Koonus. Frustum

Kooniline pind on pind, mille moodustavad kõik sirged, mis läbivad antud kõvera iga punkti ja kõverast väljaspool asuvat punkti (joonis 32).

Seda kõverat nimetatakse giid , sirge – moodustamine , punkt - üleval kooniline pind.

Sirge ringikujuline kooniline pind on pind, mille moodustavad kõik sirgjooned, mis läbivad antud ringi iga punkti, ja punkt sirgjoonel, mis on risti ringi tasapinnaga ja läbib selle keskpunkti. Järgnevalt nimetame seda pinda lühidalt kooniline pind (joonis 33).

Koonus (sirge ringikujuline koonus ) on geomeetriline keha, mis on piiratud koonilise pinnaga ja tasapinnaga, mis on paralleelne juhtringi tasapinnaga (joonis 34).

Riis. 32 Joon. 33 Joon. 34

Koonust võib pidada kehaks, mis saadakse täisnurkse kolmnurga pööramisel ümber telje, mis sisaldab kolmnurga ühte jalga.

Ringi, mis ümbritseb koonust, nimetatakse alus . Koonilise pinna tippu nimetatakse üleval koonus Nimetatakse lõiku, mis ühendab koonuse tippu selle aluse keskpunktiga kõrgus koonus Koonilise pinna moodustavaid segmente nimetatakse moodustamine koonus Telg koonus on sirgjoon, mis läbib koonuse ülaosa ja selle aluse keskpunkti. Aksiaalne sektsioon nimetatakse lõiku, mis läbib koonuse telge. Külgpinna areng Koonust nimetatakse sektoriks, mille raadius on võrdne koonuse generaatori pikkusega ja sektori kaare pikkus on võrdne koonuse aluse ümbermõõduga.

Koonuse õiged valemid on järgmised:

Kus R– aluse raadius;

H- kõrgus;

l– generatriksi pikkus;

S alus– baaspind;

S pool

S täis

V– koonuse maht.

Kärbitud koonus nimetatakse koonuse osa, mis jääb aluse ja lõiketasandi vahele paralleelselt koonuse põhjaga (joon. 35).

Tüvikoonust võib pidada pöörlemise teel saadud kehaks ristkülikukujuline trapetsümber telje, mis sisaldab trapetsi alustega risti olevat külge.

Kahte koonust ümbritsevat ringi nimetatakse selleks põhjustel . Kõrgus kärbitud koonuse kaugus on selle aluste vaheline kaugus. Tüvikoonuse koonilise pinna moodustavaid segmente nimetatakse moodustamine . Nimetatakse sirgjoont, mis läbib aluste keskpunkte telg kärbitud koonus. Aksiaalne sektsioon nimetatakse kärbikoonuse telge läbivaks lõiguks.

Kärbitud koonuse jaoks on õiged valemid:

(8)

Kus R– alumise aluse raadius;

r– ülemise aluse raadius;

H– kõrgus, l – generaatori pikkus;

S pool– külgpindala;

S täis- ruut täispind;

V– tüvikoonuse maht.

Näide 1. Alusega paralleelne koonuse ristlõige jagab kõrguse suhtega 1:3, lugedes ülevalt. Leidke tüvikoonuse külgpindala, kui aluse raadius ja koonuse kõrgus on 9 cm ja 12 cm.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 36).

Tüvikoonuse külgpinna pindala arvutamiseks kasutame valemit (8). Leiame aluste raadiused Umbes 1 A Ja Umbes 1 V ja moodustamine AB.

Mõelge sarnastele kolmnurkadele SO2B Ja SO 1 A, sarnasuskoefitsient, siis

Siit

Sellest ajast

Tüvikoonuse külgpindala on võrdne:

Vastus: .

Näide 2. Veerand raadiusega ring on volditud koonusekujuliseks pinnaks. Leidke aluse raadius ja koonuse kõrgus.

Lahendus. Ringi kvadrant on koonuse külgpinna areng. Tähistame r– selle aluse raadius, H – kõrgus. Arvutame külgpinna, kasutades valemit: . See võrdub veerandringi pindalaga: . Saame võrrandi kahe tundmatuga r Ja l(moodustades koonuse). Sel juhul on generatriks võrdne veerandringi raadiusega R, siis saame järgmine võrrand: , kust, teades aluse ja generaatori raadiust, leiame koonuse kõrguse:

Vastus: 2 cm,.

Näide 3. Ristkülikukujuline trapets koos teravnurk 45 O, väiksema põhjaga 3 cm ja kaldküljega, mis on võrdne , pöörleb ümber alustega risti oleva külje. Leidke saadud pöörlemiskeha maht.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 37).

Pöörlemise tulemusena saame selle mahu leidmiseks kärbikoonuse, arvutame suurema aluse raadiuse ja kõrguse; Trapetsis O 1 O 2 AB viime läbi AC^O 1 B. Meil on B: see tähendab, et see kolmnurk on võrdhaarne A.C.=B.C.= 3 cm.

Vastus:

Näide 4. Kolmnurk külgedega 13 cm, 37 cm ja 40 cm pöörleb ümber välistelje, mis on paralleelne suurema küljega ja asub sellest 3 cm kaugusel (telg asub kolmnurga tasapinnal). Leidke saadud pöördekeha pindala.

Lahendus . Teeme joonise (joon. 38).

Saadud pöördekeha pind koosneb kahe tüvikoonuse külgpindadest ja silindri külgpinnast. Nende pindalade arvutamiseks on vaja teada koonuste ja silindri aluste raadiusi ( OLE Ja O.C.), moodustades koonuseid ( B.C. Ja A.C.) ja silindri kõrgus ( AB). Ainus teadmata on CO. see on kaugus kolmnurga külje ja pöörlemistelje vahel. Me leiame DC. Kolmnurga ABC pindala ühel küljel on võrdne poole külje AB ja sellele tõmmatud kõrguse korrutisega DC, teisest küljest, teades kolmnurga kõiki külgi, arvutame selle pindala Heroni valemi abil.

on koonuse osa, mis on piiratud kahe paralleelse aluse vahel, mis on risti tema sümmeetriateljega. Koonuse alused on geomeetrilised ringid.

Kärbitud koonuse saab, kui pöörata ristkülikukujulist trapetsi ümber selle külje, mis on selle kõrgus. Koonuse piiriks on ring raadiusega R, ring raadiusega r ja koonuse külgpind. Koonuse külgpinda kirjeldab trapetsi külgkülg selle pöörlemise ajal.

Tüvikoonuse külgpinna pindala läbi juhiku ja selle aluste raadiused

Piirkonna leidmisel külgmine pind Tüvikoonust on õigem käsitleda koonuse külgpinna ja äralõigatud koonuse külgpinna erinevusena.

Olgu etteantud koonusest AMB koonus A`MB` ära lõigatud. On vaja arvutada kärbitud koonuse AA`B`B külgpindala. Teatavasti on selle aluste raadiused AO=R, A`O` =r, generaator võrdub L-ga. Tähistame MB` kui x. Siis on koonuse A`MB` külgpind võrdne πrx-ga. Ja koonuse AMB külgpind on võrdne πR(L+x).
Seejärel saab tüvikoonuse AA`B`B külgpinda väljendada koonuse AMB külgpinna ja koonuse A`MB` vahelise erinevuse kaudu:

Kolmnurgad OMB ja O`MB` on nurkade võrdsuse poolest sarnased ∠(MOB) = ∠(MO`B`) ja ∠(OMB) = ∠(O`MB`) . Nende kolmnurkade sarnasusest järeldub:
Kasutame proportsiooni tuletist. Meil on:
Siit leiame x:
Asendades selle avaldise külgpinna valemiga, saame:
Seega on kärbitud koonuse külgpinna pindala võrdne selle juhiku arvu π korrutisega ja selle aluste raadiuste summaga.

Näide kärbitud koonuse külgpinna arvutamisest, kui selle raadius ja generatriks on teada
Suurema aluse, generaatori raadius ja tüvikoonuse kõrgus on vastavalt 7, 5 ja 4 cm. Leidke koonuse külgpindala.
Tüvikoonuse telglõik on võrdhaarne trapets, mille alused on 2R ja 2r. Tüvikoonuse generatriks, mis on trapetsi külg, suurel alusel karvane kõrgus ja tüvikoonuse aluse raadiuste erinevus moodustavad Egiptuse kolmnurga. See täisnurkne kolmnurk kuvasuhtega 3:4:5. Vastavalt ülesande tingimustele on generatrix 5 ja kõrgus 4, siis on kärbitud koonuse aluse raadiuste erinevus 3.
Meil on:
L = 5
R=7
R = 4
Tüvikoonuse külgpinna pindala valem on järgmine:

Väärtuste asendamisel on meil:

Tüvikoonuse külgpindala läbi juhiku ja keskmise raadiuse

Tüvikoonuse keskmine raadius on võrdne poolega selle aluste raadiuste summast:


Seejärel saab kärbitud koonuse külgpinna pindala valemi esitada järgmiselt:

Tüvikoonuse külgpinna pindala on võrdne keskmise sektsiooni ja selle generaatori ümbermõõdu korrutisega.

Tüvikoonuse külgpinna pindala läbi selle aluse raadiuste ja generatriksi kaldenurga aluse tasapinna suhtes

Kui väiksem alus on ortogonaalselt projitseeritud suurem alus, siis on kärbitud koonuse külgpinna projektsioon rõnga kujuline, mille pindala arvutatakse järgmise valemiga:

Seejärel:

Tüvikoonuse külgpindala Archimedese järgi

Tüvikoonuse külgpinna pindala on võrdne ringi pindalaga, mille raadius on keskmine proportsionaalne generatriksi ja selle aluste raadiuste summa vahel

Tüvikoonuse täispind

Koonuse kogupind on selle külgpinna pindala ja koonuse aluste pindala summa:

Koonuse alused on ringid raadiusega R ja r. Nende pindala on võrdne nende raadiuse ruudu korrutisega:


Külgpind arvutatakse järgmise valemiga:

Siis on kärbitud koonuse kogupindala:

Valem näeb välja selline:

Näide kärbitud koonuse kogupindala arvutamisest, kui selle raadius ja generatriks on teada
Tüvikoonuse aluse raadius on 1 ja 7 dm ning telglõike diagonaalid on üksteisega risti. Leidke kärbitud koonuse kogupindala
Tüvikoonuse telglõik on võrdhaarne trapets, mille alused on 2R ja 2r. See tähendab, et trapetsi alused on vastavalt 2 ja 14 dm. Kuna trapetsi diagonaalid on üksteisega risti, on kõrgus võrdne poolega selle aluste summast. Seejärel:

Tüvikoonuse generatriks, mis on trapetsi külg, suurel alusel pubestsentne kõrgus ja tüvikoonuse aluse raadiuste erinevus moodustavad täisnurkse kolmnurga.
Kasutades Pythagorase teoreemi, leiame kärbikoonuse generaatori:

Tüvikoonuse kogupindala valem on järgmine:

Asendades väärtused probleemtingimustest ja leitud väärtustest, saame:

Mahuvalemid

Tüvipüramiidide ja koonuste mahud ja pindalad.

Kärbitud püramiid või koonus - see on osa, mis jääb alles pärast ülaosa äralõikamist alusega paralleelse tasapinnaga.

Tüvipüramiidi ruumala või koonus võrdne kogu püramiidi või koonuse ruumalaga miinus äralõigatud tipu ruumala.

Tüvipüramiidi külgpindala või koonus võrdne kogu püramiidi või koonuse pindalaga. miinus äralõigatud tipu külgpindala. Kui on vaja leida kärbitud kujundi kogupindala, siis lisatakse külgpinna pindalale kahe paralleelse aluse pindala.

Kärbitud koonuse mahu ja pindala määramiseks on veel üks meetod:

V = 1/3 π h(R 2 + Rr + r 2),

koonuse külgpindala S=π l(R+r),

kogupindala S o =π l(R+r)+πr 2 +πR 2

Näide 1. Lambivarju materjali valmistamiseks vajaliku pindala määramine. (Koonuse külgpinna arvutamine).

Lambivari on tüvikoonuse kujuga. Lambivarju kõrgus on 50 cm, alumine ja ülemine läbimõõt on vastavalt 40 ja 20 cm.

Määrake 3x täpsusega märkimisväärsed arvud lambivarju valmistamiseks vajaliku materjali pindala.

Nagu ülalpool määratletud, kärbitud koonuse külgpindala S=π l(R+r).

Kuna tüvikoonuse ülemine ja alumine läbimõõt on 40 ja 20 cm, siis alates joonisest fig. ülalt leiame r=10 cm, R=20 cm ja

l=(50 2 +10 2) 1/2 =50,99 vastavalt Pythagorase teoreemile,

Seetõttu on koonuse külgpinna pindala võrdne S = π 50,99 (20 + 10) = 4803,258 cm 2, st. lambivarju valmistamiseks vajaliku materjali pindala on võrdne 4800 cm 2 3 märgilise numbri täpsusega, kuigi loomulikult sõltub see, kui palju materjali tegelikult kasutatakse.

Näide 2. Tüvikoonusega ülaosaga silindri ruumala määramine.

Jahutustorn on silindri kujuga, mille ülaosas on kärbitud koonus, nagu on näidatud joonisel fig. allpool. Määrake õhuruumi maht tornis, kui 40% mahust on hõivatud torude ja muude konstruktsioonidega.

Silindrilise osa maht

V = π R 2 h=π(27/2) 2 *14=8011,71 m 3

Tüvikoonuse ruumala

V = 1/3 π h(R 2 + Rr + r 2), Kus

h=34-14=20 m, R=27/2=13,5 m ja r=14/2=7 m.

Sest R=27/2=13,5 m ja r=14/2=7 m.

Seetõttu kärbitud koonuse maht

V = 1/3 π 20 (13,5 2 + 13,5 * 7 + 7 2) = 6819,03 m 3

Jahutustorni kogumaht V kokku =6819,03+8011,71=14830,74 m3.

Kui 40% mahust on hõivatud, õhuruumi maht V=0,6*14830,74=8898,44 m 3