha nambari peke yake mara:
.

Tabia za digrii

Mali hizi zimetoka wapi? Nitakuonyesha sasa.

Hebu tuone ni nini na ?

Kwa ufafanuzi:

Je, kuna vizidishi vingapi kwa jumla?

Ni rahisi sana: tuliongeza sababu kwa sababu, na matokeo yake ni sababu.

Lakini kwa ufafanuzi, hii ni kiwango cha nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni: , ambayo ilihitajika kuthibitishwa.

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho:

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho: Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu lazima lazima iwe sababu sawa!
Kwa hivyo, tunachanganya digrii na msingi, lakini kubaki sababu tofauti:

tu kwa bidhaa za mamlaka!

Kwa hali yoyote unapaswa kuandika hivyo.

2. yaani - nguvu ya nambari

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeuke kwa ufafanuzi wa digrii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa kweli, hii inaweza kuitwa "bracketing kiashiria". Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:

Hebu tukumbuke fomula za kuzidisha kwa kifupi: ni mara ngapi tulitaka kuandika?

Lakini hiyo si kweli, kwa kweli.

Shahada yenye msingi hasi

Hadi kufikia hatua hii, tumejadili tu kile kielelezo kinapaswa kuwa.

Lakini msingi unapaswa kuwa nini?

Katika digrii kutoka kiashiria cha asili msingi unaweza kuwa nambari yoyote. Hakika, tunaweza kuzidisha nambari yoyote kwa kila mmoja, iwe ni chanya, hasi, au hata.

Wacha tufikirie juu ya ishara gani (" " au "") zitakuwa na digrii za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari itakuwa chanya au hasi? A? ? Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Baada ya yote, tunakumbuka sheria rahisi kutoka kwa daraja la 6: "mara minus minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini ikiwa tunazidisha kwa, inageuka.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Je, uliweza?

Hapa kuna majibu: Katika mifano minne ya kwanza, natumai kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo, na kutumia sheria inayofaa.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mfano 5), kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni hata, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa chanya kila wakati.

Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena!

6 mifano ya mazoezi

Uchambuzi wa suluhisho 6 mifano

Ikiwa hatuzingatii daraja la nane, tunaona nini hapa? Wacha tuangalie programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, kumbuka? Hii ndiyo fomula iliyofupishwa ya kuzidisha, yaani tofauti ya miraba! Tunapata:

Tunaangalia kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio usio sahihi wa masharti. Ikiwa zilibadilishwa, sheria inaweza kutumika.

Lakini jinsi ya kufanya hivyo? Inageuka kuwa ni rahisi sana: hata shahada ya denominator inatusaidia hapa.

Masharti yamebadilisha maeneo kichawi. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa uhuru ishara kwenye mabano.

Lakini ni muhimu kukumbuka: ishara zote hubadilika kwa wakati mmoja!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

mzima tunataja nambari za asili, kinyume chake (hiyo ni, kuchukuliwa na ishara "") na nambari.

nambari chanya, na sio tofauti na asili, basi kila kitu kinaonekana sawasawa katika sehemu iliyopita.

Sasa hebu tuangalie kesi mpya. Wacha tuanze na kiashiria sawa na.

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja:

Kama kawaida, tunajiuliza: kwa nini hii ni hivyo?

Fikiria nguvu fulani na msingi. Chukua, kwa mfano, na uzidishe kwa:

Kwa hivyo, tulizidisha nambari kwa, na tukapata sawa na ilivyokuwa -. Ni nambari gani inapaswa kuzidishwa na ili hakuna kitu kinachobadilika? Hiyo ni kweli, endelea. Maana.

Tunaweza kufanya vivyo hivyo na nambari ya kiholela:

Wacha turudie sheria:

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja.

Lakini kuna tofauti kwa sheria nyingi. Na hapa pia iko - hii ni nambari (kama msingi).

Kwa upande mmoja, lazima iwe sawa na shahada yoyote - bila kujali ni kiasi gani unazidisha sifuri peke yake, bado unapata sifuri, hii ni wazi. Lakini kwa upande mwingine, kama nambari yoyote hadi digrii sifuri, lazima iwe sawa. Kwa hivyo ukweli wa hii ni nini? Wanahisabati waliamua kutojihusisha na kukataa kuongeza sifuri hadi nguvu ya sifuri. Hiyo ni, sasa hatuwezi tu kugawanya kwa sifuri, lakini pia kuinua kwa nguvu ya sifuri.

Twende mbele zaidi. Mbali na nambari za asili na nambari, nambari kamili ni pamoja na nambari hasi. Ili kuelewa digrii hasi ni nini, wacha tufanye sawa na mara ya mwisho: tunazidisha nambari fulani ya kawaida kwa kiwango hasi:

Kuanzia hapa tayari ni rahisi kuelezea unayotaka:

Sasa tunapanua sheria inayosababisha kwa kiwango cha kiholela:

Kwa hivyo, wacha tutengeneze sheria:

Nambari hadi nguvu hasi ni kinyume cha nambari sawa hadi nguvu chanya. Lakini wakati huo huo msingi hauwezi kuwa batili:(kwa sababu haiwezekani kugawanyika).

Hebu tufanye muhtasari:

I. Usemi haufafanuliwa katika hali. Ikiwa, basi.

II. Nambari yoyote kwa nguvu ya sifuri ni sawa na moja: .

III. Nambari ambayo si sawa na sifuri kwa nguvu hasi ni kinyume cha nambari sawa hadi nguvu chanya: .

Kazi za suluhisho la kujitegemea:

Kweli, kama kawaida, mifano ya suluhisho la kujitegemea:

Uchambuzi wa kazi kwa suluhisho la kujitegemea:

Najua, najua, nambari zinatisha, lakini kwenye mtihani lazima uwe tayari kwa chochote! Tatua mifano hii au uchanganue suluhisho lake ikiwa hukuweza kuitatua na utajifunza jinsi ya kukabiliana nayo kwa urahisi kwenye mtihani!

Wacha tuendelee kupanua mduara wa nambari "zinazofaa" kama kielelezo.

Sasa fikiria nambari za busara. Ni nambari gani zinazoitwa mantiki?

Jibu: yote ambayo yanaweza kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni integers, zaidi ya hayo.

Ili kuelewa ni nini "shahada ya sehemu" Wacha tuzingatie sehemu:

Wacha tuinue pande zote mbili za equation kwa nguvu:

Sasa kumbuka kanuni "shahada kwa digrii":

Ni nambari gani inapaswa kuongezwa ili kupata nguvu?

Uundaji huu ndio ufafanuzi wa mzizi wa digrii ya th.

Acha nikukumbushe: mzizi wa nguvu ya nambari () ni nambari ambayo, inapoinuliwa kwa nguvu, ni sawa.

Hiyo ni, mzizi wa shahada ya th ni uendeshaji wa inverse wa ufafanuzi: .

Inageuka kuwa. Kwa wazi, kesi hii maalum inaweza kupanuliwa:.

Sasa ongeza nambari: ni nini? Jibu ni rahisi kupata na sheria ya nguvu-kwa-nguvu:

Lakini msingi unaweza kuwa nambari yoyote? Baada ya yote, mzizi hauwezi kutolewa kutoka kwa nambari zote.

Hakuna!

Kumbuka sheria: nambari yoyote iliyoinuliwa hadi nguvu sawa ni nambari chanya. Hiyo ni, haiwezekani kutoa mizizi ya digrii hata kutoka kwa nambari hasi!

Na hii inamaanisha kuwa nambari kama hizo haziwezi kuinuliwa kwa nguvu ya sehemu na dhehebu hata, ambayo ni kusema, usemi hauna maana.

Vipi kuhusu kujieleza?

Lakini hapa tatizo linatokea.

Nambari inaweza kuwakilishwa kama sehemu zingine, zilizopunguzwa, kwa mfano, au.

Na inageuka kuwa iko, lakini haipo, na hizi ni rekodi mbili tofauti za nambari sawa.

Au mfano mwingine: mara moja, basi unaweza kuandika. Lakini mara tu tunapoandika kiashiria kwa njia tofauti, tunapata shida tena: (yaani, tulipata matokeo tofauti kabisa!).

Ili kuepuka utata kama huo, fikiria kipeo chanya cha msingi pekee chenye kipeo cha sehemu.

Kwa hivyo ikiwa:

- nambari ya asili;
ni nambari kamili;

Mifano:

Nguvu zilizo na kipeo cha busara ni muhimu sana kwa kubadilisha misemo na mizizi, kwa mfano:

5 mifano ya mazoezi

Uchambuzi wa mifano 5 ya mafunzo

Kweli, sasa - ngumu zaidi. Sasa tutachambua shahada na kipeo kisicho na mantiki.

Sheria zote na sifa za digrii hapa ni sawa kabisa na digrii zilizo na kielelezo cha busara, isipokuwa

Kwa kweli, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na mantiki ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili (yaani, nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa zile za busara).

Wakati wa kusoma digrii kwa kiashirio cha asili, kamili na cha kimantiki, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi.

Kwa mfano, kielelezo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa;

...nguvu sifuri- hii ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado haijaanza kuzidishwa, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo, matokeo yake ni "maandalizi fulani ya nambari”, ambayo ni nambari;

...kipeo kamili hasi- ni kana kwamba "mchakato wa kurudi nyuma" umefanyika, ambayo ni kwamba, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Kwa njia, sayansi mara nyingi hutumia digrii na kielelezo changamani, ambayo ni, kielelezo sio nambari halisi.

Lakini shuleni, hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

AMBAPO TUNA UHAKIKA UTAKWENDA! (ikiwa utajifunza jinsi ya kutatua mifano kama hii :))

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Uchambuzi wa suluhisho:

1. Wacha tuanze na sheria ya kawaida ya kuongeza digrii hadi digrii:

Sasa angalia alama. Je, anakukumbusha chochote? Tunakumbuka fomula ya kuzidisha kwa kifupi tofauti ya miraba:

Kwa kesi hii,

Inageuka kuwa:

Jibu: .

2. Tunaleta sehemu katika vipeo kwa muundo sawa: ama desimali au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:

Jibu: 16

3. Hakuna maalum, tunatumia sifa za kawaida za digrii:

KIWANGO CHA JUU

Ufafanuzi wa shahada

Shahada ni kielelezo cha fomu: , ambapo:

— msingi wa shahada;
- kielelezo.

Shahada yenye kipeo asilia (n = 1, 2, 3,...)

Kuinua nambari hadi nguvu asilia n inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:

Nguvu yenye kipeo kamili (0, ±1, ±2,...)

Ikiwa kipeo ni nambari chanya nambari:

erection kwa nguvu sifuri:

Usemi huo hauna kikomo, kwa sababu, kwa upande mmoja, kwa kiwango chochote ni hiki, na kwa upande mwingine, nambari yoyote hadi digrii ya th ni hii.

Ikiwa kipeo ni hasi kamili nambari:

(kwa sababu haiwezekani kugawanyika).

Wakati mmoja zaidi kuhusu nulls: usemi haujafafanuliwa katika kesi hiyo. Ikiwa, basi.

Mifano:

Shahada yenye kipeo cha busara

- nambari ya asili;
ni nambari kamili;

Mifano:

Tabia za digrii

Ili iwe rahisi kutatua matatizo, hebu jaribu kuelewa: mali hizi zilitoka wapi? Hebu tuyathibitishe.

Wacha tuone: ni nini na?

Kwa ufafanuzi:

Kwa hivyo, upande wa kulia wa usemi huu, bidhaa ifuatayo inapatikana:

Lakini kwa ufafanuzi, hii ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni:

Q.E.D.

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : .

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu lazima lazima iwe na msingi sawa. Kwa hivyo, tunachanganya digrii na msingi, lakini kubaki sababu tofauti:

Ujumbe mwingine muhimu: sheria hii - tu kwa bidhaa za mamlaka!

Kwa hali yoyote sipaswi kuandika hivyo.

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeuke kwa ufafanuzi wa digrii:

Wacha tuipange upya kama hii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio -th nguvu ya nambari:

Kwa kweli, hii inaweza kuitwa "bracketing kiashiria". Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:!

Hebu tukumbuke fomula za kuzidisha kwa kifupi: ni mara ngapi tulitaka kuandika? Lakini hiyo si kweli, kwa kweli.

Nguvu yenye msingi hasi.

Hadi wakati huu, tumejadili tu kile kinachopaswa kuwa kiashirio shahada. Lakini msingi unapaswa kuwa nini? Katika digrii kutoka asili kiashirio msingi unaweza kuwa nambari yoyote .

Hakika, tunaweza kuzidisha nambari yoyote kwa kila mmoja, iwe ni chanya, hasi, au hata. Wacha tufikirie juu ya ishara gani (" " au "") zitakuwa na digrii za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari itakuwa chanya au hasi? A? ?

Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Baada ya yote, tunakumbuka sheria rahisi kutoka kwa daraja la 6: "mara minus minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini ikiwa tunazidisha kwa (), tunapata -.

Na kadhalika ad infinitum: kwa kuzidisha kila baadae, ishara itabadilika. Unaweza kuunda sheria hizi rahisi:

hata shahada, - nambari chanya.
Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
Nambari chanya kwa nguvu yoyote ni nambari chanya.
Sufuri kwa nguvu yoyote ni sawa na sifuri.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Je, uliweza? Hapa kuna majibu:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mifano minne ya kwanza, natumaini kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo, na kutumia sheria inayofaa.

Katika mfano 5), kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni hata, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa chanya kila wakati. Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena. Hapa unahitaji kujua ambayo ni kidogo: au? Ikiwa unakumbuka hilo, inakuwa wazi kwamba, ambayo ina maana kwamba msingi ni chini ya sifuri. Hiyo ni, tunatumia kanuni ya 2: matokeo yatakuwa mabaya.

Na tena tunatumia ufafanuzi wa digrii:

Kila kitu ni kama kawaida - tunaandika ufafanuzi wa digrii na kuzigawanya kwa kila mmoja, kuzigawanya katika jozi na kupata:

Kabla ya kuchambua sheria ya mwisho, hebu tutatue mifano michache.

Kuhesabu maadili ya maneno:

Ufumbuzi :

Ikiwa hatuzingatii daraja la nane, tunaona nini hapa? Wacha tuangalie programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, kumbuka? Hii ndiyo fomula iliyofupishwa ya kuzidisha, yaani tofauti ya miraba!

Tunapata:

Tunaangalia kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio usio sahihi wa masharti. Ikiwa zingebadilishwa, sheria ya 3 inaweza kutumika. Lakini jinsi ya kufanya hivyo? Inageuka kuwa ni rahisi sana: hata shahada ya denominator inatusaidia hapa.

Ukizidisha kwa, hakuna kinachobadilika, sawa? Lakini sasa inaonekana kama hii:

Masharti yamebadilisha maeneo kichawi. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa uhuru ishara kwenye mabano. Lakini ni muhimu kukumbuka: ishara zote hubadilika kwa wakati mmoja! Haiwezi kubadilishwa kwa kubadilisha minus moja tu isiyofaa kwetu!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Kwa hivyo sasa sheria ya mwisho:

Je, tutathibitishaje hilo? Kwa kweli, kama kawaida: wacha tupanue wazo la digrii na kurahisisha:

Naam, sasa hebu tufungue mabano. Kutakuwa na barua ngapi? mara na vizidishi - inaonekanaje? Hii sio chochote ila ufafanuzi wa operesheni kuzidisha: jumla kuna wazidishaji. Hiyo ni, kwa ufafanuzi, nguvu ya nambari iliyo na kielelezo:

Mfano:

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

Kwa kuongeza habari kuhusu digrii kwa kiwango cha wastani, tutachambua digrii na kiashiria kisicho na mantiki. Sheria zote na mali ya digrii hapa ni sawa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa - baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na maana ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari (hiyo ni. , nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa zile za busara).

Wakati wa kusoma digrii kwa kiashirio cha asili, kamili na cha kimantiki, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi. Kwa mfano, kielelezo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa; nambari hadi digrii sifuri ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado haijaanza kuzidishwa, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo, matokeo ni tu. fulani "maandalizi ya nambari", ambayo ni nambari; digrii iliyo na kiashiria hasi kamili - ni kana kwamba "mchakato fulani wa nyuma" umetokea, ambayo ni, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Ni vigumu sana kufikiria shahada na kielelezo kisicho na mantiki (kama vile ni vigumu kufikiria nafasi ya 4-dimensional). Badala yake, ni kitu cha kihesabu ambacho wanahisabati wameunda kupanua dhana ya digrii hadi nafasi nzima ya nambari.

Kwa njia, sayansi mara nyingi hutumia digrii na kielelezo changamani, ambayo ni, kielelezo sio nambari halisi. Lakini shuleni, hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

Kwa hivyo tunafanya nini ikiwa tunaona kielezi kisicho na akili? Tunajaribu tuwezavyo kuiondoa! :)

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Majibu:

Kumbuka tofauti ya fomula ya mraba. Jibu:.
Tunaleta sehemu kwa fomu sawa: ama desimali zote mbili, au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:.
Hakuna maalum, tunatumia mali ya kawaida ya digrii:

MUHTASARI WA SEHEMU NA FORMULA YA MSINGI

Shahada inaitwa usemi wa fomu: , ambapo:

Shahada yenye kipeo kamili

shahada, kipeo chake ambacho ni nambari asilia (yaani kamili na chanya).

Shahada yenye kipeo cha busara

shahada, kiashiria ambacho ni nambari hasi na za sehemu.

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

kipeo ambaye kipeo chake ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo au mzizi.

Tabia za digrii

Vipengele vya digrii.

Nambari hasi imeongezwa hadi hata shahada, - nambari chanya.
Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
Nambari chanya kwa nguvu yoyote ni nambari chanya.
Sifuri ni sawa na nguvu yoyote.
Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa.

SASA UNA NENO...

Unapendaje makala? Nijulishe kwenye maoni hapa chini ikiwa uliipenda au la.

Tuambie kuhusu matumizi yako na sifa za nishati.

Labda una maswali. Au mapendekezo.

Andika kwenye maoni.

Na bahati nzuri na mitihani yako!

Kipeo hutumika kurahisisha kuandika utendakazi wa kuzidisha nambari peke yake. Kwa mfano, badala ya kuandika, unaweza kuandika 4 5 (\mtindo wa kuonyesha 4^(5))(maelezo ya mabadiliko hayo yametolewa katika sehemu ya kwanza ya kifungu hiki). Mamlaka hurahisisha kuandika maneno au milinganyo ndefu au ngumu; pia, mamlaka huongezwa na kupunguzwa kwa urahisi, na kusababisha kurahisisha usemi au mlinganyo (kwa mfano, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\mtindo wa kuonyesha 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Kumbuka: ikiwa unahitaji kutatua equation ya kielelezo (katika equation kama hiyo, haijulikani iko kwenye kielelezo), soma.

Hatua

Kutatua matatizo rahisi na nguvu

Zidisha msingi wa kipeo peke yake mara kadhaa sawa na kipeo. Iwapo unahitaji kutatua tatizo na vipeo mbelewe mwenyewe, andika upya kipeo kama operesheni ya kuzidisha, ambapo msingi wa kipeo huzidishwa yenyewe. Kwa mfano, kutokana na shahada 3 4 (\mtindo wa kuonyesha 3^(4)). Katika kesi hii, msingi wa digrii 3 lazima uzidishwe yenyewe mara 4: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\mtindo wa kuonyesha 3*3*3*3). Hapa kuna mifano mingine:

Kwanza, zidisha nambari mbili za kwanza. Kwa mfano, 4 5 (\mtindo wa kuonyesha 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\mtindo wa kuonyesha 4*4*4*4*4). Usijali - mchakato wa kuhesabu sio ngumu kama inavyoonekana mwanzoni. Kwanza zidisha mara mbili za kwanza, na kisha ubadilishe na matokeo. Kama hii:

4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\mtindo wa kuonyesha 4^(5)=4*4*4*4*4)
- 4 ∗ 4 = 16 (\mtindo wa kuonyesha 4*4=16)

Zidisha matokeo (16 katika mfano wetu) kwa nambari inayofuata. Kila matokeo yanayofuata yataongezeka sawia. Katika mfano wetu, zidisha 16 kwa 4. Kama hivi:
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\mtindo wa kuonyesha 4^(5)=16*4*4*4)
  - 16 ∗ 4 = 64 (\mtindo wa kuonyesha 16*4=64)
- 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\mtindo wa kuonyesha 4^(5)=64*4*4)
  - 64 ∗ 4 = 256 (\mtindo wa kuonyesha 64*4=256)
- 4 5 = 256 ∗ 4 (\mtindo wa kuonyesha 4^(5)=256*4)
  - 256 ∗ 4 = 1024 (\mtindo wa kuonyesha 256*4=1024)
- Endelea kuzidisha matokeo ya kuzidisha nambari mbili za kwanza kwa nambari inayofuata hadi upate jibu la mwisho. Ili kufanya hivyo, zidisha nambari mbili za kwanza, na kisha kuzidisha matokeo kwa nambari inayofuata katika mlolongo. Njia hii ni halali kwa digrii yoyote. Katika mfano wetu, unapaswa kupata: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\mtindo wa kuonyesha 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .
Tatua matatizo yafuatayo. Angalia jibu lako kwa kikokotoo.
- 8 2 (\mtindo wa kuonyesha 8^(2))
- 3 4 (\mtindo wa kuonyesha 3^(4))
- 10 7 (\mtindo wa kuonyesha 10^(7))
Kwenye kikokotoo, tafuta kitufe kilichoandikwa "exp", au " x n (\mtindo wa kuonyesha x^(n))", au "^". Kwa ufunguo huu utaongeza nambari kwa nguvu. Haiwezekani kuhesabu digrii kwa mikono na kielelezo kikubwa (kwa mfano, digrii 9 15 (\mtindo wa kuonyesha 9^(15))), lakini calculator inaweza kukabiliana na kazi hii kwa urahisi. Katika Windows 7, calculator ya kawaida inaweza kubadilishwa kwa hali ya uhandisi; ili kufanya hivyo, bofya "Tazama" -\u003e "Uhandisi". Ili kubadili hali ya kawaida, bofya "Tazama" -\u003e "Kawaida".
- Angalia jibu lililopokelewa kwa kutumia injini ya utafutaji (Google au Yandex). Kwa kutumia kitufe cha "^" kwenye kibodi ya kompyuta, ingiza usemi kwenye injini ya utafutaji, ambayo itaonyesha jibu sahihi papo hapo (na ikiwezekana kupendekeza misemo sawa kwa ajili ya kujifunza).
Kuongeza, kutoa, kuzidisha nguvu
1. Unaweza kuongeza na kupunguza nguvu ikiwa tu zina msingi sawa. Ikiwa unahitaji kuongeza nguvu na besi sawa na vielelezo, basi unaweza kuchukua nafasi ya operesheni ya kuongeza na operesheni ya kuzidisha. Kwa mfano, kutokana na usemi 4 5 + 4 5 (\mtindo wa kuonyesha 4^(5)+4^(5)). Kumbuka kwamba shahada 4 5 (\mtindo wa kuonyesha 4^(5)) inaweza kuwakilishwa kama 1 ∗ 4 5 (\mtindo wa kuonyesha 1*4^(5)); hivyo, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\mtindo wa kuonyesha 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(ambapo 1 +1 =2). Hiyo ni, kuhesabu idadi ya digrii zinazofanana, na kisha kuzidisha shahada kama hiyo na nambari hii. Katika mfano wetu, ongeza 4 hadi nguvu ya tano, na kisha kuzidisha matokeo kwa 2. Kumbuka kwamba operesheni ya kuongeza inaweza kubadilishwa na operesheni ya kuzidisha, kwa mfano; 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\mtindo wa kuonyesha 3+3=2*3). Hapa kuna mifano mingine:
  - 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\mtindo wa kuonyesha 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
  - 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\mtindo wa kuonyesha 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
  - 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\mtindo wa kuonyesha 4^(5)-4^(5)+2=2)
  - 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\mtindo wa kuonyesha 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))
2. Wakati wa kuzidisha nguvu na msingi sawa, wafadhili wao huongezwa (msingi haubadilika). Kwa mfano, kutokana na usemi x 2 ∗ x 5 (\mtindo wa kuonyesha x^(2)*x^(5)). Katika kesi hii, unahitaji tu kuongeza viashiria, na kuacha msingi bila kubadilika. Kwa njia hii, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\mtindo wa kuonyesha x^(2)*x^(5)=x^(7)). Hapa kuna maelezo ya kuona ya sheria hii:
  
  Wakati wa kuongeza nguvu kwa mamlaka, vielelezo huzidishwa. Kwa mfano, kupewa shahada. Kwa kuwa vielelezo vinazidishwa, basi (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\mtindo wa kuonyesha (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Maana ya sheria hii ni kwamba unazidisha nguvu (x 2) (\mtindo wa kuonyesha (x^(2))) yenyewe mara tano. Kama hii:
  - (x 2) 5 (\mtindo wa kuonyesha (x^(2))^(5))
  - (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\mtindo wa kuonyesha (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
  - Kwa kuwa msingi ni sawa, wafadhili huongeza tu: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\mtindo wa kuonyesha (x^(2)))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
3. Kipeo chenye kipeo hasi kinapaswa kugeuzwa kuwa sehemu (hadi nguvu kinyume). Haijalishi ikiwa haujui ni nini kubadilishana. Ukipewa shahada yenye kielelezo hasi, kwa mfano, 3 − 2 (\mtindo wa kuonyesha 3^(-2)), andika nguvu hii katika denominator ya sehemu (weka 1 kwenye nambari), na ufanye kielelezo kuwa chanya. Katika mfano wetu: 1 3 2 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (1)(3^(2)))). Hapa kuna mifano mingine:
  
  Wakati wa kugawanya nguvu na msingi sawa, wafadhili wao hutolewa (msingi haubadilika). Operesheni ya mgawanyiko ni kinyume cha operesheni ya kuzidisha. Kwa mfano, kutokana na usemi 4 4 4 2 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (4^(4))(4^(2)))). Toa kipeo katika dhehebu kutoka kwa kipeo katika nambari (usibadilishe msingi). Kwa njia hii, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
  - Shahada katika dhehebu inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: 1 4 2 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\mtindo wa kuonyesha 4^(-2)). Kumbuka kuwa sehemu ni nambari (nguvu, usemi) iliyo na kipeo hasi.
4. Ifuatayo ni baadhi ya misemo ya kukusaidia kujifunza jinsi ya kutatua matatizo ya nguvu. Maneno hapo juu yanashughulikia nyenzo zilizowasilishwa katika sehemu hii. Ili kuona jibu, onyesha tu nafasi tupu baada ya ishara ya usawa.
Kutatua matatizo na vipeo vya sehemu
1. Ikiwa kielelezo ni sehemu isiyofaa, basi kielelezo kama hicho kinaweza kugawanywa katika nguvu mbili ili kurahisisha suluhisho la shida. Hakuna chochote ngumu katika hili - kumbuka tu sheria ya kuzidisha nguvu. Kwa mfano, kupewa shahada. Geuza kipeo hicho kuwa mzizi ambao kipeo chake ni sawa na kipeo kipeo cha sehemu, kisha inua mzizi huo kwa kipeo sawa na nambari ya kipeo cha sehemu. Ili kufanya hivyo, kumbuka 5 3 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\mtindo wa kuonyesha ((\frac (1)(3)))*5). Katika mfano wetu:
  - x 5 3 (\mtindo wa kuonyesha x^(\frac (5)(3)))
  - x 1 3 = x 3 (\mtindo wa kuonyesha x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
  - x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\mtindo wa kuonyesha x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\mtindo wa kuonyesha ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
2. Baadhi ya calculators wana kifungo kwa ajili ya kuhesabu exponents (kwanza unahitaji kuingia msingi, kisha bonyeza kifungo, na kisha kuingia exponent). Inaashiriwa kama ^ au x^y.
3. Kumbuka kwamba nambari yoyote ni sawa na nguvu ya kwanza, kwa mfano, 4 1 = 4. (\mtindo wa kuonyesha 4^(1)=4.) Kwa kuongezea, nambari yoyote iliyozidishwa au kugawanywa na moja ni sawa na yenyewe, kwa mfano, 5 ∗ 1 = 5 (\mtindo wa kuonyesha 5*1=5) na 5 / 1 = 5 (\mtindo wa kuonyesha 5/1=5).
4. Jua kuwa digrii 0 0 haipo (shahada kama hiyo haina suluhisho). Unapojaribu kutatua shahada hiyo kwenye calculator au kwenye kompyuta, utapata hitilafu. Lakini kumbuka kuwa nambari yoyote kwa nguvu ya sifuri ni sawa na 1, kwa mfano, 4 0 = 1. (\mtindo wa kuonyesha 4^(0)=1.)
5. Katika hisabati ya juu, ambayo inafanya kazi na nambari za kufikiria: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a) ix=cosax+isinax), wapi i = (- 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e ni takriban mara kwa mara sawa na 2.7; a ni msimamo wa kiholela. Uthibitisho wa usawa huu unaweza kupatikana katika kitabu chochote cha hisabati cha juu.
- Kadiri kipeo kinavyoongezeka, thamani yake huongezeka sana. Kwa hivyo, ikiwa jibu linaonekana kuwa mbaya kwako, kwa kweli inaweza kugeuka kuwa kweli. Unaweza kuangalia hii kwa kupanga utendakazi wowote wa kielelezo, kama vile 2 x .