Ufafanuzi wa tetrahedron

Tetrahedron- mwili rahisi zaidi wa polyhedral, nyuso na msingi ambao ni pembetatu.

Kikokotoo cha mtandaoni

Tetrahedron ina nyuso nne, ambayo kila mmoja huundwa na pande tatu. Tetrahedron ina wima nne, kila moja ikiwa na kingo tatu.

Mwili huu umegawanywa katika aina kadhaa. Chini ni uainishaji wao.

1. Isohedral tetrahedron- nyuso zake zote ni pembetatu sawa;
2. Tetrahedron ya Orthocentric- urefu wote unaotolewa kutoka kwa kila vertex hadi uso wa kinyume ni sawa kwa urefu;
3. Tetrahedron ya mstatili- kingo zinazotoka kwenye vertex moja huunda angle ya digrii 90 kwa kila mmoja;
4. fremu;
5. Sawa;
6. incentric.

Fomula za kiasi cha Tetrahedron

Kiasi cha mwili uliopewa kinaweza kupatikana kwa njia kadhaa. Hebu tuzichambue kwa undani zaidi.

Kupitia bidhaa mchanganyiko wa vectors

Ikiwa tetrahedron imejengwa kwenye vekta tatu zilizo na kuratibu:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

basi kiasi cha tetrahedron hii ni bidhaa iliyochanganywa ya vekta hizi, ambayo ni, kiashiria kama hicho:

Kiasi cha tetrahedron kupitia kiashiria

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\anza(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \mwisho(v )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Jukumu la 1

Kuratibu za wima nne za octahedron zinajulikana. A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A ( 1 , 4 , 9 ), B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1 , 2 , 3) ​​C(1,2,3) C ( 1 , 2 , 3 ), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D ( 7 , 1 2 , 1 ). Tafuta kiasi chake.

Suluhisho

A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A ( 1 , 4 , 9 )
B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1 , 2 , 3) ​​C(1,2,3) C ( 1 , 2 , 3 )
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D ( 7 , 1 2 , 1 )

Hatua ya kwanza ni kuamua kuratibu za vectors ambayo mwili uliopewa umejengwa.
Ili kufanya hivyo, unahitaji kupata kila uratibu wa vector kwa kuondoa kuratibu zinazofanana za pointi mbili. Kwa mfano, kuratibu za vector A B → \mshale wa kulia (AB) A B, yaani, vector iliyoongozwa kutoka kwa uhakika A A A kwa uhakika B B B, hizi ni tofauti za kuratibu zinazofanana za pointi B B B na A A A:

AB → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -nane)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Sasa tunapata bidhaa iliyochanganywa ya vekta hizi, kwa hili tunaunda kibainishi cha mpangilio wa tatu, huku tukichukulia kwamba. A B → = a ⃗ \arrowoverrightarrow(AB)=\vec(a)A B= a, A C → = b ⃗ \arrowoverright(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= c.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 − 6 ∅ − 6) + 3 − 6 − 6 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 + - 3 x 68 = 3 x 68 = 60 = 3 x 68 a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \anza(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \mwisho(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Hiyo ni, kiasi cha tetrahedron ni:

$V=61\cdot |$

Jibu

$44.8\text{sentimita3 .}$

Fomula ya kiasi cha tetrahedron ya isohedral kando yake

Njia hii ni halali tu kwa kuhesabu kiasi cha tetrahedron ya isohedral, ambayo ni, tetrahedron ambayo nyuso zote zinafanana pembetatu za kawaida.

Kiasi cha tetrahedron ya isohedral

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

aa ni urefu wa ukingo wa tetrahedron.

Jukumu la 2

Pata kiasi cha tetrahedron ikiwa upande wake umepewa sawa na $11\text{sentimita.}$

Suluhisho

$a=11$

Mbadala aa katika formula ya kiasi cha tetrahedron:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{sentimita3}}}}}$

Jibu

$156.8\text{sentimita3 .}$

Kumbuka. Hii ni sehemu ya somo na matatizo katika jiometri (sehemu ya jiometri imara, matatizo kuhusu piramidi). Ikiwa unahitaji kutatua tatizo katika jiometri, ambayo haipo hapa - andika juu yake kwenye jukwaa. Katika kazi, badala ya ishara ya "mizizi ya mraba", kazi ya sqrt () hutumiwa, ambayo sqrt ni ishara ya mizizi ya mraba, na usemi mkali unaonyeshwa kwenye mabano..Kwa misemo rahisi ya radical, ishara "√" inaweza kutumika. tetrahedron ya kawaida ni piramidi ya kawaida ya pembetatu ambayo nyuso zote ni pembetatu zilizo sawa.

Kwa tetrahedron ya kawaida, pembe zote za dihedral kwenye kingo na pembe zote za trihedral kwenye wima ni sawa.

Tetrahedron ina nyuso 4, wima 4 na kingo 6.

Kanuni za msingi za tetrahedron ya kawaida hutolewa kwenye meza.

Wapi:
S - eneo la uso wa tetrahedron ya kawaida
V - kiasi
h - urefu umepungua kwa msingi
r - radius ya mduara iliyoandikwa katika tetrahedron
R - radius ya mzunguko wa mzunguko
a - urefu wa mbavu

Mifano ya vitendo

Kazi.
Pata eneo la uso wa piramidi ya pembe tatu na kila makali sawa na √3

Suluhisho.
Kwa kuwa kingo zote za piramidi ya pembetatu ni sawa, ni sawa. Sehemu ya uso ya piramidi ya kawaida ya pembetatu ni S = a 2 √3.
Kisha
S = 3√3

Jibu: 3√3

Kazi.
Mipaka yote ya piramidi ya kawaida ya triangular ni cm 4. Pata kiasi cha piramidi

Suluhisho.
Kwa kuwa katika piramidi ya kawaida ya triangular urefu wa piramidi inakadiriwa katikati ya msingi, ambayo pia ni katikati ya mzunguko wa mzunguko, basi.

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Kwa hivyo urefu wa piramidi OM unaweza kupatikana kutoka kwa pembetatu ya kulia ya AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Kiasi cha piramidi kinapatikana kwa formula V = 1/3 Sh
Katika kesi hii, tunapata eneo la msingi kwa formula S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Jibu: 16√2/3cm

Kutoka kwa formula ya msingi ya kiasi cha tetrahedron

wapi S ni eneo la uso wowote, na H- urefu ulioteremshwa juu yake, unaweza kupata safu nzima ya fomula zinazoelezea kiasi kwa suala la vitu anuwai vya tetrahedron. Tunatoa fomula hizi kwa tetrahedron ABCD.

(2) ,

wapi ∠ ( AD,ABC) ni pembe kati ya makali AD na ndege ya uso ABC;

(3) ,

wapi ∠ ( ABC,ABD) ni pembe kati ya nyuso ABC na ABD;

wapi | AB,CD| - umbali kati ya mbavu kinyume AB na CD, ∠ (AB,CD) ni pembe kati ya kingo hizi.

Fomula (2)–(4) zinaweza kutumika kutafuta pembe kati ya mistari na ndege; formula (4) ni muhimu sana, ambayo unaweza kupata umbali kati ya mistari ya skew AB na CD.

Fomula (2) na (3) zinafanana na fomula S = (1/2)ab dhambi C kwa eneo la pembetatu. Mfumo S = rp formula sawa

wapi r ni radius ya nyanja iliyoandikwa ya tetrahedron, Σ ni uso wake wa jumla (jumla ya maeneo ya nyuso zote). Pia kuna formula nzuri inayounganisha kiasi cha tetrahedron na radius R wigo wake ulioelezewa ( Fomula ya Crelle):

ambapo Δ ni eneo la pembetatu ambalo pande zake ni sawa na bidhaa za kingo tofauti ( AB× CD, AC× BD,AD× BC) Kutoka kwa fomula (2) na nadharia ya cosine ya pembe tatu (ona trigonometry ya Spherical), mtu anaweza kupata fomula inayofanana na fomula ya Heron ya pembetatu.

Fikiria pembetatu ya kiholela ABC na uhakika D ambayo haipo kwenye ndege ya pembetatu hii. Unganisha sehemu hii na vipengee vya pembetatu ABC. Matokeo yake, tunapata pembetatu ADC , CDB , ABD . Sehemu inayopakana na pembetatu nne ABC, ADC, CDB na ABD inaitwa tetrahedron na inaashiria DABC.
Pembetatu zinazounda tetrahedron huitwa nyuso zake.
Pande za pembetatu hizi huitwa kingo za tetrahedron. Na vipeo vyake ni vipeo vya tetrahedron

Tetrahedron ina 4 nyuso, 6 mbavu na 4 vilele.
Kingo mbili ambazo hazina vertex ya kawaida huitwa kinyume.
Mara nyingi, kwa urahisi, moja ya nyuso za tetrahedron inaitwa msingi, na nyuso tatu zilizobaki ni nyuso za upande.

Hivyo, tetrahedron ni polyhedron rahisi zaidi, nyuso ambazo ni pembetatu nne.

Lakini pia ni kweli kwamba piramidi yoyote ya kiholela ya triangular ni tetrahedron. Kisha pia ni kweli kwamba tetrahedron inaitwa piramidi yenye pembetatu kwenye msingi wake.

Urefu wa tetrahedron inayoitwa sehemu inayounganisha vertex kwa uhakika iko kwenye uso kinyume na perpendicular yake.
Kati ya tetrahedron inayoitwa sehemu inayounganisha vertex na hatua ya makutano ya medians ya uso kinyume.
Tetrahedron ya pande mbili inaitwa sehemu inayounganisha katikati ya kingo za kuvuka za tetrahedron.

Kwa kuwa tetrahedron ni piramidi yenye msingi wa pembe tatu, kiasi cha tetrahedron yoyote kinaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula.

• S ni eneo la uso wowote,
• H- urefu ulipungua kwenye uso huu

Tetrahedron ya kawaida - aina maalum ya tetrahedron

Tetrahedron ambayo nyuso zote ni pembetatu za usawa inaitwa sahihi.
Mali ya tetrahedron ya kawaida:

• Mipaka yote ni sawa.
• Pembe zote za ndege ya tetrahedron ya kawaida ni 60 °
• Kwa kuwa kila kipeo chake ni kipeo cha pembetatu tatu za kawaida, jumla ya pembe za ndege kwenye kila kipeo ni 180°.
• Vertex yoyote ya tetrahedron ya kawaida inakadiriwa kwa orthocenter ya uso kinyume (kwa hatua ya makutano ya urefu wa pembetatu).

Wacha tupewe tetrahedron ABCD ya kawaida yenye kingo sawa na . DH ni urefu wake.
Hebu tufanye ujenzi wa ziada BM - urefu wa pembetatu ABC na DM - urefu wa pembetatu ACD .
Urefu BM ni sawa na BM na sawa
Fikiria pembetatu BDM , ambapo DH , ambayo ni urefu wa tetrahedron, pia ni urefu wa pembetatu hii.
Urefu wa pembetatu iliyoshuka kwa MB upande unaweza kupatikana kwa kutumia fomula

, wapi
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Badilisha maadili haya kwenye fomula ya urefu. Pata


Wacha tutoe 1/2a. Pata

Tumia tofauti ya fomula ya miraba

Baada ya mabadiliko madogo, tunapata


Kiasi cha tetrahedron yoyote inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula
,
wapi ,

Kubadilisha maadili haya, tunapata

Hivyo formula ya kiasi kwa tetrahedron ya kawaida ni

wapi a- makali ya tetrahedron

Kuhesabu kiasi cha tetrahedron ikiwa kuratibu za wima zake zinajulikana

Hebu tupewe kuratibu za wima za tetrahedron

Chora vekta kutoka kwenye kipeo , , .
Ili kupata kuratibu za kila moja ya vekta hizi, toa uratibu wa kuanza unaolingana kutoka kwa kuratibu mwisho. Pata