የ tetrahedron ፍቺ

Tetrahedron- በጣም ቀላሉ የ polyhedral አካል, ፊቶች እና መሰረቱ ትሪያንግሎች ናቸው.

የመስመር ላይ ካልኩሌተር

ቴትራሄድሮን አራት ፊቶች ያሉት ሲሆን እያንዳንዳቸው በሦስት ጎኖች የተሠሩ ናቸው. ቴትራሄድሮን አራት ጫፎች ያሉት ሲሆን እያንዳንዳቸው ሦስት ጠርዞች አላቸው.

ይህ አካል በበርካታ ዓይነቶች ይከፈላል. ከታች የእነሱ ምደባ ነው.

1. Isohedral tetrahedron- ሁሉም ፊቶቹ አንድ አይነት ሶስት ማዕዘኖች ናቸው;
2. Orthocentric tetrahedron- ከእያንዳንዱ ጫፍ ወደ ተቃራኒው ፊት የተሳሉት ሁሉም ቁመቶች ርዝመታቸው ተመሳሳይ ነው;
3. አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው tetrahedron- ከአንዱ ጫፍ የሚወጡ ጠርዞች እርስ በርስ በ 90 ዲግሪ ማዕዘን ይመሰርታሉ;
4. ፍሬም;
5. ተመጣጣኝ;
6. ያማከለ.

Tetrahedron ጥራዝ ቀመሮች

የአንድ አካል መጠን በተለያዩ መንገዶች ሊገኝ ይችላል. የበለጠ በዝርዝር እንመርምርዋቸው።

በቬክተሮች ድብልቅ ምርት በኩል

ቴትራሄድሮን በሦስት ቬክተር ላይ ከተገነባ፡-

A ⃗ = (a x , a y, a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)ሀ= (ሀ x​ , ሀ y​ , ሀ ዝ​ )
b ⃗ = (b x , b y, b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)ለ= (ለ x​ , ለ y​ , ለ ዝ​ )
c ⃗ = (c x ፣ c y ፣ c z) \vec(c)=(c_x ፣ c_y ፣ c_z)ሐ= (ሐ x​ , ሐ y​ , ሐ ዝ​ ) ,

ከዚያ የዚህ tetrahedron መጠን የእነዚህ ቬክተሮች ድብልቅ ምርት ነው ፣ ማለትም ፣ እንደዚህ ያለ መለያ።

የ tetrahedron መጠን በመወሰን በኩል

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ መጨረሻ(vmatrix) )ቪ =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ሀ x​ ለ x​ ሐ x​ ​ ሀ y​ ለ y​ ሐ y​ ​ ሀ ዝ​ ለ ዝ​ ሐ ዝ​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

ተግባር 1

የ octahedron አራት ጫፎች መጋጠሚያዎች ይታወቃሉ። ሀ (1፣4፣9) ሀ (1፣4፣9) ሀ (1 ፣ 4 ፣ 9), ለ(8፣7፣3)ቢ(8፣7፣3) ለ(8፣7፣3), ሐ (1፣ 2፣ 3) ሲ (1፣2፣3) ሐ (1፣2፣3), መ (7፣ 12፣ 1) መ (7፣12፣1) መ (7, 1 2, 1). የእሱን መጠን ይፈልጉ።

መፍትሄ

ሀ (1፣4፣9) ሀ (1፣4፣9) ሀ (1 ፣ 4 ፣ 9)
ለ(8፣7፣3)ቢ(8፣7፣3) ለ(8፣7፣3)
ሐ (1፣ 2፣ 3) ሲ (1፣2፣3) ሐ (1፣2፣3)
መ (7፣ 12፣ 1) መ (7፣12፣1) መ (7, 1 2, 1)

የመጀመሪያው እርምጃ የተሰጠው አካል የተገነባባቸውን የቬክተሮች መጋጠሚያዎች መወሰን ነው.
ይህንን ለማድረግ የሁለት ነጥቦችን ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች በመቀነስ እያንዳንዱን የቬክተር መጋጠሚያ ማግኘት ያስፈልግዎታል. ለምሳሌ, የቬክተር መጋጠሚያዎች A B → \የቀጥታ ቀስት(AB) ሀ ለማለትም ከነጥብ የሚመራ ቬክተር አ.አ ሀእስከ ነጥቡ ቢ ቢ ለ, እነዚህ የነጥቦቹ ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች ልዩነቶች ናቸው ቢ ቢ ለእና አ.አ ሀ:

AB → = (8 - 1, 7 - 4, 3 - 9) = (7, 3, - 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)ሀ ለ= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 - 1 ፣ 2 - 4 ፣ 3 - 9) = (0 ፣ - 2 ፣ - 6) \ቀጥታ ቀስት(AC)=(1-1 ፣ 2-4 ፣ 3-9)=(0 ፣ - 2, -6)ኤ ሲ= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 - 1, 12 - 4, 1 - 9) = (6, 8, - 8) \overrightarrow (AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8,) -8)ኤ ዲ= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

አሁን የእነዚህን ቬክተሮች ድብልቅ ምርት አግኝተናል፣ለዚህም የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛ አዘጋጅተናል፣ይህንን እያሰብን ነው። A B → = a ⃗ \የቀጥታ ቀስት(AB)=\vec(ሀ)ሀ ለ= ሀ, A C → = b ⃗ \የቀጥታ ቀስት(AC)=\vec(ለ)ኤ ሲ= ለ, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)ኤ ዲ= ሐ.

∣ axayazbxbybzcxcycz (- 6) ⋅ (- 2) ⋅ 6 - 7 ⋅ (- 6) ⋅ 8 - 3 ⋅ 0 ⋅ (- 8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268 \ጀማሪ(xmatrix) a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \መጨረሻ(vmatrix)= \መጀመር(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\\መጨረሻ(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ሀ x​ ለ x​ ሐx​ ​ ሀy​ ለy​ ሐy​ ​ ሀዝ​ ለዝ​ ሐዝ​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

ማለትም የ tetrahedron መጠን፡-

$ቪ=61\cdot |$

መልስ

$44.8\text{ሴሜ3 .}$

ከጎኑ ያለው የኢሶሄድራል ቴትራሄድሮን መጠን ቀመር

ይህ ፎርሙላ የሚሰራው የኢሶሄድራል tetrahedron መጠን ለማስላት ብቻ ነው፣ ያም ማለት ቴትራሄድሮን ሁሉም ፊቶች ተመሳሳይ መደበኛ ትሪያንግሎች ናቸው።

የኢሶሄድራል tetrahedron መጠን

$ቪ=12\sqrt{2\cdot {ሀ}^3}$

አ.አሀየ tetrahedron ጠርዝ ርዝመት ነው.

ተግባር 2

ጎኑ እኩል ከተሰጠ የ tetrahedron መጠን ይፈልጉ $11\text{ሴሜ.}$

መፍትሄ

$ሀ=11$

ምትክ አ.አሀለ tetrahedron መጠን ቀመር ውስጥ-

$ቪ=12\sqrt{2\cdot {ሀ}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{ሴሜ3}}}}}$

መልስ

$156.8\text{ሴሜ3 .}$

ማስታወሻ. ይህ በጂኦሜትሪ (ክፍል ጠንከር ያለ ጂኦሜትሪ ፣ ስለ ፒራሚድ ችግሮች) ችግሮች ያሉት የትምህርቱ አካል ነው። በጂኦሜትሪ ውስጥ ችግርን መፍታት ካስፈለገዎት, እዚህ ከሌለ - በመድረኩ ላይ ስለ እሱ ይፃፉ. በተግባሮች ውስጥ ፣ በ “ካሬ ሥር” ምልክት ምትክ ፣ sqrt () ተግባር ጥቅም ላይ ይውላል ፣ በዚህ ውስጥ ካሬ ሥር ምልክት ነው ፣ እና አክራሪ መግለጫው በቅንፍ ውስጥ ይገለጻል.ለቀላል አክራሪ አገላለጾች፣ “√” የሚለውን ምልክት መጠቀም ይቻላል።. መደበኛ tetrahedronሁሉም ፊቶች ተመጣጣኝ ትሪያንግል የሆኑበት መደበኛ ባለሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ነው።

ለመደበኛ ቴትራሄድሮን፣ በዳርቻው ላይ ያሉት ሁሉም ዳይሄድራሎች ማዕዘኖች እና በቋሚዎቹ ላይ ያሉት ሁሉም የሶስትዮድራሎች ማዕዘኖች እኩል ናቸው።

ቴትራሄድሮን 4 ፊት፣ 4 ጫፎች እና 6 ጠርዞች አሉት።

ለመደበኛ ቴትራሄድሮን መሰረታዊ ቀመሮች በሠንጠረዥ ውስጥ ተሰጥተዋል.

የት፡
S - የመደበኛ tetrahedron ወለል አካባቢ
ቪ - ድምጽ
h - ቁመት ወደ መሠረቱ ዝቅ ብሏል
r - በ tetrahedron ውስጥ የተቀረጸው የክበብ ራዲየስ
R - የተከበበው ክበብ ራዲየስ
a - የጎድን አጥንት ርዝመት

ተግባራዊ ምሳሌዎች

ተግባር.
በእያንዳንዱ ጠርዝ √3 ጋር እኩል የሆነ የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ስፋት ያግኙ

መፍትሄ.
ሁሉም የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ጠርዞች እኩል ስለሆኑ, ትክክል ነው. የመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ስፋት S = a 2 √3 ነው።
ከዚያም
ኤስ = 3√3

መልስ: 3√3

ተግባር.
የመደበኛ ሦስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ሁሉም ጠርዞች 4 ሴ.ሜ ናቸው የፒራሚዱን መጠን ይፈልጉ

መፍትሄ.
በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ውስጥ የፒራሚዱ ቁመት ወደ መሰረቱ መሃል ስለሚገመት ፣ እሱ ደግሞ የተከበበው ክበብ መሃል ነው ፣ ከዚያ

AO = R = √3 / 3a
አኦ = 4√3/3

ስለዚህ የፒራሚዱ OM ቁመት ከትክክለኛው ትሪያንግል AOM ሊገኝ ይችላል

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3/3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

የፒራሚዱ መጠን በቀመር V = 1/3 ሸ
በዚህ ሁኔታ የመሠረቱን ቦታ በቀመር S \u003d √3/4 a 2 እናገኛለን

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

መልስ: 16√2/3 ሴሜ

የ tetrahedron መጠን ከመሠረታዊ ቀመር

የት ኤስየማንኛውም ፊት አካባቢ ነው, እና ኤች- ቁመቱ በላዩ ላይ ወድቋል ፣ በተለያዩ የ tetrahedron አካላት ድምጹን የሚገልጹ በርካታ ቀመሮችን ማግኘት ይችላሉ። እነዚህን ቀመሮች ለ tetrahedron እንሰጣለን ኤ ቢ ሲ ዲ.

(2) ,

የት ∠ ዓ.ም,ኢቢሲ) በጠርዙ መካከል ያለው አንግል ነው ዓ.ምእና የፊት አውሮፕላን ኢቢሲ;

(3) ,

የት ∠ ኢቢሲ,አብዲ) በፊቶች መካከል ያለው አንግል ነው ኢቢሲእና አብዲ;

የት | AB,ሲዲ| - በተቃራኒ የጎድን አጥንቶች መካከል ያለው ርቀት ABእና ሲዲ, ∠ (AB,ሲዲ) በእነዚህ ጠርዞች መካከል ያለው አንግል ነው.

ቀመሮች (2) - (4) በመስመሮች እና በአውሮፕላኖች መካከል ያሉትን ማዕዘኖች ለማግኘት; ፎርሙላ (4) በተለይ ጠቃሚ ነው, ከእሱ ጋር በተዛባ መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት ማግኘት ይችላሉ ABእና ሲዲ.

ቀመሮች (2) እና (3) ከቀመር ጋር ተመሳሳይ ናቸው። ኤስ = (1/2)ኣብ መወዳእታ ድማ ንህዝቢ ኤርትራ ንህዝቢ ምውሳድ ኣብ ውሽጢ ሃገር ዝርከቡ ምዃኖም ተሓቢሩኃጢአት ሲለሦስት ማዕዘን አካባቢ. ፎርሙላ ኤስ = rpተመሳሳይ ቀመር

የት አርየ tetrahedron የተቀረጸው የሉል ራዲየስ ነው፣ Σ ጠቅላላ ገፅ ነው (የሁሉም ፊቶች አካባቢ ድምር)። የ tetrahedron መጠን ከራዲየስ ጋር የሚያገናኘው የሚያምር ቀመርም አለ አርየተገለፀው ወሰን ( የክሬል ቀመር):

የት Δ የሶስት ማዕዘን ቦታ ሲሆን ጎኖቹ ከተቃራኒ ጠርዞች ምርቶች ጋር በቁጥር እኩል ናቸው ( AB× ሲዲ, ኤሲ× BD,ዓ.ም× ዓ.ዓ). ከቀመር (2) እና የኮሳይን ቲዎሬም ለስላሴ ማዕዘኖች (Spherical trigonometry ይመልከቱ) አንድ ሰው ከሄሮን የሶስት ማዕዘኖች ቀመር ጋር ተመሳሳይ የሆነ ቀመር ማግኘት ይችላል።

በዚህ ትሪያንግል አውሮፕላን ውስጥ የማይዋሽ የዘፈቀደ ትሪያንግል ABC እና ነጥብ D አስቡ። ይህንን ነጥብ ከክፍሎች ጋር ወደ ትሪያንግል ኤቢሲ ጫፎች ያገናኙ። በውጤቱም, ሦስት ማዕዘን ቅርጾችን እናገኛለን ADC , CDB , ABD . በአራት ማዕዘናት የታሰረው መሬት ኤቢሲ፣ ኤዲሲ፣ ሲዲቢ እና ኤቢዲ ቴትራሄድሮን ይባላል እና DABC ይባላል።
ቴትራሄድሮን የሚሠሩት ትሪያንግሎች ፊቶቹ ይባላሉ።
የእነዚህ ትሪያንግሎች ጎኖች የ tetrahedron ጠርዞች ይባላሉ. እና ቁመታቸው የቴትራሄድሮን ጫፎች ናቸው።

tetrahedron አለው 4 ፊቶች, 6 የጎድን አጥንቶችእና 4 ጫፎች.
አንድ የጋራ ጫፍ የሌላቸው ሁለት ጠርዞች ተቃራኒ ይባላሉ.
ብዙውን ጊዜ, ለመመቻቸት, የ tetrahedron ፊቶች አንዱ ይባላል መሠረት, እና የቀሩት ሶስት ፊቶች የጎን ፊት ናቸው.

ስለዚህ, tetrahedron በጣም ቀላሉ ፖሊሄድሮን ነው, ፊቶቹ አራት ትሪያንግል ናቸው.

ነገር ግን ማንኛውም የዘፈቀደ ሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ቴትራሄድሮን መሆኑም እውነት ነው። ከዚያም ቴትራሄድሮን መባሉም እውነት ነው በመሠረቱ ላይ ሶስት ማዕዘን ያለው ፒራሚድ.

የ tetrahedron ቁመትበተቃራኒው ፊት ላይ ወደሚገኝ እና ወደ እሱ ቀጥ ብሎ ወደሚገኝ ወርድ የሚያገናኝ ክፍል ይባላል።
የ tetrahedron መካከለኛከተቃራኒው የፊት መጋጠሚያዎች መገናኛ ነጥብ ጋር አከርካሪውን የሚያገናኝ ክፍል ይባላል።
ቢሚዲያን tetrahedronየ tetrahedron መሻገሪያ ጠርዞች መካከለኛ ነጥቦችን የሚያገናኝ ክፍል ይባላል።

ቴትራሄድሮን ሦስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መሠረት ያለው ፒራሚድ ስለሆነ የማንኛውም ቴትራሄድሮን መጠን በቀመሩ ሊሰላ ይችላል።

• ኤስየማንኛውም ፊት አካባቢ ነው ፣
• ኤች- በዚህ ፊት ላይ ቁመቱ ዝቅ ብሏል

መደበኛ tetrahedron - ልዩ ዓይነት tetrahedron

ሁሉም ፊቶች እኩልዮሽ ትሪያንግል የሆኑበት ቴትራሄድሮን ይባላል ትክክል.
የመደበኛ tetrahedron ባህሪዎች

• ሁሉም ጠርዞች እኩል ናቸው.
• ሁሉም የመደበኛ ቴትራሄድሮን የአውሮፕላን ማዕዘኖች 60 ° ናቸው።
• የእያንዳንዳቸው ጫፎች የሶስት መደበኛ ትሪያንግሎች ጫፍ ስለሆነ በእያንዳንዱ ጫፍ ላይ ያለው የአውሮፕላኑ ማዕዘኖች ድምር 180 ° ነው.
• ማንኛውም የመደበኛ ቴትራሄድሮን ጫፍ ወደ ተቃራኒው ፊት (ወደ ትሪያንግል ቁመቶች መገናኛ ነጥብ) ወደ ኦርቶሴንተር ይገለጻል።

ከኤ ጋር እኩል የሆነ ጠርዞች ያለው መደበኛ ቴትራሄድሮን ABCD ይሰጠን። ዲኤች ቁመቱ ነው።
ተጨማሪ ግንባታዎችን እንሥራ BM - የሶስት ማዕዘን ቁመቱ ABC እና ዲኤም - የሶስት ማዕዘን ቁመት ACD .
ቢኤም ቁመት ቢኤም እና እኩል ነው።
ትሪያንግል ቢዲኤምን አስቡበት፣ ዲ ኤች , እሱም የ tetrahedron ቁመት, እንዲሁም የዚህ ትሪያንግል ቁመት ነው.
ወደ ጎን MB ዝቅ ብሎ የሶስት ማዕዘን ቁመት ቀመሩን በመጠቀም ሊገኝ ይችላል

፣ የት
BM=፣ DM=፣ BD=a፣
p=1/2 (BM+BD+DM)=
እነዚህን እሴቶች ወደ ቁመት ቀመር ይተኩ. አግኝ


1/2a እናውጣ። አግኝ

የካሬዎችን የቀመር ልዩነት ተግብር

ከአንዳንድ ጥቃቅን ለውጦች በኋላ, እናገኛለን


የማንኛውም tetrahedron መጠን ቀመሩን በመጠቀም ሊሰላ ይችላል።
,
የት ,

እነዚህን እሴቶች በመተካት እናገኛለን

ስለዚህ ለመደበኛ ቴትራሄድሮን የድምጽ መጠን ቀመር ነው

የት ሀ- tetrahedron ጠርዝ

የእግሮቹ መጋጠሚያዎች የሚታወቁ ከሆነ የ tetrahedron መጠንን ማስላት

የ tetrahedron መጋጠሚያዎች መጋጠሚያዎች ይሰጠን

ቬክተሮችን ከጫፍ ,,, ይሳሉ.
የእያንዳንዳቸውን ቬክተሮች መጋጠሚያዎች ለማግኘት ከመጨረሻው መጋጠሚያ ያለውን ተጓዳኝ የጅምር መጋጠሚያ ይቀንሱ። አግኝ