Klass: 7

Funktsioon hõivab kooli algebra kursuse ühe juhtiva koha ja sellel on palju rakendusi teistes teadustes. Uuringu alguses teavitan teid küsimuse motiveerimise ja aktualiseerimise eesmärgil, et looduses ei saa uurida ühtki nähtust, mitte ühtegi protsessi, ühtegi masinat ei saa konstrueerida ja seejärel töötada ilma täieliku matemaatilise kirjelduseta. . Üks tööriist selleks on funktsioon. Selle õpe algab 7. klassis, reeglina lapsed määratlusse ei süvene. Eriti raskesti ligipääsetavad mõisted on määratlus- ja tähendusvaldkond. Kasutades teadaolevaid seoseid suuruste vahel liikumise ja väärtuse probleemides, tõlgin need funktsiooni keelde, säilitades seose selle definitsiooniga. Seega arendavad õpilased funktsiooni mõistet teadlikul tasandil. Samal etapil tehakse vaevarikast tööd uute mõistete kallal: määratluspiirkond, väärtuse valdkond, argument, funktsiooni väärtus. Kasutan süvaõpet: juurutan tähistust D(y), E(y), võtan kasutusele funktsiooni nulli mõiste (analüütiliselt ja graafiliselt), konstantse märgi aladega harjutuste lahendamisel. Mida varem ja sagedamini puutuvad õpilased kokku keeruliste mõistetega, seda paremini teadvustavad nad neid pikaajalise mälu tasandil. Lineaarfunktsiooni uurimisel on soovitav näidata seost lineaarvõrrandite ja -süsteemide ning hiljem lineaarvõrratuste ja nende süsteemide lahendamisega. Loengul saavad üliõpilased suure ploki (mooduli) uut infot, mistõttu loengu lõpus “väänatakse” materjal välja ja koostatakse kokkuvõte, mida üliõpilased peavad teadma. Praktilised oskused kujunevad harjutuste sooritamise käigus erinevatel meetoditel, mis põhinevad individuaalsel ja iseseisval tööl.

1. Teave lineaarfunktsioonide kohta.

Lineaarfunktsiooni kohtab praktikas väga sageli. Varda pikkus on temperatuuri lineaarne funktsioon. Rööbaste ja sildade pikkus on samuti temperatuuri lineaarne funktsioon. Jalakäija, rongi või auto konstantsel kiirusel läbitav vahemaa on sõiduaja lineaarne funktsioon.

Lineaarne funktsioon kirjeldab mitmeid füüsilisi seoseid ja seadusi. Vaatame mõnda neist.

1) l = l о (1+at) – tahkete ainete joonpaisumine.

2) v = v о (1+bt) – tahkete ainete mahupaisumine.

3) p=p o (1+at) – tahkete juhtide eritakistuse sõltuvus temperatuurist.

4) v = v o + juures – ühtlaselt kiirendatud liikumise kiirus.

5) x= x o + vt – ühtlase liikumise koordinaat.

Ülesanne 1. Määrake tabeliandmetest lineaarfunktsioon:

X	1	3
juures	-1	3

Lahendus. y= kx+b, ülesanne taandatakse võrrandisüsteemi lahendamiseks: 1=k 1+b ja 3=k 3 + b

Vastus: y = 2x – 3.

Ülesanne 2. Ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikudes läbis keha esimese 8 sekundiga 14 m ja veel 4 s 12 m. Loo nende andmete põhjal liikumisvõrrand.

Lahendus. Vastavalt ülesande tingimustele on meil kaks võrrandit: 14 = x o +8 v o ja 26 = x o +12 v o võrrandisüsteemi lahendades saame v = 3, x o = -10.

Vastus: x = -10 + 3t.

Ülesanne 3. Linnast väljus sõiduauto kiirusega 80 km/h. 1,5 tunni pärast tuli talle järele mootorratas, mille kiirus oli 100 km/h. Kui kaua võtab mootorrattal aega, et talle järele jõuda? Kui kaugel linnast see juhtub?

Vastus: 7,5 tundi, 600 km.

4. ülesanne. Kahe punkti vaheline kaugus on alghetkel 300m. Punktid liiguvad üksteise poole kiirusega 1,5 m/s ja 3,5 m/s. Millal nad kohtuvad? Kus see juhtub?

Vastus: 60 s, 90 m.

5. ülesanne. Vasest joonlaud 0 o C juures on 1 m pikk. Leia selle pikkuse suurenemine, kui selle temperatuur tõuseb 35 o, 1000 o C võrra (vase sulamistemperatuur on 1083 o C)

Vastus: 0,6 mm.

2. Otsene proportsionaalsus.

Paljusid füüsikaseadusi väljendatakse otsese proportsionaalsuse kaudu. Enamasti kasutatakse nende seaduste kirjutamiseks mudelit

mõningatel juhtudel -

Toome paar näidet.

1. S = v t (v – konst)

2. v = a t (a – konst, a – kiirendus).

3. F = kx (Hooke’i seadus: F – jõud, k – jäikus (const), x – pikenemine).

4. E= F/q (E on intensiivsus elektrivälja antud punktis, E on const, F on laengule mõjuv jõud, q on laengu suurus).

Otsese proportsionaalsuse matemaatilise mudelina saab kasutada kolmnurkade sarnasust või lõikude proportsionaalsust (Thalesi teoreem).

Ülesanne 1. Rong läbis foori 5 sekundiga ja 150 m pikkuse perrooni 15 sekundiga. Mis on rongi pikkus ja kiirus?

Lahendus. Olgu x rongi pikkus, x+150 on rongi ja perrooni kogupikkus. Selle ülesande puhul on kiirus konstantne ja aeg võrdeline pikkusega.

Meil on proportsioon: (x+150) :15 = x: 5.

Kus x = 75, v = 15.

Vastus. 75 m, 15 m/s.

Ülesanne 2. Paat sõitis mõne aja jooksul 90 km allavoolu. Sama ajaga oleks ta läbinud 70 km vastuvoolu. Kui kaugele parv selle ajaga läbib?

Vastus. 10 km.

Ülesanne 3. Milline oli õhu algtemperatuur, kui 3 kraadi võrra kuumutamisel suurenes selle maht 1% esialgsest.

Vastus. 300 K (Kelvin) või 27 0 C.

Loeng teemal "Lineaarfunktsioon".

Algebra, 7. klass

1. Vaatleme probleemide näiteid tuntud valemite abil:

S = v t (tee valem), (1)

C = ck (väärtusvalem). (2)

Ülesanne 1. Auto sõitis punktist A 20 km ja jätkas teekonda kiirusega 62 km/h. Kui kaugel punktist A on auto t tunni pärast? Koostage ülesandele avaldis, mis tähistab kaugust S, leidke see t = 1 tund, 2,5 tundi, 4 tundi.

1) Valemi (1) abil leiame tee, mille auto läbis kiirusel 62 km/h ajas t, S 1 = 62t;
2) Siis on auto punktist A t tunni pärast kaugusel S = S 1 + 20 või S = 62t + 20, leiame S väärtuse:

juures t = 1, S = 62*1 + 20, S = 82;
at t = 2,5, S = 62 x 2,5 + 20, S = 175;
juures t = 4, S = 62*4+ 20, S = 268.

Märgime, et S leidmisel muutub ainult t ja S väärtus, s.t. t ja S on muutujad ja S sõltub t-st, iga t väärtus vastab ühele S väärtusele. Tähistage muutujat S Y-ga ja t-ga x, saame selle ülesande lahendamise valemi:

Y = 62x + 20. (3)

Ülesanne 2. Ostsime poest 150-rublase õpiku ja 15 n-rublasest vihikut. Kui palju raha te ostu eest maksite? Koostage ülesandele avaldis, mis tähistab kulu C, leidke see n = 5,8,16 jaoks.

1) Valemi (2) abil leiame sülearvutite maksumuse C 1 = 15n;
2) Siis on kogu ostu maksumus C = C 1 +150 või C = 15n+150, leiame C väärtuse:

kus n = 5, C = 15,5 + 150, C = 225;
n = 8, C = 15, 8 + 150, C = 270;
n = 16, C = 15, 16+ 150, C = 390.

Samamoodi märgime, et C ja n on muutujad, igale n väärtusele vastab üks C väärtus. Tähistades muutuja C kui Y ja n kui x, saame ülesande 2 lahendamise valemi:

Y = 15x + 150. (4)

Võrreldes valemeid (3) ja (4), oleme veendunud, et muutuja Y leitakse muutuja x kaudu sama algoritmi kasutades. Vaatlesime ainult kahte erinevat probleemi, mis kirjeldavad meid igapäevaselt ümbritsevaid nähtusi. Tegelikult on palju protsesse, mis muutuvad vastavalt saadud seaduspäradele, mistõttu selline muutujatevaheline sõltuvus väärib uurimist.

Ülesannete lahendused näitavad, et muutuja x väärtused valitakse suvaliselt, rahuldades ülesannete tingimusi (positiivne ülesandes 1 ja loomulik ülesandes 2), st x on sõltumatu muutuja (seda nimetatakse argumendiks) ja Y on sõltuv muutuja ja nende vahel on üks-ühele vastavus ning definitsiooni järgi on selline sõltuvus funktsioon. Seega, tähistades x-i koefitsienti tähega k ja vaba liiget tähega b, saame valemi

Y = kx + b.

Definitsioon: vormi funktsioon y = kx + b, kus k, b on mõned arvud, x on argument, y on funktsiooni väärtus, mida nimetatakse lineaarfunktsiooniks.

Lineaarfunktsiooni omaduste uurimiseks tutvustame definitsioone.

Definitsioon 1. Sõltumatu muutuja lubatud väärtuste kogumit nimetatakse funktsiooni määratluspiirkonnaks (lubatav - see tähendab neid x-i arvväärtusi, mille jaoks tehakse arvutused y) ja seda tähistatakse D(y).

Definitsioon 2. Sõltuva muutuja väärtuste kogumit nimetatakse funktsiooni domeeniks (need on arvväärtused, mille y võtab) ja tähistatakse E(y).

Definitsioon 3. Funktsiooni graafik on punktide hulk koordinaattasandil, mille koordinaadid muudavad valemi tõeliseks võrduseks.

Definitsioon 4. Koefitsienti k x nimetatakse kalleks.

Vaatleme lineaarfunktsiooni omadusi.

1. D(y) – kõik arvud (korrutamine on defineeritud kõigi arvude hulgal).
2. E(y) – kõik arvud.
3. Kui y = 0, siis x = -b/k, punkti (-b/k;0) – lõikepunkti Ox teljega, nimetatakse funktsiooni nulliks.
4. Kui x = 0, siis y = b, punkt (0; b) on lõikepunkt Oy teljega.
5. Selgitame välja, millise sirge lineaarfunktsioon koordinaattasandil reastab punktid, s.t. mis on funktsiooni graafik. Selleks kaaluge funktsioone

1) y= 2x + 3, 2) y= -3x – 2.

Iga funktsiooni jaoks koostame väärtuste tabeli. Määrame muutuja x suvalised väärtused ja arvutame Y muutuja vastavad väärtused.

X	-1,5	-2	0	1	2
Y	0	-1	3	5	7

Olles konstrueerinud saadud paarid (x;y) koordinaattasandile ja ühendanud need iga funktsiooni jaoks eraldi (võtsime x väärtused sammuga 1, kui sammu vähendada, reastuvad punktid sagedamini ja kui samm on nullilähedane, siis punktid sulanduvad pidevaks jooneks ), märkame, et punktid asetsevad sirgjoonel juhul 1) ja juhul 2). Tulenevalt asjaolust, et funktsioonid on valitud suvaliselt (koostage oma graafikud y= 0,5x – 4, y= x + 5), järeldame, et et lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon. Kasutades sirge omadust: kahte punkti läbib ainult üks sirge, sirge konstrueerimiseks piisab kahe punkti võtmisest.

6. Geomeetriast on teada, et sirged võivad kas ristuda või olla paralleelsed. Uurime mitme funktsiooni graafikute suhtelist asukohta.

1) y= -x + 5, y= -x + 3, y= -x - 4; 2) y = 2x + 2, y = x + 2, y = -0,5x + 2.

Koostame graafikutest 1) ja 2) rühmad ning teeme järeldused.

Funktsioonide 1) graafikud paiknevad paralleelselt, valemeid uurides märkame, et kõigil funktsioonidel on x jaoks samad koefitsiendid.

Funktsioonide 2) graafikud lõikuvad ühes punktis (0;2). Valemeid uurides märkame, et koefitsiendid on erinevad ja arv b = 2.

Lisaks on lihtne märgata, et lineaarsete funktsioonidega määratletud sirgjooned k › 0 moodustavad Ox-telje positiivse suunaga teravnurga ja k ‹ 0 nürinurga. Seetõttu nimetatakse koefitsienti k kaldeteguriks.

7. Vaatleme lineaarfunktsiooni erijuhtumeid, olenevalt koefitsientidest.

1) Kui b=0, siis saab funktsioon kuju y= kx, siis k = y/x (suhe näitab, mitu korda on erinevus või mis osa y on x-st).

Funktsiooni kujul Y= kx nimetatakse otseseks proportsionaalsuseks. Sellel funktsioonil on kõik lineaarfunktsiooni omadused, selle eripära on see, et x=0 y=0 korral. Otsese proportsionaalsuse graafik läbib lähtepunkti (0;0).

2) Kui k = 0, siis võtab funktsioon kuju y = b, mis tähendab, et mis tahes x väärtuse korral saab funktsioon sama väärtuse.

Funktsiooni kujul y = b nimetatakse konstantseks. Funktsiooni graafik on Ox-teljega paralleelset punkti (0;b) läbiv sirgjoon, kus b=0 kattub konstantse funktsiooni graafik abstsissteljega.

Abstraktne

1. Definitsioon Funktsiooni kujul Y = kx + b, kus k, b on mõned arvud, x on argument, Y on funktsiooni väärtus, nimetatakse lineaarfunktsiooniks.

D(y) – kõik numbrid.

E(y) – kõik numbrid.

Lineaarfunktsiooni graafik on punkti (0;b) läbiv sirgjoon.

2. Kui b=0, siis võtab funktsioon kuju y= kx, mida nimetatakse otseseks proportsionaalsuseks. Otsese proportsionaalsuse graafik läbib alguspunkti.

3. Kui k = 0, siis funktsioon võtab kuju y= b ja seda nimetatakse konstantseks. Konstantse funktsiooni graafik läbib punkti (0;b), paralleelselt abstsissteljega.

4. Lineaarfunktsioonide graafikute vastastikune paigutus.

Funktsioonid y= k 1 x + b 1 ja y= k 2 x + b 2 on antud.

Kui k 1 = k 2, siis on graafikud paralleelsed;

Kui k 1 ja k 2 ei ole võrdsed, siis graafikud lõikuvad.

5. Vaata ülalt lineaarfunktsioonide graafikute näiteid.

Kirjandus.

1. Õpik Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov ja teised. "Algebra, 8."
2. Didaktilised materjalid algebra kohta 8. klassile / V.I. Zhokhov, Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk. – M.: Haridus, 2006. – 144 lk.
3. Lisa ajalehele 1. september “Matemaatika”, 2001, nr 2, nr 4.

Tehke kokkuvõte ja süstematiseerida teadmisi teemal "Lineaarne funktsioon":

• kinnistada võime lugeda ja koostada funktsioonide graafikuid, mis on antud valemitega y = kx+b, y = kx;
• kinnistada oskust määrata lineaarfunktsioonide graafikute suhteline asukoht;
• arendada lineaarfunktsioonide graafikutega töötamise oskusi.

Arendada võime analüüsida, võrrelda, teha järeldusi. Kognitiivse huvi arendamine matemaatika vastu, kompetentne suuline matemaatiline kõne, ehituse täpsus ja täpsus.

Kasvatus tähelepanelikkus, iseseisvus töös, oskus töötada paaris.

Varustus: joonlaud, pliiats, ülesannete kaardid, värvilised pliiatsid.

Tunni tüüp: õppetund õpitud materjali kinnistamiseks.

Tunniplaan:

1. Aja organiseerimine.
2. Suuline töö. Matemaatiline diktaat koos enesekontrolli ja enesehinnanguga. Ajalooline ekskursioon.
3. Treeningharjutused.
4. Iseseisev töö.
5. Tunni kokkuvõte.
6. Kodutöö.

Tundide ajal

1. Öelge tunni eesmärk.

Tunni eesmärk on koondada ja süstematiseerida teadmisi teemal “Lineaarfunktsioon”.

2. Alustuseks paneme proovile oma teoreetilised teadmised.

– Määratlege funktsioon. Mis on sõltumatu muutuja? Sõltuv muutuja?

– Määratlege funktsiooni graafik.

– Sõnastage lineaarfunktsiooni definitsioon.

– Mis on lineaarfunktsiooni graafik?

– Kuidas koostada lineaarfunktsiooni graafik?

– Sõnastada otsese proportsionaalsuse määratlus. Mis on graafik? Kuidas graafikut koostada? Kuidas paikneb funktsiooni y = kx graafik koordinaattasandil k > 0 ja k korral< 0?

Matemaatiline diktaat koos enesekontrolli ja enesehinnanguga.

Vaata pilte ja vasta küsimustele.

1) Millise funktsiooni graafik on üleliigne?

2) Millisel joonisel on kujutatud otsese proportsionaalsuse graafik?

3) Millisel joonisel on lineaarfunktsiooni graafik negatiivse kaldega?

4) Määrake arvu b märk. (Kirjuta vastus ebavõrdsusena)

Töö kontrollimine. Hinnang.

Paaris töötama.

Dešifreerige selle matemaatiku nimi, kes esimest korda kasutas mõistet funktsioon. Selleks kirjuta lahtritesse antud funktsiooni graafikule vastav täht. Ülejäänud ruutu kirjutage täht C. Täiendage joonist sellele tähele vastava funktsiooni graafikuga.

Pilt 1

Joonis 2

Joonis 3

Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716, saksa filosoof, matemaatik, füüsik ja keeleteadlane. Tema ja inglise teadlane I. Newton lõid (üksteisest sõltumatult) olulise matemaatikaharu – matemaatilise analüüsi – alused. Leibniz tutvustas paljusid mõisteid ja sümboleid, mida kasutatakse matemaatikas tänapäevalgi.

3. 1. Antud funktsioonid, mis on määratud valemitega: y = x-5; y = 0,5x; y = – 2x; y = 4.

Nimetage funktsioonid. Märkige graafikud selle kohta, milline neist funktsioonidest läbib punkti M (8;4). Näidake skemaatiliselt, kuidas joonis välja näeb, kui kujutate sellel punkti M läbivate funktsioonide graafikuid.

2. Otsese proportsionaalsuse graafik läbib punkti C (2;1). Looge valem, mis määrab otsese proportsionaalsuse. Millise m väärtuse juures läbib graafik punkti B (-4;m).

3. Joonistage funktsioon y=1/2X. Kuidas saab antud funktsiooni graafikust saada funktsiooni graafiku, mis on antud valemiga y=1/2X – 4 ja y = 1/2X+3. Analüüsige saadud graafikuid.

4. Funktsioonid on antud valemitega:

1) y = 4x+9 ja y = 6x-5;
2) y=1/2x-3 ja y=0,5x+2;
3) y = x ja y = -5x+2,4;
4) y= 3x+6 ja y= -2,5x+6.

Mis on funktsioonigraafikute suhteline asukoht? Konstruktsiooni tegemata leidke esimese graafikupaari lõikepunkti koordinaadid. (Enesetest)

4. Iseseisev töö paaristööna. (teostatakse ml paberil). Interdistsiplinaarne suhtlus.

Tuleb koostada funktsioonide graafikud ja valida see osa sellest, mille punktide kohta kehtib vastav ebavõrdsus:

y = x + 6,	4 < X < 6;
y = -x + 6,	-6 < X < -4;
y = – 1/3 x + 10,	-6 < X < -3;
y = 1/3 x +10,	3 < X < 6;
y = -x + 14,	0 < X < 3;
y = x + 14,	-3 < X < 0;
y = 9x – 18,	2 < X < 4;
y = – 9x – 18	-4 < X < -2;
y = 0,	-2 < X < 2.

Millise joonise sa said? ( Tulp.)

Natuke tulpidest:

Tuntud on umbes 120 tulpiliiki, mis on levinud peamiselt Kesk-, Ida- ja Lõuna-Aasias ning Lõuna-Euroopas. Botaanikud usuvad, et tulbikultuur sai alguse 12. sajandil Türgist, maailmakuulsuse saavutas taim kodumaast kaugel, õigusega tulbimaaks kutsutud Hollandis.

Siin on legend tulbi kohta. Õnn peitus kollase tulbi kuldses pungas. Keegi ei jõudnud selle õnneni, sest polnud sellist jõudu, mis võiks oma punga avada. Aga ühel päeval kõndis läbi heinamaa naine lapsega. Poiss põgenes ema käte vahelt, jooksis heliseva naeruga lille juurde ja kuldne pung avanes. Laste muretu naer tegi seda, mida ükski jõud ei suutnud. Sellest ajast alates on tavaks kinkida tulpe ainult neile, kes tunnevad õnne.

Loominguline kodutöö. Koostage joonis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, mis koosneb segmentidest ja looge sellest analüütiline mudel.

6. Iseseisev töö. Diferentseeritud ülesanne (kahes versioonis)

I variant:

Joonistage funktsioonide graafikud:

II variant:

Joonistage skemaatiliselt funktsioonide graafikud, mille jaoks on täidetud järgmised tingimused:

7. Tunni kokkuvõte

Tehtud töö analüüs. Hindamine.

Maslova Angelina

Teadustöö matemaatikas. Angelina koostas lineaarfunktsiooni arvutimudeli, mida ta kasutas uurimistöö läbiviimiseks.

Lae alla:

Eelvaade:

Omavalitsuse autonoomne õppeasutus Nižni Novgorodi oblasti Bori linnaosa keskkool nr 8

Teadustöö informaatikas ja matemaatikas

Lõpetanud 7A klassi õpilane Angelina Maslova

Juhataja: informaatikaõpetaja, Voronina Anna Aleksejevna.

Bori linnaosa – 2015

Sissejuhatus

1. Lineaarsete funktsioonide uurimine arvutustabelites

Järeldus

Bibliograafia

Sissejuhatus

Sellel aastal algebra tundides tutvustati meile lineaarfunktsioone. Õppisime koostama lineaarfunktsiooni graafikut, määrasime, kuidas funktsiooni graafik peaks käituma sõltuvalt selle koefitsientidest. Veidi hiljem saime arvutiõpetuse tunnis teada, et neid toiminguid võib pidada matemaatiliseks modelleerimiseks. Otsustasin uurida, kas arvutustabelite abil on võimalik lineaarset funktsiooni uurida.

Töö eesmärk: uurige arvutustabelites lineaarset funktsiooni

Uurimise eesmärgid:

• leida ja uurida infot lineaarfunktsiooni kohta;
• ehitada tabelisse lineaarfunktsiooni matemaatiline mudel;
• uurige konstrueeritud mudeli abil lineaarset funktsiooni.

Õppeobjekt:matemaatika modelleerimine.

Õppeaine:lineaarfunktsiooni matemaatiline mudel.

Modelleerimine kui tunnetusmeetod

Inimene kogeb maailma peaaegu sünnist saati. Selleks kasutab inimene mudeleid, mis võivad olla väga mitmekesised.

Mudel on uus objekt, mis peegeldab reaalse objekti mõningaid olulisi omadusi.

Reaalsete objektide mudeleid kasutatakse erinevates olukordades:

1. Kui objekt on väga suur (näiteks Maa on mudel: maakera või kaart) või vastupidi, liiga väike (bioloogiline rakk).
2. Kui objekt on oma ehituselt väga keeruline (auto – mudel: lasteauto).
3. Kui objekt on uurimiseks ohtlik (vulkaan).
4. Kui objekt on väga kaugel.

Modelleerimine on mudeli loomise ja uurimise protsess.

Loome ja kasutame mudeleid ise, mõnikord isegi mõtlemata. Näiteks pildistame mõnda sündmust oma elus ja näitame neid siis oma sõpradele.

Sõltuvalt teabe tüübist võib kõik mudelid jagada mitmeks rühmaks:

1. Verbaalsed mudelid. Need mudelid võivad esineda suulises või kirjalikus vormis. See võib olla lihtsalt eseme või luuletuse sõnaline kirjeldus või ajaleheartikkel või essee – kõik need on verbaalsed mudelid.
2. Graafilised mudelid. Need on meie joonised, fotod, diagrammid ja graafikud.
3. Ikoonilised mudelid. Need on mingis sümboolses keeles kirjutatud mudelid: noodid, matemaatilised, füüsikalised või keemilised valemid.

Lineaarfunktsioon ja selle omadused

Lineaarne funktsioonnimetatakse vormi funktsiooniks

Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon.

1 . Funktsiooni joonistamiseks, vajame funktsiooni graafikusse kuuluva kahe punkti koordinaate. Nende leidmiseks peate võtma kaks x väärtust, asendama need funktsiooni võrrandiga ja kasutama neid vastavate y väärtuste arvutamiseks.

Näiteks funktsiooni joonistamiseks, mugav kaasa võtta ja , siis on nende punktide ordinaadid võrdsed Ja .

Saame punktid A(0;2) ja B(3;3). Ühendame need omavahel ja saame funktsiooni graafiku:

2 . Funktsiooni y=kx+b võrrandis vastutab koefitsient k funktsioonigraafiku kalde eest:

Koefitsient b vastutab graafiku nihutamise eest piki OY-telge:

Alloleval joonisel on toodud funktsioonide graafikud; ;

Pange tähele, et kõigis nendes funktsioonides on koefitsient suurem kui null paremale . Pealegi, seda suurem väärtus, mida järsemaks läheb sirge.

Kõikides funktsioonides– ja näeme, et kõik graafikud lõikuvad OY-teljega punktis (0;3)

Nüüd vaatame funktsioonide graafikuid; ;

Seekord kõigis funktsioonides koefitsient vähem kui null , ja kõik funktsioonigraafikud on kaldega vasakule . Koefitsient b on sama, b=3 ja graafikud, nagu ka eelmisel juhul, lõikuvad OY teljega punktis (0;3)

Vaatame funktsioonide graafikuid; ;

Nüüd kõigis funktsioonivõrrandites koefitsiendidon võrdsed. Ja saime kolm paralleelset joont.

Kuid koefitsiendid b on erinevad ja need graafikud lõikuvad OY teljega erinevates punktides:

Funktsiooni graafik (b=3) lõikab OY-telge punktis (0;3)

Funktsiooni graafik (b=0) lõikab OY telge punktis (0;0) - alguspunktis.

Funktsiooni graafik (b=-2) lõikab OY-telge punktis (0;-2)

Seega, kui teame koefitsientide k ja b märke, siis võime kohe ette kujutada, milline näeb välja funktsiooni graafik.

Kui k 0, siis funktsiooni graafik on kujul:

Kui k>0 ja b>0, siis funktsiooni graafik on kujul:

Kui k>0 ja b , siis funktsiooni graafik on kujul:

Kui k, siis funktsiooni graafik on kujul:

Kui k=0 , siis funktsioon muutub funktsiooniksja selle graafik näeb välja selline:

Funktsiooni graafiku kõigi punktide ordinaadid võrdne

Kui b = 0 , siis funktsiooni graafikläbib päritolu:

4. Kahe joone paralleelsuse tingimus:

Funktsiooni graafik paralleelselt funktsiooni graafikuga, Kui

5. Kahe sirge perpendikulaarsuse tingimus:

Funktsiooni graafik funktsiooni graafikuga risti, kui või

6 . Funktsioonigraafiku lõikepunktidkoordinaattelgedega.

OY teljega. Mis tahes OY-teljele kuuluva punkti abstsiss on võrdne nulliga. Seetõttu tuleb OY-teljega lõikepunkti leidmiseks funktsiooni võrrandis x asemel asendada null. Saame y=b. See tähendab, et lõikepunktil OY-teljega on koordinaadid (0; b).

OX-teljega: Mis tahes OX-teljele kuuluva punkti ordinaat on võrdne nulliga. Seetõttu tuleb OX-teljega lõikepunkti leidmiseks funktsiooni võrrandis y asemel asendada null. Saame 0=kx+b. Siit. See tähendab, et lõikepunktil OX-teljega on koordinaadid (;0):

Lineaarsete funktsioonide uurimine arvutustabelites

Lineaarse funktsiooni uurimiseks tabelarvutuskeskkonnas koostasin järgmise algoritmi:

1. Lineaarse funktsiooni matemaatilise mudeli konstrueerimine arvutustabelis.
2. Täitke argumentide ja funktsioonide väärtuste jälgimistabel.
3. Joonistage diagrammiviisardi abil lineaarne funktsioon.
4. Uurige funktsiooni Lineaarne sõltuvalt koefitsientide väärtustest.

Lineaarfunktsiooni uurimiseks kasutasin Microsoft Office Excel 2007. Argumentide ja funktsioonide väärtuste tabelite koostamiseks kasutasin valemeid. Sain järgmise väärtuste tabeli:

Sellist matemaatilist mudelit kasutades saate hõlpsalt jälgida muutusi lineaarse funktsiooni graafikus, muutes tabelis olevate koefitsientide väärtusi.

Samuti otsustasin tabeleid kasutades jälgida, kuidas muutub kahe lineaarfunktsiooni graafikute suhteline asukoht. Olles koostanud tabelisse uue matemaatilise mudeli, sain järgmise tulemuse:

Kahe lineaarfunktsiooni koefitsiente muutes veendusin selgelt lineaarfunktsioonide omaduste kohta teada saanud informatsiooni paikapidavuses.

Järeldus

Lineaarfunktsiooni algebras peetakse kõige lihtsamaks. Kuid samal ajal on sellel palju omadusi, mis pole kohe selged. Olles koostanud arvutustabelites lineaarfunktsiooni matemaatilise mudeli ja seda uurinud, said lineaarfunktsiooni omadused mulle selgemaks. Mul oli selgelt näha, kuidas graafik muutub, kui funktsiooni koefitsiendid muutuvad.

Arvan, et minu ehitatud matemaatiline mudel aitab seitsmenda klassi õpilastel iseseisvalt lineaarfunktsiooni uurida ja seda paremini mõista.

Bibliograafia

1. Algebra õpik 7. klassile.
2. Arvutiõpetuse õpik 7. klassile
3. Wikipedia.org

Eelvaade:

Esitluse eelvaadete kasutamiseks looge Google'i konto ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidi pealdised:

Uurimisobjekt: lineaarfunktsioon. Uurimisobjekt: lineaarfunktsiooni matemaatiline mudel.

Töö eesmärk: uurida lineaarfunktsiooni arvutustabelites Uurimistöö eesmärgid: leida ja uurida infot lineaarfunktsiooni kohta; ehitada tabelisse lineaarfunktsiooni matemaatiline mudel; uurige konstrueeritud mudeli abil lineaarset funktsiooni.

Lineaarfunktsioon on funktsioon kujul y= k x+ b, kus x on argument ning k ja b on mingid arvud (koefitsiendid) Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon.

Vaatleme funktsiooni y=kx+b, mille puhul k 0 , b=0 . Vaade: y=kx Ühes koordinaatsüsteemis koostame järgmiste funktsioonide graafikud: y=3x y=x y=-7x Koostame iga graafiku vastava värviga x 0 1 y 0 3 x 0 1 y 0 1 x 0 1 a 0 7

Lineaarfunktsiooni kujuga y = k x graafik läbib alguspunkti. y=x y=3x y=-7x y x

Järeldus: Lineaarfunktsiooni graafik kujul y = kx + b lõikab O Y telge punktis (0; b).

Vaatleme funktsiooni y=kx+b, kus k=0. Vaade: y=b Ühes koordinaatsüsteemis koostage funktsioonide graafikud: y=4 y=-3 y=0 Koostame iga graafiku sobiva värviga

Lineaarfunktsiooni graafik kujuga y = b kulgeb paralleelselt OX-teljega ja lõikub O Y-teljega punktis (0; b). y=4 y=-3 y=0 y x

Ühes koordinaatsüsteemis koostage funktsioonide graafikud: Y=2x Y=2x+ 3 Y=2x-4 Koostame iga graafiku sobiva värviga x 0 1 y 0 2 x 0 1 y 3 5 x 0 1 y -4 -2

Lineaarfunktsioonide graafikud kujul y=kx+b on paralleelsed, kui x-i kordajad on samad. y =2x+ 3 y =2x y =2x-4 y x

Ühes koordinaatsüsteemis koostame funktsioonide graafikud: y=3x+4 Y= - 2x+4 Koostame sobiva värviga graafikud x 0 1 y 4 7 x 0 1 y 4 2

Kahe lineaarfunktsiooni kujul y=kx+b graafikud lõikuvad, kui x koefitsiendid on erinevad. y x

Ühes koordinaatsüsteemis koostame funktsioonide graafikud: y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 x 0 4 y x 0 -2 y -4 0 x 0 4 a -2 0 x 0 1 a -1 3 x 0 - 4 a -3 -2

y=0, 5x-2 y=-2x-4 y= 4 x-1 y=- 0, 2 5 x- 3 Kahe lineaarfunktsiooni kujuga y=kx+b graafikud on üksteisega risti, kui x koefitsient on "-1" .

Seetõttu nimetatakse koefitsienti k sirge kaldeks - funktsiooni y=kx+ b graafikuks. Kui k 0, siis on graafiku kaldenurk O X telje suhtes terav. Funktsioon suureneb. y x y x

Arvutustabel

Arvutustabel

Lineaarvõrrandid Algebraline tingimus Geomeetriline tuletus y = k 1 x+ b 1 k 1 = k 2, b 1 ≠ b 2 y = k 2 x+ b 2 k 1 = k 2, b 1 = b 2 k 1 ≠ k 2 k 1 * kuni 2 = -1 Sirged on paralleelsed Sirged kattuvad Sirged on risti Sirged lõikuvad

Minu ehitatud matemaatiline mudel aitab seitsmenda klassi õpilastel iseseisvalt lineaarfunktsiooni uurida ja seda paremini mõista.

Juhised

Punkti koordinaatide leidmiseks sirgel valige see joonel ja tõmmake koordinaatide teljele risti olevad jooned. Määrake, millisele arvule vastab lõikepunkt, ristmik x-teljega on abstsissi väärtus, see tähendab x1, y-telje lõikekoht on ordinaat, y1.

Arvutuste mugavuse ja täpsuse huvides proovige valida punkt, mille koordinaate saab määrata ilma murdarvuta. Võrrandi koostamiseks vajate vähemalt kahte punkti. Leidke sellele sirgele (x2, y2) kuuluva teise punkti koordinaadid.

Asendage koordinaatide väärtused sirge võrrandis, mille üldkuju on y=kx+b. Saad kahe võrrandi süsteemi y1=kx1+b ja y2=kx2+b. Lahendage see süsteem näiteks järgmisel viisil.

Avaldage b esimesest võrrandist ja asendage teisega, leidke k, asendage mis tahes võrrandiga ja leidke b. Näiteks süsteemi 1=2k+b ja 3=5k+b lahendus näeb välja selline: b=1-2k, 3=5k+(1-2k); 3k=2, k=1,5, b=1-2*1,5=-2. Seega on sirge võrrand y=1,5x-2.

Teades kahte joonele kuuluvat punkti, proovige kasutada sirge kanoonilist võrrandit, see näeb välja selline: (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1). Asendage väärtused (x1;y1) ja (x2;y2), lihtsustage. Näiteks punktid (2;3) ja (-1;5) kuuluvad sirgele (x-2)/(-1-2)=(y-3)/(5-3); -3(x-2)=2(y-3); -3x+6=2y-6; 2a = 12-3x või y = 6-1,5x.

Mittelineaarse graafikuga funktsiooni võrrandi leidmiseks toimige järgmiselt. Vaadake kõiki standarddiagramme y=x^2, y=x^3, y=√x, y=sinx, y=cosx, y=tgx jne. Kui mõni neist tuletab teile meelde teie ajakava, võtke see aluseks.

Joonistage samale koordinaatteljele põhifunktsiooni standardgraafik ja leidke see oma graafikult. Kui graafikut liigutatakse mitu ühikut üles või alla, tähendab see, et see arv on funktsioonile lisatud (näiteks y=sinx+4). Kui graafikut liigutatakse paremale või vasakule, tähendab see, et argumendile on lisatud arv (näiteks y=sin (x+P/2).

Kõrgus piklik graafik näitab, et argumentfunktsioon on korrutatud mingi arvuga (näiteks y=2sinx). Kui graafiku kõrgust vähendatakse, tähendab see, et funktsiooni ees olev arv on väiksem kui 1.

Võrrelge põhifunktsiooni ja oma funktsiooni graafikut laiuse järgi. Kui see on kitsam, siis x eelneb arv, mis on suurem kui 1, lai - arv, mis on väiksem kui 1 (näiteks y=sin0,5x).

Märge

Võib-olla vastab graafik leitud võrrandile ainult teatud segmendis. Sel juhul märkige, milliste x väärtuste puhul saadud võrdus kehtib.

Sirge on esimest järku algebraline joon. Descartes'i koordinaatsüsteemis tasapinnal on sirge võrrand antud esimese astme võrrandiga.

Sa vajad

• Analüütilise geomeetria tundmine. Algebra algteadmised.

Juhised

Võrrand on antud kahega, millest see sirge peab läbima. Teeme nende punktide koordinaatide suhte. Olgu esimesel punktil koordinaadid (x1,y1) ja teisel (x2,y2), siis kirjutatakse sirge võrrand järgmiselt: (x-x1)/(x2-x1) = (y-y1 )(y2-y1).

Teisendame saadud sirge võrrandi ja väljendame y-d selgelt x-iga. Pärast seda toimingut saab sirgjoone võrrand lõpliku kuju: y=(x-x1)/((x2-x1)*(y2-y1))+y1.

Video teemal

Märge

Kui nimetaja üks arvudest on null, tähendab see, et sirge on paralleelne ühe koordinaatteljega.

Abistavad nõuanded

Pärast sirge võrrandi kirjutamist kontrollige selle õigsust. Selleks asenda punktide koordinaadid vastavate koordinaatide asemel ja veendu, et võrdus on täidetud.

Tihti teatakse, et y sõltub lineaarselt x-st ja antud sõltuvuse graafik on antud. Sel juhul on võimalik välja selgitada sirge võrrand. Kõigepealt peate valima kaks punkti sirgjoonel.

Juhised

Otsige üles valitud punktid. Selleks langetage ristid koordinaattelje punktidest ja kirjutage skaala numbrid üles. Nii et meie näite punkti B jaoks on x-koordinaat -2 ja y-koordinaat on 0. Samamoodi on punkti A koordinaadid (2;3).

On teada, et sirge on kujul y = kx + b. Asendame valitud punktide koordinaadid võrrandisse üldkujul, siis saame punkti A jaoks järgmise võrrandi: 3 = 2k + b. Punkti B jaoks saame teise võrrandi: 0 = -2k + b. Ilmselgelt on meil kahe tundmatuga võrrandi süsteem: k ja b.

Seejärel lahendame süsteemi mis tahes sobival viisil. Meie puhul on võimalik liita süsteemi võrrandid, kuna mõlemas võrrandis sisaldub tundmatu k koefitsientidega, mis on suuruselt identsed, kuid märgilt vastupidised. Siis saame 3 + 0 = 2k - 2k + b + b ehk, mis on sama: 3 = 2b. Seega b = 3/2. Asendage leitud väärtus b mis tahes võrrandiga, et leida k. Siis 0 = -2k + 3/2, k = 3/4.

Asendame leitud k ja b üldvõrrandis ning saame soovitud sirge võrrandi: y = 3x/4 + 3/2.

Video teemal

Märge

Koefitsienti k nimetatakse sirge kaldeks ja see on võrdne sirge ja x-telje vahelise nurga puutujaga.

Kahest punktist saab tõmmata sirge. Nende punktide koordinaadid on sirgjoone võrrandis "peidetud". Võrrand ütleb teile kõik joone saladused: kuidas seda pööratakse, kummal pool koordinaattasandit see asub jne.

Juhised

Sagedamini on vaja lennukisse ehitada. Igal punktil on kaks koordinaati: x, y. Pöörake tähelepanu võrrandile, see järgib üldkuju: y=k*x ±b, kus k, b on vabad arvud ja y, x on sirge kõigi punktide samad koordinaadid. leidke y-koordinaat, mida peate teadma x-koordinaati Kõige huvitavam on see, et saate x-koordinaadi jaoks valida mis tahes väärtuse: kogu teadaolevate arvude lõpmatusest. Järgmisena asendage võrrandis x ja lahendage see, et leida y. Näide. Olgu võrrand antud: y=4x-3. Mõelge kahe punkti koordinaatide jaoks välja mis tahes kaks väärtust. Näiteks x1 = 1, x2 = 5. Asendage need väärtused võrranditesse, et leida y-koordinaadid. y1 = 4*1 – 3 = 1. y2 = 4*5 – 3 = 17. Saame kaks punkti A ja B, A (1; 1) ja B (5; 17).

Leitud punktid tuleks joonistada koordinaatide teljel, need ühendada ja näha võrrandiga kirjeldatud väga sirget joont. Sirge konstrueerimiseks peate töötama Descartes'i koordinaatsüsteemis. Joonistage teljed X ja Y. Seadke lõikepunkti väärtuseks "null". Joonistage numbrid telgedele.

Märkige koostatud süsteemis kaks sammus 1 leitud punkti. Näidatud punktide seadmise põhimõte: punktil A on koordinaadid x1 = 1, y1 = 1; vali X-teljel number 1, Y-teljel – number 1. Selles punktis asub punkt A. Punkt B on antud väärtustega x2 = 5, y2 = 17. Analoogia põhjal leia punkt B graafikul. Ühendage A ja B sirgjoone loomiseks.

Video teemal

Mõistet funktsiooni lahendamine kui sellist matemaatikas ei kasutata. Seda sõnastust tuleks mõista kui teatud toimingute sooritamist antud funktsiooniga konkreetse tunnuse leidmiseks, samuti funktsiooni graafiku koostamiseks vajalike andmete väljaselgitamist.

Juhised

Võite kaaluda ligikaudset diagrammi, mille järgi funktsiooni käitumine on sobiv, ja koostada selle graafiku.
Leidke funktsiooni domeen. Määrake, kas funktsioon on paaris või paaritu. Kui leiate soovitud vastuse, jätkake ainult soovitud poolteljel. Määrake, kas funktsioon on perioodiline. Kui vastus on positiivne, jätkake uuringut ainult ühe perioodi jooksul. Leidke punktid ja määrake selle käitumine nende punktide läheduses.

Leia funktsiooni graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega. Otsige need üles, kui need on olemas. Kasutage esimest tuletist funktsiooni äärmus- ja monotoonsusintervallide uurimiseks. Samuti viige läbi uuring, kasutades teist tuletist kumerus-, nõgusus- ja käändepunktide jaoks. Funktsiooni täpsustamiseks valige punktid ja arvutage nende väärtused. Koostage funktsiooni graafik, võttes arvesse kõigi läbiviidud uuringute tulemusi.

0X-teljel tuleks tuvastada iseloomulikud punktid: katkestuspunktid, x = 0, funktsiooni nullid, äärmuspunktid, käändepunktid. Need asümptoodid annavad visandi funktsiooni graafikust.

Niisiis, kasutades funktsiooni y=((x^2)+1)/(x-1) konkreetset näidet, viige läbi uuring, kasutades esimest tuletist. Kirjutage funktsioon ümber kujul y=x+1+2/(x-1). Esimene tuletis võrdub y’=1-2/((x-1)^2).
Leidke esimest tüüpi kriitilised punktid: y’=0, (x-1)^2=2, tulemuseks on kaks punkti: x1=1-sqrt2, x2=1+sqrt2. Märkige saadud väärtused funktsiooni määratluspiirkonnas (joonis 1).
Määrake tuletise märk igal intervallil. Lähtudes reeglist, et märgid vahelduvad “+”-st “-” ja “-”-st “+”-ni, saad, et funktsiooni maksimumpunkt on x1=1-sqrt2 ja miinimumpunkt on x2=1+. sqrt2. Sama järelduse saab teha ka teise tuletise märgist.

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.