Mida võib pidada tavalise hulknurga keskpunktiks. Kooli geomeetria kursusel teema "hulknurgad" õppimine

Regulaarsed hulknurgad

A.V.Pogorelovi (18) õpikus "Geomeetria 7-11" õpitakse teemat "Regulaarsed hulknurgad" § 13 "Polügoonid" lk 115.

"Regulaarse hulknurga" definitsiooni käsitletakse lõigu alguses: "Kumerat hulknurka nimetatakse korrapäraseks, kui selle kõik küljed on võrdsed ja kõik nurgad on võrdsed." Seejärel antakse "sissekirjutatud" ja "piiratud" hulknurkade definitsioonid ja käsitletakse teoreemi: "Regulaarne kumer hulknurk on kirjutatud ringi ja ümbritsetud ringiga."

L.S.Atanasyani (4) õpikus "Geomeetria 7-9" käsitletakse teemat "Regulaarsed hulknurgad" 12. peatüki punktis 105 lg 1 "Regulaarsed hulknurgad".

"Regulaarse hulknurga" määratlus on toodud lõigu alguses:

"Regulaarne hulknurk on kumer hulknurk, mille kõik nurgad on võrdsed ja kõik küljed on võrdsed." Seejärel tuletatakse valem tavalise n-nurga nurga b n arvutamiseks:

I. M. Smirnova, V. A. Smirnovi õpikus "Geomeetria 7-9" on "regulaarne hulknurk" uuritud lõigus 6 "Polügoonid ja hulknurgad".

Lõigu alguses tutvustatakse "katkestatud joone" määratlust: "Kujund, mis on moodustatud lõikudest, mis asuvad nii, et esimese lõpp on teise algus, teise lõpp on kolmanda algus, jne, nimetatakse katkendlikuks jooneks või lihtsalt katkendlikuks jooneks.

Seejärel antakse lihtsa, suletud ja hulknurga definitsioonid: "Hulknurkset sirget nimetatakse lihtsaks, kui sellel pole iselõikepunkte." "Kui polüliini esimese segmendi algus langeb kokku viimase lõpuga, nimetatakse polüliini suletud." "Lihtsast suletud katkendjoonest ja sellega piiritletud tasapinna osast moodustatud kujundit nimetatakse hulknurgaks."

Pärast seda võetakse arvesse "regulaarse hulknurga" definitsiooni: "Hulknurka nimetatakse korrapäraseks, kui selle kõik küljed ja nurgad on võrdsed."

Mõelge teema "Regulaarsed hulknurgad" uurimise metoodikale, kasutades A.V. Pogorelovi geomeetriaõpiku näidet.

Lõigu alguses tutvustatakse “regulaarse hulknurga” definitsiooni: “Kumerat hulknurka nimetatakse korrapäraseks, kui selle kõik küljed on võrdsed ja kõik nurgad on võrdsed”, siis “sissekirjutatud” ja “piiratud” hulknurga definitsioonid. tutvustatakse: "Hulknurka nimetatakse ringi sissekirjutatuks, kui kõik selle tipud asuvad mingil ringil"; "Öeldakse, et hulknurk on kirjutatud ringi ümber, kui selle kõik küljed puutuvad mõne ringiga."

Enne teoreemi 13.3 õppimist võite klassi tõestuseks ettevalmistamiseks esitada õpilastele kordamiseks küsimusi:

Millist sirget nimetatakse ringi puutujaks?

Milline on sirge ja ringi suhe? Tunnis toimub arutelu, mis koosneb kahest osast: esimene

me räägime ringist, mis on ümbritsetud hulknurga ümber, ja seejärel ringist, mis on kirjutatud hulknurgale.

Õpilaste vastustega kaasneb järjestikune jooniste seeria kuvamine.

Millist kolmnurka nimetatakse ringikujuliseks või millist kolmnurga lähedal asuvaks ringiks (joonis 1)?

Kas suvalise kolmnurga ümber on võimalik ringjoont piirata?

Kuidas leida kolmnurga ümber piiratud ringi keskpunkti? (Joon.2) Mis on raadius? (Joon.3)

Kas ringi ümber hulknurga on alati võimalik kirjeldada? (Ei. Näide: romb, kui see ei ole ruut. Joon.4)

Kas on võimalik kirjeldada ringi ümber korrapärase hulknurga? (Joon.5)

Lause 13.3 esimene osa on sõnastatud. Eeldatakse, et ringi saab piirata ümber korrapärase hulknurga. Väärib märkimist, et seda fakti tõestatakse hiljem.

Sarnast tööd tehakse ka hulknurgale ringi sissekirjutamise võimaluse osas. Klassis on samad 5 küsimust hulknurga sisse kirjutatud ringi kohta. Samal ajal kasutatakse analoogiliselt vestluse esimese osaga eelmistega sarnaseid jooniseid.

Õpetaja juhib õpilaste tähelepanu võimalusele kirjutada ringjoont tavalisele hulknurgale. Lause 13.3 on sõnastatud ja tõestatud: "Regulaarne kumer hulknurk on kirjutatud ringi ja ümbritsetud ringiga."

Teoreemi tõestamine toimub õpiku järgi. Kasulik on rõhutada, et korrapärase hulknurga sissekirjutatud ja piiritletud ringide keskpunktid langevad kokku ja seda punkti nimetatakse hulknurga keskpunktiks.

Pärast teoreemi tõestamist pakutakse välja järgmised ülesanded:

1. Ringjoone sisse kirjutatud korrapärase kolmnurga külg on võrdne a-ga. Leidke sellesse ringi sisse kirjutatud ruudu külg.

Antud: ring (0;R),

DAVS – õige, sisse kirjutatud,

CMRE – sisse kirjutatud ruut.

DAVS – õige, sisse kirjutatud: R = KMPE – ringi sisse kirjutatud ruut (0; R).

Olgu x \u003d KM - ruudu külg, siis

Vastus: KM = .

2. 4 dm raadiusega ringi sisse on kirjutatud korrapärane kolmnurk, mille küljele on ehitatud ruut. Leidke ruutu ümbritseva ringi raadius.

Antud: ring (0;R),

DAVS – õige, sisse kirjutatud,

Okr. 1 (O;R1),

ABDE – kirjaga ruut okriga. üks

Leidke: R 1 .

1. DAVS – õige, sisse kirjutatud:

ABDE – kirjaga ruut okriga. üks:

Vastus: dm.

3. Korrapärase hulknurga külg on a ja piiritletud ringi raadius on R. Leidke sissekirjutatud ringi raadius. Antud: Env.(0;R),

A 1 A 2 ...A n - õige, sisse kirjutatud,

A 1 A 2 =a , raadius=R,

OS on sisse kirjutatud ringi raadius.

OS 2 = OB 2 – BC 2

Vastus: OS=.

4. Korrapärase hulknurga külg on a ja sissekirjutatud ringjoone raadius on r. Leidke piiritletud ringi raadius.

Antud: ümbermõõt (0;r),

A 1 A 2 ...A n - õige, kirjeldatud,

A 1 A 2 \u003d a, raadius \u003d r,

Ring (0;R).

Lahendus. OB on piiritletud ringi raadius.

DOSV – ristkülikukujuline (ZC = 90°)

OB 2 \u003d OS 2 + SW 2

Vastus: R = .

Seejärel saab õpilastele anda ülesannete süsteemi:

1. Korrapärases kuusnurgas A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 on külg 8. Lõik BC ühendab külgede A 3 A 4 ja A 5 A b keskpunkte. Leidke lõigu pikkus, mis ühendab külje A 1 A 2 keskpunkti lõigu BC keskpunktiga.

2. Korrapärase kuusnurga ABCDEF külg on 32. Leidke kolmnurga MRK sisse kirjutatud ringjoone raadius, kui M, P ja K on külgede AB, CD keskpunktid. EF vastavalt.

Avaldage korrapärase piiritletud hulknurga külg b ringi raadiusega R ja sama külgede arvuga korrapärase sissekirjutatud hulknurga külge a.

Kahe korrapärase n-nurga ümbermõõdud on seotud a:b. Kuidas on nende sisse kirjutatud ja piiritletud ringide raadiused seotud?

Mitu külge on tavalisel hulknurgal, mille iga sisenurk on võrdne: 1) 135; 2) 150?

KORDA MATERJALI

korrapärane hulknurk nimetatakse kumeraks hulknurgaks, mille küljed ja nurgad on võrdsed.

a on kaheksanurga külg,

R - piiritletud ringi raadius,

r on sisse kirjutatud ringi raadius.

Tavalise n-nurga sisenurkade summa

180 (n-2).

N-nurga sisenurga kraadimõõt

180 (n-2): n.

Õige n külg

Korrapärasesse hulknurka kantud ringi raadius

Õige n pindala

HARJUTUSED

1. a) Kuusnurga sisenurkade summa on:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°.
b) Kaheksanurga sisenurkade summa on:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080°.
Lahendus:
a) Valemi järgi on kuusnurga nurkade summa: 180(6-2)=180*4=720 ° .
Vastus: 720 ° .

2. a) Korrapärase hulknurga külg on 5 cm, sisenurk on 144°
a) Korrapärase hulknurga külg on 7 cm, sisenurk on 150° . Leidke hulknurga ümbermõõt.
Lahendus:
a) 1) Leidke hulknurga külgede arv:
144 = 180 (n - 2):n;
144n=180n-360;
36n = 360;
n = 10.
2) Leia kümnenurga ümbermõõt: P=5*10=50 cm.
Vastus: 50 cm.

3. a) Korrapärase viisnurga ümbermõõt on 30 cm Leia ümber viisnurga ümbritsetud ringi läbimõõt.
b) Ringi läbimõõt on 10 cm Leia sellesse kirjutatud viisnurga ümbermõõt.
Lahendus:
a) 1) Leia viisnurga külg: 30:5=6 cm.
2) Leidke piiritletud ringi raadius:
a=2R*sin(180 ° :n);
6=2R*sin(180 ° :5);
R = 3: sin 36 ° \u003d 3: 0,588 \u003d 5,1 cm
Vastus: 5,1 cm.

4. a) Korrapärase hulknurga sisenurkade summa on 2520°
b) Korrapärase hulknurga sisenurkade summa on 1800° . Leia hulknurga külgede arv.
Lahendus:
a) Leidke hulknurga külgede arv:
2520 ° = 180 ° (n-2);
2520 ° +360 ° =180 ° n;
2880 ° =180 ° n;
n = 16.
Vastus: 16 külge.

5. a) Regulaarset kaksnurkset ümbritseva ringi raadius on 5 cm. Leidke hulknurga pindala.
b) Regulaarset kaheksanurka ümbritseva ringi raadius on 6 cm. Leidke hulknurga pindala.
Lahendus:
a) Leidke kaksnurkse pindala:
S=0,5* R 2 *n*sin(360° :n)=0,5*25*12*sin30° = 75 cm 2 .
Vastus: 75 cm 2 .

6. Leidke kuusnurga pindala, kui varjutatud osa pindala on teada:

Lahendus:
a) 1) Leia kuusnurga külje AB pikkus. Vaatleme kolmnurka ABC – võrdhaarseid (AB=BC).
∠ABC=180 ° (6-2):6=120 ° .

Kolmnurga ABC pindala on 0,5*AB*BC*sin120° ja võrdub tingimusega 48.

2) Korrapärases kuusnurgas on külg võrdne piiritletud ringi raadiusega, seega R=AB.
3) Leidke kuusnurga pindala:
Vastus: 288 cm 2 .

7. a) Leidke korrapärase hulknurga külgede arv, kui selle tipu välisnurk on 18° .
b) Leidke korrapärase hulknurga külgede arv, kui selle tipu välisnurk on 45° .
Lahendus:
a) Korrapärase hulknurga välisnurkade summa on 360 ° .
Leidke külgede arv: 360 ° :18 ° =20.
Vastus: 20 külge.

8. Arvutage rõnga pindala, kui kõõl AB on võrdne:
a) 8 cm; b) 10 cm.

Lahendus:
aga)

1) OB on välisringi raadius, OH on sisemise ringi raadius. Rõnga pindala saab leida valemiga: rõnga S = välisringi S - sisemise ringi S.

S= π*OB 2 -π*OH 2 = π (OB 2 - Oh 2 ).

2) Vaatleme kolmnurka ABO - võrdkülgsed (OA \u003d OB raadiustena). OH on kolmnurga ABO kõrgus ja mediaan, seega AN=HB=8:2= 4 cm.

3) Vaatleme kolmnurka ONV - ristkülikukujuline: HB 2 =OB 2 - ON TA 2 , Järelikult

OV 2 - ON TA 2 =16.

4) Leidke rõnga pindala:

S=π (OB 2 - Oh 2 )=16 π cm 2 .

Vastus:16 π cm 2 .

9. a) Leidke korrapärase kuusnurga ümbermõõt, kui AC = 9 cm.
b) Leidke korrapärase kuusnurga pindala, kui FA = 6 cm.

Lahendus:
a) 1) Leidke nurk ABC: 180 ° (6-4):6=120 ° .
2) Vaatleme kolmnurka ABC - võrdhaarseid (AB \u003d BC korrapärase kuusnurga külgedena).
∠ SINA = ∠ VCA=(180° -120 ° ):2=30 ° .
Siinuse teoreemi järgi: AC: patt ∠ ABC=AB:sin∠ BCA;
AB=AC*sin30 ° :sin120;

3) Leidke tavalise kuusnurga ümbermõõt:

P=6*AB;

10. Tõesta, et tavalises kaheksanurgas on varjutatud osa pindala võrdne:
a) veerand kaheksanurga pindalast; b) pool kaheksanurga pindalast:

Lahendus:
aga)

1) Joonistame kaheksanurga nurkade poolitajad, need lõikuvad punktis O. Kaheksanurga pindala on võrdne saadud kaheksa võrdse kolmnurga pindalade summaga, s.o. S(ABCDEFKM)=8*S(OEF).

2) Nelinurk ABEF on rööpkülik (AB//EF ja AB=EF). Rööpküliku diagonaalid on võrdsed: AE=BF (kaheksanurga ümber piiritletud ringi läbimõõdud), seetõttu on ABEF ristkülik. Ristküliku diagonaalid jagavad selle neljaks võrdse pindalaga kolmnurgaks.

3) Leidke nelinurga AFKM pindala:

S (ABEF) = 4* S (OEF).

2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).

S(AFKM)=2* S(OEF).

4) Leidke kaheksanurga pindala ja varjutatud osa pindala suhe:

S (ABCDEFKM) : S (AFKM) = 8* S (OEF): (2*S(OEF))=4.

Q.E.D.

11. Leidke BAC-sektori pindala ja paigatud kujundi pindala suhe, kui BA = AC ja BAC-sektori pindala on võrdne veerandiga ringi pindalast :

Lahendus:
aga)

1) AB=AC=2R. BAC nurk on sirge, sest BAC-sektori pindala on võrdne veerandiga ringi pindalast .

2) Vaatleme nelinurka AO 2 MO 1 . See on romb, sest kõik küljed on võrdsed raadiusega ja kuna Üks nende nurkadest on 90°, siis AO 2 MO 1 - ruut.

S kolmnurk = 0,5 R 2 cm 2 .
S segment = (0,25 π - 0,5) R 2 cm 2.
S varjutatud = 2* S segment = 2*(0,25 π - 0,5)R2 =(0,5 π-1)R 2 sm 2.
4) Leidke OMA sektori piirkond:
Ssektorid =*(2R) 2 *90:360= π R 2 alatesm 2.
5) Leidke BAC-sektori pindala ja varjutatud osa pindala suhe:
π R 2 :(0,5 π-1)R2= 2 π : (π-2).
Vastus: 2 π : (π-2).

ÜLESANDED ISESEISVAKS LAHENDUSEKS

1. Kui suur on viisnurga välisnurkade summa?

2. Kui suur on kaheksanurga pindala, kui varjutatud ala pindala on 20.

3. Korrapärase nelinurga ümbermõõt on 20 cm Leia sellesse kantud ringi pikkus.

4. Korrapärase hulknurga külg AB on 8 cm O on hulknurga keskpunkt, nurk AOB on 36° . Leidke hulknurga ümbermõõt.

5. Tavalise kaheksanurga ümbermõõt on 80 cm Leia selle väiksem diagonaal.

6. Korrapärasesse kolmnurka kirjutatakse ringjoon ja selle ümber kirjeldatakse ringjoont. Leidke ringidest moodustatud rõnga pindala, kui kolmnurga külg on 8 cm.

7. Leia nurk kahe väiksema diagonaali vahel, mis väljuvad korrapärase seitsenurga ühest tipust.

8. Ringi ümber kirjeldatakse korrapärast kolmnurka, millesse on kirjutatud ka korrapärane kuusnurk. Leidke kolmnurga ja kuusnurga pindalade suhe.

9. Kumeral hulknurgal on 48 külge. Leidke selle diagonaalide arv.

10. ABCD on ruut. Ringid raadiusega AB on tõmmatud tippudest B ja C. Leidke paigatud kujundi pindala ja ruudu pindala suhe:

Kolmnurk, ruut, kuusnurk - need kujundid on peaaegu kõigile teada. Kuid mitte kõik ei tea, mis on tavaline hulknurk. Kuid see kõik on sama Regulaarset hulknurka nimetatakse selliseks, millel on võrdsed nurgad ja küljed. Selliseid kujundeid on palju, kuid neil kõigil on samad omadused ja neile kehtivad samad valemid.

Regulaarsete hulknurkade omadused

Iga korrapärase hulknurga, olgu see ruut või kaheksanurk, saab kirjutada ringi. Seda põhiomadust kasutatakse sageli figuuri koostamisel. Lisaks saab hulknurga sisse kirjutada ka ringi. Sel juhul on puutepunktide arv võrdne selle külgede arvuga. On oluline, et korrapärasesse hulknurka kirjutatud ringil oleks sellega ühine keskpunkt. Nendele geomeetrilistele kujunditele kehtivad samad teoreemid. Korrapärase n-nurga mis tahes külg on seotud seda ümbritseva ringjoone raadiusega R. Seetõttu saab selle arvutada järgmise valemi abil: a = 2R ∙ sin180°. Läbi leiate mitte ainult hulknurga küljed, vaid ka perimeetri.

Kuidas leida tavalise hulknurga külgede arvu

Igaüks neist koosneb teatud arvust üksteisega võrdsetest segmentidest, mis ühendamisel moodustavad suletud joone. Sel juhul on moodustatud figuuri kõik nurgad sama väärtusega. Hulknurgad jagunevad lihtsateks ja keerukateks. Esimesse rühma kuuluvad kolmnurk ja ruut. Komplekssetel hulknurkadel on rohkem külgi. Nende hulka kuuluvad ka tähekujulised kujundid. Keeruliste korrapäraste hulknurkade puhul leitakse küljed, kirjutades need ringikujuliseks. Anname tõestuse. Joonistage korrapärane hulknurk suvalise arvu külgedega n. Kirjeldage selle ümber olevat ringi. Määrake raadius R. Kujutage nüüd ette, et antud on mingi n-nurk. Kui selle nurkade punktid asuvad ringjoonel ja on üksteisega võrdsed, saab küljed leida valemiga: a = 2R ∙ sinα: 2.

Sissekirjutatud täisnurkse kolmnurga külgede arvu leidmine

Võrdkülgne kolmnurk on korrapärane hulknurk. Selle kohta kehtivad samad valemid, mis ruudu ja n-nurga puhul. Kolmnurka peetakse õigeks, kui selle küljed on sama pikkusega. Sel juhul on nurgad 60⁰. Koostage kolmnurk antud külje pikkusega a. Teades selle mediaani ja kõrgust, saate leida selle külgede väärtuse. Selleks kasutame valemi a \u003d x: cosα leidmise meetodit, kus x on mediaan või kõrgus. Kuna kolmnurga kõik küljed on võrdsed, saame a = b = c. Siis on tõene järgmine väide: a = b = c = x: cosα. Samamoodi leiate võrdhaarse kolmnurga külgede väärtused, kuid x on antud kõrgus. Samal ajal tuleks see projitseerida rangelt figuuri alusele. Seega, teades kõrgust x, leiame võrdhaarse kolmnurga külje a, kasutades valemit a \u003d b \u003d x: cosα. Pärast a väärtuse leidmist saate arvutada aluse c pikkuse. Rakendame Pythagorase teoreemi. Otsime poole aluse c väärtust: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Siis c = 2xtanα. Nii lihtsal viisil saate leida mis tahes sisse kirjutatud hulknurga külgede arvu.

Ringi sisse kirjutatud ruudu külgede arvutamine

Nagu igal teisel tavalisel hulknurgal, on ka ruudul võrdsed küljed ja nurgad. Selle kohta kehtivad samad valemid, mis kolmnurga puhul. Diagonaali väärtuse abil saate arvutada ruudu küljed. Vaatleme seda meetodit üksikasjalikumalt. On teada, et diagonaal poolitab nurga. Algselt oli selle väärtus 90 kraadi. Seega pärast jagamist moodustuvad kaks, mille nurgad aluses on 45 kraadi. Sellest lähtuvalt on ruudu mõlemad küljed võrdsed, see tähendab: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kus e on ruudu diagonaal või ruudu alus pärast jagamist tekkinud täisnurkne kolmnurk. See pole ainus viis ruudu külgede leidmiseks. Kirjutame selle kujundi ringi. Teades selle ringi R raadiust, leiame ruudu külje. Arvutame selle järgmiselt a4 = R√2. Regulaarsete hulknurkade raadiused arvutatakse valemiga R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), kus a on külje pikkus.

Kuidas arvutada n-nurga ümbermõõt

N-nurga ümbermõõt on selle kõigi külgede summa. Seda on lihtne arvutada. Selleks peate teadma kõigi külgede väärtusi. Teatud tüüpi hulknurkade jaoks on olemas spetsiaalsed valemid. Need võimaldavad teil perimeetrit palju kiiremini leida. On teada, et igal korrapärasel hulknurgal on võrdsed küljed. Seetõttu piisab selle perimeetri arvutamiseks vähemalt ühe neist teadmisest. Valem sõltub joonise külgede arvust. Üldiselt näeb see välja järgmine: P \u003d an, kus a on külje väärtus ja n on nurkade arv. Näiteks tavalise kaheksanurga ümbermõõdu leidmiseks, mille külg on 3 cm, peate selle korrutama 8-ga, see tähendab, et P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Kuusnurga puhul, mille külg on 5 cm, arvutame järgmiselt: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Ja nii iga hulknurga puhul.

Rööpküliku, ruudu ja rombi ümbermõõdu leidmine

Sõltuvalt sellest, mitu külge on tavalisel hulknurgal, arvutatakse selle ümbermõõt. See muudab ülesande palju lihtsamaks. Tõepoolest, erinevalt teistest kujunditest ei ole sel juhul vaja otsida selle kõiki külgi, piisab ühest. Samal põhimõttel leiame nelinurkade ümbermõõdu ehk ruudu ja rombi. Hoolimata asjaolust, et tegemist on erinevate arvudega, on nende valem sama P = 4a, kus a on külg. Võtame näite. Kui rombi või ruudu külg on 6 cm, siis leiame perimeetri järgmiselt: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Rööpkülikul on ainult vastasküljed. Seetõttu leitakse selle ümbermõõt erineva meetodi abil. Seega peame teadma joonise pikkust a ja laiust b. Seejärel rakendame valemit P \u003d (a + c) ∙ 2. Rööpkülikut, mille kõik küljed ja nendevahelised nurgad on võrdsed, nimetatakse rombiks.

Võrdkülgse ja täisnurkse kolmnurga ümbermõõdu leidmine

Õige perimeetri saab leida valemiga P \u003d 3a, kus a on külje pikkus. Kui see pole teada, saab selle leida mediaani kaudu. Täisnurksel kolmnurgal on ainult kaks külge võrdsed. Aluse saab leida Pythagorase teoreemi kaudu. Pärast kõigi kolme külje väärtuste selgumist arvutame perimeetri. Selle saab leida, rakendades valemit P \u003d a + b + c, kus a ja b on võrdsed küljed ning c on alus. Tuletame meelde, et võrdhaarses kolmnurgas a \u003d b \u003d a, seega a + b \u003d 2a, siis P \u003d 2a + c. Näiteks võrdhaarse kolmnurga külg on 4 cm, leidke selle alus ja ümbermõõt. Hüpotenuusi väärtuse arvutame Pythagorase teoreemi järgi c \u003d √a 2 + in 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Nüüd arvutame ümbermõõdu P \u003d \u003d 4 \u0030. u003d 13,65 cm.

Kuidas leida tavalise hulknurga nurki

Korrapärane hulknurk esineb meie elus iga päev, näiteks tavaline ruut, kolmnurk, kaheksanurk. Näib, et pole midagi lihtsamat kui selle kuju ise üles ehitada. Kuid see on ainult esmapilgul. Mis tahes n-nurga konstrueerimiseks peate teadma selle nurkade väärtust. Aga kuidas neid leida? Isegi antiikaja teadlased püüdsid ehitada korrapäraseid hulknurki. Nad arvasid, et mahuvad need ringidesse. Ja siis märgiti sellele vajalikud punktid, mis olid ühendatud sirgjoontega. Lihtsate kujundite puhul on ehitusprobleem lahendatud. Valemid ja teoreemid on saadud. Näiteks tegeles Euclid oma kuulsas teoses "Algus" 3-, 4-, 5-, 6- ja 15-goni ülesannete lahendamisega. Ta leidis viise nende konstrueerimiseks ja nurkade leidmiseks. Vaatame, kuidas seda 15-gonilise jaoks teha. Kõigepealt peate arvutama selle sisenurkade summa. On vaja kasutada valemit S = 180⁰(n-2). Seega antakse meile 15-nurkne, mis tähendab, et arv n on 15. Asendame meile teadaolevad andmed valemiga ja saame S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Oleme leidnud 15-goonilise sisenurkade summa. Nüüd peame saama neist igaühe väärtuse. Nurki on kokku 15. Arvutame 2340⁰: 15 = 156⁰. See tähendab, et iga sisenurk on 156⁰, nüüd saate joonlaua ja sirkli abil ehitada tavalise 15-gonilise. Aga kuidas on lood keerukamate n-nurkadega? Teadlased on sajandeid võidelnud selle probleemi lahendamise nimel. Carl Friedrich Gauss leidis selle alles 18. sajandil. Ta suutis ehitada 65537-goni. Sellest ajast alates on probleem ametlikult peetud täielikult lahendatuks.

N-nurga nurkade arvutamine radiaanides

Muidugi on hulknurkade leidmiseks mitu võimalust. Enamasti arvutatakse need kraadides. Kuid võite neid väljendada ka radiaanides. Kuidas seda teha? On vaja toimida järgmiselt. Esiteks selgitame välja tavalise hulknurga külgede arvu, seejärel lahutame sellest 2. Seega saame väärtuse: n - 2. Korrutage leitud erinevus arvuga n (“pi” \u003d 3,14). Nüüd jääb üle vaid saadud korrutis jagada n-nurga nurkade arvuga. Mõelge nendele arvutustele sama viieteistkümne külje näitel. Seega on arv n 15. Rakendame valemit S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. See pole muidugi ainus viis radiaanides nurga arvutamiseks. Nurga suuruse kraadides saate lihtsalt jagada arvuga 57,3. Lõppude lõpuks võrdub see mitu kraadi ühe radiaaniga.

Nurkade väärtuse arvutamine kraadides

Lisaks kraadidele ja radiaanidele võib proovida leida ka tavalise hulknurga nurkade väärtust gradides. Seda tehakse järgmisel viisil. Lahutage nurkade koguarvust 2, jagage saadud vahe tavalise hulknurga külgede arvuga. Leitud tulemuse korrutame 200-ga. Muide, sellist nurkade mõõtühikut kraadidena praktiliselt ei kasutata.

N-nurkade välisnurkade arvutamine

Iga tavalise hulknurga jaoks saate lisaks sisemisele arvutada ka välisnurga. Selle väärtus leitakse samamoodi nagu teiste arvude puhul. Nii et tavalise hulknurga välimise nurga leidmiseks peate teadma sisemise nurga väärtust. Lisaks teame, et nende kahe nurga summa on alati 180 kraadi. Seetõttu teeme arvutused järgmiselt: 180⁰ miinus sisenurga väärtus. Leiame erinevuse. See võrdub sellega külgneva nurga väärtusega. Näiteks ruudu sisenurk on 90 kraadi, nii et välisnurk on 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Nagu näeme, pole seda raske leida. Välisnurk võib olla vahemikus +180⁰ kuni -180⁰.

Hulknurka nimetatakse korrapäraseks, kui selle kõik küljed ja nurgad on võrdsed. Kolmnurkade hulgas on võrdkülgne kolmnurk ja ainult see on õige. Ruut (ja ainult ruut) on tavaline nelinurk. Näitame, et on olemas suvalise arvu külgedega korrapäraseid hulknurki, kus . Selleks esitame kaks meetodit selliste hulknurkade konstrueerimiseks.

Meetod 1. Võtke suvaline ring ja jagage see võrdseteks osadeks. Selline konstruktsioon ei ole kompassi ja sirgjoonega mingil juhul teostatav, kuid eeldame siinkohal, et selline konstruktsioon on tehtud. Me võtame jagamispunktid nende järjestikuses asendis ringil sellesse ringi sisse kirjutatud -goni tippudena. Tõestame, et konstrueeritud -gon on korrapärane. Tõepoolest, meie hulknurga küljed (joonis 312) on akordid, millest on lahutatud võrdsed kaared, ja seetõttu on nad üksteisega võrdsed.

Kõik nurgad põhinevad võrdsetel kaaretel ja on seetõttu ka võrdsed. Seega on hulknurk õige.

Meetod 2. Jällegi jagage ring võrdseteks osadeks ja tõmmake jagamispunktides ringi puutujad; piirame iga puutujat selle lõikepunktide võrra külgnevatesse jaotuspunktidesse tõmmatud puutujatega. Saame korrapärase hulknurga, mis on ümbritsetud ringist (joonis 313). Tegelikult on selle nurgad kõik võrdsed, kuna igaühte neist, nagu puutujate vahelist nurka, mõõdetakse kaare poolvahega, millest väiksem on alati võrdne ringi osaga ja suurem on alati võrdne täisringiga miinus osa. Külgede võrdsust võib näha vähemalt poolpuutujate ja kõõlude paaridest (näiteks kolmnurgad jne) moodustatud kolmnurkade võrdsusest. Kõik need on võrdhaarsed, nende tippude nurgad ja alused on võrdsed.

Kaks sama külgede arvuga tavalist -gonit on sarnased.

Tõepoolest, nende küljed on kindlasti pidevas suhtes, mis on võrdne mis tahes külgede paari suhtega. Lisaks on a -goni nurkade summa teoreemil igal tavalisel -nurgal samad nurgad 1. Punktis 224 esitatud kriteeriumi tingimused on täidetud ja -gonid on sarnased.

Niisiis, iga tavalise jaoks on -gonid sarnased. Sellest saame koheselt mitmeid tagajärgi:

1. Kaks võrdsete külgedega korrapärast -goni on võrdsed.

2. Ringjoone saab piirata mis tahes korrapärase -goni ümber.

Tõestus. Võtame suvalise korrapärase hulknurga, millel on sama külgede arv kui antud ja mis on ehitatud esimese meetodi järgi, s.t. see on kirjutatud ringi. Teisendame selle sarnaselt nii, et see muutuks võrdseks antud ühega. Seejärel teisendatakse selle ümber ümbritsetud ring samamoodi ringiks, mis on ümbritsetud antud hulknurga ümber.

3. Igasse korrapärasesse hulknurka saab kirjutada ringi.

Tõestus on sarnane. Kasulik on aga arutluskäik läbi viia mõnevõrra teisiti. Teame juba, et ringjoont saab etteantud hulknurga ümber piirata. Võtame selle keskpunkti. Hulknurga küljed toimivad selle kõõludena; olles üksteisega võrdsed, peavad need olema keskelt võrdsel kaugusel. Seetõttu puudutab sama keskpunktiga ring, mille raadius on võrdne kaugusega hulknurga keskpunktist külgede vahel, kõiki hulknurga külgi, see tähendab, et see on sisse kirjutatud ring.

Seega on korrapärase hulknurga sissekirjutatud ja piiritletud ringidel ühine keskpunkt. Seda nimetatakse antud korrapärase hulknurga keskpunktiks. Piiratud ringi raadiust nimetatakse hulknurga raadiuseks, sissekirjutatud ringi raadiust selle apoteemiks. On selge, et apoteem on alati väiksem kui raadius.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmete all mõeldakse andmeid, mille abil saab tuvastada konkreetse isiku või temaga ühendust võtta.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited selle kohta, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile meie teenuste kohta soovitusi.
Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Võime avaldada teie kohta teavet ka juhul, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.