Polünoomi mõiste

Polünoomi definitsioon: polünoom on monomialide summa. Polünoomi näide:

siin näeme kahe monoomi summat ja see on polünoom, st. monomialide summa.

Polünoomi moodustavaid termineid nimetatakse polünoomi liikmeteks.

Kas monomialide erinevus on polünoom? Jah, on, sest vahe taandatakse lihtsalt summaks, näiteks: 5a - 2b = 5a + (-2b).

Monoome loetakse ka polünoomideks. Kuid monomialis pole summat, siis miks peetakse seda polünoomiks? Ja saate sellele lisada nulli ja saada selle summa nullmonoomiga. Niisiis, monoom on polünoomi erijuht, see koosneb ühest liikmest.

Arv null on nullpolünoom.

Polünoomi standardvorm

Mis on standardvormi polünoom? Polünoom on monomialide summa ja kui kõik need polünoomi moodustavad monooomid on kirjutatud standardkujul, lisaks ei tohiks nende hulgas sarnaseid olla, siis kirjutatakse polünoom standardkujul.

Näide polünoomist standardkujul:

siin koosneb polünoom 2 monoomist, millest igaühel on standardvorm, monomialide hulgas pole sarnaseid.

Nüüd näide polünoomist, millel pole standardvormi:

siin on kaks monomi: 2a ja 4a on sarnased. Peame need lisama, siis saab polünoom standardvormi:

Veel üks näide:

Kas see polünoom on taandatud standardkujule? Ei, selle teine ​​liige ei ole kirjutatud standardvormis. Kirjutades selle standardkujul, saame standardvormi polünoomi:

Polünoomi aste

Mis on polünoomi aste?

Polünoomi kraadi määratlus:

Polünoomi aste on suurim aste, mis on antud standardkujulise polünoomi moodustavatel monomidel.

Näide. Mis on polünoomi 5h aste? Polünoomi 5h aste on võrdne ühega, kuna see polünoom sisaldab ainult ühte monomi ja selle aste on võrdne ühega.

Veel üks näide. Mis on polünoomi 5a 2 h 3 s 4 +1 aste? Polünoomi 5a 2 h 3 s 4 + 1 aste on üheksa, kuna see polünoomi sisaldab kahte monoomi, esimene monoom 5a 2 h 3 s 4 on kõrgeima astmega ja selle aste on 9.

Veel üks näide. Mis on polünoomi 5 aste? Polünoomi 5 aste on null. Niisiis, ainult arvust koosneva polünoomi aste, st. ilma tähtedeta on võrdne nulliga.

Viimane näide. Mis on nullpolünoomi aste, s.o. null? Nullpolünoomi aste ei ole määratletud.

Polünoom ja selle standardvorm

Polünoom on monomialide summa.

Monoome, mis moodustavad polünoomi, nimetatakse polünoomi liikmeteks. Seega on polünoomi 4x2y - 5xy + 3x -1 liikmed 4x2y, -5xy, 3x ja -1.

Kui polünoom koosneb kahest liikmest, siis nimetatakse seda kaheliikmeliseks, kui see koosneb kolmest, siis kolmeliikmeliseks. Monoomiks loetakse polünoomi, mis koosneb ühest liikmest.

Polünoomis 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 on terminid 7x3y2 ja - 2y2x3 sarnased terminid, kuna neil on sama täheosa. Sarnased on ka terminid -12 ja 6, millel puudub täheosa. Sarnaseid polünoomi termineid nimetatakse polünoomi sarnasteks terminiteks ja polünoomi sarnaste liikmete taandamist nimetatakse polünoomi sarnaste liikmete taandamiseks.

Näitena toome sarnased terminid polünoomi 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 = 5x3y2 + 4x2y - 6 .

Polünoomi nimetatakse standardkujuliseks polünoomiks, kui iga selle liige on standardkuju monoom ja see polünoom selliseid termineid ei sisalda.

Iga polünoomi saab taandada standardkujule. Selleks peate esitama kõik selle terminid standardvormis ja kaasama sarnased terminid.

Tüüpkujulise polünoomi aste on selle monomiaalide astmetest suurim.

Suvalise polünoomi aste on standardkujulise polünoomi aste, mis on sellega identselt võrdne.

Näiteks leiame polünoomi 8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 astme:

8x4a2 - 12 + 4x2a - 3a2x4 + 6 - 5a2x4 = 4x2a -6.

Pange tähele, et algne polünoom sisaldab kuuenda astme monoome, kuid kui selliseid liikmeid taandada, vähendatakse neid kõiki ja saadakse kolmanda astme polünoom, mis tähendab, et algpolünoomil on aste 3!
Polünoomid ühes muutujas

Vormi avaldist, kus on mõned arvud ja, nimetatakse astme polünoomiks alates.

Kahte polünoomi nimetatakse identselt võrdseks, kui nende arvväärtused on kõigi väärtuste jaoks samad. Polünoomid ja on identselt võrdsed siis ja ainult siis, kui need langevad kokku, s.t. nende polünoomide samade astmete koefitsiendid on samad.

Polünoomi jagamisel polünoomiga (näiteks “nurgaga”) saame polünoomi (mittetäielik jagatis) ja jääk on polünoomi (juhul, kui jääk on null, nimetatakse polünoomi privaatseks). Kui - dividend, - jagaja, siis esindame polünoomi kujul. Sel juhul on polünoomide ja astmete summa võrdne polünoomi astmega ja jäägi aste on väiksem kui jagaja aste.

Polünoomi mõiste. Polünoomi aste

Polünoom x-is on vormi avaldis

anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, kus n on naturaalarv; an, an-1,..., a1, a0 on mis tahes arvud, mida nimetatakse selle polünoomi koefitsientideks. Avaldisi anxn, an-1xn-1,..., a1x, a0 nimetatakse polünoomi liikmeteks ja 0 on vaba liige.

Me kasutame sageli selliseid termineid: an - koefitsient xn juures, an-1 - koefitsient xn-1 juures jne.

Polünoomide näideteks on järgmised avaldised: 0x4+2x3+ (-3) x3+ (3/7) x+; 0x2+0x+3; 0x2+0x+0. Siin on esimese polünoomi koefitsientideks arvud 0, 2, - 3, 3/7, ; sel juhul on näiteks arv 2 koefitsient x3 juures ja on vaba liige.

Polünoomi, mille kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga, nimetatakse nulliks.

Näiteks polünoom 0x2+0x+0 on null.

Polünoomi kirje põhjal on selge, et see koosneb mitmest liikmest. Siit tuli mõiste ‹‹polünoom›› (paljud terminid). Mõnikord nimetatakse polünoomi polünoomiks. See termin pärineb kreekakeelsetest sõnadest πολι – palju ja νομχ – liige.

Ühe muutuja x polünoomi tähistatakse järgmiselt: f (x), g (x), h (x) jne. näiteks kui ülaltoodud esimest polünoomi tähistatakse f (x), siis saame kirjutada: f (x) =0x4+2x3+ (-3) x2+3/7x+.

Selleks, et polünoom näeks välja lihtsam ja kompaktsem, leppisime kokku mitmes kokkuleppes.

Neid nullist erineva polünoomi liikmeid, mille koefitsiendid on nulliga, ei kirjutata üles. Näiteks f (x) =0x3+3x2+0x+5 asemel kirjutavad nad: f (x) =3x2+5; asemel g (x) =0x2+0x+3 - g (x) =3. Seega on iga arv ka polünoom. Polünoom h (x), mille kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga, st. nullpolünoom, kirjutage järgmiselt: h (x) =0.

Samuti ei registreerita polünoomi koefitsiente, mis ei ole vabaliige ja on võrdsed 1-ga. Näiteks polünoomi f (x) =2x3+1x2+7x+1 saab kirjutada nii: f (x) =x3+x2+7x+1.

Negatiivse koefitsiendi märk ‹‹-›› viitab seda koefitsienti sisaldavale terminile, st näiteks polünoom f (x) =2x3+ (-3) x2+7x+ (-5) on kirjutatud kujul f (x) =2x3 -3x2+7x-5. Sel juhul, kui koefitsient, mis ei ole vabaliige, on võrdne - 1-ga, siis jäetakse vastava liikme ees märk "-" ja ühikut ei kirjutata. Näiteks kui polünoom on kujul f (x) =x3+ (-1) x2+3x+ (-1), siis saab selle kirjutada nii: f (x) =x3-x2+3x-1.

Võib tekkida küsimus: miks leppida kokku näiteks polünoomi tähistuses 1x asendamises x-ga, kui on teada, et 1x = x suvalise arvu x korral? Fakt on see, et viimane võrdsus leiab aset, kui x on arv. Meie puhul on x suvalise iseloomuga element. Pealegi pole meil veel õigust pidada kirjet 1x arvu 1 ja elemendi x korrutisena, sest kordame, x ei ole arv. Just see asjaolu põhjustas polünoomi tähistuse kokkulepped. Ja kui me ikkagi räägime ilma põhjuseta näiteks 2 ja x korrutisest, siis see võimaldab teatud lõtvust.

Seoses polünoomi tähistuskokkulepetega pöörame tähelepanu sellisele detailile. Kui on näiteks polünoom f (x) \u003d 3x3-2x2-x + 2, siis on selle koefitsiendid arvud 3, - 2, - 1,2. Muidugi võiks öelda, et koefitsiendid on arvud 0, 3, - 2, - 1, 2, mis tähendab antud polünoomi sellist esitust: f (x) = 0x4-3x2-2x2-x+2.

Edaspidi märgime täpsuse huvides koefitsiendid, alustades nullist erinevalt, polünoomi tähises esinemise järjekorras. Niisiis on polünoomi f (x) \u003d 2x5-x koefitsiendid arvud 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Fakt on see, et kuigi näiteks terminit x2 pole tähistuses , tähendab see ainult seda, et selle koefitsient võrdub nulliga. Samamoodi pole kirjes vaba liiget, kuna see on võrdne nulliga.

Kui on olemas polünoom f (x) \u003d anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 ja an≠0, siis nimetatakse arvu n polünoomi f (x) astmeks (või nad ütlevad : f (x) on n-ndad kraadid) ja kirjutage Art. f(x)=n. Sel juhul nimetatakse an juhtivaks koefitsiendiks ja anxn antud polünoomi juhtliikmeks.

Näiteks kui f (x) \u003d 5x4-2x + 3, siis Art. f (x) =4, vanemkoefitsient - 5, vanemtähtaeg - 5x4.

Vaatleme nüüd polünoomi f (x) = a, kus a on nullist erinev arv. Mis on selle polünoomi aste? On lihtne näha, et polünoomi f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 koefitsiendid on nummerdatud paremalt vasakule numbritega 0, 1, 2, …, n-1 , n ja kui an≠0, siis Art. f(x)=n. Seega on polünoomi aste suurim nullist erinevate koefitsientide arvudest (äsja mainitud numeratsiooniga). Pöördume nüüd tagasi polünoomi f (x) = a, a≠0 juurde ja nummerdame selle koefitsiendid paremalt vasakule numbritega 0, 1, 2, ... koefitsient a saab arvu 0 ja kuna kõik teised koefitsiendid on nullid, see on antud polünoomi suurim nullist erineva koefitsiendi arv. Seega Art. f(x)=0.

Seega on nullkraadiga polünoomid muud arvud kui null.

Jääb üle välja selgitada, kuidas on lood nullpolünoomi astmega. Nagu teada, on kõik selle koefitsiendid võrdsed nulliga ja seetõttu ei saa ülaltoodud definitsiooni sellele rakendada. Niisiis, leppisime kokku, et nullpolünoomile mitte ühtegi kraadi ei omista, st. et tal pole kraadi. See tingimuslikkus on tingitud mõnest asjaolust, mida käsitletakse veidi hiljem.

Niisiis, nullpolünoomil pole kraadi; polünoomi f (x) \u003d a, kus a on nullist erinev arv, on aste 0; mis tahes muu polünoomi aste, nagu seda on lihtne näha, on võrdne muutuja x suurima eksponendiga, mille koefitsient on võrdne nulliga.

Kokkuvõtteks tuletame meelde veel paar määratlust. Teise astme polünoomi f (x) =ax2+bx+c nimetatakse ruuttrinoomiks. Esimese astme polünoomi kujul g (x) = x + c nimetatakse lineaarseks binoomiks.
Horneri skeem.

Horneri skeem on üks lihtsamaid viise polünoomi jagamiseks x-binoomiks. Muidugi ei piirdu Horneri skeemi rakendamine jagamisega, kuid alustuseks kaalume just seda. Selgitame algoritmi rakendamist näidetega. Jagame sellega. Teeme kaherealise tabeli: esimesse reale kirjutame polünoomi koefitsiendid muutuja astmete järgi kahanevas järjekorras. Pange tähele, et see polünoom ei sisalda x-i, st. koefitsient x ees on 0. Kuna jagame arvuga, kirjutame teisele reale ühiku:

Alustame teise rea tühjade lahtrite täitmist. Kirjutame esimesse tühja lahtrisse 5, teisaldades selle lihtsalt esimese rea vastavast lahtrist:

Täitke järgmine lahter järgmiselt:

Täidame samamoodi neljanda:

Viienda lahtri jaoks saame:

Ja lõpuks, viimase, kuuenda lahtri jaoks on meil:

Probleem on lahendatud, jääb üle vaid vastus kirja panna:

Nagu näete, on teisel real (esimese ja viimase vahel) olevad arvud polünoomi koefitsiendid, mis saadakse pärast jagamist. Teise rea viimane arv tähendab jagamise jääki või, mis on sama, polünoomi väärtust at. Seega, kui meie puhul on jääk võrdne nulliga, jagatakse polünoomid täielikult.

Saadud tulemus näitab ka, et 1 on polünoomi juur.

Võtame teise näite. Jagage polünoom arvuga. Koheselt sätestada, et väljend tuleb esitada kujul. See on -3, mis osaleb Horneri skeemis.

Kui meie eesmärk on leida polünoomi kõik juured, siis saab Horneri skeemi rakendada mitu korda järjest, kuni ammendame kõik juured. Näiteks leiame kõik polünoomi juured. Vabaliikme jagajate hulgast tuleb otsida täisarvulisi juuri, s.t. jagajate hulgas 8. See tähendab, et täisarvu juured võivad olla arvud -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. Kontrollime näiteks 1:

Seega, jäägis on meil 0, s.o. ühik on tõepoolest antud polünoomi juur. Proovime seadet veel paar korda kontrollida. Me ei loo selle jaoks uut tabelit, vaid jätkame eelmise tabeli kasutamist:

Jälle null. Jätkame tabelit, kuni ammendame kõik juurte võimalikud väärtused:

Alumine rida: Muidugi on see valikumeetod ebaefektiivne üldiselt juhul, kui juured ei ole täisarvud, kuid täisarvu juurte jaoks on meetod päris hea.

TÄISARVKOEFITSIENTIDEGA POLÜNOOMI RATSIOONI JUURED Polünoomi juurte leidmine on huvitav ja küllaltki raske ülesanne, mille lahendamine väljub koolimatemaatikakursuse piiridest. Täisarvuliste koefitsientidega polünoomide jaoks on aga olemas lihtne loendusalgoritm, mis võimaldab leida kõik ratsionaalsed juured.

Teoreem. Kui täisarvu koefitsientidega polünoomil on ratsionaalne juur (on taandamatu murd),

siis murru lugeja on vaba liikme jagaja ja nimetaja selle polünoomi juhtivkoefitsiendi jagaja.

Tõestus

Olgu polünoom kirjutatud kanoonilisel kujul. Asenda ja vabane nimetajatest, korrutades n suurima astmega:

Liigutage liiget paremale

Korrutis jagub täisarvuga m. Tingimuse järgi on murd taandamatu, seetõttu on arvud m ja n kaasalgarvud. Siis on arvud m kaasalgarvuks ja Kui arvude korrutis jagub m-ga ja tegur on m-ga kaasalgarvuks, peab teine ​​tegur jaguma m-ga.

Juhtkoefitsiendi jaguvuse tõestus nimetajaga n tõestatakse täpselt samamoodi, nihutades liiget paremale ja võttes teguri n välja vasakpoolsest sulust.

Teeme tõestatud teoreemi kohta mõned märkused.

Märkused

1) Teoreem annab vaid vajaliku tingimuse ratsionaalse juure olemasoluks. See tähendab, et peate kontrollima kõiki teoreemis näidatud omadusega ratsionaalseid arve ja valima nende hulgast need, mis osutuvad juurteks. Teisi ei tule.

2) Jagajate hulgast tuleb võtta mitte ainult positiivsed, vaid ka negatiivsed täisarvud.

3) Kui juhtkoefitsient on 1, siis peab iga ratsionaaljuur olema täisarv, kuna 1-l pole jagajaid, v.a.

Illustreerime teoreemi ja selle kohta tehtud märkusi näidetega.

1) Ratsionaaljuured peavad olema täisarvud.

Sorteerime vaba liikme jagajad: Positiivseid arve pole mõtet asendada, kuna kõik polünoomi koefitsiendid on positiivsed ja

Jääb üle arvutada F(–1) ja F(–2). F(–1)=1+0; F(–2)=0.

Seega on polünoomil üks täisarvu juur x=-2.

F(x) saame jagada x+2-ga:

2) Kirjutame välja juurte võimalikud väärtused:

Asenduse abil tagame, et polünoomil on kolm erinevat ratsionaalset juurt:

Muidugi on juur x = -1 lihtne ära arvata. Seejärel saate tavaliste meetodite abil faktoriseerida ja otsida ruuttrinoomi juuri.

POLÜNOOMIDE JAOTUS. EUCLID ALGORITM

Polünoomide jaotus

Jagamise tulemuseks on ainus polünoomipaar - jagatis ja jääk, mis peavad rahuldama võrdsust:< делимое > = < делитель > ´ < частное > + <… Если многочлен степени n Pn(x) является делимым,

Näide nr 1

6x 3 + x 2 - 3x - 2 2x 2 - x - 1

6x 3 ± 3x 2 ± 3x 3x + 2

4x 2 + 0x - 2

4x 2 ± 2x ± 2

Seega 6x 3 + x 2 - 3x - 2 \u003d (2x 2 - x - 1) (3x + 2) + 2x.

Näide nr 2

a 5 a 4 b a 4 –a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4

± a 4 b ± a 3 b 2

– a 2 b 3 + b 5

± a 2 b 3 ± ab 4

Seega a 5 + b 5 \u003d (a + b) (a 4 - a 3 b + a 2 b 2 - ab 3 + b 4).

Erinevate algebras käsitletavate avaldiste hulgas on monomiaalide summadel oluline koht. Siin on näited sellistest väljenditest:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Monoomide summat nimetatakse polünoomiks. Polünoomi termineid nimetatakse polünoomi liikmeteks. Monoome nimetatakse ka polünoomideks, pidades monoomiks polünoomi, mis koosneb ühest liikmest.

Näiteks polünoom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
saab lihtsustada.

Esitame kõiki termineid standardvormi monomialidena:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Esitame sarnased terminid saadud polünoomis:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Tulemuseks on polünoom, mille kõik liikmed on standardkuju monoomid ja nende hulgas pole sarnaseid. Selliseid polünoome nimetatakse standardkuju polünoomid.

Taga polünoomaste standardvormil on selle liikmetest suurim volitus. Seega on binoomil \(12a^2b - 7b \) kolmas aste ja trinoomil \(2b^2 -7b + 6 \) teine ​​aste.

Tavaliselt on üht muutujat sisaldavate standardvormi polünoomide liikmed paigutatud selle eksponentide kahanevasse järjekorda. Näiteks:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Mitme polünoomi summa saab teisendada (lihtsustatud) standardkujuliseks polünoomiks.

Mõnikord tuleb polünoomi liikmed jagada rühmadesse, lisades iga rühma sulgudesse. Kuna sulud on sulgude vastandid, on seda lihtne sõnastada sulgude avamise reeglid:

Kui + märk asetatakse sulgude ette, siis sulgudes olevad terminid kirjutatakse samade märkidega.

Kui sulgude ette on pandud märk "-", siis sulgudes olevad terminid kirjutatakse vastandmärkidega.

Mono- ja polünoomi korrutise teisendamine (lihtsustamine).

Korrutamise jaotusomadust kasutades saab teisendada (lihtsustada) mono- ja polünoomi korrutise polünoomiks. Näiteks:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Monoomi ja polünoomi korrutis on identselt võrdne selle monoomi ja polünoomi iga liikme korrutiste summaga.

See tulemus on tavaliselt sõnastatud reeglina.

Monoomiaali korrutamiseks polünoomiga tuleb see monoom korrutada polünoomi iga liikmega.

Oleme seda reeglit korduvalt kasutanud summaga korrutamiseks.

Polünoomide korrutis. Kahe polünoomi korrutise teisendamine (lihtsustamine).

Üldiselt on kahe polünoomi korrutis identselt võrdne ühe polünoomi iga liikme ja teise iga liikme korrutise summaga.

Tavaliselt kasutage järgmist reeglit.

Polünoomi polünoomiga korrutamiseks peate korrutama ühe polünoomi iga liikme teise liikmega ja liitma saadud korrutised.

Lühendatud korrutusvalemid. Summa, vahe ja erinevuse ruudud

Mõne algebralise teisenduse avaldisega tuleb tegeleda sagedamini kui teistega. Võib-olla on kõige levinumad avaldised \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ja \(a^2 - b^2 \), see tähendab summa ruut, erinevuse ruut ja ruudu erinevus. Olete märganud, et nende avaldiste nimed tunduvad olevat puudulikud, nii et näiteks \((a + b)^2 \) ei ole loomulikult mitte ainult summa ruut, vaid ka summa ruut. a ja b. Kuid a ja b summa ruut pole nii levinud, reeglina sisaldab see tähtede a ja b asemel mitmesuguseid, mõnikord üsna keerulisi avaldisi.

Avaldisi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) on lihtne teisendada (lihtsustada) standardvormi polünoomideks, tegelikult olete polünoomide korrutamisel sellise ülesandega juba kokku puutunud :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Saadud identiteedid on kasulik meeles pidada ja rakendada ilma vahepealsete arvutusteta. Sellele aitavad kaasa lühikesed verbaalsed formuleeringud.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - summa ruut võrdub ruutude ja topeltkorrutise summaga.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - erinevuse ruut on ruutude summa ilma korrutist kahekordistamata.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ruutude vahe võrdub vahe ja summa korrutisega.

Need kolm identiteeti võimaldavad teisendustes asendada vasakpoolsed osad parempoolsetega ja vastupidi - paremad osad vasakpoolsetega. Kõige keerulisem on sel juhul näha vastavaid avaldisi ja aru saada, mida muutujad a ja b neis asendatakse. Vaatame mõnda näidet lühendatud korrutusvalemite kasutamisest.

Näiteks väljendid:

a - b + c, x 2 - y 2 , 5x - 3y - z- polünoomid

Monoome, mis moodustavad polünoomi, nimetatakse polünoomi liikmed. Mõelge polünoomile:

7a + 2b - 3c - 11

väljendid: 7 a, 2b, -3c ja -11 on polünoomi liikmed. Pange tähele, et liige -11 ei sisalda muutujat, selliseid ainult numbrilisi liikmeid kutsutakse tasuta.

Üldtunnustatud seisukoht on, et iga monoom on polünoomi erijuhtum, mis koosneb ühest liikmest. Sel juhul on monoom üheliikmelise polünoomi nimi. Kahest ja kolmest liikmest koosnevate polünoomide jaoks on olemas ka spetsiaalsed nimed - vastavalt binoom ja trinoom:

7a- monomiaalne

7a + 2b- binoom

7a + 2b - 3c- kolmepoolne

Sarnased liikmed

Sarnased liikmed- polünoomi kuuluvad monoomid, mis erinevad üksteisest ainult koefitsiendi , märgi poolest või ei erine üldse (sarnasteks võib nimetada ka vastandmonoome). Näiteks polünoomina:

3a 2 b

+

5abc 2

+

2a 2 b

-

7abc 2

-

2a 2 b

liikmed 3 a 2 b, 2a 2 b ja 2 a 2 b, samuti liikmed 5 abc 2 ja -7 abc 2 on sarnased terminid.

Sarnaste liikmete ülekandmine

Kui polünoom sisaldab sarnaseid termineid, saab selle taandada lihtsamaks vormiks, ühendades sarnased terminid üheks. Sellist tegevust nimetatakse sarnaste liikmete arvu vähendamine. Esiteks lisame sulgudesse eraldi kõik sellised liikmed:

(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b) + (5abc 2 - 7abc 2)

Mitme sarnase monomi ühendamiseks üheks peate lisama nende koefitsiendid ja jätma sõnasõnalised tegurid muutmata:

((3 + 2 - 2)a 2 b) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2

Sarnaste liikmete redutseerimine on mitme sarnase monomi algebralise summa asendamine ühe monoomiga.

Standardkuju polünoom

Standardkuju polünoom on polünoom, mille kõik liikmed on standardkuju monoomid, mille hulgas sarnaseid termineid pole.

Polünoomi viimiseks standardvormile piisab sarnaste terminite valamisest. Näiteks esitage avaldis standardvormi polünoomina:

3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3

Leiame kõigepealt sarnased terminid:

Kui tüüpkuju polünoomi kõik liikmed sisaldavad sama muutujat, siis on selle liikmed tavaliselt järjestatud suuremast astmest väiksemani. Polünoomi vaba liige, kui see on olemas, asetatakse viimasele kohale - paremale.

Näiteks polünoom

3x + x 3 - 2x 2 - 7

tuleks kirjutada nii:

x 3 - 2x 2 + 3x - 7

Ütlesime, et esinevad nii standardkuju polünoomid kui ka mittestandardsed vormid. Samas kohas märkisime, et mis tahes polünoom standardvormiks. Selles artiklis selgitame kõigepealt välja, mis tähendus sellel fraasil on. Järgmisena loetleme sammud, mis võimaldavad teil teisendada mis tahes polünoomi standardvormiks. Lõpuks kaaluge tüüpiliste näidete lahendusi. Kirjeldame lahendusi väga põhjalikult, et käsitleda kõiki nüansse, mis tekivad polünoomide tüüpvormile toomisel.

Leheküljel navigeerimine.

Mida tähendab polünoomi viimine standardvormile?

Kõigepealt peate selgelt aru saama, mida mõeldakse polünoomi standardvormile viimise all. Tegeleme sellega.

Polünoomidele, nagu ka teistele avaldistele, saab teha identseid teisendusi. Selliste teisenduste tulemusena saadakse avaldised, mis on identselt võrdsed algse avaldisega. Seega võimaldab teatud teisenduste sooritamine mittestandardse kujuga polünoomidega üle minna polünoomidele, mis on nendega identselt võrdsed, kuid juba standardkujul kirjutatud. Sellist üleminekut nimetatakse polünoomi taandamiseks standardkujule.

Niisiis, viia polünoom standardvormile- see tähendab algse polünoomi asendamist sellega identselt võrdväärse standardkujuga polünoomiga, mis on saadud originaalpolünoomist identsete teisenduste läbiviimisel.

Kuidas viia polünoomi standardkujule?

Mõelgem, millised teisendused aitavad meil viia polünoomi standardkujule. Alustame tüüpkuju polünoomi definitsioonist.

Definitsiooni järgi on standardvormi polünoomi iga liige standardvormi monoom ja standardvormi polünoom selliseid termineid ei sisalda. Omakorda võivad polünoomid, mis on kirjutatud tüüpvormist erineval kujul, koosneda mittestandardsel kujul olevatest monoomidest ja võivad sisaldada sarnaseid termineid. See viib loogiliselt järgmise reeglini. kuidas teisendada polünoomi standardvormiks:

• kõigepealt peate viima standardvormile monoomid, mis moodustavad algse polünoomi,
• ja seejärel teostage sarnaste terminite taandamine.

Selle tulemusel saadakse standardvormi polünoom, kuna kõik selle liikmed kirjutatakse standardkujul ja see ei sisalda selliseid liikmeid.

Näited, lahendused

Mõelge polünoomide standardvormile toomise näidetele. Lahendamisel järgime samme, mis on ette nähtud eelmise lõigu reegliga.

Siinkohal märgime, et mõnikord kirjutatakse kõik polünoomi liikmed standardkujul korraga, sel juhul piisab sarnaste terminite toomisest. Mõnikord pole pärast polünoomi tingimuste taandamist standardvormile sarnaseid liikmeid, seetõttu jäetakse selliste liikmete redutseerimise etapp antud juhul välja. Üldiselt peate tegema mõlemat.

Näide.

Väljendage polünoomid standardkujul: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1, 0,8+2 a 3 0,6-b a b 4 b 5 Ja .

Lahendus.

Kõik polünoomi 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 liikmed on kirjutatud standardkujul, sellel pole selliseid termineid, seetõttu on see polünoom juba standardkujul esitatud.

Liigume edasi järgmise polünoomi juurde 0,8+2 a 3 0,6-b a b 4 b 5. Selle vorm ei ole standardne, mida tõendavad mittestandardse vormi terminid 2·a 3 ·0,6 ja −b·a·b 4 ·b 5. Esitame selle standardvormis.

Algse polünoomi standardvormile viimise esimeses etapis peame esindama kõiki selle liikmeid standardvormil. Seetõttu taandame monomiaali 2 a 3 0,6 standardkujule, saame 2 a 3 0,6=1,2 a 3, mille järel monoomi −b a b 4 b 5, saame −b a b 4 b 5 = −a b 1+4+5 = −a b 10. Sellel viisil, . Saadud polünoomis on kõik terminid kirjutatud standardkujul, pealegi on ilmne, et tal selliseid termineid pole. Seetõttu lõpetab see algse polünoomi taandamise standardvormile.

Jääb esitada standardkujul viimane antud polünoomidest. Pärast kõigi selle liikmete tüüpvormi viimist kirjutatakse see kujul . Sellel on sarnased liikmed, seega peate üle kandma sarnaseid liikmeid:

Seega sai algne polünoom standardkuju −x y+1 .

Vastus:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – juba standardkujul, 0,8+2 a 3 0,6-b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 -a b 10, .

Sageli on polünoomi viimine standardvormile vaid vaheetapp ülesande küsimusele vastamisel. Näiteks polünoomi astme leidmine hõlmab selle esialgset esitamist standardkujul.

Näide.

Tooge polünoom tüüpvormile, märgi selle aste ja järjesta terminid muutuja kahanevatesse astmetesse.

Lahendus.

Esiteks toome kõik polünoomi tingimused standardvormile: .

Nüüd anname sarnased liikmed:

Seega viisime algse polünoomi standardvormile, mis võimaldab meil määrata polünoomi astme, mis on võrdne selles sisalduvate monomialide suurima astmega. Ilmselgelt on see 5.

Jääb üle korraldada polünoomi liikmed muutujate vähenevates astmetes. Selleks tuleb tüüpvormi tulemuseks olevas polünoomis terminid nõuet arvesse võttes ümber paigutada. Terminil z 5 on kõrgeim aste, liikmete −0,5·z 2 ja 11 astmed on vastavalt 3 , 2 ja 0 . Seetõttu on polünoomil, mille terminid on järjestatud muutuja kahaneva astmega, kuju .

Vastus:

Polünoomi aste on 5 ja pärast selle liikmete järjestamist muutuja kahanevas astmes saab see kuju .

Bibliograafia.

• Algebra:õpik 7 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 17. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 240 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 7. klass. Kell 14 1. osa. Õpik õppeasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 17. väljaanne, lisa. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 lk.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toim. A. B. Žižtšenko. - 3. väljaanne - M.: Valgustus, 2010.- 368 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V. A., Mordkovitš A. G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.