Selle materjali raames analüüsime, kuidas leida tasapinna võrrandit, kui on teada kolme erineva punkti koordinaadid sellel, mis ei asu ühel sirgel. Selleks peame meeles pidama, mis on ristkülikukujuline koordinaatsüsteem kolmemõõtmelises ruumis. Esiteks tutvustame selle võrrandi põhiprintsiipi ja näitame, kuidas seda konkreetsete probleemide lahendamisel kasutada.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Alustuseks peame meeles pidama ühte aksioomi, mis kõlab järgmiselt:

Definitsioon 1

Kui kolm punkti ei kattu üksteisega ega asu ühel sirgel, siis kolmemõõtmelises ruumis läbib neid ainult üks tasapind.

Teisisõnu, kui meil on kolm erinevat punkti, mille koordinaadid ei lange kokku ja mida ei saa sirgjoonega ühendada, siis saame määrata seda läbiva tasandi.

Oletame, et meil on ristkülikukujuline koordinaatsüsteem. Tähistame seda O x y z . See sisaldab kolme punkti M koordinaatidega M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3), mida ei saa otse ühendada rida. Nende tingimuste põhjal saame kirja panna meile vajaliku tasapinna võrrandi. Selle probleemi lahendamiseks on kaks lähenemisviisi.

1. Esimene lähenemine kasutab tasandi üldvõrrandit. Literaalses vormis kirjutatakse see järgmiselt: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Sellega saab ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määrata kindla tasandi alfa, mis läbib esimest etteantud punkti M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Selgub, et normaaltasandi vektoril α on koordinaadid A , B , C .

N määratlus

Teades normaalvektori koordinaate ja selle punkti koordinaate, mida tasand läbib, saame kirja panna selle tasandi üldvõrrandi.

Sellest lähtudes jätkame edasi.

Seega on meil vastavalt ülesande tingimustele soovitud punkti koordinaadid (isegi kolm), mida tasand läbib. Võrrandi leidmiseks peate arvutama selle normaalvektori koordinaadid. Tähistage seda n → .

Tuletame meelde reeglit: antud tasandi iga nullist erinev vektor on risti sama tasandi normaalvektoriga. Siis saame, et n → on risti algpunktidest M 1 M 2 → ja M 1 M 3 → koosnevate vektoritega. Siis saame n → tähistada vektorkorrutisena kujul M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Kuna M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ja M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (nende võrduste tõestused on toodud artiklis, mis on pühendatud vektori koordinaatide arvutamisele punktide koordinaatide põhjal), siis selgub, et:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z üks

Kui arvutame determinandi, saame normaalse vektori n → koordinaadid, mida vajame. Nüüd saame kirjutada võrrandi, mida vajame kolme antud punkti läbiva tasapinna jaoks.

2. Teine lähenemine võrrandi leidmiseks, mis läbib M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) on põhineb sellisel kontseptsioonil nagu vektorite komplanaarsus.

Kui meil on hulk punkte M (x, y, z), siis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määratlevad nad antud punktide jaoks tasandi M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ainult siis, kui vektorid M 1 M   → = (x - x 1, y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ja M 1 M 3   → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) on samatasapinnalised.

Diagrammil näeb see välja järgmine:

See tähendab, et vektorite M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → segakorrutis on võrdne nulliga: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , kuna see on võrreldavuse põhitingimus: M 1 M   → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ja M 1 M 3   → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Kirjutame saadud võrrandi koordinaatide kujul:

Pärast determinandi arvutamist saame saada tasandi võrrandi, mida vajame kolme punkti jaoks, mis ei asu ühel sirgel M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) .

Saadud võrrandist saate minna tasandi võrrandile segmentidena või tasandi normaalvõrrandile, kui ülesande tingimused seda nõuavad.

Järgmises lõigus toome näiteid selle kohta, kuidas meie poolt välja toodud lähenemisviise praktikas rakendatakse.

Näiteid ülesannetest 3 punkti läbiva tasandi võrrandi koostamiseks

Varem tuvastasime kaks lähenemisviisi, mida saab kasutada soovitud võrrandi leidmiseks. Vaatame, kuidas neid probleemide lahendamisel kasutatakse ja millal igaüks neist valida.

Näide 1

Seal on kolm punkti, mis ei asu ühel sirgel, koordinaatidega M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Kirjutage neid läbiva tasapinna võrrand.

Lahendus

Kasutame mõlemat meetodit kordamööda.

1. Leidke kahe meile vajaliku vektori M 1 M 2 → , M 1 M 3 → koordinaadid:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6, 1, 0

Nüüd arvutame nende vektorkorrutise. Sel juhul me determinandi arvutusi ei kirjelda:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Meil on tasandi normaalvektor, mis läbib kolme nõutavat punkti: n → = (- 5 , 30 , 2) . Järgmiseks peame võtma ühe punktidest, näiteks M 1 (- 3 , 2 , - 1) , ja kirjutama tasandi võrrandi vektoriga n → = (- 5 , 30 , 2) . Saame, et - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

See on meile vajaliku tasapinna võrrand, mis läbib kolme punkti.

2. Kasutame teistsugust lähenemist. Kirjutame võrrandi tasapinnale, mille kolm punkti on M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3 , y 3, z 3) järgmine vorm:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Siin saate asendada andmed probleemi olukorrast. Kuna x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, selle tulemusena saame:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 a + 2 z - 73

Saime vajaliku võrrandi.

Vastus:- 5x + 30 a + 2z - 73 .

Aga mis siis, kui antud punktid asuvad siiski samal sirgel ja meil on vaja koostada nende jaoks tasapinnaline võrrand? Siin tuleb kohe öelda, et see tingimus ei ole täiesti õige. Selliseid punkte võib läbida lõpmatult palju tasapindu, mistõttu on võimatu välja arvutada ühest vastust. Vaatleme sellist probleemi, et tõestada küsimuse sellise sõnastuse ebaõiget olemust.

Näide 2

Meil on 3D-ruumis ristkülikukujuline koordinaatide süsteem, mis sisaldab kolme punkti koordinaatidega M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Seda läbiva tasapinna jaoks on vaja kirjutada võrrand.

Lahendus

Kasutame esimest meetodit ja alustame kahe vektori M 1 M 2 → ja M 1 M 3 → koordinaatide arvutamisega. Arvutame nende koordinaadid: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Vektorkorrutis on võrdne:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Kuna M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , siis on meie vektorid kollineaarsed (kui unustasite selle mõiste definitsiooni, lugege neid käsitlevat artiklit uuesti). Seega on algpunktid M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) samal sirgel ja meie ülesanne on lõpmatult vastus paljudele valikuvõimalustele.

Kui kasutame teist meetodit, saame:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 a + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Saadud võrdsusest järeldub ka, et antud punktid M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) on samal sirgel.

Kui soovite leida sellele probleemile lõpmatu arvu valikute hulgast vähemalt ühe vastuse, peate järgima neid samme.

1. Kirjutage sirge võrrand M 1 M 2, M 1 M 3 või M 2 M 3 (vajadusel vaadake selle toimingu materjali).

2. Võtke punkt M 4 (x 4, y 4, z 4), mis ei asu sirgel M 1 M 2.

3. Kirjutage üles võrrand tasapinnast, mis läbib kolme erinevat punkti M 1 , M 2 ja M 4, mis ei asu ühel sirgel.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Selles õppetükis vaatleme, kuidas determinanti kasutada koostamisel tasapinnaline võrrand. Kui te ei tea, mis on determinant, minge tunni esimese osa juurde - " Maatriksid ja determinandid». Vastasel juhul on oht, et te ei saa tänases materjalis millestki aru.

Tasapinna võrrand kolme punktiga

Milleks meil tasandi võrrandit üldse vaja on? See on lihtne: seda teades saame hõlpsalt arvutada ülesandes C2 nurki, vahemaid ja muud jama. Üldiselt on see võrrand hädavajalik. Seetõttu sõnastame probleemi:

Ülesanne. Ruumis on kolm punkti, mis ei asu samal sirgel. Nende koordinaadid:

M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

On vaja kirjutada neid kolme punkti läbiva tasapinna võrrand. Ja võrrand peaks välja nägema järgmine:

Ax + By + Cz + D = 0

kus arvud A , B , C ja D on koefitsiendid, mida tegelikult soovite leida.

No kuidas saada tasapinna võrrandit, kui on teada ainult punktide koordinaadid? Lihtsaim viis on asendada koordinaadid võrrandiga Ax + By + Cz + D = 0. Saad kolmest võrrandist koosneva süsteemi, mida on lihtne lahendada.

Paljud õpilased peavad seda lahendust äärmiselt tüütuks ja ebausaldusväärseks. Eelmise aasta matemaatika eksam näitas, et tõenäosus teha arvutusviga on tõesti suur.

Seetõttu hakkasid kõige arenenumad õpetajad otsima lihtsamaid ja elegantsemaid lahendusi. Ja nad leidsid selle! Tõsi, saadud tehnika on tõenäolisemalt seotud kõrgema matemaatikaga. Mina isiklikult pidin läbi uurima kogu föderaalse õpikute nimekirja, veendumaks, et meil on õigus seda tehnikat kasutada ilma igasuguse põhjenduseta ja tõenditeta.

Determinandi läbiva tasandi võrrand

Aitab röökimisest, asume asja kallale. Alustuseks teoreem selle kohta, kuidas maatriksdeterminant ja tasandi võrrand on omavahel seotud.

Teoreem. Olgu antud kolme punkti koordinaadid, mille kaudu tasapind tuleb tõmmata: M = (x 1 , y 1 , z 1 ); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Seejärel saab selle tasandi võrrandi kirjutada determinandi kaudu:

Näiteks proovime leida tasapindade paari, mis tegelikult esinevad C2 ülesannetes. Vaadake, kui kiiresti kõik loeb:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Koostame determinandi ja võrdsustame selle nulliga:

Determinandi avamine:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Nagu näha, siis arvu d arvutamisel muutsin võrrandit veidi, et muutujad x, y ja z oleksid õiges järjekorras. See on kõik! Tasapinna võrrand on valmis!

Ülesanne. Kirjutage punkte läbiva tasapinna võrrand:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Asendage kohe determinandi punktide koordinaadid:

Determinandi uuesti laiendamine:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Niisiis, tasapinna võrrand saadakse uuesti! Jällegi, viimases etapis pidin selles olevaid märke muutma, et saada “ilusam” valem. Selle lahenduse puhul pole seda vaja teha, kuid siiski soovitav – et ülesande edasist lahendamist lihtsustada.

Nagu näete, on nüüd palju lihtsam tasandi võrrandit kirjutada. Asendame punktid maatriksisse, arvutame determinandi - ja ongi kõik, võrrand on valmis.

See võib olla õppetunni lõpp. Paljud õpilased aga unustavad pidevalt, mis determinandi sees on. Näiteks milline rida sisaldab x 2 või x 3 ja milline rida ainult x . Sellega lõpuks tegelemiseks jälgime, kust iga number pärineb.

Kust pärineb determinandiga valem?

Niisiis, mõtleme välja, kust selline karm determinandiga võrrand pärineb. See aitab teil seda meeles pidada ja edukalt rakendada.

Kõik ülesandes C2 esinevad tasapinnad on määratletud kolme punktiga. Need punktid on alati joonisele märgitud või isegi otse probleemi tekstis märgitud. Igal juhul peame võrrandi koostamiseks välja kirjutama nende koordinaadid:

M = (x1, y1, z1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Mõelge veel ühele punktile meie tasapinnal suvaliste koordinaatidega:

T = (x, y, z)

Võtame suvalise punkti kolmest esimesest (näiteks punkti M ) ja joonistame sellest vektorid igasse kolme ülejäänud punkti. Saame kolm vektorit:

MN = (x 2 - x 1, y2 - y 1, z2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Nüüd teeme nendest vektoritest ruutmaatriksi ja võrdsustame selle determinandi nulliga. Vektorite koordinaadid muutuvad maatriksi ridadeks - ja me saame sama determinandi, mis on näidatud teoreemis:

See valem tähendab, et vektoritele MN , MK ja MT ehitatud kasti maht võrdub nulliga. Seetõttu asuvad kõik kolm vektorit samal tasapinnal. Eelkõige on suvaline punkt T = (x, y, z) täpselt see, mida me otsisime.

Determinandi punktide ja ridade asendamine

Determinantidel on imelised omadused, mis muudavad selle veelgi lihtsamaks ülesande C2 lahendus. Näiteks pole meile vahet, millisest punktist vektoreid joonistada. Seetõttu annavad järgmised determinandid ülaltoodud tasandi võrrandi:

Saate ka determinandi ridu vahetada. Võrrand jääb muutumatuks. Näiteks meeldib paljudele kirjutada joont punkti T = (x; y; z) koordinaatidega üleval. Palun, kui see teile sobib:

Mõnes ajab segadusse see, et ühel real on muutujad x , y ja z , mis punktide asendamisel ei kao. Kuid need ei tohiks kaduda! Asendades determinandi numbrid, peaksite saama järgmise konstruktsiooni:

Seejärel laiendatakse determinanti vastavalt tunni alguses antud skeemile ja saadakse tasapinna standardvõrrand:

Ax + By + Cz + D = 0

Vaadake näidet. Ta on tänases tunnis viimane. Vahetan meelega ridu, et vastus oleks sama tasapinna võrrand.

Ülesanne. Kirjutage punkte läbiva tasapinna võrrand:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Niisiis, kaalume 4 punkti:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Esiteks koostame standardse determinandi ja võrdsustame selle nulliga:

Determinandi avamine:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

See on kõik, saime vastuse: x + y + z − 2 = 0 .

Korraldame nüüd determinandis paar rida ümber ja vaatame, mis juhtub. Näiteks kirjutame muutujatega x, y, z rea mitte alla, vaid ülaossa:

Laiendame saadud determinanti uuesti:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Saime täpselt sama tasapinnalise võrrandi: x + y + z − 2 = 0. Seega see tõesti ei sõltu ridade järjekorrast. Jääb üle vastus kirja panna.

Niisiis, oleme näinud, et tasandi võrrand ei sõltu joonte jadast. Sarnaseid arvutusi on võimalik teha ja tõestada, et tasandi võrrand ei sõltu punktist, mille koordinaadid lahutame teistest punktidest.

Eespool vaadeldud ülesandes kasutasime punkti B 1 = (1, 0, 1), kuid täiesti võimalik oli võtta C = (1, 1, 0) või D 1 = (0, 1, 1). Üldiselt mis tahes teadaolevate koordinaatidega punkt, mis asub soovitud tasapinnal.

See artikkel annab ettekujutuse, kuidas kirjutada võrrandit tasapinnale, mis läbib antud punkti kolmemõõtmelises ruumis, mis on antud sirgega risti. Analüüsime ülaltoodud algoritmi tüüpiliste probleemide lahendamise näitel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Antud sirgega risti antud ruumipunkti läbiva tasapinna võrrandi leidmine

Olgu selles antud ruumiline ruum ja ristkülikukujuline koordinaatsüsteem O x y z. Samuti on antud punkt M 1 (x 1, y 1, z 1), sirge a ja punkti M 1 läbiv tasapind α, mis on risti sirgega a. On vaja üles kirjutada tasapinna α võrrand.

Enne selle probleemi lahendamisega jätkamist tuletagem meelde 10.–11. klassi programmi geomeetria teoreemi, mis kõlab järgmiselt:

Definitsioon 1

Üks tasapind läbib antud punkti kolmemõõtmelises ruumis ja on antud sirgega risti.

Nüüd mõelge, kuidas leida selle ühe tasandi võrrand, mis läbib alguspunkti ja on risti antud sirgega.

Tasapinna üldvõrrandit on võimalik kirjutada, kui on teada sellesse tasapinda kuuluva punkti koordinaadid, samuti tasandi normaalvektori koordinaadid.

Ülesande tingimuse järgi on antud punkti M 1, mida läbib tasapind α, koordinaadid x 1, y 1, z 1. Kui määrame tasandi α normaalvektori koordinaadid, saame kirjutada soovitud võrrandi.

Tasapinna α normaalvektor, kuna see on nullist erinev ja asub sirgel a, mis on risti tasapinnaga α, on sirge a mis tahes suunav vektor. Seega teisendatakse tasapinna α normaalvektori koordinaatide leidmise ülesanne sirge a suunavektori koordinaatide määramise ülesandeks.

Sirge a suunavektori koordinaatide määramist saab läbi viia erinevate meetoditega: see sõltub sirge a seadmise variandist algtingimustes. Näiteks kui ülesande tingimuses olev sirge a on antud vormi kanooniliste võrranditega

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

või parameetrilised võrrandid kujul:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

siis on sirge suunavektoril koordinaadid a x, a y ja a z. Juhul kui sirgjoont a esindavad kaks punkti M 2 (x 2, y 2, z 2) ja M 3 (x 3, y 3, z 3), määratakse suunavektori koordinaadid järgmiselt. (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2).

Definitsioon 2

Algoritm tasandi võrrandi leidmiseks, mis läbib antud punkti, mis on risti antud sirgega:

Määrake sirge a suunavektori koordinaadid: a → = (a x, a y, a z) ;

Tasapinna α normaalvektori koordinaadid määratleme sirge a suunavektori koordinaatidena:

n → = (A , B , C) , kus A = a x, B = a y, C = a z;

Kirjutame tasandi võrrandi, mis läbib punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) ja millel on normaalvektor n→=(A, B, C) kujul A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. See on nõutav võrrand tasapinnast, mis läbib antud ruumipunkti ja on antud sirgega risti.

Saadud tasapinna üldvõrrand: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 võimaldab saada tasandi võrrandi segmentides või tasapinna normaalvõrrandi.

Lahendame mõned näited ülaltoodud algoritmi abil.

Näide 1

Antud on punkt M 1 (3, - 4, 5), mida tasand läbib ja see tasapind on risti koordinaatjoonega O z.

Lahendus

koordinaatjoone O z suunavektoriks saab koordinaatvektor k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Seetõttu on tasapinna normaalvektoril koordinaadid (0 , 0 , 1) . Kirjutame üles antud punkti M 1 (3, - 4, 5) läbiva tasandi võrrandi, mille normaalvektoril on koordinaadid (0, 0, 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Vastus: z-5 = 0.

Mõelge selle probleemi lahendamiseks teisele võimalusele:

Näide 2

Tasapind, mis on risti sirgega O z, esitatakse tasandi mittetäieliku üldvõrrandiga kujul С z + D = 0, C ≠ 0. Määratleme C ja D väärtused: need, mille puhul tasand läbib antud punkti. Asendage võrrandis C z + D = 0 selle punkti koordinaadid, saame: C · 5 + D = 0 . Need. arvud, C ja D on seotud - D C = 5 . Võttes C \u003d 1, saame D \u003d - 5.

Asendage need väärtused võrrandiga C z + D = 0 ja hankige nõutav võrrand tasapinna jaoks, mis on risti sirgega O z ja läbib punkti M 1 (3, - 4, 5) .

See näeb välja selline: z - 5 = 0.

Vastus: z-5 = 0.

Näide 3

Kirjutage võrrand tasapinna jaoks, mis läbib alguspunkti ja on risti sirgega x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Lahendus

Ülesande tingimustest lähtuvalt võib väita, et antud sirge juhtvektorit saab võtta antud tasandi normaalvektoriks n →. Seega: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Kirjutame võrrandi tasapinnale, mis läbib punkti O (0, 0, 0) ja millel on normaalvektor n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Oleme saanud nõutava võrrandi antud sirgega risti alguspunkti läbiva tasapinna jaoks.

Vastus:- 3x - 7a + 2z = 0

Näide 4

Antud ristkülikukujuline koordinaatsüsteem O x y z kolmemõõtmelises ruumis sisaldab kahte punkti A (2 , - 1 , - 2) ja B (3 , - 2 , 4) . Tasand α läbib sirgega AB risti asetsevat punkti A. Tasapinna α võrrand on vaja koostada lõikude kaupa.

Lahendus

Tasapind α on risti sirgega A B, siis vektor A B → on tasapinna α normaalvektor. Selle vektori koordinaadid määratakse punktide B (3, - 2, 4) ja A (2, - 1, - 2) vastavate koordinaatide vahena:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Tasapinna üldvõrrand kirjutatakse järgmisel kujul:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Nüüd koostame soovitud tasandi võrrandi segmentides:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Vastus:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Samuti tuleb märkida, et on probleeme, mille nõue on kirjutada võrrand tasapinnale, mis läbib antud punkti ja on risti kahe antud tasandiga. Üldiselt on selle ülesande lahenduseks kirjutada võrrand tasapinna jaoks, mis läbib antud punkti, mis on risti antud sirgega, kuna kaks ristuvat tasapinda määratlevad sirge.

Näide 5

Antud on ristkülikukujuline koordinaatsüsteem O x y z, milles on punkt M 1 (2, 0, - 5) . Samuti on antud kahe tasandi võrrandid 3 x + 2 y + 1 = 0 ja x + 2 z - 1 = 0, mis lõikuvad piki sirget a . On vaja koostada võrrand tasapinnale, mis läbib punkti M 1, mis on risti sirgega a.

Lahendus

Määrame sirge a suunavektori koordinaadid. See on risti nii tasandi n → (1 , 0 , 2) normaalvektoriga n 1 → (3 , 2 , 0) kui ka tasandi x + 2 z normaalvektoriga 3 x + 2 y + 1 = 0 - 1 = 0.

Seejärel võtame suunavektori α → sirge a vektorite n 1 → ja n 2 → vektorkorrutise:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4, -6, -2)

Seega on vektor n → = (4, - 6, - 2) sirgega a risti oleva tasandi normaalvektor. Kirjutame soovitud tasapinna võrrandi:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Vastus: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Esimene tase

Koordinaadid ja vektorid. Põhjalik juhend (2019)

Selles artiklis alustame teiega arutelu ühe "võlukepi" üle, mis võimaldab teil taandada paljud geomeetriaprobleemid lihtsaks aritmeetikaks. See võlukepp võib teie elu oluliselt lihtsamaks teha, eriti kui tunnete end ebakindlalt ruumikujude, lõikude jms ehitamisel. Kõik see nõuab teatud kujutlusvõimet ja praktilisi oskusi. Meetod, mida me siin käsitlema hakkame, võimaldab teil peaaegu täielikult abstraheerida kõikvõimalikest geomeetrilistest konstruktsioonidest ja arutlustest. Meetodit nimetatakse "koordinaatide meetod". Selles artiklis käsitleme järgmisi küsimusi:

1. Koordinaatide tasapind
2. Punktid ja vektorid tasapinnal
3. Vektori ehitamine kahest punktist
4. Vektori pikkus (kahe punkti vaheline kaugus).
5. Keskpunkti koordinaadid
6. Vektorite punktkorrutis
7. Nurk kahe vektori vahel

Arvan, et sa juba arvasid, miks koordinaatmeetodit nii nimetatakse? Tõsi, ta sai sellise nime, kuna see ei opereeri geomeetriliste objektidega, vaid nende numbriliste omadustega (koordinaatidega). Ja teisendus ise, mis võimaldab liikuda geomeetriast algebrasse, seisneb koordinaatsüsteemi sisseviimises. Kui esialgne kujund oli tasane, siis on koordinaadid kahemõõtmelised ja kui kujund on kolmemõõtmeline, siis on koordinaadid kolmemõõtmelised. Selles artiklis käsitleme ainult kahemõõtmelist juhtumit. Ja artikli põhieesmärk on õpetada teile, kuidas kasutada mõnda koordinaatmeetodi põhitehnikat (need osutuvad mõnikord kasulikuks ühtse riigieksami B-osa planimeetria ülesannete lahendamisel). Kaks järgmist selleteemalist osa on pühendatud probleemide C2 (stereomeetria probleem) lahendamise meetodite käsitlemisele.

Kust oleks loogiline alustada arutelu koordinaatmeetodi üle? Ilmselt koordinaatsüsteemi mõistega. Pidage meeles, kui teda esimest korda kohtasite. Mulle tundub, et 7. klassis, kui õppisid näiteks lineaarfunktsiooni olemasolust. Tuletan teile meelde, et ehitasite selle punkt-punktilt üles. Kas sa mäletad? Valisite suvalise arvu, asendasite selle valemiga ja arvutasite sel viisil. Näiteks kui, siis, kui, siis jne. Mida sa selle tulemusel said? Ja saite punkte koordinaatidega: ja. Seejärel joonistasite "risti" (koordinaatsüsteem), valisite sellele skaala (mitu lahtrit teil on ühe segmendina) ja märkisite sellele saadud punktid, mille seejärel ühendasite sirgjoonega, tulemuseks oleva joonega. on funktsiooni graafik.

On mõned asjad, mida tuleb teile veidi üksikasjalikumalt selgitada:

1. Valite mugavuse huvides ühe segmendi, et kõik mahuks kenasti ja kompaktselt pildile

2. Eeldatakse, et telg läheb vasakult paremale ja telg läheb alt üles

3. Nad lõikuvad täisnurga all ja nende ristumispunkti nimetatakse alguspunktiks. See on tähistatud tähega.

4. Näiteks punkti koordinaadi kirjes on vasakul sulgudes punkti koordinaat piki telge ja paremal piki telge. Eelkõige tähendab lihtsalt, et punkt

5. Koordinaatide teljel mis tahes punkti määramiseks peate määrama selle koordinaadid (2 numbrit)

6. Iga teljel paikneva punkti puhul

7. Iga teljel paikneva punkti puhul

8. Telge nimetatakse x-teljeks

9. Telge nimetatakse y-teljeks

Nüüd astume teiega järgmise sammu: märkige kaks punkti. Ühendage need kaks punkti joonega. Ja paneme noole nii, nagu joonistaksime lõiku punktist punkti: see tähendab, et me muudame oma lõigu suunatud!

Pea meeles, mis on suunatud segmendi teine ​​nimi? Täpselt nii, seda nimetatakse vektoriks!

Seega, kui ühendame punkti punktiga, ja algus on punkt A ja lõpp on punkt B, siis saame vektori. Sa tegid seda ehitust ka 8. klassis, mäletad?

Selgub, et vektoreid, nagu ka punkte, saab tähistada kahe numbriga: neid arve nimetatakse vektori koordinaatideks. Küsimus: kas teie arvates piisab, kui me teame vektori alguse ja lõpu koordinaate, et leida selle koordinaadid? Tuleb välja, et jah! Ja seda on väga lihtne teha:

Seega, kuna vektoris on punkt algus ja lõpp, on vektoril järgmised koordinaadid:

Näiteks kui, siis vektori koordinaadid

Nüüd teeme vastupidi, leiame vektori koordinaadid. Mida me selleks muutma peame? Jah, peate algust ja lõppu vahetama: nüüd on vektori algus punktis ja lõpp punktis. Seejärel:

Vaadake tähelepanelikult, mis vahe on vektorite ja? Nende ainus erinevus on koordinaatides olevad märgid. Nad on vastandlikud. See fakt on kirjutatud järgmiselt:

Mõnikord, kui pole konkreetselt öeldud, milline punkt on vektori algus ja milline lõpp, siis tähistatakse vektoreid mitte kahe suure tähega, vaid ühe väiketähega, näiteks: jne.

Nüüd natuke harjutama ja leidke järgmiste vektorite koordinaadid:

Eksam:

Nüüd lahendage probleem veidi keerulisemalt:

Vektortorusel, mille punktis on on-cha-jääk, on co-or-di-on-you. Leia-di-te abs-cis-su punktid.

Kõik sama on üsna proosaline: Olgu punkti koordinaadid. Siis

Koostasin süsteemi, määrates kindlaks, mis on vektori koordinaadid. Siis on punktil koordinaadid. Oleme huvitatud abstsissist. Siis

Vastus:

Mida saab veel vektoritega teha? Jah, peaaegu kõik on sama, mis tavaliste numbritega (välja arvatud see, et te ei saa jagada, kuid saate korrutada kahel viisil, millest ühte räägime siin veidi hiljem)

1. Vektoreid saab üksteisega virnastada
2. Vektoreid saab üksteisest lahutada
3. Vektoreid saab korrutada (või jagada) suvalise nullist erineva arvuga
4. Vektoreid saab omavahel korrutada

Kõigil neil toimingutel on üsna visuaalne geomeetriline esitus. Näiteks kolmnurga (või rööpküliku) reegel liitmiseks ja lahutamiseks:

Vektor venib, kahaneb või muudab suunda, kui seda arvuga korrutada või jagada:

Siinkohal huvitab meid aga küsimus, mis juhtub koordinaatidega.

1. Kahe vektori liitmisel (lahutamisel) liidame (lahutame) nende koordinaadid elemendi haaval. St:

2. Vektori arvuga korrutamisel (jagamisel) korrutatakse (jagatakse) selle arvuga kõik selle koordinaadid:

Näiteks:

· Leia-di-ko-or-di-nat sajandist-ra summa.

Leiame esmalt iga vektori koordinaadid. Mõlemal on sama päritolu – lähtepunkt. Nende otsad on erinevad. Siis,. Nüüd arvutame vektori koordinaadid Siis on saadud vektori koordinaatide summa võrdne.

Vastus:

Nüüd lahendage järgmine probleem ise:

· Leia vektori koordinaatide summa

Kontrollime:

Vaatleme nüüd järgmist ülesannet: meil on koordinaattasandil kaks punkti. Kuidas leida nende vahelist kaugust? Olgu esimene punkt ja teine. Tähistame nendevahelist kaugust kui . Selguse huvides teeme järgmise joonise:

Mis ma teinud olen? Esiteks ühendasin punktid ja tõmbasin punktist teljega paralleelse sirge ja punktist teljega paralleelse sirge. Kas need lõikuvad ühes punktis, moodustades imelise kuju? Miks ta on imeline? Jah, sina ja mina teame täisnurksest kolmnurgast peaaegu kõike. Noh, Pythagorase teoreem, kindlasti. Soovitud segment on selle kolmnurga hüpotenuus ja segmendid on jalad. Mis on punkti koordinaadid? Jah, neid on pildilt lihtne leida: Kuna lõigud on paralleelsed telgedega ja vastavalt, on nende pikkused kergesti leitavad: kui tähistame lõikude pikkused vastavalt läbi, siis

Nüüd kasutame Pythagorase teoreemi. Me teame jalgade pikkust, leiame hüpotenuusi:

Seega on kahe punkti vaheline kaugus koordinaatidest saadud erinevuste ruudu summa. Või - ​​kahe punkti vaheline kaugus on neid ühendava lõigu pikkus. On hästi näha, et punktide vaheline kaugus ei sõltu suunast. Seejärel:

Sellest teeme kolm järeldust:

Harjutame veidi kahe punkti vahelise kauguse arvutamist:

Näiteks kui, siis kaugus ja vahel on

Või lähme teisiti: leiame vektori koordinaadid

Ja leidke vektori pikkus:

Nagu näete, on see sama!

Nüüd harjutage natuke omaette:

Ülesanne: leidke antud punktide vaheline kaugus:

Kontrollime:

Siin on sama valemi jaoks veel paar probleemi, kuigi need kõlavad veidi erinevalt:

1. Leia-di-te silmalau-ra pikkuse ruut.

2. Nai-di-te ruut silmalau pikkusest-ra

Ma arvan, et saate nendega hõlpsalt hakkama? Kontrollime:

1. Ja see on tähelepanelikkuseks) Oleme vektorite koordinaadid juba varem leidnud: . Siis on vektoril koordinaadid. Selle pikkuse ruut on:

2. Leia vektori koordinaadid

Siis on selle pikkuse ruut

Pole midagi keerulist, eks? Lihtne aritmeetika, ei midagi muud.

Järgnevaid puslesid ei saa üheselt liigitada, need on pigem üldise eruditsiooni ja lihtsate piltide joonistamise oskuse jaoks.

1. Leidke need siinuse nurgal-klo-on-lõikest, ühendage üks n-s punkt abstsissteljega.

Ja

Kuidas me seda siin tegema hakkame? Peate leidma siinuse nurga ja telje vahel. Ja kust siinust otsida? See on õige, täisnurkses kolmnurgas. Mida me siis tegema peame? Ehitage see kolmnurk!

Kuna punkti koordinaadid ja, siis lõik on võrdne ja lõik. Peame leidma nurga siinuse. Tuletan meelde, et siinus on siis vastasjala ja hüpotenuusi suhe

Mis meil teha jääb? Leidke hüpotenuus. Seda saab teha kahel viisil: Pythagorase teoreemi abil (jalad on teada!) või kahe punkti vahelise kauguse valemiga (tegelikult sama, mis esimene meetod!). Ma lähen teist teed:

Vastus:

Järgmine ülesanne tundub teile veelgi lihtsam. Ta - punkti koordinaatidel.

2. ülesanne. Punktist langetatakse per-pen-di-ku-lar abs-cissi teljele. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Teeme joonise:

Perpendikulaari alus on punkt, kus see lõikub x-teljega (teljega), minu jaoks on see punkt. Joonisel on näha, et sellel on koordinaadid: . Oleme huvitatud abstsissist - see tähendab "X" komponendist. Ta on võrdne.

Vastus: .

3. ülesanne. Eelmise ülesande tingimustes leidke punktist koordinaatide telgede kauguste summa.

Ülesanne on üldiselt elementaarne, kui tead, milline on kaugus punktist telgedeni. Sa tead? Loodan, aga tuletan siiski meelde:

Nii et oma joonisel, mis asub veidi kõrgemal, olen ma juba kujutanud ühte sellist risti? Mis telg see on? teljele. Ja mis selle pikkus siis on? Ta on võrdne. Nüüd joonistage ise teljega risti ja leidke selle pikkus. See saab olema võrdne, eks? Siis on nende summa võrdne.

Vastus: .

4. ülesanne.Ülesande 2 tingimustes leidke punkti ordinaat, mis on sümmeetriline punktiga x-telje ümber.

Ma arvan, et saate intuitiivselt aru, mis on sümmeetria? Väga paljudel objektidel on see olemas: palju ehitisi, laudu, tasapindu, palju geomeetrilisi kujundeid: pall, silinder, ruut, romb jne. Jämedalt võib sümmeetriat mõista järgmiselt: kujund koosneb kahest (või enamast) identsed pooled. Seda sümmeetriat nimetatakse aksiaalseks. Mis on siis telg? Täpselt seda joont mööda saab figuuri suhteliselt identseteks pooleks lõigata (sellel pildil on sümmeetriatelg sirge):

Nüüd pöördume tagasi oma ülesande juurde. Teame, et otsime punkti, mis on telje suhtes sümmeetriline. Siis on see telg sümmeetriatelg. Seega peame märkima punkti, nii et telg lõikab segmendi kaheks võrdseks osaks. Proovige ise selline punkt ära märkida. Võrrelge nüüd minu lahendusega:

Kas sa tegid sama? Hea! Leitud punktis oleme huvitatud ordinaatidest. Ta on võrdne

Vastus:

Nüüd öelge mulle pärast sekundilist mõtlemist, milline on punkti A suhtes sümmeetrilise punkti abstsiss y-telje suhtes? Mis on teie vastus? Õige vastus:.

Üldiselt võib reegli kirjutada järgmiselt:

Punktil, mis on sümmeetriline punktiga x-telje ümber, on koordinaadid:

Punktil, mis on sümmeetriline y-telje punktiga, on koordinaadid:

No nüüd on päris hirmus. ülesanne: otsige punktiga sümmeetrilise punkti koordinaadid lähtepunkti suhtes. Kõigepealt mõtle ise ja siis vaata minu joonistust!

Vastus:

Nüüd rööpküliku probleem:

Ülesanne 5: punktid on ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Otsi-dee-te või-dee-on-tu punkte.

Saate selle probleemi lahendada kahel viisil: loogika ja koordinaatide meetod. Kõigepealt rakendan koordinaatide meetodit ja siis räägin teile, kuidas saate teisiti otsustada.

On täiesti selge, et punkti abstsiss on võrdne. (see asub punktist x-teljele tõmmatud ristil). Peame leidma ordinaat. Kasutame ära asjaolu, et meie kujund on rööpkülik, mis tähendab seda. Leidke lõigu pikkus kahe punkti vahelise kauguse valemi abil:

Langetame punkti, mis ühendab punkti teljega. Lõikepunkt on tähistatud tähega.

Segmendi pikkus on võrdne. (leidke probleem ise, kus me seda hetke arutasime), siis leiame Pythagorase teoreemi abil segmendi pikkuse:

Lõigu pikkus on täpselt sama kui selle ordinaadi pikkus.

Vastus: .

Teine lahendus (ma annan lihtsalt pildi, mis seda illustreerib)

Lahenduse edenemine:

1. Kuluta

2. Leia punkti koordinaadid ja pikkus

3. Tõesta seda.

Üks veel lõike pikkuse probleem:

Punktid on-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Leidke tema keskjoone pikkus, par-ral-lel-noy.

Kas mäletate, mis on kolmnurga keskjoon? Siis on see ülesanne teie jaoks elementaarne. Kui te ei mäleta, siis tuletan teile meelde: kolmnurga keskjoon on joon, mis ühendab vastaskülgede keskpunkte. See on alusega paralleelne ja võrdne poolega sellest.

Alus on segment. Pidime selle pikkust varem otsima, see on võrdne. Siis on keskjoone pikkus poole pikem ja võrdne.

Vastus: .

Kommentaar: Seda probleemi saab lahendada ka muul viisil, mille juurde pöördume veidi hiljem.

Seniks aga paar ülesannet, harjuta nende kallal, need on üsna lihtsad, aga aitavad koordinaatmeetodil “käe sisse saada”!

1. Punktid ilmuvad-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Leidke selle keskjoone pikkus.

2. Punktid ja yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Otsi-dee-te või-dee-on-tu punkte.

3. Leidke lõikest pikkus, ühendage teine ​​punkt ja

4. Leidke ko-or-di-nat-noy tasapinnal ala-the-red-shen-noy fi-gu-ry.

5. Ringjoon, mille keskpunkt on na-cha-le ko-or-di-nat, läbib punkti. Otsige üles tema vuntsid.

6. Nai-di-te ra-di-us ring-no-sti, kirjelda-san-noy täisnurga-no-ka lähedal, millegi-ro-go tops-shi-ny on co-or - di-na-sina kaas-vastus-aga

Lahendused:

1. On teada, et trapetsi keskjoon on võrdne poolega selle aluste summast. Alus on võrdne, kuid alus. Siis

Vastus:

2. Lihtsaim viis selle probleemi lahendamiseks on seda märgata (parallelogrammi reegel). Arvutage vektorite koordinaadid ja see pole keeruline: . Vektorite lisamisel liidetakse koordinaadid. Siis on koordinaadid. Punktil on samad koordinaadid, kuna vektori algus on koordinaatidega punkt. Oleme huvitatud ordinaatidest. Ta on võrdne.

Vastus:

3. Toimime kohe kahe punkti vahelise kauguse valemi järgi:

Vastus:

4. Vaata pilti ja ütle, millise kahe kujundi vahele on varjutatud ala “pigistatud”? See asetatakse kahe ruudu vahele. Seejärel võrdub soovitud kujundi pindala suure ruudu pindalaga, millest on lahutatud väikese ruudu pindala. Väikese ruudu külg on punkte ühendav segment ja selle pikkus on

Siis on väikese ruudu pindala

Teeme sama suure ruuduga: selle külg on punkte ühendav segment ja pikkus on võrdne

Siis on suure ruudu pindala

Soovitud kujundi pindala leitakse järgmise valemi abil:

Vastus:

5. Kui ringi keskpunkt on alguspunkt ja see läbib punkti, siis on selle raadius täpselt võrdne lõigu pikkusega (tehke joonis ja saate aru, miks see on ilmne). Leidke selle lõigu pikkus:

Vastus:

6. On teada, et ristküliku ümber piiratud ringi raadius on võrdne poolega selle diagonaalist. Leiame ükskõik millise kahe diagonaali pikkuse (ristkülikus on need ju võrdsed!)

Vastus:

Noh, kas sa said kõigega hakkama? Ei olnudki nii raske aru saada, eks? Siin on ainult üks reegel - visuaalse pildi tegemine ja sellest kõik andmed lihtsalt “lugemine”.

Meil on jäänud väga vähe. Sõna otseses mõttes tahaksin arutada veel kahte punkti.

Proovime seda lihtsat probleemi lahendada. Olgu kaks punkti ja antakse. Leidke lõigu keskkoha koordinaadid. Selle ülesande lahendus on järgmine: olgu punkt soovitud keskkoht, siis on sellel koordinaadid:

St: lõigu keskkoha koordinaadid = lõigu otste vastavate koordinaatide aritmeetiline keskmine.

See reegel on väga lihtne ega tekita õpilastele tavaliselt raskusi. Vaatame, millistes probleemides ja kuidas seda kasutatakse:

1. Otsi-di-te või-di-na-tu se-re-di-us alates-lõigatud, ühenda-nya-yu-th-punkt ja

2. Punktid on yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Leia-di-te või-di-na-tu punktid re-re-se-che-niya tema dia-go-on-lei.

3. Otsi-di-te abs-cis-su ringi keskpunktist, kirjelda-san-noy ristküliku-no-ka lähedal, tops-shi-meil on midagi-ro-go co-or-di- na-sa kaas- alates-vet-stvenno-but.

Lahendused:

1. Esimene ülesanne on lihtsalt klassikaline. Tegutseme kohe, määrates lõigu keskpunkti. Tal on koordinaadid. Ordinaat on võrdne.

Vastus:

2. On hästi näha, et antud nelinurk on rööpkülik (isegi romb!). Saate seda ise tõestada, kui arvutate külgede pikkused ja võrdlete neid omavahel. Mida ma tean rööpküliku kohta? Selle diagonaalid poolitatakse ristumispunktiga! Ahaa! Mis on diagonaalide lõikepunkt? See on ükskõik millise diagonaali keskpunkt! Eelkõige valin diagonaali. Siis on punktil koordinaadid.Punkti ordinaat on võrdne.

Vastus:

3. Mis on ristküliku ümber piiritletud ringi keskpunkt? See langeb kokku selle diagonaalide lõikepunktiga. Mida teate ristküliku diagonaalide kohta? Need on võrdsed ja lõikepunkt jagatakse pooleks. Ülesanne on taandatud eelmisele. Võtke näiteks diagonaal. Siis kui on piiritletud ringi keskpunkt, siis on keskpunkt. Otsin koordinaate: Abstsiss on võrdne.

Vastus:

Harjutage nüüd natuke omaette, igale probleemile annan ainult vastused, et saaksite ennast kontrollida.

1. Nai-di-te ra-di-us ring-no-sti, kirjelda-san-noy kolmnurga-no-ka lähedal, kellegi-ro-go tippudel on ko-or-di -no misters

2. Otsige-di-te või-di-na-tu ringi keskpunkt, kirjeldage kolmnurga lähedal asuvat san-noy-no-ka, tops-shi-meil on midagi-ro-go koordinaadid

3. Milline ra-di-y-sa peaks olema ring, mille keskpunkt on ühes punktis nii, et see puudutab abs-cissi telge?

4. Leia-di-te või-di-on-selles punktis telje uuesti otsimise ja lõikamise, ühenda-nya-yu-th punkti ja

Vastused:

Kas kõik õnnestus? Ma väga loodan seda! Nüüd – viimane tõuge. Nüüd ole eriti ettevaatlik. Materjal, mida ma nüüd selgitan, ei puuduta mitte ainult lihtsaid koordinaatmeetodi probleeme B osas, vaid on üldlevinud ka ülesandes C2.

Milliseid oma lubadusi ma pole veel täitnud? Kas mäletate, milliseid vektorite tehteid lubasin kasutusele võtta ja millised lõpuks kasutusele võtsin? Kas ma olen kindel, et ma pole midagi unustanud? Unustasin! Unustasin selgitada, mida tähendab vektorite korrutamine.

Vektori korrutamiseks vektoriga on kaks võimalust. Sõltuvalt valitud meetodist saame erineva iseloomuga objekte:

Vektorprodukt on üsna keeruline. Kuidas seda teha ja miks seda vaja on, arutame teiega järgmises artiklis. Ja selles keskendume skalaarkorrutisele.

Selle arvutamiseks on juba kaks võimalust:

Nagu arvasite, peaks tulemus olema sama! Nii et vaatame kõigepealt esimest võimalust:

Punkttoode koordinaatide kaudu

Leidke: - punktprodukti tavaline tähistus

Arvutamise valem on järgmine:

See tähendab, et punktkorrutis = vektorite koordinaatide korrutiste summa!

Näide:

Leia-dee-te

Lahendus:

Leidke iga vektori koordinaadid:

Arvutame skalaarkorrutise valemiga:

Vastus:

Näete, absoluutselt mitte midagi keerulist!

Noh, proovige nüüd ise:

Find-di-te skalaar-noe pro-from-ve-de-nie sajandist-kraavini ja

Kas said hakkama? Võib-olla märkas ta väikest nippi? Kontrollime:

Vektorkoordinaadid, nagu eelmises ülesandes! Vastus:.

Lisaks koordinaadile on skalaarkorrutise arvutamiseks veel üks viis, nimelt vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse kaudu:

Tähistab nurka vektorite ja vahel.

See tähendab, et skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega.

Milleks meile seda teist valemit vaja, kui meil on esimene, mis on palju lihtsam, selles pole vähemalt koosinusi. Ja me vajame seda selleks, et esimesest ja teisest valemist saaksime järeldada, kuidas leida vektorite vahelist nurka!

Olgu siis meeles vektori pikkuse valem!

Kui ühendan need andmed punkttoote valemiga, saan:

Aga muul viisil:

Mis meil siis on? Meil on nüüd valem kahe vektori vahelise nurga arvutamiseks! Mõnikord on see lühiduse mõttes kirjutatud ka järgmiselt:

See tähendab, et vektorite vahelise nurga arvutamise algoritm on järgmine:

1. Arvutame skalaarkorrutise koordinaatide kaudu
2. Leidke vektorite pikkused ja korrutage need
3. Jagage punkti 1 tulemus punkti 2 tulemusega

Harjutame näidetega:

1. Leia nurk silmalaugude-ra-mi ja. Esitage oma vastus kraadides.

2. Eelmise ülesande tingimustes leia koosinus vektorite vahel

Teeme nii: aitan teil esimese probleemi lahendada ja proovige teist ise teha! Nõus? Alustame siis!

1. Need vektorid on meie vanad sõbrad. Oleme nende skalaarkorrutist juba arvestanud ja see oli võrdne. Nende koordinaadid on: , . Seejärel leiame nende pikkused:

Seejärel otsime vektorite vahel koosinust:

Mis on nurga koosinus? See on nurk.

Vastus:

Noh, nüüd lahendage teine ​​probleem ise ja seejärel võrrelge! Ma annan väga lühikese lahenduse:

2. omab koordinaate, omab koordinaate.

Laskma olema nurk vektorite ja, siis

Vastus:

Tuleb märkida, et eksamitöö B-osas esinevad ülesanded otse vektoritel ja koordinaatide meetodil üsna harva. Valdav enamus C2 ülesandeid on aga kergesti lahendatavad koordinaatsüsteemi kasutuselevõtuga. Nii et võite seda artiklit pidada vundamendiks, mille põhjal teeme üsna keerulisi konstruktsioone, mida vajame keerukate probleemide lahendamiseks.

KOORDINAADID JA VEKTORID. KESKTASEMEL

Teie ja mina jätkame koordinaatide meetodi uurimist. Viimases osas tuletasime mitmed olulised valemid, mis võimaldavad:

1. Otsige vektori koordinaadid
2. Leidke vektori pikkus (alternatiiv: kaugus kahe punkti vahel)
3. Vektoreid liita, lahutada. Korrutage need reaalarvuga
4. Leidke lõigu keskpunkt
5. Arvutage vektorite punktkorrutis
6. Leidke vektorite vaheline nurk

Loomulikult ei mahu kogu koordinaatide meetod nende 6 punkti sisse. See on aluseks sellisele teadusele nagu analüütiline geomeetria, millega tutvute ülikoolis. Ma tahan lihtsalt luua vundamendi, mis võimaldab teil probleeme ühes riigis lahendada. eksam. Selgitasime välja B-osa ülesanded aastal Nüüd on aeg liikuda kvalitatiivselt uuele tasemele! See artikkel on pühendatud meetodile nende C2-ülesannete lahendamiseks, mille puhul oleks mõistlik üle minna koordinaatmeetodile. Selle mõistlikkuse määrab see, mida probleemist tuleb leida ja milline arv on antud. Seega kasutaksin koordinaatide meetodit, kui küsimused on järgmised:

1. Leia kahe tasapinna vaheline nurk
2. Otsige sirge ja tasapinna vaheline nurk
3. Leidke kahe joone vaheline nurk
4. Leia kaugus punktist tasapinnani
5. Leia kaugus punktist sirgeni
6. Otsige sirge ja tasapinna kaugust
7. Leidke kahe joone vaheline kaugus

Kui ülesande tingimuses antud arv on pöördekeha (kuul, silinder, koonus ...)

Koordinaatide meetodi jaoks sobivad arvud on järgmised:

1. risttahukas
2. Püramiid (kolmnurkne, nelinurkne, kuusnurkne)

Ka minu kogemuse järgi jaoks on kohatu kasutada koordinaatide meetodit:

1. Sektsioonide pindalade leidmine
2. Kehade mahtude arvutused

Siiski tuleb kohe märkida, et kolm koordinaatmeetodi jaoks "ebasoodsat" olukorda on praktikas üsna haruldased. Enamiku ülesannete puhul võib see saada teie päästjaks, eriti kui te ei ole väga tugev kolmemõõtmelistes konstruktsioonides (mis on mõnikord üsna keerukas).

Mis on kõik ülaltoodud arvud? Need ei ole enam lamedad, näiteks ruut, kolmnurk, ring, vaid mahukad! Sellest lähtuvalt peame arvestama mitte kahemõõtmelise, vaid kolmemõõtmelise koordinaatsüsteemiga. See on ehitatud üsna lihtsalt: lihtsalt lisaks abstsissile ja ordinaatidele tutvustame veel üht telge, rakendustelge. Joonisel on skemaatiliselt näidatud nende suhteline asukoht:

Kõik need on üksteisega risti, ristuvad ühes punktis, mida me nimetame lähtepunktiks. Nagu varemgi, tähistatakse abstsisstelge, ordinaattelge - ja kasutusele võetud rakendustelge - .

Kui varem iseloomustati tasapinna iga punkti kahe numbriga - abstsiss ja ordinaat, siis iga ruumipunkti kirjeldatakse juba kolme numbriga - abstsiss, ordinaat, aplikaat. Näiteks:

Sellest lähtuvalt on punkti abstsiss võrdne, ordinaat on Ja rakendus on .

Mõnikord nimetatakse punkti abstsissi ka punkti projektsiooniks abstsissteljele, ordinaat on punkti projektsioon ordinaatteljel ja aplikaat on punkti projektsioon rakendusteljel. Seega, kui punkt on antud, siis punkt koordinaatidega:

nimetatakse punkti projektsiooniks tasapinnale

nimetatakse punkti projektsiooniks tasapinnale

Tekib loomulik küsimus: kas kõik kahemõõtmelise juhtumi jaoks tuletatud valemid kehtivad ruumis? Vastus on jah, need on õiglased ja neil on sama välimus. Väikese detaili jaoks. Ma arvan, et sa juba arvasid, milline. Kõikides valemites peame lisama veel ühe termini, mis vastutab rakendustelje eest. Nimelt.

1. Kui antakse kaks punkti: , siis:

• Vektori koordinaadid:
• Kahe punkti vaheline kaugus (või vektori pikkus)
• Lõigu keskel on koordinaadid

2. Kui on antud kaks vektorit: ja, siis:

• Nende täpptoode on:
• Vektorite vahelise nurga koosinus on:

Kuid ruum pole nii lihtne. Nagu te mõistate, toob ühe koordinaadi lisamine selles ruumis "elavate" kujundite spektris märkimisväärse mitmekesisuse. Ja edasiseks jutustamiseks pean ma sisse juhatama mõningase jämedalt öeldes sirgjoone "üldistuse". See "üldistus" saab olema lennuk. Mida sa lennukist tead? Proovige vastata küsimusele, mis on lennuk? Seda on väga raske öelda. Kuid me kõik kujutame intuitiivselt ette, kuidas see välja näeb:

Jämedalt öeldes on see omamoodi lõputu kosmosesse lükatud "leht". "Lõpmatust" tuleks mõista nii, et tasapind ulatub igas suunas, see tähendab, et selle pindala on võrdne lõpmatusega. See "näppude peal" seletus ei anna aga lennuki ehitusest vähimatki aimu. Ja me tunneme selle vastu huvi.

Meenutagem üht geomeetria põhiaksioomi:

• Sirge läbib tasapinna kahte erinevat punkti, pealegi ainult ühte:

Või selle analoog ruumis:

Muidugi mäletate, kuidas kahest antud punktist sirge võrrandit tuletada, see pole sugugi keeruline: kui esimesel punktil on koordinaadid: ja teisel, siis on sirge võrrand järgmine:

Sa tegid selle läbi 7. klassis. Ruumis näeb sirge võrrand välja selline: olgu meil kaks koordinaatidega punkti: , siis on neid läbiva sirge võrrand järgmine:

Näiteks joon läbib punkte:

Kuidas seda tuleks mõista? Seda tuleks mõista järgmiselt: punkt asub sirgel, kui selle koordinaadid vastavad järgmisele süsteemile:

Meid ei huvita väga sirgjoone võrrand, kuid peame tähelepanu pöörama väga olulisele sirge suunava vektori mõistele. - mis tahes nullist erinev vektor, mis asub antud sirgel või sellega paralleelselt.

Näiteks mõlemad vektorid on sirge suunavektorid. Laskma olla punkt, mis asub sirgel, ja olla selle suunav vektor. Siis saab sirgjoone võrrandi kirjutada järgmisel kujul:

Jällegi, mind ei huvita sirgjoone võrrand, kuid mul on tõesti vaja meeles pidada, mis on suunavektor! Veelkord: see on MIS tahes nullist erinev vektor, mis asub sirgel või sellega paralleelselt.

Tõmba tagasi tasapinna kolmepunktiline võrrand ei ole enam nii tühine ja seda ei käsitleta tavaliselt keskkoolikursustel. Aga asjata! See tehnika on ülioluline, kui kasutame keeruliste probleemide lahendamiseks koordinaatide meetodit. Samas eeldan, et oled täis soovi midagi uut õppida? Pealegi saad ülikoolis oma õppejõule muljet avaldada, kui selgub, et sa juba oskad kasutada tehnikat, mida tavaliselt analüütilise geomeetria käigus õpitakse. Nii et alustame.

Tasapinna võrrand ei erine liiga palju tasapinna sirgjoone võrrandist, nimelt on sellel järgmine vorm:

mõned arvud (kõik ei võrdu nulliga), vaid muutujad, näiteks: jne. Nagu näha, ei erine tasapinna võrrand kuigivõrd sirgjoone võrrandist (lineaarfunktsioon). Kuid mäletate, mida me teiega vaidlesime? Ütlesime, et kui meil on kolm punkti, mis ei asu ühel sirgel, siis tasandi võrrand taastatakse neist üheselt. Aga kuidas? Püüan teile selgitada.

Kuna tasapinna võrrand on:

Ja punktid kuuluvad sellele tasapinnale, siis iga punkti koordinaadid tasapinna võrrandisse asendades peaksime saama õige identiteedi:

Seega on vaja lahendada kolm võrrandit juba tundmatutega! Dilemma! Siiski võime seda alati eeldada (selleks peame jagama). Seega saame kolm võrrandit kolme tundmatuga:

Kuid me ei lahenda sellist süsteemi, vaid kirjutame välja sellest tuleneva krüptilise avaldise:

Kolme etteantud punkti läbiva tasapinna võrrand

\[\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(massiivi)) \right| = 0\]

Lõpeta! Mis see veel on? Väga ebatavaline moodul! Objektil, mida näete enda ees, pole aga mooduliga midagi pistmist. Seda objekti nimetatakse kolmandat järku determinandiks. Nüüdsest, kui tegelete lennukis koordinaatide meetodiga, puutute sageli kokku just nende determinantidega. Mis on kolmandat järku determinant? Kummalisel kombel on see vaid number. Jääb üle mõista, millist konkreetset arvu me determinandiga võrdleme.

Kirjutame esmalt kolmandat järku determinandi üldisemal kujul:

Kus on mõned numbrid. Veelgi enam, esimese indeksi all peame silmas rea numbrit ja indeksi all - veeru numbrit. Näiteks tähendab see, et antud arv on teise rea ja kolmanda veeru ristumiskohas. Esitame järgmise küsimuse: kuidas me sellist determinanti täpselt arvutame? See tähendab, millise konkreetse numbriga me seda võrdleme? Täpselt kolmanda järgu determinandi jaoks on olemas heuristiline (visuaalne) kolmnurga reegel, mis näeb välja selline:

1. Põhidiagonaali elementide korrutis (ülevalt vasakult alla paremale) elementide korrutis, mis moodustavad esimese kolmnurga põhidiagonaaliga "risti" teise kolmnurga "risti" põhidiagonaaliga moodustavate elementide korrutis diagonaal
2. Sekundaarse diagonaali elementide korrutis (ülevalt paremalt alla vasakusse) esimese kolmnurga moodustavate elementide korrutis sekundaarse diagonaaliga "risti" teise kolmnurga "risti" moodustavate elementide korrutis. sekundaarne diagonaal
3. Siis on determinant võrdne etapil ja saadud väärtuste vahega

Kui kirjutame selle kõik numbritega, saame järgmise avaldise:

Sellel kujul pole aga vaja arvutusmeetodit pähe õppida, piisab, kui hoida peas kolmnurki ja mõtet, mida millele lisatakse ja mis millest siis maha lahutatakse).

Illustreerime kolmnurga meetodit näitega:

1. Arvutage determinant:

Mõelgem välja, mida lisame ja mida lahutame:

Tingimused, millel on "pluss":

See on peamine diagonaal: elementide korrutis on

Esimene kolmnurk, "põhidiagonaaliga risti: elementide korrutis on

Teine kolmnurk, "põhidiagonaaliga risti: elementide korrutis on

Lisame kolm numbrit:

Tingimused, millel on "miinus"

See on külgdiagonaal: elementide korrutis on

Esimene kolmnurk, "risti sekundaarse diagonaaliga: elementide korrutis on

Teine kolmnurk, "risti sekundaarse diagonaaliga: elementide korrutis on

Lisame kolm numbrit:

Jääb üle vaid lahutada plussliikmete summast miinusliikmete summa:

Sellel viisil,

Nagu näete, pole kolmandat järku determinantide arvutamisel midagi keerulist ja üleloomulikku. Kolmnurkade puhul on lihtsalt oluline meeles pidada ja mitte teha aritmeetilisi vigu. Proovige nüüd ise arvutada:

Kontrollime:

1. Esimene kolmnurk, mis on risti põhidiagonaaliga:
2. Teine kolmnurk, mis on risti põhidiagonaaliga:
3. Plusstingimuste summa:
4. Esimene külgdiagonaaliga risti olev kolmnurk:
5. Teine kolmnurk, mis on risti külgdiagonaaliga:
6. Tingimuste summa miinusega:
7. Plusstingimuste summa miinus miinustingimuste summa:

Siin on teile veel paar määrajat, arvutage ise nende väärtused ja võrrelge vastustega:

Vastused:

No kas kõik klappis? Suurepärane, siis võite edasi minna! Kui on raskusi, siis minu nõuanne on järgmine: Internetis on hunnik programme determinandi võrgus arvutamiseks. Kõik, mida vajate, on välja mõelda oma determinant, see ise arvutada ja seejärel võrrelda seda programmi arvutatuga. Ja nii edasi, kuni tulemused hakkavad ühtima. Olen kindel, et seda hetke ei lähe kaua oodata!

Nüüd pöördume tagasi determinandi juurde, mille kirjutasin välja, kui rääkisin kolme antud punkti läbiva tasandi võrrandist:

Kõik, mida pead tegema, on arvutada selle väärtus otse (kasutades kolmnurga meetodit) ja määrata tulemuseks null. Loomulikult, kuna need on muutujad, saate neist sõltuva avaldise. Just see avaldis on võrrand tasapinnaga, mis läbib kolme antud punkti, mis ei asu ühel sirgel!

Illustreerime seda lihtsa näitega:

1. Koostage punkte läbiva tasandi võrrand

Koostame nende kolme punkti jaoks determinandi:

Lihtsustamine:

Nüüd arvutame selle otse kolmnurkade reegli järgi:

\[(\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(massiivi)) \ parem| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Seega on punkte läbiva tasandi võrrand:

Proovige nüüd üks probleem ise lahendada ja siis arutame seda:

2. Leidke punkte läbiva tasandi võrrand

Noh, arutame nüüd lahendust:

Teeme määraja:

Ja arvutage selle väärtus:

Siis on tasapinna võrrand järgmine:

Või vähendades võrra, saame:

Nüüd kaks enesekontrolli ülesannet:

1. Koostage kolme punkti läbiva tasandi võrrand:

Vastused:

Kas kõik klappis? Jällegi, kui on teatud raskusi, siis minu nõuanne on järgmine: võtke peast kolm punkti (suure tõenäosusega ei asu need ühel sirgel), ehitage neile tasapind. Ja siis kontrollige ennast Internetis. Näiteks saidil:

Kuid determinantide abil konstrueerime mitte ainult tasandi võrrandi. Pidage meeles, ma ütlesin teile, et vektorite puhul pole määratletud ainult punktkorrutis. Samuti on olemas vektor, samuti segaprodukt. Ja kui kahe vektori skalaarkorrutis on arv, siis on kahe vektori vektorkorrutis vektor ja see vektor on risti antud vektoritega:

Lisaks on selle moodul võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga ja. Seda vektorit vajame punkti ja joone vahelise kauguse arvutamiseks. Kuidas arvutada vektorite ristkorrutist ja kas on antud nende koordinaadid? Kolmanda korra määraja tuleb jälle meile appi. Enne kui ma aga ristkorrutise arvutamise algoritmi juurde asun, pean tegema väikese lüürilise kõrvalepõike.

See kõrvalekalle puudutab baasvektoreid.

Skemaatiliselt on need näidatud joonisel:

Miks arvate, et neid nimetatakse põhilisteks? Fakt on see, et:

Või pildil:

Selle valemi kehtivus on ilmne, kuna:

vektorprodukt

Nüüd saan alustada risttoote tutvustamist:

Kahe vektori vektorkorrutis on vektor, mis arvutatakse järgmise reegli järgi:

Toome nüüd mõned näited ristkorrutise arvutamise kohta:

Näide 1: leidke vektorite ristkorrutis:

Lahendus: teen determinandi:

Ja ma arvutan selle välja:

Nüüd, alustades baasvektorite kaudu kirjutamisest, pöördun tagasi tavapärase vektorite tähistuse juurde:

Sellel viisil:

Nüüd proovige.

Valmis? Kontrollime:

Ja traditsiooniliselt kaks kontrollitavad ülesanded:

1. Leidke järgmiste vektorite ristkorrutis:
2. Leidke järgmiste vektorite ristkorrutis:

Vastused:

Kolme vektori segakorrutis

Viimane konstruktsioon, mida ma vajan, on kolme vektori segakorrutis. See, nagu skalaar, on arv. Selle arvutamiseks on kaks võimalust. - determinandi kaudu, - segatoote kaudu.

Nimelt oletame, et meil on kolm vektorit:

Seejärel saab kolme vektori segakorrutise, mida tähistatakse, arvutada järgmiselt:

1. - see tähendab, et segakorrutis on vektori skalaarkorrutis ja kahe teise vektori vektorkorrutis

Näiteks kolme vektori segakorrutis on:

Proovige see vektorkorrutise abil ise välja arvutada ja veenduge, et tulemused ühtivad!

Ja jälle - kaks näidet iseseisva otsuse tegemiseks:

Vastused:

Koordinaadisüsteemi valik

Noh, nüüd on meil kõik vajalikud teadmised geomeetria keeruliste stereomeetriliste probleemide lahendamiseks. Enne otse näidete ja nende lahendamise algoritmide juurde asumist usun aga, et on kasulik peatuda järgmisel küsimusel: kuidas täpselt vali konkreetse joonise jaoks koordinaatsüsteem. Lõppude lõpuks on koordinaatsüsteemi suhtelise asukoha ja ruumis oleva figuuri valik see, mis lõpuks määrab selle, kui tülikaks arvutused kujunevad.

Tuletan teile meelde, et selles jaotises käsitleme järgmisi kujundeid:

1. risttahukas
2. Sirge prisma (kolmnurkne, kuusnurkne…)
3. Püramiid (kolmnurkne, nelinurkne)
4. Tetraeeder (sama mis kolmnurkne püramiid)

Ruumi või kuubi jaoks soovitan järgmist konstruktsiooni:

See tähendab, et panen figuuri "nurka". Kuubik ja karp on väga head kujundid. Nende jaoks saate alati hõlpsasti leida selle tippude koordinaadid. Näiteks kui (nagu pildil näidatud)

siis tipukoordinaadid on:

Muidugi ei pea te seda meeles pidama, kuid soovitav on meeles pidada, kuidas kuubi või ristkülikukujulist kasti kõige paremini paigutada.

sirge prisma

Prisma on kahjulikum kuju. Saate seda ruumis paigutada erineval viisil. Siiski arvan, et järgmine variant on parim:

Kolmnurkne prisma:

See tähendab, et asetame kolmnurga ühe külje täielikult teljele ja üks tippudest langeb kokku lähtepunktiga.

Kuusnurkne prisma:

See tähendab, et üks tippudest langeb kokku lähtepunktiga ja üks külgedest asub teljel.

Nelinurkne ja kuusnurkne püramiid:

Kuubikuga sarnane olukord: ühendame aluse kaks külge koordinaattelgedega, ühe tipu ühendame alguspunktiga. Ainus väike raskus on punkti koordinaatide arvutamine.

Kuusnurkse püramiidi puhul – sama, mis kuusnurkse prisma puhul. Peamine ülesanne on jällegi tipu koordinaatide leidmine.

Tetraeeder (kolmnurkne püramiid)

Olukord on väga sarnane sellele, mille andsin kolmnurkprisma puhul: üks tipp langeb kokku lähtepunktiga, üks külg asub koordinaatteljel.

Noh, nüüd oleme teiega lõpuks lähedal probleemide lahendamisele. Sellest, mida ma artikli alguses ütlesin, võite teha järgmise järelduse: enamik C2 probleeme jaguneb kahte kategooriasse: probleemid nurga ja vahemaa probleemidega. Esiteks käsitleme nurga leidmise probleeme. Need jagunevad omakorda järgmistesse kategooriatesse (keerukuse kasvades):

Probleemid nurkade leidmisel

1. Kahe sirge vahelise nurga leidmine
2. Kahe tasandi vahelise nurga leidmine

Vaatleme neid probleeme järjestikku: alustame kahe sirge vahelise nurga leidmisega. Tule, jäta meelde, kas me oleme varem sarnaseid näiteid lahendanud? Mäletate, sest meil oli juba midagi sarnast... Otsisime nurka kahe vektori vahel. Tuletan teile meelde, kui on antud kaks vektorit: ja, siis nendevaheline nurk leitakse seosest:

Nüüd on meil eesmärk – leida kahe sirge vaheline nurk. Pöördume "lameda pildi" poole:

Kui palju nurki saame, kui kaks sirget ristuvad? Juba asjad. Tõsi, ainult kaks neist ei ole võrdsed, samas kui teised on nende suhtes vertikaalsed (ja seetõttu langevad nendega kokku). Millise nurga all peaksime arvestama kahe sirge vahelise nurga all: või? Siin kehtib reegel: kahe sirge vaheline nurk ei ole alati suurem kui kraadi. See tähendab, et kahe nurga alt valime alati väikseima kraadiga nurga. See tähendab, et sellel pildil on kahe joone vaheline nurk võrdne. Et mitte iga kord kahest nurgast kõige väiksema leidmisega vaeva näha, soovitasid kavalad matemaatikud moodulit kasutada. Seega määratakse kahe sirge vaheline nurk valemiga:

Teil kui tähelepanelikul lugejal oleks pidanud tekkima küsimus: kust me õigupoolest saame just need arvud, mida on vaja nurga koosinuse arvutamiseks? Vastus: võtame need joonte suunavektoritest! Seega on kahe joone vahelise nurga leidmise algoritm järgmine:

1. Rakendame valemit 1.

Või täpsemalt:

1. Otsime esimese sirge suunavektori koordinaate
2. Otsime teise rea suunavektori koordinaate
3. Arvutage nende skalaarkorrutise moodul
4. Otsime esimese vektori pikkust
5. Otsime teise vektori pikkust
6. Korrutage punkti 4 tulemused punkti 5 tulemustega
7. Jagame punkti 3 tulemuse punkti 6 tulemusega. Saame sirgetevahelise nurga koosinuse
8. Kui see tulemus võimaldab meil nurga täpselt arvutada, otsime seda
9. Vastasel juhul kirjutame läbi arkosiini

Noh, nüüd on aeg liikuda ülesannete juurde: ma demonstreerin üksikasjalikult kahe esimese lahendust, ühe teise lahenduse esitan lühidalt ja annan vastused ainult kahele viimasele ülesandele, peate tehke kõik arvutused nende jaoks ise.

Ülesanded:

1. Paremal tet-ra-ed-re leidke-di-te nurk you-nii-tet-ra-ed-ra ja me-di-a-noy bo-ko-how külje vahel.

2. Parempoolses kuus-söe-pi-ra-mi-de-s on saja-ro-na-os-no-va-niya kuidagi võrdsed ja külgmised ribid on võrdsed, leidke sirge vaheline nurk. read ja.

3. Paremakäelise four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy kõigi servade pikkused on üksteisega võrdsed. Leidke sirgjoonte vaheline nurk ja kui from-re-zok - you-so-et antud pi-ra-mi-dy, punkt on se-re-di-on tema bo-ko- th ribi

4. Kuubi serval minust-che-punktini nii, et Find-di-te sirgjoonte vaheline nurk ja

5. Punkt - se-re-di-kuubi servadel Nai-di-te sirgjoonte vaheline nurk ja.

Pole juhus, et panin ülesanded sellisesse järjekorda. Kui teil pole veel olnud aega koordinaatide meetodil navigeerimiseks, analüüsin ma ise kõige "probleemsemad" kujundid ja jätan teid tegelema kõige lihtsama kuubikuga! Tasapisi tuleb õppida kõigi figuuridega töötamist, tõstan ülesannete keerukust teemalt teemale.

Alustame probleemide lahendamisega:

1. Joonistage tetraeeder, asetage see koordinaatsüsteemi, nagu ma varem soovitasin. Kuna tetraeeder on korrapärane, on kõik selle tahud (kaasa arvatud põhi) korrapärased kolmnurgad. Kuna meile ei ole antud külje pikkust, võin selle võtta võrdseks. Arvan, et saate aru, et nurk ei sõltu tegelikult sellest, kui palju meie tetraeedrit "venitatakse"?. Samuti joonistan tetraeedri kõrguse ja mediaani. Teepeal joonistan selle aluse (see tuleb ka meile kasuks).

Pean leidma nurga ja vahel. Mida me teame? Teame ainult punkti koordinaati. Seega peame leidma rohkem punktide koordinaate. Nüüd mõtleme: punkt on kolmnurga kõrguste (või poolitajate või mediaanide) lõikepunkt. Punkt on kõrgendatud punkt. Punkt on lõigu keskpunkt. Siis lõpuks peame leidma: punktide koordinaadid: .

Alustame kõige lihtsamast: punkti koordinaadid. Vaata joonist: On selge, et punkti rakendus on võrdne nulliga (punkt asub tasapinnal). Selle ordinaat on võrdne (kuna see on mediaan). Selle abstsissi on raskem leida. Seda on aga lihtne teha Pythagorase teoreemi alusel: Vaatleme kolmnurka. Selle hüpotenuus on võrdne ja üks jalg on võrdne Siis:

Lõpuks on meil:

Nüüd leiame punkti koordinaadid. On selge, et selle rakendus on jälle võrdne nulliga ja selle ordinaat on sama, mis punktil, see tähendab. Leiame selle abstsissi. Seda tehakse üsna triviaalselt, kui seda meeles pidada võrdkülgse kolmnurga kõrgused jagatakse proportsioonis lõikepunktiga lugedes ülevalt. Kuna:, siis punkti soovitud abstsiss, mis on võrdne lõigu pikkusega, on võrdne:. Seega on punkti koordinaadid:

Leiame punkti koordinaadid. On selge, et selle abstsiss ja ordinaat langevad kokku punkti abstsissi ja ordinaatiga. Ja aplikatsioon on võrdne segmendi pikkusega. - see on kolmnurga üks jalgadest. Kolmnurga hüpotenuus on segment - jalg. Seda otsitakse põhjustel, mille ma rasvases kirjas esile tõstsin:

Punkt on lõigu keskpunkt. Seejärel peame meeles pidama segmendi keskkoha koordinaatide valemit:

See on kõik, nüüd saame otsida suunavektorite koordinaate:

Noh, kõik on valmis: asendame kõik andmed valemiga:

Sellel viisil,

Vastus:

Te ei tohiks karta selliseid "kohutavaid" vastuseid: probleemide C2 puhul on see tavaline praktika. Pigem oleksin selles osas üllatunud "ilusa" vastuse üle. Samuti, nagu märkisite, ei kasutanud ma praktiliselt midagi muud peale Pythagorase teoreemi ja võrdkülgse kolmnurga kõrguste omaduse. See tähendab, et stereomeetrilise probleemi lahendamiseks kasutasin stereomeetriat minimaalselt. Selle kasu on osaliselt "kustutatud" üsna tülikate arvutustega. Kuid need on üsna algoritmilised!

2. Joonistage korrapärane kuusnurkne püramiid koos koordinaatide süsteemiga ja selle alus:

Peame leidma nurga joonte ja vahel. Seega taandub meie ülesanne punktide koordinaatide leidmisele: . Viimase kolme koordinaadid leiame väikeselt jooniselt ja tipu koordinaadi leiame punkti koordinaadi kaudu. Tööd on palju, aga tuleb alustada!

a) Koordinaat: on selge, et selle rakendus ja ordinaat on null. Leiame abstsissi. Selleks kaaluge täisnurkset kolmnurka. Kahjuks teame selles ainult hüpotenuusi, mis on võrdne. Proovime jalga leida (sest on selge, et jala kahekordne pikkus annab meile punkti abstsissi). Kuidas me saame teda otsida? Tuletagem meelde, milline figuur on meil püramiidi põhjas? See on tavaline kuusnurk. Mida see tähendab? See tähendab, et kõik küljed ja nurgad on võrdsed. Peame leidma ühe sellise nurga. Ideid? Ideid on palju, kuid valem on olemas:

Tavalise n-nurga nurkade summa on .

Seega on korrapärase kuusnurga nurkade summa kraadid. Siis on kõik nurgad võrdsed:

Vaatame uuesti pilti. On selge, et segment on nurga poolitaja. Siis on nurk kraadi. Seejärel:

Siis kuhu.

Nii et sellel on koordinaadid

b) Nüüd saame hõlpsalt leida punkti koordinaadi: .

c) Leia punkti koordinaadid. Kuna selle abstsiss langeb kokku segmendi pikkusega, on see võrdne. Ordinaadi leidmine pole samuti väga keeruline: kui ühendame punktid ja ja tähistame sirge lõikepunkti, ütleme for. (tee ise lihtne ehitus). Siis Seega on punkti B ordinaat võrdne lõikude pikkuste summaga. Vaatame uuesti kolmnurka. Siis

Siis alates Siis on punktil koordinaadid

d) Nüüd leidke punkti koordinaadid. Vaatleme ristkülikut ja tõestame, et Seega on punkti koordinaadid:

e) Jääb üle leida tipu koordinaadid. On selge, et selle abstsiss ja ordinaat langevad kokku punkti abstsissi ja ordinaatiga. Leiame rakenduse. Sellest ajast. Mõelge täisnurksele kolmnurgale. Probleemi seisundi järgi külgserv. See on minu kolmnurga hüpotenuus. Siis on püramiidi kõrgus jalg.

Siis on punktil koordinaadid:

See on kõik, mul on kõigi huvipakkuvate punktide koordinaadid. Otsin sirgete suunavektorite koordinaate:

Otsime nende vektorite vahelist nurka:

Vastus:

Jällegi, selle ülesande lahendamisel ei kasutanud ma mingeid keerulisi nippe, välja arvatud tavalise n-nurga nurkade summa valem, samuti täisnurkse kolmnurga koosinuse ja siinuse definitsioon.

3. Kuna meile pole jällegi antud püramiidi servade pikkusi, siis võtan need võrdseks ühega. Seega, kuna KÕIK servad, mitte ainult külgmised, on üksteisega võrdsed, siis asub püramiidi ja mina põhjas ruut ning külgmised tahud on korrapärased kolmnurgad. Kujutagem sellist püramiidi ja selle alust tasapinnal, märkides kõik ülesande tekstis toodud andmed:

Otsime nurka ja vahel. Punktide koordinaate otsides teen väga põgusad arvutused. Peate need "dekrüpteerima":

b) - segmendi keskosa. Tema koordinaadid:

c) Leian kolmnurga lõigu pikkuse Pythagorase teoreemi abil. Ma leian Pythagorase teoreemi järgi kolmnurgas.

Koordinaadid:

d) - segmendi keskosa. Selle koordinaadid on

e) Vektori koordinaadid

f) Vektori koordinaadid

g) nurga otsimine:

Kuubik on kõige lihtsam kuju. Olen kindel, et saate selle ise välja mõelda. Vastused ülesannetele 4 ja 5 on järgmised:

Sirge ja tasapinna vahelise nurga leidmine

Noh, lihtsate mõistatuste aeg on möödas! Nüüd on näited veelgi raskemad. Sirge ja tasapinna vahelise nurga leidmiseks toimime järgmiselt.

1. Kolme punkti abil koostame tasapinna võrrandi
   ,
   kasutades kolmandat järku determinanti.
2. Kahe punkti järgi otsime sirge suunamisvektori koordinaate:
3. Sirge ja tasapinna vahelise nurga arvutamiseks kasutame valemit:

Nagu näete, on see valem väga sarnane sellele, mida kasutasime kahe joone vaheliste nurkade leidmiseks. Parema külje struktuur on täpselt sama ja vasakult otsime nüüd siinust, mitte koosinust, nagu varem. Noh, üks vastik tegevus lisandus - lennuki võrrandi otsimine.

Ärme pane riiulisse lahendamise näited:

1. Os-no-va-ni-em straight-minu auhind-me oleme-la-et-xia võrdsed-kuid-vaesed-ren-ny kolmnurk-selle auhinnaga-me oleme võrdsed. Leidke nurk sirge ja tasapinna vahel

2. Ristkülikukujulises pa-ral-le-le-pi-pe-de läänest Nai-di-te nurk sirge ja tasapinna vahel

3. Parempoolses kuuesöeprismas on kõik servad võrdsed. Leidke nurk sirge ja tasapinna vahel.

4. Parempoolses kolmnurkses pi-ra-mi-de koos os-but-va-ni-em ribi läänest Nai-di-te nurgast, ob-ra-zo-van -ny tasapinnaga os. -no-va-niya ja sirge-my, läbides ribide se-re-di-na ja

5. Parempoolse nelinurkse pi-ra-mi-dy kõigi servade pikkused ülaosaga on üksteisega võrdsed. Leidke nurk sirge ja tasandi vahel, kui punkt on se-re-di-pi-ra-mi-dy bo-ko-in-th serval.

Jällegi lahendan kaks esimest ülesannet üksikasjalikult, kolmanda - lühidalt ja kaks viimast jätan teie enda lahendada. Lisaks tuli juba tegeleda kolm- ja nelinurksete püramiididega, aga prismadega veel mitte.

Lahendused:

1. Joonistage prisma, samuti selle alus. Kombineerime selle koordinaatsüsteemiga ja märgime kõik ülesande avalduses toodud andmed:

Vabandan proportsioonide mittejärgimise pärast, kuid probleemi lahendamiseks pole see tegelikult nii oluline. Lennuk on lihtsalt minu prisma "tagasein". Piisab, kui lihtsalt arvata, et sellise tasandi võrrandil on vorm:

Seda saab aga näidata ka otse:

Valime sellel tasapinnal suvalised kolm punkti: näiteks .

Koostame tasandi võrrandi:

Harjutus teile: arvutage see determinant ise. Kas see õnnestus? Siis on tasapinna võrrand järgmine:

Või lihtsalt

Sellel viisil,

Näite lahendamiseks pean leidma sirge suunava vektori koordinaadid. Kuna punkt langes alguspunktiga kokku, siis kattuvad vektori koordinaadid lihtsalt punkti koordinaatidega, selleks leiame esmalt punkti koordinaadid.

Selleks kaaluge kolmnurka. Joonistame kõrguse (see on ka mediaan ja poolitaja) tipust. Kuna siis on punkti ordinaat võrdne. Selle punkti abstsissi leidmiseks peame arvutama segmendi pikkuse. Pythagorase teoreemi järgi on meil:

Siis on punktil koordinaadid:

Punkt on punktile "tõstetud":

Siis vektori koordinaadid:

Vastus:

Nagu näete, pole selliste probleemide lahendamisel midagi põhimõtteliselt rasket. Tegelikult lihtsustab sellise figuuri nagu prisma "sirgesus" protsessi veidi rohkem. Liigume nüüd järgmise näite juurde:

2. Joonistame rööptahuka, tõmbame sellesse tasapinna ja sirge ning joonistame eraldi ka selle alumise aluse:

Esiteks leiame tasapinna võrrandi: selles asuva kolme punkti koordinaadid:

(esimesed kaks koordinaati saadakse ilmselgelt ja viimase koordinaadi leiate hõlpsalt pildilt punktist). Seejärel koostame tasandi võrrandi:

Arvutame:

Otsime suunavektori koordinaate: On selge, et selle koordinaadid langevad kokku punkti koordinaatidega, kas pole? Kuidas koordinaate leida? Need on punkti koordinaadid, mis on piki rakendustelge ühe võrra tõstetud! . Seejärel otsime soovitud nurka:

Vastus:

3. Joonistage korrapärane kuusnurkne püramiid ning seejärel tõmmake sellesse tasapind ja sirgjoon.

Siin on isegi problemaatiline tasapinna joonistamine, rääkimata selle ülesande lahendusest, aga koordinaatmeetodil pole vahet! Selle peamine eelis peitub selle mitmekülgsuses!

Tasapind läbib kolme punkti: . Otsime nende koordinaate:

üks) . Kuvage ise kahe viimase punkti koordinaadid. Selleks peate lahendama ülesande kuusnurkse püramiidiga!

2) Koostame tasandi võrrandi:

Otsime vektori koordinaate: . (Vaata kolmnurkse püramiidi probleemi uuesti!)

3) Otsime nurka:

Vastus:

Nagu näha, pole neis ülesannetes midagi üleloomulikult rasket. Sa pead lihtsalt olema juurtega väga ettevaatlik. Kahele viimasele probleemile annan ainult vastused:

Nagu näete, on ülesannete lahendamise tehnika igal pool sama: peamine ülesanne on leida tippude koordinaadid ja asendada need mõne valemiga. Meil jääb üle kaaluda veel ühte nurkade arvutamise probleemide klassi, nimelt:

Nurkade arvutamine kahe tasandi vahel

Lahendusalgoritm on järgmine:

1. Kolme punkti jaoks otsime esimese tasandi võrrandit:
2. Ülejäänud kolme punkti jaoks otsime teise tasandi võrrandit:
3. Rakendame valemit:

Nagu näha, on valem väga sarnane kahele eelmisele, mille abil otsisime sirge ning sirge ja tasandi vahelisi nurki. Nii et selle meeldejätmine ei ole teile keeruline. Hüppame otse probleemi juurde:

1. Täisnurkse kolmnurkse prisma põhjal on sada-ro võrdne ja külgpinna dia-gonaal on võrdne. Leia nurk tasapinna ja auhinna aluse tasapinna vahel.

2. Parempoolses neli-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de-s on kellegi kõik servad võrdsed, leidke tasandi ja tasandi Ko-Stu vahelise nurga siinus, mis läbib punkt per-pen-di-ku-lyar-but straight-my.

3. Tavalises neljasöeprismas on os-no-va-nia küljed võrdsed ja külgservad võrdsed. Äärel alates-mina-che-punktini nii et. Leia tasapindade vaheline nurk ja

4. Parempoolses nelinurkses prismas on aluste küljed võrdsed ja külgservad võrdsed. Äärel alates-mina-che-punktini nii, et Leia tasapindade vaheline nurk ja.

5. Leia kuubist tasapindade ja vahelise nurga kaas-sinus

Probleemi lahendused:

1. Joonistan korrapärase (aluses - võrdkülgse kolmnurga) kolmnurkse prisma ja märgin sellele tasapinnad, mis ilmnevad ülesande tingimuses:

Peame leidma kahe tasandi võrrandid: Alusvõrrand saadakse triviaalselt: kolmele punktile saab teha vastava determinandi, aga ma teen võrrandi kohe:

Nüüd leiame võrrandi Punktil on koordinaadid Punkt - Kuna - kolmnurga mediaan ja kõrgus, on seda lihtne leida kolmnurgas Pythagorase teoreemi abil. Siis on punktil koordinaadid: Leia punkti rakendus Selleks vaadeldakse täisnurkset kolmnurka

Siis saame järgmised koordinaadid: Koostame tasandi võrrandi.

Arvutame tasapindade vahelise nurga:

Vastus:

2. Joonise tegemine:

Kõige keerulisem on aru saada, missuguse salapärase tasapinnaga on tegu, mis läbib punkti risti. Noh, peamine on see, mis see on? Peaasi on tähelepanelikkus! Tõepoolest, joon on risti. Sirg on ka risti. Siis on neid kahte sirget läbiv tasapind joonega risti ja, muide, läbib punkti. See tasapind läbib ka püramiidi tippu. Siis soovitud lennuk - Ja lennuk on meile juba antud. Otsime punktide koordinaate.

Punkti kaudu leiame punkti koordinaadi. Väikese joonise põhjal on lihtne järeldada, et punkti koordinaadid saavad olema järgmised: Mida on nüüd vaja leida, et leida püramiidi tipu koordinaadid? Peab ikkagi selle kõrguse arvutama. Seda tehakse sama Pythagorase teoreemi abil: kõigepealt tõestage see (triviaalselt väikestest kolmnurkadest, mis moodustavad aluses ruudu). Kuna tingimusel on meil:

Nüüd on kõik valmis: tipu koordinaadid:

Koostame tasandi võrrandi:

Olete juba determinantide arvutamise ekspert. Lihtsalt saate:

Või teisiti (kui me korrutame mõlemad osad kahe juurega)

Nüüd leiame tasapinna võrrandi:

(Sa ei unustanud, kuidas me saame tasapinna võrrandi, eks? Kui te ei saa aru, kust see miinus üks tuli, siis minge tagasi tasapinna võrrandi definitsiooni juurde! See lihtsalt selgus alati enne seda et minu lennuk kuulus päritolule!)

Arvutame determinandi:

(Võite märgata, et tasandi võrrand langes kokku punkte läbiva sirge võrrandiga ja! Mõelge, miks!)

Nüüd arvutame nurga:

Peame leidma siinuse:

Vastus:

3. Keeruline küsimus: mis on ristkülikukujuline prisma, mida arvate? See on teile lihtsalt tuntud rööptahukas! Kohe joonistama! Alust ei saa isegi eraldi kujutada, sellest on siin vähe kasu:

Tasand, nagu me varem märkisime, on kirjutatud võrrandina:

Nüüd teeme lennuki

Koostame kohe tasandi võrrandi:

Otsib nurka

Nüüd vastused kahele viimasele probleemile:

Noh, nüüd on aeg puhata, sest sina ja mina oleme suurepärased ja oleme teinud suurepärast tööd!

Koordinaadid ja vektorid. Kõrgtasemel

Selles artiklis käsitleme teiega teist klassi probleeme, mida saab lahendada koordinaatmeetodi abil: kaugusprobleemid. Nimelt käsitleme järgmisi juhtumeid:

1. Kaldjoonte vahelise kauguse arvutamine.

Olen tellinud etteantud ülesanded nende keerukuse kasvades. Lihtsaim on leida punkti ja tasapinna kaugus ja kõige raskem on leida ristuvate joonte vaheline kaugus. Kuigi loomulikult pole miski võimatu! Ärgem viivitagem ja jätkakem kohe esimese probleemide klassiga:

Punkti ja tasapinna kauguse arvutamine

Mida me vajame selle probleemi lahendamiseks?

1. Punkti koordinaadid

Nii et niipea, kui saame kõik vajalikud andmed, rakendame valemit:

Te peaksite juba teadma, kuidas me koostame tasandi võrrandi eelmistest probleemidest, mida analüüsisin viimases osas. Asume kohe asja kallale. Skeem on järgmine: 1, 2 - aitan teil otsustada ja üksikasjalikult, 3, 4 - ainult vastus, otsustate ise ja võrdlete. Algas!

Ülesanded:

1. Antud kuubik. Kuubi serva pikkus on Find-di-te vahemaa se-re-di-ny lõikest tasapinnani

2. Arvestades paremale-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe serva saja-ro-on os-no-va-nia on võrdne. Leia-di-need kaugused punktist tasapinnani, kus - se-re-di-servadel.

3. Parempoolses kolmnurkses pi-ra-mi-de koos os-but-va-ni-emiga on teine ​​serv võrdne ja saja-ro-on os-no-vaniya on võrdne. Otsige üles need vahemaad tipust tasapinnani.

4. Parempoolses kuuesöeprismas on kõik servad võrdsed. Leia need kaugused punktist tasapinnani.

Lahendused:

1. Joonistage üksikute servadega kuup, koostage lõik ja tasapind, tähistage lõigu keskosa tähega

.

Kõigepealt alustame lihtsast: leidke punkti koordinaadid. Sellest ajast peale (pidage meeles lõigu keskkoha koordinaate!)

Nüüd koostame tasandi võrrandi kolme punkti peale

\[\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(massiivi)) \right| = 0\]

Nüüd saan hakata kaugust leidma:

2. Alustame uuesti joonisega, millele märgime kõik andmed!

Püramiidi puhul oleks kasulik selle alus eraldi joonistada.

Isegi see, et ma joonistan nagu kanakäpp, ei takista meil seda probleemi lihtsalt lahendamast!

Nüüd on lihtne leida punkti koordinaate

Kuna punkti koordinaadid

2. Kuna punkti a koordinaadid on lõigu keskpunkt, siis

Leiame hõlpsalt veel kahe tasapinna punkti koordinaadid Koostame tasapinna võrrandi ja lihtsustame seda:

\[\left| (\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(massiivi)) \right|) \right| = 0\]

Kuna punktil on koordinaadid: , siis arvutame kauguse:

Vastus (väga harv!):

No kas sa said aru? Mulle tundub, et siin on kõik täpselt sama tehniline kui näidetes, mida me teiega eelmises osas käsitlesime. Seega olen kindel, et kui olete selle materjali omandanud, ei ole teil raske ülejäänud kahte probleemi lahendada. Ma annan teile lihtsalt vastused:

Vahemaa arvutamine sirgest tasapinnani

Tegelikult pole siin midagi uut. Kuidas saavad joon ja tasapind teineteise suhtes paikneda? Neil on kõik võimalused: ristuda või sirge on tasapinnaga paralleelne. Mis on teie arvates kaugus sirgest tasapinnani, millega antud sirge lõikub? Mulle tundub, et on selge, et selline vahemaa võrdub nulliga. Ebahuvitav juhtum.

Teine juhtum on keerulisem: siin on vahemaa juba nullist erinev. Kuna joon on aga tasapinnaga paralleelne, on sirge iga punkt sellest tasapinnast võrdsel kaugusel:

Sellel viisil:

Ja see tähendab, et minu ülesanne on taandatud eelmisele: otsime joone mis tahes punkti koordinaate, otsime tasandi võrrandit, arvutame kauguse punktist tasapinnani. Tegelikult on sellised ülesanded eksamil äärmiselt haruldased. Mul õnnestus leida ainult üks probleem ja selles olid andmed sellised, et koordinaatide meetod ei olnud selle jaoks väga rakendatav!

Liigume nüüd teise, palju olulisema probleemide klassi juurde:

Punkti ja sirge kauguse arvutamine

Mida me vajame?

1. Punkti koordinaadid, millest kaugust otsime:

2. Mis tahes punkti koordinaadid, mis asuvad sirgel

3. Sirge suunavektori koordinaadid

Millist valemit me kasutame?

Mida selle murru nimetaja teile tähendab ja seega peaks olema selge: see on sirge suunava vektori pikkus. Siin on väga keeruline lugeja! Avaldis tähendab vektorite vektorkorrutise moodulit (pikkust) ja Kuidas arvutada vektorkorrutist, uurisime töö eelmises osas. Värskendage oma teadmisi, need on meile nüüd väga kasulikud!

Seega on probleemide lahendamise algoritm järgmine:

1. Otsime selle punkti koordinaate, millest kaugust otsime:

2. Otsime joone mis tahes punkti koordinaate, mille kaugust otsime:

3. Vektori ehitamine

4. Ehitame sirge suuna vektori

5. Arvutage ristkorrutis

6. Otsime saadud vektori pikkust:

7. Arvutage kaugus:

Meil on palju tööd ja näited on üsna keerulised! Nii et nüüd koondage kogu oma tähelepanu!

1. Dana on paremakäeline kolmnurkne pi-ra-mi-da tipuga. Sada-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy on võrdne, you-so-ta on võrdne. Leidke need vahemaad bo-ko-nda serva se-re-di-ny-st sirgjooneni, kus punktid ja on ribide se-re-di-ny ja kaas-vet. -stven-aga.

2. Ribide ja täisnurga-no-para-ral-le-le-pi-pe-da pikkused on vastavalt võrdsed ning Find-di-te kaugus top-shi-ny-st sirge-my-ni.

3. Parempoolses kuuesöeprismas on sülemi kõik servad võrdsed, leidke see kaugus punktist sirgjooneni

Lahendused:

1. Teeme korraliku joonise, millele märgime kõik andmed:

Meil on teile palju tööd! Tahaksin kõigepealt sõnadega kirjeldada, mida me otsime ja millises järjekorras:

1. Punktide koordinaadid ja

2. Punkti koordinaadid

3. Punktide koordinaadid ja

4. Vektorite koordinaadid ja

5. Nende ristprodukt

6. Vektori pikkus

7. Vektorkorrutise pikkus

8. Kaugus alates kuni

Noh, meil on palju tööd teha! Käärime käised üles!

1. Püramiidi kõrguse koordinaatide leidmiseks peame teadma punkti koordinaate, mille rakendus on null ja ordinaat on võrdne selle abstsissiga. Lõpuks saime koordinaadid:

Punktide koordinaadid

2. - segmendi keskosa

3. - segmendi keskosa

keskpunkt

4.Koordinaadid

Vektori koordinaadid

5. Arvutage vektorkorrutis:

6. Vektori pikkus: Lihtsaim viis on asendada see segment, et see on kolmnurga keskjoon, mis tähendab, et see on võrdne poole alusega. Niisiis.

7. Arvestame vektorkorrutise pikkusega:

8. Lõpuks leidke kaugus:

Pheh, see on kõik! Ausalt öeldes ütlen teile: selle probleemi lahendamine traditsiooniliste meetoditega (konstruktsioonide kaudu) oleks palju kiirem. Kuid siin taandasin kõik valmis algoritmile! Arvan, et lahendusalgoritm on teile selge? Seetõttu palun teil ülejäänud kaks probleemi iseseisvalt lahendada. Võrdle vastuseid?

Kordan veel kord: neid probleeme on lihtsam (kiirem) lahendada konstruktsioonide kaudu, mitte kasutada koordinaatmeetodit. Näitasin seda lahendusviisi ainult selleks, et näidata teile universaalset meetodit, mis võimaldab teil "mitte midagi lõpetada".

Lõpuks kaaluge viimast probleemide klassi:

Kaldjoonte vahelise kauguse arvutamine

Siin on ülesannete lahendamise algoritm sarnane eelmisele. Mis meil on:

3. Mis tahes vektor, mis ühendab esimese ja teise rea punkte:

Kuidas leiame joonte vahelise kauguse?

Valem on:

Lugeja on segakorrutise moodul (tutvustasime seda eelmises osas) ja nimetaja - nagu eelmises valemis (joonte suunavate vektorite vektorkorrutise moodul, mille vahelist kaugust me vaatame jaoks).

Tuletan teile seda meelde

siis kauguse valemi saab ümber kirjutada kujul:

Jaga see determinant determinandiga! Kuigi ausalt öeldes pole mul siin naljategemise tuju! See valem on tegelikult väga tülikas ja viib üsna keerukate arvutusteni. Kui ma oleksin teie, kasutaksin seda ainult viimase abinõuna!

Proovime ülaltoodud meetodi abil mõnda probleemi lahendada:

1. Parempoolses kolmnurkses prismas on kõik servad kuidagi võrdsed, leia sirgete vaheline kaugus ja.

2. Arvestades parempoolse esikujulise kolmnurkse prisma, on kellegi os-no-va-niya kõik servad võrdsed Se-che-tioniga, läbides teist ribi ja se-re-di-nu ribid on yav-la-et-sya square-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie sirge-we-mi ja vahel

Mina otsustan esimese ja selle põhjal otsustate sina teise!

1. Joonistan prisma ja märgin jooned ja

Punkti C koordinaadid: siis

Punktide koordinaadid

Vektori koordinaadid

Punktide koordinaadid

Vektori koordinaadid

Vektori koordinaadid

\[\left((B,\overright nool (A(A_1)) \overright nool (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(massiivi)(*(20)(l))(\begin(massiivi)(*(20)(c))0&1&0\end(massiivi))\\(\begin(massiivi)(*(20) (c))0&0&1\end(massiiv))\\(\begin(massiivi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(massiivi))\end(massiivi)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vaatleme vektorite ja ristkorrutist

\[\üleparemnool (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(massiivi)(l)\begin(massiivi)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(massiivi)\\\begin(massiivi )(*(20)(c))0&0&1\end(massiivi)\\\begin(massiivi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(massiivi)\end(massiivi) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Nüüd kaalume selle pikkust:

Vastus:

Nüüd proovige teine ​​ülesanne hoolikalt täita. Vastus sellele on:.

Koordinaadid ja vektorid. Lühikirjeldus ja põhivalemid

Vektor on suunatud segment. - vektori algus, - vektori lõpp.
Vektorit tähistatakse või.

Absoluutne väärtus vektor – vektorit esindava segmendi pikkus. Määratud kui.

Vektori koordinaadid:

,
kus on vektori \displaystyle a otsad.

Vektorite summa: .

Vektorite korrutis:

Vektorite punktkorrutis:

Tasapinnaline võrrand. Kuidas kirjutada tasapinna võrrandit?
Lennukite vastastikune paigutus. Ülesanded

Ruumigeomeetria pole palju keerulisem kui "tasane" geomeetria ja meie lennud kosmoses algavad sellest artiklist. Et teemast aru saada, peab olema sellest hea arusaam vektorid, lisaks on soovitav olla kursis tasapinna geomeetriaga - seal on palju sarnasusi, palju analoogiaid, nii et teave on palju paremini seeditav. Minu õppetundide sarjas avaneb 2D-maailm artikliga Tasapinna sirgjoone võrrand. Kuid nüüd on Batman lameekraanteleviisorilt maha astunud ja stardib Baikonuri kosmodroomilt.

Alustame jooniste ja sümbolitega. Skemaatiliselt saab tasapinna joonistada rööpkülikuna, mis jätab ruumi mulje:

Tasapind on lõpmatu, kuid meil on võimalus kujutada sellest vaid tükki. Praktikas joonistatakse lisaks rööpkülikule ka ovaal või isegi pilv. Tehnilistel põhjustel on minu jaoks mugavam kujutada lennukit nii ja sellises asendis. Päris tasapindu, mida me praktilistes näidetes käsitleme, saab paigutada mis tahes viisil - võtke joonistus vaimselt käes ja keerake seda ruumis, andes tasapinnale igasuguse kalde, mis tahes nurga.

Märge: lennukid on tavaks tähistada väikeste kreeka tähtedega, ilmselt selleks, et neid mitte segamini ajada otse lennukis või koos otse ruumis. Olen harjunud kirja kasutama . Joonisel on see täht "sigma", mitte auk. Kuigi auklik lennuk, on see kindlasti väga naljakas.

Mõnel juhul on tasapindade tähistamiseks mugav kasutada samu kreeka tähti koos alaindeksitega, näiteks .

On ilmne, et tasapind on üheselt määratud kolme erineva punktiga, mis ei asu samal sirgel. Seetõttu on lennukite kolmetähelised tähistused üsna populaarsed - nende juurde kuuluvate punktide järgi näiteks jne. Sageli on tähed sulgudes: , et mitte ajada tasapinda segamini mõne teise geomeetrilise kujundiga.

Kogenud lugejatele annan kiirmenüü:

• Kuidas kirjutada punkti ja kahe vektori abil tasapinna võrrandit?
• Kuidas kirjutada võrrandit tasapinnale kasutades punkti ja normaalvektorit?

ja me ei jää pikale ootamisele:

Tasapinna üldvõrrand

Tasapinna üldvõrrand on kujul , kus koefitsiendid on samaaegselt nullist erinevad.

Mitmed teoreetilised arvutused ja praktilised ülesanded kehtivad nii tavalise ortonormaalse kui ka ruumi afiinse aluse kohta (kui õli on õli, naaske õppetundi Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektori alus). Lihtsuse huvides eeldame, et kõik sündmused toimuvad ortonormaalses aluses ja Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

Ja nüüd treenime natuke ruumilist kujutlusvõimet. Pole hullu, kui teil on see halb, nüüd arendame seda veidi. Isegi närvidel mängimine nõuab harjutamist.

Kõige üldisemal juhul, kui arvud ei ole nulliga võrdsed, lõikab tasapind kõiki kolme koordinaattelge. Näiteks nii:

Kordan veel kord, et lennuk jätkub lõputult igas suunas ja meil on võimalus kujutada ainult osa sellest.

Mõelge tasandite lihtsaimatele võrranditele:

Kuidas seda võrrandit mõista? Mõelge sellele: "Z" on ALATI, kui "X" ja "Y" väärtused on võrdne nulliga. See on "natiivse" koordinaattasandi võrrand. Tõepoolest, formaalselt saab võrrandi ümber kirjutada järgmiselt: , kust on selgelt näha, et meid ei huvita, millised väärtused “x” ja “y” võtavad, on oluline, et “z” oleks võrdne nulliga.

Sarnaselt:
on koordinaattasandi võrrand ;
on koordinaattasandi võrrand.

Teeme probleemi veidi keerulisemaks, vaatleme tasapinda (siin ja edasises lõigus eeldame, et arvulised koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga). Kirjutame võrrandi ümber kujul: . Kuidas sellest aru saada? "X" on ALATI, sest "y" ja "z" mis tahes väärtus on võrdne teatud arvuga. See tasand on paralleelne koordinaattasandiga. Näiteks tasapind on tasapinnaga paralleelne ja läbib punkti.

Sarnaselt:
- koordinaattasandiga paralleelse tasandi võrrand;
- koordinaattasandiga paralleelse tasandi võrrand.

Lisa liikmeid: . Võrrandi saab ümber kirjutada järgmiselt: st "Z" võib olla ükskõik milline. Mida see tähendab? "X" ja "Y" on ühendatud suhtega, mis tõmbab tasapinnale teatud sirge (te tunnete ära tasapinna sirgjoone võrrand?). Kuna Z võib olla ükskõik milline, siis seda joont "kopeeritakse" igal kõrgusel. Seega defineerib võrrand koordinaatteljega paralleelse tasandi

Sarnaselt:
- koordinaatteljega paralleelse tasandi võrrand;
- koordinaatteljega paralleelse tasandi võrrand.

Kui vabad liikmed on nullid, siis tasandid läbivad otse vastavaid telgi. Näiteks klassikaline "otsene proportsionaalsus":. Joonistage tasapinnal sirgjoon ja korrutage see vaimselt üles ja alla (kuna "z" on suvaline). Järeldus: võrrandiga antud tasapind läbib koordinaattelge.

Lõpetame ülevaate: tasapinna võrrand läbib päritolu. Noh, siin on üsna ilmne, et punkt rahuldab antud võrrandit.

Ja lõpuks, joonisel näidatud juhtum: - tasapind sõbruneb kõigi koordinaattelgedega, samal ajal kui see alati "lõikab" kolmnurga, mis võib asuda ükskõik millises kaheksast oktandist.

Lineaarsed ebavõrdsused ruumis

Infost arusaamiseks on vaja hästi õppida tasapinna lineaarsed ebavõrdsused sest paljud asjad on sarnased. Lõige on lühike ülevaade koos mõne näitega, kuna materjal on praktikas üsna haruldane.

Kui võrrand määratleb tasandi, siis võrratused
küsi poolruumid. Kui võrratus ei ole range (nimekirjas kaks viimast), siis sisaldab võrratuse lahend lisaks poolruumile ka tasandit ennast.

Näide 5

Leidke tasapinna ühiknormaalvektor .

Lahendus: Ühikvektor on vektor, mille pikkus on üks. Tähistame seda vektorit . On üsna selge, et vektorid on kollineaarsed:

Esiteks eemaldame tasapinna võrrandist normaalvektori: .

Kuidas leida ühikvektorit? Ühikvektori leidmiseks vajate iga vektori koordinaat jagatud vektori pikkusega.

Kirjutame normaalvektori vormi ümber ja leiame selle pikkuse:

Vastavalt ülaltoodule:

Vastus:

Kontrollige: , mida oli vaja kontrollida.

Lugejad, kes on õppetunni viimast lõiku hoolikalt uurinud, märkasid seda ilmselt ühikvektori koordinaadid on täpselt vektori suunakoosinused:

Läheme kõrvale lahti võetud probleemist: kui teile antakse suvaline nullist erinev vektor, ja tingimuse järgi on vaja leida selle suunakoosinused (vt tunni viimaseid ülesandeid Vektorite punktkorrutis), siis tegelikult leiad ka antud vektoriga kollineaarse ühikvektori. Tegelikult kaks ülesannet ühes pudelis.

Ühikulise normaalvektori leidmise vajadus kerkib esile mõne matemaatilise analüüsi probleemi puhul.

Arvasime välja tavalise vektori püügi, nüüd vastame vastupidisele küsimusele:

Kuidas kirjutada võrrandit tasapinnale kasutades punkti ja normaalvektorit?

Seda normaalvektori ja punkti jäika konstruktsiooni tunneb hästi nooleviske sihtmärk. Palun sirutage käsi ette ja valige mõtteliselt ruumis suvaline punkt, näiteks väike kass puhvetkapis. Ilmselgelt saate selle punkti kaudu joonistada ühe tasapinna, mis on oma käega risti.

Vektoriga risti läbiva tasandi võrrandit väljendatakse järgmise valemiga: